\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
%\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

%########QCM auto multiple choice
%########Options: ordre (annule le mélange sur les réponses), correc (produit le corrigé), noshufflegroups ( annule le mélange automatique de l’ordre des questions des groupes)
\usepackage[francais,box]{automultiplechoice}

%########Marges forcément après AMC
\usepackage{geometry}
\geometry{top=2.25cm,bottom=1.5cm,left=1.25cm,right=1.25cm}

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

\exclure{notabene}
 
\begin{document}

\begin{notabene}
	\section{Réglages.}
\end{notabene}
	
	% Pour colorier les bonnes réponses pour faire un corrigé type
	\makeatletter
	\def\AMCforcecorrect{\AMC@correctrue}
	\makeatother
	%\AMCforcecorrect % décommenter pour avoir les réponses
	
	%%Modification en tête de question
	
	\def\AMCbeginQuestion#1#2{\par\noindent{\bf Question #1} #2\hspace*{1em}}
	
	%Textes particuliers AMC qui nesont pas affichés sur les qcm imprimés
	
	\AMCtext{draft}{}%texte grisé en plein milieu de la feuille en diagonale
	\AMCtext{message}{}%texte en bleu en pied de page
	\AMCsetFoot{\thepage} %Affiche la pagination en bas de page
	
	%%% preparation of the groups

	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	% Plusieurs réponses
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{notabene}
	\section{2023 Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023}
\end{notabene}
		
	%Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023
	\element{bac20230320metropolej1partie1}{
		\begin{question}{bac20230320metropolej1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
						
			La probabilité $p_G(D)$ de l'évènement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,002$.}
				\correctchoice{$0,01$}
				\wrongchoice{$0,024$.}
				\wrongchoice{$0,2$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	%Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023
	\element{bac20230320metropolej1partie1}{
		\begin{question}{bac20230320metropolej1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité $p\left(\overline{G} \cap D\right)$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,01$.}
				\correctchoice{$0,08$}
				\wrongchoice{$0,1$.}
				\wrongchoice{$0,21$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	%Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023
	\element{bac20230320metropolej1partie1}{
		\begin{question}{bac20230320metropolej1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{-3}$ près, à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,01$.}
				\correctchoice{$0,024$}
				\wrongchoice{$0,082$.}
				\wrongchoice{$0,1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	%Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023
	\element{bac20230320metropolej1partie2}{
		\begin{question}{bac20230320metropolej1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Dans cette question, on prend $n =50$.
			
			La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,136$.}
				\correctchoice{$0,789$}
				\wrongchoice{$0,864$.}
				\wrongchoice{$0,924$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	%Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023
	\element{bac20230320metropolej1partie2}{
		\begin{question}{bac20230320metropolej1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. 
			
			La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$5$.}
				\wrongchoice{$6$.}
				\correctchoice{$10$}
				\wrongchoice{$11$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Métropole, Antilles-Guyane sujet 2 21 mars 2023}
\end{notabene}
	
	%Métropole, Antilles-Guyane sujet 2 21 mars 2023
	\element{bac20230321metropolej2partie1}{
		\begin{question}{bac20230321metropolej2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{7}{10}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{3}{25}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{7}{25}$}
				\wrongchoice{$\dfrac{24}{125}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230321metropolej2partie1}{
		\begin{question}{bac20230321metropolej2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La probabilité $P_B(G)$ de l'événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{5}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{1}{3}$}
				\wrongchoice{$\dfrac{7}{15}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{5}{12}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230321metropolej2partie2}{
		\begin{question}{bac20230321metropolej2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,859$.}
				\wrongchoice{$0,671$.}
				\correctchoice{$0,188$}
				\wrongchoice{$0,187$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230321metropolej2partie2}{
		\begin{question}{bac20230321metropolej2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$n = 2$.}
				\correctchoice{$n = 3$.}
				\wrongchoice{$n = 4$.}
				\wrongchoice{$n = 5$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230321metropolej2partie2}{
		\begin{question}{bac20230321metropolej2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$1 - \left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$.}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$.}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$.}
				\correctchoice{$1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Centre étranger sujet 2 22 mars 2023}
\end{notabene}
	
	%Centre étranger sujet 2 22 mars 2023
	\element{bac20230322etrangerg2j2partie1}{
		\begin{question}{bac20230322etrangerg2j2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$1$.}
				\correctchoice{$0,870$.}
				\wrongchoice{$0,600$.}
				\wrongchoice{$0,599$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230322etrangerg2j2partie1}{
		\begin{question}{bac20230322etrangerg2j2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La probabilité $p(3 < X \leqslant 7)$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$p(X \leqslant 7) - p(X > 3)$.}
				\correctchoice{$p(X \leqslant 7) - p(X \leqslant 3)$.}
				\wrongchoice{$p(X < 7)- p(X > 3)$.}
				\wrongchoice{$p(X < 7) - p(X \geqslant 3)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230322etrangerg2j2partie1}{
		\begin{question}{bac20230322etrangerg2j2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Quel est le plus petit entier naturel $k$ tel que la probabilité de tirer au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $95\,\%$ ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$2$.}
				\wrongchoice{$3$.}
				\correctchoice{$4$.}
				\wrongchoice{$5$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230322etrangerg2j2partie2}{
		\begin{question}{bac20230322etrangerg2j2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$0,04^n$.}
				\wrongchoice{$0,96^n$.}
				\wrongchoice{$1 - 0,04^n$.}
				\wrongchoice{$1 - 0,96^n$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230322etrangerg2j2partie2}{
		\begin{question}{bac20230322etrangerg2j2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle ?
			
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
					\textbf{def} seuil (x) :\\
					\qquad n=1\\
					\qquad \textbf{while} 1-0.96**n $<$ x :\\
					\qquad \quad  n = n + 1\\
					\qquad \textbf{return} n\\ \hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.}
				\wrongchoice{Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x..}
				\wrongchoice{Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à x.}
				\wrongchoice{Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Asie sujet 1 23 mars 2023.}
\end{notabene}
	
	%Asie sujet 1 23 mars 2023.
	\element{bac20230323asiej1partie1}{
		\begin{question}{bac20230323asiej1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Quelle est la probabilité que la bille tirée soit bleue ou numérotée d'un nombre pair ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{7}{15}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{9}{15}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{11}{10}$.}
				\wrongchoice{Aucune des
					affirmations précédentes n'est juste.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230323asiej1partie1}{
		\begin{question}{bac20230323asiej1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu'elle soit numérotée 7?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{15}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{7}{15}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{1}{10}$.}
				\wrongchoice{Aucune des
					affirmations précédentes n'est juste.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230323asiej1partie2}{
		\begin{question}{bac20230323asiej1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Que vaut P(G = 5)?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{15}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{2}{15}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$.}
				\wrongchoice{Aucune des
					affirmations précédentes n'est juste.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230323asiej1partie2}{
		\begin{question}{bac20230323asiej1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Quelle est la valeur de $P_R(G = 0)$ ?
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{15}$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\wrongchoice{Aucune des
					affirmations précédentes n'est juste.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230323asiej1partie2}{
		\begin{question}{bac20230323asiej1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Que vaut $P_{(G = - 4)}(V)$ ? 
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{1}{15}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{4}{15}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{1}{2}$.}
				\wrongchoice{Aucune des
					affirmations précédentes n'est juste.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Asie sujet 2 24 mars 2023.}
\end{notabene}

	%Asie sujet 2 24 mars 2023.
	\element{bac20230324asiej2partie1}{
		\begin{question}{bac20230324asiej2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			 Le nombre de termes de cette liste est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\np{2023}$.}
				\correctchoice{$673$.}
				\wrongchoice{$672$.}
				\wrongchoice{$\np{2016}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230324asiej2partie1}{
		\begin{question}{bac20230324asiej2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On choisit au hasard un nombre dans cette liste. La probabilité de tirer un nombre pair est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac12$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{34}{673}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{336}{673}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{337}{673}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230324asiej2partie2}{
		\begin{question}{bac20230324asiej2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La probabilité d'obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{168}{673} \times \dfrac{34}{673}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{34}{673}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{17}{84}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{168}{34}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230324asiej2partie2}{
		\begin{question}{bac20230324asiej2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			$P_B(A)$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{36}{168}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac12$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{33}{168}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{34}{67}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230324asiej2partie2}{
		\begin{question}{bac20230324asiej2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On choisit, au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. 
			
			Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu'aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de 4 est:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.}
				\wrongchoice{$1 - \left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$.}
				\wrongchoice{$1 - \left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}


\begin{notabene}
	\section{2023 Amérique du Nord sujet 1 27 mars 2023.}
\end{notabene}
	
	%Amérique du Nord sujet 1 27 mars 2023.
	\element{bac20230327ameriquedunordj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230327ameriquedunordj1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			ABC est un triangle :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{isocèle rectangle en A.}
				\wrongchoice{isocèle rectangle en B.}
				\wrongchoice{isocèle rectangle en C.}
				\wrongchoice{équilatéral.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230327ameriquedunordj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230327ameriquedunordj1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Une équation cartésienne du plan (BCD) est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$2 x+y+z-15=0$.}
				\wrongchoice{$9 x-5 y+3=0$.}
				\correctchoice{$4 x+y+z-21=0$.}
				\wrongchoice{$11 x+5 z-73=0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230327ameriquedunordj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230327ameriquedunordj1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x- 2y - 2z + 15 = 0$.
			
			On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{H$(-2~;~17~;~12)$.}
				\correctchoice{H$(3~;~7~;~2)$.}
				\wrongchoice{H$(3~;~2~;~7)$.}
				\wrongchoice{H$(-15~;~1~;~-1)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230327ameriquedunordj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230327ameriquedunordj1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=\phantom{-}5+t \\ y=\phantom{-}3-t \\ z =-1 + 3t\end{array}\right.$, avec $t$ réel.
			
			Les droites (BC) et $\Delta$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{confondues.}
				\wrongchoice{strictement parallèles.}
				\wrongchoice{sécantes.}
				\correctchoice{non coplanaires.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230327ameriquedunordj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230327ameriquedunordj1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 6 = 0$.
			
			On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x-2 y-2 z+15=0$.
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont strictement parallèles.}
				\correctchoice{les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB).}
				\wrongchoice{les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AC).}
				\wrongchoice{les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (BC).}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}


\begin{notabene}
	\section{2023 La Réunion sujet 1 28 mars 2023.}
\end{notabene}
	
	%La Réunion sujet 1 28 mars 2023.
	\element{bac20230328lareunionj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230328lareunionj1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La valeur de $u_2$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\dfrac{11}{4}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{13}{2}$.}
				\wrongchoice{$3,5$.}
				\wrongchoice{$2,7$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230328lareunionj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230328lareunionj1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{arithmétique de raison $\dfrac12$.}
				\correctchoice{géométrique de raison $\dfrac12$.}
				\wrongchoice{constante.}
				\wrongchoice{ni arithmétique, ni géométrique.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20230328lareunionj1partie1}{
		\begin{question}{bac20230328lareunionj1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.
			
			\begin{minipage}{0.58\linewidth}
				$n$ désigne un entier naturel non nul. 
				
				On rappelle qu'en langage Python
				\og i in range (n)\fg{} signifie que i varie de 0 à $n-1$.
			\end{minipage}\hfill
			\begin{minipage}{0.38\linewidth}
				\begin{tabular}{|c|l|}\hline
					1&def terme (n)\\
					2&\qquad U=3\\
					3&\qquad for i in range(n): \\
					4& \dotfill \\
					5&\qquad return U\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{minipage}
			
			Pour que terme (n) renvoie la valeur de $u_n$, on peut compléter la ligne 4 par : 
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{U = U/2 + (i$+$1)/2+1.}
				\wrongchoice{U = U/2 + n/2 + 1.}
				\wrongchoice{U = U/2 + (i$-$1)/2+1.}
				\correctchoice{U = U/2 + i/2 + 1.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2023 Nouvelle-Calédonie sujet 2 29 août 2023.}
\end{notabene}

%Nouvelle-Calédonie sujet 2 29 août 2023.

\element{bac20230829nouvellecaledoniej2partie1}{
	\begin{question}{bac20230829nouvellecaledoniej2q1}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\dfrac{25}{75}$.}
			\wrongchoice{$\dfrac{25}{100}$.}
			\wrongchoice{$\dfrac{25}{105}$.}
			\wrongchoice{$\dfrac{75}{105}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}

\element{bac20230829nouvellecaledoniej2partie2}{
	\begin{question}{bac20230829nouvellecaledoniej2q1}
		\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
		La probabilité de l'évènement $A \cup  F$ est égale à :
		\begin{choiceshoriz}
			\correctchoice{$\dfrac{31}{40}$.}
			\wrongchoice{$\dfrac{9}{10}$.}
			\wrongchoice{$\dfrac{1}{8}$.}
			\wrongchoice{$\dfrac{5}{36}$.}
		\end{choiceshoriz}
	\end{question}
}
	
\begin{notabene}
	\section{2022 Métropole Antilles-Guyane 12 mai 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%Métropole Antilles-Guyane 12 mai 2022 sujet 2
	\element{bac20220512metropolereunionguyanesujet2}{
		\begin{question}{bac20220512metropolereunionguyanesujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction $f$ admet un maximum en $- \dfrac{3}{2}$.}
				\correctchoice{La fonction $f$ admet un maximum en $- \dfrac{1}{2}$.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ admet un minimum en $- \dfrac{1}{2}$.}
				\wrongchoice{Au point d'abscisse $-1$, la courbe de la
					fonction $f$ admet une tangente horizontale.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Métropole Antilles-Guyane 12 mai 2022 sujet 2
	\element{bac20220512metropolereunionguyanesujet2}{
		\begin{question}{bac20220512metropolereunionguyanesujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{La fonction $f$ est convexe sur $\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est convexe sur $\left]- \infty~;~- \dfrac12\right[$.}
				\wrongchoice{La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ n'admet pas de point d'inflexion.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est concave sur $\left] - \infty~;~- \dfrac12\right[$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	%Métropole Antilles-Guyane 12 mai 2022 sujet 2
	\element{bac20220512metropolereunionguyanesujet2}{
		\begin{question}{bac20220512metropolereunionguyanesujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ vérifie :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f''(x) \geqslant  0$ pour $x \in \left]-\infty~;~- \dfrac12\right[$}
				\wrongchoice{$f''(x) \geqslant  0$ pour $x \in [- 2~;~- 1]$.}
				\correctchoice{$f''\left(- \dfrac32 \right) = 0$.}
				\wrongchoice{$f''(- 3) = 0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Centres étrangers groupe 1 18 mai 2022 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%2022 Centres étrangers groupe 1 18 mai 2022 sujet 1
	
	\element{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1}{
		\begin{question}{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~2\right]$, la fonction $h$ s'annule :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{exactement 0 fois.}
				\correctchoice{exactement 1 fois.}
				\wrongchoice{exactement 2 fois.}
				\wrongchoice{exactement 3 fois.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1}{
		\begin{question}{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right) .{} x $.}
				\wrongchoice{$y = \left(6\sqrt{\text{e}}\right).{} x + 2\text{e}$.}
				\wrongchoice{$y = 6\text{e}^{\frac{x}{2}}$.}
				\correctchoice{$y = \left(6\text{e}^{\frac12}\right) .{} x - 4\text{e}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1}{
		\begin{question}{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Sur l'intervalle ]0~;~2], le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{0.}
				\correctchoice{1.}
				\wrongchoice{2.}
				\wrongchoice{3.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Métropole, Antilles-Guyane 9 septembre 2022 sujet 2.}
\end{notabene}

%2022 Métropole, Antilles-Guyane 9 septembre 2022 sujet 2
	
	\element{bac20220909antillesguyanesujet2partie1}{
		\begin{question}{bac20220909antillesguyanesujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l c l}
						u_2& =& 5\\ v_2 &=& 3
					\end{array}\right.$.}
				\wrongchoice{$u_2^2 - 3v_2^2 = - 2^2$.}
				\correctchoice{$\dfrac{u_2}{v_2} = 1,75$.}
				\wrongchoice{$5u_1 = 3v_1$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20220909antillesguyanesujet2partie1}{
		\begin{question}{bac20220909antillesguyanesujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|>{\texttt}l|}\hline
					\texttt{def valeurs() :}\\
					\quad \texttt{u = 2}\\
					\quad \texttt{v = 1}\\
					\quad \texttt{for k in range(1,11)}\\
					\quad \quad \texttt{c = u}\\
					\quad \quad \texttt{u = u + 3*v}\\
					\quad \quad \texttt{v = c + v}\\
					\quad \texttt{return (u, v)}\\ \hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Ce programme renvoie :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$u_{11}$ et $v_{11}$.}
				\wrongchoice{$u_{10}$ et $v_{11}$.}
				\wrongchoice{les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de 1 à 10.}
				\correctchoice{$u_{10}$ et $v_{10}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20220909antillesguyanesujet2partie2}{
		\begin{question}{bac20220909antillesguyanesujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La fonction $f$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{concave sur $[-2~;~1]$.}
				\correctchoice{convexe sur $[-4~;~0]$.}
				\wrongchoice{convexe sur $[-2~;~1]$.}
				\wrongchoice{convexe sur [0~;~2].}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20220909antillesguyanesujet2partie2}{
		\begin{question}{bac20220909antillesguyanesujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}'$ au point B.
			On a :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f'(1) < 0$.}
				\correctchoice{$f'(1) = 5$.}
				\wrongchoice{$f''(1) > 0$.}
				\wrongchoice{$f''(1) = - 5$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Nouvelle-Calédonie 26 octobre 2022 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%2022 Nouvelle-Calédonie 26 octobre 2022 sujet 1
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie1}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,99$.}
				\correctchoice{$0,396$.}
				\wrongchoice{$0,01$.}
				\wrongchoice{$0,4$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie1}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité  $p\left(R_0\right)$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,99$.}
				\wrongchoice{$0,02$.}
				\correctchoice{$0,408$.}
				\wrongchoice{$0,931$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie1}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}\left(E_0\right)$ est égale:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,004$.}
				\wrongchoice{$0,001$.}
				\correctchoice{$0,007$.}
				\wrongchoice{$0,010$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie1}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité de l'évènement \og  il y a une erreur de transmission \fg{} est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,03$.}
				\correctchoice{$0,016$.}
				\wrongchoice{$0,16$.}
				\wrongchoice{$0,015$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
			
			La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$0,915$.}
				\wrongchoice{$0,109$.}
				\wrongchoice{$0,976$.}
				\correctchoice{$0,085$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.
			
			La probabilité qu'au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$1 - 0,12^{10}$.}
				\wrongchoice{$0,12^{10}$.}
				\wrongchoice{$0,88^{10}$.}
				\wrongchoice{$1- 0,88^{10}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20221026nouvellecaledoniesujet1q7}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante. 
			
			Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$N_0 = 17$.}
				\correctchoice{$N_0 = 18$.}
				\wrongchoice{$N_0 = 19$.}
				\wrongchoice{$N_0 = 20$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2022 Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2022 Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022 sujet 2
	
	\element{bac20221027nouvellecaledoniesujet2}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln (a)$.
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$w_0 = \dfrac{1}{a^2}  +2$.}
				\wrongchoice{$w_0 = \dfrac{1}{a^2  +2}$.}
				\wrongchoice{$w_0 = -2a +2$.}
				\wrongchoice{$w_0 = \dfrac{1}{- 2a} + 2$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20221027nouvellecaledoniesujet2}{
		\begin{question}{bac20221027nouvellecaledoniesujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{décroissante et majorée par 3.}
				\correctchoice{décroissante et minorée par 2.}
				\wrongchoice{croissante et majorée par 3.}
				\wrongchoice{croissante et minorée par 2.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2021 15 mars 2021 sujet 1.}
\end{notabene}
	
	%2021 15 mars 2021 sujet 1
	
	\element{bac20210315sujet1partie1}{
		\begin{question}{bac20210315sujet1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{(DK) et (SD).}
				\wrongchoice{(AS) et (IC).}
				\correctchoice{(AC) et (SB).}
				\wrongchoice{(LM) et (AD).}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20210315sujet1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$.}
				\correctchoice{$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.}
				\wrongchoice{$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.}
				\wrongchoice{$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20210315sujet1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$.}
				\correctchoice{$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.}
				\wrongchoice{$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.}
				\wrongchoice{$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20210315sujet1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t
					\end{array}\right.$ $(t \in \mathbb{R})$.}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t
					\end{array}\right.$ $(t \in \mathbb{R})$.}
				\correctchoice{$\left\{\begin{array}{l !{=} l}x&t\\y&0\\z&1 + t
					\end{array}\right.$ $(t \in \mathbb{R})$.}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t
					\end{array}\right.$	$(t \in \mathbb{R})$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
		
	\element{bac20210315sujet1partie2}{
		\begin{question}{bac20210315sujet1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$y+z-1 =0$.}
				\correctchoice{$x+y+z- 1=0$.}
				\wrongchoice{$x-y+z=0$.}
				\wrongchoice{$x+z-1 =0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
\begin{notabene}
	\section{2021 15 mars 2021 sujet 2.}
\end{notabene}
	
	%2021 15 mars 2021 sujet 2
	
	\element{bac20210315sujet2partie1}{
		\begin{question}{bac20210315sujet2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité qu'aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{0.}
				\wrongchoice{1.}
				\wrongchoice{$0,24$.}
				\correctchoice{$0,76$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet2partie1}{
		\begin{question}{bac20210315sujet2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité qu'exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\binom{9}{2} \times  0,97^2 \times 0,03^7$.}
				\wrongchoice{$\binom{7}{2} \times  0,97^2 \times 0,03^7$.}
				\correctchoice{$\binom{9}{2} \times 0,97^7 \times  0,03^2$.}
				\wrongchoice{$\binom{7}{2} \times 0,97^7 \times 0,03^2$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet2partie1}{
		\begin{question}{bac20210315sujet2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité qu'au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$P(X < 1)$.}
				\wrongchoice{$P(X \leqslant 1)$.}
				\wrongchoice{$P(X \geqslant 2)$.}
				\correctchoice{$1- P(X = 0)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet2partie2}{
		\begin{question}{bac20210315sujet2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité de $V_2$ sachant que $V_1$ est réalisé, notée $P_{V_1}\left(V_2\right)$, est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\dfrac{5}{8}$.}
				\correctchoice{$\dfrac{4}{7}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{5}{14}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{20}{56}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210315sujet2partie2}{
		\begin{question}{bac20210315sujet2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La probabilité de l'évènement $V_2$ est égale à :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\dfrac{5}{8}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{5}{7}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{3}{28}$.}
				\wrongchoice{$\dfrac{9}{7}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Métropole 7 juin 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}
	
	%2021 Métropole 7 juin 2021 (candidats libres)
	
	\element{bac20210607metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210607metropolecandidatslibresq1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$f'(x) = 2\mathrm{e}^{2x}$.}
				\wrongchoice{$f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}(x-1)}{x^2} $.}
				\correctchoice{$ f'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{2x}(2x - 1)}{x^2}$.}
				\wrongchoice{$f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}(1 + 2x)}{x^2} $.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210607metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210607metropolecandidatslibresq2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La fonction $f$ :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{est décroissante sur $]0~;~+\infty[ $.}
				\wrongchoice{est monotone sur $]0~;~+\infty[$.}
				\correctchoice{admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$.}
				\wrongchoice{admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210607metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210607metropolecandidatslibresq3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La fonction $f$ admet pour limite en $+ \infty$ :
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$+\infty $.}
				\wrongchoice{$0$.}
				\wrongchoice{$1$.}
				\wrongchoice{$\mathrm{e}^{2x}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210607metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210607metropolecandidatslibresq4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La fonction $f$ :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{est concave sur $]0~;~+\infty[$.}
				\correctchoice{est convexe sur $]0~;~+\infty[$.}
				\wrongchoice{est concave sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right] $.}
				\wrongchoice{est représentée par une courbe admettant un point d'inflexion.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Métropole 8 juin 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}

	%2021 Métropole 8 juin 2021 (candidats libres)
	
	\element{bac20210608metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210608metropolecandidatslibresq1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$ ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{M$_1(-1~;~3~;~-2)$.}
				\correctchoice{M$_2(11~;~-9~;~-22)$.}
				\wrongchoice{M$_3(-7~;~9~;~ 2)$.}
				\wrongchoice{M$_4(-2~;~3~;~4)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210608metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210608metropolecandidatslibresq2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}$.}
				\wrongchoice{$\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$.}
				\correctchoice{$\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}$.}
				\wrongchoice{$\overrightarrow{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210608metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210608metropolecandidatslibresq3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{sécantes.}
				\wrongchoice{strictement parallèles.}
				\wrongchoice{non coplanaires.}
				\correctchoice{confondues.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210608metropolecandidatslibres}{
		\begin{question}{bac20210608metropolecandidatslibresq4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$m =-1$.}
				\wrongchoice{$m = 1$.}
				\correctchoice{$m = 5$.}
				\wrongchoice{$m =-2$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Métropole 13 septembre 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}
	
	%2021 Métropole 13 septembre 2021 (candidats libres).
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Affirmation: $f'(-0,5) = 0$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Vraie.}
				\correctchoice{Fausse.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Affirmation: si $x \in ]- \infty~;~-0,5[$, alors $f'(x) < 0$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Vraie.}
				\correctchoice{Fausse.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Affirmation: $f'(0) = 15$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Fausse.}
				\correctchoice{Vraie.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Affirmation: la fonction dérivée $f'$ ne change pas de
			signe sur $\mathbb{R}$.
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{Vraie.}
				\correctchoice{Fausse.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $\mathbb{R}$ par 
			
			$f(x) = (ax + b)\text{e}^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l'axe des abscisses en son point de coordonnées $(-0,5~;~ 0)$.
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$a = 10$ et $b = 5$.}
				\wrongchoice{$a = 2,5$ et $b = -0,5$.}
				\wrongchoice{$a = -1,5$ et $b = 5$.}
				\wrongchoice{$a = 0$ et $b = 5$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q6}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : 
			
			\[f''(x) = (10x + 25)\text{e}^x.\]
			
			On peut affirmer que :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.}
				\correctchoice{Le point C est l'unique point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.}
				\wrongchoice{$\mathcal{C}_f$ n'admet pas de point d'inflexion.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210913metropolecandidatslibresj1}{
		\begin{question}{bac20210913metropolecandidatslibresj1q7}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère deux suites $\left(U_n\right)$ et  $\left(V_n\right)$ définies sur $\mathbb{N}$ telles que : 
			
			\setlength\parindent{1cm}
			\begin{itemize}
				\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$,\, $U_n \leqslant V_n$;
				\item[$\bullet~~$] $\displaystyle\lim_{n \to+ \infty}  V_n= 2$.
			\end{itemize}
			\setlength\parindent{0cm}
			
			On peut affirmer que:
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{la suite $\left(U_n\right)$ converge.}
				\wrongchoice{pour tout entier naturel $n$,\, $V_n \leqslant 2$.}
				\wrongchoice{la suite $\left(U_n\right)$ diverge.}
				\correctchoice{la suite $\left(U_n\right)$ est majorée.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{2021 Métropole 14 septembre 2021 (candidats libres).}
\end{notabene}
	
	%2021 Métropole 14 septembre 2021 (candidats libres).
	\element{bac20210914metropolecandidatslibresj2}{
		\begin{question}{bac20210914metropolecandidatslibresj2q1}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{M$(2~;~1~;~-1)$.}
				\correctchoice{N$(-3~;~-4~;~6)$.}
				\wrongchoice{P$(-3~;~-4~;~2)$.}
				\wrongchoice{Q$(-5~;~-5~;~1)$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210914metropolecandidatslibresj2}{
		\begin{question}{bac20210914metropolecandidatslibresj2q2}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ admet pour coordonnées :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$.}
				\wrongchoice{$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$.}
				\correctchoice{$\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$.}
				\wrongchoice{$\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210914metropolecandidatslibresj2}{
		\begin{question}{bac20210914metropolecandidatslibresj2q3}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$.}
				\correctchoice{$\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$.}
				\wrongchoice{$\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210914metropolecandidatslibresj2}{
		\begin{question}{bac20210914metropolecandidatslibresj2q4}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			Une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite $\Delta$ est :
			\begin{choiceshoriz}
				\wrongchoice{$x - 2y + 4z - 6 = 0$.}
				\correctchoice{$2x + y - z + 1 = 0$.}
				\wrongchoice{$2x + y - z- 1 = 0$.}
				\wrongchoice{$y + 2z - 5 = 0$.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}
	
	\element{bac20210914metropolecandidatslibresj2}{
		\begin{question}{bac20210914metropolecandidatslibresj2q5}
			\bareme{e=-1,v=0,b=2,m=-1}
			On considère le point D défini par la relation vectorielle $\overrightarrow{\text{OD}} = 3\overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OC}}$.
			\begin{choiceshoriz}
				\correctchoice{$\overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}$ coplanaires.}
				\wrongchoice{$\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}$.}
				\wrongchoice{D a pour coordonnées $(3~;~-1~;~-1)$.}
				\wrongchoice{les points A, B, C et D sont alignés.}
			\end{choiceshoriz}
		\end{question}
	}

\begin{notabene}
	\section{Exemple.}
\end{notabene}

	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	% Exemple
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	\element{histoire}{
		\begin{questionmult}{Nantes}
			What can be said about the \emph{Édit de Nantes}?
			\begin{choices}
				\correctchoice{It was signed in 1598}
				\correctchoice{Il has been revoked by Louis XIV}
				\wrongchoice{It was signed by Henri II}
			\end{choices}
		\end{questionmult}
	}

\begin{notabene}
	\section{Mise en page.}
\end{notabene}

	%%% Détail de ce qui doit apparaître sur les feuilles.
	
	%Nombre de copies après \onecopie{}
	\onecopy{1}{
		
		%%% Entête de page avec numéro étudiant et nom et prénom:
		
		\begin{minipage}{.4\linewidth}
			\AMCcodeH{codetu}{4}\hspace*{\fill}
		\end{minipage}
		\quad \champnom{
			\fbox{
				\begin{minipage}{.45\linewidth}
					Numéro identifiant:
					
					\vspace*{.5cm}\dotfill
					\vspace*{4mm}
				\end{minipage}
			}
		}
		
		%%% fin de l'entête
		
		% Titre du qcm
		
		\begin{center}
			\hrule\vspace{2mm}
			\bf\Large Exercices de Q.C.M. de bac.
			\vspace{2mm}\hrule
		\end{center}
		
		% Appel des différents groupes de questions.
				
\section{2023 Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023.}

	%2023 Métropole, Antilles-Guyane sujet 1 20 mars 2023
	
	Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.
	
	On sait que :
	
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]20\,\% des machines sont sous garantie;
		\item[$\bullet~~$]0,2\,\% des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie;
		\item[$\bullet~~$]8,2\,\% des machines sont défectueuses.
	\end{itemize}
	
	\smallskip			
	Le technicien teste une machine au hasard.
	
	\smallskip
	On considère les évènements suivants :
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$G$: \og la machine est sous garantie \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$]$D$: \og la machine est défectueuse\fg{} ;
		\item[$\bullet~~$]$\overline{G}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $G$ et $D$.
	\end{itemize}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230320metropolej1partie1} 
	
	On choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l'entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul. 
	
	On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.
	
	On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230320metropolej1partie2} 
	
		
\section{2023 Métropole, Antilles-Guyane sujet 2 21 mars 2023.}
	
	%2023 Métropole, Antilles-Guyane sujet 2 21 mars 2023
	
	Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux \og mondes \fg : soit le monde A, soit le monde B.
	On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
	
	Lorsqu'il joue une partie, on admet que:
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à  $\dfrac25$ ;
		\item[$\bullet~~$] si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu'il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
		\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.
	\end{itemize}
	
	On considère les évènements suivants : 
	
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le joueur choisit le monde A \fg{}; 
		\item[$\bullet~~$] $B$ : \og Le joueur choisit le monde B \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$] $G$ : \og Le joueur gagne la partie \fg.
	\end{itemize}
	
	\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
		On sait donc que $P(A)=\dfrac{2}{5}$, $P_{A}(G)=\dfrac{7}{10}$ et $P(G)=\dfrac{12}{25}$.
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230321metropolej2partie1} 
	
	Dans la suite de l'exercice, un joueur effectue 10 parties successives. 
	
	On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. 
	
	On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230321metropolej2partie2} 


\section{2023 Centre étranger sujet 2 22 mars 2023.}
	
	Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 4\,\% des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
	
	On choisit au hasard $n$ pièces produites par la chaîne de fabrication. 
	
	Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. 
	
	On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.
	
	Dans les trois questions suivantes, on prend $n = 50$. 
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230322etrangerg2j2partie1}	
	
	Dans les questions suivantes, $n$ ne vaut plus nécessairement $50$.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230322etrangerg2j2partie2}	

\section{2023 Asie sujet 1 23 mars 2023.}
	
	
	Une urne contient 15 billes indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. 
	
	La bille numérotée 1 est rouge.
	
	Les billes numérotées 2 à 5 sont bleues.
	
	Les autres billes sont vertes.
	
	\medskip
	
	On choisit une bille au hasard dans l'urne.
	
	On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l'évènement : \og La bille tirée est rouge \fg{} (respectivement bleue et verte).
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230323asiej1partie1}	
	
	Un jeu est mis en place. Pour pouvoir jouer, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.
	
	Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l'urne.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille. 
		\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
		\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.
	\end{itemize}
	\smallskip
	
	On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il remporte et sa mise de départ. 
	
	Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée 3, alors son gain algébrique est $-1$ euro.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230323asiej1partie2}

\section{2023 Asie sujet 2 24 mars 2023.}
		
	On considère L une liste de nombres constituée de termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3, le dernier nombre de la liste est \np{2023} soit: 
	
	\begin{center}L = [7, 10, \ldots , \np{2023}].\end{center}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230324asiej2partie1}
	
	On rappelle qu'on choisit au hasard un nombre dans cette liste. 
	
	On s'intéresse aux évènements suivants :
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]Évènement $A$ : \og obtenir un multiple de 4 \fg
		\item[$\bullet~~$]Évènement $B$ : \og obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 6 \fg
	\end{itemize}
	
	Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l'arbre pondéré ci-dessous et on donne
	$p(A \cap B) = \dfrac{34}{673}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{4};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$A$/$\dfrac{168}{673}$/\posA,
			nA2/A2/2/$\overline{A}$//\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$B$//\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$\overline{B}$//\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$B$/$\dfrac{33}{505}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$\overline{B}$//\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, \position] {\ponderation};
		};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230324asiej2partie2}
	
\section{2023 Amérique du Nord sujet 1 27 mars 2023.}
	
	
	L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j},\vec{k} \right)$.
	
	On considère les points A$(-1~;~2~;~5)$,\quad B$(3~;~6~;~3)$,\quad C$(3~;~0~;~9)$\quad et \quad D$(8~;~-3~;~-8)$.
	
	On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230327ameriquedunordj1partie1}
	
\section{2023 La Réunion sujet 1 28 mars 2023.}
	
	On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$,
	\[u_{n+1} = \dfrac12u_n + \dfrac12n + 1.\]
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20230328lareunionj1partie1}
	
\section{2023 Nouvelle-Calédonie sujet 2 29 août 2023.}

	Les $200$ adhérents d'un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l'aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
			\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Aviron} &\textbf{Basket}&\textbf{Total}\\ \hline
			\textbf{Filles} &25& 80 &105\\ \hline
			\textbf{Garçons}& 50 &45& 95\\ \hline
			\textbf{Total}& 75& 125& 200\\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants:
	
	\begin{enumerate}[]
		\item $F$ : l'adhérent est une fille ;
		\item $A$ : l'adhérent pratique l'aviron.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\shufflegroup{bac20230829nouvellecaledoniej2partie1}
	\insertgroup{bac20230829nouvellecaledoniej2partie1}
		
\section{2022 Métropole Antilles-Guyane 12 mai 2022 sujet 2.}
	
	On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe de sa fonction dérivée $f'$ est donnée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-5.2};
		\def\yY{-2.6};
		\def\xZ{1};
		\def\yZ{1};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.25cm, ystep=0.25cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {-5,-4,...,-1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-2,-1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:0.36] plot(\x,{-(2*\x+1)* 2.71828^\x});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On admet que $f'$ admet un maximum en $- \dfrac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(- \dfrac12~;~0\right)$.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20220512metropolereunionguyanesujet2}

\section{2022 Centres étrangers groupe 1 18 mai 2022 sujet 1.}
	
	On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle ]0~;~2] par:
	
	\[h(x) = x^2(1 + 2\ln (x)).\]
	
	On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan. 
	
	On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0~;~2].
	
	On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.
	
	On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~2], on a : 
	
	\[h'(x) = 4x(1 + \ln (x)).\]
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20220518centresetrangersgroupe1sujet1}
	
\section{2022 Métropole, Antilles-Guyane 9 septembre 2022 sujet 2.}
	
	On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
	
	\[u_0 = 2,\: v_0 = 1 \:\: \text{et, pour tout entier naturel }\:\:n : \left\{\begin{array}{l c l}
		u_{n+1}&=&u_n + 3v_n\\
		v_{n+1}&=&u_n + v_n.
	\end{array}\right.\]
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20220909antillesguyanesujet2partie1}
	
	\medskip
	n considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l'intervalle $[-4~;~2]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la dérivée seconde de $f$.
	
	On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}'$ de la fonction dérivée $f'$ dans un repère du plan. On donne de plus les points A$(-2~;~0)$, B(1~;~0) et C(0~;~5).
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-3};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {-4,1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:1.45] plot(\x,{(\x +2)*(1-\x)*exp(0.5*\x )});
			\draw[blue] (-3,-2) node {$\mathcal{C}'$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.18:1.65] plot(\x,{5-5*\x});
			\draw (0,5) node {$\bullet$};
			\draw (0,5) node [left] {C};
			\draw (1,0) node {$\bullet$};
			\draw (1,0) node [above right] {B};
			\draw (-2,0) node {$\bullet$};
			\draw (-2,0) node [below right] {A};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20220909antillesguyanesujet2partie2}
	
\section{2022 Nouvelle-Calédonie 26 octobre 2022 sujet 1.}
	On considère un système de communication binaire transmettant des $0$
	et des $1$.
	
	Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
	
	En raison d'interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission:
	
	un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
	
	Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :
	
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] $E_0$ : \og le bit envoyé est un $0$ \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$] $E_1$ : \og le bit envoyé est un 1 \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$] $R_0$ : \og le bit reçu est un $0$\fg{} 
		\item[$\bullet~~$] $R_1$ : \og le bit reçu est un $1$ \fg.
	\end{itemize}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$E_0$/$\np{0,4}$/\posA,
				nA2/A2/2/$E_1$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$R_0$/$\dots$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$R_1$/$\np{0,01}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$R_0$/$\np{0,02}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$R_1$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	On sait que:
	
	$p\left(E_0\right) = 0,4 \:;\quad p_{E_0}\left(R_1\right) = 0,01 \:;\quad p_{E_1}\left(R_0\right) = 0,02$.
	
	On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
	
	On peut ainsi représenter la situation par l'arbre de probabilités ci-dessus.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie1}
	
	\medskip
	Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
	
	On admet que la probabilité qu'un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20221026nouvellecaledoniesujet1partie2}
	
\section{2022 Nouvelle-Calédonie 27 octobre 2022 sujet 2.}
	
	On considère deux suites $\left(v_n\right)$  et $\left(w_n\right)$ vérifiant la relation :  \[w_n = \mathrm{e}^{- 2v_n} + 2.\]
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20221027nouvellecaledoniesujet2}
	
\section{2021 15 mars 2021 sujet 1.}
	
	\begin{center}
		\begin{tikz-multi}
			\draw (0,0) -- (5,0) -- (8,1.8);
			\draw [dashed] (0,0) -- (8,1.8) -- (3,1.8) -- (0,0);
			\draw [dashed] (5,0) -- (3,1.8) -- (4,4) -- (4,0.95);
			\draw (0,0) -- (4,4) -- (5,0) -- (8,1.8) -- (4,4);
			\draw (0,0) node [below left] {D};
			\draw (5,0) node [below right] {C};
			\draw (8,1.8) node [above right] {B};
			\draw (3,1.8) node [above left] {A};
			\draw (4,4) node [above] {S};
			\draw (4,0.95) node [below] {I};
			\draw (2,2) node [above left] {K};
			\draw (4.5,2) node [above right] {L};
			\draw (6,2.9) node [above right] {M};
			\draw (2,2) node {$\times$};
			\draw (4.5,2) node {$\times$};
			\draw (6,2.9) node {$\times$};
		\end{tikz-multi}
	\end{center}
	
	SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
	
	Le point I est le centre du carré ABCD. 
	
	On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.
	
	Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210315sujet1partie1}
	
	\medskip
	Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \overrightarrow{\text{IC}},~\overrightarrow{\text{IB}},~\overrightarrow{\text{IS}}\right)$.
	
	Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:
	
	\[\text{I}(0~;~0~;~0) \quad;\quad \text{A}(-1~;~0~;~0) \quad;\quad \text{B}(0~;~1~;~0) \quad;\quad \text{C}(1~;~0~;~0)\quad; \quad\text{D}(0~;~-1~;~0) \quad;\quad \text{S}(0~;~0~;~1).\]
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210315sujet1partie2}
	
\section{2021 15 mars 2021 sujet 2.}
	
	Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d'un lecteur optique automatique de reconnaissance de l'adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 97\,\% des adresses ; le reste du courrier, que l'on qualifiera d'illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
	
	Cette machine vient d'effectuer la lecture de neuf adresses. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
	
	On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 9$ et $p = 0,03$.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210315sujet2partie1}
	
	\medskip
	Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.
	
	On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
	
	On considère les évènements suivants:
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] $V_1$ : \og la première boule tirée est verte \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$] $B_1$ : \og la première boule tirée est blanche \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$] $V_2$ : \og la seconde boule tirée est verte \fg{} ;
		\item[$\bullet~~$] $B_2$ : \og la seconde boule tirée est blanche \fg.
	\end{itemize}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210315sujet2partie2}
	
\section{2021 Métropole 7 juin 2021 (candidats libres).}
	
	Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
	\[ f(x) =\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x}\]
	
	On donne l'expression de la dérivée seconde $f''$ de $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:
	
	\[f''(x)=\dfrac {2 \mathrm{e}^{2x} (2x^2-2x+1)}{x^3}.\]
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210607metropolecandidatslibres}
	
\section{2021 Métropole 8 juin 2021 (candidats libres).}
	
	L'espace  est rapporté à un repère orthonormé $\left( 0; \vec{i}, \vec{j} \right)$. 
	
	On considère :
	
	\setlength\parindent{9mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}$ passant par les points A$(1~;~1~;~ -2)$ et B$(-1~;~3~;~2)$. 
		\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique :
		$\left\{\begin{array}{l c l}
			x &=& -4 +3t\\
			y&=&\phantom{-}6 - 3t\\
			z&=&\phantom{-}8 - 6t
		\end{array}\right.$\quad avec $t \in \mathbb{R}$.
		\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + my- 2z + 8 = 0$ où $m$ est un nombre réel.
	\end{itemize}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210608metropolecandidatslibres}

\section{2021 Métropole 13 septembre 2021 (candidats libres).}
	
	Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
	
	On notera $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	
	On donne les points A de coordonnées (0~;~5) et B de coordonnées (1~;~20). Le point C est le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ ayant pour abscisse $-2,5$.
	La droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
	
	\smallskip
	
	Les questions 1 à 3 se rapportent à cette même fonction $f$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale={1/5}]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{1.5};
			\def\yZ{22};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {5,10,15,20} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-5:0.6] plot(\x,{(10*\x +5)*exp(\x)});
			\draw[thick, dashed][samples=100,domain=-0.6:1] plot(\x,{15*\x +5});
			\draw[thick, dashed][samples=100,domain=-5:0] plot(\x,{-(0.82085*\x+3.694 )});
			\draw[blue] (0.6,19) node {$\mathcal{C}_f$};
			\draw (0,5) node [right] {A};
			\draw (1,20) node [right] {B};
			\draw(-2.5,-1.6417) node [below] {C};
			\draw (0,5) node {$\bullet$};
			\draw (1,20) node {$\bullet$};
			\draw (-2.5,-1.6417) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210913metropolecandidatslibresj1}

\section{2021 Métropole 14 septembre 2021 (candidats libres).}
	
	Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( \mathrm{O}; \vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)$, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
	
	$\left\{\begin{array}{l c r}
		x &=& 1 + 2t\\
		y &=& -2 + t\\ 
		z&=&4 - t
	\end{array}\right., t\, \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\insertgroup{bac20210914metropolecandidatslibresj2}
	
	\AMCcleardoublepage % si en recto verso pourrajouter des pages blanches afin d'en avoir un nombre pair
	%\clearpage % si seulement en recto
	
	}

	
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}