%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/baccalaureat_1ieme.html}{Bac 2020 1ieme 061.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Bac 2021 mathématiques première spécialité sujet public 061.}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La courbe ci-dessous $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$. Les droites $d$ et $d’$ sont respectivement les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points d’abscisses $1$ et $2$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.2};
			\def\yY{-2.2};
			\def\xZ{3.9};
			\def\yZ{2.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2, 3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-2,-1,1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
			\draw[ very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
			\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0.45:3.55] plot(\x,{(\x-1)*(\x-2)*(\x-3)});
			\draw[blue] (0.8,-1.8) node {$\mathcal{C}_f$};
			\draw [samples=100,domain=-0.1:2.1] plot(\x,{2*\x-2});
			\draw (2.2,1.6) node {$d$};
			\draw [samples=100,domain=-0.1:3] plot(\x,{-\x+2});
			\draw (0.8,1.6) node {$d'$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Les équations réduites de $d$ et $d’$ sont respectivement: \[ d:\ y=2x-2 \quad \text{et} \quad d':\ y=-x+2. \]
		
		Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Proposition }A:]
			\item $f'(1)=0$.
			
			\item $f'(2)=2$.
			
			\item $f'(2)=-1$.
			
			\item $f'(1)=-2$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse C.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $\displaystyle x \in \left[ \frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2} \right]$ tel que $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$.
		
		Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Proposition }A:]
			\item $\displaystyle \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
			
			\item $\displaystyle x =  \frac{\pi}{6}$.
			
			\item $\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
			
			\item $\displaystyle x=-\frac{7\pi}{6}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse A.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
		
		Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(3 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.1};
			\def\yY{-0.1};
			\def\xZ{4.4};
			\def\yZ{4.4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[above left,fill=white]{\small $0$};
			\draw (0,0)node[below right,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2, 3, 4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
			\draw[thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\times$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (A) at (3,4);
			\draw [blue] (A) node {$\times$};
			\draw [blue] (A) node [above right] {$A$};
			\coordinate (B) at (4,0);
			\draw [blue] (B) node {$\times$};
			\draw [blue] (B) node [above right] {$B$};
			\fill[color=orange , opacity=0.20] (O)--(A)--(B)--cycle;
			\draw [brown] (A) -- (B);
			\coordinate (H) at (3,0);
			\draw (H) node {$\times$};
			\draw (H) node [above right] {$H$};
			\draw (A) -- (H);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw [blue] (I) node {$\times$};
			\draw [blue] (I) node [below left] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw [blue] (J) node {$\times$};
			\draw [blue] (J) node [above right] {$J$};
			\draw [>=latex,->, very thick, red] (O) -- (A) node[midway, above] {$5$};
			\draw [>=latex,->, very thick, red] (O) -- (B) node[midway, above left] {$4$};
			\def\car{0.5};
			\fill[color=OliveGreen!70 , opacity=0.40] ({3},{\car})-- ({3-\car},{\car})-- ({3-\car},{0}) -- ({3},{0}) -- cycle;
			\draw[color=OliveGreen!70] ({3},{\car})-- ({3-\car},{\car})-- ({3-\car},{0});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Proposition }A:]
			\item $\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OB} = 20$.
			
			\item $\displaystyle \sin \left( \widehat{AOB} \right) = \frac{\sqrt{17}}{5}$.
			
			\item $\displaystyle \cos \left( \widehat{AOB} \right) = \frac{4}{5}$.
			
			\item $\displaystyle \sin \left( \widehat{AOB} \right) = \frac{4}{5}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse C.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
		
		Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est: $3x + 2y-10 = 0$.
		
		Une équation cartésienne de la droite $d’$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1 ; 2)$ est:
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Proposition }A:]
			\item $3x+2y-7=0$.
			
			\item $2x+3y-8=0$.
			
			\item $2x-3y+4=0$.
			
			\item $3x-2y+1=0$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse C.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(O,I,J)$ un repère orthonormé du plan.
		
		Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(1;2)$ et $(5;-2)$.
		
		Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre $[AB]$ est:
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Proposition }A:]
			\item $x^2+y^2-8x-2y+7=0$.
			
			\item $(x-1)^2+(y-2)^2=32$.
			
			\item $x^2+y^2-4x+2y-5=0$.
			
			\item $x^2+y^2-6x+1=0$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse D.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
	
	Le choix n'étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu'à une hauteur de $1,60$ mètre et continue de rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.
	
	\medskip
	On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $h_n)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur , exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner $h_1$ et $h_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $h_1$.}
			
			La balle rebondi à $\frac{4}{5}$ de la hauteur précédente donc:
			
			\begin{align*}
				h_1 &= \frac{4}{5} \times h_0\\
				&= \frac{4}{5} \times 2\\
				&= 1,6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$h_1=1,6\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De même: $h_2= \frac{4}{5} \times h_1$, et donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$h_2= 1,28\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En raisonnant comme à la question précédente:
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $n \in \mathbb{N},\ h_{n+1}= \frac{4}{5} h_n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la nature de la suite  $(h_n)$. On précisera sa raison et son premier terme.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la formule de récurrence obtenue à la question précédente:
			
			\begin{conclusion}
				
				$(h_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique de terme initial $h_0=1,6$ et de raison $q=\frac{4}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le sens de variation de la suite $(h_n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le sens de variation de $(h_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
			
			{\color{orange}Nous pourrions arguer de ce que $(h_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique positive et de raison $q \in ]0;1[$ donc strictement décroissante mais nous allons le démontrer.}
			
			\medskip
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
				h_{n+1}-h_n &= qh_n-h_n\\
				&= \frac{4}{5}\times {\color{orange}h_n}- 1 \times {\color{orange}h_n}\\
				&= (\frac{4}{5}-1) \times {\color{orange}h_n}
			\end{align*}
			
			$h_n$ désignant une hauteur c'est un nombre positif par contre $\frac{4}{5}-1<0$ donc $h_{n+1}-h_n<0$.
			
			Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $h_{n+1}<h_n$. Autrement dit
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( h_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20\ \mathrm{cm}$. Expliquer la démarche employée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $N$.}
		
		{\color{WildStrawberry}La méthode la plus élémentaire consiste à calculer les premiers termes de $(h_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de proche en proche grâce à la formule de récurrence jusqu'à obtenir moins que $0,2$.}
		
		\medskip
		{\color{WildStrawberry}Puisque $(h_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de terme initial $h_0=1,6$ et de raison $\frac{4}{5}$, son terme général est $h_n=\left( \frac{4}{5} \right)^n \times 1,6$. Nous entrons cette formule (en remplaçant $n$ par $X$) dans la calculatrice et nous consultons le tableau de valeur.}
		
		\medskip
		Nous remarquons que $h_9 \approx 0,214748$ et $h_{10} \approx 0,171798$.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			il faut au minimum $10$ rebonds pour que la hauteur lors d'un rebond soit inférieure à $20\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert: un assortiment de macarons et une part de tarte tatin. Des études statistiques montrent que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item l’assortiment de macarons est choisi par $50\ \%$ des clients;
		
		\item la part de tarte tatin, est choisie par $30\ \%$ des clients;
		
		\item $20\ \%$ des clients ne prennent pas de dessert;
		
		\item aucun client ne prend plusieurs desserts.
		
	\end{enumerate}
	
	Le restaurateur a remarqué que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, $80\ \%$ prennent un café;
		
		\item parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, $60\ \%$ prennent un café;
		
		\item parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90\ \%$ prennent un café.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On interroge au hasard un client de ce restaurant.
	
	On note les événements suivants:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $M$: \og Le client prend un assortiment de macarons \fg{};
		
		\item $T$: \og Le client prend une part de tarte tatin \fg{};
		
		\item $P$: \og Le client ne prend pas de dessert\fg{};
		
		\item $C$: \og Le client prend un café \fg{} et $\overline{C}$ l’événement contraire de $C$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de $P(T)$ probabilité de $T$ et celle de $P_T(C)$ probabilité de l’évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après l'énoncé:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(T)=\frac{30}{100}$ et $\mathbb{P}_T(C)= \frac{60}{100}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et compléter l’arbre ci-dessous:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$M$/$\np{0,5}$/\posA,
				nA2/A2/2/$T$//\posB,
				nA3/A3/3/$P$//\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$C$//\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{C}$//\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$C$//\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{C}$//\posB,
				nA3/nB5/B5/5/$C$//\posA,
				nA3/nB6/B6/6/$\overline{C}$//\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$M$/$\np{0,5}$/\posA,
				nA2/A2/2/$T$/$\np{0,3}$/\posB,
				nA3/A3/3/$P$/$\np{0,2}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$C$/$\np{0,8}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{C}$/$\np{0,2}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$C$/$\np{0,6}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{C}$/$\np{0,4}$/\posB,
				nA3/nB5/B5/5/$C$/$\np{0,9}$/\posA,
				nA3/nB6/B6/6/$\overline{C}$/$\np{0,1}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer par une phrase ce que représente l'événement $M \cap C$ puis calculer $P(M \cap C)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$M\cap C$: \og le client à choisi un assortiment de macarons puis à pris un café\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}( M \cap C)$.}
			
			$\mathbb{P}(M)>0$ donc, d'après la formule des probabilités composées:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(M \cap C) & = \mathbb{P}(M) \times \mathbb{P}_M(C)\\
				&= 0,5 \times 0,8
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M \cap C)=0,4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Montrer que $P(C)=0,76$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
			
			$\{ M; T ; P \}$ est un système complets d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(C) &= \mathbb{P}(M \cap C) + \mathbb{P}(T \cap C) + \mathbb{P}(P \cap C)\\
				\intertext{D'après la formule des probabilités composées:}
				\mathbb{P}(C) & = \mathbb{P}(M) \times \mathbb{P}_M(C) + \mathbb{P}(T) \times \mathbb{P}_T(C) + \mathbb{P}(P) \times \mathbb{P}_P(C)\\
				&= 0,5 \times 0,8 + 0,3 \times 0,6 + 0,2 \times 0,9
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(C)=0,76$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café? (\emph{On donnera le résultat arrondi au centième}).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_C(M)$.}
		
		Par définition
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_C(M) &= \frac{\mathbb{P}(C \cap M)}{\mathbb{P}(C)}\\
			&= \frac{0,4}{0,76}\\
			\intertext{En tronquant au millième:}
			\mathbb{P}_M(C) &\approx 0,526
		\end{align*}
		
		Donc, en arrondissant au centième:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_C(M) \approx 0,53$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Une entreprise vend des smartphones d’un seul modèle \og haut de gamme \fg{}.
	
	Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle \og haut de gamme \fg{} vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par $N(x) = 100\mathrm{e}^{-2x}$ où:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $x$ est le prix de vente \textbf{en milliers d’euros} d’un smartphone modèle \og haut de gamme \fg{}. Le prix du smartphone modèle \og haut de gamme \fg{} est compris entre $400\ \text{\euro}$ et $\np{2000}\ \text{\euro}$; on a donc $x \in [0,4 ; 2]$.
		
		\item $N(x)$ est le nombre de smartphones modèle \og haut de gamme \fg{} vendus trimestriellement en \textbf{millions d’unités}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle \og haut de gamme \fg{} à $\np{1000}\ \text{\euro}$, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement?
		
		On arrondira le résultat à mille unités.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $N(1)$.}
		
		\begin{align*}
			N(1) &= 100\mathrm{e}^{-2 \times 1}\\
			&= 100 \mathrm{e}^{-2}\\
			\intertext{En tronquant au cent-mmilième:}
			N(1) &\approx 13,53352\\
			\intertext{Donc en arrondissant au millième:}
			N(1) &= 13,534
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'entreprise, si le prix est fixé à $1000\ \text{\euro}$, vend, trimestriellement, $13,534$ millions de téléphones.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle \og haut de gamme \fg{} vendus par le prix de vente. On obtient $R(x) = x \times N(x)$ en \textbf{milliards d’euros}.
	
	Le coût de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones modèle \og haut de gamme \fg{} fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x) = 0,4\times N(x)$ où $x$ est le prix de vente \textbf{en milliers d’euros}.
	
	Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à $8,120$ milliards d’euros pour un prix de vente $\np{1000}\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $B(x)=R(x)-C(x)$ le bénéfice.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $B(1)$.}
		
		\begin{align*}
			B(1) &= R(1)-C(1)\\
			&= 1 \times N(1) - 0,4 \times N(1)\\
			&\approx 100\mathrm{e}^{-2}-0,4 \times 100 \mathrm{e}^{-2}\\
			&= 60 \mathrm{e}^{-2}\\
			\intertext{En tronquant au dix-millième:}
			B(1) &\approx 8,1201
		\end{align*}
		
		En arrondissant au millième:
		
		\begin{conclusion}
			
			$B(1) \approx 8,120$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le bénéfice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d’euros par: $B(x) = (100x-40) \mathrm{e}^{-2x}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $B(x)$.}
		
		Soit $x \in [0,4;2]$.
		
		\begin{align*}
			B(x) &= R(x)-C(x)\\
			&= x \times N(x) -0,4 \times N(x)\\
			&= x \times 100 {\color{orange}\mathrm{e}^{-2x}}-0,4 \times 100 {\color{orange}\mathrm{e}^{-2x}}\\
			&= (x \times 100-0,4 \times 100) \times {\color{orange}\mathrm{e}^{-2x}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in \mathbb{R},\ B(x)= (100x-40)\mathrm{e}^{-2x}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que pour tout réel $x \in [0,4 ; 2]$, $B'(x) = (180-200x )\mathrm{e}^{-2x}$.
		
		Étudier les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0,4 ; 2]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions les variations de $B$.}
		
		$\mathrm{e}^{-2x}>0$, pour tout $x\in\mathbb{R}$, donc $B'$ est du même signe que $h:x \mapsto 180-200x$.
		
		\medskip
		$h$ est une fonction affine avec $a=-200$ et $b=180$. $a<0$ donc $h$ est strictement décroissante. $h$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{180}{-200}=0,9$. Nous en déduisons le signe de $h$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.8, deltacl=0.9]{$x$ /0.8, $180-200x$ /0.8, $B$ /1.6}
			{$\np{0,4}$ ,$\np{0,9}$, $2$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $50\mathrm{e}^{-\np{1,8}}$ , - / $160\mathrm{e}^{-4}$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après le tableau de variation précédent
		
		\begin{conclusion}
			
			pour que le bénéfice soit maximal les téléphones doivent être vendus $900\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}