%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/baccalaureat_1ieme.html}{Bac 2020 1ieme 037.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Bac 2021 mathématiques première spécialité sujet public 037.}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que:
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\cos(x)=\sin(x)$.
			
			\task $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$.
			
			\task 
			$\sin(\pi +x)=\sin(\pi-x)$.
			
			\task $\cos \left( \frac{\pi}{2}+x \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} -x \right)$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse b).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les solutions dans l'intervalle $[0;2\pi[$ de l'équation $\sin(x)= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont:
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$.
			
			\task $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
			
			\task $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
			
			\task $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse a).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère $ABCD$ un carré direct dans lequel on construit un triangle $ABE$ équilatéral direct.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\xA{1};
				\def\yA{1};
				\def\AB{3};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA+\AB});
				\draw (C) node [above right] {$C$};
				\coordinate (D) at ({\xA},{\yA+\AB});
				\draw (D) node [above left] {$D$};
				\coordinate (E) at ({\xA+\AB/2},{\yA+sqrt(3)*\AB/2});
				\draw (E) node [right] {$E$};
				\draw (A) -- (E) -- (B) -- (C) -- (D) -- (A) -- (B);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
	
		On note $AB=a$.
		
		On peut alors affirmer que:
		
		\begin{tasks}(2)			
			\task $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}a^2$.
			
			\task $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = a^2$.
			
			\task $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}a^2$.
			
			\task $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = -a^2$.
							
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse c).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs. On peut affirmer que:
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\vec u \cdot \vec v=0$.
			
			\task $\vec u \cdot \vec v= -\vec v \cdot \vec u$.
			
			\task $\vec u \cdot \vec u= \frac{1}{2} \|\vec u \|^2$.
			
			\task $\| \vec u + \vec v \| = \| \vec u \|^2 + \| \vec v \|^2+2 \vec u \cdot \vec v$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse d).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $n$ un entier naturel.
		
		On cherche à exprimer en fonction de $n$ la somme suivante: \[ S=1-2+4-8+16-32+ \dots + (-2)^n. \]
		
		On peut affirmer que:
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\displaystyle S= \frac{1+(-2)^n}{2} \times (n+1)$.
			
			\task $S$ est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison $(-2)$.
			
			\task $\displaystyle S= \frac{1-(-2)^n}{1-2}$.
			
			\task $\displaystyle S= \frac{1}{3} \left( 1-(-2)^{n+1} \right)$.
			
		\end{tasks}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Réponse d).
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Un magasin effectue des promotions avant sa liquidation définitive, chaque semaine les prix des articles sont diminués de $10\ \%$ par rapport à la semaine précédente.
	
	\smallskip
	Un manteau coûte $200\ \text{\euro}$ avant le début de la liquidation, on pose $u_0=200$ et on note $u_n$ son prix lors de la $n$-ième semaine de liquidation.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer les termes $u_1$ et $u_2$ de la suite $(u_n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $u_1$.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $10\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			q &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{-10}{100}\\
			&= 0,9
		\end{align*}
		
		Donc après la première semaine le prix de l'article devient
		
		\begin{align*}
			u_1 &= q \times u_0\\
			&= 0,9 \times 200
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_1=180$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $u_2$.}
		
		Comme précédemment:
		
		\begin{align*}
			u_2 &= q \times u_1\\
			&= 0,9 \times 180
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_2=162$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 200$ dont on précisera la raison et exprimer le terme général de la suite $(u_n)$ en fonction de $n$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la nature de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		En raisonnant comme à la question précédente nous remarquons que, quelque soit $n \in \mathbb{N}$: \[ u_{n+1}=qu_n. \]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique de terme initial $u_0=200$ et de raison $q=0,9$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le terme général de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}
		
		Puisque $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de rang initial $0$ et de raison $q$, pour tout $n \in\mathbb{N}$: \[ u_n=u_0\times q^n. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in \mathbb{N},\ u_n=200 \times 0,9^n$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La liquidation dure $12$ semaines, déterminer le prix du manteau à la fin de la liquidation s’il est toujours en vente. On donnera le résultat arrondi au centime.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $u_{12}$.}
		
		\begin{align*}
			u_{12} &= 200 \times q^{12}\\
			&\approx 56,485907
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_{12}\approx 56,49$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la fonction suivante, écrite en langage Python:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{5cm}
				\lstset{emph={seuil}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,n,x}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def seuil(x):
    u=200
    n=0
    while ..........:
        u=..........
        n=..........
    return n
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Recopier et compléter sur la copie la fonction afin qu’elle renvoie le nombre de semaines nécessaires pour que le terme général de la suite $(u_n)$ soit inférieur au nombre réel $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{4cm}
				\lstset{emph={seuil}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]u,n,x}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def seuil(x):
    u=200
    n=0
    while u>x:
        u=0.9*u
        n=n+1
    return n
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une personne décide d’acheter le manteau dès que son prix sera inférieur à $100\ \text{\euro}$. Combien de semaines devra-t-elle attendre?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le temps d'attente nécessaire.}
		
		$u_6 \approx 106,29$ et $u_7\approx 95,66$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Elle devra attendre $7$ semaines.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Afin d’établir les liens entre le surpoids et l’alimentation, on interroge les enfants des écoles primaires d’une ville.
	
	\medskip
	L'enquête révèle que $60\ \%$ des enfants boivent $1$ boisson sucrée ou plus par jour.
	
	Parmi les enfants buvant $1$ boisson sucrée ou plus par jour, un enfant sur $8$ est en surpoids, contre seulement $8\ \%$ pour les enfants buvant moins d'une boisson sucrée par jour.
	
	\medskip
	On choisit un enfant au hasard parmi les enfants des écoles primaires de la ville et on considère les événements suivants:
	
	\smallskip
	$B$: \og l'enfant boit $1$ boisson sucrée ou plus par jour\fg{},
	
	$S$: \og l'enfant est en surpoids\fg{}.
	
	\medskip
	Les événements contraires de $B$ et de $S$ sont notés respectivement $\overline{B}$ et $\overline{S}$.
	
	Pour tous événements $A$ et $B$, avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que $P_B(S)=0,125$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\mathbb{P}_B(S)$ désigne la probabilité qu'un enfant soit en surpoids sachant qu'il boit une boisson sucrée ou plus par jour.
		
		Or d'après l'énoncé parmi les enfants buvant une boisson sucrée ou plus par jour, un enfant sur $8$ est en situation de surpoids donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_B(S)=\frac{1}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représenter la situation par un arbre pondéré.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{3};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{3+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$B$/$\np{0,6}$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{B}$/$\np{0,4}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$S$/$\np{0,125}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{S}$/$\np{0,875}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$S$/$\np{0,08}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{S}$/$\np{0,92}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $P(B \cap S)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B \cap S)$.}
		
		$\mathbb{P}(B)>0$ donc, d'après la formule des probabilités composées:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B \cap S) &= \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}_B(S)\\
			&= 0,6 \times 0,125
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B \cap S)=0,075$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité que l'enfant soit en surpoids.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S)$.}
		
		$\{ B, \overline{B} \}$ est un système complet d'événements, donc, d'après la formule des probabilités totales:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(S) &= \mathbb{P}(S\cap B) + \mathbb{P}(S \cap \overline{B})\\
			\intertext{D'après la formule des probabilités composées (car $\mathbb{P}(\overline{B})>0$)}
			\mathbb{P}(S) &= \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}_B(S) + \mathbb{P}(\overline{B}) \cdot \mathbb{P}_{\overline{B}}(S)\\
			&= 0,6 \times 0,125 + 0,4 \times 0,08
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(S)= 0,107$.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a choisi un enfant en surpoids. Quelle est la probabilité qu'il boive $1$ boisson sucrée ou plus par jour? On arrondira le résultat au millième.
				
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_S(B)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_S(B) &= \frac{\mathbb{P}(S \cap B)}{\mathbb{P}(S)}\\
			&= \frac{0,075}{0,107}\\
			&= \frac{75}{107}\\
			&\approx 0,7009345
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_S(B)\approx 0,7001$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-4; 3]$ par \[ f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 20.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4; 4]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	
	\medskip
	La courbe représentative de la fonction $f$, notée $C$, est tracée dans le repère ci-dessous. La droite $T$ tracée dans le repère est la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $0$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.3]
		\def\xY{-4.5};
		\def\yY{-26.5};
		\def\xZ{3.5};
		\def\yZ{9.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-26,-24,...,-2,2,4,6,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:3] plot(\x,{\x*\x*\x+3*\x*\x-9*\x-20});
		\draw[blue] (-4,0) node {$\bullet$};
		\draw[blue] (3,7) node {$\bullet$};
		\draw[blue] (-4.2,2) node {$C$};
		\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=-3.3:0.7] plot(\x,{-26/3*\x-20});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer graphiquement les extrema de la fonction $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.3]
			\def\xY{-4.5};
			\def\yY{-26.5};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{9.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-26,-24,...,-2,2,4,6,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:3] plot(\x,{\x*\x*\x+3*\x*\x-9*\x-20});
			\draw[blue] (-4,0) node {$\bullet$};
			\draw[blue] (3,7) node {$\bullet$};
			\draw[blue] (-4.2,2) node {$C$};
			\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=-3.3:0.7] plot(\x,{-26/3*\x-20});
			\draw [red, dashed, very thick] (0,7) -- (-3,7) -- (-3,0);
			\draw [red, dashed, very thick] (0,7) -- (3,7) -- (3,0);
			\draw [orange, dashed, very thick] (0,-25) -- (1,-25) -- (1,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ admet un maximum égale à $7$ qui est atteint en $-3$ et en $3$.
			
			$f$ admet un minimum égale à $-25$ qui est atteint en $1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l'expression de $f'(x)$ sur $[-4;4]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $f'$.}
		
		$f$ est une fonction polynomiale donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et 
		
		\begin{conclusion}
			
			pour tout $x$ réel: $f'(x)= 3x^2+6x-9$.
			
		\end{conclusion}
		
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudier le signe de $3x^2+6x-9$ en fonction de $x$ sur $[-4;4]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions le signe de $f'$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f'$ est un trinôme avec $a=3$, $b=6$ et $c=-9$.
			
			\item On vérifie aisément que les valeurs graphiquement correspondent effectivement à de racines de $f'$ {\color{WildStrawberry}(théorème de Fermat)}: $f'(-3)=0$ et $f'(1)=0$.
			
			\item Comme un trinôme est du signe de son coefficient dominant (ici $a>0$) sauf entre les racines:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-4$ , $-3$, $1$, $3$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$ et retrouver les résultats de la question 1.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-4$ , $-3$, $1$, $3$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $7$ , - / $-25$, +/ $7$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l'équation réduite de la droite $T$, tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'équation réduite de $T$.}
		
		L'équation de la tangente est
		
		\begin{align*}
			y &= f'(a)(x-a)+f(a)\\
			y &= f'(0) (x-0)+ f(0)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$T:\ y=-9x-20$.
			
		\end{conclusion}	
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/A1/1/$2^0$/,
		nA2/A2/2/$2^1$/
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}
		
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/A1/1/$2^0$/,
		nA2/A2/2/$2^1$/,
		nA3/A3/3/$2^2$/
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}