%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/baccalaureat_1ieme.html}{Bac 2020 1ieme 012.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Bac 2021 mathématiques première spécialité sujet public 012.}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule
	des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une
	mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève
	aucun point.
	Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la
	réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la forme factorisée de $f(x)=0,5(x-2)^2-8$?
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $0,5x^2-2x-6$;
			
			\task $0,5(x-6)(x+2)$;
			
			\task $0,5(x+10)(x-6)$;
			
			\task $0,5(x-10)(x+6)$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{conclusion}
			
			Réponse b).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=0,5$ telle que $u_{10}=-4$. Quelle est la valeur du terme $u_2$?
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $8$;
			
			\task $0$;
			
			\task $-10$;
			
			\task $-8$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse d).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \ne -2$ par: $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$.
		
		Parmi les expressions suivantes, laquelle définit la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}\setminus \{ -2 \}$?
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $f'(x)=-\dfrac{5}{(x+2)^2}$;
			
			\task $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$;
			
			\task $f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}$;
			
			\task $f'(x)=2$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse b).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$. Laquelle de ces équations est une équation cartésienne de la droite $\Delta$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et passant par le point $A(-1;3)$?
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $2x-y+1=0$;
			
			\task $-x+2y-7=0$;
			
			\task $x+2y+1=0$;
			
			\task $-2x-y+1=0$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse d).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$. Parmi ces propositions, quelle est l'équation cartésienne du cercle de centre $A(2;4)$ et de rayon $3$?
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $(x-2)^2+(y-4)^2=3$;
			
			\task $(x+2)^2+(y+4)^2=9$;
			
			\task $x^2+y^2-4x-8y+11=0$;
			
			\task $x^2+y^2+11=0$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse b).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Aujourd'hui les chardons (une plante vivace) ont envahi $300\ \mathrm{m}^2$ des champs d'une région. Chaque semaine, la surface envahie augmente de $5\ \%$ par le développement des racines, auquel s'ajoutent $15\ \mathrm{m}^2$ suite à la dissémination des graines.
	
	Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface envahie par les chardons, en $\mathrm{m}^2$, après $n$ semaines; on a donc $u_0=300\ \mathrm{m}^2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $u_1$ et $u_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $u_1$.}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $5\ \%$ est 
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+\frac{t}{100}\\
				&= 1 + \frac{5}{100}\\
				&= 1,05
			\end{align*}
			
			Donc la surface envahie par le développement des racines après une semaine est $u_0 \times 1,05$. En tenant compte de la dissémination des graines la surface envahie est 
			
			\begin{align*}
				u_1 &= u_0 \times 1,05 +15\\
				&= 300 \times 1,05 +15
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$u_1=330\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De même
			
			\begin{align*}
				u_2 &= 1,05 \times u_1+15\\
				&= 1,05 \times 330+15
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$u_2= 361,5\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la suite $(u_n)$ ainsi définie, n'est ni arithmétique ni géométrique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas arithmétique.}
			
			\begin{align*}
				u_1-u0 &= 330-300\\
				&= 30
				\intertext{et}
				u_2-u_1 &= 361,5-330 \\
				&= 31,5
			\end{align*}
			donc: $u_1-u_0 \ne u_2-u_1$. Par conséquent
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas arithmétique.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Montrons que $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas géométrique.}
			
			\begin{align*}
				\frac{u_1}{u_0} &= \frac{330}{300}\\
				&= 1,1 \frac{}{}\\
				\intertext{et}
				\frac{u_2}{u_1} &= \frac{361,5}{330}\\
				&= \frac{241}{220}
			\end{align*}
			donc: $\frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1}$. Par conséquent:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas géométrique.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,05u_n+15$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la suite $(v_n)$, définie pour tout entier naturel $n$, par: $v_n=u_n+300$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $v_0$, puis montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,05$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $v_0$.}
			
			$v_0 = u_0+300=300+300$
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_0=600$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Montrons que $\left( v_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
				v_{n+1} &= u_{n+1}+300\\
				&= 1,05u_n+15 +300\\
				&= 1,05 (u_n+300)\\
				&= 1,05 v_n
			\end{align*}
			
			Ainsi, pour tout entier naturel $n$: $u_{n+1}=1,05u_n$. Autrement dit
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( v_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une géométrique de raison $q=1,05$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n=600 \times 1,05^n-300$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le terme général de $\left( v_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$.}
			
			Puisque $\left( v_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique de terme initial $v_0=600$ et de raison $a1,05$ donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$:
			
			\begin{align*}
				v_n &= q^n \times v_0
			\end{align*}
			
			Autrement dit
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=1,05^n \times 600$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons le terme général de $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			Par construction $v_n=u_n+300$. Donc
			
			\begin{align*}
				u_n &= v_n-300
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=1,05^n \times 600 -300$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Est-il correct d'affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de $8$ semaines? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $u_8$.}
		
		\begin{align*}
			u_8 &= 1,05^8 \times 600 -300\\
			&\approx 586,4732
		\end{align*}
		
		$2 \times 300> u_8$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la surface envahie par les chardons n'aura pas doublé au bout de $8$ semaines.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Dans la figure ci-dessous on a tracé $\mathscr{C}_f$, la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ ainsi que les tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points d'abscisses $-2$, $-1$ et $0$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-4.5};
		\def\yY{-2.5};
		\def\xZ{3.5};
		\def\yZ{6.7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {-2,-1,1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{$y$};
		\draw[blue, very thick][samples=100,domain=-2.73:0.97] plot(\x,{\x*\x*\x+3*\x*\x+2*\x+1});
		\draw[blue] (1.2,5.5) node {$\mathscr{C}_f$};
		\foreach \abs/\ord in { -2/1, -1/-1, -1/1, -1/3, 0/0, 0/1, 1/3} \draw ({\abs},{\ord}) node {$\times$};
		\draw[red][samples=100,domain=-3.72:0.81] plot(\x,{2*\x+5});
		\draw[red][samples=100,domain=-4.5:2.45] plot(\x,{-\x});
		\draw[red][samples=100,domain=-1.72:2.81] plot(\x,{2*\x+1});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-1$ & $0$
				\\
				\hline
				$f(x)$ & &
				\\
				\hline
				$f'(x)$ & &
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Par lecture graphique:
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-4.5};
			\def\yY{-2.5};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{6.7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-2,-1,1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{$y$};
			\draw[blue, very thick][samples=100,domain=-2.73:0.97] plot(\x,{\x*\x*\x+3*\x*\x+2*\x+1});
			\draw[blue] (1.2,5.5) node {$\mathscr{C}_f$};
			\foreach \abs/\ord in { -2/1, -1/-1, -1/1, -1/3, 0/0, 0/1, 1/3} \draw ({\abs},{\ord}) node {$\times$};
			\draw[red][samples=100,domain=-3.72:0.81] plot(\x,{2*\x+5});
			\draw[red][samples=100,domain=-4.5:2.45] plot(\x,{-\x});
			\draw[red][samples=100,domain=-1.72:2.81] plot(\x,{2*\x+1});
			\draw [Violet, very thick, dashed] (-1,0) -- (-1,1) -- (0,1);
			\draw [Green, very thick, dashed] (0,0) -- (0,1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		donc pour les images
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-1$ & $0$
				\\
				\hline
				$f(x)$ & $\color{Violet}1$ & $\color{Green}1$
				\\
				\hline
				$f'(x)$ & &
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-4.5};
			\def\yY{-2.5};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{6.7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-2,-1,1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{$y$};
			\draw[blue, very thick][samples=100,domain=-2.73:0.97] plot(\x,{\x*\x*\x+3*\x*\x+2*\x+1});
			\draw[blue] (1.2,5.5) node {$\mathscr{C}_f$};
			\foreach \abs/\ord in { -2/1, -1/-1, -1/1, -1/3, 0/0, 0/1, 1/3} \draw ({\abs},{\ord}) node {$\times$};
			\draw[red][samples=100,domain=-3.72:0.81] plot(\x,{2*\x+5});
			\draw[red][samples=100,domain=-4.5:2.45] plot(\x,{-\x});
			\draw[red][samples=100,domain=-1.72:2.81] plot(\x,{2*\x+1});
			\draw [orange, very thick, >=latex, ->] (-1,1) -- (0,1) -- (0,0);
			\draw [WildStrawberry, very thick, >=latex, ->] (0,1) -- (1,1) -- (1,3);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}	
		
		et pour les antécédents
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-1$ & $0$
				\\
				\hline
				$f(x)$ & $\color{Violet}1$ & $\color{Green}1$
				\\
				\hline
				$f'(x)$ & $\color{orange}-1$ & $\color{WildStrawberry}2$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
		
	On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f(x)= x^3+3x^2+2x+1. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f'$.}
			
			$f$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $x$ réel $f'(x) = 3 x^2+6 x+2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $f'(x)=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons $f'(x)=0$.}
			
			$f'$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=3$, $b=6$ et $c=2$.
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2-4ac\\
				&= 6^2-4 \times 3 \times 2\\
				&= 12
			\end{align*}
			
			$\Delta >0$ donc $f'$ admet deux racines réelles distinctes:
			
			\begin{align*}
				x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 \times a}\\
				&= \frac{-6 - \sqrt{12}}{2 \times 3}\\
				&= -1-\frac{\sqrt{3}}{3}
			\end{align*}
			
			et
			
			\begin{align*}
				x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 \times a}\\
				&= \frac{-6 + \sqrt{28}}{2 \times 1}\\
				&= -1+\frac{\sqrt{3}}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$x_1$, $x_2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $f'(x)=0$ est $\left\{ -3-\frac{\sqrt{3}}{3}; -3+\frac{\sqrt{3}}{3} \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Comme la fonction trinôme $f'$ est du signe de son coefficient dominant, $a=1>0$, sauf entre ses éventuelles racines:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$x_1$, $x_2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/, + / $f(x_1)$ , - / $f(x_2)$, + / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		avec $f(x_1)= 1+\frac{2}{9}\sqrt{3}$ et $f(x_2)= 1-\frac{2}{9}\sqrt{3}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le point $S(-4;-3)$ appartient-il à la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x=-2$?		
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une équation réduite de la $\mathscr{T}$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x=-2$.}
		
		Nous savons qu'une équation de $\mathscr{T}$ est $y = f'(-2) (x-(-2)) +f(-2)$. Or $f'(-2)=2$ et $f(-2)=1$ donc \[ \mathscr{T}:\ y=2(x+2)+1. \] Autrement dit l'équation réduite de $\mathscr{T}$ est \[ y=2x+5.\]
		
		\medskip
		Comme $2 \times (-4)+5=-3$ nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}
			
			$S \in \mathscr{T}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.
	
	Karim effectue une série de $3$ tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $M$: \og Karim marque un but\fg{};
		
		\item $R$: \og Karim rate le tir au but\fg{}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l'issue de cette série de tir par Karim.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Nombre de nœuds du troisième niveau
				\def\noC{8};
				%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
				\def\noCe{2};
				%Écarts entre nœuds du troisième niveau
				\def\xC{2+\xB};
				\def\yC{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
				\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nB1/nC1/C1/1/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nB1/nC2/C2/2/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB,
					nB2/nC3/C3/3/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nB2/nC4/C4/4/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB,
					nB3/nC5/C5/5/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nB3/nC6/C6/6/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB,
					nB4/nC7/C7/7/$M$/$\np{0,7}$/\posA,
					nB4/nC8/C8/8/$\overline{M}$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
					\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
					\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}		
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la loi de probabilité de $X$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la loi de $X$.}
			
			D'après l'arbre: $X \in \{ 0;1;2;3 \}$.
			
			Calculons, par exemple, $\mathbb{P}(X=2)$.
			
			$\{ X=2 \} =\{ MM\overline{M}, M\overline{M}M, \overline{M}MM \}$.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(X=2) &= \mathbb{P}(MM\overline{M}) + \mathbb{P}(M\overline{M}M) + \mathbb{P}(\overline{M}MM)\\
				\intertext{D'après la formule des probabilités composées:}
				\mathbb{P}(X=2) &= 0,7 \times 0,7 \times 0,3 + 0,7 \times 0,3 \times 0,7 + 0,3 \times 0,7 \times 0,7\\
				&= 0,441
			\end{align*}
			
			En procédant de même pour les autres valeurs prises par $X$:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(X=x)$ & $0,027$ & $0,189$ & $0,441$ & $0,343$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{E}(X)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{E}(X) &= \sum_{i=1}^n x_i\times \mathbb{P}(X=x_i)\\
				&= 0 \times 0,027 + 1 \times 0,189+\dots + 3 \times 0,343\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{E}(X)= 2,1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On propose à un spectateur le jeu suivant: il mise $15\ \text{\euro}$ avant la série de tirs au but de Karim; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6\ \text{\euro}$, et chaque but manqué par Karim ne lui rapporte rien.
		
		On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c'est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Y=6X-15$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l'espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Déterminons la loi de probabilité de $Y$.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$y$ & $-15$ & $-9$ & $-3$ & $3$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(Y=y)$ & $0,027$ & $0,189$ & $0,441$ & $0,343$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{E}(X) &= \sum_{i=0}^n y_i\mathbb{P}(Y=y_i)\\
				&= -15 \times 0,027 +(-9) \times 0,189 +\dots + 3 \times 0,343
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{E}(Y)=-2,4$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\begin{conclusion}
				
				Si l'on recommençait un grand nombre de fois ce jeu, en moyenne, à chaque partie, on perdrait $2,4\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}