%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/baccalaureat_0ieme.html}{Bac 1990. Mathématique. CE.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Métropole, groupe V. Juin 1990.}

\subsection{Exercice. \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$, on considère l’hyperbole $(H)$ d’équation: \[ y^2-x^2=1. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer ses sommets et ses asymptotes.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracer cette hyperbole.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $\alpha$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $\displaystyle \left] -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right[$.
		
		Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation: \[ z^2\cos^2\alpha -z \sin 2\alpha -\cos^2 \alpha =0 \quad (E). \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $M$ l’image dans le plan complexe de la solution de $(E)$ dont la partie imaginaire est positive.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que M appartient à l’hyperbole $(H)$ définie au 1.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le sous-ensemble de $(H)$ décrit par $M$ lorsque $\alpha$ décrit l’intervalle $\displaystyle \left] -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right[$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice. \hfill 4 points}

\begin{sujet}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan orienté.
	
	Soient:
	\begin{itemize}
		\item $s_A$ la similitude directe de centre $A$ transformant $B$ en $C$.
		\item $s_B$ la similitude directe de centre $B$ transformant $C$ en $A$.
		\item $s_C$ la similitude directe de centre $C$ transformant $A$ en $B$.
	\end{itemize}
	
	On se propose d’étudier $s = s_C \circ s_B \circ s_A$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’image de $B$ par $s$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $s$ est la symétrie centrale de centre $B$. (On pourra utiliser les transformations vectorielles associées à $s_A$, $s_B$ et $s_C$.)
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $C'= s_B \circ s_A(C)$ et $C'' = s_C (C')$.
			
			Quelle est la position relative des points $B$, $C$ et $C''$?
			
			En déduire que $A$ est le milieu du segment $[CC']$.
			
			Placer les points $A$, $B$, $C$, $C'$ et $C''$ sur une figure.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème. \hfill 12 points}

\begin{sujet}
	
	La chaînette est la courbe suivant laquelle se tend un fil homogène, pesant, flexible et inextensible, suspendu par ses extrémités à deux points fixes (Déf. Petit Larousse). On montre et on admettra dans ce problème que, rapportée à un repère orthonormé convenable, la chaînette admet une équation de la forme: \[ y=\frac{\mathrm{e}^{\lambda x}+ \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2 \lambda} \quad \text{avec }\lambda >0. \]
	
	On laisse pendre un tel fil d’une longueur de 4 m entre deux points situés à une même hauteur et distants de $2\ \mathrm{m}$. Le but du problème est de calculer une valeur approchée de la flèche prise par le fil, c’est-à-dire la distance d indiquée sur le schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%\def\xY{-3.5};
		%\def\yY{-0.5};
		%\def\xZ{3.5};
		%\def\yZ{7};
		%\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		%\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		%\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[very thick][samples=100,domain=-2.5:2.5] plot(\x,{(exp(0.5*\x )+exp(-0.5*\x))/(2*0.5)-2});
		\draw[>=latex,<->] (-2.5,1.78)--(2.5,1.78) node[midway,above]{$2\ \mathrm{m}$};
		\draw (0,1.78)--(0,0) node[midway,left]{$d$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	À cet effet, pour tout $\lambda> 0$, on considère la fonction $f_{\lambda}$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[ f_{\lambda} =\frac{\mathrm{e}^{\lambda x}+ \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2 \lambda}. \]
	
	On note $C_{\lambda}$ la courbe représentative de $f_{\lambda}$ dans un repère orthonormé.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Étude de la chaînette.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudier la parité de $f_{\lambda}$: préciser sa limite en $+\infty$ et dresser son tableau de variations.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
				
				\begin{align*}
					f_{\lambda}(-x) &= \frac{\mathrm{e}^{\lambda (-x)}+ \mathrm{e}^{-\lambda (-x)}}{2 \lambda}\\
					&= \frac{\mathrm{e}^{\lambda x}+ \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2 \lambda}\\
					&= f_{\lambda}(x) 
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$f_{\lambda}$ est paire.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Comme $\lambda >0$:
				
				$\mathrm{e}^{\lambda x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $\mathrm{e}^{-\lambda x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$
				
				Donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					$f_{\lambda}(x) \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$.
				
				\end{conclusion}
				
				\item $f_{\lambda}$ est une combinaisons linéaire de fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel:
				
				\begin{align*}
					f_{\lambda}'(x) &= \frac{1}{2\lambda} \left[ \lambda \mathrm{e}^{\lambda x} - \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \right]\\
					&= \frac{1}{2} \left[ \mathrm{e}^{\lambda x } - \mathrm{e}^{-\lambda x} \right]
				\end{align*}
				
				\medskip
				$f_{\lambda}$ étant paire il suffit d'étudier ses variations sur $\mathbb{R}_+$.
					
				Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
				
				Comme $\lambda >0$:
				
				\begin{align*}
					\lambda x &> -\lambda x\\
					\intertext{Exponentielle étant strictement croissante:}
					\mathrm{e}^{\lambda x} &> \mathrm{e}^{-\lambda x}\\
					\intertext{D'où:}
					\mathrm{e}^{\lambda x} - \mathrm{e}^{-\lambda x} &>0
				\end{align*}
				
				Comme de plus $f_{\lambda}'(0)=0$ et en tenant compte de la parité de $f_{\lambda}$ nous en déduisons le tableau de variation de $f_{\lambda}$:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f_{\lambda}'$ /0.8, $f_{\lambda}$ /1.6}
					{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
					\tkzTabLine{,-,z,+,}%
					\tkzTabVar {+/ $+\infty$, -/ $\frac{1}{\lambda}$, + / $+\infty$ / }
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
								
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracer la courbe $C_{\lambda}$ (unité graphique: $1\ \mathrm{cm}$).
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver que pour tout $\lambda$ la courbe $C_{\lambda}$ se déduit de $C_1$ par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calcul de la longueur de la chaînette.
		
		\medskip
		On admet que la longueur $L(\lambda)$ de l’arc de courbe d’équation $y = f_{\lambda}(x)$ compris entre les points d’abscisse $x = -1$ et $x = 1$ est égale à l’intégrale: \[ L(\lambda) = \int_{-1}^1 \sqrt{1+ \left( f_{\lambda}'(x) \right)^2}\ \mathrm{d}x \] (l'unité de longueur étant le mètre).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ 1+ \left( f_{\lambda}'(x) \right)^2= \left( \frac{\mathrm{e}^{\lambda x}+ \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2} \right)^2. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				1+\left( f_{\lambda}'(x) \right)^2 &= 1+ \left( \frac{\mathrm{e}^{\lambda x} - \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2} \right)^2\\
				&= 1+ \frac{ \left( \mathrm{e}^{\lambda x} - \mathrm{e}^{-\lambda x} \right)^2}{4}\\
				&= \frac{ 4+ \left( \mathrm{e}^{\lambda x} \right)^2 -2 \mathrm{e}^{\lambda x } \mathrm{e}^{-\lambda x} + \left( \mathrm{e}^{-\lambda x} \right)^2}{4}\\
				&= \frac{ 4+ \left( \mathrm{e}^{\lambda x} \right)^2 -2 + \left( \mathrm{e}^{-\lambda x} \right)^2}{4}\\
				&= \frac{ \left( \mathrm{e}^{\lambda x} \right)^2 +2 + \left( \mathrm{e}^{-\lambda x} \right)^2}{4}\\
				&= \frac{ \left( \mathrm{e}^{\lambda x} \right)^2 +2 \mathrm{e}^{\lambda x } \mathrm{e}^{-\lambda x} + \left( \mathrm{e}^{-\lambda x} \right)^2}{4}\\
				&= \frac{ \left( \mathrm{e}^{\lambda x} + \mathrm{e}^{-\lambda x} \right)^2}{2^2}\\
			\end{align*}
			
			Enfin:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ 1+\left( f_{\lambda}'(x) \right)^2= \left( \frac{ \mathrm{e}^{\lambda x} + \mathrm{e}^{-\lambda x} }{2} \right)^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que: \[ L(\lambda)= \frac{\mathrm{e}^{\lambda}- \mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda} \quad {\color{blue}(1)}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				L(\lambda) &= \int_{-1}^1 \sqrt{1 + \left( f_{\lambda}'(x) \right)}\ \mathrm{d}x\\
				&= \int_{-1}^1 \left| \frac{\mathrm{e}^{\lambda x} + \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2} \right| \mathrm{d}x\\
				&= \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{e}^{\lambda x} + \mathrm{e}^{-\lambda x}}{2} \mathrm{d}x\\
				&= \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \mathrm{e}^{\lambda x} + \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x\\
				&= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\lambda} \mathrm{e}^{\lambda x} -\frac{1}{\lambda} \mathrm{e}^{-\lambda x} \right]_{-1}^1\\
				&= \frac{1}{2\lambda} \left( \mathrm{e}^{\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda} - \left( \mathrm{e}^{-\lambda} -\mathrm{e}^{\lambda}\right) \right) \\
				&= \frac{1}{\lambda} \left( \mathrm{e}^{\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda} \right)
			\end{align*}
			
			Finalement:
			
			\begin{conclusion}
				
				$L(\lambda)= \frac{\mathrm{e}^{\lambda}- \mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
			
		Calcul de la flèche.
		
		\medskip
		Exprimer en fonction de $\lambda$ la flèche $d(\lambda) = f_{\lambda}(1) - f_{\lambda}(0)$ de la chaînette $C_{\lambda}$ (l’unité de longueur étant le mètre).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			d(\lambda) &= f_{\lambda}(1)-f_{\lambda}(0)\\
			&= \frac{\mathrm{e}^{\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda}}{2\lambda}-\frac{2}{2\lambda}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$d(\lambda)= \frac{\mathrm{e}^{\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda}-2}{2\lambda}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Étude de l'équation $L(\lambda)=4$.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre l’équation d’inconnue $X$ réelle $X^2-4\lambda X-1=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Il est bien sûr possible de passer par le discriminant.}
			
			\begin{align*}
				X^2-4\lambda X-1 &= X^2-2 \times 2\lambda \times X +(2 \lambda)^2 -(2\lambda)^2-1\\
				&= (X-2\lambda)^2-4\lambda^2-1
			\end{align*}
			
			Donc:
			\begin{align*}
				X^2-4\lambda X-1=0 &\Leftrightarrow (X-2\lambda)^2-4\lambda^2-1=0\\
				&\Leftrightarrow (X-2\lambda)^2= 4\lambda^2+1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est: $\mathscr{S}= \{ 2\lambda+\sqrt{4\lambda^2+1},\ 2\lambda-\sqrt{4\lambda^2+1} \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $L(\lambda) = 4$ équivaut à $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}= 2\lambda + \sqrt{4\lambda^2 + 1}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				L(\lambda)=4 &\Leftrightarrow \frac{\mathrm{e}^{\lambda}- \mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda}=4\\
				&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda}-4\lambda=0\\
				&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda}=4\lambda\\
				&\Leftrightarrow {\color{orange}\mathrm{e}^{\lambda}} \left( \mathrm{e}^{\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda} - 4\lambda \right) =0 \\
				&\Leftrightarrow \left( \mathrm{e}^{\lambda} \right)^2 - \mathrm{e}^{\lambda} \mathrm{e}^{-\lambda} -4\lambda \mathrm{e}^{\lambda} =0 \\
				&\Leftrightarrow \left( \mathrm{e}^{\lambda} \right)^2 -4\lambda \mathrm{e}^{\lambda} -1=0
			\end{align*}
			
			Ainsi $L(\lambda)=4$ si et seulement si $\mathrm{e}^{\lambda}$ est solution de $X^2-4\lambda X-1=0$.
			
			Et même: $L(\lambda)=4$ si et seulement si $\mathrm{e}^{\lambda}$ est une solution positive de $X^2-4\lambda X-1=0$.
			
			\medskip
			Or des deux racines $2\lambda +\sqrt{4\lambda^2+1}$ et $2\lambda-\sqrt{4\lambda^2+1}$ seule la première est (clairement) positive. Pour la seconde: $\left( 2\lambda \right)^2 < 4\lambda^2+1$, donc $\sqrt{\left( 2 \lambda \right)^2} < \sqrt{4\lambda^2+1}$ et par conséquent $2\lambda < \sqrt{4\lambda^2+1}$.
			
			\medskip
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$L(\lambda)=4 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{\lambda} = 2\lambda +\sqrt{4\lambda^2+1}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver enfin que $L(\lambda) = 4$ équivaut à: \[ \lambda = \ln \left( 2 \lambda +\sqrt{4\lambda^2+1} \right). \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\ln$ réalisant une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$ dont la réciproque est l'exponentielle:
			
			\begin{align*}
				L(\lambda)=4 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\lambda} = 2\lambda +\sqrt{4\lambda^2+1}\\
				&\Leftrightarrow \ln \left[ \mathrm{e}^{\lambda} \right] =\ln \left[ 2\lambda +\sqrt{4\lambda^2+1} \right] \\
				&\Leftrightarrow \lambda =\ln \left[ 2\lambda +\sqrt{4\lambda^2+1} \right] \\
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ;+ \infty[$ par: \[ g(x)=\ln \left( 2x+ \sqrt{4x^2+1} \right). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la dérivée de la fonction $u: x \mapsto 2x+\sqrt{4x^2+1}$.
			
			Calculer $g'(x)$.
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			$x \mapsto 4x^2+1$ est strictement positive sur $[0;+\infty[$ donc  $x \mapsto \sqrt{4x^2+1}$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et par conséquent $u$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
			
			Pour tout $x$ réel:
			
			\begin{align*}
				u'(x) &= 2+ 4 \times 2 x \times \frac{1}{2\sqrt{4x^2+1}}\\
				&= 2+\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in [0;+\infty[,\ u'(x) = \frac{4x+2\sqrt{4x^2+1}}{\sqrt{4x^2+1}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Nous remarquons: $g=\ln \circ u$ et donc $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et $g'=u' \frac{1}{u}$.
			
			Donc, pour tout $x \in [0;+\infty[$:
			
			\begin{align*}
				g'(x) &= \frac{4x+2\sqrt{4x^2+1}}{\sqrt{4x^2+1}} \times \frac{1}{2x+ \sqrt{4x^2+1}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \forall x \in [0;+\infty[,\ g'(x)= \frac{2}{\sqrt{4x^2+1}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le sens de variation de $g$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$g'>0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ est strictement croissante.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $h$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[ h(x)=x-g(x). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $h'(x)$. Étudier le signe de $h'(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$g$ étant dérivable sur $[0;+\infty[$ il en est de même pour $h$ et tenant compte d'un précédent résultat, pour tout $x$ réel positif:
			
			\begin{align*}
				h'(x) &= 1-g'(x)\\
				&= 1- \frac{2}{\sqrt{4x^2+1}}\\
				&= \frac{\sqrt{4x^2+1}-2}{\sqrt{4x^2+1}}\\
			\end{align*}
			
			Étudions le signe de son numérateur.
			\begin{align*}
				\sqrt{4x^2+1}-2>0 &\Leftrightarrow 4x^2+1>4\\
				&\Leftrightarrow x^2>\frac{3}{4}\\
				\intertext{Puisque $x \in [0;+\infty[$:}
				\sqrt{4x^2+1}-2>0 &\Leftrightarrow x > \frac{\sqrt{3}}{2}
			\end{align*}
			
			Enfin, en raisonnant de même pour $\sqrt{4x^2+1}-2=0$, nous obtiendrons:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'$ /0.8}
				{$0$ ,$\frac{\sqrt{3}}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver que pour tout $x>0$: \[ g(x)= \ln x + \ln\left( 2 + \sqrt{4+ \frac{1}{x^2}} \right). \]
			
			En déduire la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $x>0$.
			
			\begin{align*}
				g(x) &= \ln \left( 2x+ \sqrt{4x^2+1} \right)\\
				&= \ln \left( 2x+ \sqrt{x^2\left( 4+ \frac{1}{x^2} \right)} \right)\\
				&= \ln \left( 2x+ \sqrt{x^2} \sqrt{ 4+ \frac{1}{x^2} } \right)\\
				&= \ln \left( 2x+ x\sqrt{ 4+ \frac{1}{x^2} } \right)\\
				&= \ln \left[ x \left( 2+ \sqrt{ 4+ \frac{1}{x^2} } \right) \right]\\
				&= \ln (x) + \ln \left( 2+ \sqrt{ 4+ \frac{1}{x^2} } \right)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x\in \mathbb{R}_+^*,\ g(x)= \ln x + \ln\left( 2 + \sqrt{4+ \frac{1}{x^2}} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			D'une part: \[ -\ln\left( 2 + \sqrt{4+ \frac{1}{x^2}} \right) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} -\ln 4, \] d'autre part \[ x-\ln(x)=x \left( 1-\frac{\ln x}{x} \right) \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty \] donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$h(x) \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty.$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dresser le tableau de variations de $h$. En déduire que l’équation $g (x) = x$ admet une solution, notée $\alpha$, et une seule dans $]0 ; +\infty [$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=2.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'$ /0.8, $h$ /1.6}
				{$0$ ,$\frac{\sqrt{3}}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ $0$, - /  $\frac{\sqrt{3}}{2}- \ln\left( \sqrt{3} +2 \right)$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\medskip
			Remarquons tout d'abord que, puisque $h$ est strictement décroissante sur $\left[0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$ et que $h(0)=0$, nécessairement, $h<0$ sur $\left]0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$ et en particulier $h \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)<0$.
			
			\medskip
			$h$ est continue et, d'après le tableau de variation, elle est strictement croissante sur $\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}; + \infty\right[$, donc $h$ réalise une bijection de $\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}; + \infty\right[$ sur $\left[ h \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ; + \infty\right[$. De plus, d'après la précédente remarque, $0 \in \left[ h \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ; + \infty\right[$, donc il existe un unique $\alpha \in \left[ \frac{\sqrt{3}}{2}; + \infty\right[$ tel que $h(\alpha)=0$.
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				l'équation $g(x)=x$ admet une unique solution dans $]0;+\infty[$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver que $2 \leqslant \alpha \leqslant 3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Remarquons que $\frac{\sqrt{3}}{2} < 2$.
			
			Avec la calculatrice:
			
			$h(2)\leqslant -0,946 <0< 0,508\leqslant h(3)$
			
			Donc, $g$ étant strictement croissante sur $[2;3]$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$2 \leqslant \alpha \leqslant 3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $I= [2;+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que pour tout élément $x$ de $I$, $g(x)$ appartient à $I$. (On pourra utiliser 2.(b).)
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			À la question précédente nous avons déjà utilisé le fait que $h(2) \leqslant 0$, \emph{i.e.} donc $2 \leqslant g(2)$.
			
			Comme de plus $g$ est strictement croissante: $\forall x \in [2;+\infty[,\ g(x) \geqslant 2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in I,\ g(x) \in I$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver que pour tout élément $x$ de $I$: \[ 0 < g'(x) \leqslant 0,5. \]
			
			En déduire que pour tout élément $x$ de $I$: \[ | g(x) - \alpha | \leqslant 0,5 |x- \alpha |. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avions déjà remarqué que $g'>0$.
			
			\medskip
			Soit $x \in I$.
			
			Nous avons successivement:
			
			\begin{align*}
				2 &\leqslant x\\
				4 &\leqslant x^2 \\
				16 &\leqslant 4x^2\\
				17 &\leqslant 4x^2+1\\
				\sqrt{17} &\leqslant \sqrt{4x^2+1}\\
				\frac{2}{\sqrt{4x^2+1}} &\leqslant \frac{2}{\sqrt{17}}\\
			\end{align*}
			
			Or $\frac{2}{\sqrt{17}} \leqslant \frac{2}{\sqrt{16}}=0,5$ donc $\frac{2}{\sqrt{4x^2+1}} \leqslant 0,5$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in I,\ 0< g'(x) \leqslant 0,5$.
				 
			\end{conclusion}
			
			 \medskip
			 De $|g'|\leqslant 0,5$ sur nous déduisons d'après l'inégalité des accroissements finis que pour tout $x \in I$: $| g(x)-g(\alpha)| \leqslant 0,5 |x-\alpha|$.
			 
			 Ainsi, $\alpha$ étant un point fixe de $g$:
			 
			 \begin{conclusion}
			 	
			 	$\forall x \in I,\ |g(x)-\alpha| \leqslant 0,5 |x-\alpha|$.
			 	
			 \end{conclusion} 
			 
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Soit $(u_n)_{n>0}$ la suite d'éléments de $I$ définie par: $u_0=2$ et pour tout $n \geqslant 0$, $u_{n+1}=g(u_n)$.
				
				Démontrer que pour tout entier naturel $n$: \[ |u_n-\alpha | \leqslant 0,5^n |u_0-\alpha|. \]
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $|u_n-\alpha | \leqslant 0,5^n |u_0-\alpha|$ \fg{}, pour tout $n\in \mathbb{N}$.
				
				\medskip
				\objectif{Démontrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
				
				\begin{enumerate}[*]
					\item $|u_0-\alpha|=0,5^0|u_0-\alpha|$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
					
					\item Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons qu'alors $\mathscr{P}(n+1)$ est forcément vraie.
					
					D'après la question 4.(b), puisque $u_{n+1}$ et $u_n$ sont dans $I$: \[ |g(u_{n})-\alpha| \leqslant 0,5|g(u_n)-\alpha|. \]
					
					Autrement dit: $|u_{n+1}-\alpha| \leqslant 0,5 |u_n-\alpha|\quad {\color{purple}(2)}$.
					
					Or d'après l'hypothèse de récurrence: \[ |u_n-\alpha| \leqslant 0,5^n|u_0-\alpha|, \] donc par transitivité avec ${\color{blue}(2)}$: \[ |u_{n+1}-\alpha | \leqslant 0,5 \times 0,5^n|u_0-\alpha|. \]
					
					Ou encore: $|u_{n+1}-\alpha| \leqslant 0,5^{n+1}|u_0-\alpha|$. Autrement dit $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
					
				\end{enumerate}
				
				\begin{conclusion}
					
					Nous avons démontré par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$: $\forall n \in \mathbb{N},\ |u_{n}-\alpha | \leqslant 0,5^n |u_0-\alpha|$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Conclure quand à la convergence et à la limite de la suite $(u_n)_{n>0}$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				La suite $(0,5^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique et sa raison appartient à $[0;1[$ donc elle converge vers $0$.
				
				On en déduit en passant à la limite dans l'inégalité établie à la question précédente que \[ |u_n-\alpha| \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0.\]
				
				Finalement
				
				\begin{conclusion}
					
					$(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Déterminer un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à la précision $10^{-3}$ et calculer $u_{n_0}$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Pour que $u_{n_0}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près il suffit que $0,5^n\leqslant 10^{-3}$.
				
				Cette dernière inégalité équivaut successivement à
				
				\begin{align*}
					\ln\left( 0,5^n \right) &\leqslant \ln \left( 10^{-3} \right)\\
					-n\ln(2) &\leqslant -3 \ln(10)\\
					n &\geqslant \frac{3\ln(10)}{\ln(2)}
				\end{align*}
				
				Avec la calculatrice: $\frac{3\ln(10)}{\ln(2)} \approx 9,966$ à $10^{-3}$ près par excès. Donc, $n$ étant un entier il suffit que: $n \geqslant 10$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$u_{10}$ est une valeur approchée à $10^{-3}$ de $\alpha$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On se place dans la situation décrite au début du problème.
			
			En rassemblant les résultats obtenus dans celui-ci, calculer une valeur approchée de la flèche $d(\alpha)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$L(\alpha)=4\ \mathrm{m}$ pour $x\in[-1;1]$ donc pour un écartement de $2\ \mathrm{m}$.
			
			La flèche est donc de 
			
			\begin{align*}
				d(\alpha) &= f_{\alpha}(1) - f_{\alpha}(0)\\
				&= \frac{\mathrm{e}^{\alpha} - \mathrm{e}^{-\alpha}-2}{2\alpha}\\
				&\approx \frac{\mathrm{e}^{u_{10}} - \mathrm{e}^{-u_{10}}-2}{2u_{10}}\\
				\intertext{Et puisque $u_{10}\approx 1,777$}
				d(\alpha) &\approx 1,541
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$d(\alpha) \approx 1,541\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}