%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

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\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
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\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
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#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques - \thepage]{\small Mathématiques - \thepage}% l left, c center, r right
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\lfoot[]{}
\cfoot[\small Avenir 2013 - \thepage]{\small Avenir 2013 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
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\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Avenir 2013.}

\begin{center}
Épreuve de mathématiques.

Durée 1h30mn

Coefficient 5

\end{center}

\begin{sujet}

\subsection*{Consignes spécifiques.}

\textbf{Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve:}

\medskip
Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti.

La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

\medskip
\textbf{Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale.}

Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

\medskip
Aucun brouillon n’est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l’usage de brouillon.

L’usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n’est autorisé.

\medskip
Attention, il ne s’agit pas d’un examen mais bien d’un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet « difficile », ne vous arrêtez pas en cours de composition, n’abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres
candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !

\textbf{Barème:}

Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’1 point}.

\end{sujet}

\subsection*{Simplifications d'écritures.}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	$\frac{1}{2}\ln (27)-2\ln(3)+\ln(\sqrt{3})$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item nul,
		\item strictement négatif,
		\item strictement positif,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\frac{1}{2}\ln (27)-2\ln(3)+\ln(\sqrt{3}) &= \frac{1}{2}\ln(3^3)-2\ln(3)+\ln\left(3^{\frac{1}{2}}\right)\\
	&= \frac{3}{2}\ln(3)-2\ln(3)+\frac{1}{2}\ln\left(3\right)\\
	&=0
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$\frac{-2\mathrm{e}^2\times3\mathrm{e}^{4}}{(2\mathrm{e}^2)^2-3\mathrm{e}^4}$ est égale à:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{1}{2\mathrm{e}^2}$,
		\item $-6\mathrm{e}^2$,
		\item $-5\mathrm{e}^2$,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\frac{-2\mathrm{e}^2\times3\mathrm{e}^{4}}{(2\mathrm{e}^2)^2-3\mathrm{e}^4} &= \frac{-2\times 3\mathrm{e}^{(2+4)}}{2^2\left( \mathrm{e}^2\right)^2-3\mathrm{e}^4}\\
	&= \frac{-6\mathrm{e}^{6}}{4\mathrm{e}^{(2\times 2)}-3\mathrm{e}^{4}}\\
	&= \frac{-6\mathrm{e}^6}{4\mathrm{e}^4-3\mathrm{e}^4}\\
	&= \frac{-6\mathrm{e}^6}{\mathrm{e}^4}\\
	&=-6 \mathrm{e}^6\mathrm{e}^{-4}\\
	&= -6\mathrm{e}^{(6-4)}\\
	&=-6\mathrm{e}^2
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$(\ln(3))^2-2\ln(3)$ est:
		\begin{enumerate}
		\item nul,
		\item strictement négatif,
		\item strictement positif,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	(\ln(3))^2-2\ln(3) &= \ln(3) \left[ \ln(3)-2\right]\\
	\end{align*}
	Or $\ln(3)>0$ car $3>1$, donc $(\ln(3))^2-2\ln(3)$ est du signe de $\ln(3)-2$.
	
	\begin{align*}
	\ln(3)-2< 0 &\Leftrightarrow \ln(3) < 2\\
	&\Leftrightarrow \ln(3) < \ln\left[\mathrm{e}^2 \right]\\
	&\Leftrightarrow 3< \mathrm{e}^2\\
	\intertext{car $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$}
	\end{align*}
	
	Or $3<\mathrm{e}$ est vraie puisque $\mathrm{e}\approx 2,7$ et donc $(\ln(3))^2-2\ln(3)<0$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$\frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) +\sin^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) }{\cos^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) +\sin^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) }$ est égal à:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{1}{2}$,
		\item $1$,
		\item $2$,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) +\sin^2 \left( \frac{\pi}{6} \right) &=1\\
	\intertext{et}
	\cos^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) +\sin^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) &=1
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Continuité et dérivation.}

\begin{sujet}

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item \begin{sujet}
	
	$f$ est continue en $-1$ signifie que:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\lim_{x\to -1}f(x)$ est un réel,
		\item $\lim_{x\to 0} f(x-1)$ est un réel,
		\item $\lim_{x\to 0}\frac{f(-1+x)-f(-1)}{x}$ est un réel,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	Supposons que $f$ est une fonction à valeurs réelles.
	
	$f$ est continue en $-1$ si et seulement si $f$ admet des limites réelles quand $x$ tend vers $-1$ par valeurs inférieures et supérieures et que ces limites sont égales.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$f$ est dérivable en $-1$ signifie que:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\lim_{x\to -1}f(x)$ est un réel,
		\item $\lim_{x\to 0} f(x-1)$ est un réel,
		\item $\lim_{x\to 0}\frac{f(-1+x)-f(-1)}{x}$ est un réel,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	$f$ est dérivable en $-1$ si et seulement si le taux d'acroissement de $f$ en $-1$ admet une limite finie en $0$.
	
	\end{correction}
		
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

\medskip
Soit $g$ une fonction définie sur $[-1;2]$ telle que $g(-1)=2$; $g(0)=1$; $g(1)=0$ et $g(2)=-1$.

\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item \begin{sujet}
	
	On est certain que sur $[-1;2]$:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $g$ est strictement décroissante,
		\item $g$ est strictement croissante,
		\item $g$ n'est pas strictement décroissante,
		\item $g$ n'est pas strictement croissante.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	$g$ n'est pas strictement croissante puisque, par exemple, $-1<0$ et $g(-1)\ge g(0)$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On est certain que sur $[-1;2]$, l'équation $g(x) = 0, 5$:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item n'admet pas de solution,
		\item admet une unique solution,
		\item admet au moins une solution,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	Pour affirmer l'existence de solutions il faudrait que la fonction soit continue. Nous ne pouvons savoir si l'équation admet ou non des solutions.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Équations et inéquations.}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item \begin{sujet}
	
	$\frac{1}{x}\le  0, 2$ a pour solution:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $]0; 5]$,
		\item $[5;+\infty [$,
		\item $]-\infty ; 5]$,
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	La réponse se conjecture graphiquement avec aisance:
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4, -4) grid (6,4);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4, -4) grid (6,4);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -4) grid (6,4);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (6, 0) node[below left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -4) -- (0, 4) node[below left,fill=white]{$y=f(x)$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-3,-2,-1,1, 2, 3,4,5}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-3,-2, -1, 1, 2, 3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:-0.25] plot(\x,{1/\x});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.25:6] plot(\x,{1/\x});
		\draw[red,thick] (-4,0.2)--(6,0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	Résolvons l'inéquation en distinguant suivant le signe de $x$.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Si $x\in [0;+\infty [$ alors
		\begin{align*}
		\frac{1}{x}\le 0,2 &\Leftrightarrow 1\le 0,2x\\
		&\Leftrightarrow \frac{1}{0,2}\le x\\
		&\Leftrightarrow 5\le x
		\end{align*}
		Donc l'ensemble des solutions sur $[0;+\infty[$ est $[5;+\infty[$.
		\item Si $x\in ]-\infty;0]$ alors
		\begin{align*}
		\frac{1}{x}\le 0,2 &\Leftrightarrow 1\ge 0,2x\\
		&\Leftrightarrow \frac{1}{0,2} \ge x\\
		&\Leftrightarrow 5 \ge x
		\end{align*}
		Donc l'ensemble des solutions sur $]-\infty,0]$ est $]-\infty;0[$.
		\end{enumerate}
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est: $]-\infty ;0[\cup[5;+\infty[$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre de solutions de l'équation: $\ln(x^2)=(\ln(x))^2$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item $2$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\ln(x^2)=(\ln(x))^2 &\Leftrightarrow 2\ln(x)=(\ln(x))^2\\
	&\Leftrightarrow (2-\ln(x))\ln(x)=0\\
	&\Leftrightarrow (2-\ln(x)=0) \text{ ou } (\ln(x)=0)\\
	&\Leftrightarrow (\ln(x)=2) \text{ ou } (x=1)\\
	&\Leftrightarrow (x=\mathrm{e}^{2}) \text{ ou } (x=1)
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre de solutions de l'équation: $(\ln(x))^2=-(\ln(x))^2$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item $2$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	(\ln(x))^2=-(\ln(x))^2 &\Leftrightarrow \ln(x)[\ln(x)+1] =0\\
	&\Leftrightarrow (\ln(x)=0) \text{ ou } (\ln(x)=-1)\\
	&\Leftrightarrow x=1
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre de solutions de l'inéquation: $\mathrm{e}^{-x^2}\ge 1$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item infini.
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\mathrm{e}^{-x^2}\ge 1 &\Leftrightarrow \ln\left( \mathrm{e}^{-x^2}\right) \ge \ln(1)\\
	\intertext{car la fonction $\ln$ est bijective et croissante}
	\mathrm{e}^{-x^2}\ge 1 &\Leftrightarrow -x^2\ge 0\\
	&\Leftrightarrow -x^2=0\\
	&\Leftrightarrow x=0
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre de complexes distincts solutions de l'équation: $2z^2-5z+3=0$ est égal à:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item $2$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times2\times3=1$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}
		
\subsection*{Implications et équivalences.}

\emph{Dans les quatre items suivants, $P_1$ et $P_2$ sont deux propositions et $a$ et $b$ deux réels. De manière générale:}

\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{13}
	\item \begin{sujet}
	
	Si $P_1:$ "$a^3=b^3$" et $P_2:$  "$a=b$" alors:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item seule $P_1$ implique $P_2$.
		\item seule $P_2$ implique $P_1$.
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	La fonction cube étant bijective $a^3=b^3$ si et seulement si $a=b$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Si $P_1:$ "$\ln(a)=\ln(b)$" et $P_2:$ "$ \mathrm{e}^a=\mathrm{e}^{b}$" alors:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item seule $P_1$ implique $P_2$.
		\item seule $P_2$ implique $P_1$.
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	Si $a$ et $b$ sont strictement positifs alors $\ln$ et $\exp$ étant bijectives:
	\[\ln (a)=\ln(b)\Leftrightarrow a=b \Leftrightarrow \mathrm{e}^a=\mathrm{e}^b \]
	
	$a$ et $b$ étant à priori de n'importe quel signe seule l'implication: \[\ln (a)=\ln(b)\Rightarrow a=b \Rightarrow \mathrm{e}^a=\mathrm{e}^b \] s'applique.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Si $P_1:$ "$a^2=b$" et $P_2:$ "$a=\sqrt{b}$" alors:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item seule $P_1$ implique $P_2$.
		\item seule $P_2$ implique $P_1$.
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	Si $b\ge 0$ alors: $a=\sqrt{b} \Rightarrow a^2=\sqrt{b}^2 \Rightarrow a^2=b$.
	
	Par contre: $a^2=b \Rightarrow a^2-b=0 \Rightarrow (a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) \Rightarrow (a=\sqrt{b}) \text{ ou }(a=-\sqrt{b})$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Si $P_1:$ "$AB^2=AC^2=BC^2$" et $P_2:$ "$ABC \text{ est un triangle rectangle}$" alors:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item seule $P_1$ implique $P_2$.
		\item seule $P_2$ implique $P_1$.
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	$AB^2=AC^2=BC^2 \Rightarrow$ \og $ABC$ est un triangle rectangle en $C$\fg{}.
	
	Et: \og  $ABC$ est un triangle rectangle\fg{} $\Rightarrow AB^2=AC^2=BC^2 \text{ ou } AC^2=AB^2+CB^2 \text{ ou } BC^2=AB^2+AC^2$
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Interprétation graphique.}

\begin{sujet}

\emph{Ci-dessous la parabole représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -2.5) grid (4,3.5);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (4, 0) node[above left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 3.5) node[below right,fill=white]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3,-2,-1,1,2,3,4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\y}\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2});
		\draw[blue] (-3,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip
\emph{Soient les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$ , respectivement par:}

$U_n=f(n)$ et $\left\{ \begin{array}{c}V_0=a\\ V_{n+1}=f(V_n) \end{array} \right. \ \text{où $a$ est un réel.}$

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{17}
	\item \begin{sujet}
	
	La tangente à la parabole au point d'abscisse $3$ a pour équation:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $x = 6$.
		\item $y = 6$.
		\item $y = 6x-18$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	Visiblement la tangente à la parabole au point d'abscisse $3$ est horizontale son équation est donc $y=6$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Sur $\mathbb{R}$, la dérivée de $f$ est définie par $f'(x)=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{-4}{9}x-\frac{4}{3}$.
		\item $\frac{-4}{9}x+\frac{4}{3}$.
		\item $\frac{4}{9}x-\frac{4}{3}$.
		\item $\frac{4}{9}x+\frac{4}{3}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	$f$ est croissante puis décroissante donc $f'$ doit être positive puis négative. $f'$ est donc l'une des fonctions affines de coefficients directeurs négatifs (a et b).
	
	De plus le changement de sens de variation de $f$ a lieu lorsque $x$ est un zéro de $f'$. Or $f$ change de signe pour $x=3$ et:
	
	$\frac{-4}{9}\times 3-\frac{4}{3}=\frac{-8}{3}$,
	
	$\frac{-4}{9}\times 3+\frac{4}{3}=0$,
	
	donc seule la réponse b convient.
	
	\end{correction}

	\item \begin{sujet}
	
	$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=$
		\begin{enumerate}
		\item $-\infty$.
		\item $+\infty$.
		\item $0$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	L'écart entre $\mathcal{C}_f$ et la première bissectrice croît infiniment et au voisinage de l'infini $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de la première bissectrice.
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -2.5) grid (4,3.5);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (4, 0) node[above left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 3.5) node[below right,fill=white]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3,-2,-1,1,2,3,4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\y}\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2});
		\draw[blue] (-3,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_f$};
		\draw[red] (-2.5,-2.5)--(3.5,3.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

	Donc: $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=-\infty$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$\int_{-1}^4f(x)\ \mathrm{d}x$:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item est nulle.
		\item strictement négative.
		\item strictement positive.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	Comme $f>0$ sur $[-1;4]$, $\int_{-1}^4 f(x)\ \mathrm{d}x$ représente l'aire comprise entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=-1$ et la droite d'équation $x=4$.
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -2.5) grid (4,3.5);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (4, 0) node[above left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 3.5) node[below right,fill=white]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3,-2,-1,1,2,3,4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\y}\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2});
		\draw[blue] (-3,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_f$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
			-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
			-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
			-- (2,0) 
			--(-0.5,0)
			-- cycle;		
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	Donc $\int_{-1}^4 f(x)\ \mathrm{d}x>0$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	La suite $(U_n)$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item minorée non majorée.
		\item majorée non minorée.
		\item bornée.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	La suite $(U_n)$ est représentée graphiquement par les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses entières (positives). D'après le graphique, hormis les trois premiers termes de la suite la suit est décroissante. $(U_n)$ est donc majorée non minorée.
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Pour $a=1$, $V_2$ appartient à:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $ [0; 2]$.
		\item $[2; 4]$.
		\item $[4; 6]$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -2.5) grid (4,3.5);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (4, 0) node[above left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 3.5) node[below right,fill=white]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3,-2,-1,1,2,3,4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\y}\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2});
		\draw[blue] (-3,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_f$};
		\draw[red] (-2.5,-2.5)--(3.5,3.5);
		\draw[green] (0.5,0)--(0.5,{(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2});
		\draw[dashed , color=green] (0.5,{(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2})--(0,{(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2});
		\draw[left] node(0,{(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2}){\color{green}$V_1$};
		\draw[green] (0.5,{(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2})--({(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2},{(-(2/9)*(0.5*2)*(2*0.5)+(4/3)*(2*0.5)+4)/2});
		\draw[green] (5.1111,5.1111)--(5.1111,5.0096);
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	La suite semble converger vers $5$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Pour $a =-1$ , la suite $(V_n)$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item constante.
		\item strictement décroissante.
		\item strictement croissante.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	En traçant les premiers points de la suite,
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -2.5) grid (4,3.5);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (4, 0) node[above left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 3.5) node[below right,fill=white]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3,-2,-1,1,2,3,4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\y}\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2});
		\draw[blue] (-3,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_f$};
		\draw[red] (-2.5,-2.5)--(3.5,3.5);
		\draw[green] (-0.5,0)--(-0.5,{(-(2/9)*(-0.5*2)*(-2*0.5)+(4/3)*(-2*0.5)+4)/2});
		\draw[green] (-0.5,1.2222)--(1.2222,1.2222);
		\draw[green] (1.2222,1.2222)--(1.2222,2.9657);
		\draw[green] (1.2222,2.9657)--(2.9657,2.9657);
		\draw[green] (2.9657,2.0452)--(2.0452,2.0452);
\end{tikzpicture}
\end{center}

	il est visible qu'aucune des trois premières réponses ne convient.
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Pour $a =-4$, $(V_n)$:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item est convergente.
		\item diverge vers $-\infty$.
		\item diverge vers $+\infty$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	D'après le graphique,
	
	\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-4,-2.5) grid (4,3.5);
	\draw[step=1cm, gray] (-4, -2.5) grid (4,3.5);
	\draw[ ->,very thick] (-4, -0) -- (4, 0) node[above left,fill=white]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 3.5) node[below right,fill=white]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3,-2,-1,1,2,3,4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\x}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{2*\y}\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2});
		\draw[blue] (-3,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_f$};
		\draw[red] (-2.5,-2.5)--(3.5,3.5);
		\draw[green] (-2,0)--(-2,-2.4445);
		\draw[green] (-2,-2.4445)--(-2.4445,-2.4445);
\end{tikzpicture}
\end{center}

	la suite $(V_n)$ est alors divergente vers $-\infty$.
		
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{La trigonométrie.}

\begin{sujet}

\emph{Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right)$.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{25}
	\item \begin{sujet}
	
	$f$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item paire.
		\item impaire.
		\item paire et impaire.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	Soit $x\in\mathbb{R}$.
	\begin{align*}
	f(-x) &= -x\cdot \cos\left(\frac{-x}{3}\right)\\
	&= -x\cdot \cos\left(-\frac{x}{3}\right)\\
	\intertext{Et comme la fonction $\cos$ est paire:}
	f(-x)=-x\cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right)
	\end{align*}
	
	Nous avons établit que $f(-x)=-f(x)$ autrement dit la fonction $f$ est impaire.
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$f$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item périodique de période $2\pi$.
		\item périodique de période $6\pi$.
		\item périodique de période $2\pi/3$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	$f$ n'est clairement pas périodique à cause du $x$ devant le cosinus. Démontrons le.
	
	Soit $T$ un réel tel que \[ \forall x\in\mathbb{R},\ f(x+T)=f(x) \]
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Si $x=0$ alors $T\cos \left( \frac{T}{3}\right) =0$.
		
		Ce qui équivaut à $T=0$ ou $\cos \left( \frac{T}{3}\right)=0$. 
		
		Or \[ \cos \left( \frac{T}{3}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{T}{3}= \frac{\pi}{2} \mod 2\pi \text{ ou } \frac{T}{3}=-\frac{\pi}{2} \mod 2\pi\]
		donc \[ T\in I= \{ 0\}\cup \left\{ \frac{3\pi}{2}+6k\pi | k\in\mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{3\pi}{2}+6k\pi | k\in\mathbb{Z} \right\} \]
		
		\item Si $x=\frac{3\pi}{2}$ alors $\left( \frac{3\pi}{2}+T \right) \cos \left( \frac{\pi}{2}+\frac{T}{3}\right) =0$.
		
		Ce qui équivaut à $T=-\frac{2\pi}{2}$ ou $\cos \left( \frac{\pi}{2}+ \frac{T}{3}\right)=0$. 
		
		Or \[ \cos \left( \frac{\pi}{2}+\frac{T}{3}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}+\frac{T}{3}= \frac{\pi}{2} \mod 2\pi \text{ ou } \frac{\pi}{2}+\frac{T}{3}=-\frac{\pi}{2} \mod 2\pi\]
		donc \[ T\in J =\left\{ -\frac{3\pi}{2} \right\} \cup \left\{ 6k\pi | k\in\mathbb{Z} \right\} \cup \left\{-\pi+6k\pi | k\in\mathbb{Z} \right\} \]
		
		\item D'après les deux points précédents $T\in I\cap J=\{ à\}$. Donc $T=0$.
		\end{enumerate}
	
	La fonction $f$ n'est donc pas périodique.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre de solutions sur $[-2\pi ,2\pi]$ de l'équation $f(x)=0$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item $2$.
		\item $3$.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	x\cdot\cos\left(\frac{x}{3}\right)=0 &\Leftrightarrow (x=0) \text{ ou } \left (\cos\left(\frac{x}{3}\right)=0 \right)\\
	&\Leftrightarrow(x=0) \text{ ou } \left(  \frac{x}{3}=\frac{\pi}{2} \mod 2\pi \right) \text{ ou } \left(  \frac{x}{3}=-\frac{\pi}{2} \mod 2\pi \right)\\
	&\Leftrightarrow (x=0) \text{ ou } \left( x=\frac{3\pi}{2} \mod 6\pi \right)  \text{ ou } \left(  x=-\frac{3\pi}{2} \mod 6\pi \right)
	\end{align*}
	 
	L'ensemble des solutions de l'équation sur $[-2\pi,2\pi]$ est $\left\{ 0, \frac{3\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2} \right\}$.
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Sur $\mathbb{R}$, la fonction dérivée $f'$ est définie par $f'(x)=$:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $-x\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.
		\item $\cos\left(\frac{x}{3}\right) +x\cdot\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.
		\item $\cos\left(\frac{x}{3}\right) -x\cdot\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	$f$ est le produit d'une fonction polynomiale et d'une fonction composée de cosinus et d'une fonction affine, donc est dérivable sur  $\mathbb{R}$. 
	
	Pour tout $x\in\mathbb{R}$
	\begin{align*}
	f'(x) &= \cos\left(\frac{x}{3}\right)+x\cdot \left( -\frac{1}{3}\sin \left(\frac{x}{3} \right) \right)\\
	&= \cos\left(\frac{x}{3}\right)-\frac{x}{3}\cdot\sin \left(\frac{x}{3} \right)
	\end{align*}
	
	\end{correction} 
		
	\item \begin{sujet}
	
	Sur $\mathbb{R}$, la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=0$ est définie par $F(x)=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{x^2}{2}\cdot \sin\left(\frac{x}{3}\right)$.
		\item $\frac{3x^2}{2}\cdot\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.
		\item $9\cos\left(\frac{x}{3}\right)+3x\cdot\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	Nous pouvons user d'une intégration par parties.
	
	\begin{align*}
	F(x) &= \int_0^x t\cos\left( \frac{x}{3} \right)\\
	&= \left[ t\cdot 3\sin\left( \frac{t}{3} \right)\right]_0^x-\int_0^x 3\sin\left( \frac{t}{3} \right) \ \mathrm{d}t\\
	&= 3x \cdot \sin \left( \frac{x}{3} \right)-3 \left[-3\cos\left(\frac{t}{3}\right)\right]_0^x\\
	&= 3x \cdot \sin \left( \frac{x}{3} \right)+9 \cos \left( \frac{x}{3} \right)-9
	\end{align*}
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	$\lim_{x\to+\infty} f(x)=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $-\infty$.
		\item $+\infty$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Choisissons pour $x$ la suite de valeurs $6n\pi+\frac{3\pi}{2}$. Comme $\left( 6n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)\cos \left( \frac{6n\pi +\frac{3\pi}{2}}{3}\right) =\left( 6n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)\cos \left( 2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=0$ la suite $\left( \left( 6n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)\cos \left( \frac{6n\pi +\frac{3\pi}{2}}{3}\right)  \right)$ est constante égale à $0$.
		\item Choisissons pour $x$ la suite de valeurs $6n\pi$. Comme $6n\pi \cos\left( \frac{6n\pi}{3}\right)=6n\pi\cos\left(2n\pi\right)=6n\pi$ la suite $\left(6n\pi \cos\left( \frac{6n\pi}{3}\right) \right)$ diverge vers $+\infty$.
		\item Deux suites tendant vers $+\infty$ ont des suites images par $f$ n'ayant pas les memes limites $f$ n'a pas de limite en $+\infty$.
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$\lim_{x\to+\infty} f\left(\frac{1}{x}\right)=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $-\infty$.
		\item $+\infty$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	-1&\le \cos \left(\frac{1}{3x}\right) &\le 1\\
	-\frac{1}{x} &\le \frac{1}{x}\cos\left(\frac{1}{3x}\right) &\le \frac{1}{x}
	\end{align*}
	Donc par encadrement: $\lim_{x\to+\infty}f\left(\frac{1}{x}\right)=0$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\ \mathrm{d}x$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item nulle.
		\item strictement négative.
		\item strictement positive.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	$f$ est impaire donc l'intégrale est nulle.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Algorithmique.}

\begin{sujet}

\emph{On considère l'algorithme suivant:}

\begin{center}
\emph{
\noindent\begin{tabular}{m{8cm}}
Saisir un entier $N\ge1$\\
Affecter à $S$ la valeur $0$\\
Affecter à $I$ la valeur $0$\\
Tant que $S<N$\\
	\begin{tabular}{m{1cm}m{6.5cm}}
	&Affecter à $S$ la valeur $S+I^2$\\
	&Affecter à $I$ la valeur $I+1$\\
	\end{tabular} \\
Fin de tant que\\
Afficher $S$\\
Afficher $I$
\end{tabular}
}
\end{center}

\end{sujet}

\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{33}
	\item \begin{sujet}
	
	La valeur de $S$ affichée pour $N=30$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $14$.
		\item $30$.
		\item $55$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	$S$ représente la somme des carrés des premiers entiers tant que celle-ci reste strictement inférieure à $N$.
	
	\noindent\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	Étapes & $S$ & $I$ & $N$\\ \hline
	0 & 0 & 0 & 30 \\ \hline
	1 & 0 & 1 & 30 \\ \hline
	2 & 1 & 2 & 30\\ \hline
	3 & 5 & 3 & 30 \\ \hline
	4 & 14 & 4 & 30 \\ \hline
	5 & 30 & 5 & 30 \\ \hline
	\end{tabular}
	
	Donc si $N=30$ l'algorithme s'arrete à l'étape 5 et la valeur affichée par $S$ est donc $30$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}

	La valeur de $I$ affichée pour $N=30$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $4$.
		\item $5$.
		\item $6$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	$S$ représente la somme des carrés des premiers entiers tant que celle-ci reste strictement inférieure à $N$.
	
	\noindent\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	Étapes & $S$ & $I$ & $N$\\ \hline
	0 & 0 & 0 & 30 \\ \hline
	1 & 0 & 1 & 30 \\ \hline
	2 & 1 & 2 & 30\\ \hline
	3 & 5 & 3 & 30 \\ \hline
	4 & 14 & 4 & 30 \\ \hline
	5 & 30 & 5 & 30 \\ \hline
	\end{tabular}
	
	Donc si $N=30$ l'algorithme s'arrête à l'étape 5 et la valeur affichée par $I$ est donc $5$.
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	La plus petite valeur de $N$ telle que $I=3$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $1$.
		\item $2$.
		\item $3$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	$S$ représente la somme des carrés des premiers entiers tant que celle-ci reste strictement inférieure à $N$.
	
	\noindent\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	Étapes & $S$ & $I$ &$N$\\ \hline
	0&0&0&$N$\\ \hline
	1 & 0&1 & $N$ \\ \hline
	2 & 1 & 2 & $N$\\ \hline
	3 & 5 & 3 &$N$\\ \hline 
	\end{tabular}
	
	Si $N=2$ l'algorithme s'arrête à l'étape 3 et $I=2$. 
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	La plus grande valeur de $N$ telle que $I=3$ est :
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $1$.
		\item $3$.
		\item $5$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	$S$ représente la somme des carrés des premiers entiers tant que celle-ci reste strictement inférieure à $N$.
	
	\noindent\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	Étapes & $S$ & $I$ &$N$\\ \hline
	0&0&0&$N$\\ \hline
	1 & 0&1 & $N$ \\ \hline
	2 & 1 & 2 & $N$\\ \hline
	3 & 5 & 3 &$N$\\ \hline
	\end{tabular}
	
	Si $N=5$ l'algorithme s'arrête à l'étape 3.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Les complexes.}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{37}
	\item \begin{sujet}
	
	L'écriture exponentielle de $\sqrt{3}-i$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\sqrt{2}\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{6}}$.
		\item $\sqrt{2}\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{3}}$.
		\item $2\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{6}}$.
		\item $2\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{3}}$.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Recherche du module.
		
		\begin{align*}
		|\sqrt{3}-i| &=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}\\
		&= \sqrt{4}\\
		&= 2
		\end{align*}
		
		\item Recherche de d'un argument $\theta$.
		
		\[ \left\{\begin{array}{l}
		\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\\
		\sin \theta =\frac{-1}{2}
		\end{array} \right. \]
		
		Donc: $\theta =-\frac{\pi}{6} \mod 2\pi$.
		
		\end{enumerate} 
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$(\sqrt{3}-i)^9$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item un réel strictement négatif.
		\item un réel strictement positif.
		\item un imaginaire pur.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	Déterminons l'expression de $\sqrt{3}-i$ sous forme trigonométrique.
	\[ |\sqrt{3}-i| = \sqrt{\sqrt{3}2+(-1)^2}=2 \]
	et donc, en notant $\theta$ un argument de $\sqrt{3}-i$:
	\[ \left\{\begin{array}{l}
	\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\\
	\sin \theta = -\frac{1}{2}
	\end{array} \right. \]
	D'où: $\theta =-\frac{\pi}{6} \mod 2\pi$
	
	Nous en déduisons \[ (\sqrt{3}-i)^9=\left( 2 \mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{6}} \right)^9=2^9\mathrm{e}^{-i9\times \frac{\pi}{6}}=2^9\mathrm{e}^{-i\frac{3\pi}{2}}=2^9\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}} \]
	Donc $(\sqrt{3}-i)^9$ est un imaginaire pur.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

\emph{Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$ du plan complexe, on considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ où $z\ne -2$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=\frac{z-1}{z+2}$.}

\end{sujet}

\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{39}
	\item \begin{sujet}
	
	Si $z=-i$ alors $z'=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{-1}{5}-\frac{3}{5}i$. 
		\item $\frac{-1}{5}+\frac{3}{5}i$.
		\item $\frac{-1}{2}+i$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	Déterminons l'expression algébrique de $z'$ lorsque $z=-i$.
	
	\begin{align*}
	z' &= \frac{-i-1}{-i+2}\\
	&= \frac{(-i-1)(i+2)}{(-i+2)(i+2)}\\
	&= \frac{-i\times i-2i-i-2}{2^2+1^2}\\
	&= \frac{-1-3i}{5}\\
	&= -\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Si $z'=-i$ alors $z=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}$.
		\item $\frac{-1}{2}-\frac{3}{2}i$.
		\item $\frac{-3}{2}+\frac{1}{2}i$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	Si $z$ est solution de l'équation $\frac{z-1}{z+2}=-i$ alors nous en déduisons successivement:
	\begin{align*}
	z-1&=-i(z+2) \text{ et } (z\ne -2)\\
	(1+i)z &= 1-2i\\
	z &= \frac{1-2i}{1+i}\\
	z &= \frac{(1-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\
	z &= \frac{1-i-2i-2}{1^2+1^2}\\
	z &= \frac{-1-3i}{2}
	\end{align*}
	
	Réciproquement  nous vérifions que $\frac{-1-3i}{2}$ est bien solution.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	L'ensemble des points $M$ tels que $OM'=1$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item une droite privée d'un point.
		\item un cercle privé d'un point.
		\item une droite.
		\item un cercle.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	Si $OM'=1$ alors $\left|\frac{z-1}{z+2}\right|=1$.
	
	Autrement dit: $|z-1|=|z+2|$. 
	
	Ce qui géométriquement donne: $MA=MB$ avec $A$ d'affixe 1 et $B$ d'affixe $-2$.
	
	Donc l'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	L'ensemble des points $M$ tels que $z'=-\overline{z'}$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item une droite privée d'un point.
		\item un cercle privé d'un point.
		\item une droite.
		\item un cercle
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	z'=-\overline{z'} &\Leftrightarrow z'+\overline{z'}\\
	&\Leftrightarrow 2\mathrm{Re}(z')=0
	\end{align*}
	
	Or:
	\begin{align*}
	z' &= \frac{z-1}{z+2}\\
	&= \frac{(z-1)(\overline{z}+2)}{|z+2|^2}
	\end{align*}
	
	En notant $z=x+iy$ l'écriture algébrique de $z$:
	\begin{align*}
	(z-1)(\overline{z}+2) &= (x+iy-1)(x-iy+2)\\
	&= x^2-ixy+2x+ixy+y^2+2iy-x+iy-2\\
	&= x^2+y^2+x-2+3yi\\
	&= 
	\end{align*}
	
	Ainsi 
	\begin{align*}
	\mathrm{Re}(z')=0 &\Leftrightarrow x^2+x+y^2-2=0\\
	&= \left( x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+y^2=2\\
	&= \left( x+\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{9}{4}
	\end{align*}
	
	L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ et de rayon $\frac{3}{2}$ sauf le point d'affixe $-2$ qui appartient bien à ce cercle.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{La géométrie analytique dans l'espace.}

\begin{sujet}

\emph{Dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j, \vec k)$ de l'espace, on considère les points $A(0,-5,0)$, $B(1,0,1)$, $C(-1,-7,0)$ et $D(a,0,-1)$ où $a$ est un réel.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{43}
	\item \begin{sujet}
	
	Une équation du plan $(ABC)$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $3x + y + 2z + 5 = 0$.
		\item $x + y - 6z + 5 = 0$.
		\item $-2x + y- 3z + 5 = 0$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	Les points $A$, $B$ et $C$ sont distincts et non alignés ils forment donc bien un plan.
	
	Si l'une des équations cartésiennes proposées est celle de $(ABC)$ alors les coordonnées des trois points vérifie cette équation. Nous remarquons: \[ \left\{\begin{array}{l}
	-2\times 0 +(-5)-3\times 0 +5=0\\
	-2\times 1+0-3\times 1 +5 =0\\
	-2\times (-1)+(-7)-3\times 0+5=0
	\end{array} \right. \]
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$ lorsque $a =$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $1$.
		\item $3$.
		\item $4$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$ si et seulement si $AD^2=AB^2+DB^2$, d'après le théorème de Pythagore.
	
	Or:
	\begin{align*}
	AD &= \sqrt{x_A-x_D)^2+(y_A-y_D)^2+(z_a-z_D)^2}\\
	&= \sqrt{ (0-a)^2+(-5-0)^2+(0-(-1))^2}\\
	&= \sqrt{a^2+26}
	\intertext{et}
	AB &= \sqrt{(0-1)^2+(-5-0)^2+(0-1)^2}\\
	&= \sqrt{27}\\
	\intertext{et encore}
	DB &= \sqrt{(a-1)^2+(0-0)^2+(-1-1)^2}\\
	&= \sqrt{(a-1)^2+4}
	\end{align*}
	donc 
	\begin{align*}
	AD^2 = AB^2+BD^2 &\Leftrightarrow a^2+26 =27+(a-1)^2+4\\
	&\Leftrightarrow 0=-2a+1+5\\
	&\Leftrightarrow a=3
	\end{align*}
	
	Ainsi $ABD$ est rectangle en $B$ si et seulement si $a=3$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles lorsque $a =$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{-10 }{7}$.
		\item $\frac{10}{7}$.
		\item $4$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	$(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.
	
	Or
	\begin{align*}
	\overrightarrow{AD} & \left( \begin{array}{c} x_D-x_A\\ y_D-y_A \\ z_D-z_A\end{array} \right)\\
	\overrightarrow{AD} & \left( \begin{array}{c} a-0\\ 	0-(-5) \\ -1-0 \end{array} \right)\\
	\overrightarrow{AD} & \left( \begin{array}{c} a \\ 5 \\ -1 \end{array} \right)
	\intertext{et de même}
	\overrightarrow{BC} & \left(\begin{array}{c} -1-1 \\ -7-0 \\ 0-1 \end{array} \right)\\
	\overrightarrow{BC} & \left(\begin{array}{c} -2 \\ -7 \\ -1 \end{array} \right)
	\intertext{donc pour ($\lambda_1,\lambda_2) \in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$}
	\lambda_1\overrightarrow{AD}+\lambda_2\overrightarrow{BC}=\vec 0 &\Leftrightarrow 
	\left\{ \begin{array}{l}
	\lambda_1a+\lambda_2 (-2)=0\\
	\lambda_15+\lambda_2 (-7)=0\\
	\lambda_1 (-1)+\lambda_2(-1)=0
	\end{array} \right.
	\end{align*}
	Nous déduisons de la troisième égalité que $\lambda_1=-\lambda_2$. Puis de la première égalité nous déduisons que $a=-2$.
	
	Ainsi $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèle alors nécessairement $a=-2$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre de valeurs de $a$ tel que $AD = BC$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item $2$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	AD &= \sqrt{a^2+26}\\
	\intertext{et}
	BC &= \sqrt{54}
	\end{align*}
	Si $AD=BC$ alors $a^2+26=54$ et donc $a=\sqrt{28}$ ou $a=-\sqrt{28}$.
	
	Réciproquement nous vérifions que ces deux possibilités correspondent à $AD=BC$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$x^2-4x+y^2+3y=4$ est une équation:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item de cercle.
		\item de sphère.
		\item de plan.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	\[ x^2-4x+y^2+3y=4 \Leftrightarrow ( x-2)^2+\left( y+\frac{3}{2}\right) =4+4+\frac{9}{4} \]
	
	Donc pour chaque valeur de $r$ de $z$ l'équation est celle du cercle de centre $\left(2,-\frac{3}{2},0, r\right)$ de rayon $\sqrt{\frac{41}{4}}$ du plan d'équation $z=r$. Autrement dit l'équation est celle d'un cyclindre.
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Une équation de la sphère de centre $C$ et de rayon $OA$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $x^2 + 2x + y^2 + 14y + z^2 = -25$.
		\item $x^2 + 2x + y^2 + 14y + z^2 = 25$.
		\item $x^2 - 2x + y^2 - 14y + z^2 = -25$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	Déterminons l'équation de la sphère de centre $C$ et de rayon $OA$.
	\[ OA = \sqrt{0^2+(-5)^2+0 ^2}=5 \]
	donc une équation de la sphère est \[ (x-(-1))^2+(y-(-7))^2+(z-0)^2=5^2 \]
	En développant on obtient \[ x^2+2x+y^2+14y+z+50=25 \]
		
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Les probabilités.}

\begin{sujet}

\emph{Soient $A$ et $B$ deux événements non impossibles, non certains et indépendants l'un de l'autre. De manière générale:}

\end{sujet}

\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{49}
	\item \begin{sujet}
	
	$P(A\cup B)=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $P(A)+P(B)$.
		\item $P(A)\times P(B)$.
		\item $P(A)\times P(\overline{B})+P(B)$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	P(A\cup B) &= P(A)+P(B)-PA\cap B)\\
	\intertext{or $A$ et $B$ étant indépendants $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ donc}
	P(A\cup B) &= P(A)+P(B)-P(A)\times P(B)\\
	&=P(A) [1-P(B)]+P(B)\\
	&= P(A)\times P(\overline{B})+P(B)
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$P_B(\overline{A})=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $P_{\overline{B}}(A)$.
		\item $1-P(A)$.
		\item $P(\overline{A}\cap B)$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Si $A$ et $B$ sont indépendants alors $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
		
		Démontrons cette assertion.
		
		D'après la formule des probabilités totales
		\begin{align*}
		P(B) &= P(\overline{A}\cap B) +P(A\cap B)\\
		\intertext{donc, $B$ étant non impossible}
		1 &= \frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)} +\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
		1 &= P_B(\overline{A})+P_B(A)
		\end{align*}
		
		\item Par définition de la probabilité conditionnelle
		\begin{align*}
		P_B(\overline{A}) &= \frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}\\
		\intertext{d'après le point précédent $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants:}
		P_B(\overline{A}) &= \frac{P(\overline{A})\times P(B)}{P(B)}\\
		&= P(\overline{A})\\
		&= 1-P(A)
		\end{align*}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

\medskip
\emph{Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $( 8; 0,3)$; $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi
uniforme sur $[-2;1]$ et $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.}

\end{sujet}

\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{51}
	\item \begin{sujet}
	
	$P(X=1)-P(X=7)$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item nul.
		\item strictement négatif.
		\item strictement positif.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	P(X=1)-P(X=7) &= \binom{8}{1}0,3^10,7^7-\binom{8}{7} 0,3^70,7^1\\
	&= \frac{8!}{1§(8-1)!}0,3\times 0,7^7-\frac{8!}{1§(8-1)!}0,3^7\times 0,7\\
	&= 8\times 0,3 \times 0,7^7- 8\times 0,3^7\times 0,7\\
	&= 8\times 0,3\times 0,7 (0,7^6-0,3^6)
	\end{align*}
	
	La fonction $x\mapsto x^6$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ nous pouvons conclure.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$E(X) =$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $7,7$.
		\item $8,3$.
		\item $2,4$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	$X\hookrightarrow \mathcal{B}(8;0,3)$ donc $E(X)=np=8\times0,3=2,4$.
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	$P(-1\le Y\le 2)=$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $1$.
		\item $\frac{2}{3}$.
		\item $-1$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse b.
	
	\medskip
	$Y$ suit la loi uniforme sur $[-2,1]$ donc:
	\begin{align*}
	P(-1\le Y\le 2) &= \int_{-1}^1 \frac{1}{1-(-2)}\ \mathrm{d} t\\
	&= \left[ \frac{1}{3}t\right]_{-1}^1\\
	&= \frac{1}{3}\times 1-\frac{1}{3}\times (-1)\\
	&=\frac{2}{3}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$E(Y) =$
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $-\frac{1}{3}$.
		\item $1$.
		\item $\frac{1}{3}$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	E(Y) &= \int_{-2}^1 t\times \frac{1}{1-(-2)}\ \mathrm{d} t\\
	&= \left[ \frac{t^2}{6} \right]_{-2}^1\\
	&= \frac{1^2}{6}-\frac{(-2)^2}{6}\\
	&= -\frac{1}{2}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$P(Z<-2)-P(Z\ge 2)$:
		\begin{enumerate}
		\item est nul.
		\item est strictement négatif.
		\item est strictement positif.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	$P(Z<-2)$ et $P(Z\ge 2)$ représente des aires égales sous la courbe en cloche car la loi normale est centrée la représentation graphique présente donc une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$E(Z)$:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item est nulle.
		\item est strictement négative.
		\item est strictement positive.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	$Z\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$ ($Z$ est centrée) donc $E(Z)=0$.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{Les statistiques.}

\begin{sujet}

\emph{Mesdames \textbf{Ave} et \textbf{Nir} se présentent à une élection nationale. Un sondage effectué sur un échantillon de $n$ personnes (où $n \ge 50$) donne $52\%$ des suffrages à \textbf{Ave} et $48\%$ à \textbf{Nir}. Soit $p$ la proportion des votants pour madame \textbf{Ave}.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{57}
	\item \begin{sujet}
	
	Pour $n = 400$, un intervalle de confiance de $p$, au niveau $95\%$ est:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $[0,51; 0,53]$.
		\item $[0,49; 0,55]$.
		\item $[0,47; 0,57]$.
		\item $[0,45; 0,59]$.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	$n=400$ et $p=\frac{52}{100}$.
	
	Puisque $n\ge 25$ et $0,2\le p \le 0,8$ nous pouvons utiliser l'approximation de l'intervalle de confiance: $\left[ p-\frac{1}{\sqrt{n}} , p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]$.
	
	Or $p-\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{52}{100}-\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{52}{100}-\frac{1}{20}=\frac{52}{100}-\frac{5}{100}=\frac{47}{100}$ et, de même, $p+\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{57}{100}$.
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Le nombre minimal de personnes interrogées permettant d’affirmer, au niveau $95\%$ que madame Ave va être
élue est :
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\np{1500}$.
		\item $\np{2000}$.
		\item $\np{2500}$.
		\item $\np{3000}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse c.
	
	\medskip
	Pour être sûr, au niveau de $95\%$, que madame Ave soit élue il faut que la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation des fréquences $\left[ p-\frac{1}{\sqrt{n}} , p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ soit supérieure à $0,5$. Autrement dit il faut que 
	\begin{align*}
	p-\frac{1}{\sqrt{n}} &\ge \frac{50}{100}\\
	\frac{52}{100}-\frac{1}{\sqrt{n}} &\ge \frac{50}{100}\\
	\frac{2}{100} &\ge \frac{1}{\sqrt{n}}\\
	\sqrt{n} &\ge 50
	\end{align*}
	
	Il faut donc que $n\ge 50^2=2500$.
	
	\end{correction}

	\item \begin{sujet}
	
	Pour obtenir une amplitude $2$ fois plus petite de l'intervalle de confiance de $p$, il suffirait de multiplier le nombre initial de votants par:
		\begin{enumerate}[a.]
		\item $\frac{1}{4}$.
		\item $\frac{1}{2}$.
		\item $2$.
		\item $4$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse d.
	
	\medskip
	Notons $n$ le nombre initial de votants.
	
	L'amplitude de l'intervalle de confiance 	$\left[ p-\frac{1}{\sqrt{n}} , p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est $\frac{2}{\sqrt{n}}$. 
	
	Soit $\alpha$ le nombre par lequel il faut multiplier $n$ pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit divisée par 2. Il faut donc \[ \frac{2}{\sqrt{\alpha n}} =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \]
	Donc \[ 2\sqrt{n}=\sqrt{\alpha}\sqrt{n}\]
	et enfin \[\alpha =2^2=4\]
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{center}
FIN DE L’EPREUVE
\end{center}

\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

