%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

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\usepackage{amssymb,amsthm}
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\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
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\TextField[name=formname,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!15, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques. - \thepage]{\small Mathématiques. - \thepage}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small Avenir 2012. - \thepage]{\small Avenir 2012. - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, red = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicesdumanuel}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours avenir 2012.}

\begin{center}
EPREUVE DE MATHEMATIQUES

DUREE : 1h30mn

Coefficient 5
\end{center}


\subsection*{\color{purple}Consignes spécifiques.}

Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti.

La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale.

Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

Aucun brouillon n’est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l’usage de brouillon.

L’usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n’est autorisé.

Attention, il ne s’agit pas d’un examen mais bien d’un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet « difficile », ne vous arrêtez pas en cours de composition, n’abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous!

Barème: afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points, tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’1 point.

\subsection*{\color{purple}La logique et son contraire.}

	\begin{enumerate}
	\item Le contraire de \og tous les élèves de TS1 sont des filles\fg{} est:
		\begin{enumerate}
		\item \og tous les élèves de TS1 sont des garçons\fg{}.
		\item \og tous les élèves de TS1 ne sont pas des garçons\fg{}.
		\item \og au moins un des élèves de TS1 n’est pas une fille \fg{}.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
		\medskip
		\item Le contraire de \og $A^2=B^2$ \fg{} est:
			\begin{enumerate}
			\item \og $A\ne B$\fg{}.
			\item \og $ A\ne B \text{ ou } A\ne -B$ \fg{}.
			\item \og $ A\ne B \text{ et } A\ne -B$ \fg{}.
			\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
			\end{enumerate}
		
		\medskip
		\item Le contraire de \fg il existe une unique solution réelle à l’équation $f (x)=0$ \fg{}est:
			\begin{enumerate}
			\item \og l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution réelle\fg{}.
			\item \og l’équation $f(x)=0$ admet un nombre fini de solutions réelles \fg{}.
			\item \og l’équation $f(x)=0$ admet une infinité de solutions réelles \fg{}.
			\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
			\end{enumerate}
		
		\medskip
		 \item Le contraire de \og f est une fonction non dérivable en $a$ \fg{}est:
		 	\begin{enumerate}
		 	\item \og $\underset{x\rightarrow a}{\lim} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ est réelle \fg{}.
		 	\item \og $\underset{x\rightarrow a}{\lim} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ est infinie \fg{}.
		 	\item \og $\underset{x\rightarrow a}{\lim} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ n'existe pas \fg{}.
		 	\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		 	\end{enumerate}
		 
		 \end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Complexes.}

Dans le plan complexe on considère l'application $\psi$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que: $z'=i \overline{z}+1$.

	\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{18}
	
	\item $\overline{z'}=$
		\begin{enumerate}
		\item $iz-1$.
		\item $-iz-1$.
		\item $iz+1$
		\item$-iz+1$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\overline{z'} &= \overline{i\overline{z}+1}\\
	&= \overline{i\overline{z}}+\overline{1} \\
	&= \overline{i} \overline{\overline{z}}+1\\
	&= -iz+1
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item Sachant que la forme algébrique de $z$ est $x+iy$, celle de $z'$ est:
		\begin{enumerate}
		\item $x-iy$.
		\item $1+i(x-iy)$.
		\item $(y+1)+ix$.
		\item $(y+1)-ix$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	z' &= i\overline{z}+1\\
	&= i(x-iy)+1\\
	&= ix+y+1\\
	&= (y+1)+ix
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item Lorsque $z=\frac{3i}{1-i}$ la forme algébrique de $z'$ est:
		\begin{enumerate}
		\item $\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i$.
		\item $\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$.
		\item $\frac{5}{2}-\frac{3}{2}i$.
		\item $\frac{5}{2}+\frac{3}{2}i$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	z' &= i\overline{z}+1\\
	&= i\frac{\overline{3i}}{\overline{1-i}}+1\\
	&= i\frac{-3i}{1+i}+1\\
	&= \frac{3}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i}+1\\
	&=\frac{3-3i}{2}+1\\
	&= \frac{5}{2}-\frac{3}{2}i
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item L'antécédent par $\psi$ du point d'affixe $\frac{3i}{1-i}$ a pour affixe:
		\begin{enumerate}
		\item $\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i$.
		\item $\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$.
		\item $\frac{5}{2}-\frac{3}{2}i$.
		\item $\frac{5}{2}+\frac{3}{2}i$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	i\overline{z}+1 &= \frac{3i}{1-i}\\
	\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
	\overline{z} &= -i\left( \frac{3i}{1-i}-1 \right) \\
	\overline{\overline{z}} &= \overline{\frac{3}{1-i}+i}\\
	z &= \frac{\overline{3}}{\overline{1-i}}+\overline{i}\\
	z &= \frac{3}{1+i}-i\\
	z &= \frac{3}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i}-i\\
	z &= \frac{3-3i}{2}-i\\
	z &= \frac{3}{2}-\frac{5}{2}i
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item Le nombre de points invariants par $\psi$ est:
		\begin{enumerate}
		\item $0$.
		\item $1$.
		\item infini.
		\item Aucune des trois proposition proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Dire que le point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $\psi$ équivaut successivement à:
	
	\begin{align*}
	z &= i\overline{z}+1\\
	x+iy &= i(x-iy)+1\\
	x+iy &= y+ix+1\\
	(x-y-1) +i(y-x) &= 0
	\end{align*}
	
	$$\left\{\begin{array}{rcl} x-y-1&=&0 \\ y-x &= & 0\end{array}\right.$$	
	$$\left\{\begin{array}{rcl} x-x-1&=&0 \\ y &= & x\end{array}\right.$$
	 $$\left\{\begin{array}{rcl} -1&=&0 \\ y &= & x\end{array}\right.$$
	
	Ce qui est impossible il n'y donc pas de solution au système. Il n'y a pas de points invariants par $\psi$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item L'ensemble des points $M$, lorsque $z'$ est un imaginaire pur, est décrit par:
		\begin{enumerate}
		\item l'axe des abscisses.
		\item l'axe des ordonnées.
		\item la droite d'équation: $y=-1$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Dire que $z'$ est un imaginaire pur équivaut successivement à:
	\begin{align*}
	\frac{1}{2}(z'+\overline{z'}) &= 0\\
	z'+\overline{z'} &= 0\\
	i\overline{z}+1 + \overline{i\overline{z}+1} &= 0\\
	i(x-iy)+1+(-i)(x+iy)+1 &= 0\\
	2+2y &=0 \\
	 y=-1
	 \end{align*}
	 
	 \end{correction}
	 
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Continuité, dérivabilité et intégration.}

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout réel $x$: $g'(x)=f(x)$ et $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $\varphi (x)=g'(-x)-(g(-x))'$

	\medskip
	\begin{enumerate}
	\item $g$ est donc sur $\mathbb{R}$:
		\begin{enumerate}
		\item la dérivée de $f$.
		\item une dérivée de $f$.
		\item la primitive de $f$.
		\item une primitive de $f$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	C'est une primitive de $f$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item Pour tout réel $x$: $\varphi(x)=$
		\begin{enumerate}
		\item $0$.
		\item $2f(-x)$.
		\item $-2f(-x)$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}
	
	\bigskip 
	Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:
	$$h(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^3 \text{ sur }]-\infty ;0] \\ x^2 \text{ sur }]0;1]\\ x \text{ sur }]1;4[ \\ \sqrt{x} \text{ sur } [4;+\infty [ \end{array} \right.$$
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{26}
	\item Le plus grand ensemble sur lequel $h$ est continue est:
		\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{R}$.
		\item $\mathbb{R}\setminus \{ 4 \}$.
		\item $\mathbb{R}\setminus \{4;1;0\}$.
		\item Aucune des trois proposition proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item Le plus grand ensemble sur lequel $h$ est dérivable est:
		\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{R}$.
		\item $\mathbb{R}\setminus \{ 4 \}$.
		\item $\mathbb{R}\setminus \{4;1;0\}$.
		\item Aucune des trois proposition proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item Le nombre de solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $h(x)=3$ est:
		\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 2
		\item 3
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item Le nombre de solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $\frac{2h(x)}{x}=1$ est:
		\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 2
		\item 3
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item $\int_{-1}^1 h(x)\ \mathrm{d}x=$
		\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{12}$
		\item $0$.
		\item $\frac{2}{3}$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\item La primitive $H$ de $h$ sur $[-1;1]$ s'annulant en 0:
		\begin{enumerate}
		\item est définie par $H(x)= \frac{x^4}{4}$.
		\item est définie par $H(x)= \frac{x^3}{3}$.
		\item n'existe pas.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item Le plus grand ensemble sur lequel la fonction: $x\mapsto \ln (h(x)-3)$ est définie
		\begin{enumerate}
		\item est $]-3;3]$.
		\item est $]3;+\infty [$.
		\item est $]3;4[\cup ]9;+\infty [$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Suites.}

Soit la suite $(u_n)$ où $n\in \mathbb{N}^*$ définie par: $\left\{ \begin{array}{l} u_2=11 \\ u_{n+1} =u_n -\frac{2}{n(n+1)} \text{ pour }n\ge 1 \end{array} \right.$

	\medskip
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{33}
	\item $u_3=$
		\begin{enumerate}
		\item $10$.
		\item $\frac{32}{3}$.
		\item $\frac{65}{6}$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	$u_3=u_2- \frac{2}{2(2+1)}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item $u_1=$
		\begin{enumerate}
		\item $10$.
		\item $11$.
		\item $12$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte. 
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	$u_2=u_1-\frac{2}{1(1+1)} \Leftrightarrow u_2+1=u_1 \leftrightarrow u_1= 12$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item $(u_n)$ est:
		\begin{enumerate}
		\item une suite arithmétique non géométrique.
		\item une suite géométrique non arithmétique.
		\item une suite arithmétique et géométrique.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Il ne s'agit d'aucune des trois proposition.
	
	\end{correction}
		
	\medskip
	\item $(u_n)$ est:
		\begin{enumerate}
		\item une suite croissante.
		\item une suite décroissante.
		\item une suite monotone.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Clairement: $u_{n+1}=u_n-\frac{2}{n(n+1)}<u_n$. La suite est donc strictement décroissante.
	
	\end{correction}
		
	\medskip
	\item $(u_n)$ est:
		\begin{enumerate}
		\item une suite convergente.
		\item une suite divergente vers $+\infty$.
		\item une suite divergente vers $-\infty$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	u_{n+1} &= u_1-\frac{2}{1(1+1)}-\frac{2}{2(2+1)}-\dots -\frac{2}{n(n+1)}\\
	&= u_1-2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\\
	&= u_1-2\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
	&= u_1 -2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}+2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}\\
	&= u_1-2\times\frac{2}{1}+2\frac{1}{n(n+1)}
	\end{align*}
	
	D'où: $u_n\underset{n+\infty}{\rightarrow }12-2=10$.
	
	\medskip
	Une présentation plus simple: 
	\begin{align*}
	u_{n+1} &= u_n -2\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\
	u_{n+1} &= u_n -\frac{2}{n} +\frac{2}{n+1}\\
	\intertext{Donc:}
	u_{n+1}-\frac{2}{n+1} &= u_n -\frac{2}{n}\\
	\intertext{Ceci étant vrai pour tout $n$ on en déduit (par récurrence):}
	u_n-\frac{2}{n} &= u_1-\frac{2}{1}\\
	u_n-\frac{2}{n} &= 10
	\end{align*}
	
	Puis on passe à la limite dans cette dernière égalité.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	\item Pour tout $n\in \mathbb{N}^*,\ u_n=$
		\begin{enumerate}
		\item $12-\frac{2}{n}$
		\item $10,5+\frac{1}{n}$
		\item $10+\frac{2}{n}$
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	D'après la réponse précédente aucune ne convient.
	
	\end{correction}
			
	\medskip
	\item $\sum_{k=1}^{4} (-1)^ku_k=$
		\begin{enumerate}
		\item $\frac{-7}{6}$.
		\item $0$.
		\item $\frac{7}{6}$.
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\sum_{k=1}^4 (-1)^ku_k &= -u_1+u_2-u_3+u_4\\
	&= (u_2-u_1)+(u_4-u_3)\\
	&= \frac{2}{1(1+1)}+\frac{2}{3(3+1)}\\
	&= 1+\frac{1}{6}\\
	&= \frac{7}{6}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Les probabilités.}

Dans une boite se trouvent 12 jetons indiscernables au toucher tel que sur chacun d’entre eux est inscrit l’un des 12 caractères de : CONCOURS2012 (chacun des 12 caractères n’étant inscrit que sur l’un des 12 jetons).

On tire successivement et sans remise deux des jetons de cette boite et l’on considère les événements: $A$: \og Les deux jetons sont des consonnes \fg{} et $B$: \og Les deux jetons représentent le même
caractère \fg{}.
	
\subsection*{\color{purple}Géométrie analytique dans l'espace.}

Dans le repère orthonormé $\left( C; \frac{1}{5}\overrightarrow{CO},\frac{1}{3}\overrightarrow{CV},\frac{1}{4}\overrightarrow{CE}\right)$, on considère le pavé droit ci-dessous: $COAVENIR$ tels que (en centimètres): $CO=5$, $CV=3$ et $CE=4$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
		\draw(0,0)node[below]{$C$};
		\draw(5,0)node[below]{$O$};
		\draw(7,1)node[right]{$A$};
		\draw(2,1)node[above left]{$V$};
		\draw(0,4)node[left]{$E$};
		\draw(5,4)node[above left]{$N$};
		\draw(7,5)node[above]{$I$};
		\draw(2,5)node[above]{$R$};
		\draw[blue, thick](0,0)--(5,0);
		\draw[blue, thick](5,0)--(7,1);
		\draw[blue, thick,dashed](7,1)--(2,1);
		\draw[blue, thick,dashed](2,1)--(0,0);
		\draw[blue, thick](0,4)--(5,4);
		\draw[blue, thick](5,4)--(7,5);
		\draw[blue, thick](7,5)--(2,5);
		\draw[blue, thick](2,5)--(0,4);
		\draw[blue, thick](0,0)--(0,4);
		\draw[blue, thick](5,0)--(5,4);
		\draw[blue, thick](7,1)--(7,5);
		\draw[blue, thick,dashed](2,1)--(2,5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{51}
	\item Les coordonnées du milieu de $[EA]$ sont:
		\begin{enumerate}
		\item $\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$.
		\item $\left( \frac{5}{2};\frac{3}{2};2 \right)$.
		\item $\left( \frac{5}{2};\frac{3}{2};-2 \right)$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item En centimètres, la longueur $EA$ est égale à:
		\begin{enumerate}
		\item $4$.
		\item $\sqrt{3}$.
		\item $5\sqrt{2}$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\medskip
	\item Le produit scalaire $\overrightarrow{CN} .\overrightarrow{RO}$ est égal à:
		\begin{enumerate}
		\item $-9$.
		\item $0$.
		\item $9$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item Une équation cartésienne du plan $(RVO)$ est:
		\begin{enumerate}
		\item $y-3=0$.
		\item $4y-3z=0$.
		\item $x+y-1=0$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item En centimètres, la distance du point $I$ au plan $(RVO)$ est égale à:
		\begin{enumerate}
		\item $\frac{15}{\sqrt{34}}$.
		\item $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
		\item $3$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item En centimètres carrés, l’aire du triangle $RVO$ est égale à:
		\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{34}$.
		\item $2\sqrt{34}$.
		\item $3\sqrt{34}$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item En centimètres cubes, le volume du tétraèdre $RVOI$ est égal à:
		\begin{enumerate}
		\item $10$.
		\item $20$.
		\item $30$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\medskip
	\item L’ensemble des points $M$ de l’espace tels que: $||\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{ME}||$ est:
		\begin{enumerate}
		\item une droite ou un cercle.
		\item un plan.
		\item une sphère.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
		
	\medskip
	\item L’ensemble des points $M$ de l’espace tels que: $||\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{ME}||$ est:
		\begin{enumerate}
		\item une droite ou un cercle.
		\item un plan.
		\item une sphère.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
			-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
			-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
			-- (2,0) 
			--(-0.5,0)
			-- cycle;		
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}


