%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/agregation_interne.html}{Agrégation interne 2022 première épreuve.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Agrégation interne 2022 première épreuve.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/agregation_interne_2022_maths/agregation_interne_2022_mathematiques_epreuve_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/agregation_interne_2022_maths/agregation_interne_2022_mathematiques_epreuve_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
		
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 6 heures.}
		
	\end{sujet}

\end{center}

\begin{sujet}
		
	\subsubsection{Notations.}
	
	\emph{Dans tout le sujet, $\mathbb{R}$ désignera le corps des nombres réels et $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels. De plus $n$ désignera un entier naturel strictement supérieur à $1$.}
	
	\medskip
	\emph{On considère un espace probabilisé $\left( \Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P} \right)$. Pour $X$ une variable aléatoire réelle définie sur $\Omega$, on note $\mathbf{E}(X)$ son espérance (lorsqu'elle existe) et $\mathbf{V}(X)$ sa variance (lorsqu'elle existe).}
	
	\emph{On rappelle que, sous réserve d'existence, la covariance de deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $\Omega$ est le nombre réel noté $\mathbf{Cov}(X,Y)$ et défini par} \[ \mathbf{Cov}(X,Y)= \mathbf{E} \left( \left( X -\mathbf{E}(X) \right)\left( Y -\mathbf{E}(Y) \right) \right)= \mathbf{E}(XY)-\mathbf{E}(X) \mathbf{E}(Y). \]
	
	\emph{En conséquence sous réserve de l'existence de $\mathbf{V}(X)$, $\mathbf{V}(Y)$ et $\mathbf{V}(X+Y)$:} \[ \mathbf{V}(X+Y)= \mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)+2 \mathbf{Cov}(X,Y). \]
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\subsubsection{Objectifs du problème.}
	
	\emph{Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$. On se place dans le contexte où la loi de $X$ n'est pas complètement spécifiée et où cette loi dépend d'un paramètre $\theta$ inconnu. Le but de l'estimation consiste à approcher la valeur de ce paramètre $\theta$, ou éventuellement la valeur de son image $g(\theta)$ par une fonction réelle $g$.}
	
	\emph{La première partie revient sur quelques résultats au sujet des séries entières. La deuxième partie étudie les familles sommables. Dans les deux dernières parties, on se place dans le cas où $X$ est une variable aléatoire définie sur $\Omega$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\theta$ inconnu et on développe quelques outils pour l'estimation de ce paramètre.}

\end{sujet}

\subsection{Séries entières.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les affirmation suivantes ont-elles vraies ou fausses? On justifiera soigneusement les réponses.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Affirmation: \og soient $(u_k)_{k\in\mathbb{N}}$ et $(v_k)_{k\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels positifs, telles que la série de terme général $v_k$ converge et que pour tout $k\in\mathbb{N}$, $u_k\leqslant v_k$. Alors la série de terme général $u_k$ converge également\fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'affirmation.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}_+^{\mathbb{N}}$ donc $\left( \sum_{k=0}^n u_k \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
				
				\item Puisque: $\forall k \in \mathbb{N},\ u_k \leqslant v_k$ en sommant: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n u_k \leqslant \sum_{k=0}^n v_k. \]
				
				Or: $\left( v_n \right)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}_+^{\mathbb{N}}$, donc \[ \forall \ell \in\mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \ell > n \Rightarrow \sum_{k=0}^n u_k \leqslant \sum_{k=0}^n v_k + \sum_{k=n+1}^{\ell} v_k. \]
				
				Puisque $\sum_{n\geqslant 0} v_n$ est croissante et convergente: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n u_k \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} v_k . \]
				
				\item Aux deux points précédents nous avons établi que la suite $\left( \sum_{k=0}^n u_k \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et majorée donc elle est convergente.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Affirmation:  \og soient $(u_k)_{k\in\mathbb{N}}$ et $(v_k)_{k\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels, telles que la série de terme général $v_k$ converge et que pour tout $k\in\mathbb{N}$, $u_k\leqslant v_k$. Alors la série de terme général $u_k$ converge également\fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exhibons un contre-exemple.}
			
			Posons: $\forall n \in \mathbb{N}, \left\{ \begin{array}{l} v_n = 2^{-n} \\u_n=-n \end{array} \right.$.
			
			On a bien \[ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leqslant v_n,\] et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge (vers $0$) et pourtant $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Affirmation: \og soit $(u_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels tous non nuls. On suppose que \[ \lim_{k \to +\infty} \left| \frac{u_{k+1}}{u_k} \right| = \ell, \] avec $\ell<1$. Alors la série de terme général $u_k$ converge absolument\fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\sum_{k \geqslant 0} |u_k|$ converge.}
			
			Soit $q=\frac{1+\ell}{2}$.
			
			Puisque $\lim_{k \to + \infty} \left| \frac{u_{k+1}}{u_k}\right| = \ell$: \[ \exists N \in\mathbb{N},\ \forall k \in \mathbb{N},\ k\geqslant N \Rightarrow \left|  \frac{u_{k+1}}{u_k}\right| - \ell < q- \ell. \]
			
			Donc: \[ \forall k\in \mathbb{N},\ k \geqslant N \Rightarrow | u_{k+1} | < q |u_k|.\]
			
			En itérant: \[ \forall k\in\mathbb{N},\ k \geqslant N \Rightarrow |u_{k+N} | < q^k |u_N|. \]
			
			Par construction de $q$, $l<q<1$, donc la série géométrique $|u_N|\sum_{k\geqslant N} q^k$ converge. D'après la question I.1.(a) (quitte à changer l'indexation) nous en déduisons par comparaison de séries positives, que $\sum_{k\geqslant N}|u_k|$ est convergente et donc que $\sum_{k\geqslant 0}|u_k|$ l'est aussi.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Affirmation: \og soit $(u_k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions réelles continues définies sur un même intervalle $I$, telle que pour tout $x \in I$, la suite $\left(u_k(x) \right)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers un réel $\mathcal{U}(x)$. La fonction $\mathcal{U}$ ainsi définie sur $I$ est continue\fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exhibons un contre-exemple.}
			
			Soit \[ \forall k \in \mathbb{N},\ u_k: \left\{ \begin{array}{ccl} [0;1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^{k} \end{array} \right. \]
			
			$(u_k(x))_{k\in\mathbb{N}}$ est une suite de fonctions continues sur $[0;1]$ qui converge vers \[ U(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0\ \text{si}\ x \in[0;1[\\ 1 \ \text{sinon} \end{array} \right. \]
			
			$x \mapsto U(x)$ n'est pas continue en $1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Question de cours.} Soit $(u_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels. On rappelle que le rayon de convergence de la série entière de terme général $u_kx^k$ est défini par \[ R=\sup \left\{ x \in \mathbb{R}\ | \ \left( \left|u_kx^k \right| \right)_{k\in\mathbb{N}} \text{ est majorée} \right\} \in \mathbb{R}_+ \cup \{ +\infty\}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Montrer que si $|x|<R$, alors la série de terme général $u_kx^k$ converge absolument.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Démontrons l'implication proposée.}
				
				Soit $x$ tel que: $|x|<R$.
				
				Par définition de la borne supérieure, il existe $r\in\mathbb{R}$ tel que $|x|< r<R$ et $\left(  |u_kr^k | \right)_{k\in\mathbb{N}}$ est majorée.
				
				$\left(  |u_kr^k | \right)_{k\in\mathbb{N}}$ est majorée donc \[ \exists M \in\mathbb{R}_+,\ \forall k \in\mathbb{N},\ |u_kr^k | \leqslant M.\]
				
				\medskip
				Soit $k \in \mathbb{N}$.
				
				\[ |u_k x^k|=|u_k r^k| \cdot \left| \frac{x}{r} \right|^k \leqslant M \cdot \left| \frac{x}{r} \right|^k. \]
				
				Puisque $\left| \frac{x}{r} \right|< 1$ la série géométrique $\sum_{k\geqslant 0} \left| \frac{x}{r} \right|^k$ converge. Donc par comparaison de séries positives, $\sum_{k\geqslant 0} |u_kx^k|$ converge.
				
				\begin{conclusion}
					
					Si $|x|<R$ alors $\sum_{k \geqslant 0} u_kx^k$ converge absolument.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Monter que si $|x|>R$, alors la série de terme général $u_kx^k$ diverge.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Si $|x|>R$ alors $(|u_kx^k|)_{k\in \mathbb{N}}$ n'est pas majorée donc diverge.
				
				Notamment $(|u_kx^k|)_{k\in \mathbb{N}}$, et donc $(u_kx^k)_{k\in \mathbb{N}}$, ne tend pas vers $0$. D'où
				
				\begin{conclusion}
					
					$\sum_{k\geqslant 0} u_kx^k$ diverge grossièrement.
					 
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On considère alors la fonction $\mathcal{S}:]-R,R[ \rightarrow \mathbb{R}$ définie par \[ \mathcal{S}(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} u_kx^k. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $R' \in ]0,R[$. Montrer que la série de terme général $u_kx^k$ converge uniformément sur $[-R',R']$. Que peut-on en déduire sur la régularité de $S$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item \objectif{Montrons la convergence uniforme.}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					\item Puisque $0<R'<R$: $\forall k \in \mathbb{N},\ \forall x \in [-R',R'],\ |u_kx^k|\leqslant |u_kR'^k|$.
					
					\item D'après I.2.(a).i.: $\sum_k u_kR'^k$ converge absolument.
					
				\end{enumerate}
				
				Donc $\sum_k u_kx^k$ converge normalement sur $[-R',R']$.
				
				Donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\sum_k u_kx^k$ converge uniformément sur $[-R',R']$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Justifions que $\mathcal{S}$ est continue sur $]-R,R[$.} 
				
				$\sum_k u_kx^k$ converge uniformément sur $[-R',R']$ et, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $x\mapsto u_kx^k$ est continue donc $\mathcal{S}$ est continue sur $[-R',R']$.
				
				Enfin, ceci étant vrai pour tout $R' \in ]0;R[$, nous en déduisons que
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathcal{S}$ est continue sur $]-R,R[$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le rayon de convergence de la série de terme général $(k+1)u_{k+1}x^k$ est égal à $R$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\sum_{k \in \mathbb{N}} (k+1)u_{k+1}x^k$ est une série entière. Notons $R_d$ son rayon de convergence.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Soit $x \in ]-R_d,R_d[$.
				
				\medskip
				\objectif{Démontrons que $|x| \leqslant R$.}
				
				Pour tout $n \in\mathbb{N}^*$:
				\begin{align*}
					|u_nx^n| &\leqslant |nu_nx^n|\\
					&\leqslant |nu_nx^{n-1}| \cdot |x|\\
					&\leqslant |nu_nx^{n-1}| \cdot R_d
				\end{align*}
				
				Puisque $x \in ]-R_d,R_d[$, $(|nu_nx^{n-1}|)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est majorée et donc $(|u_nx^n|)_{n \in \mathbb{N}^*}$ l'est aussi.
				
				$(|u_n x^{n}|)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est majorée donc $(|u_n x^{n}|)_{n\in\mathbb{N}}$ l'est aussi et par conséquent $|x|\leqslant R$.
				
				Ceci étant vrai pour tout $x \in ]-R_d,R_d[$, nous avons
				
				\begin{conclusion}
					
					$R_d\leqslant R$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Si $R=0$ clairement: $R \leqslant R_d$. Supposons $R>0$ et soit $x \in ]-R,R[$.
				
				\medskip
				\objectif{Démontrons que $|x| \leqslant R_d$.}
				
				Soit $\rho = \frac{|x|+R}{2}$. On a donc  $0\leqslant |x|< \rho<R$ puisque $0\leqslant |x| < R$.
				 
				Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
				
				\begin{align*}
					|n u_nx^{n-1}| &= |u_n \rho^n| \cdot \frac{1}{\rho} \cdot n \left| \frac{x}{\rho} \right|^{n-1}
				\end{align*}
				
				Par comparaison de suite arithmétique et géométrique, et puisque $0\leqslant\frac{|x|}{\rho}<1$: $\lim_{n\to + \infty} \frac{1}{\rho} n \left| \frac{x}{\rho} \right|^{n-1}=0$.
				
				De plus $(|u_n\rho^n|)$ est majorée donc $(nu_nx^{n-1})_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$. Par conséquent $(|nu_nx^{n-1}|)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est majorée. Nous en déduisons que $x\leqslant R_d$.
				
				Ceci étant vrai pour tout $x \in ]-R,R[$, nécessairement 
				
				\begin{conclusion}
					
					$R \leqslant R_d$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons:
			
			\begin{conclusion}
				
				$R=R_d$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\mathcal{S}$ est indéfiniment dérivable sur $]-R,R[$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$: \og $S^{(n)}=\sum_{k=0}^{+\infty} v_{n,k} x^k$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-R,R[$. \fg{} est vraie.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{enumerate}[.]
					\item Pour $n \in \mathbb{N}$, $x \mapsto u_nx^n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-R,R[$,
					\item  $\sum_{n\geqslant 1} nu_nx^{n-1}$ converge localement uniformément sur $]-R,R[$ d'après la question 2.(b),
					\item $\sum_{n\geqslant 0} u_n0^n$ converge,
					
				\end{enumerate}
				
				donc $\sum_{n\geqslant 0} u_{n}x^n$ converge localement uniformément sur $]-R,R[$ vers $\mathcal{S}$ qui est de classe $\mathcal{C}^1$ et $S'(x)=\sum_{n=0} ^{+\infty}(n+1)u_{n+1}x^n$ pour tout $x \in ]-R,R[$.
				
				\item Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons que $S^{(k)}=\sum_{i=0}^{+\infty} x\mapsto v_{k,i} x^i$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-R,R[$.
				
				En appliquant le même raisonnement qu'à l'initialisation on obtient que $S^{(k+1)}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-R,R[$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $r$ un entier naturel non nul. Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général $\dfrac{k^rx^k}{k!}$. Déterminer sa somme lorsque $r=1$ et lorsque $r=2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons le rayon de convergence.}
			
			
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note, pour tout entier $N\geqslant 1$, $\alpha_N$ le nombre de partitions de l'ensemble $\llbracket 1, N \rrbracket$ et on convient que $\alpha_0=1$
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que pour tout entier $N \geqslant 0$, \[ \alpha_{N+1}=\sum_{k=0}^N \binom{N}{k} \alpha_k. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que, pour tout $N\geqslant 0$, $\alpha_N \leqslant N!$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que la série entière de terme général $\dfrac{\alpha_N x^N}{N!}$ converge pour tout $x$ réel tel que $|x|<1$. On note $f(x)$ sa somme.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $f$ est dérivable sur $]-1,1[$ et que pour tout  $x\in]-1,1[$, $f'(x)=\mathrm{e}^x f(x)$. 
			
			En déduire que pour tout $x \in ]-1,1[$, $f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x-1}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que pour tout entier naturel $N$, \[ \alpha_N=\frac{1}{\mathrm{e}} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^N}{k!}. \]
			
		\end{sujet}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\subsection{Familles sommables.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Soit $I \subset \mathbb{N}^n$. Les éléments de $I$ seront notés sous la forme $\underline{i}=(i_1,i_2, \dots, i_n)$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Cas des familles sommables de réels positifs.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Soit $u=\left(u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i} \in I }$ une famille de réels positifs ou nuls indexée par $I$. on dit que $u$ est sommable lorsque la borne supérieure suivante est finie:} \[ \sup \left\{ \sum_{\underline{i} \in J},\ J\subset I \text{ et } J \text{ fini} \right\}<+\infty. \]
	
	Dans ce cas, on note \[ \sum_{\underline{i}\in I} u_{\underline{i}} =\sup \left\{ \sum_{\underline{i} \in J},\ J\subset I \text{ et } J \text{ fini} \right\}.\]
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	Soit $\left(u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I}$ et $\left(v_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I}$ deux familles de réels positifs et $a,b$ deux réels positifs.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que pour tout $\underline{i} \in I$, \[ u_{\underline{i}} \leqslant v_{\underline{i}}. \]
		
		Montrer que si $v$ est sommable, alors $u$ est sommable.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $u$ et $v$ sont sommables. Montrer que la famille $au+bv$ définie par \[ (au+bv)_{\underline{i}}= au_{\underline{i}}+bv_{\underline{i}}\] est sommable et que\[ \sum_{\underline{i}\ I}\left( au_{\underline{i}}+bv_{\underline{i}} \right) = a \left( \sum_{\underline{i}\in I} v_{\underline{i}} \right) + \textbf{ }.\]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère $\left( I_k \right)_{ k\in \mathbb{N}}$ une famille de sous-ensembles de $I$ tels que
		
		\begin{enumerate}[$\triangleright$]
			\item $\bigcup_{k \in \mathbb{N}} I_k=I$.
			\item Pour tout $k,l \in \mathbb{N}$, distincts, $I_k \cap I_l=\emptyset$.
		\end{enumerate}
		
		Par convention, si $I_k=\emptyset$, on pose \[ \sum_{\underline{i}\in I_k}u_{\underline{i}}=0.\]
		
		On suppose que $u$ est sommable.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la famille $\left(u_{\underline{i}}\right)_{\underline{i}\in I_k}$ est sommable pour tout $k \in \mathbb{N}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$, \[ \sum_{k=0}^p \left( \sum_{\underline{i} \in I_k} u_{\underline{i}} \right) \leqslant \sum_{\underline{i} \in I} u_{\underline{i}}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la série de terme général $\displaystyle \sum_{\underline{i} \in I_k} u_{\underline{i}}$ converge. Sa somme est notée $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{\underline{i}\in I_k} u_{\underline{i}}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que \[ \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{\underline{i}\in I_k} u_{\underline{i}} \leqslant \sum_{\underline{i} \in I} u_{\underline{i}}. \]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Réciproquement, montrer que si la famille $\left( u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I_k}$ est sommable pour tout $k \in \mathbb{N}$ et si la série de terme général $\displaystyle \sum_{\underline{i} \in I_k} u_{\underline{i}}$ converge, alors $\left( u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I}$ est sommable et \[ \sum_{\underline{i} \in I} u_{\underline{i}} \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{\underline{i}\in I_k} u_{\underline{i}}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduire des questions précédentes le résultat suivant, appelé \emph{théorème de sommation par paquets}:
		
		$\left( u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I_k}$ est sommable pour tout $k \in \mathbb{N}$ et la série de terme général $\sum_{\underline{i}\in I_k} u_{\underline{i}}$ converge si et seulement si $\left( u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i} \in I}$ est sommable. De plus, dans ce cas, \[ \sum_{\underline{i} \in I} u_{\underline{i}} = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{\underline{i}\in I_k} u_{\underline{i}}. \]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Cas des familles sommables de réels quelconques.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Soit $u=\left(u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i} \in I}$ une famille de réels indexée par $I$. On dit que $u$ est sommable lorsque la famille de réels positifs ou nuls $|u|=\left( |u_{\underline{i}}| \right)_{\underline{i}\in I}$ est sommable.}
	
	\emph{Soit $u=\left(u_{\underline{i}}\right)_{\underline{i}\in I}$ une famille de réels indexée par $I$. Pour tout $\underline{i}\in I$, on pose} \[ u_{\underline{i}}^+=\max(u_{\underline{i}},0) \quad \text{et} \quad u_{\underline{i}}^-=\max(-u_{\underline{i}},0).\]
	
	\emph{Ceci définit deux familles $u^+=\left( u_{\underline{i}}^+ \right)_{\underline{i} \in I}$ et $u^-=\left( u_{\underline{i}}^- \right)_{\underline{i} \in I}$ de réels positifs ou nuls.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $u=\left( u_{\underline{i}}^+ \right)_{\underline{i} \in I}$ une famille de réels indexée par $I$. Montrer que la famille $u$ est sommable si et seulement si les familles $u^+$ et $u^-$ sont sommables.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour $\left(u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i} \in I}$ une famille sommable de réels, on définit alors sa somme par} \[ \sum_{\underline{i}\in I} u_{\underline{i}}=\left( \sum_{\underline{i}\in I} u_{\underline{i}}^+ \right) - \left( \sum_{\underline{i}\in I} u_{\underline{i}}^- \right). \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{10}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $u=\left( u_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I}$ et $u=\left( v_{\underline{i}} \right)_{\underline{i}\in I}$ deux familles sommables de réels.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la famille $u+v$ définie par \[ (u+v)_{\underline{i}}=u_{\underline{i}}+ v_{\underline{i}} \] est sommable et \[ \sum_{\underline{i}\in I}(u_{\underline{i}}+ v_{\underline{i}} ) =\]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-2};
		\def\xcoinhautdroit{4};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
		%Points
		\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{3};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
			nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
			nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{3};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Nombre de nœuds du troisième niveau
		\def\noC{12};
		%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
		\def\noCe{2};
		%Écarts entre nœuds du troisième niveau
		\def\xC{2+\xB};
		\def\yC{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
		\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
		}{
			\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
			\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Création des nœuds
		\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
		\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
		\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
		\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
		%Branches entre les nœuds
		\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
		\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
		\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			def fonction(variable1):
			variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
	sudo apt update
	sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (AA) at (-9,6.5);
		\node (AA) at (AA) {};
		\coordinate (BB) at (9,6.5);
		\node (BB) at (BB) {};
		\coordinate (CC) at (9,-6.5);
		\node (CC) at (CC) {};
		\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
		\node (DD) at (DD) {};
		\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}