%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/agregation_interne.html}{Agrégation interne oral 221} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{221 Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de $\mathbb{R}$ (l'intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples.}

\begin{notes}
	
	Partir de la définition générale de l'absolue convergence, se ramener à la convergence d'une intégrale impropre positive. Puis finir sur le cas des intégrales semi-convergentes.
	
\end{notes}

Notation pour toute la leçon: $a \in \mathbb{R}$, $b \in \overline{\mathbb{R}}$ avec $a<b$.

\subsection{Cas de l'intégrande à valeurs réelles.}

Dans ce chapitre  $f:[a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction continue.

\begin{définition}
	
	Nous dirons que l'\emph{\color{purple}intégrale impropre $\displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ converge} si et seulement si $x \mapsto \int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$ admet une limite finie en $b^-$.
	
	Dans le cas contraire nous dirons que l'\emph{\color{purple}intégrale impropre $\displaystyle \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ diverge}.
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Si $f$ est prolongeable par continuité en $b^-$ alors en considérant ce prolongement il est possible de se ramener au cas d'une fonction Riemann-intégrable.
	\item Sous réserve que les intégrales considérées soient toutes convergentes nous retrouvons la linéarité des intégrales.
\end{enumerate}

\medskip
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item $\int_1 ^{+\infty} \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$ diverge vers $+ \infty$. 
	\item $\int_1 ^{+\infty} \frac{1}{t^2}\ \mathrm{d}t$ converge vers $1$.
	\item $\int_{0}^{+\infty} \cos(t)\ \mathrm{d}t$ diverge sans limite.
	\item $\int_{0}^1 \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$ diverge vers $+\infty$.
	\item $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\ \mathrm{d}t$ converge vers $2$.
	\item $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t}\ \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\alpha >0$.
\end{enumerate}

\begin{théorème}{ - Exemple de Riemann}
	
	Soit $\alpha \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}}\ \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\alpha >1$.
		\item $\displaystyle \int_0^{1} \frac{1}{t^{\alpha}}\ \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\alpha <1$.
	\end{enumerate}
	
\end{théorème}

\begin{proposition}{ - Positivité de l'intégrale généralisée.}
	
	Si l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ est convergente et si $f \geqslant 0$, alors \[ \int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t \geqslant 0. \]
	
\end{proposition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$, $f\leqslant g$ et si $\int_a^bf$ et $\int_a^b g$ sont convergentes, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.
\end{enumerate}

\subsection{Intégrale généralisée avec une intégrande à valeurs dans $\mathbb{R}^+$.}

Dans ce chapitre  $f:[a,b[ \rightarrow \mathbb{R}_+$ est une fonction continue (et positive).

\begin{proposition}{ - Comparaison d'intégrandes positives.}
	
	Soit $g:[a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$.
	
	Si $f\leqslant g$  et si $\int_a^b g$ est une intégrale impropre convergente alors $\int_a^b f$ est une intégrale impropre convergente.
	
\end{proposition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item La condition $g \geqslant 0$ est implicite mais devient importante pour les autres critères de comparaison (prépondérance, équivalence).
	\item Nous en déduisons que si $g \geqslant 0$, si $f = \underset{b^-}{\mathrm{o}}(g)$ et si $\int_a^b g$ converge alors $\int_a^b f$ converge.
	\item Et encore: si $g\geqslant 0$ et si $f \underset{b^-}{\sim} g$ alors $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ sont de même nature.
\end{enumerate}

\begin{proposition}{ - Exemple de Bertrand}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\alpha , \beta ) \in \mathbb{R}^2$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha} (\ln t)^{\beta}}\ \mathrm{d}t$ converge si et seulement si: $\alpha >1 \ \text{ou}\ (\alpha=1\ \text{et}\ \beta >1)$.
		\item $\int_0^{\frac{1}{\mathrm{e}}} \frac{1}{x^{\alpha} |\ln t|^{\beta}}\ \mathrm{d}t$ converge si et seulement si: $\alpha <1 \ \text{ou}\ (\alpha=1\ \text{et}\ \beta >1)$
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsection{Convergence absolue d'une intégrale généralisée.}

Dans ce chapitre  $f:[a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction continue. \emph{$f$ pourrait aussi bien être à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie.}

\begin{définition}
	
	Nous dirons que l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)\ \mathrm{d}t$ \emph{\color{purple}converge absolument} si et seulement si l'intégrale impropre $\int_a^b |f|(t)\ \mathrm{d}t$ converge.
	
\end{définition}

\medskip
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item Exemple convergence absolue: $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\ \mathrm{d}t$.
\end{enumerate}

\begin{théorème}{ - Convergence et convergence absolue}
		
	Si $\int_a^b f$ converge absolument alors l'intégrale impropre $\int_a^b f$ converge.
	
	\medskip
	Dans ce cas: $ \left| \int_a^b f \right| \leqslant \int_a^b |f|.$
	
\end{théorème}

\medskip
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item Exemple de Dirichlet: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\ \mathrm{d}t$ de convergence simple sans convergence absolue. Convergence semi-simple.
\end{enumerate}

\subsection{Développement: exemple de Bertrand.}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Distinguons trois cas.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Supposons $\alpha >1$.
			
			Dans ce cas d'après le théorème fondamental de l'analyse quelque soit $x \in [1; +\infty[$
			
			\begin{align*}
				\int_1^{x} \frac{1}{t^{\alpha}}\ \mathrm{d}t &= \left[ \frac{1}{(-\alpha +1) x^{\alpha}} \right]_1^x\\
				&= \frac{1}{(-\alpha +1) x^{\alpha+1}}- \frac{1}{(-\alpha +1) 1^{\alpha+1}} \\
				&= \frac{1}{(-\alpha +1) x^{\alpha+1}}- \frac{1}{-\alpha +1}
			\end{align*}
			
			Par conséquent et puisque $\alpha >1$, \[ \int_1^x \frac{1}{t^{\alpha}}\ \mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} -\frac{1}{-\alpha +1}. \]
			
			Ainsi l'intégrale impropre $\int1^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\ \mathrm{d}t$ est convergente et converge vers $-\frac{1}{-\alpha+1}$.
			
			\item Supposons $\alpha <1$.
			
			En procédant comme ci-dessus nous voyons que dans ce cas l'intégrale impropre $\int1^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\ \mathrm{d}t$ est divergente et à pour limite $+\infty$.
			
			\item Supposons $\alpha=1$.
			
			Nous retrouvons un exemple déjà étudié.
			
			$\int_1 ^{+\infty} \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$ est une intégrale impropre divergente vers $+ \infty$. En effet, si $x \in [1; + \infty[$, alors $\int_1 ^{+\infty} \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t= \ln x \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons donc établi grâce aux trois points précédents que si l'intégrale impropre converge alors nécessairement $\alpha >1$. Le premier point établi la réciproque.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}}\ \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\alpha >1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Il est possible de reprendre la précédente démonstration en l'adaptant. Il est également possible de procéder au changement de variable $u=\frac{1}{t}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Prolongements.}

\begin{itemize}
	\item Loi normale.
	\item Noyau de Dirichlet et séries de Fourrier.
	\item Fonction $\Gamma$ d'Euler.
\end{itemize}

\subsection{Connaissances nécessaires.}

\begin{itemize}
	\item Intégrale de Riemann.
	\item Prolongement par continuité.
	\item Primitives usuelles.
	\item Limites de fonctions.
	\item Intégration par parties.
	\item Prépondérance asymptotique.
	\item Développements limités usuels.
	\item Changement de variables dans une intégrale de Riemann.
\end{itemize}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
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%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}