%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/agregation_interne.html}{Agrégation interne oral} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

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%les environnements qu'on affiche ou pas  #
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\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
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%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{101. Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.}

\begin{notes}
	
	Faire du lien entre caractéristique d'un anneau et groupe.
	
\end{notes}

\begin{notes}
		
	Prérequis:
	\begin{enumerate}
		\item Notions de groupes, 
		\item notion de sous-groupes, 
		\item morphisme de groupes,
		\item noyau d'un morphisme et injectivité,
		\item division euclidienne,
		\item relation de congruence dans $\mathbb{Z}$.
	\end{enumerate}
	
\end{notes}
	
\subsection{\color{purple}Groupes monogènes.}

\begin{définition}
	
	Un groupe $(G,\cdot)$ est dit \emph{\color{purple}monogène} si et seulement si \[ \exists x \in G,\ G=\{ x^n\ | \ n\in\mathbb{Z} \}.\]
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Autrement dit les éléments de $G$ peuvent tous s'exprimer comme une puissance d'un certain élément $x$ de $G$.
	\item Nous dirons dans ce cas que $G$ est engendré par $x$ ou que $x$ est un générateur de $G$.
	\item Si de plus $G$ est fini nous dirons de $G$ qu'il est \emph{\color{purple}cyclique}.
	\item L'habitude a consacré l'expression \og ordre \fg{} du groupe pour parler de son cardinal.
	\item Tout élément $x$ d'un groupe engendre un sous-groupe que nous noterons $\langle x \rangle= \{ x^n \ | \ n\in\mathbb{Z} \}$.
	\item L'ordre d'un élément d'un groupe désigne l'ordre du sous-groupe engendré par cet élément.
\end{enumerate}

\medskip
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe monogène engendré par $1$.
	\item $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ est un groupe cyclique engendré par  $\overline{1}$.
	\item Tous les groupes ne sont pas cycliques. Ainsi le groupe de Klein$(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} , +)$, n'est pas cyclique comme le montre la table de Pythagore de sa loi.
\end{enumerate}

\begin{proposition}{}
	
	Tout groupe monogène est abélien.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Un élément de $G$ commute avec lui même donc avec ses puissances. Par conséquent un groupe monogène est abélien.
	 
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item En particulier les sous-groupes d'un groupe monogène sont donc distingués, ce qui permet de considérer des groupes obtenus par passage au quotient.
	\item La contraposée de cette proposition est intéressante: un groupe qui n'est pas abélien n'est pas monogène.
\end{enumerate}

\medskip
Exemples.
\begin{enumerate}
	\item $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont abéliens.
	\item Tout les groupes abéliens (finis) ne sont pas monogènes. Ainsi le groupe de Klein est abélien mais pas monogène.
\end{enumerate}

\begin{théorème}{ - Sous-groupe cyclique engendré}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(G,\cdot)$ un groupe fini,
		\item $x \in G$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $|\langle x \rangle |$ divise $|G|$.
		\item $|\langle x \rangle|= \min \{ n\in\mathbb{N}^*\ | \ x^n=1 \}$ et $\langle x \rangle = \{ e,x,\dots,x^{|\langle x \rangle |-1}  \}$.
	\end{enumerate}
	
\end{théorème}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Application directe du théorème de Lagrange.
		\item Comme $x$ est d'ordre fini nécessairement il existent $r<s$ des entiers naturels tels que $x^r=x^s$ donc $x^{s-r}=e$. Par conséquent il existe $m=\min \{ n\in\mathbb{N}^*\ | \ x^n=e \}$.
		
		\medskip
		Démontrons que $\langle x \rangle \subset \{ e, x, \dots ,x^{m-1} \}$.
		
		Soit $t\in \mathbb{Z}$. Démontrons que $x^t \in \{ e,x,\dots, x^{|\langle x \rangle |-1} \}$.
		
		Il existe $q$ et $r$ dans $\mathbb{N}$ tels que $t=qm+r$ avec $0\leqslant r<m$. Donc: $x^t=(x^m)^qx^r=x^r$. Ainsi $x^t \in \{ e,x,\dots, x^{m-1} \}$.
		
		Par conséquent $\langle x \rangle \subset \{ e, x, \dots ,x^{m-1} \}$.
		
		\medskip
		Démontrons que $\{ e, x, \dots ,x^{m-1} \} \subset \langle x \rangle$.
		
		Soient $s$ et $t$ deux entiers naturels tels que $0 \leqslant s,t <m$. Par construction de $m$, si $x^s=x^t$ alors $s=t$. Autrement dit les $x^k$, $k\in \llbracket 0,m \rrbracket$ sont distincts deux à deux et donc $\{ e, x, \dots ,x^{m-1} \} \subset \langle x \rangle$.
		
		\medskip
		Ainsi $\{ e, x, \dots ,x^{m-1} \} = \langle x \rangle$ et donc $|\langle x \rangle |=m$.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(G, \cdot)$ un groupe fini,
		\item $x \in G$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $x^{| \langle x \rangle |}=e$.
		\item Si $|G|$ est un nombre premier alors $G$ est cyclique et $G$ est engendré par tous ses éléments hormis le neutre.
		\item $x^m=e$ si et seulement si $|\langle x \rangle|$ divise $m$.
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\subsection{\color{purple}Classification des groupes monogènes et leurs sous-groupes.}

\subsubsection{Groupes monogènes infinis.}

\begin{théorème}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont les $(n\mathbb{Z},+)$ pour $n \in \mathbb{N}$.
		\item Si $(G, \cdot)$ est un groupe monogène infini alors $G$ est isomorphe à $(\mathbb{Z},+)$.
	\end{enumerate}
	
\end{théorème}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Évidemment les $n\mathbb{Z}$ sont des sous-groupes de $\mathbb{Z}$. 
		
		Démontrons que réciproquement tout sous-groupe de $\mathbb{Z}$ est de la forme $n\mathbb{Z}$.
		
		Tout d'abord $\{ 0 \} = 0 \mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.
		
		\medskip
		Soit $(H,+)$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ non réduit à $0$.
		
		$H \cap \mathbb{N}^*$ est non vide (quitte à considérer un opposé). Donc $H \cap \mathbb{N}^*$ admet un minimum $n$.
		
		Remarquons qu'en particulier $n\mathbb{Z} \subset H$.
		
		Démontrons que $H \subset n\mathbb{Z}$. Autrement dit montrons que $H \cap \mathbb{N} \subset n\mathbb{N}$.
		
		Soit $h \in H \cap \mathbb{N}$. 
		
		Par divisions euclidienne il existe $q \in \mathbb{N}$ et $r \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$ tels que: $h=qn+r$. Puisque $qn\in n\mathbb{Z} \subset H$, $h-qn\in H$ et donc nécessairement $r \in H$. Le fait que $n$ soit un minimum impose donc: $r=0$. Et par conséquent $h=qn \in n\mathbb{Z}$.
		
		Nous avons démontré que $H \subset n\mathbb{Z}$.
		
		\item Notons $\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{Z} & \rightarrow & G \\ n & \mapsto & g^n \end{array} \right.$. $\varphi$ est clairement un morphisme de groupes. Par définition des groupes monogènes $\varphi$ est surjective.
		
		Supposons qu'il existe $n\in \mathbb{N}^*$ tel que $g^n=e$. Alors $G$ serait isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donc serait fini, ce qui est impossible. Nécessairement $n=0$. Donc $\mathrm{ker}(\varphi)=\{ 0\}$ et $\mathbb{Z}$ est isomorphe à $G$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Groupes cycliques.}


\begin{théorème}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		\item $(G,\cdot)$ un groupe cyclique d'ordre $n$,
		\item $g$ un générateur de $G$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $(G, \cdot)$ est cyclique d'ordre $n$ alors $G$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$.
		
		\item Si $d$ est un diviseur de $n$ alors $\langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$ est l'unique sous-groupe d'ordre $d$ de $G$.
		
		\item Les générateurs de $G$ sont les $g^k$ avec $k\wedge n=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{théorème}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Notons $\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{Z} & \rightarrow & G \\ k & \mapsto & g^k \end{array} \right.$. $\varphi$ est clairement un morphisme de groupes. Par définition des groupes monogènes $\varphi$ est surjective.
		
		Soit $k \in \mathbb{Z}$ tel que $g^k=e$. D'après le (iii) du corollaire sur les sous-groupes engendrés, ceci équivaut à dire que l'ordre de $g$ divise $k$, ce qui équivaut encore à: $k \in n\mathbb{Z}$. par conséquent: $\mathrm{ker}(\varphi)= n\mathbb{Z}$. 
		
		Finalement $G \sim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item \objectif{Montrons que $\langle x ^{\frac{n}{d}} \rangle$ est sous-groupe cyclique de $G$.}
			
			Clairement $\langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$ est un sous-groupe monogène de $G$. 
			
			\medskip
			$\langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$ est d'ordre inférieur à $d$ puisque $\left( g ^{\frac{n}{d}} \right)^d=e$.
			
			De plus s'il existait un entier naturel $k<d$ tel que $\left( g ^{\frac{n}{d}} \right)^k=e$ ceci contredirait le fait que $\langle g ^{\frac{n}{d}} \rangle$ est d'ordre $d$ (caractère minimal de l'ordre du groupe). Donc nécessairement $ g ^{\frac{n}{d}}$ est d'ordre au moins $d$.
			
			Finalement $\langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$ est d'ordre $d$.
			
			\item \objectif{Montrons l'unicité de $\langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$.}
			
			Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.
			
			Puisque $H$ et $\langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$ ont même ordre il suffit de montrer que $H \subset \langle g ^{\frac{n}{d}} \rangle$ ce que nous allons faire.
			
			Le cas $H = \{ e \}$ étant d'étude triviale soit $h \in H \setminus \{ e \}$. Puisque $H \subset G$: $\exists k\in\mathbb{N}^*,\ g^k=h$. Puisque $H$ est d'ordre $d$, $\left( g^k \right)^d=e$ et donc $n$ divise $kd$. 
			
			Autrement dit: il existe $t \in\mathbb{N}$ tel que $kd=nt$. 
			
			Nous en déduisons que $g^k= g^{\frac{n}{d}t}=\left( g ^{\frac{n}{d}} \right)^t \in \langle g^{\frac{n}{d}} \rangle$.
			
			Et donc $h \in \langle g ^{\frac{n}{d}} \rangle$ puis $H \subset \langle g ^{\frac{n}{d}} \rangle$.
						
		\end{enumerate}
		
		
		\item Si $k \wedge n=1$ alors l'ordre du sous-groupe divisant l'ordre du groupe nécessairement $\langle g^k \rangle = G$.
		
		Réciproquement si $g^k$ est un générateur de $G$ alors nécessairement $k \wedge n=1$ car dans le cas contraire $\left( g^k \right)^{\frac{n}{k}}=e$ donc le sous-groupe engendré par $g^k$ serait d'ordre au plus $\frac{n}{k}$ et ne pourrait égaler $G$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Le groupe réduit au neutre (d'ordre $0$) est aussi un groupe cyclique mais son étude est triviale.
	\item En particulier, d'après (ii), tous les sous-groupes d'un groupe cyclique sont cycliques.
	\item Le (i) autorise à limiter toutes les démonstrations à $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ même si ce n'est pas le choix retenu ici.
	\item Les points (ii) et  (iii) recensent tous les sous-groupes de $G$.
\end{enumerate}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		\item $(G,\cdot)$ un groupe cyclique d'ordre $n$,
		\item $g$ un générateur de $G$,
		\item $\varphi$ l'indicatrice d'Euler.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Les sous-groupes de $G$ sont isomorphes aux groupes $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ avec $d$ parcourant l'ensemble des diviseurs de $n$.
		
		\item $G$ admet $\varphi(n)$ générateurs.
				
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}
	
	Découle du précédent théorème.
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item L'indicatrice d'Euler désigne la fonction $\varphi:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}$ qui à tout $n \in \mathbb{N}$ associe le nombre de d'entiers naturel non plus petits que $n$ qui soient premiers à $n$.
\end{enumerate}

\begin{proposition}{ - Formule de Moëbius}
	
	Notons $\varphi$ l'indicatrice d'Euler.
	
	\[ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ n = \sum_{d | n} \varphi (d). \]
	 
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n\in\mathbb{N}^*$.
	
	Puisque l'ordre d'un élément $g$ de $G$ divise celui de $G$:
	
	\begin{align*}
		|G| &= \sum_{d|n} \mathrm{card} \{ g \in G \ | \ \langle g \rangle =d \} \\
		\intertext{Et puisque $G$ admet exactement $\varphi(d)$ éléments d'ordre $d$:}
		|G| &= \sum_{d | n} \varphi(d)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\subsection{\color{purple}Exemples.}

\subsubsection{Les racines de l'unité.}

\begin{définition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons groupe des racines $n$-ième de l'unité le sous groupe de $(\mathbb{C}^*, \cdot)$ défini par \[ \mathbb{U}_n= \{ z \in \mathbb{C} \ | \ z^n=1 \}. \]
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Cette définition nécessite la vérification que $\mathbb{U}_n$ ainsi défini est effectivement un sous-groupe.
\end{enumerate}


\subsubsection{Produit de groupes cycliques.}

\begin{théorème}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $G$ et $H$ deux groupes cycliques.
		\item $n$ et $m$ les ordres respectifs de $G$ et $H$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$(G \times H , \cdot)$ est cyclique si et seulement $n \wedge m=1$.
	 
\end{théorème}

\begin{preuve}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Supposons que $n \wedge m=1$.
		
		$g$ et $h$ des générateurs respectivement de $G$ et $H$. 
		
		\objectif{Démontrons que $(g,h)$ est d'ordre $nm$ dans  $G \times H$.}
		
		Alors $(g,h)^{nm}=\left( g ^{nm} ,h^{nm} \right)= (e_G;e_H)=e$. Donc l'ordre de $(g,h)$ divise $nm$.
		
		Soit $p$ l'ordre de $(g,h)$, alors, de $g^p=e_G$ et $h^p=e_H$ nous déduisons $n |p$ et $m|p$ et puisque $n\wedge m=1$, nécessairement $nm|p$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(g,h)$ est un élément dont l'ordre égale celui du groupe auquel il appartient donc il est générateur et $G \times H$ est par conséquent cyclique.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Réciproquement supposons que $G \times H$ est cyclique.
		
		Soit donc $(g,h) \in G \times H$ un générateur de $G \times H$ (qui est donc d'ordre $nm$).
		
		\objectif{Démontrons, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement $n$ et $m$ sont premiers.}
		
		Supposons qu'il existe $d>1$ diviseur commun à $n$ et $m$: $n=n'd$ et $m=m'd$. Alors $n'm'd<nm$ et pourtant $(g,h)^{n'm'd}=e$ ce qui contredit le fait que $G \times H$ est cyclique d'ordre $nm$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Ainsi si $G \times H$ est cyclique, nécessairement $n\wedge m=1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Ce résultat réclame de savoir ce qu'est un groupe produit.
	\item Il réclame également de savoir que l'ordre d'un groupe produit est le produit des ordres des groupes le composant.
	\item Ce résultat est extrêmement précieux puisqu'il permet de décomposer un groupe cyclique en un produit de sous-groupes cycliques d'ordres plus petits.
\end{enumerate}

\subsubsection{Sur un corps fini.}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}