%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/agregation_interne.html}{Agrégation interne 2019 première épreuve} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Agrégation interne 2019 deuxième épreuve.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		Durée: $6$ heures.
		
		L'usage de tout ouvrage de référence et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsection*{Notations et présentation du problème.}

\begin{sujet}
	
	\begin{enumerate}[$\rhd$]
		\item On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels, par $\mathbb{Z}$ l'anneau des entiers relatifs, par $\mathbb{R}$ le corps des nombres réels et par $\mathbb{C}$ celui des nombres complexes.
		
		\item On note $\mathbb{R}_+^*$ l'ensemble des réels strictement positifs et $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des entiers strictement positifs.
		
		\item Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. On note $E \setminus F$, l'ensemble des éléments qui appartiennent à $E$ mais pas à $F$.
		
		\item Lorsque le corps $\mathbb{K}$ est égale à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on identifie polynômes et fonctions polynomiales associées. On note $\mathbb{K}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ et, pour $n$ entier, $\mathbb{K}_n[X]$ le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égale à $n$.
		
		\item Si $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, on note $\mathcal{L}(E)$ l'ensemble de ses endomorphismes.
		
		\item On note indifféremment, lorsque la notion est bien définie, $\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d} x^n}$ ou $f^{(n)}(x)$ la dérivée $n$-ième d'une fonction au point $x$. Par convention pour $n=0$, $f^{(0)}(x)=f(x)$.
			
		\item On note $C^0(\mathbb{R},\mathbb{C})$ (respectivement $C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C})$) l'ensemble des fonctions continues (respectivement infiniment dérivables) sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{C}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	Dans la première partie, on introduit la famille des polynômes d'Hermite $(H_n)_{n\in\mathbb{N}}$. On établit son orthogonalité pour un certain produit scalaire, ainsi que d'autres propriétés. Après avoir étudié, en partie II, quelques propriétés de la fonction $\Gamma$ utiles par la suite, on définit et étudie dans la partie III la dérivation d'une fonction à un ordre $s \in \mathbb{R}$, ceci pour une classe appropriée de fonctions. Ce travail permettra de définir une famille de fonctions $(H_s))_{s \in\mathbb{R}}$ qui étend naturellement la famille des polynômes d'Hermite $(H_n)_{n\in\mathbb{N}}$. L'étude des propriétés de cette famille, en lien avec l'équation différentielle d'Hermite, fera l'objet de la partie IV.
		
\end{sujet}

\subsection{Polynômes orthogonaux d'Hermite.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit un couple $(P,Q) \in \mathbb{R}[X]^2$.
			
			Montrer que la fonction de la variable réelle $x$ définie par $x \mapsto P(x)Q(x) \mathrm{e}^{-x^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Au vu de l'ensemble sur lequel nous souhaitons intégrer nous ne pouvons ne contenter de l'intégrale au sens de Riemann. }
			
			\medskip
			Vérifions que $x \mapsto P(x)Q(x) \mathrm{e}^{-x^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ au sens des intégrales impropres.
			
			$x \mapsto P(x)Q(x) \mathrm{e}^{-x^2}$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}$ (continue sur tout segment de $\mathbb{R}$).
			
			Vérifions donc que l'intégrale impropre $ \int_{-\infty} ^{+\infty} P(x)Q(x)\mathrm{e}^{-x^2} \ \mathrm{d}x$ est convergente.
			
			Par linéarité de l'intégrale il suffit de vérifier la convergence de l'intégrale $ \int_{-\infty} ^{+\infty} t^n\mathrm{e}^{-t^2} \ \mathrm{d}t$ avec $n\in\mathbb{N}$.
			
			Par parité de $x \mapsto x^n\mathrm{e}^{-x^2}$ il suffit d'étudier le cas de l'intégrale impropre $ \int_{0} ^{+\infty} t^n\mathrm{e}^{-t^2} \ \mathrm{d}t$ avec $n\in\mathbb{N}$.
			
			\medskip
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que l'intégrale impropre $ \int_{0} ^{+\infty} t^n\mathrm{e}^{-t^2} \ \mathrm{d}t$ est convergente.}
			
			Notons $g_n(x)= x^n\mathrm{e}^{-x^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item Soit $x \in [1,+ \infty[$. De $x^2 \geqslant x$ nous déduisons par monotonie des fonctions considérées: $g_n(x) \leqslant x^n \mathrm{e}^{-x}$.
				
				\item De plus $x^n \mathrm{e}^{-x} = \underset{x \to + \infty}{\mathrm{o}} \left( \frac{1}{x^2} \right)$ et $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}\ \mathrm{d}t$ est une intégrale impropre convergente (exemple de Riemann).
				
				\item Enfin toutes les fonctions considérées sont positives.
				
			\end{enumerate}
			
			Nous déduisons des points précédents, par majoration de l'intégrale impropre qu'elle est convergente.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'intégrale impropre $ \int_{0} ^{+\infty} t^n\mathrm{e}^{-t^2} \ \mathrm{d}t$ est convergente.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Et donc $x \mapsto P(x)Q(x) \mathrm{e}^{-x^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $\langle \ , \ \rangle$ l'application définie sur $\mathbb{R}[X]^2$ par: \[ \forall (P,Q) \in \mathbb{R}[X]^2,\ \langle P,Q \rangle = \int_{-\infty} ^{+\infty} P(x)Q(x)\mathrm{e}^{-x^2} \ \mathrm{d}x. \]
			
			Établir que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\langle \ , \ \rangle$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]^2$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Symétrie.} Découle de la commutativité du produit.
				\item {\color{orange}Bilinéarité.} La bilinéarité de $\langle \ , \ \rangle$ découle de la linéarité des intégrales impropres convergentes.
				\item {\color{orange}Définition.} Soit $x \in \mathbb{R}_+$. Nous avons \[ 0 \leqslant \int_{-x}^{x} P^2(t)\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t \leqslant \int_{-\infty}^{\infty} P^2(t)\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t , \] donc si $\langle P , P \rangle =0$, alors $\int_{-x}^{x} P^2(t)\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t=0$ et l'intégrande étant ici continue et positive nécessairement $t \mapsto P^2(t)\mathrm{e}^{-t^2}$ est nulle sur $[-x,x]$. Nous en déduisons finalement que $P=0$.
				\item {\color{orange}Positivité.} Soit $P \in \mathbb{R}[X]^2$. Clairement: $\forall x \in \mathbb{R},\ P^2(x)\mathrm{e}^{-x^2} \geqslant0$. Donc $\int_{-\infty}^{+\infty} P^2(t)\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t \geqslant 0$
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\langle \ , \ \rangle$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]^2$.
								
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans la suite du problème, on munit $\mathbb{R}[X]$ de cette structure d'espace préhilbertien réel.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer qu'il existe une suite $(Q_k)_{k\in\mathbb{N}}$ d'éléments unitaires de $\mathbb{R}[X]$ deux à deux orthogonaux telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, le sous-espace engendré par $Q_0, \dots ,Q_n$ soit $\mathbb{R}_n[X]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions l'existence de la famille $(Q_k)_{k \in \mathbb{N}}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La famille $(X^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est une base de $\mathbb{R}[X]$ telle que, pour chaque $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{Vect}(1, \dots ,X^n)= \mathbb{R}_n[X]$.
			\item En appliquant le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la famille $(X^k)_{k\in \mathbb{N}}$ nous obtenons une famille $(Q_k)_{k\in\mathbb{N}}$ de vecteurs orthonormaux.
		\end{enumerate}
		
		La famille $(Q_k)_{k\in \mathbb{N}}$ ainsi construite est répond bien à la question.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il existe une famille $(Q_k)_{k\in \mathbb{N}}$ de polynômes orthogonaux et unitaires tels que, quelque soit $n \in \mathbb{N}$, le sous-espace vectoriel engendré par $Q_0, \dots, Q_n$ est $\mathbb{R}_n[X]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on note $H_n$ la fonction définie par: \[ x \mapsto H_n(x)=\mathrm{e}^{x^2} \frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d}x^n} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right) .\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Établir, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la relation: \[ \forall x \in \mathbb{R},\ H_{n+1}(x) = -2xH_n(x)+ H_n'(x). \]		
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons la formule de récurrence proposée.}
			
			Soient $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$.
			
			$H_n$ est un produit de fonctions indéfiniment dérivable donc l'est aussi et:
			
			\begin{align*}
				H_{n}'(x) &= 2x\mathrm{e}^{x^2} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right) + \mathrm{e}^{x^2} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right) \\
				&= 2x H_n(x)+H_{n+1}(x)
			\end{align*}
			
			Nous avons donc établi:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R},\ H_{n+1}(x) = -2xH_n(x)+ H_n'(x).$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $H_0(x)$, $H_1(x)$, $H_2(x)$, $H_3(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $H_0$.}
			
			Par construction
			
			\begin{align*}
				H_0(x) &= \mathrm{e}^{x^2}  \frac{\mathrm{d}^0 }{\mathrm{d}x^0} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right)
			\end{align*}
			
			Donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$H_0=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $H_1$.}
			
			Soit $x \in\mathbb{R}$.
			
			En utilisant la formule de récurrence établie à la question précédente
			
			\begin{align*}
				H_1(x) &= -2x H_0(x) + H_0'(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ H_1(x)=-2x$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $H_2$ et $H_3$.}
			
			En utilisant à nouveaux la formule de récurrence:
			
			\begin{align*}
				H_2(x) &= -2x H_1(x) + H_1'(x) \\
				&= -2x (-2x)+ (-2)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ H_2(x)=4x^2-2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			et
			
			\begin{align*}
				H_3(x) &= -2x H_2(x) + H_2'(x) \\
				&= -2x (4x^2-2)+ 8x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ H_3(x)=-8x^3+12x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $H_n$ est un polynôme de degré $n$.
			
			$H_n$ désigne le $n$-ième polynôme d'Hermite.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathscr{P}_1(n)$: \og $\mathrm{deg}(H_n)=n$ \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n$ que $\mathscr{P}_1(n)$ est vraie.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $H_0=1$, donc $\mathrm{deg}(H_0)=0$ et $\mathscr{P}_1(0)$ est vraie.
				
				Remarquons encore que comme $H_1(x)=-2x$, $\mathrm{deg}(H_1)=1$.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Supposons $\mathscr{P}_1(n)$ vraie et démontrons qu'alors $\mathscr{P}_{1}(n+1)$ est vraie.
				
				D'après la question 3.(a): $\forall x \in \mathbb{R},\ H_{n+1}(x) = -2xH_n(x)+ H_n'(x)$.
				
				Puisque par hypothèse de récurrence $\mathrm{deg}(H_n)=n$, nous avons  $\mathrm{deg}(-2XH_n(X)) = n+1$ et $\mathrm{deg}(H_n') = n-1$. Par conséquent: $\mathrm{deg}(H_{n+1}) = n+1$.
				
				Ainsi $\mathscr{P}_{1}(n+1)$ est vraie.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré par récurrence que quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{deg}(H_n)=n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, le coefficient dominant du polynôme $H_n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les calculs des premiers polynômes d'Hermite permettent de conjecturer que pour $n \in \mathbb{N}$, l'assertion $\mathscr{P}_2(n)$: \og le coefficient dominant de $H_n$ est $(-2)^n$ \fg{}, est vraie.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $\mathscr{P}_2(n)$ est vraie.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le coefficient dominant de $H_0$ est $1=(-2)^0$.
				
				\item Soit  $n\in \mathbb{N}$. Supposons $\mathscr{P}_2(n)$ vraie et démontrons qu'alors $\mathscr{P}_2(n+1)$ est encore vraie.
				
				D'après la question 3.(a): $\forall x \in \mathbb{R},\ H_{n+1}(x)=-2xH_n(x)+H_n'(x)$.
				
				D'après la question précédente le coefficient dominant de $H_{n+1}$ est donc le même que celui de $-2XH_n(X)$. Le coefficient dominant de ce dernier est, d'après l'hypothèse de récurrence, $-2 \times (-2)^n=(-2)^{n+1}$. Donc $\mathscr{P}_2(n+1)$ est vraie.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré par récurrence sur $n$ que $(-2)^n$ est le coefficient dominant de $H_n$ et ce quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir que $(H_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est une famille orthogonale de $(\mathbb{R}[X], \langle \ , \ \rangle)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\mathscr{P}_3(n)$: \og $H_n$ est orthogonal à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ \fg{}, pour $n \in \mathbb{N}^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence sur $n$ que $\mathscr{P}_3(n)$ est vraie.}
				
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $x \in \mathbb{R}_+$. $\int_{-x}^{x} H_1(t) \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t = \int_{-x}^{x} -2t \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t=0$ par parité. Donc: $\int_{-\infty}^{+\infty} H_1(t) \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t=0$. 
			
			Par linéarité nous en déduisons que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ \langle H_1, \lambda \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} aH_1(t) \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t= 0. \]
			
			Ainsi $\mathscr{P}_3(1)$ est vraie.
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Supposons que $\mathscr{P}_3(n)$ est vraie et démontrons qu'alors $\mathscr{P}_3(n+1)$ et vraie.
			
			Nous allons démontré que $H_{n+1}$ est orthogonal à $X^k$ quelque soit $k \in \llbracket 0,n\rrbracket$.
			
			Soient $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$ et $x \in \mathbb{R}_+$.
			
			\begin{align*}
			\intertext{Par définition de $H_{n+1}$:}
				\int_{-x}^x H_{n+1}(t)t^k\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t &= \int_{-x}^x t^k \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}t^{n+1}} \left( \mathrm{e}^{-t^2} \right) \ \mathrm{d}t\\
				\intertext{En procédant à une intégration par parties, les fonctions considérées étant de classe $C^1$,}
				\int_{-x}^x H_{n+1}(t)t^k\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t &= \left[ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}} \left( \mathrm{e}^{-t^2} \right) t^k \right]_{-x}^x -k \int_{-x}^x \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}t^{n}} \left( \mathrm{e}^{-t^2} \right) t^{k-1}\ \mathrm{d}t \\
				&= \left[ H_n(t) t^k \mathrm{e}^{-t^2} \right]_{-x}^x -k \int_{-x}^x H_n(t) t^{k-1} \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t \\
			\end{align*}
			
			Or, d'une part, par hypothèse de récurrence: $\int_{-x}^x H_n(t) t^{k-1} \mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} \langle H_n,X^{k-1} \rangle =0$, et d'autre part ($h_n$ étant un polynôme) $H_n(t)t^{k}\mathrm{e}^{-t^2} \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow} 0$, donc $\int_{-\infty}^{+\infty} H_{n+1}(t)t^k\mathrm{e}^{-t^2}\ \mathrm{d}t =0$.
			
			Nous avons établi que, quelque soit $k\in\llbracket 0, n \rrbracket$, $\langle H_{n+1},X^k \rangle = 0$.
			
			Autrement dit $\mathscr{P}_3(n+1)$ est vraie.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ que $H_n \in \left( \mathbb{R}_{n-1}[X] \right)^{\perp}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, le polynôme $H_n$ est colinéaire au polynôme $Q_n$ introduit à la question $2$ (pour la structure d'espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, l'existence d'un nombre réel $\alpha_n$ tel que $H_n'(x)=\alpha_n H_{n-1}(x)$ pour tout $x$ réel. On précisera la valeur de $\alpha_n$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $H_n$ est solution de l'équation différentielle (dite d'Hermite): \[ (E_n)\quad y''-2xy'+2ny=0. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, la relation de récurrence: \[ \forall x\in \mathbb{R},\ H_{n+1}(x)+2xH_n(x) +2nH_{n-1}(x)=0. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que dire de la parité de $H_n$?
		
	\end{sujet}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $H_n$ possède $n$ racines réelles distinctes.
		
		\emph{Indication}: on pourra remarquer que $\langle H_n,P \rangle = 0$ pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$.
		
	\end{sujet}
		
\end{enumerate}

\subsection{Quelques résultats sur la fonction $\Gamma$.}

\begin{sujet}
	
	On considère la fonction $\Gamma$ définie sur $]0;+\infty[$ par: \[ x \mapsto \Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t . \]
	
	On rappelle les résultats suivants (que l'on admet):
	
	\begin{enumerate}[$\rhd$]
		\item la fonction $\Gamma$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$;
		\item $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \forall x \in ]0,+ \infty[,\ \Gamma^{(n)}(x)=\int_0^{+\infty} \left( \ln(t) \right)^nt^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\ \mathrm{d}t$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{10}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que $\Gamma$ satisfait à l'équation fonctionnelle: \[ (E_f) \quad \forall x \in ]0,+ \infty[,\ \Gamma(x+1)= x \Gamma(x). \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer un équivalent simple de $\Gamma(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les limites de $\Gamma'(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$ et quand $x$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On étudie un prolongement de $\Gamma$ sur l'ensemble des réels négatifs non entiers qui soient compatibles avec l'équation fonctionnelle $(E_f)$ de $\Gamma$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $D_{\Gamma}$ l'ensemble $\mathbb{R}$ privé des entiers négatifs ou nul, c'est-à-dire: \[ D_{\Gamma}= \mathbb{R} \setminus \{-n, \ n\in\mathbb{N} \}. \]
			
			Montrer qu'il existe un unique prolongement de $\Gamma$ sur $D_{\Gamma}$ qui préserve $(E_f)$ sur $D_{\Gamma}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Dans toute la suite du problème, on note encore $\Gamma$ le prolongement ainsi obtenu}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer un équivalent simple de $\Gamma(x)$ au voisinage de $(-n)^+$, c'est-à-dire quand$x$ tend vers $(-n)$ par valeurs strictement supérieures à $(-n)$, et au voisinage de $(-n)^-$, c'est-à-dire quand $x$ tend vers $(-n)$ par valeurs strictement inférieures à $(-n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\Gamma$ est convexe sur $\mathbb{R}_+^*$ et qu'elle présente un minimum en point $x_0 \in [1,2]$. Établir le tableau de variations de $\Gamma$ sur $]0,3]$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction $\Gamma$ sur $]-3,3]$. Il est inutile de reproduire sur la copie un éventuel tableau de variations. On placera les asymptotes sur le dessin lorsqu'elles existent.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $(x,y)\in ]0,+ \infty[^2$. On pose, lorsque l'intégrale converge: \[ B(x,y)= \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\ \mathrm{d}t. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la fonction $B$ est définie sur $]0,+\infty[^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Établir l'égalité: \[ \forall (x,y) \in ]0, + \infty[^2,\ B(x,y)=\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma (x+y)}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que: \[ \forall x \in ]0,+\infty[,\ B(x,x)=2^{1-2x}B \left( x, \frac{1}{2} \right). \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la valeur de $\Gamma \left( \frac{1}{2} \right)$. En déduire la formule de duplication de la fonction $\Gamma$: \[ \forall x \in ]0,+ \infty[,\ \Gamma(2x) = \frac{2^{2x-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(x) \Gamma \left(x+ \frac{1}{2} \right). \]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On admettra que, par une utilisation directe de l'équation fonctionnelle, la formule de duplication de $\Gamma$ s'étend à tout $x \in \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{-n}{2},\ n\in \mathbb{N} \right\}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Une généralisation de la notion de dérivation.}

\begin{sujet}
	
	On définit deux espaces de fonctions en posant:
	\begin{enumerate}[$\rhd$]
		\item $\mathbf{S}_0= \{ f \in C^0(\mathbb{R}, \mathbb{C})\ / \ \exists \alpha >0 \text{ tel que } f(x)=\mathrm{o}\left( \mathrm{e}^{\alpha x} \right) \text{ quand } x \text{ tend vers } -\infty \}$;
		
		\item $\mathbf{S}_{\infty} = \{ f _in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \ / \ \forall n \in \mathbb{N},\ f^{(n)} \in \mathbf{S}_{\infty} \}$
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Pour $f \in \mathbf{S}_0$, $s\in ]-\infty, 0[$, et $x \in \mathbb{R}$, on pose: \[ D^{(s)} (f) (x)= \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_{-\infty}^x (x-u)^{-s-1}f(u)\ \mathrm{d}u. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{15}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $f \in \mathbf{S}_0$, $s\in ]-\infty, 0[$, et $x \in \mathbb{R}$, montrer que le nombre $D^{(s)}(f)(x)$ défini ci-dessus existe bien et que l'on a: \[ D^{(s)} (f) (x)= \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_{0}^{+\infty} u^{-s-1}f(x-u)\ \mathrm{d}u. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item  
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $f \in \mathbf{S}_0$ et $s <0$, montrer que $D^{(s)}(f) \in \mathbf{S}_0$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	La linéarité étant immédiate, l'application $D^{(s)}: f \mapsto D^{(s)}(f)$ est donc un endomorphisme de $\mathbf{S}_0$, ce que l'on admettra.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{17}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $p \in \mathbb{N}^*$ et $f \in \mathbf{S}_0$, établir que $D^{-p)}(f)$ coïncide avec la primitive itérée $p$ fois de $f$, lorsque les constantes d'intégration sont toutes choisies nulles en $-\infty$, c'est-à-dire: 
		
		{ \hspace*{-1cm} $\displaystyle  \forall x \in \mathbb{R},\ D^{(-p)}(f)(x)= \int_{u_1=-\infty}^x  \left( \int_{u_2=-\infty}^{u_1} \left( \dots \left( \int_{u_p=-\infty}^{u_{p-1}} f(u_p)\ \mathrm{d}u_p \right) \dots \right) \mathrm{d}u_2 \right) \mathrm{d}u_1.$ }
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir l'égalité entre éléments de $\mathcal{L}(\mathbf{S}_0)$: \[ \forall (s,s')\in ]-\infty , 0[^2,\ D^{(s)} \circ D ^{(s')}= D ^{(s+s')}. \]
		
	\end{sujet}

\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On souhaite étendre la dérivation d'ordre $n$ (entier naturel) à des ordres réels. pour cela on va  travailler sur $\mathbf{S}_{\infty}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{19}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout réel $s$ strictement négatif, $D^{(s)}$ laisse stable le sous-espace vectoriel $\mathrm{S}_{\infty}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\emph{Par la suite, on note encore $D^{(s)}$ les endomorphismes induits par la restriction de $D^{(s)}$ à $\mathrm{S}_{\infty}$.}
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{20}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On cherche à vérifier quelques égalités entre endomorphismes de $\mathrm{S}_{\infty}$.
		
		Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $d^{(n)}$ l'endomorphisme de dérivation $n$-ième sur $\mathrm{S}_{\infty}$: \[ \forall f \in \mathrm{S}_{\infty},\ d^{(n)}(f)=f^{(n)}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Établir l'égalité suivante: \[ \forall s \in  ]-\infty, 0[,\ \forall n\in \mathbb{N},\ d^{(n)} \circ D^{(s)}= D^{(s)} \circ d^{(n)}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour $s \in ]-\infty, 0[$,et $n \in \mathbb{N}$ tels que $s+n <0$ établir l'égalité: \[ D^{(s)} \circ d^{(n)} = d^{(n)} \circ D^{(s)} =D^{(s+n)}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour $s \in \mathbb{R}$ et $(n,m)\in \mathbb{N}^2$ tels que $s<n$ et $s<m$, établir l'égalité: \[ d^{(n)} \circ D^{(s-n)}= d^{(m)} \circ D^{(s-m)}. \]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour $f\in\mathrm{S}_0$ et lorsque $s \geqslant 0$, la fonction $u \mapsto u^{-s-1} f(x-u)$ peut ne pas être intégrable  sur $]0,+\infty[$. Aussi, lorsque $s \geqslant 0$, l'opérateur $D^{(s)}$ ne peut pas être défini à l'aide de la formule intégrale: 
	\begin{align*}
		\forall f \in \mathrm{S}_{\infty},\ D^{(s)}(f)(x) &= \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_{-\infty}^x (x-u)^{-s-1} f(u)\ \mathrm{d}u \\
		&=  \frac{1}{\Gamma(-s)} \int_{0}^{+\infty} (u)^{-s-1} f(x-u)\ \mathrm{d}u .
	\end{align*}
	
	En s'appuyant sur les questions précédentes, on définit, pour $s \in \mathbb{R}$, un opérateur $D^{(s)}$ sur $\mathrm{S}_{\infty}$ de la façon suivante: \[ D^{(s)} = D^{(s-n)} \circ d^{(n)} \quad \text{où $n\in\mathbb{N}$ est tel que } s<n. \]
	
	On a montré à la question précédente que cette définition est indépendante de l'entier naturel $n$ choisi tel que $s <n$. De manière explicite: \[ \forall f\in \mathrm{S}_{\infty},\ \forall x \in \mathbb{R},\ D^{(s)}(f)(x)= \frac{1}{\Gamma(n-s)} \int_0^{+\infty} u^{n-s-1} f^{(n)} (x-u)\ \mathrm{d}u. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{21}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que dans $\mathcal{L}(\mathrm{S}_{\infty})$, on a, pour tout $(s,s') \in \mathbb{R}^2$, l'égalité: $D^{(s+s')} = D^{(s)} \circ D^{(s')}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f \in \mathrm{S}_{\infty}$ et $x \in \mathbb{R}$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a: $D^{(n)}(f)(x)= f^{(n)}(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f \in \mathrm{S}_{\infty}$. Établir que la fonction: $(x,s) \mapsto D^{(s)}(f)(x)$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Étude des polynômes d'Hermite généralisés.}

\begin{sujet}
	
	On monte dans cette partie que la définition des opérateurs de dérivation $\left( D^{(s)} \right)_{s \in \mathbb{R}}$ permet d'étendre la famille des polynômes d'Hermite $(H_n)_{n\in\mathbb{N}}$ donnée par: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R},\ H_n(x)=\mathrm{e}^{x^2} D^{(n)}\left( \mathrm{e}^{-x^2} \right) \] en une famille des polynômes d'Hermite généralisés $(H_s)_{s\in\mathbb{R}}$: \[ \forall s \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ H_s(x)= \mathrm{e}^{x^2} D^{(s)} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right) . \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{24}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ appartient à l'espace $\mathrm{S}_{\infty}$, ce qui justifie la définition de la famille des polynômes d'Hermite généralisée, $(H_s)_{s\in \mathbb{R}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que, pour tout réel $s$ et pour tout entier $m\in \mathbb{N}$ tel que $s <m$, on a: \[ \forall x\in \mathbb{R},\ H_s(x) = \frac{1}{\Gamma(m-s)} \int_0^{+\infty} H_m(x-u) \mathrm{e}^{-u^2+2xu} u^{ m-s-1} \ \mathrm{d}u. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir pour tout $s \in \mathbb{R}$: \[ \forall x \in \mathbb{R},\ H_s'(x)= -2sH_{s-1}(x). \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Établir que, pour tout $s \in \mathbb{R}$, $H_s$ est solution de l'équation différentielle: \[ (E_s) \quad y''-2xy' +2sy = 0 \] qui généralise, pour le paramètre $s$ réel, l'équation d'Hermite $(E_n)$ lorsque $n$ est un entier positif ou nul.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que, pour tout $s \in \mathbb{R}$, on a:  \[ \forall x \in \mathbb{R},\ H_{s+1}(x) +2xH_s(x) + 2 sH_{s-1}(x)=0. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que dire, sans calcul, des solutions maximales de $(E_s)$? De la structure de l'ensemble des solutions?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Par la suite, l'expression \og solution de $(E_s)$\fg{} fera référence à une solution maximale.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{30}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout réel $\lambda$, on définit le symbole $(\lambda)_n$ par: \[ (\lambda)_0= 1 \ \text{et}\ \forall n\in \mathbb{N}^*,\ (\lambda)_n=\lambda (\lambda+1) (\lambda+2) \dots (\lambda +n-1). \]
		
		Pour $(\alpha , \beta) \in \mathbb{R}^2$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose, lorsque cette quantité existe: \[ K(\alpha, \beta ;x)= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\alpha)_k}{( \beta)_k} \frac{x^k}{k!}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $K(\alpha,beta;x)$ est bien défini pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $\beta \in \mathbb{R} \setminus \{ -n, n\in \mathbb{N} \}$ et $x \in \mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle(s) condition(s) la fonction $x \mapsto K(\alpha,\beta;x)$ est-elle polynomiale?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On veut déterminer deux solutions de $(E_s)$ définies sur $\mathbb{R}$, notées $y_{1,s}$ et $y_{2,s}$, et vérifiant les conditions initiales: \[ \left\{ \begin{array}{l} y_{1,s}(0)=1 \\ y_{1,s}'(0)=0 \end{array} \right. \quad \text{et} \quad \left\{ \begin{array}{l} y_{2,s}(0)=0 \\ y_{2,s}'(0)=1. \end{array} \right. \] Établir que $y_{1,s}(x)= K\left( -\frac{s}{2}, \frac{1}{2}; x^2 \right)$ et exprimer $y_{2,s}$ sous une forme analogue.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans le cas où $s$ est un entier naturel ($s=n\in\mathbb{N}$). Exprimer $H_n$ en fonction de $y_{1,n}$ et $y_{2,n}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Avec les notations précédentes, établir que: \[ \forall s \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R},\ H_s(x)= \frac{2^s\sqrt{\pi}}{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right) }y_{1,s} + \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi}}{\Gamma \left( \frac{-s}{2} \right) }y_{2,s}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $z_1$ et $z_2$, deux solutions de $(E_s)$, on définit le wronskien de $z_1$ et $z_2$ au point $x \in \mathbb{R}$ par: \[ w(x)= \begin{vmatrix} z_1(x) & z_2(x) \\ z_1'(x) & z_2'(x) \end{vmatrix}. \] Établir l'existence d'une constante $C(z_1,z_2) \in \mathbb{R}$ telle que: $\forall x \in \mathbb{R}, w(x)=C(z_1,z_2) \mathrm{e}^{x^2}$, avec $C(z_1,z_2)=0$ si et seulement si $(z_1,z_2)$ est lié.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout $s \in \mathbb{R}$, on pose: \[ \forall x \in \mathbb{R},\ \tilde{H}_s(x)=H_s(-x). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\tilde{H}_s$ est solution de $(E_s)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $s$ pour que le couple $(H_s,\tilde{H}_s)$ soit une base de l'espace des solutions de $(E_s)$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On veut préciser le comportement de $H_s(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On fixe un entier $n$. Pour $t \in \mathbb{R}$, on pose: $\displaystyle g_n(t)= \mathrm{e}^{-t^2}- \sum _{k=0}^n \frac{(-1)^kt^{2k}}{k!}$.
			
			Montrer que: $\displaystyle  \left| g_n(t) \right| \leqslant \frac{t^{2n+2}}{(n+1)!}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On se place dans le cas $s<0$. Établir, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, l'existence d'un développement: \[ \forall x \in ] -\infty,0 [,\ H_s(x)= (-2x)^s \left( \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k(-s)_{2k}}{k!}(2x)^{-2k}+O\left( x^{-2n-2} \right) \right) \] lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu'un tel développement existe, en fait, pour tout $x \in \mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire un équivalent de $H_s(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
			
		\end{sujet}
	
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On étudie maintenant le comportement de $H_s(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour $s \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$, $\displaystyle H_s(x)\sim \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(-s)} x^{-s-1} \mathrm{e}^{x^2}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. On pourra commencer par traiter le cas où $s<0$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Lorsque $s\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$, la fonction $H_s(x)$ admet-elle au voisinage de $+\infty$ un développement de la forme de celui établi en question 37.(b)?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}