%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}%flêche latex
\usetikzlibrary{patterns}% hachures de remplissage

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/agregation_interne.html}{Agrégation interne 2018 deuxième épreuve} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Agrégation interne 2018 deuxième épreuve.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		Durée: $6$ heures.
		
		L'usage de tout ouvrage de référence et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
		
	\end{center}
	
\end{sujet}


\begin{sujet}
	
	Dans ce problème, on s'intéresse à des propriétés utilisant la notion de distance d'un point à une partie d'un ensemble.
	
	\medskip
	Dans la partie I-A, on étudie des généralités sur cette notion dans le cas d'un espace métrique et d'un espace affine euclidien.
	
	\medskip
	Dans la partie I-B, on donne des exemples de calcul de distance dans $\mathscr{M}_n ( \mathbb{R})$.
	
	\medskip
	Dans la partie II, on étudie les points d'une courbe situés à égale distance d'une droite .
	
	Cette partie II est indépendante de la partie I.
	
	\medskip
	Dans la partie III, on étudie la notion de ligne médiatrice de deux fermés non vides séparés par une droite .
	
	Cette partie III est indépendante des partie I-B et II.
	
	\medskip
	Dans la partie IV, on s'intéresse à l'asymptote de la ligne médiatrice des deux compacts non vides séparés par une droite.
	
\end{sujet}

\subsection*{\color{purple}Préambule: notations et rappels.}

\begin{sujet}
	
	\begin{enumerate}[$\rhd$]
		\item $\mathbb{N}$ désgne l'ensemble des entiers naturels et $\mathbb{R}$ le corps des nombres réels.
		\item $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices carrées de taille $n\geqslant 1$ à coefficients dans $\mathbb{R}$. On note $I_n$ son élément unité et $0_n$ la matrice nulle.
		\item $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices inversibles de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$. Si $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, on note $A^{-1}$ son inverse.
		\item $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices orthogonales de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.
		\item Pour $A\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{det}(A)$ et ${}^t\!A$ désignent respectivement le déterminant et la transposée de $A$.
		\item Une matrice $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On rappelle les définitions et propriétés suivantes:
	
	\begin{enumerate}[$\rhd$]
		\item Soit $E$ un espace métrique muni d'une distance $d$.
		
		Pour $x\in E$ et $A$ une partie non vide de $E$, on appelle distance de $x$ à $A$, le réel défini par: \[ d(x,A)= \inf_{a\in A} d(x,a). \]
		
		Pour $A$ une partie non vide de $E$, on définit l'application $d_A: x \mapsto d(x,A)$ de $E$ dans $\mathbb{R}$.
		\item On se donne, dans $\mathbb{R}^2$ muni de sa structure affine euclidienne usuelle, un point $F$ et une droite $\Delta$ ne contenant pas $F$. La parabole de foyer $F$ et de directrice $\Delta$ est l'ensemble des points $m$ de $\mathbb{R}^2$ tels que: $d(m,F)=d_{\Delta}(m)$ (où $d$ désigne la distance euclidienne de $\mathbb{R}^2$).
		\item Soit $E$ un espace métrique muni d'une distance $d$. soient $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ une application et $k$ un réel strictement positif.
		
		On dit que $f$ est $k$-lipschitzienne si: $\forall (x,y)\in E^2,\ \left| f(x)-f(y) \right| \leqslant kd(x,y)$.
		
		On dit que $f$ lipschitzienne s'il existe $k>0$ tel que $f$ est $k$-lipschitzienne.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Quelques propriétés de la distance à un fermé.}

\subsubsection{Partie A: généralités.}

\begin{sujet}
	
	Soit $E$ un espace métrique muni d'une distance $d$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $A$ et $B$ des parties non vides de $E$ avec $A\subset B$.
		
		Démontrer que: $\forall x\in E,\ d_B(x) \leqslant d_A(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons: $\forall x\in E,\ d_B(x) \leqslant d_A(x)$.}
		
		Soit $x\in E$.
		
		Puisque $A$ et $B$ sont non vides, $\left\{ d(x,a)\ |\ a\in A \right\}$ et $\left\{ d(x,b)\ |\ b\in B \right\}$ sont des parties non vides et minorées (par $0$) de $\mathbb{R}$ qui admettent donc des bornes inférieures.
		
		De $A \subset B$ nous déduisons \[ \left\{ d(x,a)\ |\ a\in A \right\} \subset \left\{ d(x,b)\ |\ b\in B \right\}, \] d'où \[ \forall a \in A,\ \inf \left\{ d(x,b)\ |\ b\in B \right\} \leqslant d(x,a), \] et par conséquent \[ \inf \left\{ d(x,b)\ |\ b\in B \right\} \leqslant \inf \left\{ d(x,a)\ |\ a\in A \right\}. \]
		
		Nous avons donc démontré que
		
		\begin{conclusion}
			
			si $A \subset B$, alors \[ \forall x\in E,\ d_B(x) \leqslant d_A(x). \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère $A$ une partie non vide de $E$ et on note $\overline{A}$ son adhérence.
		
		Démontrer que: $\forall x \in E,\ d_A(x)=0 \Leftrightarrow x\in \overline{A}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que: $\forall x \in E,\ d_A(x)=0 \Leftrightarrow x\in \overline{A}$.}
		
		Soit $x\in E$.
		
		Notons $\mathscr{O}_x$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie induite par $d$ et $B(x,r)$ la boule de centre $x$ et de rayon $r>0$.
		
		Puisque $A$ est non vide:
		\begin{align*}
			x\in \overline{A} &\Leftrightarrow \forall V \in \mathscr{O}_x,\ V \cap A \ne \emptyset \\
			&\Leftrightarrow \forall r>0,\ B(x,r) \cap A\ne \emptyset\\
			&\Leftrightarrow  \forall r>0,\ \exists a \in A,\ 0\leqslant d(a,x) < r\\
			&\Leftrightarrow \inf \left\{ d(a,x)\ |\ a\in A \right\} =0,\ \text{car}\ A\ne \emptyset\\
			&\Leftrightarrow d(x,A)=0
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x\in E,\ d_A(x)=0 \Leftrightarrow x \in \overline{A}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère $A$ une partie non vide de $E$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que, pour tout $(x,y)\in E^2$, on a: $d_A(x) \leqslant d(x,y)+ d_A(y)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Montrons: $\forall (x,y)\in E^2,\ d_A(x) \leqslant d(x,y)+d_A(y)$.}
			
			Soit $(x,y)\in E^2$.
			
			Soit $b\in A$.
			
			Nous avons l'inégalité triangulaire \[ d(b,x) \leqslant d(b,y)+d(y,x). \]
			Or $d_A(x)= \inf \left\{ d(a,x)\ |\ a\in A \right\} \leqslant d(b,x)$ donc \[ d_A(x) \leqslant d(b,y)+ d(y,x). \]
			
			Ainsi: \[ \forall b\in A,\ d_A(x)-d(x,y) \leqslant d(b,y). \]
			
			D'où, $A$ et donc $\left\{ d(b,y)\ |\ b\in A \right\}$ étant non vides \[ d_A(x) -d(x,y) \leqslant \inf \left\{ d(b,y)\ |\ b\in A \right\}, \] \emph{i.e.} \[ d_A(x) \leqslant d_A(y) +d(x,y). \]
			
			Nous avons démontré que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall (x,y) \in E^2,\ d_A(x) \leqslant d(x,y)+d_A(y)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $d_A$ est une application lipschitzienne de $E$ dans $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $d_A$ est lipschitzienne.}
			
			Par construction $d_A$ est bien une application de $E$ dans $\mathbb{R}$.
			
			Soit $(x,y) \in E^2$.
			
			D'après la question précédente: $d_A(x)-d_A(y) \leqslant d(x,y)$. De façon symétrique nous obtiendrions: $d_A(y)-d_A(x) \leqslant d(x,y)$. Nous en déduisons: \[ \left| d_A(x)-d_A(y) \right| \leqslant 1\cdot d(x,y).\]
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$d_A$ est une application $1$-lipschitzienne de $E$ dans $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère $A$ une partie non vide de $E$ et on note $\overline{A}$ son adhérence.
		
		Démontrer que: $d_A=d_{\overline{A}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons $d_{\overline{A}}=d_A$ en établissant les deux inégalités.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $A\subset \overline{A}$ donc, d'après la question IA1, $d_{\overline{A}}\leqslant d_A$.
			
			\item Soient $x\in E$ et $b \in \overline{A}$.
			
			D'après la question IA3a: \[ d_A(x) \leqslant d_A(b) +d(x,b).\]
			
			Or, puisque $b \in \overline{A}$,d'après IA2, $d_A(b)=0$, donc \[ \forall b\in \overline{A},\ d_A(x) \leqslant d(x,b). \]
			
			D'où, $A$, $\overline{A}$ et $\left\{ d(x,b\ |\ b\in \overline{A} \right\}$ étant non vide:
			
			\begin{align*}
				d_A(x) &\leqslant \inf \left\{ d(x,b)\ |\ b\in \overline{A} \right\}\\
				d_A(x) &\leqslant d_{\overline{A}}(x)
			\end{align*}
			
			Ainsi: $d_A \leqslant d_{\overline{A}}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous avons établi
		
		\begin{conclusion}
			
			$d_A=d_{\overline{A}}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $A$ et $B$ deux parties fermées non vides de $E$. Démontrer que: $d_A=d_B \Leftrightarrow A=B$.
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons par double implication que: $d_A=d_B \Leftrightarrow A=B$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Trivialement si $A=B$ alors $d_A=d_B$.
				
				\item Démontrons: $d_A=d_B \Rightarrow A=B$.
				
				Autrement dit il s'agit d'établir que: \[ \left[ \forall x \in E,\ d_A(x)=d_B(x) \right] \Rightarrow A=B. \]
				
				Pour cela nous allons établir sa contraposée, à savoir \[ A \ne B \Rightarrow \left[ \exists x \in E,\ d_A(x) \ne d_B(x). \right] \]
				
				\medskip
				Supposons donc $A \ne B$.
				
				Autrement dit: $\exists x_0 \in B,\ x_0 \notin A$.
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item Puisque $x_0\in B$, évidemment $d_B(x_0)=0$.
					
					\item $A$ étant un fermé $A= \overline{A}$ donc, d'après la question IA2 , comme $A$ est non vide et que $x_0\notin \overline{A}$ nécessairement $d_A(x_0)>0$.
					
				\end{enumerate}
				
				Ainsi $d_A(x_0) \ne d_B(x_0)$.
				
				\medskip
				Nous avons donc établi que $d_A=d_B \Rightarrow A=B$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Ainsi: $d_A=d_B \Leftrightarrow A=B$;
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire alors une condition nécessaire et suffisante très simple sur des parties non vides $A$ et $B$ de $E$ pour avoir la relation $d_A=d_B$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous déduisons de la question précédente que si $A$ et $B$ sont des parties non vides de $E$ alors
			
			\begin{conclusion}
				
				$d_A=d_B \Leftrightarrow \overline{A} = \overline{B}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $A$ est un compact non vide de $E$.
		
		Montrer que, pour tout élément $x$ de $E$, il existe $a \in A$ tel que: $d_A(x)=d(x,a)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons: $\forall x \in E,\ \exists a \in A,\ d_A(x)=d(x,a)$.}
		
		Soit $x \in E$.
		
		$d_{\{ x \} }: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \rightarrow & \mathbb{R} \\ b & \mapsto & d(x,b) \end{array} \right.$ est une application continue puisque lipschitzienne d'après la question IA3b.
		
		Or une fonction numérique continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes donc il existe $a \in A$ tel que \[ d_{\{ x \}} (a)= \inf \{ d(x,b) \ |\ b \in A \}. \]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			il existe $a \in A$
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que $E$ est un espace affine euclidien et que $d$ est la distance euclidienne associée.
		
		On considère $A$ une partie fermée non vide de $E$
		
		Montrer que, pour tout point $m$ de $E$, il existe $a\in A$ tel que : $d_A(m)=d(a,m)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$E$ étant un espace affine euclidien il est homéomorphe à $\mathbb{R}^n$ muni de la topologie usuelle pour un certain $n\in\mathbb{N}$. Nous pouvons donc raisonner dans ce dernier espace.
		
		Soit $A$ une partie fermée non vide de $\mathbb{R}^n$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons: $\forall m \in \mathbb{R}^n,\ \exists a \in A,\ d(a,m)=d_A(m)$.}
		
		Soit $m \in \mathbb{R}^n$ et $\varepsilon >0$.
		
		Par construction de la borne inférieure, et en notant $B_f$ les boules fermées, $A'= A \cap B_f(m, d_A(m)+\varepsilon)$ est non vide.
		
		Ainsi $A'$ est une partie non vide fermée et bornée de $\mathbb{R}^n$, donc, d'après le théorème de Borel-Lebesgue, $A'$ est une partie compacte.
		
		D'après la question précédente il existe donc $a \in A'$ tel que $d_{A'}(m)=d(a,m)$.
		
		D'après la question 1, et puisque $A' \subset A$, $d_{A'}(m) \leqslant d_A(m)$. Ainsi: $d(a,m) \leqslant d_{A}(m)$ et par conséquent, $d_A(m)$ étant une borne inférieure, 
		
		\begin{conclusion}
			
			il existe $a\in A$ tel que $d_A(m)=d(a,m)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans $E= \mathbb{R}$ muni de sa distance usuelle et on considère une partie non vide $A$ de $\mathbb{R}$.
		
		On suppose que, pour tout réel $x$, il existe un unique élément $a\in A$ tel que: $d_A(x)=d(x,a)=|x-a|$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $A$ est un fermé.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Démontrons que $A^c$ est un ouvert. Si $A=\mathbb{R}$ le résultat est évident sinon il suffit de démontrer que $A^c$ est un voisinage de chacun de ses points. Puisque $\mathbb{R}$ est un espace métrique et que les boules ouvertes forment une base topologique, il suffit de montrer que chaque point de $A^c$ appartient à une
			une boule ouverte incluse dans $A^c$.
			
			\objectif{Démontrons: $\forall x \in A^c,\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R}^+,\ B(x,\varepsilon) \subset A^c$.}
			
			Soit $x \in A^c$.
			
			Par hypothèse il existe $a_x \in A$ tel que $d_A(x)=d(a_x,x)$.
			
			Puisque $d(a_x,x)$ est un minimum nécessairement $B \left( x,d(a_x,x) \right) \cap A = \emptyset$. 
			
			Par conséquent $B \left( x,d(a_x,x) \right) \subset A^c$.
			
			Nous pouvons donc conclure
			
			\begin{conclusion}
				
				$A$ est un fermé.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $A$ est un intervalle.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans $E=\mathbb{R}^n$ avec $n \geqslant 1$, muni de sa structure affine euclidienne usuelle. On note $d$ la distance euclidienne associée.
		
		On considère $H$ un hyperplan de $\mathbb{R}^n$ dont une équation cartésienne est: $a_1x_1+ \dots + a_nx_n+b=0$, où $(a_1, \dots , a_n)$ est un élément non nul de $\mathbb{R}^n$ et $b\in\mathbb{R}$.
		
		Établir pour tout $x=(x_1, \dots , x_n) \in \mathbb{R}^n$, la relation: \[ d_H(x)= \frac{|a_1x_1+ \dots + a_nx_n|}{\sqrt{a_1^2+ \dots +a_n^2}}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\tilde{x}$ le projeté orthogonal de $x$ sur $H$ et $\vec e (a_1,\dots,a_n)$ un vecteur (non nul par hypothèse) normal à $H$.
		
		Par conséquent \[ \overrightarrow{\tilde{x}x}= \varepsilon d_H(x) \frac{1}{\|\vec e \|} \vec e, \] avec $\varepsilon =\pm 1$ suivant que $\overrightarrow{\tilde{x}x}$ et $\vec e$ sont de même sens ou de sens contraire.
		
		D'où \[ \varepsilon \overrightarrow{\tilde{x}x} \cdot \frac{1}{\| \vec e \|} \vec e = d_H(x) . \]
		
		Ce qui équivaut à 
		
		\begin{align*}
			\frac{\varepsilon}{\| \vec e \|} \left( a_1(x_1-\tilde{x}_1)+ \dots + a_n(x_n-\tilde{x}_n) \right) &= d_H(x)\\
			\intertext{Et puisque $\tilde{x}\in H$, $a_1\tilde{x}_1+ \dots + \tilde{x}_n=-b$ donc:}
			\frac{1}{\| \vec e \|} \left| a_1x_1+ \dots + a_nx_n +b \right| &=d_H(x)\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle d_H(x)=\frac{\left| a_1x_1+ \dots +a_nx_n \right|}{\sqrt{a_1^2+\dots + a_n^2}}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: quelques exemples dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.}

\begin{sujet}
	
	Soit un entier $n\geqslant 2$. Soit $E= \mathbb{R}^n$ muni de sa structure euclidienne usuelle dont la norme est notée $\|\cdot \|$.
	
	Pour une matrice $M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ dont $u$ est l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé, on pose: \[ \|u\|=\sup_{x\in E, \|x\|=1} \|u(x)\| \quad \text{et} \quad \|M\|=\|u\|. \]
	
	On rappelle que l'on définit ainsi une norme d'algèbre sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ (notée également $\|\cdot \|$), c'est-à-dire une norme vérifiant:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\|I_n\|=1$;
		\item $\forall (A,B)\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})^2,\ \|AB\| \leqslant \|A\| \|B\|$.
	\end{enumerate}
	
	En particulier, on a: $\forall k \in \mathbb{N},\ \forall A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R}),\ \|A^k\| \leqslant \|A\|^k$.
	
	\medskip
	Sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, on considère la distance $d$ associée à la norme d'algèbre $\|\cdot \|$ (\emph{i.e.} $\forall (M,N) \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})^2,\ d(M,N)= \|M-N\|$).
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $\mathbb{R}^n$ à valeurs propres positives ou nulles.
			
			Démontrer à l'aide d'une réduction dans une base orthonormale que $\|u\|$ est le maximum de ses valeurs propres.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons: $\| u \|=\max \{ \lambda \in \mathbb{R}\ | \ \lambda \in \mathrm{SP}_{\mathbb{R}} (u) \}$.}
			
			Puisque $u$ est un endomorphisme symétrique d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, il existe une base orthonormale $(X_1, \dots , X_n)$ de $E$ telle que pour tout $i\in \llbracket 1, n \rrbracket,\ \exists \lambda_i \in \mathbb{R},\ u(X_i)=\lambda_iX_i$. 
			
			Les $\lambda_i$ sont donc des valeurs propres de $u$  et sont donc, par hypothèse, positives.
			
			Soit $q \in \llbracket 1, n \rrbracket$ l'indice du maximum des $\lambda_i$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\| X_q\|=1$ et 
				
				\begin{align*}
					\| u(X_q) \| &= \| \lambda_q X_q \| \\
					&= \lambda_q \| X_q\|\\
					\intertext{Et donc:}
					\lambda_q &=\| u(X_q ) \|\\
					&\leqslant \| u \|
				\end{align*}
				
				\item Soit $X \in E$ tel que $\| X \| =1$. Notons: $X=x_1X_1+ \dots + x_nX_n$.
				
				\begin{align*}
					\| u(X) \| &=\left\| \sum_{i=1}^n x_i\lambda_i X_i  \right\|\\
					\intertext{Puisque $(X_1, \dots , X_n)$ est orthonormale:}
					\| u(X) \| &= \sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \lambda_i^2 }\\
					&\leqslant \lambda_q  \sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2  }
					\intertext{Et puisque $\| X \| =\sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2} =1$}
					\| u(X) \| &\leqslant \lambda_q
				\end{align*}
				
				Ainsi: $\forall X \in E,\ ( \| X \|=1) \Rightarrow (\| u(X)\| \leqslant \lambda_q )$.
				
			\end{enumerate}
		
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons donc démontré que $\| u \|$ est le maximum des valeurs propres de $u$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que si $A$ est symétrique avec des valeurs propres positives ou nulles, alors $\|A\|$ est le maximum de ses valeurs propres.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $\| A \|$ est le maximum de ses valeurs propres.}
			
			D'après l'énoncé $\| A \| = \| u \|$. Donc, d'après la question précédente $\| A \| =\max \mathrm{S}_{\mathbb{R}}(u)$. Comme de plus $A$ est la matrice représentative de $u$ dans la base canonique de $E$, $\mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(u)= \mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(A)$.
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$\| A \| = \max \mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(A)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se donne une matrice $M\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer l'existence d'une matrice symétrique $C\in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, à valeurs propres strictement positives telle que $C^2={}^t\!MM$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			${}^t\!MM \in \mathrm{S}_n(\mathbb{R})$ donc il existe $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ et $D \in \mathrm{D}_n(\mathbb{R})$ telles que ${}^t\!P{}^t\!MMP=D$.
			
			\medskip
			\begin{enumerate}[*]
				\item ${}^t\!MM \in \mathrm{S}_n^+(\mathbb{R})$.
				
				En effet, si $X \in \mathrm{R}^n$, alors
				
				\begin{align*}
					{}^t\!X{}^t\!MM X &= {}^t\!(MX)(MX) \\
					\intertext{Nous reconnaissons le produit scalaire canonique, et donc:}
					{}^t\!X{}^t\!MMX &\geqslant 0
				\end{align*}
				
				Autrement dit ${}^t\!MM$ est positive.
				
				\item Les valeurs propres de ${}^t\!MM$ sont positives.
				
				En effet, si $\lambda \in\mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}({}^t\!MM)$ et si $X$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ (donc non nul) alors 
				
				\begin{align*}
					{}^t\!X{}^t\!MMX &= {}^t\!X({}^t\!MMX)\\
					&= {}^t\! X( \lambda X)\\
					&= \lambda {}^t\!XX
				\end{align*}
				
				D'où
				
				\begin{align*}
					\lambda &= \frac{^t\!X{}^t\!MMX}{{}^t\!XX}
					\intertext{Or ${}^t\!MM$ est positive donc:}
					\lambda &\geqslant 0
				\end{align*}
				
				\item Du point précédent nous déduisons que les termes diagonaux de $D$ sont positifs.
				
				\item Comme de plus ${}^t\!MM \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ nécessairement $0 \notin \mathrm{SP}_{\mathbb{R}}({}^t\!MM)$.
				
				\item Notons $D=\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots , \lambda_n)$ et $C' = \mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1} , \dots , \sqrt{\lambda_n})$. Ainsi $C'^2=D$.
				
				\item Notons $C=PC'{}^t\!P$.
				
				\begin{align*}
					C^2 &= PC'{}^t\!PPC'{}^t\!P\\
					\intertext{Puisque $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ $P{}^t\!P=I_n$.}
					C^2 &= PC'^2{}^t\!P\\
					&= PD{}^t\!P\\
					&= {}^tMM
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}	
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $C=PC'{}^t\!P$ alors on a bien: $C^2= {}^t\!MM$, et $\mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(C') \subset \mathbb{R}_+^*$. 
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l'existence de $U\in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ telle que $M=UC$.
			
			On admettra l'unicité de la matrice $C$ obtenue précédemment et donc du couple $(U,C)$ dans la décomposition $M=UC$, appelée décomposition polaire de $M$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}	
			
			D'après la question précédente:
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère $\mathscr{F}= \left\{ M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R}); \mathrm{det}(M)=1 \right\}$, le groupe spécial linéaire d'ordre $n$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\mathscr{F}$ est fermé.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Cet ensemble est-il compact?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant la notion de décomposition polaire vue précédemment, démontrer la relation: $d(0_n,\mathscr{F})=1$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer avec l'ensemble de s matrice de $\mathscr{F}$ en lesquelles cette distance est atteinte.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On se donne $A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\|A\|<1$. Démontrer que la série $\displaystyle sum_{p\in\mathbb{N}} A^p$ converge absolument et que l'on a la relation: \[ \sum_{p=0}^{+\infty} A^p = (I_n-A)^{-1}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $T \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. À l'aide de la question précédente, montrer que: \[ \forall M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R}),\ \|T-M\| < \frac{1}{\|T^{-1}\|} \Rightarrow M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}). \]
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On pose $\mathscr{S} =  \left\{ M \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R}); \mathrm{det}(M)=0 \right\}$, l'ensemble des matrices singulières de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ et on considère $T \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Établir la relation: \[ d\left( T,\mathscr{S} \right) = \frac{1}{\|T^{-1}\|}. \]
		
		\emph{Indication}: on pourra utiliser la décomposition polaire.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Points d'une courbe à égale distance d'une droite.}

\begin{sujet}
	
	On se place dans $\mathbb{R}^2$ muni de sa structure euclidienne usuelle et on note $d$ la distance euclidienne associée.
	
	\medskip
	On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=\frac{2x}{\mathrm{e}^x+1}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{16}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudier avec soin les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et montrer que $f$ admet un maximum atteint en un point $\alpha \in ]1,2[$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Représenter graphiquement, sur la copie, la fonction $f$ (allure de la courbe demandée).
			
			On notera $\Gamma$ le graphe de $f$ dans le repère affine usuel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose disposer d'un programme $\texttt{expo}$ tel que si $x$ est un nombre réel, $\texttt{expo}(x)$ calcul $\mathrm{e}^x$.
		
		Écrire une procédure en français $\texttt{alpha}$ telle que si $\texttt{epsilon}$ est un nombre réel de $]0,1[$, l'instruction $\texttt{alpha}( \texttt{epsilon})$ donne une valeur approchée de $\alpha$ à $\texttt{epsilon}$ près.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $[0,+\infty[$ par: \[ \forall n \in \mathbb{N},\ f_n:x \mapsto (-1)^n 2x \mathrm{e}^{-(n+1)x}. \]
		
		Démontrer la relation: $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} f_n=f$ sur $[0,+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet le résultat: $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Démontrer alors que l'on a: \[  \int_{0}^{+\infty} f(t)\ \mathrm{d}t= \frac{\pi^2}{6}. \]
	
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $\Delta$ l'axe des abscisses du repère affine usuel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère deux points $M_1$ et $M_2$ de $\Gamma$, d'abscisses réelles respectives $x_1$ et $x_2$.
			
			Montrer que $d(M_1, \Delta)=d(M_2,\Delta)$ si et seulement si $|f(x_1)=f(x_2)|$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $M$ un point de $\Gamma$, d'abscisse $x\in ]0,\alpha]$. Montrer que, sur $\Gamma$, il existe un unique point $N$ d'abscisse $y\in [\alpha,+\infty[$, tel que $d(M,\Delta)=d(N,\Delta)$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		À tout réel $x\in ]0,\alpha]$, on associe ainsi un réel $y= \varphi(x)\in [ \alpha,+\infty[$ de telle sorte que $\varphi$ réalise une application de $]0,\alpha]$ dans $[\alpha, +\infty[$.
		
		En particulier, pour tout $x \in ]0, \alpha]$, on a: $\varphi(x) \geqslant \alpha$ et $f(x)=f \left( \varphi(x) \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $f_1$ et $f_2$ les restrictions de $f$ sur respectivement $]0, \alpha]$ et $[\alpha, + \infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que ces fonctions sont strictement monotones et donner une expression de $\varphi$ en fonction de $f_1$ et $f_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la continuité de $\varphi$, son sens de variation et sa limite en $0$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer un équivalent de $varphi$ à l'origine.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ sur $]0,\alpha]$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $\varphi$ est dérivable à gauche au point $\alpha$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Courbe médiatrice de deux fermés dans $\mathbb{R}^2$.}

\begin{sujet}
	
	Soit le plan $\mathscr{P}= \mathbb{R}^2$ muni de sa structure affine euclidienne usuelle et de son repère canonique $\mathscr{R}$. 
	
	On note $d$ la distance euclidienne usuelle sur $\mathscr{P}$ et on pose: \[ \mathscr{P}^+ = \left\{ (x,y)\in \mathscr{P}; y>0 \right\} \quad \text{et} \quad \mathscr{P}^{-}=\left\{ (x,y)\in \mathscr{P}; y<0 \right\}. \]
	
	\underline{Jusqu'à la fin du problème}, $A$ et $B$ désignent deux fermés non vides tels que $A \subset \mathscr{P}^{+}$ et $B \subset \mathscr{P}^{-}$.
	
	\medskip
	On appelle courbe médiatrice de $A$ et $B$ l'ensemble: $\Gamma _{A,B}= \left\{ m \in \mathscr{P} ; d_A(m)=d_B(m) \right\}$.
	
	\medskip
	Par exemple, si $A=\{a \}$ et $B=\{ b \}$ où $a \in \mathscr{P}^+$ et $b\in \mathscr{P=}^-$, la courbe médiatrice $\Gamma_{A,B}$ est la médiatrice du segment $[a,b]$.
	
	\medskip
	On se propose de montrer que $\Gamma_{A,B}$ est le graphe dans $\mathscr{R}$ d'une fonction $\varphi_{A,B}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ et d'étudier quelques-unes de ses propriétés.
	
	\medskip
	Dans la suite, il est vivement recommandé de s'aider de figures pour mener les raisonnements.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{26}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la courbe médiatrice de $A$ et $B$ dans les cas particuliers suivants:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$A$ est réduit à un point et $B$ est une droite horizontale.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$A= \left\{ (0,1) \right\}$ et $B= \left\{ (-1,-1), (1,-1) \right\}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se propose d'établir l'existence de $\varphi_{A,B}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que son graphe dans $\mathscr{R}$ soit $\Gamma_{A,B}$.
		
		Si $K$ est une partie non vide de $\mathscr{P}$ et si $(x,y)\in \mathscr{P}$, on notera $d_K(x,y)$ le réel $d\left( (x,y) \right)$.
		
		On considère un réel $x_0$ et on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction: \[ \Phi_{x_0} t \mapsto d_A(x_0,t) - d_B(x_0,t). \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $a$ un point de $A$. Montrer que, pour tout $t\geqslant 0$: \[ \Phi_{x_0}(t) \leqslant d \left( a,(x_0,t) \right) -t. \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer l'existence des réels $\lambda >0$ et $\mu$ tels que: \[ \forall t\ in \mathbb{R},\ d\left( (x_0,t),a \right) -t = - \frac{\lambda t + \mu}{d\left( (x_0,t),a)\right)+t} \] et en déduire l'existence de $t_0>0$ tel que $Phi_{x_0}(t_0)<0$.
			
		\end{sujet}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			En adaptant le raisonnement qui précède, montrer que $\Phi_0$ peut prendre également des valeurs strictement positives dans $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu'il existe $y_0\in \mathbb{R}$ tel que: $\Phi_{x_0}(y_0)=0$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $m_0$ le point de cordonnées $(x_0,y_0)$ et $b$ un point de $B$ réalisant la distance de $m_0$ à $B$, c'est-à-dire vérifiant: $b\in B$ et $d_B(m_0)=d(m_0,b)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{4}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $y<y_0$ et $m$ le point de coordonnées $(x_0,y)$.
			
			Démontrer que: $\forall a \in A,\ d(m,a)>d(m,b)$ 
			
			puis que: $\Phi_{x_0}(y)>0$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l'existence  de l'application $\varphi_{A,B}$ annoncée.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une suite réelle bornée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et un réel $\sigma$. On suppose que $\sigma$ est l'unique valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Démontrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\sigma$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se propose d'établir la continuité de $\varphi_{A,B}$ sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer l'existence de deux polynômes de degré deux, $P_1$ et $P_2$ tels que $P_1 \leqslant \varphi_{A,B} \leqslant P_2$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $x\in\mathbb{R}$. On se propose d'établir la continuité de $\varphi_{A,B}$ en ce point $x$.
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère une suite de réels $(x_n)_
{n\in \mathbb{N}}$ telle que: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_n=x$ et on introduit la suite $y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que: $\forall n\in \mathbb{N},\ y_n=\varphi_{A,B}(x_n)$. Montrer que la suite $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée.
		
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une unique valeur d'adhérence.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $\varphi_{A,B}$ est continue au point $x$ puis que $\varphi_{A,B}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer à l'aide d'un exemple que la fonction $\varphi_{A,B}$ n'est pas toujours lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Soit $I=[\alpha, \beta]$, où $\alpha < \beta$. On se propose d'établir, jusqu'à la fin de la parti III, que $\varphi_{A?B}$ est lipschitzienne sur $I$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{31}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $\Gamma'$ le graphe de la restriction à $I$ de $\varphi_{A,B}$ dans le repère $\mathscr{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\Gamma'$ est un compact de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer l'existence d'un réel $R_0>0$ tel que: $\forall m \in \Gamma',\ d_A(m) \leqslant R_0$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l'existence d'un réel $R>0$, tel que tout disque fermé de rayon $R_0$, centré sur un point du compact $\Gamma'$, soit contenu dans $\overline{B}(0,R)= \left\{ \zeta \in \mathbb{R}^2 ; \| \zeta \| \leqslant R \right\}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On pose $K_A=A \cap \overline{B}(0,R)$  et $K_B = B \cap \overline{B}(0,R)$.
		
		Montrer que ces parties sont des compacts non vides de $\mathbb{R}^2$ vérifiant $K_A \subset \mathscr{P}^+$ et $K_B \subset \mathscr{P}^-$ et que: \[ \forall x \in I,\ \varphi _{A,B}(x)= \varphi_{K_A,K_B}(x). \]
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $J$ un intervalle compact de $\mathbb{R}$.
		
		Soit $\psi:J \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction et $\Gamma$ son graphe dans le repère canonique $\mathscr{R}$.
		
		Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on désigne par $\mathscr{R}_{\theta}$ l'image de $\mathscr{R}$ par la rotation d'angle $\theta$ et de centre $O$, origine du repère $\mathscr{R}$.
		
		On suppose qu'il existe $\rho>0$ tel que, $\forall \theta \in ]-\rho , \rho[$, $\Gamma$ est encore, dans le repère $\mathscr{R}_{\theta}$, le graphe d'une fonction.
		
		Démontrer que $\psi$ est lipschitzienne.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que $\varphi_{A,B}$ est lipschitzienne sur $I$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Existence d'asymptotes lorsque $A$ et $B$ sont compacts.}

\begin{sujet}
	
	On reprend les notations et définitions de la partie III et on considère deux fermés non vides $A$ et $B$  tels que $A \subset \mathscr{P}^+$ et $B \subset \mathscr{P}^-$.
	
	Pour $(a,b)\in \mathscr{P}^+ \times \mathscr{P}^-$, on note $\varphi_{a,b}$, $\varphi_{a,B}$ et $\varphi_{A,b}$ les fonctions $\varphi_{ \left\{ a \right\} , \left\{ b \right\} }$, $\varphi_{ \left\{ a \right\} , B }$ et $\varphi_{ A , \left\{ b \right\} }$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{35}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on étudie la courbe médiatrice $\Gamma_{A,B}$ de $A$ et $B$ dans le cas particulier suivant: $A= \{ a \}$ où $a$ est un point fixe de l'axe $x=0$ et $B$ est un rectangle plein du demi-plan $x \leqslant 0$, dont l'un des côté est contenu dans l'axe $x=0$. (voir figure 1)
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\Gamma_{A,B}$ est au-dessus de la droite contenant le côté horizontal le plus haut de $B$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $\Gamma_{A,B}$ est la réunion de demi-droite et d'une courbe que l'on précisera.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La fonction $\varphi_{A,B}$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{1.5};
			\draw[>=latex,->,gray!80] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[>=latex,->,gray!80] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw (0,1) node{$\times$};
			\draw (0,1) node[left]{$a$};
			\draw (.25,1.25) node[right]{$A= \{ a \}$};
			\draw (0,-2.5) node{\emph{Figure $1$}};
			\draw (0,-0.5)--(-1.5,-0.5)--(-1.5,-2)--(0,-2)--(0,-0.5);
			\fill[pattern=north east lines] (0,-0.5)--(-1.5,-0.5)--(-1.5,-2)--(0,-2)--(0,-0.5);
			\draw(-0.75,-1.25)node[fill=white]{$B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	On revient au cas général.
	
\end{sujet}

\setcounter{enumi}{36}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer à l'aide de la question 
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y node[midway,above]{$r$}; }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$