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% Packages #
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\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écritur décimale des nombres

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%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{RawSienna}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{RawSienna} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

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\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme
\newenvironment{barème}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


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%Test conditionnel pour l'affichage    #
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\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
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%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
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#2
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%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\small }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
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\cfoot[\small Agrégation 2016 - \thepage]{\small Agrégation 2016 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{barème}
\exclure{notes}
\exclure{exercicesdumanuel}
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%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Agrégation 2016: mathématiques générales.}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. On invite donc le candidat à produire des raisonnements clairs, complets et concis. Le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes; il veillera toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.}
	
\end{sujet}

\subsection*{\color{purple}Notations.}

\begin{sujet}
		
	On note $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels, $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des entiers strictement positifs, $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs, $\mathbb{R}$ le corps des nombres réels. On note $\mathcal{M}_m(\mathbb{R})$ l'algèbre des matrices carrées de taille $m$ à coefficients dans $\mathbb{R}$, $\mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices de taille $(m,p)$ à coefficients dans $\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	On considère $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $m\in\mathbb{N}^*$ et on note $E^*$ son dual.
	
	\medskip
	On notera $I_m$ la matrice identité de $\mathcal{M}_m(\mathbb{R})$, et pour tout $M\in\mathcal{M}_m(\mathbb{R})$, on notera $P_M=\det \left( M-XI_n \right) \in \mathbb{R}[X]$ le polynôme caractéristique de la matrice $M$. Par ailleurs, on identifiera les éléments de $\mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R})$ et ceux de $\mathbb{R}^m$.
	
	\medskip
	Pour $A\in\mathcal{M}_m(\mathbb{R})$, on désignera par ${}^t\!A$ la transposée de $A$. On notera $\mathcal{A}_m(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_m(\mathbb{R})$, $\mathcal{S}_m(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques, et $\mathcal{S}_m^{++}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques définies positives. De plus, $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ désignera le groupe linéaire des matrices à coefficients réels inversibles, et $\mathrm{O}(m)=\mathrm{O}_m(\mathbb{R})$ le groupe des matrices réelles orthogonales.
	
	\medskip
	De même, pour $n\in \mathbb{N}^*$, dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on notera $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ le groupe des matrices à coefficients complexes inversibles, et $\mathrm{U}(n)$ celui des matrices complexes unitaires.
	
	\medskip
	Dans tout le sujet, la matrice $J=J_n$ désignera la matrice $\left( \begin{array}{cc} 0 & I_n\\ -I_n & 0 \end{array} \right)$ de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$. On remarquera que $J$ est antisymétrique et orthogonale.
	
\end{sujet}

\subsection*{\color{purple}Objectif du sujet.}

\begin{sujet}
		
	Dans un première partie, on présentera les propriétés générales d'un espace vectoriel symplectique.
	
	\medskip
	Dans une seconde partie, on étudiera les propriétés du groupe symplectique et l'un de ses sous-groupes compacts.
	
	\medskip
	La troisième partie sera consacrée à l'étude de sous-espaces vectoriels particuliers, appelés sous-espaces lagrangiens; on regardera notamment l'action du groupe symplectique sur les triplets de sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses et on définira un indice associé à ces triplets, invariant par cette action.
	
	\medskip
	Dans la dernière partie, on introduira plusieurs indices de Maslov. Le premier est défini sur l'ensemble des chemins fermés dans $\mathrm{Sp}(2n)$, le second sur l'ensemble des chemins fermés dans l'espace des lagrangiens. Enfin, un dernier indice entre deux espaces lagrangiens est introduit; et on conclut avec la formule de Leray qui fait le lien entre cet indice de Maslov et l'indice introduit dans la troisième partie.

\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Espace vectoriel simplectique.}

\begin{sujet}

On considère une forme bilinéaire $\omega :E\times E \rightarrow \mathbb{R}$.

\medskip
Soit $e=(e_1,\dots ,e_m)$ une base de $E$. On définit la matrice de la forme bilinéaire $\omega$ dans la base $e$ comme étant la matrice $M=\left( \omega (e_i,e_j ) \right)_{1\le i,j \le m} \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Vérifier que pour tout $(x,y)\in E^2,\ \omega(x,y)= {}^t\!XMY$, où $X$ est le vecteur des coordonnées de $x$ dans la base $e$ et $Y$ est le vecteur des coordonnées de $y$ dans la base $e$.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{align*}
	{}^t\!XMY &= \left( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
	\omega (e_1,e_1) & \cdots & \omega (e_1, e_m) \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	\omega (e_m,e_1) & \cdots & \omega (e_m, e_m) 
	\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1\\ \vdots \\ y_m \end{array} \right)\\
	&= \left( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
	y_1 \omega (e_1,e_1) + \dots + y_m \omega (e_1, e_m) \\
	\vdots \\
	y_1 \omega (e_m,e_1) + \dots + y_m \omega (e_m, e_m) 
	\end{array} \right)\\
	\intertext{Par linéarité à droite:}
	{}^t\!XMY &= \left( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_m \end{array} \right) 
	\left( \begin{array}{ccc}
	 \omega (e_1,y_1e_1+\dots y_me_m) \\
	\vdots \\
	\omega (e_m,y_1e_1+\dots +y_me_m) 
	\end{array} \right)\\
	&=  \left( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_m \end{array} \right) 
	\left( \begin{array}{ccc}
	 \omega (e_1,y) \\
	\vdots \\
	\omega (e_m,y) 
	\end{array} \right)\\
	&= \left( x_1 \omega(e_1,y)+\dots +x_m\omega(e_m,y) \right)\\
	\intertext{Par linéarité à gauche:}
	{}^t\!XMY &= \left( \omega (x_1e_1+\dots +x_me_m,y) \right)\\
	&= (\omega(x,y) )
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

On dit que la forme bilinéaire $\omega$ est \emph{\textbf{non dégnérée}} si $N_E=\{ x\in E, \ \forall y\in E,\ \omega(x,y)=0\}$ est réduit à $\{ 0_E\}$.

\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item \begin{sujet}
	
	On note $M$ la matrice d'une forme bilinéaire $\omega$ dans une base $e$. Démontrer l'équivalence entre:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item la forme $\omega$ est non dégénérée.
		\item la matrice $M$ est inversible.
		\item $\forall f\in E^*,\ \exists !  x\in E,\ \forall y \in E,\ \omega (x,y)=f(y)$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Notons (i), (ii) et (iii) les trois propositions dont nous devons établir l'équivalence.
	
		\begin{enumerate}
		\item Montrons que $\mathrm{(i)} \Leftrightarrow \mathrm{(iii)}$.
		
		Notons $\psi: \left\{ \begin{array}{lcl}
		E & \rightarrow & E^*\\
		x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{lcl}
			E & \rightarrow & \mathbb{R}\\
			y & \mapsto & \omega (x,y)
			\end{array} \right. 
		\end{array} \right.$.
		
		$\psi$ est une application $\mathbb{R}$-linéaire entre suex espaces vectoriels de même dimension finie $m$, dont le noyau est $\mathrm{ker} (\psi)=N_E$.
		
		\medskip
		Nous avons donc les équivalences:
		\begin{align*}
		\omega \text{ non-dégénérée} &\Leftrightarrow N_E=\{ 0_E \}\\
		&\Leftrightarrow \mathrm{ker}(\psi)= \{ 0_E \}\\
		&\Leftrightarrow \psi \text{  injective}\\
		&\Leftrightarrow \psi \text{  bijective}\\
		&\Leftrightarrow \forall f\in E^*,\ \exists ! x\in E,\ \forall y\in E,\ \omega(x,y)=f(y)
		\end{align*}
		
		\item Montrons que $\mathrm{(i)} \Leftrightarrow \mathrm{(ii)}$.
		\begin{align*}
		\omega \text{ non-dégénérée} &\Leftrightarrow N_E=\{ 0_E \}\\
		&\Leftrightarrow \left\{ X\in\mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R}) | \forall Y\in \mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R})n\ {}^t\!XMY=0 \right\}\\
		&\Leftrightarrow \left[ \forall X\in \mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R}),\  \left(\forall Y\in \mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R}), {}^t\!XMY=0 \right) \Rightarrow X=0 \right]\\
		&\Leftrightarrow \left[ \forall X\in (\mathbb{R}),\ {}^t\!XM=0 \Rightarrow X=0 \right]
		&\Leftrightarrow \left[ \forall X\in \mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R}),\ {}^t\!MX=0 \Rightarrow W=0 \right]
		&\Leftrightarrow \mathrm{ker}({}^t\!M)=\{ 0 \}\\
		&\Leftrightarrow {}^t\!M \text{ est inversible}\\
		&\Leftrightarrow M \text{ est inversible}
		\end{align*}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

Une forme \emph{\textbf{symplectique}} sur $E$ est une forme bilinéaire $\omega$ vérifiant les deux conditions suivantes:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $\omega$ est antisymétrique: pour tout $(x,y)\in E^2,\ \omega (x,y)=-\omega (y,x)$.
	\item $\omega$ est non dégénérée.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item \begin{sujet}
	
	\emph{Modèle de $\mathbb{R}^{2n}$}:
	
	On se place dans cette question sur l'espace vectoriel $E_0=\mathbb{R}^{2n}$. On considère $\omega _0$ la forme bilinéaire sur $E_0\times E_0$ dont la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2n}$ est $J$. Montrer que $\omega _0$ est une forme symplectique sur $E_0$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}
		\item Montrons que $\omega_0$ est antisymétrique.
		
		\begin{align*}
		 \omega(x,y)&= {}^t\!XJY  \\
		 &= {}^t\!\left( {}^t\!XJY \right) \\
		 &={}^t\!Y {}^t\!J {}^t\!( {}^t\!X) \\
		 \intertext{Or $J$ est antisymétrique, donc}
		 &={}^t\!Y  (-J)X\\
		 &=-{}^t\!Y  JX\\
		 &= -\omega(y,x)
		 \end{align*}
		 
		\medskip
		\emph{Deuxième présentation.}
		
		\medskip
		Travaillons avec les matrices par blocs: soit $X=\left( \begin{array}{c} X_1\\X_2 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{2n,1}$ avec $(X_1,X_2)\in \left( \mathcal{M}_{n,1} \right) ^2$ et $Y=\left( \begin{array}{c} Y_1\\Y_2 \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{2n,1}$ avec $(Y_1,Y_2)\in \left( \mathcal{M}_{n,1} \right) ^2$.
		\begin{align*}
		{}^t\!XMY &= (X_1X_2)\left( \begin{array}{cc} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c}Y_1 \\ Y_2 \end{array} \right) \\
		&= (X_1X_2) \left( \begin{array}{c} Y_2\\ -Y_1 \end{array} \right)\\
		&=X_1Y_2-X_2Y_1
		\end{align*}
		
		Par permutation sur les lettres: ${}^t\!YMX=Y_1X_2-Y_2X_1$. Et donc: ${}^t\!YMX={}^t\!XMY$.
		
		\item D'après la question précédente $\omega_0$ est non dégénérée si et seulement si $J$ est inversible . Or $\det J=\det (0)\times \det (0)-\det (-I_n)\det(I_n)=(-1)^{n+1}\det (I_n)^2=(-1)^{n+1}\ne0$, donc $J$ et inversible et $\omega_0$ est non-dégénérée.
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

Désormais, $\omega$ et une forme symplectique sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

\medskip
Pour tout $F$ sous-espace vectoriel de $E$, on définit l'orthogonal de $F$ (pour la forme bilinéaire $\omega$) $F^{\circ}=\{ x\in E,\ \forall y\in F,\ 
\omega (x,y)=0\}$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que pour tout $F$ sous-espace vectoriel de $E$, $F^{\circ}$ est de dimension $\dim F^{\circ}=\dim E-\dim F$. A-t-on pour tout $F$ sous-espace vectoriel de $E$, $F\oplus F^{\circ}=E$?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[*]
		\item 	Il est clair du fait de la linéarité de $\omega$ par rapport à la deuxième variable que $F^{\circ}$ est un sous espace vectoriel de $E$.
		
		\medskip
			Considérons $\psi : \left\{ \begin{array}{rcl} E & \rightarrow & F^* \\ x &\mapsto & 
		\left\{\begin{array}{rcl} F & \rightarrow & \mathbb{R}\\ y & \mapsto & \omega (x,y) \end{array} \right.
		\end{array} \right.$.
		
		$\psi$ est une application $\mathbb{R}$-linéaire dont le noyau est $F^{\circ}$. Les espaces considérés étant de dimension finie \[ \dim (E) =\dim (F^*) +\dim (\mathrm{ker}(\psi)) \]
		Or $\dim (F^*)=\dim (F)$ et $\mathrm{ker}(\psi) =F^{\circ}$ donc \[ \dim F^{\circ} =\dim E-\dim F \]
		
		\item
		
		\end{enumerate} 
		
		\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. montrer que la restriction de $\omega$ à $F\times F$ est encore une forme symplectique si et seulement si $F\oplus F^{\circ}=E$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	La restriction, $\tilde{\omega}$ de $\omega$ à $F\times F$ est évidemment une forme bilinéaire antisymétrique. Il faut donc montrer que $\tilde{\omega}$ est non-dégénérée si et seulement si $F\oplus F^{\circ}=E$.
	
	\medskip
	Procédons par conditions nécessaires et suffisantes.
	
		\begin{enumerate}[*]
		\item Supposons que $\tilde{\omega}$ est non dégénérée et démontrons qu'alors $F\oplus F^{\circ}=E$.
		
		\medskip
		D'après la question 4. $\dim (F)+\dim (F^{\circ}=\dim (E)$, donc : $F\oplus F^{\circ}=E \Leftrightarrow F\cap F^{\circ}=\{ 0_E\}$.
		
		\medskip
		Montrons donc $F\cap F^{\circ}=\{ 0_E\}$.
		
		Soit $x_0\in F\cap F^{\circ}$.
		
		Si $x_0\in F^{\circ}$ alors $\forall y\in F, \omega (x,y)=0$.
		
		Par conséquent $x_0\in N_F=\{ x\in F | \forall y\in F,\ \omega (x,y)=0 \}$. Mais comme $\tilde{\omega}$ est non-dégénérée $N_F=\{ 0_E \}$ et donc $x_0=0_E$.
		
		Donc $F\cap F^{\circ}=\{0_E\}$ et donc $F\oplus F^{\circ}=E$.
		\item Supposons que $F\oplus F^{\circ}=E$ et démontrons qu'alors $\tilde{\omega}$ est non dégénérée.
		
		\medskip
		Nous avons établi lors de la question 2. que $\tilde{\omega}$ est non-dégénérée si et seulement si $\tilde{\psi}:\left\{ \begin{array}{rcl} F & \rightarrow & F^* \\ x & \mapsto & \tilde{\omega}(x,\cdot) \end{array} \right.$ est un isomorphisme.
		
		\medskip
		Comme $F$ et $F^*$ sont de dimensions finies pour démontrer que $\tilde{\psi}$ est un isomorphisem il suffit de démontrer que son noyau est réduit à $0_E$. Pour cela nous allons démontrer que $\mathrm{ker} (\psi) \subset F\cap F^*=\{ 0_E \}$.
			\begin{enumerate}[.]
			\item Par définition du noyau $\mathrm{ker} (\psi) \subset F$.
			\item $\mathrm{ker} (\psi) = \{ x\in F | \forall y \in F,\ \tilde{\omega}(x,y)=0 \} \subset \{x\in E| \forall y\in F,\ \omega(x,y)=0\}=F^{\circ}$.
			\end{enumerate}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\emph{Lien entre structure symplectique et scalaire:}
	
	On se place sur un espace vectoriel réel $E$, de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot | \cdot \rangle$. 
	Pour tout endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$, on notera $u^*$ l'endomorphisme adjoint, c'est-à-dire l'unique endomorhisme  de $\mathcal{L}(E)$ vérifiant pour tout $(x,y)\in E^2,\ \langle u(x)|y \rangle =\langle x|u^*(y) \rangle$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Soit $u\in \mathrm{GL}(E)$, un automorphisme de $E$ vérifiant $u^*=-u$. Pour tout $(x,y)\in E^2$ on pose $\omega (x,y)= \langle x|u(y) \rangle $. Montrer que $\omega$ est alors une forme symplectique.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		$\omega$ est clairement une forme bilinéaire de $E\times E$ dans $\mathbb{R}$ du fait de la bilinéarité du produit scalaire et de la linéarité de $u$.
		\begin{enumerate}[*]
		\item Démontrons que $\omega$ est anti-symétrique.
		
		Soit $(x,y)\in E^2$.
		\begin{align*}
		\omega (x,y) &= \langle x| u(y) \rangle\\
		&= \langle x | -u^*(y) \rangle \\
		\intertext{Par bilinéarité du produit scalaire}
		\omega (x,y) &=  -\langle x | u^*(y) \rangle\\
		\intertext{Par définiton de l'adjoint}
		\omega (x,y) &= - \langle u(x) | y \rangle \\
		\intertext{Par symétrie du produit scalaire}
		\omega (x,y) &= -\langle y | u(x) \rangle\\
		&= -\omega(y,x)
		\end{align*}
		
		\item Démontrons maintenant que $\omega$ est non-dégénérée.
		
		$E$ étant de dimension finie il est existe une base $e$ orthonormale pour le produit scalaire $\langle \cdot | \cdot \rangle$. Notons $M$ la matrice de $u$ dans cette base $e$. En confondant $\mathbb{R}$ et $\mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ nous pouvons écrire:
		\begin{align*}
		\omega (x,y) &= \langle x | u(y) \rangle\\
		&= {}^t\!X(MY)\\
		&= {}^t\!XMY
		\end{align*}
		Ainsi $M$ est la matrice de la forme bilinéaire $\omega$ dans la base $e$.
		
		Comme, par hypothèse, $u$ est inversible, $M$ l'est aussi. Par conséquent (question I.2.) $\omega$ est non dégénérée.
		
		\end{enumerate}
		
		\end{correction}
		
		\item Réciproquement, soit $\omega$ une forme symplectique sur $E$. Expliquer qu'il existe un unique endomorphisme $u$ de $E$ tel que pour tout $(x,y)\in E^2,\ \omega (x,y)=\langle x|u(y)\rangle$. Démontrer que $u^*=-u$ et que $u$ est inversible. en déduire que $m$ est paire.
		\item On reprend l'exemple de la question 3 et on munit $E_0$ du produit scalaire canonique. Montrer que pour tout $(x,y)\in E_0^2,\ \omega_0 (x,y)=\langle x|Jy \rangle $ et $\langle x|y \rangle =\omega_0(Jx,y)$. Et expliquer que pour tout sous-espace vectoriel $F$, $F^{\circ}=JF^{\perp}$ (où $F^{\perp}$ désigne l'orthogonal pour le produit scalaire).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

On considère désormais une forme symplectique $\omega$ fixée sur un espace de dimension $m=2n$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n,f_1,\dots ,f_n)$ de $E$ telle que pour tout $(i,j)\in \llbracket 1,n \rrbracket ^2$:
		\[ \left\{ \begin{array}{l}
		\omega (e_i,e_j)=\omega (f_i,f_j)=0\\
		\omega (e_i,f_j)=\delta _{i,j}
		\end{array}\right. \]
		\emph{On pourra procéder par récurrence.}
		
		Dans une telle base $\mathcal{B}$, quelle est la matrice de la forme bilinéaire $\omega$?
		
		\end{enumerate}

Ainsi tout espace vectoriel symplectique peut se ramener (via un choix de base approprié) au modèle $(E_0,\omega _0)$ défini à la question 3.

\subsection*{\color{purple}Groupe symplectique réel.}

Soit $v\in\mathcal{L}(E)$. on dit que $v$ est un \emph{\textbf{endomorphisme symplectique}} s'il préserve $\omega$, c'est-à-dire si pour tout $(x,y)\in E^2,\ \omega (v(x),v(y))=\omega (x,y)$.

	\begin{enumerate}
	\item On considère une base adaptée $\mathcal{B}$ vérifiant les propriétés de la question I.7 et note $M=Mat_{\mathcal{B}}(v)$.
	
	Montrer que $v$ est un endomorphisme simplectique si et seulement si ${}^t\!MJM=J$.
	\end{enumerate}

On note $\mathrm{Sp}(2n)$ l'ensemble des matrices \emph{\textbf{symplectiques réelles}}: \[ \mathrm{Sp}(2n)=\{ M\in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) | {}^t\!MJM=J \}\]

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item Montrer que $\mathrm{Sp}(2n)$ est un sous-groupe de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ stable par la transposée.
	
	\item Soit $M\in\mathrm{Sp}(2n)$. Montrer que pour toute racine complexe $\lambda \in\mathbb{C}$ du polynôme caractéristique $P_M$, $\overline{\lambda}$ et $\frac{1}{\lambda}$ sont également racines de $P_M$, avec la même multiplicité.
	
	\item Soit $M\in \mathcal{M}_{2N}(\mathbb{R})$. Montrer l'équivalence entre
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $M\in \mathrm{Sp}(2n)\cap \mathrm{O}(2n)$.
		\item $M\in\mathrm{Sp}(2n)$ et $MJ=JM$.
		\item $M\in \mathrm{O}(2n)$ et $MJ=JM$.
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

On note $G=\mathrm{Sp}(2n)\cap \mathrm{O}(2N)$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item Montrer que $G$ est un sous-groupe compact de $O(2N)$.
	\item Pour toute matrice $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on écrit $M=A+iB$ avec $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$. On lui associe alors $i_{r}(M)=	M_{r}=\left( \begin{array}{cc} A & -B \\ B & A \end{array} \right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$.
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, $\det ( M_{r} )=\left| \det M) \right| ^2$.
		\item Pour tout e matrice $N\in\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$, montrer l'équivalence entre:
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $N\in G= \mathrm{Sp}(2n)\cap \mathrm{O}(2n)$
			\item il existe $M\in \mathbb{U}(n)$ telle que $N=i_{r}(M)$.
			\end{enumerate}
		\item En déduire que $i_{r}$ restreinte à $\mathbb{U}(n)$ définit un isomorphisme de groupes et un homéomorphisme de $\mathbb{U}(n)$ sur $G$.
		
		On notera $i_c:G\rightarrow \mathbb{U}(n)$ la bijection réciproque.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

Ainsi, en identifiant les matrices $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et leurs images par $i_{r}$, on écrit: \[ \mathbb{U}(n)==G=\mathrm{Sp}(2n)\cap \mathrm{O}(2n).\]

Pour toute matrice $M\in\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ symétrique définie positive, on rappelle l'existence et l'unicité d'une matrice définie positive $A$ telle que $A^2=M$; on appellera $A$ la racine carrée de $M$ et on notera $A=M^{\frac{1}{2}}$.

\medskip
On rappelle également que pour tout $M\in \mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})$, il existe un unique couple $(S,W)\in \mathcal{S}_{2n}^{++}(\mathbb{R}) \times \mathrm{O}(2n)$ tel que $M=SW$ avec $S=(M{}^t\!M)^{\frac{1}{2}}$ et $W=(M{}^t\!M)^{-\frac{1}{2}}M$. Cette décomposition est appelée décomposition polaire et l'application $M \mapsto (S,W)$ ainsi définie sur $\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})$ est continue.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item	
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que la racine carrée d'une matrice symplectique, symétrique, définie positive est encore une matrice symplectique. en déduire que pour tout $M\in \mathrm{Sp}(2n)$, si on note $M=SW$ sa décomposition polaire, alors $S$ et $W$ sont des matrices symplectiques.
		\item Montrer que $\mathrm{Sp}(2n) \cap \mathcal{S}_{2n}^{++}(\mathbb{R})$ est connexe par arcs  et en déduire que $\mathrm{Sp}(2n)$ est connexe par arcs. \emph{On rappelle que $\mathbb{U}(n)$ est connexe par arcs.}
		\end{enumerate}
	
	\item On souhaite décrire les sous-groupe compacts maximaux de $\mathrm{Sp}(2n)$. pour cela, on considère $H$ un sous-groupe compact de $\mathrm{Sp}(2n)$. On va démontrer qu'il est conjugué à un sous-groupe de $G$.
	
	\medskip
	On admet dans cette question l'existence, l'existence sur le sous-groupe $H$ d'une mesure borélienne finie non nulle, que l'on notera $\mu$, invariante par translation, c'est-à-dire elle vérifie que pour tout borélien $B\subset H$, pour tout $g\in H$, $\mu(Bg)=\mu(B)$.
		
		\begin{enumerate}
		\item Pour tout $(x,y)\in E_0^2$, on pose \[ \langle x |y \rangle_H=\frac{1}{\mu(H)}\int_H \langle gx|gy \rangle \ \mathrm{d}\mu (g). \]
		Expliquer que $\langle \cdot | \cdot \rangle_H$ définit un produit scalaire sur $E_0$ invariant par tous les éléments de $H$.
		\item On note $S$ la matrice de ce produit scalaire dans la base canonique. Expliquer que $S\in \mathcal{S}_{2n}^{++}$ et que pour tout $M\in H$, ${}^t\!MSM=S$.
		\item Démontrer que l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $T=S^{-1}J$ est antisymétrique pour le produit scalaire $\langle \cdot | \cdot \rangle_H$ et que $T$ commute avec tous les éléments de $H$.
		\item Démontrer que l'endomorphisme associé à $-T^2$ est symétrique défini positif pour le produit scalaire $\langle \cdot | \cdot \rangle _H$. En déduire l'existence d'une matrice $R$ telle que $R^2=-T^2$ et ${}^t\!RS=SR$.
		
		Vérifier qu'elle commute avec tous les éléments de $H$ et avec $T$.
		\item En déduire l'existence d'une matrice $S_0\in\mathcal{S}_{2n}^{++}$ symétrique, définie positive telle que $S_0\in \mathrm{Sp}(2n)$ et pour tout $M\in H, \ {}^t\!MS_0M=S_0$.
		\item Conclure sur la nature des sous-groupes compacts maximaux de $\mathrm{SP}(2n)$.
		\end{enumerate}
	
	\item \emph{Structures de sous-variétés de $\mathrm{Sp}(2n)$:}
	
	\medskip
	On considère l'application $\xi:\left\{ \begin{array}{lcl}
	\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) & \rightarrow & \mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})\\
	M & \mapsto & {}^t\!MJM \end{array} \right.$.
		\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\xi$ est une application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et calculer la différentielle $\mathrm{d}\xi_{|M}$ en un point $M\in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$.
		\item Décrire le noyau de la différentielle $\mathrm{d}\xi_{|M}$  et montrer que celle-ci est surjective de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ sur $\mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})$.
		\item Montrer que $\mathrm{Sp}(2n)$ est une sous-variété de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$. Décrire l'espace tangent à $I_{2n}$, puis en tout point. Quelle est la dimension de $\mathrm{Sp}(2n)$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Espaces lagrangiens.}

Soit $\omega$ une forme symplectique fixée sur $E$.

\medskip
On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ est \emph{\textbf{isotrope}} (resp. \emph{\textbf{lagrangien}}) si $F\subset F^{\circ}$ (resp. $F=F^{\circ}$).

	\begin{enumerate}
	\item Soit $F$ un sous-espace vectoriel isotrope. Montrer l'équivalence entre:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $F$ est lagrangien.
		\item $F$ est istrope maximal au sens de l'inclusion.
		\item $\dim E=2\dim F$.
		\end{enumerate}
	\item On dit que deux espaces lagrangiens $L$ et $L'$ sont transverses si $L\cap L'=\{0_E\}$. Expliquer que dans ce cas $L\oplus L'=E$. Démontrer que pour tout sous-espace lagrangien $L$, il existe un sous-espace lagrangien transverse $L'$.
	\item Soient $L$ et $L'$ deux sous-espace lagrangiens transverses (on notera $2n=\dim E$).
		\begin{enumerate}
		\item Monter que $\sigma_{L,L'}:\left\{ \begin{array}{lcl}
		L & \rightarrow & L'^*\\
		x & \mapsto & \sigma_{L,L'}(x)=
		\left\{ \begin{array}{lcl}
			L' & \rightarrow &\mathbb{R} \\
			y & \mapsto & \omega(x,y)
			\end{array} \right.
		\end{array} \right.$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}$-espace vectoriels.
		\item Montrer qu'il existe pour toute base $(e_1,\dots ,e_n)$ de $L$, une base $(f_1,\dots ,f_n)$ de $L'$ qui vérifie: en notant $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n,f_1,\dots ,f_n)$, $Mat _{\mathcal{B}}(\omega)=J$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

On se place sur $E_0=\mathbb{R}^{2n}$ muni de la structure symplectique $\omega_0$. On note $\mathcal{L}(n)$ l'ensemble des sous-espace vectoriels lagrangiens de $E_0$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Démontrer que $\left\{ \begin{array}{lcl}
	\mathrm{Sp}(2n)\times \mathcal{L}(n) & \rightarrow & \mathcal{L}(n)\\
	(M,L) & \mapsto & ML=\{ Mx,\ x\in L\}
	\end{array} \right. $ définit une action du groupe $\mathrm{Sp}(2n)$ sur $\mathcal{L}(n)$. Expliquer que $\mathrm{Sp}(2n)$ agit transitivement sur les couples de lagrangiens transverses.
	\item Soient $L_1$, $L_2$ et $L_3$ trois sous-groupes lagrangiens deux à deux transverses.
		\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g_{L_1,L_2,L_3}=\sigma_{L_1,L_2}\circ\sigma_{L_1,L_3}^{-1}\circ \sigma_{L_2,L_3}$ est un ismorphisme de $L_2$ vers $L_2^*$.
		\item Démontrer qu'en posant pour tout $(x,y)\in L_2^2,\ g(x,y)=g_{L_1,L_2,L_3}(x)(y)$, on définit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $L_2$.
		
		\emph{On pourra vérifier que pour tout $(x,y)\in L_2^2,\ g(x,y)=\omega_0(p_1(x),p_3(y))$ où $p_1$ et $p_3$ sont les projecteurs associés à la décomposition $E_0=L_1\oplus L_3$.}
		
		\item En notant $(r,s)$ la signature de cette forme $g$, on pose \[ \mathrm{sgn}(L_1,L_2,L_3)=r-s. \]
		Vérifier que cette valeur est un entier compris entre $-n$ et $n$, de même parité que $n$, et montrer que toutes ces valeurs sont effectivement atteintes (pour des choix appropriés de $L_1$, $L_2$ et $L_3$).
		
		\emph{On pourra prendre $L_1=\mathbb{R}^n\times \{ 0_{\mathbb{R}^n} \}$, $L_3=\{ 0_{\mathbb{R}^n} \} \times \mathbb{R}^n$ et choisir ensuite $L_2$ de manière appropriée.}
		\end{enumerate}
	
	\item L'action de groupe définie à la question 4 permet de faire agir $\mathrm{Sp}(2n)$ sur les triplets de sous-espaces lagrangiens $(l_1,L_2,L_3)$ deux à deux transverses (en posant pour tout $M\in\mathrm{Sp}(2n)$, $M\cdot (L_1,L_2,L_3)=(ML_1,ML_2,ML_3)$). Montrer que l'orbite d'un tel triplet $(L_1,L_2,L_3)$ par cette action est l'ensemble des $(L_1',L_2',L_3')$ sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses tels que $\mathrm{sgn}(L_1',L_2',L_3')=\mathrm{sgn}(L_1,L_2,L_3)$.
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Indices de Maslov.}

Pour tout $M\in \mathrm{Sp}(2n)$, on pose $\rho(M)=\det \left( i_c\left( M{}^t\!M)^{-\frac{1}{2}}M \right) \right)$ (avec les notations de la partie \textbf{II}).

\medskip
On rappelle que pour tout chemin continu $\gamma$ d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U}=\{ z\in \mathbb{C},\ |z|=1 \}$ il existe $\theta \in \mathcal{C}^0(I,\mathbb{R})$ un relèvement de $\gamma$, c'est-à-dire une application vérifiant pour tout $t\in I,\ \gamma (t)=\mathrm{e}^{2i\pi\theta (t)}$. De plus ce relèvement est uniquement à l'ajout d'une constante de $\mathbb{Z}$ près.

\medskip
On dit qu'un chemin $\gamma$, défini sur $[a,b]$, est fermé si $\gamma(a)=\gamma(b)$.

	\begin{enumerate}
	\item Pour tout chemin $\Gamma:[0,1]\rightarrow \mathrm{SP}(2n)$ continu et fermé, expliquer que $\gamma =\rho\circ\Gamma$ est un chemin continu fermé de $[0,1]$ dans $\mathbb{U}$.
	\end{enumerate}

On considère $\theta$ un relèvement 	de $\gamma$ et on définit l'\emph{\textbf{indice de Maslov}} de $\Gamma$: $\mu(\Gamma)=\theta(1)-\theta(0)$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item Vérifier que $\mu(\Gamma) \in \mathbb{Z}$ et qu'il est indépendant du relèvement choisi.
	
	\item Pour tout $k\in\mathbb{Z}$, construire un chemin $\Gamma_k$ continu, fermé de $[0,1]$ dans $\mathrm{Sp}(2n)$, d'indice $\mu(\Gamma_k)=k$.
	
	\item Démontrer que $G=\mathrm{Sp}(2n)\cap \mathrm{O}(2n)$ (isomorphe à $\mathbb{U}(n)$ d'après la question \textbf{II}.6) agit lui aussi transitivement sur $\mathcal{L}(n)$ via l'action définie à la question \textbf{III}.4.
	
	\item On note $L_0=\mathbb{R}^n\times \{0\}$.
		\begin{enumerate}
		\item Expliquer que $L_0\in \mathcal{L}(n)$ et caractériser le stabilisateur $S_0$ de $L_0$ par l'action de $G$ ci-dessus. 
		
		Expliquer que le groupe $S_0$ est isomorphe à $\mathrm{O}(n)$.
		
		\item Montrer que pour tout $(U_1,U_2)\in \mathbb{U}(n)^2$, $i_r(U_1)L_0=i_r(U_2)L_0$ si et seulement si $U_1{}^t\!U_1=U_2{}^t\!U_2$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

Ainsi pour tout sous-espace lagrangien $L$, la quantité $\Lambda_L=U{}^t\!U$, où $L=i_r(U)L_0$ ne dépend que de $L$ et pas du choix de $U$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{5}
	\item Pour tout $L\in \mathcal{L}(n)$, on pose $\xi(L)=\det (\Lambda_L)$. Expliquer pour tout $U\in \mathbb{U}(n)$ tel que $L=i_r(U)L_0$, $\xi(L)=\det (U^2)$ et que $\xi(L)\in \mathbb{U}$.
	\end{enumerate}

D'après la question 5a on dispose d'un isomorphisme naturel entre $\mathcal{L}(n)$ et $\mathbb{U}/\mathrm{O}(n)$. Cela nous permet de munir $\mathcal{L}(n)$ d'une topologie et de définir ce qu'est un chemin continu $\Gamma$ dans l'espace $\mathcal{L}(n)$: c'est la donnée d'une application continue $V$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{U}(n)$, telle que pour tout $t\in [0,1]$, $\Gamma (t)=i_r\left( V(t) \right) L_0$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item Soit $\Gamma$ un chemin continu fermé de $[0,1]$ dans l'espace $\mathcal{L}(n)$; avec les notations ci-dessus, il vérifie: $\Gamma (0)=i_r\left( V(0) \right) L_0=i_r \left( V(1) \right) L_0=\Gamma(1)$.
	
	On considère $\theta$ un relèvement de l'application continue $\xi\circ \Gamma: [0,1] \rightarrow \mathbb{U}$. On définit l'indice de Maslov de $\Gamma$ par: $\mu_{\mathcal{L}}(\Gamma) =\theta(1)-\theta (0)$.
	
	Montrer que si $\Gamma$ est un chemin fermé dans l'espace $\mathcal{L}(n)$ et $\gamma$ un chemin fermé dans $G$, alors $\mu_{\mathcal{L}(n)}(\gamma\Gamma)=\mu_{\mathcal{L}(n)}+2\mu(\gamma)$.
	
	\item Montrer que $\mu_{\mathcal{L}}$ est surjectif de l'ensemble des chemins fermés de $\mathcal{L}(n)$ dans $\mathbb{Z}$.
	
	\item Montrer qu'un lagrangien $L$ est transverse à $L_0$ si et seulement si (avec les notations ci-dessus) $\Lambda_L-I_n$ est inversible. Plus généralement, montrer que deux lagrangiens $L$ et $L'$ sont transverses si et seulement si $\Lambda_L-\Lambda_{L'}$ est inversible.
	\end{enumerate}

On note $\widehat{\mathcal{L}(n)}$ l'ensemble des couples $(L,\theta )$ avec $L\in\mathcal{L}(n)$ sous-espace lagrangien, et $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $\xi(L)=\mathrm{e}^{i\theta}$. (On le muni de la topologie produit).

\medskip
Pour tous couples $(L,\theta)$ et $(L',\theta')$ de $\widehat{\mathcal{L}(n)}$, avec $L$ et $L'$ sous-espaces lagrangiens transverses, on définit l'indice de Maslov par: \[ m\left( (L,\theta),(L',\theta') \right) =\frac{1}{2\pi}(\theta'-\theta)+\frac{i}{2\pi}\sum_{j=1}^n \log (\lambda_i),\] où $\lambda_1,\dots ,\lambda_n$ sont les valeurs propres avec pultiplicité de la matrice $-\Lambda_{L'}\Lambda_{}^{-1}$, et où $\log$ désigne la détermination principale du logarithme sur $\mathbb{C}setminus \mathbb{R}_{-}$.

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	\item Expliquer que, pour tous sous-espaces lagrangiens transverses $L$ et $L'$, $m\left ( (L,\theta ), (L',\theta') \right)$ est bien défini et $\mathrm{e}^{2i\pi m\left( (L,\theta),(L',\theta') \right)}=\mathrm{e}^{in\pi}$. En déduire que $m\left( (L,\theta),(L',\theta') \right) \in \mathbb{Z}$ si $n$ est pair, et $\mathbb{Z}+\frac{1}{2}$ si $n$ est impair.
	
	\item Pour tout $M\in G$, et pour $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $\det \left( i_c(M)\right)=\mathrm{e}^{i\alpha}$, on pose $M_{\alpha}=(M,\alpha)$. Pour tout $(L,\theta)\in \widehat{\mathcal{L}(n)}$, on définit $M_{\alpha}.(L,\theta)=(ML,\theta+2\alpha )$.
	
	\medskip
	Expliquer que pour tout $(L,\theta)$ et $(L',\theta')$ dans $\widehat{\mathcal{L}(n)}$, avec $L$ et $L'$ deux sous-espaces lagrangiens tranverses, on peut définir $m\left( M_{\alpha}.(L,\theta),M_{\alpha'}.(L',\theta') \right)$. Puis démontrer que pour tout $M\in G$, $m\left( M_{\alpha}.(L,\theta),M_{\alpha}.(L',\theta') \right) =m\left( (L,\theta),(L',\theta') \right)$. 
	
	\item Pour tout triplet $(L_1,L_2,L_3)$ de sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses, vérifier que la quantité $m \left( (L_1,\theta_1),(L_2,\theta_2) \right) + m\left( (L_2,\theta_2),(L_3,\theta_3) \right) + m \left( L_3,\theta_3) , (L_1, \theta _1) \right)$ est indépendante des angles $(\theta_i)_{1\le i \le 3}$. On la note $C(L_1,L_2,L_3)$.
	
	\medskip
	Expliquer que cette quantité est invariante par l'action de $G$ sur les triplets de sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses.
	
	\item En admettant la continuité de $C$, généraliser ce résultat d'invariance à l'action des matrices $m\in \mathrm{Sp}(2n)$.
	
	\item Montrer que pour tout triplet $(L_1,L_2,L_3)$ de sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses, on a: \[ C(L_1,L_2,L_3)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(L_1,L_2,L_3). \]
	\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Commentaires finaux:} les résultats de la première partie permettent de montrer (en utilisant que $\mathrm{Sp}(2n)\cap \mathcal{S}_{2n}^{++}(\mathbb{R})$ est contractile) que le groupe fondamental de $\mathrm{Sp}(2n)$ est le même que celui de $G$, et donc celui de $\mathbb{U}(n)$, c'est-à-dire $\mathbb{Z}$. Le prmier indice de Maslov construit dans la quatrième partie donne un isomorphisme explicite entre ce groupe fondamental $\pi_1\left( \mathrm{Sp}(2n) \right)$ et $\mathbb{Z}$.

D'après la formule de Leray démontrée ci-dessus, $\frac{1}{2}\mathrm{sgn}$ apparaît comme le cobord de l'indice de Maslov $m$. Cette formule (combinée avec l'antisymétrie de $m$) permet de démontrer l'antisymétrie de $\mathrm{sgn}$ et la formule cohomologique: \[ \mathrm{sgn}(L_1,L_2,L_3)+\mathrm{sgn}(L_0,L_1,L_3) +\mathrm{sgn}(L_0,L_2,L_1)= \mathrm{sgn}(L_0,L_2,L_3) \]

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	