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% Commande et environnement #
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\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\arabic{subsection}} %pour écrire en chiffre romain: \Roman{}
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\newenvironment{correction}{\color{brown}}{}
\newenvironment{sujet}{}{}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

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\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


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\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

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\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

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\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

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\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

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}{}

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\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

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%Test conditionnel pour l'affichage    #
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#2
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%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
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\begin{document}

\section{Agrégation externe 2014: composition de mathématiques générales.}

\begin{notes}
\subsection*{\color{purple}Thèmes.}

	\begin{enumerate}
	\item Matrice totalement positive.
	\item Mineur d'une matrice.
	\item Matrice unitriangulaire.
	\item Topologie associée à une norme.
	\item Topologie sur espace vectoriel normé de dimension finie.
	\item Topologie induite.
	\item Formule de Binet-Cauchy
	\end{enumerate}

\end{notes}

\begin{sujet}

\subsection*{\color{purple}Introduction.}

Une matrice carrée à coefficients réels est dite totalement positive (TP en abrégé) si tous ses mineurs sont positifs. Les matrices TP apparaissent naturellement dans diverses questions d'analyse et jouissent de propriétés remarquables; par exemple, on peut démontrer que les valeurs propres d'une matrice TP sont toutes réelles positives.

\medskip
Ce problème vise à étudier l'ensemble des matrices TP inversibles de taille $n\times n$ donnée. Deux outils seront mis à contribution. le premier est la décomposition de Bruhat, qui décrit les doubles classes dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ selon le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures. Le second est l'étude des écritures des permutations comme produit de transpositions de deux éléments consécutifs.

\end{sujet}

\begin{notes}

Les mineurs d'une matrice sont les déterminants de ses sous-matrices carrées. Voir formule de Laplace, comatrice, cofacteurs.

\end{notes}

\begin{sujet}

\subsection*{\color{purple}Dépendance des parties entre elles.}

L'épreuve commence par une partie 0 consacrée au rappel de quatre résultats classiques utilisés dans le problème. Il est ici demandé aux candidats de rappeler les preuves de deux de ces résultats, à savoir les théorèmes A et B.

\medskip
Le problème lui-même fait l'objet des parties 1 à 6. Le graphe suivant indique les dépendances entre ces parties: une arête relie $x$ (en haut) à $y$ (en bas) si la partie $y$ s'appuie sur des résultats  ou des notions présentés dans la partie $x$. On voit par exemple qu'il est possible de commencer par n'importe laquelle des parties 1, 3 ou 4.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw (0,0) node (A){1};
	\draw (0,-1) node (B){2};
	\draw (1,1) node (C){3};
	\draw (2,1) node (D){4};
	\draw (1,0) node (E){5};
	\draw (1,-1) node (F){6};
	\draw (A)--(B);
	\draw (C)--(E);
	\draw (E)--(F);
	\draw (D)--(E);
	\draw (A)--(F);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{sujet}

\begin{sujet}

\subsection*{\color{purple}Notations et conventions.}

Afin de facilité leur repérage par les candidats, les définitions, les conventions et les notations utilisées seront indiquées par un losange noir dans la marge gauche.

\medskip
$\blacklozenge$ Pour deux ensembles $X$ et $Y$, la notation $X\setminus Y$ désigne l'ensemble des éléments de $X$ n'appartenant pas à $Y$.

Le cardinal d'un ensemble fini $X$ est noté $\mathrm{Card}(X)$.

Le minimum de deux entiers $m$ et $n$ sera noté $\mathrm{min}(m,n)$.

Étant donnés deux entiers $m\le n$, on pose $\llbracket m,n\rrbracket =\{m,m+1,\dots ,n\}$.

Étant donné un entier $n \ge 1$, le groupe des permutations de $\llbracket 1,n\rrbracket$ est noté $S_n$.

Étant donnés un corps $\mathbb{K}$ et deux entiers strictement positifs $m$ et $n$, on note $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ l'espace vectoriel des matrices de taille $m\times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$; quand $m=n$, on simplifie la notation en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$.

Le groupe des éléments inversibles de l'anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est noté $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$.

La dimension d'un espace vectoriel $E$ sera notée $\dim E$.

\medskip
$\blacklozenge$ Une matrice carrée est dite \textbf{unitriangulaire} inférieure (respectivement, supérieure) si elle est triangulaire inférieure (respectivement, supérieure) et si tous ses éléments diagonaux sont égaux à 1.

\medskip
$\blacklozenge$ Supposons que $\mathbb{K}$ soit le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels ou le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes. Étant donné un entier $n\ge 1$, le $\mathbb{K}$-espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ de dimension finie; par suite, toutes les normes dont il peut être muni définissent la même topologie. Sur chacun des sous-ensembles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ que nous serons amenés à considérer, la topologie utilisée sera la topologie induite.

\end{sujet}

\begin{sujet}

\subsection*{\color{purple}Mineurs d'une matrice.}

\textbf{Par convention, tous les corps sont supposés être commutatifs.}

\medskip
$\blacklozenge$ Pour deux entiers $n\ge 1$ et $k\ge 0$, on note $\mathcal{P}_k(n)$ l'ensemble des parties à $k$ éléments de $\llbracket 1,n \rrbracket$.

\medskip
$\blacklozenge$ Soit $\mathbb{K}$ un corps. Le déterminant d'une matrice carrée $A=(a_{i,j})	$ à coefficients  dans $\mathbb{K}$ est un élément de $\mathbb{K}$ noté $\det A$. Il est parfois commode d'utiliser la notation alternative 
$$\left| \begin{array}{ccc} 
a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \dots & a_{n,n}
\end{array} \right|$$
quand on souhaite mentionner explicitement la taille et les coefficients de $A$; ici $A$ est de taille $n\times n$, où $n$ est un entier strictement positif.

\medskip
$\blacklozenge$ Soient à présent $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs, et soit $A=(a_{i,j})$ une matrice de taille $m\times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$. Par définition, étant donné $k\in \llbracket 1, \min (m,n) \rrbracket$, un mineur d'ordre $k$ de $A$ est le déterminant d'une matrice carrée de taille $k\times k$ extraite de $A$. Chaque couple $(I,J)\in \mathcal{P}_k(m) \times \mathcal{P}_k(n)$ définit ainsi un mineur
$$\left| \begin{array}{ccc}
a_{i_1,j_1} & \dots & a_{i_1,j_k}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_k,j_1} & \dots & a_{i_k,j_k}
\end{array}
\right|$$
d'ordre $k$ de $A$, où $i_1,\dots, i_k$ (respectivement, $j_1,\dots , j_k$) sont les éléments de $I$ (respectivement, $J$) \textbf{rangés dans l'ordre croissant}. Ce mineur sera noté $\Delta_{I,J}(A)$.

\end{sujet}

\begin{sujet}

\setcounter{subsection}{-1}
\subsection{\color{purple}Questions de cours et autre résultats classiques.}

\emph{Les candidats sont invités à rédiger des preuves concises et convaincantes des théorèmes $A$ et $B$ ci-dessous. les théorèmes $C$ et $D$ seront en revanche admis.}

\medskip
\emph{Théorème $A$.} (\textbf{à démontrer}) - Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $$\dim (F+G) +\dim (F\cap G) = \dim F +\dim G$$

\end{sujet}

\begin{correction}

\subsubsection*{Démonstration 1 du \emph{Théorème $A$}: formule de Grassman.}

\begin{notes}

Pré-requis.
	\begin{enumerate}
	\item Théorème de la base incomplète.
	\end{enumerate}

\end{notes}

	\begin{enumerate}[*]
	\item ~
	
$\left\{ \begin{array}{l}
F\subset E\\
G\subset E\\
\dim E <\infty
\end{array}
\right.
\Rightarrow 
\left\{ \begin{array}{l}
\dim F <\infty\\
\dim G <\infty
\end{array}
\right.$
	\item Le résultat est trivial si l'un ou l'autre sous-espace est réduit à $ \{ 0\}$.
	\item Si les sous-espaces sont disjoints il suffit de considérer des bases de chacun pour obtenir la formule.
	\item $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel et du fait des inclusions: $\dim F\cap G \le \min (\dim F, \dim G)$. Soit $(e_i)_{i\in \llbracket 1 , \dim F\cap G \rrbracket }$ une base de $F\cap G$.
	\item D'après le théorème de la base incomplète, la famille libre $(e_i)$ de $F$ peut être complétée en une famille $\{ e_1, \dots , e_{\dim F\cap G},f_{\dim F\cap G+1},\dots , f_{\dim F} \}$ libre et génératrice de $F$.
	\item D'après le théorème de la base incomplète, la famille libre $(e_i)$ de $G$ peut être complétée en une famille $\{ e_1, \dots , e_{\dim F\cap G},g_{\dim F\cap G+1},\dots , g_{\dim G} \}$ libre et génératrice de $G$.
	\item La famille $\{ e_1, \dots , e_{\dim F\cap G},f_{\dim F\cap G+1},\dots , f_{\dim F}, g_{\dim F\cap G+1},\dots , g_{\dim G} \}$ est clairement une famille libre et génératrice de $F+G$, donc une base. D'où: $\dim (F+G)=\dim F\cap G +[ \dim F -(\dim F\cap G +1)+1]+[ \dim G -(\dim F\cap G +1)+1]=\dim F +\dim G -\dim F\cap G$.
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Démonstration 2 du \emph{Théorème $A$}: formule de Grassman.}

\begin{notes}

Pré-requis:
	\begin{enumerate}
	\item Une intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
	\item Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
	\item Tout sous-espace vectoriel d'un espace de dimension finie admet au moins un supplémentaire.
	\item La dimension d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies est la somme de leur dimension.
	\end{enumerate}

\end{notes}

	\begin{enumerate}[*]
	\item $F\cap G$ est un sous-espace de $F$ et $F$ est de dimension finie donc $F\cap G$ admet un supplémentaire $F'$ dans $F$. Autrement dit: $F' \oplus (F\cap G) = F$, et donc: \begin{align}\dim F' +\dim F\cap G &= \dim F \label{equation01}\end{align}
	\item Montrons: $G\oplus F'= F+G$.
		\begin{enumerate}[.]
		\item Montrons que $F+G\subset G\oplus F'$. 
		
		Soit $x\in F+G$.
			\begin{enumerate}[$\diamond$]
			\item $x\in F+G \Rightarrow \exists (f,g)\in F\times G,\ x=f+g$
			\item $\left\{
			\begin{array}{l}
			f\in F \\
			F=F'\oplus (F\cap G)
			\end{array}
			\right.
			\Rightarrow 
			\exists (f_{F'},f_G)\in F'\times G , \ f=f_{F'}+f_G$
			\item Des deux points précédents nous déduisons: $x=f_{F'}+(f_G+g)$ avec $f_{F'}\in F$ et $f_G+g\in G$.
			\end{enumerate}
		\item Clairement $G\oplus F'\subset F+G$.
		\end{enumerate}
	\item Du point précédent on déduit: 
	\begin{align} 
	\dim F' +\dim G&=\dim F+G \label{equation02}
	\end{align}
	\item Des égalités \eqref{equation01} et \eqref{equation02} on déduit l'égalité de Grassman.
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Démonstration 3 du \emph{Théorème $A$}: formule de Grassman.}

\begin{notes}

Pré-requis:
	\begin{enumerate}
	\item Suite exacte.
	\item Suite exacte courte.
	\item Théorème du rang.
	\end{enumerate}
	
\end{notes}
	
	\begin{enumerate}[*]
	\item Les espaces vectoriels et applications linéaires: \begin{align*} 0 \rightarrow F\cap G \overset{f}{\rightarrow} F\times G \overset{g}{\rightarrow} F+G \rightarrow 0 \end{align*}
	avec $f:x\mapsto (x,x)$ et $g:(x,y)\mapsto x-y$ forment une suite exacte courte. 
	\item D'après le théorème du rang:
		\begin{enumerate}[.]
		\item $\dim (F\cap G)=\mathrm{rg}(f)+\dim [ \ker (f)]$
		\item $\dim (F\times G)=\mathrm{rg}(g)+\dim[ \ker (g)]$
		\end{enumerate}
	
	Or:
		\begin{enumerate}[$\diamond$]
		\item La suite étant exacte $f$ est injective et $g$ est surjective donc: $\dim[\ker(f)]=0$ et $\mathrm{rg}(g)=\dim (F+G)$.
		\item La suite étant exacte: $\ker (g) =\mathrm{Im }(f)$ et donc: $\dim [\ker (g)]=\mathrm{rg}(f)$.
		\end{enumerate}
	donc: \begin{align}\dim (F\cap G)=\dim (F\times G)- \dim(F+G) \label{equation03} \end{align}
	
	\medskip
	Enfin, comme $\dim (F\times G)= \dim F +\dim G$, en remplaçant dans  \eqref{equation03} nous pouvons conclure.
	\end{enumerate}

\end{correction}

\begin{sujet}

\medskip
\emph{Théorème $B$.} (\textbf{à démontrer}) - Le déterminant d'une matrice carrée $A$, à coefficients dans un corps, admettant une décomposition par blocs de la forme 
\begin{align*}
A=
\left(
\begin{array}{c|c}
B & C \\
\hline
0 & F
\end{array}
\right) 
& \text{ou} & 
A=
\left(
\begin{array}{c|c}
B & 0\\
\hline
D & F
\end{array}
\right) 
\end{align*}
où $B$ et $F$ sont des matrices carrées, est donné par la formule $\det A =(\det B)(\det F)$.
\end{sujet}

\begin{correction}

\subsubsection*{Démonstration 1 du \emph{Théorème $B$}.}

Remarquons: 
\begin{align}
\left( \begin{array}{cc} B&C\\ 0 & F \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & F\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} B & C \\ 0 & I \end{array} \right) \label{equation04}
\end{align}

	\begin{enumerate}[*]
	\item En développant par rapport à la première ligne de façon itérée: 
	\begin{align}
	\det \left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & F\end{array}\right)= \det F \label{equation05}
	\end{align}
	\item En développant par rapport à la dernière ligne de façon itérée: 
	\begin{align}
	\det \left( \begin{array}{cc} B & C \\ 0 & I \end{array} \right)&= \det B \label{equation06}
	\end{align}
	\item Comme , nous en déduisons de \eqref{equation04}, \eqref{equation05} et \eqref{equation06} que $\det  \left( \begin{array}{cc} B&C\\ 0 & F \end{array} \right) = (\det B )\times (\det F)$.
	\item Comme: $\forall M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\ \det ({}^t\!M )=\det M$, nous trouvons le même résultat pour une matrice symétrique par blocs inférieure.
	\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{sujet}

\medskip
\emph{Théorème $C$.} (\textbf{admis}) - Soit $\mathbb{K}$ un corps et $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Si $x_1, \dots ,x_n$ sont des éléments de $\mathbb{K}$, alors 
\[
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2 ^2 & \dots & x_2^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n ^{n-1}
\end{array}
\right|
=
\Pi_{1\le i,j\le n}(x_i-x_j)
\] 

\end{sujet}

\begin{correction}

\subsubsection*{Démonstration du \emph{Théorème $C$}.}

\end{correction}

\begin{sujet}

\medskip
\emph{Théorème $D$.} (\textbf{admis}) - Soit $\mathbb{K}$ un corps, soit $n$ un entier strictement positif, et soit $A\in \mathcal{M}_n[\mathbb{K})$. Les deux propositions suivantes sont équivalentes:
	\begin{enumerate}[(i)]
	\item Pour tout $p\in \llbracket 1,n \rrbracket$, le mineur $\Delta_{\llbracket 1,p \rrbracket , \llbracket 1, p \rrbracket}(A)$ est différent de $0$.
	\item Il existe dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une unique factorisation $A=LDU$, où $D$ est une matrice diagonale inversible et où $L$ et $U$ sont des matrices unitriangulaires inférieure et supérieure, respectivement.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\subsubsection*{Démonstration du \emph{Théorème $D$}.}

\end{correction}

\setcounter{subsection}{0}
\subsection{Matrices totalement positives.}
	
\subsubsection{\color{white}1 }

	 \begin{sujet}
	
	Soit $\mathbb{K}$ un corps , soient $m$, $n$ et $p$ trois entiers strictement positifs, et soient $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{H})$ et $B\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Formons le produit $C=AB$ et écrivons $A=(a_{h,i})$, $B=(b_{i,j})$, $C=(c_{h,j})$, avec $h\in\llbracket 1,m\rrbracket$, $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$, $j\in\llbracket 1,p \rrbracket$.
	
	\medskip
	Soit $k\in\llbracket 1 \min (m,p)\rrbracket$ et soit $(H,J)\in \mathcal{P}_k(m)\times \mathcal{P}_k(p)$. Notons $h_1,\dots ,h_k$ (respectivement, $j_1,\dots ,j_k$) les éléments de $H$ (respectivement, $J$), rangés dans l'ordre croissant. Notons $X_1,\dots X_n$ et $Y_1, \dots Y_k$ les colonnes des matrices
	\[ \left(
	\begin{array}{ccc}
	a_{h_1,1} & \dots & a_{h_1,n} \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	a_{h_k,1} & \dots & a_{h_k,n}
	\end{array}
	\right)
	\ \text{et}  \
	\left(
	\begin{array}{ccc}
	c_{h_1,j_1} & \dots & c_{h_1,j_k}\\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	c_{h_k,j_1} & \dots & c_{h_k,j_k}
	\end{array}
	\right)
	\]
	respectivement. Ces colonnes appartiennent à l'espace vectoriel $E=\mathbb{K}^k$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}[(a)]
		\item \begin{sujet}
		
		Exprimer $Y_1,\dots ,Y_k$ en fonction de $X_1,\dots ,X_n$ et des coefficients $b_{i,j}$ de la matrice $B$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soit $(l,s)\in\llbracket 1,k \rrbracket ^2$.
		
		\[ ( C=AB) \Rightarrow \left( c_{l,s}=\sum_{i=1}^{n} a_{h_l,i}b_{i,j_s} \right) \]
		
		Donc: \[ Y_s=\left( \begin{array}{c} c_{h_1,j_s}\\ \vdots \\ c_{h_k,j_s} \end{array} \right)
		=\left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n a_{h_1,i}b_{i,j_s} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n a_{h_k,i}b_{i,j_s} \end{array} \right)
		=\sum_{i=1}^n b_{i,j_s} \left( \begin{array}{c}a_{h_1,i}\\ \vdots \\ a_{h_k,i} \end{array} \right)
		=\sum_{i=1}^n b_{i,j_s} X_i \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Soit $f:E^k\rightarrow \mathbb{K}$ une forme $k$-linéaire alternée. Montrer que \[f(Y_1,\dots,Y_k)=\sum_{\underset{\text{injective}}{\varphi :\llbracket 1,k\rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n \rrbracket}} b_{\varphi (1),j_1}\dots b_{\varphi(k),j_k}\ f(X_{\varphi (1)},\dots ,X_{\varphi (k)}), \] la somme portant sur l'ensemble des applications injectives de $\llbracket 1,k\rrbracket$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		D'après la question précédente: \[ f(Y_1,\dots,Y_k)=f\left( \sum_{i_1=1}^n b_{i_1,j_1}X_{i_1},\dots,\sum_{i_k=1}^n b_{i_k,j_k}X_{i_k} \right) \]
		$f$ forme $k$-linéaire donc: \[ f(Y_1,\dots,Y_k)= \sum_{\begin{array}{c}1\le i_1\le n \\ \vdots \\ 1\le i_k \le n \end{array}}  b_{i_1,j_1}\dots b_{i_k,j_k} f\left( X_{i_1},\dots,X_{i_k} \right) \]
		Puisque $f$ est alternée: $X_{i_r}=X_{i_m} \Rightarrow f(X_{i_1},\dots,X_{i_k})=0$ et donc: \[ f(Y_1,\dots,Y_k)= \sum_{\begin{array}{c}1\le i_1\le n \\ \vdots \\ 1\le i_k \le n \\ i_r \text{ distincts } \end{array}}  b_{i_1,j_1}\dots b_{i_k,j_k} f\left( X_{i_1},\dots,X_{i_k} \right) \]
		Ainsi: \[\left\{ \begin{array}{c}\forall r\in\llbracket 1,k \rrbracket,\ i_r\in\llbracket 1, n \rrbracket \\ \forall (r,u)\in\llbracket 1, n \rrbracket ^2,\ i_r=i_u \Rightarrow r=u \end{array}\right. \Leftrightarrow \begin{array}{rcl}\llbracket 1,k\rrbracket & \rightarrow & \llbracket 1, n\rrbracket \\ r & \mapsto & i_r\end{array} \ \text{est injective} \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Sous les hypothèses de la question précédente, montrer que \[ f(Y_1,\dots,Y_k)=\sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\sum_{\sigma \in S_k}b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}f(X_{i_{\sigma(1)}},\dots,X_{i_{\sigma(k)}}), \] où $i_1,\dots,i_k$ sont les éléments de $I$ rangés par ordre croissant.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Montrons que $E_1=\{ (\varphi (1),\dots \varphi (k)) | \varphi :\llbracket 1, k \rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n\rrbracket, \varphi \ \text{injective}\}$ et  $E_2=\{ (i_{\sigma(1)},\dots,i_{\sigma(k)} | I\in\mathcal{P}_k(n), i_1,\dots,i_k\in I, \sigma\in S_k\}$.

		Clairement $E_2\subset E_1$. Montrons l'inclusion réciproque.
		
		Soit $\varphi :\llbracket 1, k \rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n\rrbracket$ injective. Notons $I=\varphi(\llbracket 1,k\rrbracket)$ et $i_1<\dots<i_k$ les éléments de $I$. Nous définissons une permutation $\sigma\in S_k$ en posant: $\forall s\in\llbracket 1,k \rrbracket,\ \varphi(s)=i_{\sigma(s)}$.	 Donc $\varphi(\llbracket 1,k\rrbracket)\in E_1$ puis $E_1=E_2$.
		
		D'où: \begin{align*} f(Y_1,\dots,Y_k)& =\sum_{\underset{\text{injective}}{\varphi :\llbracket 1,k\rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n \rrbracket}} b_{\varphi (1),j_1}\dots b_{\varphi(k),j_k}\ f(X_{\varphi (1)},\dots ,X_{\varphi (k)})\\
		&= \sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\sum_{\sigma \in S_k}b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}f(X_{i_{\sigma(1)}},\dots,X_{i_{\sigma(k)}})
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer la formule de Binet-Cauchy: \[\Delta _{H,J}(C)=\sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\Delta_{H,I}(A)\Delta_{I,J}(B) .\]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Le déterminant est une forme $k$-linéaire alternée, donc, d'après la question précédente nous obtenons successivement:
		\begin{align*}
		\det (Y_1,\dots,Y_k) &= \sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\sum_{\sigma \in S_k}b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}\det (X_{i_{\sigma(1)}},\dots,X_{i_{\sigma(k)}})\\
		\Delta_{H,J}(C) &= \sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\sum_{\sigma \in S_k}b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}\epsilon(\sigma) \det (X_{i_{1}},\dots,X_{i_{k}})\\
		\Delta_{H,J}(C) &= \sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\sum_{\sigma \in S_k}b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}\epsilon(\sigma) \Delta_{H,I}(A)\\
		\Delta_{H,J}(C) &= \sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\Delta_{H,I}(A)\sum_{\sigma \in S_k}\epsilon(\sigma) b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}\\
		\Delta_{H,J}(C) &= \sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\Delta_{H,I}(A)\Delta_{I,J}(B)
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}

	
	\begin{sujet}
	
	\medskip	
	$\blacklozenge$ Une matrice carrée à coefficients réels est dite totalement positive  (TP en abrégé) si chacun de ses mineurs est positif.
	
	\medskip
	Autrement dit, étant donné un entier $n\ge 1$, une matrice $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite TP si $\Delta_{I,J}(A)\ge 0$ pour chaque $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et chaque $(I,J)\in\mathcal{P}_k(n)^2$.
	
	\end{sujet}
	
\subsubsection{\color{white}2}

	 \begin{sujet}
	
	Dans cette question, les matrices considérées sont carrées à coefficients réels.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que les coefficients d'une matrice TP sont positifs.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Les coefficients de la matrice sont les mineurs d'ordre 1 de la matrice donc sont positifs si elle est TP.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que la transposée d'une matrice TP est TP.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $A$ soit TP.
		
		Si $A'$ est une matrice extraite de ${}^t\!A$ alors ${}^t\!A'$ est une matrice extraite de $A$. Or $\det A'= \det {}^t\!A'$ donc $\det A' \ge 0$.
		
		Nous avons établi que si une matrice est TP sa transposée l'est aussi.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $n\ge 1$, la matrice identité de taille $n\times n$ est TP.
		
		\end{sujet}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que le produit de deux matrices TP de même taille est TP.
		
		\end{sujet}
		
		\item \begin{sujet}
		
		L'inverse d'une matrice TP inversible est-elle toujours TP?
		
		\end{sujet}
		
		\end{enumerate}
	
\subsubsection{\color{white}3}

	 \begin{sujet}
	
	Soit $n\ge 1$ un entier. Soit $\mathcal{C}_n\subset \mathbb{R}^n$ l'ensemble des $n$-uplets strictement croissants de réels.
	
	\end{sujet}
		\begin{enumerate}[(a)]
		\item \begin{sujet}
		
		Soit $b_1,\dots ,b_n) \in \mathcal{C}_n$ et soit $(\lambda _1,\dots ,\lambda _n)\in\mathbb{R}^n$. Montrer que si la fonction à valeurs réelles définie sur $\mathbb{R}$ ar \[ x\mapsto \lambda _1e^{b_1x}+\dots +\lambda_ne^{b_nx} \] s'annule en $n$ points distincts de $\mathbb{R}$, alors $\lambda_1=\dots=\lambda_n=0$.
		
		\emph{(Indication: raisonner par récurrence sur $n$ en se ramenant au cas où $b_n=0$. Utiliser la dérivation.)}
		
		\end{sujet}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Étant donnés deux éléments $\underline{a}=(a_1,\dots,a_n)$ et $\underline{b}=(b_1,\dots,b_n)$ de $\mathcal{C}_n$ on peut construire la matrice $E=(e_{i,j})$ de taille $n\times n$ et de coefficients donnés par $e_{i,j}=e^{a_ib_j}$. Montrer que cette matrice $E$ est inversible.
		
		\emph{Étudier le système homogène associé.}
		\end{sujet}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $\mathcal{C}_n$ est connexe.
		
		\end{sujet}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Avec les notations de la question (b), montrer que $\det E>0$ quelque soit $(a,b)\in(\mathcal{C}_n)^2$.
		
		\end{sujet}
		
		\end{enumerate}
	 
	 \begin{sujet}
	 
	\medskip
	$\blacklozenge$ Fixons nous un entier $n\ge 1$. Désignons le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ par le symbole $\mathcal{G}$. Notons $\mathcal{G}_+$ l'ensemble des matrices TP appartenant à $\mathcal{G}$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices TP inversibles de taille $n\times n$. Notons enfin $\mathcal{G}_+^*$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{G}$ dont tous les mineurs sont strictement positifs: une matrice $A\in\mathcal{G}$ appartient à $\mathcal{G}_+^*$ si $\Delta_{I,J}(A)>0$ pour chaque $k\in\llbracket 1, n \rrbracket$ et chaque $(I,J)\in \mathcal{P}_k(n)^2$.
	
	\end{sujet}
	
\subsubsection{\color{white}4}

	\begin{enumerate}[(a)]
	\item \begin{sujet}
	
	Soient $A$ et $B$ deux éléments de $mathcal{G}$. Montrer que si $A\in\mathcal{G}_+$ et $B\in\mathcal{G}_+$, alors $AB\in\mathcal{G}_+^*$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que pour tout $\theta\in ]0,1[$, la matrice $Y=(t_{i,j})$ de taille $n\times n$ et de coefficients donnés par $t_{i,j}=\theta^{(i-j)^2}$ appartient à $\mathcal{G}_+^*$.
	
	\emph{(Indication: développer $(i-j)^2$ et utiliser la question 1.3(d).)}
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Construire une suite de matrices appartenant à $\mathcal{G}_+^*$ ayant pour limite la matrice identité dans $\mathcal{G}$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que $\mathcal{G}_+$ est l'adhérence de $\mathcal{G}_+^*$ dans $\mathcal{G}$.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}
	
\subsection{Factorisation LDU d'une matrice TP inversible.}

\begin{sujet}

Le but de cette partie est de montrer que pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $n>p\ge 1$ et toute matrice $A$ totalement positive $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on a \begin{align*}\det A \le \Delta _{\llbracket 1, p\rrbracket, \llbracket 1, p\rrbracket}(A) & \Delta _{\llbracket p+1,n\rrbracket , \llbracket p+1,n\rrbracket}(A) \quad (*) \end{align*}

Nous prouverons cette inégalité par récurrence sur $n$, en écrivant (*) pour un matrice $D$ de taille plus petite construite à partir de $A$. Le nœud de l'argument est l'identité de Sylvester, qui permet d'exprimer les mineurs de $D$ en fonction de ceux de $A$.

\end{sujet}

\subsubsection{\color{white}2.1}

\begin{sujet}

Soit $\mathbb{K}$ un corps, soient $q$ et $n$ deux entiers tels que $n>q\ge 1$, et soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. on considère la matrice $D\in\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{K})$ de coefficients \[d_{i,j}=\Delta_{\llbracket 1,q\rrbracket \cup\{q+i\},\llbracket 1,q\rrbracket \cup \{q+j\}}(A), \]	
pour $(i,j)\in\llbracket 1,n-q\rrbracket ^2$.

Dans les questions (a), (b) et(c) on suppose que le mineur $\Delta_{\llbracket 1,q\rrbracket , \llbracket 1,q\rrbracket}(A)$ est non nul.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[(a)]
	\item \begin{sujet} Montrer que $A$ se factorise de façon unique comme produit de deux matrices par blocs \[ A=\left( \begin{array}{c|c} I_q & 0 \\ \hline E & I_{n-q}\end{array} \right) \left( \begin{array}{c|c} B & F \\ \hline 0 & C \end{array} \right) \] avec $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), C\in\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{K}), E\in \mathcal{M}_{n-q,q}(\mathbb{K}), F\in\mathcal{M}_{q,n-q}(\mathbb{K})$ où les symboles $I_q$ et $I_{n-q}$ désignent les matrices identités dans $\mathcal{M}_q(\mathbb{K})$ et $\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{K})$, respectivement.
	
	\end{sujet}	
	
	\item \begin{sujet}
	
	Exprimer la matrice $D$ en fonction de $B$ et $C$.
	
	\emph{Indication: utiliser la formule de Binet-Cauchy prouvée dans la question 1.1(d)}
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer l'identité de Sylvester: $\det D=(\Delta_{\llbracket 1, q\rrbracket ,\llbracket 1,q \llbracket}(A)^{n-q-1} (\det 1)$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que l'identité de Sylvester est vraie de façon générale, même si l'hypothèse $\Delta_{\llbracket 1, q\rrbracket ,\llbracket 1, q \rrbracket}(A)\ne 0$ n'est pas satisfaite.
	
	\emph{(Note: dans le cas $q=n-1$, on adopte la convention que $0^0=1$.)}
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}
	
Dans la suite de cette partie, toutes les matrices considérées sont à coefficients réels.

\subsubsection{\color{white}2.2}

\begin{sujet}

Soient $n$ et $q$ deux entiers naturels avec $n>q\ge 1$, soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, et soit $D\in\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{R})$ la matrice construite à partir de $A$ comme dans la question 2.1. Montrer que si $A$ est TP, alors $D$ est aussi TP.

\end{sujet}

\subsubsection{\color{white}2.3}

\begin{sujet}

Dans cette question, nous démontrerons (*) par récurrence sur $n$.

\medskip
Le cas $n=2$ ne présente pas de difficulté: nécessairement $p=1$, et si on appelle$a_{i,j}$ les coefficients de $A$, alors (*) s'écrit \[ a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\le a_{1,1}a_{2,2} \] et découle directement de la positivité de $a_{1,2}$ et $a_{2,1}$ (\emph{cf.} question 1.2(a)).

\medskip
On prend alors $n\ge 3$ et on suppose le résultat acquis pour les matrices de taille strictement inférieure à $n$. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$  une matrice TP. Comme (*) est banalement vraie si $\det A=0$, on se place dans le cas où $A$ est inversible.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que $a_{1,1}>0$.
	
	\emph{Indication: raisonner par l'absurde et utiliser la positivité des mineurs $\Delta_{\{ 1, i\}, \{1,j\} }(A)$, pour $(i,j)\in\llbracket 2,n\rrbracket ^2$.)}
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que $A$ satisfait l'inégalité (*) pour tout $p\in\llbracket 2,n-1 \rrbracket$.
	
	\emph{(Indication: introduire la matrice $D$ de la question 2.1 pour $q=1$ et prouver la majoration $\Delta_{\llbracket p,n-1\rrbracket , \llbracket p,n-1\llbracket}(D)\le (a_{1,1})^{n-p}\Delta_{\llbracket p,n-1\llbracket}(A)$.)}

	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Traiter le cas $p=1$ en le ramenant au cas $p=n-1$ d'une autre matrice.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

\medskip
Soit $A$ une matrice  TP inversible. L'inégalité (*) entraîne que $\Delta_{\llbracket 1,p\rrbracket ,\llbracket 1,p\rrbracket}(A)>0$ pour chaque $p\in\llbracket 1,n\rrbracket$. D'après le théorème D, il existe une unique factorisation $A=LDU$, où $D$ est une matrice diagonale inversible et où $L$ et $U$ sont des matrices unitriangulaires inférieure et supérieure, respectivement. Les coefficients de ces matrices peuvent s'écrire comme des quotients des mineurs de $A$; ils sont donc positifs. En fait, il même possible de montrer que les matrices $L$, $D$ et $U$ sont TP. Ce résultat ramène l'étude des matrices TP inversibles à celle des matrices TP untriangulaires. Nous entreprendrons celle-ci dans la partie 6, après avoir développé les outils nécessaires.

\end{sujet}

\subsection{Position relative de deux drapeaux.}

 
\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

