%%%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5 \documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5 %######## % Packages # %######## \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb,amsthm} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsopn} \usepackage{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{pgf} \usepackage{tikz} \usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5 \geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5 \usepackage{array}%pour centrer dans un tableau \usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , \columncolor{} \usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro \usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres \usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket \usepackage{xlop} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage{tkz-tab} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel \usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique \usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular \usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace \usepackage{fancyhdr} %##################### % Commande et environnement # %##################### \theoremstyle{plain} \renewcommand{\thesection}{{}} \renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\arabic{subsection}} %pour écrire en chiffre romain: \Roman{} \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}} \newenvironment{correction}{\color{brown}}{} \newenvironment{sujet}{}{} \newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline} \newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline} %environnement exercice \newcounter{Exercice} \setcounter{Exercice}{1} \newcounter{Exercicecorrection} \newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}} %environnement exercicecorrection \newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection} }{~\newline} %environnement definition \newcounter{Definition} \setcounter{Definition}{1} \newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement théorème \newcounter{Theoreme} \setcounter{Theoreme}{1} \newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}} %environnement proposition \newcounter{Proposition} \setcounter{Proposition}{1} \newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement corollaire \newcounter{Corollaire} \setcounter{Corollaire}{1} \newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement démonstration \newcounter{Demonstration} \setcounter{Demonstration}{1} \newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} }{} %environnement bareme: tableau deux colonnes \newenvironment{bareme}{\color{orange} \medskip \noindent \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular} \medskip} %######################## %Test conditionnel pour l'affichage # %######################## \newif\ifs \strue%affiche la boite à trous %\sfalse%affiche la réponse %Pour faire une case à trou complétable sur le pdf \newcommand{\trous}[2][3cm]{ \ifs \begin{Form} \TextField[name=formname,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!15, align=1, width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {} \end{Form} \xspace \else #2 \fi } %en tête puis pied de page \pagestyle{empty} \pagestyle{fancy} \lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires \chead[\small Composition de mathématiques générales - \thepage]{\small Composition de mathématiques générales - \thepage}% l left, c center, r right \rhead[]{} \lfoot[]{} \cfoot[\small Agrégation 2014 - \thepage]{\small Agrégation 2014 - \thepage} \rfoot[]{} %Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration %les environnements qu'on affiche ou pas \newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}} \exclure{bareme} \exclure{notes} \exclure{exercicesdumanuel} %\exclure{exercicecorrection} %\exclure{correction} %\exclure{preuve} %\exclure{sujet} \begin{document} \section{Agrégation externe 2014: composition de mathématiques générales.} \begin{notes} \subsection*{\color{purple}Thèmes.} \begin{enumerate} \item Matrice totalement positive. \item Mineur d'une matrice. \item Matrice unitriangulaire. \item Topologie associée à une norme. \item Topologie sur espace vectoriel normé de dimension finie. \item Topologie induite. \item Formule de Binet-Cauchy \end{enumerate} \end{notes} \begin{sujet} \subsection*{\color{purple}Introduction.} Une matrice carrée à coefficients réels est dite totalement positive (TP en abrégé) si tous ses mineurs sont positifs. Les matrices TP apparaissent naturellement dans diverses questions d'analyse et jouissent de propriétés remarquables; par exemple, on peut démontrer que les valeurs propres d'une matrice TP sont toutes réelles positives. \medskip Ce problème vise à étudier l'ensemble des matrices TP inversibles de taille $n\times n$ donnée. Deux outils seront mis à contribution. le premier est la décomposition de Bruhat, qui décrit les doubles classes dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ selon le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures. Le second est l'étude des écritures des permutations comme produit de transpositions de deux éléments consécutifs. \end{sujet} \begin{notes} Les mineurs d'une matrice sont les déterminants de ses sous-matrices carrées. Voir formule de Laplace, comatrice, cofacteurs. \end{notes} \begin{sujet} \subsection*{\color{purple}Dépendance des parties entre elles.} L'épreuve commence par une partie 0 consacrée au rappel de quatre résultats classiques utilisés dans le problème. Il est ici demandé aux candidats de rappeler les preuves de deux de ces résultats, à savoir les théorèmes A et B. \medskip Le problème lui-même fait l'objet des parties 1 à 6. Le graphe suivant indique les dépendances entre ces parties: une arête relie $x$ (en haut) à $y$ (en bas) si la partie $y$ s'appuie sur des résultats ou des notions présentés dans la partie $x$. On voit par exemple qu'il est possible de commencer par n'importe laquelle des parties 1, 3 ou 4. \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw (0,0) node (A){1}; \draw (0,-1) node (B){2}; \draw (1,1) node (C){3}; \draw (2,1) node (D){4}; \draw (1,0) node (E){5}; \draw (1,-1) node (F){6}; \draw (A)--(B); \draw (C)--(E); \draw (E)--(F); \draw (D)--(E); \draw (A)--(F); \end{tikzpicture} \end{center} \end{sujet} \begin{sujet} \subsection*{\color{purple}Notations et conventions.} Afin de facilité leur repérage par les candidats, les définitions, les conventions et les notations utilisées seront indiquées par un losange noir dans la marge gauche. \medskip $\blacklozenge$ Pour deux ensembles $X$ et $Y$, la notation $X\setminus Y$ désigne l'ensemble des éléments de $X$ n'appartenant pas à $Y$. Le cardinal d'un ensemble fini $X$ est noté $\mathrm{Card}(X)$. Le minimum de deux entiers $m$ et $n$ sera noté $\mathrm{min}(m,n)$. Étant donnés deux entiers $m\le n$, on pose $\llbracket m,n\rrbracket =\{m,m+1,\dots ,n\}$. Étant donné un entier $n \ge 1$, le groupe des permutations de $\llbracket 1,n\rrbracket$ est noté $S_n$. Étant donnés un corps $\mathbb{K}$ et deux entiers strictement positifs $m$ et $n$, on note $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ l'espace vectoriel des matrices de taille $m\times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$; quand $m=n$, on simplifie la notation en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Le groupe des éléments inversibles de l'anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est noté $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. La dimension d'un espace vectoriel $E$ sera notée $\dim E$. \medskip $\blacklozenge$ Une matrice carrée est dite \textbf{unitriangulaire} inférieure (respectivement, supérieure) si elle est triangulaire inférieure (respectivement, supérieure) et si tous ses éléments diagonaux sont égaux à 1. \medskip $\blacklozenge$ Supposons que $\mathbb{K}$ soit le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels ou le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes. Étant donné un entier $n\ge 1$, le $\mathbb{K}$-espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ de dimension finie; par suite, toutes les normes dont il peut être muni définissent la même topologie. Sur chacun des sous-ensembles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ que nous serons amenés à considérer, la topologie utilisée sera la topologie induite. \end{sujet} \begin{sujet} \subsection*{\color{purple}Mineurs d'une matrice.} \textbf{Par convention, tous les corps sont supposés être commutatifs.} \medskip $\blacklozenge$ Pour deux entiers $n\ge 1$ et $k\ge 0$, on note $\mathcal{P}_k(n)$ l'ensemble des parties à $k$ éléments de $\llbracket 1,n \rrbracket$. \medskip $\blacklozenge$ Soit $\mathbb{K}$ un corps. Le déterminant d'une matrice carrée $A=(a_{i,j}) $ à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un élément de $\mathbb{K}$ noté $\det A$. Il est parfois commode d'utiliser la notation alternative $$\left| \begin{array}{ccc} a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right|$$ quand on souhaite mentionner explicitement la taille et les coefficients de $A$; ici $A$ est de taille $n\times n$, où $n$ est un entier strictement positif. \medskip $\blacklozenge$ Soient à présent $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs, et soit $A=(a_{i,j})$ une matrice de taille $m\times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$. Par définition, étant donné $k\in \llbracket 1, \min (m,n) \rrbracket$, un mineur d'ordre $k$ de $A$ est le déterminant d'une matrice carrée de taille $k\times k$ extraite de $A$. Chaque couple $(I,J)\in \mathcal{P}_k(m) \times \mathcal{P}_k(n)$ définit ainsi un mineur $$\left| \begin{array}{ccc} a_{i_1,j_1} & \dots & a_{i_1,j_k}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_k,j_1} & \dots & a_{i_k,j_k} \end{array} \right|$$ d'ordre $k$ de $A$, où $i_1,\dots, i_k$ (respectivement, $j_1,\dots , j_k$) sont les éléments de $I$ (respectivement, $J$) \textbf{rangés dans l'ordre croissant}. Ce mineur sera noté $\Delta_{I,J}(A)$. \end{sujet} \begin{sujet} \setcounter{subsection}{-1} \subsection{\color{purple}Questions de cours et autre résultats classiques.} \emph{Les candidats sont invités à rédiger des preuves concises et convaincantes des théorèmes $A$ et $B$ ci-dessous. les théorèmes $C$ et $D$ seront en revanche admis.} \medskip \emph{Théorème $A$.} (\textbf{à démontrer}) - Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $$\dim (F+G) +\dim (F\cap G) = \dim F +\dim G$$ \end{sujet} \begin{correction} \subsubsection*{Démonstration 1 du \emph{Théorème $A$}: formule de Grassman.} \begin{notes} Pré-requis. \begin{enumerate} \item Théorème de la base incomplète. \end{enumerate} \end{notes} \begin{enumerate}[*] \item ~ $\left\{ \begin{array}{l} F\subset E\\ G\subset E\\ \dim E <\infty \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dim F <\infty\\ \dim G <\infty \end{array} \right.$ \item Le résultat est trivial si l'un ou l'autre sous-espace est réduit à $ \{ 0\}$. \item Si les sous-espaces sont disjoints il suffit de considérer des bases de chacun pour obtenir la formule. \item $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel et du fait des inclusions: $\dim F\cap G \le \min (\dim F, \dim G)$. Soit $(e_i)_{i\in \llbracket 1 , \dim F\cap G \rrbracket }$ une base de $F\cap G$. \item D'après le théorème de la base incomplète, la famille libre $(e_i)$ de $F$ peut être complétée en une famille $\{ e_1, \dots , e_{\dim F\cap G},f_{\dim F\cap G+1},\dots , f_{\dim F} \}$ libre et génératrice de $F$. \item D'après le théorème de la base incomplète, la famille libre $(e_i)$ de $G$ peut être complétée en une famille $\{ e_1, \dots , e_{\dim F\cap G},g_{\dim F\cap G+1},\dots , g_{\dim G} \}$ libre et génératrice de $G$. \item La famille $\{ e_1, \dots , e_{\dim F\cap G},f_{\dim F\cap G+1},\dots , f_{\dim F}, g_{\dim F\cap G+1},\dots , g_{\dim G} \}$ est clairement une famille libre et génératrice de $F+G$, donc une base. D'où: $\dim (F+G)=\dim F\cap G +[ \dim F -(\dim F\cap G +1)+1]+[ \dim G -(\dim F\cap G +1)+1]=\dim F +\dim G -\dim F\cap G$. \end{enumerate} \subsubsection*{Démonstration 2 du \emph{Théorème $A$}: formule de Grassman.} \begin{notes} Pré-requis: \begin{enumerate} \item Une intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. \item Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie. \item Tout sous-espace vectoriel d'un espace de dimension finie admet au moins un supplémentaire. \item La dimension d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies est la somme de leur dimension. \end{enumerate} \end{notes} \begin{enumerate}[*] \item $F\cap G$ est un sous-espace de $F$ et $F$ est de dimension finie donc $F\cap G$ admet un supplémentaire $F'$ dans $F$. Autrement dit: $F' \oplus (F\cap G) = F$, et donc: \begin{align}\dim F' +\dim F\cap G &= \dim F \label{equation01}\end{align} \item Montrons: $G\oplus F'= F+G$. \begin{enumerate}[.] \item Montrons que $F+G\subset G\oplus F'$. Soit $x\in F+G$. \begin{enumerate}[$\diamond$] \item $x\in F+G \Rightarrow \exists (f,g)\in F\times G,\ x=f+g$ \item $\left\{ \begin{array}{l} f\in F \\ F=F'\oplus (F\cap G) \end{array} \right. \Rightarrow \exists (f_{F'},f_G)\in F'\times G , \ f=f_{F'}+f_G$ \item Des deux points précédents nous déduisons: $x=f_{F'}+(f_G+g)$ avec $f_{F'}\in F$ et $f_G+g\in G$. \end{enumerate} \item Clairement $G\oplus F'\subset F+G$. \end{enumerate} \item Du point précédent on déduit: \begin{align} \dim F' +\dim G&=\dim F+G \label{equation02} \end{align} \item Des égalités \eqref{equation01} et \eqref{equation02} on déduit l'égalité de Grassman. \end{enumerate} \subsubsection*{Démonstration 3 du \emph{Théorème $A$}: formule de Grassman.} \begin{notes} Pré-requis: \begin{enumerate} \item Suite exacte. \item Suite exacte courte. \item Théorème du rang. \end{enumerate} \end{notes} \begin{enumerate}[*] \item Les espaces vectoriels et applications linéaires: \begin{align*} 0 \rightarrow F\cap G \overset{f}{\rightarrow} F\times G \overset{g}{\rightarrow} F+G \rightarrow 0 \end{align*} avec $f:x\mapsto (x,x)$ et $g:(x,y)\mapsto x-y$ forment une suite exacte courte. \item D'après le théorème du rang: \begin{enumerate}[.] \item $\dim (F\cap G)=\mathrm{rg}(f)+\dim [ \ker (f)]$ \item $\dim (F\times G)=\mathrm{rg}(g)+\dim[ \ker (g)]$ \end{enumerate} Or: \begin{enumerate}[$\diamond$] \item La suite étant exacte $f$ est injective et $g$ est surjective donc: $\dim[\ker(f)]=0$ et $\mathrm{rg}(g)=\dim (F+G)$. \item La suite étant exacte: $\ker (g) =\mathrm{Im }(f)$ et donc: $\dim [\ker (g)]=\mathrm{rg}(f)$. \end{enumerate} donc: \begin{align}\dim (F\cap G)=\dim (F\times G)- \dim(F+G) \label{equation03} \end{align} \medskip Enfin, comme $\dim (F\times G)= \dim F +\dim G$, en remplaçant dans \eqref{equation03} nous pouvons conclure. \end{enumerate} \end{correction} \begin{sujet} \medskip \emph{Théorème $B$.} (\textbf{à démontrer}) - Le déterminant d'une matrice carrée $A$, à coefficients dans un corps, admettant une décomposition par blocs de la forme \begin{align*} A= \left( \begin{array}{c|c} B & C \\ \hline 0 & F \end{array} \right) & \text{ou} & A= \left( \begin{array}{c|c} B & 0\\ \hline D & F \end{array} \right) \end{align*} où $B$ et $F$ sont des matrices carrées, est donné par la formule $\det A =(\det B)(\det F)$. \end{sujet} \begin{correction} \subsubsection*{Démonstration 1 du \emph{Théorème $B$}.} Remarquons: \begin{align} \left( \begin{array}{cc} B&C\\ 0 & F \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & F\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} B & C \\ 0 & I \end{array} \right) \label{equation04} \end{align} \begin{enumerate}[*] \item En développant par rapport à la première ligne de façon itérée: \begin{align} \det \left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & F\end{array}\right)= \det F \label{equation05} \end{align} \item En développant par rapport à la dernière ligne de façon itérée: \begin{align} \det \left( \begin{array}{cc} B & C \\ 0 & I \end{array} \right)&= \det B \label{equation06} \end{align} \item Comme , nous en déduisons de \eqref{equation04}, \eqref{equation05} et \eqref{equation06} que $\det \left( \begin{array}{cc} B&C\\ 0 & F \end{array} \right) = (\det B )\times (\det F)$. \item Comme: $\forall M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\ \det ({}^t\!M )=\det M$, nous trouvons le même résultat pour une matrice symétrique par blocs inférieure. \end{enumerate} \end{correction} \begin{sujet} \medskip \emph{Théorème $C$.} (\textbf{admis}) - Soit $\mathbb{K}$ un corps et $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Si $x_1, \dots ,x_n$ sont des éléments de $\mathbb{K}$, alors \[ \left| \begin{array}{ccccc} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2 ^2 & \dots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n ^{n-1} \end{array} \right| = \Pi_{1\le i,j\le n}(x_i-x_j) \] \end{sujet} \begin{correction} \subsubsection*{Démonstration du \emph{Théorème $C$}.} \end{correction} \begin{sujet} \medskip \emph{Théorème $D$.} (\textbf{admis}) - Soit $\mathbb{K}$ un corps, soit $n$ un entier strictement positif, et soit $A\in \mathcal{M}_n[\mathbb{K})$. Les deux propositions suivantes sont équivalentes: \begin{enumerate}[(i)] \item Pour tout $p\in \llbracket 1,n \rrbracket$, le mineur $\Delta_{\llbracket 1,p \rrbracket , \llbracket 1, p \rrbracket}(A)$ est différent de $0$. \item Il existe dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une unique factorisation $A=LDU$, où $D$ est une matrice diagonale inversible et où $L$ et $U$ sont des matrices unitriangulaires inférieure et supérieure, respectivement. \end{enumerate} \end{sujet} \begin{correction} \subsubsection*{Démonstration du \emph{Théorème $D$}.} \end{correction} \setcounter{subsection}{0} \subsection{Matrices totalement positives.} \subsubsection{\color{white}1 } \begin{sujet} Soit $\mathbb{K}$ un corps , soient $m$, $n$ et $p$ trois entiers strictement positifs, et soient $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{H})$ et $B\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Formons le produit $C=AB$ et écrivons $A=(a_{h,i})$, $B=(b_{i,j})$, $C=(c_{h,j})$, avec $h\in\llbracket 1,m\rrbracket$, $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$, $j\in\llbracket 1,p \rrbracket$. \medskip Soit $k\in\llbracket 1 \min (m,p)\rrbracket$ et soit $(H,J)\in \mathcal{P}_k(m)\times \mathcal{P}_k(p)$. Notons $h_1,\dots ,h_k$ (respectivement, $j_1,\dots ,j_k$) les éléments de $H$ (respectivement, $J$), rangés dans l'ordre croissant. Notons $X_1,\dots X_n$ et $Y_1, \dots Y_k$ les colonnes des matrices \[ \left( \begin{array}{ccc} a_{h_1,1} & \dots & a_{h_1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{h_k,1} & \dots & a_{h_k,n} \end{array} \right) \ \text{et} \ \left( \begin{array}{ccc} c_{h_1,j_1} & \dots & c_{h_1,j_k}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{h_k,j_1} & \dots & c_{h_k,j_k} \end{array} \right) \] respectivement. Ces colonnes appartiennent à l'espace vectoriel $E=\mathbb{K}^k$. \end{sujet} \begin{enumerate}[(a)] \item \begin{sujet} Exprimer $Y_1,\dots ,Y_k$ en fonction de $X_1,\dots ,X_n$ et des coefficients $b_{i,j}$ de la matrice $B$. \end{sujet} \begin{correction} Soit $(l,s)\in\llbracket 1,k \rrbracket ^2$. \[ ( C=AB) \Rightarrow \left( c_{l,s}=\sum_{i=1}^{n} a_{h_l,i}b_{i,j_s} \right) \] Donc: \[ Y_s=\left( \begin{array}{c} c_{h_1,j_s}\\ \vdots \\ c_{h_k,j_s} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n a_{h_1,i}b_{i,j_s} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n a_{h_k,i}b_{i,j_s} \end{array} \right) =\sum_{i=1}^n b_{i,j_s} \left( \begin{array}{c}a_{h_1,i}\\ \vdots \\ a_{h_k,i} \end{array} \right) =\sum_{i=1}^n b_{i,j_s} X_i \] \end{correction} \item \begin{sujet} Soit $f:E^k\rightarrow \mathbb{K}$ une forme $k$-linéaire alternée. Montrer que \[f(Y_1,\dots,Y_k)=\sum_{\underset{\text{injective}}{\varphi :\llbracket 1,k\rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n \rrbracket}} b_{\varphi (1),j_1}\dots b_{\varphi(k),j_k}\ f(X_{\varphi (1)},\dots ,X_{\varphi (k)}), \] la somme portant sur l'ensemble des applications injectives de $\llbracket 1,k\rrbracket$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$. \end{sujet} \begin{correction} D'après la question précédente: \[ f(Y_1,\dots,Y_k)=f\left( \sum_{i_1=1}^n b_{i_1,j_1}X_{i_1},\dots,\sum_{i_k=1}^n b_{i_k,j_k}X_{i_k} \right) \] $f$ forme $k$-linéaire donc: \[ f(Y_1,\dots,Y_k)= \sum_{\begin{array}{c}1\le i_1\le n \\ \vdots \\ 1\le i_k \le n \end{array}} b_{i_1,j_1}\dots b_{i_k,j_k} f\left( X_{i_1},\dots,X_{i_k} \right) \] Puisque $f$ est alternée: $X_{i_r}=X_{i_m} \Rightarrow f(X_{i_1},\dots,X_{i_k})=0$ et donc: \[ f(Y_1,\dots,Y_k)= \sum_{\begin{array}{c}1\le i_1\le n \\ \vdots \\ 1\le i_k \le n \\ i_r \text{ distincts } \end{array}} b_{i_1,j_1}\dots b_{i_k,j_k} f\left( X_{i_1},\dots,X_{i_k} \right) \] Ainsi: \[\left\{ \begin{array}{c}\forall r\in\llbracket 1,k \rrbracket,\ i_r\in\llbracket 1, n \rrbracket \\ \forall (r,u)\in\llbracket 1, n \rrbracket ^2,\ i_r=i_u \Rightarrow r=u \end{array}\right. \Leftrightarrow \begin{array}{rcl}\llbracket 1,k\rrbracket & \rightarrow & \llbracket 1, n\rrbracket \\ r & \mapsto & i_r\end{array} \ \text{est injective} \] \end{correction} \item \begin{sujet} Sous les hypothèses de la question précédente, montrer que \[ f(Y_1,\dots,Y_k)=\sum_{I\in\mathcal{P}_k(n)}\sum_{\sigma \in S_k}b_{i_{\sigma(1),j_1}}\dots b_{i_{\sigma (k)},j_k}f(X_{i_{\sigma(1)}},\dots,X_{i_{\sigma(k)}}), \] où $i_1,\dots,i_k$ sont les éléments de $I$ rangés par ordre croissant. \end{sujet} \begin{correction} Montrons que $E_1=\{ (\varphi (1),\dots \varphi (k)) | \varphi :\llbracket 1, k \rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n\rrbracket, \varphi \ \text{injective}\}$ et $E_2=\{ (i_{\sigma(1)},\dots,i_{\sigma(k)} | I\in\mathcal{P}_k(n), i_1,\dots,i_k\in I, \sigma\in S_k\}$. Clairement $E_2\subset E_1$. Montrons l'inclusion réciproque. Soit $\varphi :\llbracket 1, k \rrbracket \rightarrow \llbracket 1,n\rrbracket$ injective. Notons $I=\varphi(\llbracket 1,k\rrbracket)$ et $i_1<\dots0$ quelque soit $(a,b)\in(\mathcal{C}_n)^2$. \end{sujet} \end{enumerate} \begin{sujet} \medskip $\blacklozenge$ Fixons nous un entier $n\ge 1$. Désignons le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ par le symbole $\mathcal{G}$. Notons $\mathcal{G}_+$ l'ensemble des matrices TP appartenant à $\mathcal{G}$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices TP inversibles de taille $n\times n$. Notons enfin $\mathcal{G}_+^*$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{G}$ dont tous les mineurs sont strictement positifs: une matrice $A\in\mathcal{G}$ appartient à $\mathcal{G}_+^*$ si $\Delta_{I,J}(A)>0$ pour chaque $k\in\llbracket 1, n \rrbracket$ et chaque $(I,J)\in \mathcal{P}_k(n)^2$. \end{sujet} \subsubsection{\color{white}4} \begin{enumerate}[(a)] \item \begin{sujet} Soient $A$ et $B$ deux éléments de $mathcal{G}$. Montrer que si $A\in\mathcal{G}_+$ et $B\in\mathcal{G}_+$, alors $AB\in\mathcal{G}_+^*$. \end{sujet} \item \begin{sujet} Montrer que pour tout $\theta\in ]0,1[$, la matrice $Y=(t_{i,j})$ de taille $n\times n$ et de coefficients donnés par $t_{i,j}=\theta^{(i-j)^2}$ appartient à $\mathcal{G}_+^*$. \emph{(Indication: développer $(i-j)^2$ et utiliser la question 1.3(d).)} \end{sujet} \item \begin{sujet} Construire une suite de matrices appartenant à $\mathcal{G}_+^*$ ayant pour limite la matrice identité dans $\mathcal{G}$. \end{sujet} \item \begin{sujet} Montrer que $\mathcal{G}_+$ est l'adhérence de $\mathcal{G}_+^*$ dans $\mathcal{G}$. \end{sujet} \end{enumerate} \subsection{Factorisation LDU d'une matrice TP inversible.} \begin{sujet} Le but de cette partie est de montrer que pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $n>p\ge 1$ et toute matrice $A$ totalement positive $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on a \begin{align*}\det A \le \Delta _{\llbracket 1, p\rrbracket, \llbracket 1, p\rrbracket}(A) & \Delta _{\llbracket p+1,n\rrbracket , \llbracket p+1,n\rrbracket}(A) \quad (*) \end{align*} Nous prouverons cette inégalité par récurrence sur $n$, en écrivant (*) pour un matrice $D$ de taille plus petite construite à partir de $A$. Le nœud de l'argument est l'identité de Sylvester, qui permet d'exprimer les mineurs de $D$ en fonction de ceux de $A$. \end{sujet} \subsubsection{\color{white}2.1} \begin{sujet} Soit $\mathbb{K}$ un corps, soient $q$ et $n$ deux entiers tels que $n>q\ge 1$, et soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. on considère la matrice $D\in\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{K})$ de coefficients \[d_{i,j}=\Delta_{\llbracket 1,q\rrbracket \cup\{q+i\},\llbracket 1,q\rrbracket \cup \{q+j\}}(A), \] pour $(i,j)\in\llbracket 1,n-q\rrbracket ^2$. Dans les questions (a), (b) et(c) on suppose que le mineur $\Delta_{\llbracket 1,q\rrbracket , \llbracket 1,q\rrbracket}(A)$ est non nul. \end{sujet} \begin{enumerate}[(a)] \item \begin{sujet} Montrer que $A$ se factorise de façon unique comme produit de deux matrices par blocs \[ A=\left( \begin{array}{c|c} I_q & 0 \\ \hline E & I_{n-q}\end{array} \right) \left( \begin{array}{c|c} B & F \\ \hline 0 & C \end{array} \right) \] avec $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), C\in\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{K}), E\in \mathcal{M}_{n-q,q}(\mathbb{K}), F\in\mathcal{M}_{q,n-q}(\mathbb{K})$ où les symboles $I_q$ et $I_{n-q}$ désignent les matrices identités dans $\mathcal{M}_q(\mathbb{K})$ et $\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{K})$, respectivement. \end{sujet} \item \begin{sujet} Exprimer la matrice $D$ en fonction de $B$ et $C$. \emph{Indication: utiliser la formule de Binet-Cauchy prouvée dans la question 1.1(d)} \end{sujet} \item \begin{sujet} Montrer l'identité de Sylvester: $\det D=(\Delta_{\llbracket 1, q\rrbracket ,\llbracket 1,q \llbracket}(A)^{n-q-1} (\det 1)$. \end{sujet} \item \begin{sujet} Montrer que l'identité de Sylvester est vraie de façon générale, même si l'hypothèse $\Delta_{\llbracket 1, q\rrbracket ,\llbracket 1, q \rrbracket}(A)\ne 0$ n'est pas satisfaite. \emph{(Note: dans le cas $q=n-1$, on adopte la convention que $0^0=1$.)} \end{sujet} \end{enumerate} Dans la suite de cette partie, toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. \subsubsection{\color{white}2.2} \begin{sujet} Soient $n$ et $q$ deux entiers naturels avec $n>q\ge 1$, soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, et soit $D\in\mathcal{M}_{n-q}(\mathbb{R})$ la matrice construite à partir de $A$ comme dans la question 2.1. Montrer que si $A$ est TP, alors $D$ est aussi TP. \end{sujet} \subsubsection{\color{white}2.3} \begin{sujet} Dans cette question, nous démontrerons (*) par récurrence sur $n$. \medskip Le cas $n=2$ ne présente pas de difficulté: nécessairement $p=1$, et si on appelle$a_{i,j}$ les coefficients de $A$, alors (*) s'écrit \[ a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\le a_{1,1}a_{2,2} \] et découle directement de la positivité de $a_{1,2}$ et $a_{2,1}$ (\emph{cf.} question 1.2(a)). \medskip On prend alors $n\ge 3$ et on suppose le résultat acquis pour les matrices de taille strictement inférieure à $n$. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice TP. Comme (*) est banalement vraie si $\det A=0$, on se place dans le cas où $A$ est inversible. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Montrer que $a_{1,1}>0$. \emph{Indication: raisonner par l'absurde et utiliser la positivité des mineurs $\Delta_{\{ 1, i\}, \{1,j\} }(A)$, pour $(i,j)\in\llbracket 2,n\rrbracket ^2$.)} \end{sujet} \item \begin{sujet} Montrer que $A$ satisfait l'inégalité (*) pour tout $p\in\llbracket 2,n-1 \rrbracket$. \emph{(Indication: introduire la matrice $D$ de la question 2.1 pour $q=1$ et prouver la majoration $\Delta_{\llbracket p,n-1\rrbracket , \llbracket p,n-1\llbracket}(D)\le (a_{1,1})^{n-p}\Delta_{\llbracket p,n-1\llbracket}(A)$.)} \end{sujet} \item \begin{sujet} Traiter le cas $p=1$ en le ramenant au cas $p=n-1$ d'une autre matrice. \end{sujet} \end{enumerate} \begin{sujet} \medskip Soit $A$ une matrice TP inversible. L'inégalité (*) entraîne que $\Delta_{\llbracket 1,p\rrbracket ,\llbracket 1,p\rrbracket}(A)>0$ pour chaque $p\in\llbracket 1,n\rrbracket$. D'après le théorème D, il existe une unique factorisation $A=LDU$, où $D$ est une matrice diagonale inversible et où $L$ et $U$ sont des matrices unitriangulaires inférieure et supérieure, respectivement. Les coefficients de ces matrices peuvent s'écrire comme des quotients des mineurs de $A$; ils sont donc positifs. En fait, il même possible de montrer que les matrices $L$, $D$ et $U$ sont TP. Ce résultat ramène l'étude des matrices TP inversibles à celle des matrices TP untriangulaires. Nous entreprendrons celle-ci dans la partie 6, après avoir développé les outils nécessaires. \end{sujet} \subsection{Position relative de deux drapeaux.} \end{document} \section{Graphique} \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5); \draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5); \draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5); \draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses}; \draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice}; \draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$}; \foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$}; \foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4} \draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$}; \draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100}); \draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$}; \end{tikzpicture} \end{center}