%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.8,vscale=0.8,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{Black}\underline{Remarques.}}\color{Black}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{Black} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
%\exclure{details}
%\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Brevet blanc 2.}

\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}

\begin{sujet}
	
	\medskip
	
	Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
	
	Aucune justification n'est demandée.
	
	Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
	
	Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
	
	Recopier le numéro de chaque question et la réponse exacte correspondante.
	
	\medskip
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&&&& \\
		1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{2}$  est \'egal \`a&$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$ \dfrac{1}{8}$ \\ \hline
		2&L'écriture scientifique de \np{0,0000549} est &5,49& $549 \times 10^7$& 
		$5,49 \times 10^{-5}$\\ \hline 
		3&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\left(5\sqrt{2}\right)^2$ est égal à& 10 &50 &100\\ \hline 
		4&Une voiture parcourt 230~km en 2~h~30~min. Sa vitesse moyenne est&
		100 km/h &60 km/h &92 km/h\\ \hline 
		5& IJK est un triangle rectangle en I tel que :
		
		IK = 2,7~cm et KJ = 4,5~cm. Quelle est la longueur du côté [IJ] ?& 
		12,96 cm& 3,6 cm &1,8 cm \\ \hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{details}
		
		\begin{itemize}
			\item $4$ points par question, tout ou rien.
			
		\end{itemize}
		
	\end{details}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}
			
			À la calculatrice ou à la main:
			
			\begin{align*}
				\frac{3}{4}- \frac{5}{4} \times \frac{1}{2} &= \frac{3 \times 2}{4 \times 2} - \frac{( \times 1}{4 \times 2}\\
				&= \frac{6}{8}-\frac{5}{8}\\
				&= \frac{1}{8}
			\end{align*}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\frac{1}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}On peut utiliser la calculatrice ou des ordres de grandeurs.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\np{0,0000549}=5,49 \times 10^{-5}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}
			
			À la calculatrice ou à la main:
			
			\begin{align*}
				\left( 5\sqrt{2} \right)^2 &= \left( 5 \sqrt{2} \right) \times \left( 5\sqrt{2} \right)\\
				&= 5 \times \sqrt{2} \times 5 \times \sqrt{2}\\
				&= 5 \times 5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}\\
				&= 25 \times \sqrt{2}^2\\
				&= 25 \times 2\\
				&= 50
			\end{align*}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			$50$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}
			
			\begin{align*}
				2\ \mathrm{h} +30\ \mathrm{mn} &= 2\mathrm{h} + 0,5\mathrm{h}\\
				&= 2,5 \mathrm{h}
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				v &= \frac{d}{t}\\
				&= \frac{230\ \mathrm{km}}{2,5\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{230}{2,5}\  \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
				&= 92\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			$92\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Évidemment la rédaction n'est pas un attendu. $IJK$ est rectangle en $I$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
			
			\begin{align*}
				IJ^2 +IK^2 &= JK^2\\
				\intertext{Nous en déduisons successivement:}
				IJ^2+2,7^2 &= 4,5^2\\
				IJ^2 +7,29 &= 20.25\\
				IJ^2 +7,29 {\color{WildStrawberry}-7,29} &= 20.25 {\color{WildStrawberry}-7,29}\\
				IJ^2 &= 12,96\\
				\intertext{Puisque $IJ\geqslant 0$:}
				IJ &= \sqrt{12,96}\\
				&= 3,6
			\end{align*}
			
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			$IJ=3,6 \ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 20 points}

\begin{sujet}
	
	\medskip
	
	\noindent \parbox{0.40\linewidth}{
		Sur la figure dessinée ci-contre, ABCD est un carré et ABEF est un rectangle. 
		On a AB = BC $= 2x + 1$ et AF $= x + 3$ où $x$ désigne un nombre supérieur à deux. 
		L'unité de longueur est le centimètre.}\hfill
	\parbox{0.5\linewidth}{
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\def\decala{0.5};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\def\lAB{4};
			\coordinate (B) at ({\xA+\lAB},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (A1) at ({\xA},{\yA+\decala});
			\coordinate (B1) at ({\xA+\lAB},{\yA+\decala});
			\draw [>=latex, <->] (A1) -- (B1) node [midway, above]{$2x+1$};
			\def\lBE{3};
			\def\lBC{4};
			\coordinate (E) at ({\xA+\lAB},{\yA-\lBE});
			\draw (E) node [right] {$E$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\lAB},{\yA-\lBC});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\def\decalb{0.75};
			\coordinate (B2) at ({\xA+\lAB+\decalb},{\yA});
			\coordinate (C1) at ({\xA+\lAB+\decalb},{\yA-\lBC});
			\draw [>=latex, <->] (B2) -- (C1) node [midway, right]{$2x+1$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\lBC});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\coordinate (F) at ({\xA},{\yA-\lBE});
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (F1) at ({\xA-\decalb},{\yA-\lBE});
			\coordinate (A2) at ({\xA-\decalb},{\yA});
			\draw [>=latex, <->] (F1) -- (A2) node [midway, left]{$x+3$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (A);
			\draw (E) -- (F);
		\end{tikzpicture}}
	
	\medskip
	
\end{sujet}

\textbf{Partie A : Étude d'un cas particulier} \boldmath  $x = 3$.\unboldmath

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $x = 3$, calculer AB et AF. 
		
		\begin{bareme} $4$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				
				\item $1$ point: utilisation d'une expression littérale correctement.
				
				\item $1$ point: substitution de la lettre et remplacement par une valeur numérique.
				
				\item $1$ point: valeur numérique pour $AB$.
				
				\item $1$ point: valeur numérique pour $AF$.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{align*}
			AB &= 2x+1\\
			\intertext{donc, si $x=3$, alors}
			AB &= 2 \times 3+1\\
			&= 6+1\\
			&= 7
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AB=7\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{align*}
			AF &= x+3\\
			\intertext{donc, si $x=3$, alors}
			AF &= 3+3\\
			&= 6
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AF = 6\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $x = 3$, calculer l'aire du rectangle FECD.
		
		\begin{bareme} $6$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: évocation du rectangle ou formule littérale adaptée.
				
				\item $1$ point: formule correcte de l'aire du rectangle.
				
				\item $1$ point: calcul de $FE$.
				
				\item $1$ point: formule de calcul pour $EC$.
				
				\item $1$ point: calcul de $EC$.
				
				\item $1$ point: calcul de l'aire.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		$FECD$ est un rectangle donc son aire est
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(EFCD) &= FE \times EC
		\end{align*}
		
		Or, d'une part
		
		\begin{align*}
			FE &= AB\\
			&= 7\\
		\end{align*}
		
		et d'autre part
		
		\begin{align*}
			EC &= BC-BE\\
			&= AB-AF\\
			&= 7-6\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(EFCD) &= 7 \times 1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(EFCD) = 7\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude du cas général :} $x$ désigne un nombre supérieur à deux.

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer la longueur FD en fonction de $x$.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: formule de calcul pour $FD$.
				
				\item $1$ point: formule avec les bonnes expressions littérales.
				
				\item $1$ point: expression développée.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		{\color{orange}\og en fonction de $x$\fg{} signifie qu'une égalité est attendue avec une expression littérale avec du $x$.}
		
		\begin{align*}
			FD &= AD-AF\\
			&= AB-AF\\
			\intertext{\color{orange}Lorsqu'on remplace il ne faut pas oublier les parenthèses:}
			FD &= (2x+1) - (x+3)\\
			\intertext{En développant puis en réduisant:}
			FD &= 2x+1-x-3\\
			&= x-2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$FD=x-2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que l'aire de FECD est égale à $(2x + 1)(x - 2)$.
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				
				\item $1$ point: formule de l'aire du rectangle.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		$FECD$ est un rectangle donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(FECD) &= FD \times FE\\
			&= FD \times AB\\
			\intertext{\color{orange}Remplaçons sans oublier les parenthèses:}
			&= (x-2) \times (2x+1)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(FECD)=(2x+1)(x-2)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer en fonction de $x$, les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF.
		
		\begin{bareme} $4$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				
				\item $1$ point: formule de l'aire du carré.
				
				\item $1$ point: formule littérale de l'aire du carré.
				
				\item $1$ point: formule de l'aire du rectangle.
				
				\item $1$ point: formule littérale de l'aire du rectangle.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABCD) &= (AB)^2\\
			&= (2x+1)^2
		\end{align*}
		
		et
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABEF) &= FA \times AB\\
			&= (x+3) \times (2x+1)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ABCD)=(2x+1)^2$ et $\mathscr{A}(ABEF)=(x+3)(2x+1)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que l'aire du rectangle FECD est : $(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3)$.
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: explication du lien avec la question précédente (formule ou phrase).
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(FECD) &= \mathscr{A}(ABCD) - \mathscr{A}(ABEF)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}= (2x+1)^2-(x+3)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc :
		\[(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3) = (2x + 1)(x - 2 )\]
		
		Cette égalité traduit-elle un développement ou une factorisation?
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: tout ou rien, pas de justification attendue.
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{conclusion}
			
			il s'agit d'une factorisation.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 19 points}

\begin{sujet}
	
	\medskip 
	
	\parbox{0.45\linewidth}{Chaque été, Jean exploite son marais salant sur l'île de Ré, situé dans l'océan Atlantique, près de La Rochelle.}\hfill
	\parbox{0.45\linewidth}{\includegraphics[width=5.5cm]{brevet_blanc_2022_04_07_01_marais_salant.png}}
	
	\medskip
	
	Son marais se compose de carreaux (carrés de 4 m de côté) dans lesquels se récolte le sel.
	
\end{sujet}

\bigskip

\textbf{Partie A. Le gros sel}

\begin{sujet}
	
	\medskip
	
	Chaque jour, il récolte du gros sel sur 25 carreaux. Le premier jour, afin de prévoir sa production, il relève la masse en kilogramme de chaque tas de gros sel produit par carreau.
	
	Voici la série statistique obtenue :
	
	$34~;~39 ~;~  31 ~;~  45 ~;~  40 ~;~  32 ~;~  36 ~;~  45 ~;~  42 ~;~  34 ~;~  30 ~;~  48 ~;~  43$
	
	$32 ~;~  39 ~;~  40 ~;~ 42 ~;~  38 ~;~  46 ~;~  31 ~;~  38 ~;~  43 ~;~  37 ~;~  47 ~;~  33$.
	
	\medskip
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l'étendue de cette série statistique.
		
		\begin{bareme} $2$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: formule correcte donnée numériquement ou littéralement.
				
				\item $1$ point: résultat numérique.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{align*}
			e &= \max - \min\\
			&= 48-30
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$e=18\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la médiane de cette série statistique et interpréter le résultat.
		
		\begin{bareme} $4$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: mise en évidence de l'ordre, éventuellement à la question précédente.
				
				\item $1$ point: mise en évidence de la position centrale.
				
				\item $1$ point: résultat numérique.
				
				\item $1$ point: interprétation.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}On range:} $30<31\leqslant 31 <32\leqslant 32 < 33 < 34\leqslant 34 < 36 < 37 < 38 \leqslant 38 < 39\leqslant 39 <40\leqslant 40 < 42 \leqslant 42 < 43 \leqslant 43 < 45\leqslant 45 < 46 < 47 < 48$.
			
			\item {\color{orange}On trouve la position de la médiane dans la liste.} $\frac{n}{2}= \frac{25}{2}=12,5$. La série contient un nombre impair de données donc la médiane est la 13ième valeur.
			
			\item {\color{orange}On lit la médiane.} En utilisant dans la liste ordonnée:
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Me=39\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}	
		
		\medskip
		\begin{conclusion}
			
			La moitié des carreaux produisent moins de $39\ \mathrm{kg}$ de sel.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la masse moyenne en kg des tas de gros sel pour ce premier jour.
		
		\begin{bareme} $2$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: mise en évidence de la formule de la moyenne.
				
				\item $1$ point: pou la réponse numérique.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \left( 34+39+31+ \dots +33 \right) /25\\
			&= {\color{orange}\frac{965}{25}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x}=38,6 \ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. La fleur de sel}

\begin{sujet}
	
	\medskip
	
	La fleur de sel est la mince couche de cristaux blancs qui se forme et affleure la surface des
	marais salants. Chaque soir, Jean cueille la fleur de sel à la surface des carreaux. Pour
	transporter sa récolte, il utilise une brouette comme sur le schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{brevet_blanc_2022_04_07_02_brouette.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que cette brouette a un volume de 77 litres.
		
		\begin{bareme} $7$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: utilisation pertinente de la formule du volume du prisme.
				
				\item $1$ point: utilisation pertinente de la formule de l'aire de la base.
				
				\item $1$ point: substitution correcte dans la formule de l'aire de la base.
				
				\item $1$ point: substitution correcte dans la formule du volume du prisme.
				
				\item $1$ point: réponse numérique correcte pour le volume du prisme indépendamment de l'unité.
				
				\item $1$ point: conversion d'unité correcte.
				
				\item $1$ point: donnée la réponse (même fausse) dans la bonne unité.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		Le bac de la brouette est un prisme donc son volume est en $\mathrm{cm}^3$: \[ \mathscr{V}_{brouette}=\mathscr{B} \times H, \] où
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\mathscr{B}$ est l'aire de la base du prisme qui est un trapèze est donnée, en $\mathrm{cm}^2$ par
			
			\begin{align*}
				\mathscr{B} &= \frac{(B+b) \times h}{2}\\
				&= \frac{(70+40) \times 35}{2}\\
				&= 1925
			\end{align*}
			
			\item $H$ est la hauteur du prisme et d'après l'énoncé: $H=40$.
			
		\end{enumerate}
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_{brouette} &= 1925 \times 40\\
			&= \np{77000}
		\end{align*}
		
		Or 
		
		\begin{align*}
			\np{77000}\ \mathrm{cm}^3 &= \np{77000} {\color{orange}\times \frac{1}{1000} \ \mathrm{L}}\\
			&= 77\ \mathrm{L}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le volume de la brouette est bien de $77\ \mathrm{L}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que 1 litre de fleur de sel pèse $900$ grammes, calculer la masse en kg du contenu d'une brouette remplie de fleur de sel.
		
		\begin{bareme} $4$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: calcul par proportionnalité.
				
				\item $1$ point: résultat numérique correcte peu importe l'unité.
				
				\item $1$ point: pour la conversion.
				
				\item $1$ point: résultat correcte dans l'unité demandée.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		Par proportionnalité, la masse des $77\ \mathrm{L}$ de sel est:
		
		\begin{align*}
			m &= 77 \times 900\ \mathrm{g}\\
			&= \np{69300}\ \mathrm{g}\\
			\intertext{Convertissons en $\mathrm{kg}$:}
			m &= \np{69300} \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{kg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$m=69,3 \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill  18 points}}

\bigskip

\begin{sujet}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
		Programme A							&Programme B\\
		\qquad$\bullet~~$ Choisir un nombre	&\qquad$\bullet~~$Choisir un nombre\\
		\qquad$\bullet~~$ Soustraire 3		&\qquad$\bullet~~$ Calculer le carré de ce nombre\\
		\qquad$\bullet~~$ Calculer le carré du résultat obtenu&\qquad$\bullet~~$Ajouter le triple du nombre de départ\\
		&\qquad$\bullet~~$Ajouter 7\\ \hline
	\end{tabularx} 
	
	\medskip
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Corinne choisit le nombre 1 et applique le programme A. 
		
		Expliquer en détaillant les calculs que le résultat du programme de calcul est 4.
		
		\begin{bareme} $3$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $2$ point: utilisation respectueuse des étapes du programme.
				
				\item $1$ point: respect de priorités opératoires (utilisation de parenthèses).
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		$1 \overset{-3}{\longrightarrow} 1-3=-2 \overset{?^2}{\longrightarrow} (-2)^2=4$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tidjane choisit le nombre $-5$ et applique le programme B. Quel résultat obtient-il?
		
		\begin{bareme} $3$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: utilisation respectueuse des étapes du programme.
				
				\item $1$ point: respect de priorités opératoires (utilisation de parenthèses).
				
				\item $1$ point: résultat numérique exacte.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		$-5 \overset{?^2}{\longrightarrow} (-5)^2=25 \overset{+3 \times?}{\longrightarrow} 25+3 \times (-5)=10 \overset{+7}{\longrightarrow} 10+7=17$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lina souhaite regrouper le résultat de chaque programme à l'aide d'un tableur. Elle crée la feuille de calcul ci-dessous. Quelle formule, copiée ensuite à droite dans les cellules C3 à H3, a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
		
		\begin{center}
			
			Le contenu de B2 est: =(B1$-3$) \verb+^+ 2			
			
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
				1&Nombre de départ			&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	&0	&1	&2	&3\\ \hline
				2&Résultat du programme A	&36 	&25 	&16 	&9 	&4 	&1 	&0\\ \hline
				3&Résultat du programme B	&7 		&5 		&5 		&7 	&11 &17 &25\\ \hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		
		\begin{bareme} $2$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: respect de la présentation tableur (égal, étoile, chapeau ...).
				
				\item $1$ point: formule mathématique exacte.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{conclusion}
			
			le contenu de B3 est: =B1 $\wedge$ 2+3*B1 +7
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}	
	
	\item  
	
	\begin{sujet}
		
		Zoé cherche à trouver un nombre de départ pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat. Pour cela, elle appelle $x$ le nombre choisi au départ et exprime le résultat de chaque programme de calcul en fonction de $x$.
		
	\end{sujet}

	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le résultat du programme A en fonction de $x$ peut s'écrire sous forme développée et réduite: $x^2 - 6x + 9$.
			
			\begin{bareme} $3$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $1$ point: utilisation de la formule littérale pour le programme A donnée à la question précédente.
					
					\item $1$ point: utilisation correcte de la double distributivité ou d'une identité remarquable pour développer.
					
					\item $1$ point: réduction correcte.
					
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			Avec le programme A: 
			$x \overset{-3}{\longrightarrow} x-3 \overset{?^2}{\longrightarrow} (x-3)^2$.
			
			En développant, réduisant et ordonnant:
			
			\begin{align*}
				(x-3) ^2 &= (x-3)(x-3)\\
				&= x\times x +x \times 3 + 3 \times x +3 \times 3\\
				&= x^2+3x+3x+9
			\end{align*}
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				le programme de calcul renvoie $x^2-6x+9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrire le résultat du programme B.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $1$ point: formule correcte.
					
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			Avec le programme B: $x \overset{?^2}{\longrightarrow} x^2 \overset{+3 \times?}{\longrightarrow} x^2+3 \times x \overset{+7}{\longrightarrow} x^2+3x+7$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le résultat du programme B est $x^2+3x+7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ?
			
			Si oui, lequel ?
			
			\begin{bareme} $6$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $1$ point: démarche de recherche (test, essais, vérification, schéma, mise en équation, ...).
					
					\item $1$ point: mise en équation en utilisant les formules précédemment trouvées.
					
					\item $1$ point: démarche de résolution faisant clairement apparaître le souhait d'isoler le $x$.
					
					\item $1$ point: résolution de l'équation correcte.
					
					\item $1$ point: solution numérique exacte (quelque soit la démarche).
					
					\item $1$ point: synthèse (vérification).
					
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			Dire que les programmes donnent le même résultat pour le même nombre de départ $x$ c'est dire que: $x^2+6x+9=x^2+3x+7$.
			
			On en déduit successivement:
			\begin{align*}
				x^2-6x+9 {\color{orange}-x^2} &= x^2+3x+7 {\color{orange}-x^2} \\
				-6x+9 &= 3x +7\\
				-6x+9 {\color{WildStrawberry}-3x} &= 3x+7 {\color{WildStrawberry}-3x}\\
				-9x+9 &= 7\\
				-9x+9 {\color{orange}-9} &= 7 {\color{orange}-9}\\
				-9x &= -2\\
				\frac{-9x}{\color{blue}-9} &= \frac{-2}{\color{blue}-9}\\
				x &= \frac{2}{9}
			\end{align*}
			
			On peut vérifier qu'en choisissant $\frac{2}{9}$ on obtient $\frac{625}{81}$ avec les deux programmes.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il existe un nombre de départ qui convient c'est $\frac{2}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 5 \hfill  23 points}

\medskip

\begin{sujet}
	
	EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. 
	
	\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}
	
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{brevet_blanc_2022_04_07_04_thales.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EFG}}$. Arrondir au degré près.
		
		\begin{bareme} $7$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				
				\item $1$ point: évocation de l'angle droit.
				
				\item $1$ point: utilisation d'une fonction trigonométrique.
				
				\item $1$ point: utilisation du cosinus.
				
				\item $1$ point: formule de définition correcte pour le cosinus.
				
				\item $1$ substitution par les longueurs corrects.
				
				\item $1$ point: réponse numérique correcte.
				
				\item $1$ point: arrondi respecté.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		Puisque $EFG$ est rectangle en $E$:
		
		\begin{align*}
			\cos\left( \widehat{EFG} \right) &= \frac{EF}{FG}\\
			\intertext{Donc:}
			\cos\left( \widehat{EFG} \right) &= \frac{5}{13}\\
			\intertext{Avec la calculatrice nous en déduisons:}
			\widehat{EFG} &\approx 67,38\degres
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\widehat{EFG} \approx 67\degres$.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que EG = 12 cm.
		
		\begin{bareme} $6$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: vérification triangle rectangle.
				
				\item $1$ point: évocation du théorème de Pythagore.
				
				\item $1$ point: égalité de Pythagore correcte.
				
				\item $1$ point: résolution de l'équation.
				
				\item $1$ point: vérification de la positivité de $EF$.
				
				\item $1$ point: réponse numérique correcte.
				 
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		$EFG$ est rectangle en $E$, donc, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{align*}
			EF^2 +EG^2 &= FG^2\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			5^2 + EG^2 &= 13^2\\
			25 +EG^2 &= 169\\
			25 +EG^2 {\color{orange}-25} &= 169 {\color{orange}-25} \\
			EG^2 &= 144\\
			\intertext{Puisque $EG$ est positif (c'est une longueur):}
			EG &= \sqrt{144}\\
			EG &= 12
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			On a bien: $EG=12 \ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère le point M sur [EG] tel que EM = 3 cm.
		
		Calculer GM.
		
		\begin{bareme} $3$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: bonne formule.
				
				\item $1$ point: utilisation des bonnes valeurs numériques.
				
				\item $1$ point: bon résultat.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		Puisque $M \in [EG]$:
		
		\begin{align*}
			GM &= EG-EM\\
			&= 12\ \mathrm{cm}-3\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$GM=9\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N.
		
		Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier.
		
		\begin{bareme} $2$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: justification.
				
				\item $1$ point: bonne réponse.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		$(MN)$ et $(EF)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(EG)$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(MN)$ et $(EF)$ sont parallèles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer GN.
		
		\begin{bareme} $5$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ point: vérification es hypothèses du théorème de Thalès.
				
				\item $1$ point: évocation du théorème de Thalès.
				
				\item $1$ point: égalité de rapports de longueurs.
				
				\item $1$ point: résolution correctement argumentée.
				
				\item $1$ point: réponse numérique.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Il y a une configuration de Thalès: triangles emboîtés.
			
			\item $(MN) \parallel (EF)$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{GM}{EG} = \frac{GN}{FG}. \]
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
			\frac{9}{12} &= \frac{GN}{13}\\
			\intertext{Avec un produit en croix:}
			9 \times 13 &= 12 \times GN\\
			117 &= 12 GN\\
			\frac{117}{\color{orange}12} &= \frac{12GN}{\color{orange}12}\\
			9,75 &= GN
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$GN=9,75\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\newpage

~

\end{document}

\section{Poubelle.}

\subsubsection{Exercice.}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 24 points }

\medskip

\begin{enumerate}
	\item  Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5~cm ; BC = 10~cm et AC = 12,5~cm.
	\item  Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
	\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5~cm.
		\item Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4~cm.
	\end{enumerate}
	\item  Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
	\item  Montrer que la longueur FG est égale à 3~cm.
	\item  Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 16 points}

\medskip

\emph{On rappelle les formules suivantes :}

\emph{Périmètre d'un cercle de rayon} $R$ :  $2\pi R$ 

\emph{Aire d'un disque de rayon} $R$ :  $\pi R^2$

\emph{Volume d'un cône :}  $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Lors d'une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d'un cône de révolution.
	
	Le bord du verre est un cercle de rayon OC = 5,9 cm. 
	
	Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
	
	La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm. 
	
	\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\includegraphics[scale=0.4]{brevet_blanc_2022_04_07_03_verre.png}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en cm$^3$, le volume de ce verre, arrondi à l'unité.
		\item En déduire que la contenance de ce verre est d'environ 25~cL.		 
	\end{enumerate}
	\emph{On utilisera cette valeur dans la suite du problème.}  
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
		
		On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO$'$ dont la base est le disque de rayon O$'$C$'$. On considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre.
		
		Calculer le volume de cocktail contenu dans chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près. 
		\item 43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu'en moyenne, chacune d'elles consommera 3~verres, 20~litres de cocktail suffiront-ils ?
	\end{enumerate} 
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8} \hfill 5 points}

\medskip

Certaines écluses ont des portes dites \og busquées \fg{} qui forment un angle pointé vers l'amont de manière à résister à la pression de l'eau, 

\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.4]{brevet_blanc_2022_04_07_05_ecluse.png}
\end{center}

En vous appuyant sur le schéma ci-dessus, déterminer la longueur des portes au cm près.

\textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}