%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/3ieme.html}{Diviseurs, multiples, nombres premiers.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Diviseurs, multiples, nombres premiers.}

\subsection{Diviseurs et multiples.}

\subsubsection{Définitions.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons que le nombre entier $a$ est \emph{\color{purple}un diviseur} du nombre entier $b$ s'il est possible de trouver un nombre entier $k$ tel que: $k \times a =b$.
	
\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous dirons aussi que $b$ est \emph{\color{purple}un multiple de} $a$: autrement dit $b$ est dans la table de multiplication de $a$.
	
	Nous pourrons encore dire que $b$ est \emph{\color{purple}divisible par} $a$: autrement dit le reste de la division euclidienne de $b$ par $a$ est zéro.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $3$ est une diviseur de $12$ puisqu'il existe un nombre $k$ tel que $k \times 3=12$: il suffit de choisir $k=4$.
		
		\item $7$ est un diviseur de $28$ puisque $4 \times 7=28$.
		
		\item $42$ est un multiple de $7$ puisque $42$ est dans la table de multiplication de $6$. En effet $6 \times 7 =42$.
		
		\item $42$ est divisible par $3$ puisque
		
		\begin{center}
			
			\opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{42}{3}
			
		\end{center}
		
		et donc le reste de la division euclidienne de $42$ par $3$ est $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}

	Exercice 26 page 46 du manuel: multiples. Oral.

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 28 page 46 du manuel: division euclidienne.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Critères de divisibilité.}

\begin{lecon}
	
	Des astuces à connaître par cœur.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
		
		\item Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme des chiffres composant ce nombre est divisible par $3$.
		
		\item Un nombre entier est divisible par $4$ si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$.
		
		\item Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
		
		\item Un nombre entier est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
		
		\item Un nombre entier est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Utilisez les critères de divisibilité appliqués à $180$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 23 et 24 page 46 du manuel: critère de divisibilité. Oral.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 29 page 46 du manuel: recherche d'un nombre par élimination à la façon du crible d'Ératosthène.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Recherche de tous les diviseurs.}

\begin{notabene}
	
	Idée rechercher toutes les façons d'écrire un nombre sous forme d'un produit de deux entiers. EN rangeant dan l'ordre on voit qu'il y a répétition.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Pour rechercher tous les diviseurs (positifs) d'un nombre entier nous procéderons de manière exhaustive en testant tous les entiers $1$ par $1$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item Testons tous les entiers qui pourraient être des diviseurs de $132$.
		
		\begin{itemize}
			\item $132=1 \times 132$.
			
			\item $132= 2 \times 66$.
			
			\item $132= 3 \times 44$.
			
			\item $132= 4 \times 33$.
			
			\item $132= 6 \times 22$.
			
			\item $132= 11 \times 12$.
			\item $132=12 \times 11$.
			
			\item ... ensuite les diviseurs se répètent.
			
		\end{itemize}
		
		Il y a $12$ diviseurs en tout.
		
		\item De même pour $315$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 25 page 46.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{WildStrawberry}Détaillons la démarche pour le premier: il s'agit de tester si tous les entiers plus petits que $8$ sont des diviseurs de $8$.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $1 \times 8=8$.
			\item $2 \times 4=8$.
			\item {\color{orange}Par contre $3$ n'est pas un diviseur de $8$.}
			\item $4 \times 2=8$. {\color{orange}Mais nous commençons à retrouver des diviseurs que nous avions déjà obtenu et nous n'en n'aurons plus de nouveau.}
			\item {\color{orange}$5$ n'est pas un diviseur de $8$.}
			\item {\color{orange}$6$ n'est pas un diviseur de $8$.}
			\item {\color{orange}$7$ n'est pas un diviseur de $8$.}
			\item $8 \times 1=8$.
			
		\end{enumerate}
		
		
		{\color{WildStrawberry}Une présentation élégante en mathématiques consiste à rassembler toutes les diviseur dans un paquet appelé \og un ensemble \fg{}.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $8$ est $\{ 1;2;4;8 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même:
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $8$ est $\{ 1;2;7;14 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $20$ est $\{ 1;2;4;5;10;20 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $28$ est $\{ 1;2;4;7;14;28 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $32$ est $\{ 1;2;4;8;16;32 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $34$ est $\{ 1;2;17;34 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $40$ est $\{ 1;2;4;5;8;10;20;40 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des diviseurs de $55$ est $\{ 1;5;11;55 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
		
\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 31 à 38 page 47.
	
\end{exercice}

\subsection{Nombres premiers.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'un nombre entier est \emph{\color{purple}premier} s'il admet exactement (ni plus ni moins) deux diviseurs positifs distincts.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item L'entier $0$ n'est pas premier car il a une infinité de diviseurs distincts.
		
		\item L'entier $1$ n'est pas premier car il n'a q'un diviseur: lui-même.
		
		\item L'entier $2$.
		
		\item L'entier $3$.
		
		\item L'entier $4$.
		
		\item L'entier $5$.
		
		\item L'entier $6$.
		
		\item L'entier $7$.
		
		\item L'entier $8$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Le crible d'Ératosthène permet de trouver les nombres premiers jusqu'au nombre que l'on souhaite mais ce peut être long.
	
	\begin{notabene}
		
		Distribuer la feuille des nombres.
		
		Expliquer la complétion avec les élèves aux début puis les laisser finir.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	\newpage
	
	{\color{black}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		$0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
		\\
		\hline
		$10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ & $19$
		\\
		\hline
		$20$ & $21$ & $22$ & $23$ & $24$ & $25$ & $26$ & $27$ & $28$ & $29$
		\\
		\hline
		$30$ & $31$ & $32$ & $33$ & $34$ & $35$ & $36$ & $37$ & $38$ & $39$
		\\
		\hline
		$40$ & $41$ & $42$ & $43$ & $44$ & $45$ & $46$ & $47$ & $48$ & $49$
		\\
		\hline
		$50$ & $51$ & $52$ & $53$ & $54$ & $55$ & $56$ & $57$ & $58$ & $59$
		\\
		\hline
		$60$ & $61$ & $62$ & $63$ & $64$ & $65$ & $66$ & $67$ & $68$ & $69$
		\\
		\hline
		$70$ & $71$ & $72$ & $73$ & $74$ & $75$ & $76$ & $77$ & $78$ & $79$
		\\
		\hline
		$80$ & $81$ & $82$ & $83$ & $84$ & $85$ & $86$ & $87$ & $88$ & $89$
		\\
		\hline
		$90$ & $91$ & $92$ & $93$ & $94$ & $95$ & $96$ & $97$ & $98$ & $99$
		\\
		\hline
		$100$ &&&&&&&&&
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	}
	
	\bigskip
	{\color{black}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
			\\
			\hline
			$10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ & $19$
			\\
			\hline
			$20$ & $21$ & $22$ & $23$ & $24$ & $25$ & $26$ & $27$ & $28$ & $29$
			\\
			\hline
			$30$ & $31$ & $32$ & $33$ & $34$ & $35$ & $36$ & $37$ & $38$ & $39$
			\\
			\hline
			$40$ & $41$ & $42$ & $43$ & $44$ & $45$ & $46$ & $47$ & $48$ & $49$
			\\
			\hline
			$50$ & $51$ & $52$ & $53$ & $54$ & $55$ & $56$ & $57$ & $58$ & $59$
			\\
			\hline
			$60$ & $61$ & $62$ & $63$ & $64$ & $65$ & $66$ & $67$ & $68$ & $69$
			\\
			\hline
			$70$ & $71$ & $72$ & $73$ & $74$ & $75$ & $76$ & $77$ & $78$ & $79$
			\\
			\hline
			$80$ & $81$ & $82$ & $83$ & $84$ & $85$ & $86$ & $87$ & $88$ & $89$
			\\
			\hline
			$90$ & $91$ & $92$ & $93$ & $94$ & $95$ & $96$ & $97$ & $98$ & $99$
			\\
			\hline
			$100$ &&&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	}
	\newpage
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Il faut à minima connaître la liste des nombres premiers plus petits que $20$.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Décomposition en facteurs premiers.}

\begin{theoreme}{ - Théorème fondamental de l'arithmétique.}
	
	Tout nombre entier admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers.
		
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	L'idée de la démonstration repose sur l'algorithme présenté ci-dessous pour déterminer la décomposition en facteurs premiers d'un entier. Il faut bien évidemment le faire dans le cadre général et non pas sur une valeur en particulier.
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	\medskip	
	Autrement dit tout nombre entier s'écrit comme une multiplication de nombres premiers.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item $26=2 \times 13$.
		
		\item $8=2 \times 2 \times \times 2 =2^3$.
		
		\item $12= 2^2 \times 3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Présentons un algorithme qui permet de trouver la décomposition en facteurs premier d'un entier.
	
	Il suffit d'essayer de  diviser autant de fois que possible en commençant par les entiers les nombres premiers en commençant par les plus petits.
	
	\[ \begin{array}{c|c}
		264 & 2\\
		132 & 2\\
		66 & 2\\
		33 & 3\\
		11 & 11\\
		1&
	\end{array}\]
	
	Nous avons donc: $264=2^3 \times 3 \times 11$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 45 à 47 page 48 du manuel.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 45 page 48. $36=2^2 \times 3^2$, $54=2 \times 27$, $98=2 \times 49$, $126=2 \times 3^2 \times7$.
		
		\item 46 page 48. $42=2 \times 3 \times 7$. $88=2^2 \times 11$. $195=3\times 5 \times 11$. $396=2^2 \times 3^2 \times 11$.
		
		\item 47 page 48. $306= 2 \times 3^2 \times 17$. $124=2^2 \times 31$. $2220=2^2 \times 3 \times 5 \times 37$. $4692=2^2 \times 3 \times 17 \times 23$. 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Forme irréductible d'une fraction.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons qu'il est possible de simplifier une fraction si son numérateur et son dénominateur sont des produits avec un facteur commun.
	
	Si $b$ et $k$ sont non nuls: \[ \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a}{b}, \] car ici $k$ est facteur commun au numérateur et au dénominateur.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		
		\item $\frac{7 \times 4}{5 \times 4}= \frac{7}{5}$.
		
		\item $\frac{2 \times 5 \times 7 \times 26}{3 \times 5 \times 26}$.
		
		\item $\frac{5}{5 \times 3}=\frac{5 {\color{orange}\times 1}}{5 \times 3}=\frac{1}{3}$.
		
		\item $\frac{3^4}{3^5}= \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}= \frac{\not3 \times \not3 \times \not3 \times \not3}{\not3 \times \not3 \times \not3 \times \not3 \times \not3}=\frac{1}{3}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soient $a$ et $b$ des entiers avec $b \ne 0$.
	
	Nous dirons que la fraction $\frac{a}{b}$ est \emph{\color{purple}irréductible} si les nombres $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{7}$, $\frac{5}{3}$ sont des formes irréductibles.
		
		\item $\frac{18}{12}$ n'est pas une forme irréductible puisque: $\frac{18}{12}=\frac{6 \times 3}{4 \times 3}= \frac{6}{4}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	L'écriture irréductible d'une fraction est une sorte de carte d'identité pour une fraction. Elle permet de vérifier si deux fractions sont égales ou pas.
	
	\medskip
	Pour trouver la forme irréductible d'une fraction il faut simplifier les facteurs communs dans la décomposition en facteurs premiers des numérateurs et dénominateurs.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 41 à 44 et 48 page 48.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 41 page 48. $ \frac{8}{11}=\frac{2^3}{11}$. $\frac{7}{14}=\frac{1 \times 7}{2 \times 7}=\frac{1}{2}$. $\frac{15}{9}=\frac{3 \times 5}{3^2}=\frac{5}{3}$. $\frac{17}{18}=\frac{17}{2 \times 3^2}$. $\frac{24}{17}=\frac{2^3 \times 3}{17}$.
		
		\item 42 page 48. $\frac{5}{15}=\frac{1 \times 5}{3 \times 5}=\frac{1}{3}$. $\frac{12}{7}= \frac{2^2 \times 3}{7}$. $\frac{19}{16}= \frac{19}{2^4}$. $\frac{12}{9}=\frac{2^2 \times 3}{3^2}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$. $\frac{36}{23}=\frac{2^2 \times 3^2}{23}$.
		
		\item 44 page 48. $\frac{444}{814}=\frac{2\times 3}{11}$. $\frac{814}{444}= \frac{11}{2 \times 3}$. $\frac{4440}{8140}=\frac{2\times 3}{11}$.
		
		\item 48 page 48. $\frac{126}{168}= \frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^3 \times 3 \times 7}= \frac{3 }{2}$. $\frac{140}{340}=\frac{2^2 \times 5 \times 7}{2^2 \times 5 \times 17}= \frac{7}{17}$. $\frac{625}{1125}= \frac{5^4}{3^2 \times 5^3}=\frac{5}{3^2}=\frac{5}{9}$. $\frac{7140}{2310}= \frac{2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 17}{2 \times 3 \times 7 \times 11} = \frac{2 \times 17}{11}= \frac{34}{11}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}


\begin{exercice}{}
	
	Exercice 51 page 49: plus grand diviseur commun.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $80=2^4 \times 5$. $110=2 \times 5 \times 11$.
		
		\item Le plus grand diviseur commun: $2 \times 5=10$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $10$.
			
			\item $8$ et $11$ dans chaque lot.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 55 page 49: plus grand diviseur commun.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $7950=2 \times 3 \times 5^2 \times 53$. $5400=2^3 \times 3^3 \times 5 ^2$.
		
		\item Le plus grand commun diviseur, $p$, est formé du produit de tous les facteurs premiers commun au deux nombres répétés autant de fois qu'ils sont facteurs commun. Par exemple $2$ est diviseur commun mais pas $2^2$, ou encore $52$ est diviseur commun.
		
		Donc: $p=2 \times 3 \times 5^2=150$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Le nombre maximum de bol est de $150$.
			
			\item La masse dans un bol est alors en gramme
			
			\begin{align*}
				m &= \frac{7950+5400}{150}\\
				&= 89
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 56  page 49: plus grand diviseur commun.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $2700=2^2 \times 3^3 \times 5^2$. $4050=2 \times 3^4 \times 5^2$. $5400=2^3 \times 3^3 \times 5^2$.
		
		\item $a \times b= 2^2 \times 3^3 \times 5^2$ et $b \times c= 3^4 \times 5^2$ et $a \times c=2^3 \times 3^3 \times 5^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}