%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{23 Droites.}

\begin{notabene}
	\color{red}Il faut remettre les résultats sur le parallélisme avec les équations réduites et développer l'aspect utilisation des équations réduites: coefficient directeur et vecteurs directeur, passer de l'équation réduite à l'équation cartésienne. Envisager de redécouper cette leçon en plusieurs: équation cartésienne et équations réduites.
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Ajouter un exercice de recherche exploration sur les équations paramétriques en partant de la définition vectorielle.
	
\end{notabene}

\subsubsection{La définition moderne d'une droite.}

\begin{notabene}
	
	Approche plus simple plus rapide. Nous avons vu que trois points sont alignés si et seulement si, Donc les points qui sont alignés avec $A$ et $B$ sont ceux tels que...
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Formaliser ça sous forme d'exemple pour l'année suivante?
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Première étape. Partir d'un point $A$ et faire des translations de multiples d'un vecteur $\vec u$. Observer l'objet géométrique aonso observé.
		
		\item Seconde étape. Comment reconstruire une droite $(AB)$ en utilisant l'idée précédente?
		
	\end{enumerate}
	
	Le vecteur qui nous a permis de reconstruire la droite à partir d'un point est appelé un vecteur directeur. Pourquoi \og un \fg{}? Parce qu'il pourrait tout aussi bien être remplacé par n'importe quel autre vecteur qui lui soit colinéaire. Peut-il être remplacé par un vecteur nul?
	
\end{notabene}


\begin{definition}
	Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan euclidien. Nous noterons \emph{\color{purple}$(AB)$}, et nous appellerons \emph{\color{purple}droite passant par $A$ et $B$}, l'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ou n'importe quel vecteur qui lui soit colinéaire et \underline{non nul} est appelé \emph{\color{purple}un vecteur directeur de la droite}.
		\item Une autre formulation: $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$. Si $t$ décrit $\mathbb{R}_+$ on obtient $[AB)$. Si $t$ décrit $\mathbb{R}_-$ on obtient $(AB]$. Si $t $décrit $[0;1]$ on obtient $[AB]$.
		\item Cette définition décrit un lieu géométrique. De la même façon on peut définir un cercle comme l'ensemble des points équidistants d'un point (le centre du cercle).
		\item Ainsi, si $M\in (AB)$, alors il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}$. Autrement dit $t$ est l'abscisse de $M$ dans le repère $(A,B)$. Dans ce repère l'abscisse de $A$ est $0$ et celle de $B$ est $1$.
		\item {\color{orange}Pour définir une droite il faut et il suffit que nous en connaissions un point $A$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$}. Nous avions besoin de deux points et nous avons à nouveau besoin de deux informations.		
		\item Cette définition de la droite ne dépend pas d'un repère choisi et est donc très générale.
		\item Interprétation de la définition en terme de translation: la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ images de $A$ par les translations de vecteur $\lambda \overrightarrow{AM}$ où$\lambda$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathbb{R}$.
		\item Si une droite passe par $A$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}$ alors l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est aussi un point de la droite.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Tracer une droite connaissant un point et un vecteur directeur.}

\begin{exercice}	
	Après avoir choisi un repère du plan dessinez la droite passant par $A(2,1)$ et dont un vecteur directeur est $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix}$.	
\end{exercice}



\subsubsection{Décrire une droite par un point et un vecteur directeur.}

\begin{exercice}	
	Sans justification donnez les coordonnées de $3$ vecteurs directeurs de la droite $\mathscr{D}$ représentée ci-dessous dans un repère $\left( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{3};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,Blue!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick,blue] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick,blue] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red] (0,0)node[below left]{\small $O$};
			\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
			\draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-0.5*\x-1});
			\draw[Green] (4,-2) node[fill=white] {$\mathscr{D}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Il suffit de trouver les coordonnées d'un vecteur \og porté \fg{} par la droite. Pour avoir davantage de vecteurs directeurs on peut lire d'autres coordonnées ou prendre les coordonnées du précédent vecteur multiplié par n'importe quel nombre non nul.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-5};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{3};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
				\draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$};
				\draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$};
				\draw[violet, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-0.5*\x-1});
				\draw[violet] (4,-2) node[fill=white] {$\mathscr{D}$};
				\draw[>=latex,->,blue,dashed] (-4,1)--(2,1) node[midway,above]{\tiny $6\overrightarrow{i}$};
				\draw[>=latex,->,blue,dashed] (2,1)--(2,-2) node[midway,right]{\tiny $-3\overrightarrow{j}$};
				\draw[>=latex,->,blue,thick] (-4,1)--(2,-2) node[midway,below left]{\tiny $\overrightarrow{u}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	}
	
	\begin{conclusion}
		
		Les vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix} 6\\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -6\\ 3 \end{pmatrix}$.
		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans chacun des cas suivants, indiquez si le vecteur $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-14;2)$, $B(5;-3)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$.
		\task $A(-7;3)$, $B(5;1)$ et $\vec u \begin{pmatrix} -6\\ 1 \end{pmatrix}$.
		\task $A(5;2)$, $B(0;-3)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 2\\ -2 \end{pmatrix}$.
		\task $A(4;-2)$, $B(3;-4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 4,5\\ 9 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(1)
		\task Trivial: la réponse est non. Un vecteur nul ne peut être un vecteur directeur.
		\task \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 5-(-7) & -6 \\ 1-3 & 1 \end{vmatrix} \\
			&= 12 \times 1 -(-6) \times (-2)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc:
		
		\begin{conclusion}
			$\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(AB)$.
		\end{conclusion}
		\task \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 0-5 & 2 \\ -3-2 & -2 \end{vmatrix} \\
			&= (-5) \times (-2) -(-5) \times 2\\
			&= 20\\
			&\ne 0
		\end{align*}
		
		Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc:
		
		\begin{conclusion}		
			$\overrightarrow{u}$ n'est pas un vecteur directeur de $(AB)$.			
		\end{conclusion}		
		\task \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 3-4 & 4,5 \\ -4-(-2) & 9 \end{vmatrix} \\
			&= (-1) \times 9 -(-2) \times 4,5\\
			&= 0
		\end{align*}		
		Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc:
		
		\begin{conclusion}		
			$\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(AB)$.		
		\end{conclusion}		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans chacun des cas suivants, calculez les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(2;3)$ et $B(-1;2)$.
		\task $A(-5;4)$ et $B(3;1)$.
		\task $A(3;0)$ et $B(0;3)$.
		\task $A(7;8)$ et $B(7;9)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}(1)
		\task Puisque $A$ et $B$ sont distincts $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$. $2\overrightarrow{AB}$ et $3\overrightarrow{AB}$ sont donc deux autres vecteurs directeurs de $(AB)$.
		
		$\begin{pmatrix} -3 \\ -1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -6 \\ -2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -9 \\ -3\end{pmatrix}$ sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$.
		\task $\begin{pmatrix} 8 \\ -3\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 16 \\ -6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 24 \\ -9\end{pmatrix}$ sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$.
		\task 
		\task $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 3\end{pmatrix}$ sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Parallélisme et vecteurs directeurs.}

\begin{lecon}
	
	Maintenant que nous avons une définition de la droite nous allons reformuler les propriétés des droites avec cette définition.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons que deux droites sont \emph{\color{purple}parallèles} si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires
	
	\medskip
	Dans ce cas ont ont dit qu'elles ont la même direction.
	
\end{definition}

\begin{exercice}
	On considère une droite $d$ passant par le point $A(3;1)$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Soient $B(7;-5)$, $C(-4;6)$ et $D(3;-4)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Tracez la droite $d$ puis placez $B$, $C$ et $D$.		
		\item Le point $B$ appartient-il à $d$?		
		\item Les droites $d$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\item \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 7-3 & -2 \\ -5-1 & 3 \end{vmatrix} \\
			&= 4 \times 3 -(-6) \times (-2)\\
			&= 0
		\end{align*}		
		Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc $B$ appartient à la droite passant ar $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\begin{conclusion}		
			$B \in d$.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.}		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 3-(-4) &  -2\\ -4-6 & 3 \end{vmatrix} \\
			&= 7 \times 3 -(-10) \times (-2)\\
			&= 1
		\end{align*}		
		Ainsi $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc:
		
		\begin{conclusion}
			$d$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Perpendicularité et vecteurs directeurs.}

\begin{lecon}	
	La perpendicularité de deux droites nécessite d'introduire une nouvelle opération entre les vecteurs que vous verrez l'année prochaine appelée le \emph{\color{purple}produit scalaire}. Donc patience ...	
\end{lecon}

\subsubsection{Équations cartésiennes.}

	\begin{notabene}
		
		Comment exprimer le fait qu'une point $M$ appartienne à une droite en utilisant ses coordonnées?
		
		La géométrie même vectorielle est sympathique mais il est difficile de la faire manipuler par un ordinateur. Qui dit ordinateur dit numérique, et qui dit numérique dit coordonnées cartésiennes.
		
		Puis faire apparaître un exemple de relation liant abscisse et ordonnée d'un point d'une droite dans un repère cartésien.
		
	\end{notabene}

\begin{exercice}
	Soient $A$ et $B$ deux points du plan dont les coordonnées sont données dans un repère du plan. Soit $M(x,y)$ un troisième point.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Exprimez les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$.
		\item Calculez $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM} \right)$.
		\item À quelle condition portant sur $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM} \right)$ les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont-ils colinéaires? Déduisez-en une condition sur $x$ et $y$.
		\item Si la précédente condition est vérifiée que peut-on dire des points $A$, $B$ et $M$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soit $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère du plan euclidien.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour toute droite $\mathscr{D}$ il existe des réels $a$, $b$ et $c$ (avec $a$ et $b$ non simultanément nuls) tels que $\mathscr{D}$ est formée de tous les points $M(x,y)$ pour lesquels $x$ et $y$ vérifient l'équation  $ax+by+c=0$.		
		\item Réciproquement étant donné des réels $a$, $b$ et $c$ (avec $a$ et $b$ non simultanément nuls), l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x$ et $y$ vérifient l'équation $ax+by+c=0$ est une droite.		
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Soient $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points distincts de $\mathscr{D}$.
		
		\begin{align*}
			M \in \mathscr{D} &\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{AB} \right)=0\\
			&\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x-x_A & x_B-x_A \\ y-y_A & y_B-y_A \end{vmatrix}=0\\
			&\Leftrightarrow (x-x_A)(y_B-y_A) -(y-y_A)(x_B-x_A) =0\\
			&\Leftrightarrow (y_B-y_A)x- (x_B-x_A)y -x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)=0
		\end{align*}
		
		Donc en posant $a=y_B-y_A$, $b=-(x_B-x_A)$ et $c=-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)$ nous obtenons bien que $x$ et $y$ sont solution de l'équation $ax+by+c=0$.
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration est plus technique et astucieuse. Nous n'en présenterons ici que la trame.}
		
		Pour s'assurer que l'équation est celle d'une droite nous devons trouver une droite qui lui corresponde, \emph{i.e.} un point et un vecteur directeur de cette droite. 
		
		Pour le point nous choisirons $\left( -\frac{c}{a};0 \right)$ si $a\ne 0$ et $\left( 0;-\frac{c}{b} \right)$ sinon.
		
		Pour le vecteur directeur nous choisissons $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ {\color{orange}(ce choix astucieux s'inspire de la démonstration de (i))}.
		
		Il ne reste plus, en faisant comme au (i), qu'à vérifier que l'équation cartésienne obtenue pour ce point et ce vecteur directeur est bien: $ax+by+c=0$.		
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Une équation cartésienne n'est pas unique: $x+3y+1=0$ et $2x+6y+2=0$ sont deux équations cartésiennes d'une même droite, la seconde étant obtenue en multipliant la première par $2$.		
		\item Dans la suite de la leçon nous distinguerons trois types de droites correspondant à deux types d'équations différentes.		
		\item Le choix du vecteur directeur au (ii) de la démonstration est à retenir: {\color{orange}si une droite à une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ alors les vecteur de coordonnées {\color{purple}$\begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$} en est un vecteur directeur.}		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soient $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère cartésien, $A(3;-1)$ un point et $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -4\\-102 \end{pmatrix}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\item Démontrer que $B\left(0;-\frac{155}{2}\right) \in \mathscr{D}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item {\color{orange}La méthode de la détermination d'une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur est à connaître.}
		
		\medskip
		Notons $\mathscr{D}$ la droite passant pas $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons une équation cartésienne de $\mathscr{D}$.}
		
		Soit $M(x;y) \in \mathscr{D}$.
		
		\medskip
		$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, ce qui équivaut encore successivement à
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{u} \right) &= 0\\
			\begin{vmatrix} x_{AM} & x_{u}\\ y_{AM} & y_{u} \end{vmatrix} &= 0\\
			\begin{vmatrix} x-3 & -4 \\ y-(-1) & -102 \end{vmatrix} &= 0\\
			(x-3) \times (-102) -(y+1) \times (-4) &= 0\\
			-102x+4y+310 &=0 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{D}:\ -102x+4y+310=0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}La méthode pour vérifier qu'un point appartient à une droite dont on connaît une équation est à savoir.}
		
		\medskip
		\objectif{Vérifions que $B \in \mathscr{D}$.}
		
		$B \in \mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de $\mathscr{D}$.
		
		Or
		
		\begin{align*}
			-102x_B+4y_B+310 &= -102\times 0+4\times \left( -\frac{155}{2} \right)+310\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$B \in \mathscr{D}$.
			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}


\begin{lecon}	
	Nous allons utiliser la remarque faites précédemment: si une droite a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ en est un vecteur directeur.	
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Déterminez un vecteur directeur de la droite $d$.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $d:\ 4x-3y+1=0$.		
		\task $d:\ x-5y+2=0$.		
		\task $d:\ -x+2y-5=0$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Or ici $a=4$, $b=-3$ et $c=1$ donc $\vec u \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
		\task {\color{orange}Voici une autre façon de déterminer un vecteur directeur d'une droite mais un peu plus lourde. Trouvons deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ et alors $\overrightarrow{AB}$ sera un vecteur directeur de $d$. Pour trouver un point choisissons une valeur de $x$ au hasard et cherchons une valeur de $y$ correspondante e sorte que ce soit un point de la droite.}			
		
		Cherchons (si possible) $A \in d$ de sorte que $x_A=0$ alors on devrait avoir $x_A-5y_A+2=0$ et donc $y_A= \frac{2}{5}$. $A \left( 0; \frac{2}{5} \right)$ est un point de la droite.
		
		De même si $x_B=1$ alors $y_B=\frac{3}{5}$ et $B \in d$.
		
		Donc $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
		\task 		
		$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Or ici $a=-1$, $b=2$ et $c=-5$ donc $\begin{pmatrix} -2\\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}


\subsubsection{Équations réduites.}

\begin{lecon}	
	Les équations réduites sont des équations cartésiennes simplifiées qui font le lien entre équation cartésienne et fonction affine.
	
	Pour une fonction affine chaque valeur indiquée sur l'axe des abscisses est reliée à une valeur sur l'axe des ordonnées. Les ordonnées, $y$, s'expriment en fonction des valeurs en abscisses, $x$.
	
	Autrement dit pour définir un fonction nous devons obtenir une expression de la forme: $y=f(x)$. Nous allons l'obtenir à partir d'une équation cartésienne.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $\mathscr{D}$ la droite dont une équation cartésienne dans un repère $\left( O; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)$ est $4x+2y-14=0$.
		
		\begin{notabene}
			
			Nous voulons obtenir $y$ en fonction de $x$ donc nous allons faire comme si nous connaissions la valeur de $x$ et résoudre l'équation d'inconnue $y$.
			
		\end{notabene}
		
		\begin{align*}
			4x+2y-14 &= 0\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			4x+2y-14 {\color{orange}-4x+14} &= 0 {\color{orange}-4x+14}\\
			2y &= -4X+14\\
			\frac{2y}{\color{orange}2} &= \frac{-4x+14}{\color{orange}2}\\
			y &= \frac{-4x}{2} + \frac{14}{2}\\
			y &= -2x+7
		\end{align*}
		
		\begin{notabene}
			
			Nous voyons bien apparaître une fonction affine.
			
		\end{notabene}
		
		\item Soit $d$ la droite dont une équation cartésienne dans un repère $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ est $8y+32=0$.
		
		\item Soit $\mathcal{D}$ la droite dont une équation cartésienne dans un repère $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ est $3x+6=0$.
		
		\begin{notabene}
			
			Dans ce cas nous ne pourrons
		\end{notabene}
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ un repère du plan, $\mathscr{D}$ une droite du plan.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Si $\mathscr{D}$ est parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation réduite de la forme: $x=r$ avec $r$ une constante réelle.
		
		\item Si $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation réduite de la forme: $y=mx+p$ avec $m$ et $p$ des constantes réelles.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Considérons une droite $\mathscr{D}$ d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ dans le  repère $\left( O ; \vec i , \vec j \right)$. Nous utiliserons le fait que le vecteur  de coordonnées $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est alors un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ et aussi le fait que $a$ et $b$ ne peuvent être simultanément nuls.
	
	On distingue les deux cas.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Premier cas: la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
		
		Donc le vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ est colinéaire à $\vec j$ et par conséquent: $-b=0$ et $a\ne 0$.
		
		Ainsi l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$ se simplifie en $ax+c=0$. Et puisque $a\ne 0$: $x=\frac{-c}{a}$.
		
		\item Second cas: la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
		
		Donc le vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ n'est pas colinéaire à $\vec j$ et nécessairement: $b\ne 0$.
		
		Ainsi l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$ peut s'écrire: $y=\frac{-a}{b}x+\frac{-c}{b}$.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Comme $y=mx+p \Leftrightarrow mx-y+p=0$ nous pouvons affirmer que le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\m \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation réduite $y=mx+p$.
		
		Nous obtenons ainsi une méthode de lecture graphique du coefficient directeur d'une droite.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-4.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{3.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.4cm,ystep=0.2cm,line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm,ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4.5:4.5] plot(\x,{0.5*\x+0.6});
				\draw [red,>=latex,->,very thick] (0.8,1) -- (2.8,1) node [midway , below]{$1$};
				\draw [Green,>=latex,->,very thick] (2.8,1) -- (2.8,2) node [midway , right]{$m=1$};
				\draw (0.8,1) node {$\bullet$};
				\draw (2.8,2) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-4.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{3.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.4cm,ystep=0.2cm,line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm,ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2.6:3.4] plot(\x,{-1*\x+0.8});
				\draw [red,>=latex,->,very thick] (-0.8,2) -- (0.8,2) node [midway , above left]{$1$};
				\draw [Green,>=latex,->,very thick] (0.8,2) -- (0.8,0) node [midway , above right]{$m=-2$};
				\draw (-0.8,2) node {$\bullet$};
				\draw (0.8,0) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item Nous reconnaissons, dans la seconde équation réduite, l'expression d'une fonction affine. $m$ sera encore appelé la pente (ou le coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Soient $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ un repère d'un plan euclidien, $A$ et $B$ deux points distincts du même plan.
	
	Si $(AB)$ admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$ alors $m= \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	En notant $f: x \mapsto mx+p$ nous remarquons que $m$ est le taux d'accroissement de $f$ entre $x_A$ et $x_B$ (puisque $y_A=f(x_A)$ et $y_B=f(x_B)$).
\end{preuve}

\begin{exercice}	
	Dans le repère ci-dessous sont dessinées des droites.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			%Courbe à construire après les tangentes.
			%\draw[black, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-5) (-2,-1) (-1,0) (0,-2) (2,0) (5,0.5)};
			%Tangente 1
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-4:-0.5] plot(\x,{2*\x+3});
			%\draw (-2,-1) node{$\times$};
			%Tangente 2
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{(-1/3)*\x-2});
			%\draw (0,-2) node{$\times$};
			%Tangente 3
			\draw[Orange, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{0.5*\x-1});
			%\draw (2,0) node{$\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Déterminez les équations réduites des différentes droites.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathscr{T}_{-2}:\ y=2x+3$.
		
		\item $\mathscr{T}_{0}:\ y= -\frac{1}{3}x-2$.
		
		\item $\mathscr{T}_2:\ y=\frac{1}{2}x-1$.
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}



\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	On considère un point $A(4;3)$. Tracez quatre droites $d_1$ à $d_4$ passant par $A$ et admettant respectivement pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{u_1} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{u_2} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{u_3} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u_4} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}L'idée principale est la suivante pour tracer une droite nous devons en connaître deux points. Nous connaissons déjà $A$ il faut en trouver un autre. Le plus simple est de prendre le point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$. Une autre façon de dire les choses nous cherchons l'image, $B$, de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{10};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\footnotesize $O$};
			\draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {\footnotesize $\overrightarrow{i}$};
			\draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {\footnotesize $\overrightarrow{j}$};
			\draw[blue!60][samples=100,domain=-0.5:10] plot(\x,{1/3*\x+5/3}) node[above]{$d_1$};
			\draw[>=latex,->,blue,dashed] (4,3)--(7,3) node[midway,below]{\tiny $3\overrightarrow{i}$};
			\draw[>=latex,->,blue,dashed] (7,3)--(7,4) node[midway,right]{\tiny $\overrightarrow{j}$};
			\draw[>=latex,->,blue] (4,3)--(7,4) node[midway,above left]{\tiny $\overrightarrow{u}_1$};
			\draw (4,3)node{$\bullet$};
			\draw (4,3)node[above left]{$A$};
			\draw (7,4)node{$\bullet$};
			\draw (7,4)node[above left]{$B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	En procédant de même pour les autres vecteurs:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-2.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{10};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\footnotesize $O$};
			\draw[red,>=latex,->,thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {\footnotesize $\overrightarrow{i}$};
			\draw[red,>=latex,->,thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {\footnotesize $\overrightarrow{j}$};
			\draw[blue!60][samples=100,domain=-2.5:10] plot(\x,{1/3*\x+5/3}) node[above]{$d_1$};
			\draw[>=latex,->,blue] (4,3)--(7,4) node[midway,above right]{\tiny $\overrightarrow{u}_1$};
			\draw[violet!60][samples=100,domain=2.5:5.75] plot(\x,{-2*\x+11}) node[below left]{$d_2$};
			\draw[>=latex,->,violet] (4,3)--(5,1) node[midway,below left]{\tiny $\overrightarrow{u}_2$};
			\draw[OliveGreen!60][samples=100,domain=-2.5:10] plot(\x,{3}) node[below left]{$d_3$};
			\draw[>=latex,->,OliveGreen] (4,3)--(-1,3) node[midway,above left]{\tiny $\overrightarrow{u}_3$};
			\draw[WildStrawberry!60][samples=100,domain=-0.5:6] plot(4,{\x}) node[below left]{$d_4$};
			\draw[>=latex,->,WildStrawberry] (4,3)--(4,6) node[midway,right]{\tiny $\overrightarrow{u}_4$};
			\draw (4,3)node{$\bullet$};
			\draw (4,3)node[above left]{$A$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et de vecteurs directeur $\vec u$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(3;4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		\task $A(-2;5)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}$.
		\task $A(5;-10)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		\task $A(0;4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task $\mathscr{D}:\ 2x+y-10=0$.
		\task $\mathscr{D}:\ -3x-6=0$.
		\task $\mathscr{D}:\ x+3y+25=0$.
		\task $\mathscr{D}:\ x-5y+20=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et $B$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(2;1)$ et $B(5;-6)$.
		\task $A(-3;0)$ et $B(1;1)$.
		\task $A(-1;7)$ et $B(0;3)$.
		\task $A(6;8)$ et $B(3;2)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(3)
		\task $-7x-3x+17=0$.
		\task $x-4y+3=0$.
		\task $-4x-y+3=0$.
		\task $6x-3y-12=0$
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient $A(-3;4)$, $B(2;1)$ et $C(-1;-3)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez les coordonnées du point $M$ milieu de $[AC]$.		
		\item Déduisez-en une équation cartésienne de la médiane issue de $B$ dans $ABC$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $M\left( -2; \frac{1}{2} \right)$.		
		\item $\frac{1}{2}x -4y +3=0$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ parallèle à $(AB)$ et passant par $C$.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(5;4)$, $B(-1;2)$ et $C(4;-3)$.		
		\task $A(-5;-1)$, $B(6;4)$ et $C(1;2)$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}$(AB)$ et $\mathscr{D}$ sont parallèles si et seulement si tout vecteur directeur de l'une est vecteur directeur de l'autre droite.}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $-2x+6y+26=0$.		
		\task $5x-11y+17=0$.		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $(AB)$ puis vérifiez si $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-2;4)$, $B(7;2)$ et $C(11;1)$.
		\task $A(-4;-1)$, $B(4;3)$ et $C(44;23)$.
		\task $A(-26;20)$, $B(51;6)$ et $C(30;10)$.
		\task $A(20;18)$, $B(72;40)$ et $C(124;62)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $-2x-9y+32=0$ Non.		
		\item $-4x+8y-8=0$. Oui.		
		\item $14x+77y-1176=0$. Non.		
		\item 		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dites si les droites $d$ et $d'$ sont strictement parallèles, confondues ou sécantes.	
	\begin{tasks}	
		\task $d:\ 2x-6y+5=0$ et $d':\ x-3y+2=0$.		
		\task $d:\ 4x-3y+1=0$ et $d':\ 5x-4y+2=0$.		
		\task $d:\ 3x+9y+2=0$ et $d':\ 12x+36y+8=0$.		
		%\item $d:\ 3x+9y+2=0$ et $d':\ 12x+36y+8=0$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Déterminons la position relative de $d$ et $d'$.}
		
		{\color{orange}La position relative de deux droites (position de l'une par rapport à l'autre) dans la plan (coplanaires) n'admet que deux possibilités qui s'excluent mutuellement:
			\begin{itemize}
				\item les droites sont \emph{\color{purple}sécantes},
				\item les droites sont \emph{\color{purple}parallèles} (et en particulier éventuellement confondues).
			\end{itemize}
		}
		
		\medskip
		{\color{orange}À ce stade de la leçon pour démontrer le parallélisme nous allons utiliser les vecteurs directeurs.}
		
		\medskip
		$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ donc: $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d'$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.}
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} x_{u} & x_{v}\\ y_{u} & y_{v} \end{vmatrix}\\
			&= \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\\
			&= 6 \times 1 -2 \times 3\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires donc $d$ et $d'$ sont parallèles.
		
		Deux droites parallèles sont confondues si et seulement si elles ont au moins un point en commun. Or $P\left( 0;\frac{5}{6} \right) \in d$ mais $P \notin d'$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$d$ et $d'$ sont strictement parallèles.
			
		\end{conclusion}
		
		\task 
		
		$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v} \right)=-1$. $d \not\parallel d'$.		
		\task 
		
		$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -36 \\ 12 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v} \right)=0$. $d \parallel d'$. $P \left( -\frac{2}{3} ;0 \right)\in d$ et $P \in d'$ donc $d=d'$ (droites confondues).		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on considère les droites $d:\ y=-x+2$ et $d':\ y=x-4$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Représentez ces deux droites.
		\item Que représentent, pour $(d)$ et $(d')$, les points $P(0;2)$, $P'(0;-4)$ et $A(3;-1)$?
		\item Déduisez-en que les droites $(d)$ et $(d')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on considère les droites $d:\ y=-3x+4$ et $d':\ y=\frac{1}{3}x-1$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Représentez ces deux droites.
		\item Que représentent, pour $(d)$ et $(d')$, les points $P(0;4)$, $P'(0;-1)$ et $A\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2} \right)$?
		\item Déduisez-en que les droites $(d)$ et $(d')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on considère les points $A(-3;-2)$, $B(2;-1)$ et $C(1;4)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Placez ces points.
		\item Déterminez une équation des médianes du triangle $ABC$ issues des sommets $A$ et $B$.
		\item Que représente le point $M \left( 0; \frac{1}{3} \right)$ pour le triangle $ABC$?
		\item Déterminez les coordonnées du point d'intersection des droites $(CM)$ et $(AB)$.
		\item Que représente ce point pour le segment $[AB]$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\item Coordonnées du milieu de $[BC]$: $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right)$. Médiane issue de $A$: $7x-9y+3=0$.
		
		Coordonnées du milieu de $[AC]$: $(-1,1)$. Médiane issue de $B$: $2x+3y-1=0$.
		\item $M$ est le points d'intersection des deux précédentes médianes donc c'est le centre de gravité du triangle.
		\item On peut le faire en résolvant un système ou en raisonnant sur la troisième médiane, celle issue de $C$.
		\item Milieu de $[AB]$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans le repère $(O,I,J)$, on considère les points $A(1,2)$, $B(-1,4)$, $C(-2;3)$ et $D(1;m)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Utilisez un raisonnement par contraposée pour montrer que si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes alors $m\ne 0$.
		\item Utilisez un raisonnement par l'absurde pour montrer que si $m \ne 0$ alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.
		\item Dans cette question, on suppose que $m=-3$. On considère les droites d'équation $y=-x+3$ et $y=-2x-1$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Associez ces équations aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
			\item En utilisant le point $E(-4;7)$, utiliser un raisonnement par contre-exemple pour montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
			\item On considère la droite $(d)$ d'équation $y=x+1$. Utilisez un raisonnement par disjonction des cas pour montrer que les droites $(AB)$, $(CD)$ et $(d)$ ne sont pas concourantes.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère page 278
	Les données sont codées sur la figure suivante:
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.1,yscale=0.8,rotate=-120]
			\coordinate (A) at (2,0);
			\coordinate (B) at (0,2);
			\coordinate (C) at (0,0);
			\coordinate (L) at (0,1);
			\coordinate (N) at (1,0);
			\coordinate (M) at (3,0);
			\coordinate (I) at (2,0.75);
			\draw (C) -- (N) node[midway] {$\parallel$};
			\draw (N) -- (A) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (A) -- (M) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (C) -- (L) node[midway, sloped] {$|$};
			\draw (L) -- (B) node[midway, sloped] {$|$};
			\draw (A) -- (B);
			\draw (A) node {$\times$};
			\draw (B) node {$\times$};
			\draw (C) node {$\times$};
			\draw (L) node {$\times$};
			\draw (M) node {$\times$};
			\draw (N) node {$\times$};
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\draw (M) node [above left] {$M$};
			\draw (N) node [above left] {$N$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (L) node [above right] {$L$};
			\draw (I) node {$I$};
			\draw [orange] (L) -- (M);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On se place dans le repère $(A,B,C)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Donnez les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$.
		\item Déterminez les coordonnées des points $M$, $N$ puis $L$.
		\item Donnez une équation de la droite $(ML)$ et en déduire les coordonnées du point $I$ intersection des droites $(AB)$ et $(ML)$. Précisez la position du point $I$ sur le segment $[ML]$.
		\item Retrouvez ce résultat par une autre méthode non analytique.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
		\item $M\left( 0,-\frac{1}{2}\right)$, $N\left( 0,\frac{1}{2} \right)$ et $L\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$.
		\item $(ML):\ y=2x-\frac{1}{2}$. $(AB):\ y=0$. Donc intersection: $0=2x-0,5 \Leftrightarrow x=0,25$. $I\left( \frac{1}{4},0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez la pente de chacune des droites.
	\begin{tasks}
		\task La droite $d$ d'équation $-8x+3t+5=0$.
		\task La droite $(AB)$ avec $A(-1,-9)$ et $B(2;6)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
		\begin{tasks}
			\task En isolant $y$: $y=\frac{8}{3}x-\frac{5}{3}$.
			
			O avec le vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \end{pmatrix}$. Donc $m=\frac{-8}{-3}= \frac{8}{3}$.
			\task $\frac{6-(-9)}{2-(-1)}=5$.
		\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez la pente de chacune des droites tracées ci-dessous dans un repère.
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{6};
	\def\ycoinbasgauche{-2};
	\def\ycoinhautdroit{6};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	%\draw (O) node[below left] {$O$};
	%\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	%\draw (I) node[below left] {$I$};
	%\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	%\draw (J) node[below left] {$J$};
	%\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:6] plot({\x},{3/4*\x+1});
	\draw[blue] (5.25,4.25) node {$d_3$};
	\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.5:3.5] plot({\x},{2*\x-1});
	\draw[red] (2.25,5.25) node {$d_2$};
	\draw[green, thick][samples=100,domain=-2:6] plot({\x},{-3/5*\x+3});
	\draw[green] (-1.75,3) node {$d_1$};
	\end{tikzpicture}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	$m_1=-\frac{3}{5}$, $m_2=2$ et $m_3=\frac{3}{4}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Donnez, lorsqu'elle existe, la pente de la droite $d$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $d:\ y=3,3x+6,5$.
		\task $d:\ y=2$.
		\task $d:\ y=-7-x$.
		\task $d:\ y= \frac{4x+1}{5}$.
		\task $d:\ x=-0,8$.
		\task $d:\ 4x+2y+5=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(4)
		\task $m=3,3$.
		\task $m=0$.
		\task $m=-1$.
		\task $\frac{4}{5}$.
		\task Pas de pente.
		\task $m=-2$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez l'équation de la droite passant par $A$ et de pente $m$.
	\begin{tasks}
		\task $A(1,-3)$ et $m=-5$.
		\task $A(3;0)$ et $m=\frac{2}{3}$.
		\task $A(2;3)$ et $m=0,75$.
		\task $A(-6,-5)$ et $m=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez la pente de $(AB)$ puis son équation réduite.
	\begin{tasks}
		\task $A(7,-1)$ et $B(0;2)$.
		\task $A(-3;4)$ et $B(3;10)$.
		\task $A(1,-1)$ et $B(4;1)$.
		\task $A(0,-5)$ et $B(2;-1)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez un vecteur directeur de la droite et, lorsqu'elle existe, la pente de la droite décrite.
	\begin{tasks}
		\task La droite $d$ d'équation $3x-2y=0$.
		\task La droite $(AB)$ avec $A(3;9)$ et $B(2;4)$.
		\task La droite $d$ d'équation $y=-4$.
		\task La droite d'équation $x+5y+2=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation de la droite $d$ de pente $-5$ est coupant l'axe des abscisses au point $A(4;0)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On donne trois points distincts $A$, $B$ et $C$ tels que $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}$. Déterminez les abscisse de $C$ dans les repères $(A,\overrightarrow{AB})$ et $(B,\overrightarrow{BA})$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Construisez, sur une droite $\mathscr{D}$ de repère $\left( O,\vec{u} \right)$, les points $R$ et $S$ d'abscisses respectives $\frac{3}{2}$ et $-2$. Calculez l'abscisse du milieu $I$ de $[RS]$ et celle du barycentre $G$ des points pondérés $(R,-3)$ et $(S,5)$.
\end{exercice}


\subsubsection{Représentation paramétrique d'une droite.}



\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}