%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{21 Monotonie des fonctions.}

\subsubsection{Variation et courbe représentative.}

\begin{notabene}
	
	Présenter sur la courbe représentative de la fonction cube la notion de croissance. Et en fait dire qu'il ne s'agit pas de la fonction cube et zoomer et se rendre compte qu'il y a d'autre variation.	
	
\end{notabene}

	\begin{notabene}
		
		À aire avec Géogébra szoomer à la roulette jusqu'à obtenir l'intervalle $[-0,002;0,002]$ puis tirer à la souris sur l'axe de ordonnées pour continuer à zooer sur l'axe des ordonnées.
		
	\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4cm}m{5cm}}
		Lorsque nous voyons que la courbe représentative d'une fonction $f$ monte cela traduit le fait que la quantité $f(x)$ augmente à mesure que $x$ augmente. Ci-contre le bénéfice augmente à mesure que la quantité produite augmente.
		&
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
			\draw ({\xZ-1},-0.25) node {Quantité produite (tonne)};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
			\draw (2,{\yZ-0.25}) node {Bénéfice (milliers d'euros)};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(sqrt(4*\x+0.5)});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}	
	
	La situation n'est pas toujours aussi simple: il peut y avoir des changement de sens de variation comme pour le sinus ci-dessous.
		
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-4};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{4};
		\def\yZ{1};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,{sin(360/(2*3.1416)*\x)});
		\draw[blue] (1.75,-0.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_{\sin}$};
	\end{tikzpicture}
	
	\noindent\begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Regardons ce qui se passe dans une situation purement mathématique.Nous allons essayer comme d'habitude d'étudier le géométrique (la courbe monte) en en donnant une interprétation avec des coordonnées.
		
		On a dessiné ci-contre la courbe représentative de la fonction $f:x \mapsto (x-0,001)^2(x+0,001)$.
		
		Nous voyons que la courbe monte. Cela traduit bien le fait que les $f(x)$ augmente à mesure que les $x$ augmentent.
		&
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Par exemple si les $x$ passent d'une valeur $x_1$ à une plus grande valeur $x_2$ on constate qu'on est passé d'une image $f(x_1)$ à une plus grande image $f(x_2)$.
		&
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [red] (-1.5,0.5) node {$x_1$};
			\draw [violet, dashed] (0,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [violet] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$f(x_1)$};
			\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [red] (1.2,-0.5) node {$x_2$};
			\draw [violet, dashed] (0,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [violet] (-0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$f(x_2)$};
			\draw [red, very thick, >=latex,->] (-1,-0.5) -- (0.9,-0.5);
			\draw [violet, very thick, >=latex,->] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)+0.5}) -- (0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)-0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Alors que si la courbe descend, lorsque les $x$ augment les images $g(x)$ diminuent:
		&
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=g(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{-(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,-6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [red] (-1.5,-0.5) node {$x_1$};
			\draw [violet, dashed] (0,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [violet] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$g(x_1)$};
			\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [red] (1.2,0.5) node {$x_2$};
			\draw [violet, dashed] (0,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [violet] (-0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$g(x_2)$};
			\draw [red, very thick, >=latex,->] (-1,0.5) -- (0.9,0.5);
			\draw [violet, very thick, >=latex,->] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)-0.5}) -- (0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)+0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{4cm}}
		Pourquoi aller regarder ce qui ce passe pour les $x$ et les $f(x)$? Pourquoi ne pas se contenter de la représentation graphique pour dire si ça augmente ou diminue?
		
		Parce que nous ne pouvons nous fier à nos sens. Agrandissons la courbe représentative au voisinage de $0$ en nous plaçant sur $[-2 \times 10^{-9},2 \times 10^9]$.
		
		Nous avons besoin d'un outil qui ne peut se tromper: une définition analytique des variations d'une fonction.
		&
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.8:2] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)*(\x+1)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	
\end{lecon}

\subsubsection{Décrire la variation en français.}

\begin{lecon}
	
	Les \emph{\color{purple}fonctions monotones} sont les fonctions dont le sens de variation ne change pas. Graphiquement: la courbe ne fait que monter ou que descendre.
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{2.8cm}|m{2.8cm}|m{2.8cm}|m{2.8cm}}
		Fonction \emph{\color{purple}croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick](-3,-5)--(-1,1)--(1,1)--(3,3);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-3};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}décroissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick](-3,4)--(-1,4)--(1,1)--(3,-4);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement décroissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{-0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline 
	\end{tabular}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	Une fonction n'est pas monotone lorsqu'elle est tantôt croissante tantôt décroissante. Dans ce cas il faut préciser sur quelles parties du domaine de définition elle est croissante ou décroissante.
	
	\begin{notabene}
		
		Lorsque $x$ augmente de $-3$ à $-2$, $f(x)$ diminue de $5$ à $1$. Ce que nous traduirons en disant:
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4cm}m{0.5cm}m{7cm}}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-1.5};
				\def\xZ{3.2};
				\def\yZ{5.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick, black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
				\draw[blue, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
				\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{blue}$\mathcal{C}_f$};
				\draw[blue] (3,0) node{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&&
		
		Nous dirons que:\newline
		$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2]$,\newline
		$f$ est constante sur $[-2;-1]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$,\newline
		$f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[2;3]$.
		
		\smallskip
		La courbe fait également apparaître des \emph{\color{purple}sommets} (points haut ou bas de la courbe).
		
		\smallskip 
		Nous dirons que, par exemple, \emph{\color{purple}$f$ admet un minimum (absolu) égale à $-1$ qui est atteint pour $x=2$}.
		
		\smallskip
		Ou encore que \emph{\color{purple}$f$ admet un maximum local sur $]-2;3[$ qui est égale à $3$ et qui est atteint en $x=0$}.
		\\ \end{tabular}
		
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Avec un moyen informatique on obtient la courbe représentative de $h:x \mapsto -x^3+18x^2-99x+162$.
		
		\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{0};
			\def\xcoinhautdroit{10};
			\def\ycoinbasgauche{-2};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			%\draw (O) node {$\bullet$};
			%\coordinate (I) at ({1},{0});
			%\draw (I) node[below left] {$I$};
			%\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			%\draw (J) node[below left] {$J$};
			%\draw (J) node {$\bullet$};
			%Graduations
			\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=1.4:9.9] plot({\x},{(-\x*\x*\x+18*\x*\x-32*3*\x+150)/10});
			\draw[orange] (4.5,1.25) node {$\mathscr{C}_h$};
		\end{tikzpicture}
		&
		Décrivons les variations de $h$. $h$ est strictement décroissantes sur $]-\infty,4]$ et sur $[8,+\infty[$. $h$ est strictement croissante sur $[4;8]$.
		
		Décrivons les extrema. $f$ n'admet aucun maximum ou minimum (absolu). $f$ admet un minimum local sur $]-\infty , 8[$ égale à $-10$ qui est atteint en $4$; $f$ admet un maximum local sur $]4,+\infty[$ égale à $13$ qui est atteint en $8$.
		\end{tabular}
		\item Description de la variation des fonctions de référence: carré, cube, racine carrée, inverse.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Avec la calculatrice affichez la courbe représentative de la fonction $f$ puis décrivez la variation de $f$ et enfin précisez les extrema de $f$ sur $\mathbb{R}$ dans les cas suivants.
	\begin{tasks}(2)
		\task $f:x \mapsto \frac{1}{2}x^2-2x-1$.
		\task $f:x \mapsto x^3+\frac{3}{2}x^2-60x+55$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Un schéma pour décrire les variations d'une fonction.}

\begin{lecon}
	
	Les longues phrases n'étant pas du goût des matheux nous préférerons un schéma. Nous schématiserons la courbe représentative de la fonction par un \emph{\color{purple}tableau de variation}.
	
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick,violet] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick,orange] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
			\draw[black, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
			\draw[black, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
			\draw[black, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
			\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{black}$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		{\color{black}\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=1.6, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f$ /2}
			{$-\infty$, $-2$, $-1$, $0$, $2$, $3$}
			\tkzTabVar{+/ /, -/ $1$ / , -/ $1$, + / $3$, -/ $-1$, +/ $0$ /}
		\end{tikzpicture}}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Une courbe correspondant à une fonction monotone.		
		\item Une courbe correspondant à une fonction non monotone.
		\item 
		Dressons le tableau de variation de la fonction $x \mapsto 0,06(x-2)(x-3)(x+5)$ sur $[-10;10]$ d'après la calculatrice.
		\item Proposer une représentation graphique de la fonction $f$ à partir de son tableau de variation.
		
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.85, lw=0.3mm]
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $0$,$2$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabVar{+/2,-/-1,+/4,-/}
		\end{tikzpicture}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans un tableau de variation apparaissent bien sûr les variations mais aussi les \emph{\color{purple}extremum} (\emph{\color{purple}minimum} ou \emph{\color{purple}maximum}, \emph{\color{purple}absolu} ou \emph{\color{purple}local}).
		\item Les valeurs dans un tableau de variation sont toutes exactes. Pas de valeur approchée. Comme d'habitude si on ne possède pas la valeur exacte on utilise une lettre pour désigner ce nombre.
		\item Il est possible de décrire la variation de la fonction à partir du tableau de variation sans connaître la courbe représentative.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}		
	Compléter le tableau de variation proposé à partir de la représentation graphique.
	
	\noindent\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.5, lw=0.3mm]			
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-4$,$\dots$,$\ldots$,$\ldots$}
			\tkzTabVar[color=white]{+/$\ldots$,-/$\ldots$,+/1, -/$-1{,}5$}
		\end{tikzpicture} \hfill
	\begin{tikzpicture}[scale=0.70]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-1.75};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-4,2)(-1,-1.5)(1,1)(4,-1.5)};
			\draw [purple] (-4,2) node {$\bullet$};
			\draw [purple] (4,-1.5) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici le tableau de variation d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-\infty$ , $-2$ , $1$ , $3$,  $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ , -/ $2$ , +/ $3$ , -/ $-2$ , +/ $4$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
		\task Décrivez par des phrases le sens de variation de la fonction $f$.
		\task Préciser les extrema éventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracer deux courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction $f$.% dans un repère.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On donne le tableau de variation d'une fonction $g$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g$ / 2}
			{ $-4$ , $-1$ , $2$ , $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $2$ , -/ $-3$ , +/ $3$ , -/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de définition de $g$?
		\task Décrivez par des phrases les variations de $g$.
		\task Tracez dans un repère une courbe pouvant représenter $g$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-2;7]$. On sait que:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f$ est strictement croissante sur $[-2;5]$ et sur $[6;7]$;
		\item $f$ est strictement décroissante sur $[5;6]$;
		\item $f(-2)=f(6)=-1$ et $f(5)=f(7)=1$.
	\end{enumerate}
	
	Construisez le tableau de variation de $f$ puis tracez dans un repère une courbe pouvant représenter $f$.
\end{exercice}

\subsubsection{Une vraie définition.}

\begin{lecon}
	Comme nous l'avons remarqué en introduction nous ne pouvons nous fier à nos yeux, à la calculatrice ou à notre intuition pour connaître la variation d'une fonction. Il nous faut une définition de cette notion qui ne permet aucune ambiguïté. Voici celle qui a été retenue.
\end{lecon}

\begin{definition}	
	Soient $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$, un ensemble $E$ tel que $E \subset \mathscr{D}_f$. Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}croissante sur} $E$ lorsque, quels que soient $x_1$ et $x_2$ choisis dans $E$, si $x_1<x_2$ alors, forcément, $f(x_1)\leqslant f(x_2)$.
\end{definition}

\begin{notabene}
	Avec les élèves écrire les trois autres définition pour qu'ils mémorisent la définition et voit ce qui peut changer ou pas.
\end{notabene}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous pouvons définir de même:
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f$ est \emph{strictement croissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)<f(\beta)$.
			\item $f$ est \emph{strictement décroissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)> f(\beta)$.
			\item $f$ est \emph{décroissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)\geqslant f(\beta)$.
		\end{enumerate}
		\item Nous retiendrons que \emph{\color{purple}les fonctions croissantes conservent l'ordre tandis que les fonctions décroissantes ne conservent pas l'ordre}.
		\item C'est une définition complexe. Il faut comprendre l'idée correspondante: dire que $f$ est \emph{\color{purple}croissante} c'est dire que \emph{\color{purple}quand les $x$ augmentent les $f(x)$ augmentent aussi}. Il faut commencer à se familiariser avec l'aspect technique.
		\item Une fonction qui est croissante ou décroissante sur tout son ensemble de définition est dite \emph{\color{purple}monotone}. Il existe des fonctions qui ne sont pas monotone comme la fonction carré.		
		\item La monotonie de trouver de nouvelles inéquations mais pas d'équivalences. Ainsi, la fonction racine carrée étant croissante, de $x^2+1\leqslant x^2+4$, nous pouvons déduire: $\sqrt{x^2+1}\leqslant \sqrt{x^2+4}$.
		\item Démontrer qu'une fonction n'est pas monotone sur un ensemble revient à montrer qu'une proposition universelle (quel que soit, pour tout) est fausse: il suffi d'exhiber un contre-exemple.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Regarder le paragraphe suivant pour des exemples graphiques de fonctions avec divers sens de variation. Vous connaissez au moins l'allure des courbes représentatives des fonctions de référence et vous pouvez donc conjecturer leur monotonie.		
		\item Nous avons déjà établi et nous reverrons que la monotonie d'une fonction affine est liée au signe de son coefficient dominant.		
		\item Nous avons démontré dans la leçon sur racine carrée que c'est une fonction strictement croissante.
		\item \objectif{Démontrons que la fonction cube n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$.}
		
		$1<2$ et pourtant $1^3<2^3$ car $1^3=1$ et $2^3=8$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que $(x+1)(x-2)>0$ pour tout $x \in ]2,+\infty[$.
		\item Déduisez-en que, pour $x \in ]2,+\infty[$, $x^2-x>2$.
		\item Déduisez-en, finalement que $\sqrt{x^2-x}>\sqrt{2}$ pour tout $x \in ]2,+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Extrema.}

\begin{lecon}
	Là encore nous allons donner une définition mathématique formelle de la plus grande ou de la plus petite valeur qui soit exempte d'ambiguïté.
\end{lecon}

\begin{definition}
	Soient $f$ une fonction et un ensemble $E \subset \mathscr{D}_f \subset \mathbb{R}$. On dit que \emph{\color{purple}$f$ admet un maximum sur $E$} si et seulement si il existe $x_0\in E$ tel que, quel que soit $x \in E$, $f(x)\leqslant f(x_0)$. Dans ce cas $f(x_0)$ est appelé \emph{\color{purple}le maximum de $f$ sur $E$}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous avons une définition semblable pour le minimum. \emph{\color{purple}$f$ admet un minimum sur $E$} ssi il existe $x_0\in E$ tel que: $\forall x \in E,\ f(x)\geqslant f(x_0)$. Dans ce cas $f(x_0)$ est appelé \emph{\color{purple}le minimum de $f$ sur $E$}.
		\item Le terme générique pour parler du maximum ou du minimum est \emph{\color{purple}extremum}. Il est surtout utiliser pour poser des questions sans donner la réponse aux élèves.
		\item La définition fait intervenir l'existence d'un nombre ce qui n'est jamais simple à établir. Montrer qu'il y a un maximum ou un minimum peut être très difficile.
		\item Le plus souvent au lycée pour démontrer l'existence d'un maximum ou d'un minimum nous utiliserons le tableau de variation.
		\item Pour montrer qu'une fonction n'a pas de maximum il faut montrer qu'il y a toujours une image plus grande que n'importe quel maximum putatif. Deux cas: inverse sur $\mathbb{R}_-$ et cube sur $\mathbb{R}_+$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item La fonction carré n'admet pas de minimum sur $]0;2]$ mais admet un maximum en $2$ égale à $4$. La fonction carré est croissante sur $]0,2]$ donc sont minimum ne pourrait être qu'en $0$ mais $0$ ne fait pas partie de l'ensemble de définition.
		\item La fonction cube n'admet ni minimum ni maximum.
		\item \objectif{Montrons que la fonction $g: x \mapsto -2(x+1)^2+3$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$ en $-1$.}
		
		Soit $x \in\mathbb{R}$.
		\begin{align*}
			(x+1)^2 &\geqslant 0\\
			-2(x+1)^2 &\leqslant -2 \times 0 \text{, car -2<0}\\
			-2(x+1)^2 &\leqslant 0\\
			-2(x+1)^2+3 &\leqslant 0+3\\
			g(x) &\leqslant 3
		\end{align*}
		De plus $g(-1)=3$.
		
		\begin{conclusion}
			$g$ admet, sur $\mathbb{R}$, un maximum égale à $3$ qui est atteint en $-1$.
		\end{conclusion}
		\item La fonction inverse est minorée, par $0$, sur $\mathbb{R}_+$ (elle ne prend pas de valeur plus petite que $0$) mais elle n'admet pas de minimum car la valeur $0$ n'est jamais atteinte.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Montrez que $f:x \mapsto 7(x-15)^2-9$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit $f$ la fonction définie par $f(x)= \frac{9-x^2}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Résolvez algébriquement l'équation $f(x)=-1$.
			\item Montrez que pour tout réel $x$, $f(x) \geqslant -1$. \emph{Pour comparer deux nombres on peut chercher le signe de leur différence.}
			\item $-1$ est-il le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$?
		\end{enumerate}
		\item En utilisant la calculatrice tracez la courbe de $f$ dans un repère bien choisi.
		\item Conjecturez le maximum de $f$ sur $[-5;5]$ et en quelle valeur il est atteint.
		\item Démontrez que tous les réels ont une image inférieure ou égale à $9$ et validez la conjecture précédente.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Variation des fonctions affines.}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Montrons que la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par: $\forall x\in \mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ est strictement croissante {\color{orange}conjecture établie avec une calculatrice}.
		
		{\color{orange}Il faut démontrer que quelque soient les nombres $\alpha$ et $\beta$ choisis avec $\alpha < \beta$ on a forcément $f(\alpha)<f(\beta)$.}
		
		\medskip
		Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha< \beta$. {\color{orange}Il faut garder des lettres et ne pas remplacer par des valeurs numériques pour que le résultat reste général, vrai quelque soit les nombres choisis.} Démontrons qu'alors nécessairement $f(\alpha)<f(\beta$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Le raisonnement consiste à partir de l'inégalité $\alpha < \beta$ et de reconstruire la fonction $f$ de par et d'autre d façon à faire apparaître $f(\alpha)$ et $f(\beta)$. Pour cela nous ferons les étapes correspondant aux priorités opératoires.}
		
		L'inégalité $\alpha < \beta$ est successivement équivalente à 		
		\begin{align*}
			2\alpha  &< 2\beta, \text{ {\color{orange}le sens est conservé} car $2>0$.}\\
			2\alpha+1 &< 2\beta+1\\
			f(\alpha) &< f(\beta)
		\end{align*}
		
		\medskip
		Nous avons démontré que si $\alpha<\beta$ alors $f(\alpha)<f(\beta)$. {\color{orange}Les images et les antécédents sont rangés dans le même ordre.}
		
		Ceci étant vrai quelque soit les $\alpha$ et $\beta$ choisis nous pouvons affirmer que la fonction $f$ est strictement croissante.
		
		\begin{notabene}
			
			Sur quelques autre exemples non détaillés faire deviner la règle générale.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, $f$ la fonction affine définie par: $f(x)= ax+b$ quelque soient $x\in\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.		
		\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
		\item Si $a<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	Si $a=0$ la fonction est évidemment constante.
	
	Démontrons l'un des deux cas restants l'autre se traitant de la même façon. Supposons par exemple que $a<0$. 
	
	Il faut démontrer que $f$ est strictement décroissante. {\color{orange}D'après la définition de la monotonie, il faut donc montrer que quels que soient les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$.}
	
	Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha<\beta$. Cette inégalité est successivement équivalente à:
	\begin{align*}
		a\alpha &>ax\beta \text{ car $a<0$} \\
		a\alpha+b &> a\beta+b \\
		f(\alpha) &> f(\beta)
	\end{align*}
	On a donc démontrer que si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$. Autrement dit $f$ est strictement décroissante.
\end{preuve}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}		
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Étudions les variations de la fonction $h$, définie par $h(x)=-12x+3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
		
		$h$ est une fonction affine avec $a=-12$ et $b=3$. Comme $a<0$, $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		\item Nous ne pouvons rien dire pour $x\mapsto 2x^2-3x+1$ car ce n'est pas une fonction affine.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	La connaissance des variations de la fonction affine permet de retrouver les tableaux de signes en raisonnant à partir de la courbe représentative.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Étudions par exemple le signe de $f:x\mapsto -2x+4$.}
		\begin{enumerate}[*]
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=4$.
			\item {\color{orange}le coefficient directeur est strictement négatif}, $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante.
			
			{\color{orange}Ceci se traduit graphiquement par une droite qui descend. Quelque chose comme:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
						\def\xY{-2.5};
						\def\yY{-4.5};
						\def\xZ{15.5};
						\def\yZ{5.5};
						\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
						\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
						%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
						%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
						%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
						%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
						\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
						\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:15] plot(\x,{-0.5*\x+4});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous voyons sur ce schéma que la fonction prend d'abord des valeurs positives puis des valeurs négatives. Autrement dit nous pouvons déjà compléter le tableau de signe de la façon suivante:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
						{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
						\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Il nous reste à trouver pour quelle valeur de $x$, $f$ s'annule.
			} 
			
			\item $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. {\color{orange}Ce résultat a été établi plus tôt dans cette leçon.}	
		\end{enumerate}		
		Nous en déduisons le tableau de signe de $f$.		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\subsubsection{Démonstrations pour les fonctions de référence.}

\begin{lecon}
	
	La façon la plus simple de retenir les résultats de cette partie consiste à connaître par cœur les allures des courbes représentatives des fonctions de référence.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction carrée:
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/0.8,$x \mapsto x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
	\end{tikzpicture}
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $[0\ ;\ +\infty [$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\le x_2\times x_1\text{, car } x_1\ge 0$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2<  x_2^2\text{, car } x_2 x_2>x_1\ge 0$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_1^2\le x_1x_2<x_2^2$$
	
	et donc $x_1^2 <x_2^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $]-\infty \ ;\ 0]$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\trous[0.5cm]{> }x_2\times x_1\text{, car } x_1\trous[1cm]{x_1<x_2 \le 0}$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2\trous[0.5cm]{\ge } x_2^2\text{, car } x_2 \trous[1cm]{x_2\le 0}$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_2^2\le \trous[2cm]{x_1x_2}<x_1^2$$
	
	et donc $x_2^2 \trous[0.5cm]{<}x_1^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Autrement dit: la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$ et strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Montrons que $\left( \frac{4}{12} \right)^2 < \left( \frac{9}{24}\right)^2$.}
		Puisque $\frac{4}{12}=\frac{8}{24}$ nous voyons que $\frac{4}{12}<\frac{9}{24}$.
		La fonction carré étant strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$:
		 
		\begin{conclusion}
			$\left( \frac{4}{12} \right)^2< \left( \frac{9}{24} \right)^2$.
		\end{conclusion}
		\item \objectif{Montrons que si $x\leqslant -6$ alors $x^2 \geqslant 36$.}
		Soit $x$ un réel tel que $x\leqslant -6$.
		
		La fonction carré étant décroissante sur $\mathbb{R}_-$: $x^2 \geqslant 36$.
		
		\begin{conclusion}
			Quelque soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $x \leqslant -6$, $x^2\geqslant 36$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Dans chaque cas comparez les nombres $A$ et $B$ sans utiliser la calculatrice.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=\left( \frac{3}{4} \right) ^2$ et $B=\left( \frac{4}{3} \right)^2$,
		\task $A=1,009^2$ et $B=1,0029^2$,
		\task $A=-2,3^2$ et $B=(-2,3)^2$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre.}
		
		\medskip
		La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		Or $\frac{3}{4}<1<\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{4}$ et $\frac{4}{3}$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 < \left( \frac{4}{3} \right)^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		\medskip
		La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
	
		Or $1,0029<1,009$ et $1,0029$ et $1,009$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ 1,0029^2 < 1,009^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\task \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}$-2,3^2$ n'est pas une image par la fonction carrée. La précédente méthode ne fonctionnera donc pas.}
		
		\medskip
		Clairement: $-2,3^2<0<(-2,3)^2$
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ -2,3^2<(-2,3)^2 \]
			
		\end{conclusion}
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Encadrez $x^2$, puis $3x^2$, le plus précisément possible, dans les cas suivants:
	\begin{tasks}(3)
		\task $1\le x \le 4$,
		\task $-2\le x <-0,5$,
		\task $4< x <11$,
		\task $-\frac{13}{5}<x<-\frac{1}{7}$.
		\task $-2 \le x < 3$,
		\task $-10\le x \le 10$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Pour avoir un résultat très précis il faut raisonner algébriquement (en raisonnant par disjonction des cas pour les deux derniers). Sinon une résolution graphique convient. Cette dernière est ici plus simple et efficace.}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Démontrez que la fonction $f:x \mapsto 4x^2+3x-12$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.	
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Tableau de variation de la fonction inverse:
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \frac{1}{x}$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {+/ , -D+ / , - /  }
	\end{tikzpicture}
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Nous allons démontrer trois choses: la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$, sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soient $x_1,x_2 \in \mathbb{R}_-^*$ tels que $x_1<x_2$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\frac{x_1}{x_2} &> \frac{x_2}{x_2} \quad \text{car }x_2<0\\
			\frac{x_1}{x_2} &> 1\\
			\frac{1}{x_1} \times \frac{x_1}{x_2} &< \frac{1}{x_1} \times 1 \quad \text{car } \frac{1}{x_1}<0\\
			\frac{1}{x_2} &< \frac{1}{x_1}
		\end{align*}
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Idem pour $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item $-2<2$ et pourtant $-\frac{1}{2}< \frac{1}{2}$ donc la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	Nous avons déjà remarqué qu'il n'est pas possible d'obtenir des identités remarquables, des égalités, liant la somme et la racine carré. Cependant nous pouvons obtenir une inégalité.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	Soient $a\in [0;+\infty[$ et $b\in [0;+\infty[$. Si $a <b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Supposons $a<b$ et démontrons que $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.}
	
	{\color{orange}Nous allons en fait démontrer que $\sqrt{b}-\sqrt{a}>0$.}
	
	\medskip
	Puisque $a<b$: \[ b-a>0.\]
	
	Or, $a$ et $b$ étant positifs,
	
	\begin{align*}
		b-a &= \sqrt{b}^2-\sqrt{a}^2\\
		&= \left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)
	\end{align*}
	
	donc
	
	\begin{align*}
		\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right) &> 0\\
		\intertext{Et comme $\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)>0$:}
		\frac{\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)} &> \frac{0}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}\\
		\sqrt{b}-\sqrt{a} &> 0
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Ainsi dès que $a<b$ forcément $\sqrt{a}< \sqrt{b}$.
		
	\end{conclusion}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous verrons que ce résultat établit que la fonction racine carrée est strictement croissante (sa courbe représentative ne cesse de monter).		
		\item Ce résultat constitue une nouvelle façon de transformer une inéquation. Lorsque nous verrons $x^2+x^4<8+x^2$ alors nous pourrons affirmer que $\sqrt{x^2+x^4}<\sqrt{8+x^2}$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction racine carrée:

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \sqrt{x}$ /1.6}
		{$0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {- / $0$, + /  }
	\end{tikzpicture}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Ce résultat a été établi dans le lemme.	
\end{preuve}


\begin{proposition}
	Tableau de variations de la fonction cube:
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
		{$-\infty$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {- / , + /  }
	\end{tikzpicture}	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Démontrons que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser une identité remarquable qui vous est encore inconnue: \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). \]}
		
		\medskip
		Soient $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $x_1 < x_2$.
		
		\objectif{Démontrons que $x_1^3 < x_2^3$.}
		
		Ou plutôt, ce qui revient au même démontrons que $x_2^3-x_1^3>0$.
		
		Pour étudier le signe d'une expression il vaut mieux qu'elle soit factorisée: $x_2^3-x_1^3 = (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)$.
		
		D'une part, par hypothèse, \[ x_2-x_1>0. \]
		
		D'autre part, puisque $0 \leqslant x_1<x_2$: $x_1\geqslant 0$, $x_1x_2\geqslant 0$ et $x_2^2>0$ donc \[ x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0. \]
		
		Donc: \[ (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)>0. \]
		
		Ainsi, si $0\leqslant x_1<x_2$ alors $x_1^3<x_2^3$.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La fonction cube étant impaire nous en déduisons par symétrie, que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
		\item Il reste à s'assurer que si $x_1\leqslant 0\leqslant x_2$ nous avons toujours conservation de l'ordre.
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}	
	 Compléter le tableau de variation proposé à partir de la représentation graphique.
	
		\noindent\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.8, lw=0.3mm]
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-4$,\textcolor{white}{$-1$},4}
			\tkzTabVar{+/2,-/\textcolor{white}{$-1{,}5$},+/2}
		\end{tikzpicture} \hfill
		\begin{tikzpicture}[scale=0.70]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-1.75};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-4,2)(-3,0)(-1,-1.5)(3,0)(4,2)};
			\draw [purple] (-4,2) node {$\bullet$};
			\draw [purple] (4,2) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Compléter le tableau de variation proposé à partir de la représentation graphique.
	
	\noindent \begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.5, lw=0.3mm]			
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-3$,,$\ldots$}
			\tkzTabVar[color=white]{}
		\end{tikzpicture} \hfill
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-2.5};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-3,2)(-2,0)(0,-1)(4,-1.5)};
			\draw [purple] (-3,2) node {$\bullet$};
			%\draw [purple] (4,-1.5) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un véhicule commence son trajet au niveau de la mer à 7h00. Il grimpe jusqu'à un sommet d'une montagne à une altitude de $824\ \mathrm{m}$. Il atteint ce sommet à 9h00 puis descend sur l'autre flanc de la montage jusqu'à une vallée située à une altitude de $522\ \mathrm{m}$. Son arrivée à lieu à 10h00.
	
	On note $f$ la fonction qui au temps écoulé depuis le départ du véhicule associe l'altitude du véhicule. Proposez un tableau de variation pour $f$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-2$ , $0$ , $3$ , $4$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $-1$ , +/ $\dfrac{5}{2}$ , -/ $-1$ , +/ $6$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Comparer si possible les nombres suivants.
	\begin{tasks}(3)
		\task $f(-2)$ et $f(-1)$
		\task $f\left(\dfrac{1}{3}\right)$ et $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$
		\task  $f(-1)$ et $f(1)$
		\task $f(3,6)$ et $f(3,7)$
		\task $f\left(\dfrac{7}{2}\right)$ et $f(4)$
		\task $f(1)$ et $f(3,5)$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
	Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $f$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ alors $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
		\item Si la fonction $f$ est croissante sur $[-5;5]$ alors elle est croissante sur $[0;1]$.
		\item Si $f$ est croissante sur $[-5;0]$ et décroissante sur $[0;5]$ alors $f$ est constante sur $[-5;5]$.
		\item Si $f(1)\geqslant f(6)$ alors $f$ est décroissante sur $[1;6]$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Tracez une courbe pouvant représenter graphiquement la fonction $g$ dont le tableau de variation est donné. 
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g$ / 2}
			{ $-5$ , $0$ , $1$, $2$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $2$ , +/ $5$ , -/ $-4$ , +/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici le tableau de variations d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-4$ , $-1$ , $2$, $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $2$ , -/ $-3$ , +/ $3$ , -/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
		\task Décrivez par des phrases le sens de variation de la fonction $f$.
		\task Préciser les extrema éventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracer une courbe pouvant représenter graphiquement la fonction $f$.% dans un repère.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici le tableau de variations d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-1$ , $0$ , $2$, $+\infty$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $-2$ , +/ $0$ , -/ $-3$ , +/}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$?
		\task Décrivez par des phrases le sens de variation de la fonction $f$.
		\task Préciser les extrema éventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracez une courbe pouvant représenter graphiquement la fonction $f$.% dans un repère.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-4$ , $1$ , $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $0$ , -/ $-2$ , +/ $3$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Décrivez par des phrases les variations de $f$.
		\item Comparez les nombres:
		\begin{tasks}(2)
			\task $f(2)$ et $f(4)$.
			\task $f(-3)$ et $f(0)$.
		\end{tasks}
		\item Expliquez pourquoi on ne peut comparer $f(0)$ et $f(2)$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère trois demi-cercles tels que représentés ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\rayon{2};
			\coordinate (A) at (-5,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:180] plot({5*cos(\x)},{5*sin(\x)});
			\fill[color=orange , opacity=0.25] (A) -- plot [domain=0:180] ({\rayon*cos(\x)+-5+\rayon},{\rayon*sin(\x)})-- (B) -- cycle;
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:180] plot({\rayon*cos(\x)+-5+\rayon},{\rayon*sin(\x)});
			\fill[color=Green , opacity=0.25] (A) -- plot [domain=0:180] ({(10-2*\rayon)/2*cos(\x)+5-(10-2*\rayon)/2},{(10-2*\rayon)/2*sin(\x)}) -- (B) -- cycle;
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(10-2*\rayon)/2*cos(\x)+5-(10-2*\rayon)/2},{(10-2*\rayon)/2*sin(\x)});
			\draw[black] (-5,0) -- (5,0);
			\draw [black,>=latex,<->] (-5,-1) -- ({-5+2*\rayon},-1) node[midway,below] {$x$};
			\draw [black,>=latex,<->] (-5,-2) -- (5,-2) node[midway,below] {$10$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturez l'évolution de l'aire du demi-disque orange et celle du demi-disque vert lorsque $x$ augmente.
		\item ~
		
		\noindent\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
			Soient $f$ (respectivement $g$, resp. $h$) la fonction définie sur $]0;10[$ qui à $x$ associe l'aire du demi-disque orange (resp. du demi-disque vert, de la partie colorée).
	
			On a tracé ci-contre les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$.
			\begin{enumerate}
				\item Associez à $f$, $g$ et $h$ leurs courbes représentatives.
				\item Avec la précision permise par le graphique décrivez les variations de $h$.
			\end{enumerate}
			&
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.1]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{10.2};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{42};
				%Les deux grilles
				%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=2cm, ystep=10cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
				%repere orthonorme
				\coordinate (O) at ({0},{0});
				\draw (O) node[below left] {$O$};
				%Graduations
				\foreach \x in {2,10} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%fonction
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot({\x},{3.1416*\x/2*\x/2/2});
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:10] plot({\x},{3.1416*(10-2*\x/2)*(10-2*\x/2)/4/2});
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:10] plot({\x},{3.1416*\x/2*\x/2/2+3.1416*(10-2*\x/2)*(10-2*\x/2)/4/2});
				\draw (5,25) node {\color{black}$\mathscr{C}_1$};
				\draw (2,7) node {\color{blue}$\mathscr{C}_1$};
				\draw (8,7) node {\color{red}$\mathscr{C}_3$};
				\end{tikzpicture}
		\end{tabular}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Conjecturez la variation de $f$ sur $I$ dans les cas suivants.
	\begin{tasks}(1)
		\task $f:x \mapsto 0,1x^4-0,8x^2-1$ et $I=[-4;4]$.
		\task $f:x \mapsto x^3-0,8x^2+1$ et $I=[-2;3]$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Montrez que la fonction $f:x \mapsto x^3+\sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	La fonction $f$ est définie, sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Conjecturez l'existence d'un maximum en précisant sa valeur et la valeur pour laquelle il est atteint.
		\item Démontrez que, pour tout réel $x$, $f(x)\leqslant 1$.
		\item Démontrez que $1$ est le maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On représentée une fonction définie sur $[0;4]$.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{5cm}m{7cm}}
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{0};
		\def\xcoinhautdroit{4.5};
		\def\ycoinbasgauche{0};
		\def\ycoinhautdroit{3.5};
		%Les deux grilles
		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		%\draw (I) node[below left] {$I$};
		%\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		%\draw (J) node[below left] {$J$};
		%\draw (J) node {$\bullet$};
		%Graduations
		\foreach \x in {1, 2, 3, 4} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,3} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%fonction
		\draw[orange, very thick][samples=100,domain=0:1] plot({\x},{-(\x-2)*(\x-2)+4});
		\draw[orange, very thick][samples=100,domain=3:4] plot({\x},{-(\x-2)*(\x-2)+4});
		\draw [orange,very thick] (1,3) -- (3,3);
		\draw (4,0) node {$\bullet$};
		\draw (1,3) node {$\bullet$};
		\draw (3,3) node {$\bullet$};
		\draw (3.5,2.75) node {$\mathscr{C}_f$};
		%Ligne définie par des points
		%\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	&
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Résolvez graphiquement l'équation $f(x)=3$.
		\item Décrivez par des phrases en français les variations de $f$ sur son domaine de définition.
		\item La fonction $f$ admet-elle un maximum sur $[0;4]$? Si oui, combien vaut-il et pour quelles valeurs de $x$ est-il atteint?
	\end{enumerate}
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-6;8]$, vérifie:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $f$ est croissante sur les intervalles $[-6,-2]$ et $[4;8]$;
		\item $f$ est décroissante sur $[-2;4]$;
		\item $f(-2)=4$;
		\item le minimum de $f$ sur $[-6;8]$ est égale à $-3$ et est atteint pour $x=4$.
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$ avec les données ci-dessus.
		\item Le nombre $2$ a au moins deux antécédents par $f$: $-4$ et $8$. De plus la courbe représentative de $f$ dans un repère passe par les points $A(-6,-2)$ et $B(6,-2)$ et qu'elle coupe l'axe des ordonnées au point $C$ d'ordonnée $3$. Complétez le tableau de variation avec toutes les informations supplémentaires concernant $f$ et sa courbe représentative.
		\item Tracez une courbe satisfaisant à toutes les conditions concernant $f$ et précisez les coordonnées de $C$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quel est le nombre d'antécédents de $2$?
			\item En combien de points la courbe tracée coupe-t-elle l'axe des abscisses? Traduisez ce résultat en termes d'antécédents.
		\end{enumerate}
		\item Pouvez-vous imaginer plusieurs courbes satisfaisant toutes les conditions sur $f$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Voici des informations concernant une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1;5]$.
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt} 
		\item  $f(-1)=f(5)=0$ 
		\item $f(2)=3$ \hfill \item $f(4)=-2$
		\item $f$ est croissante sur $[-1;2]$ et sur $[4;5]$;
		\item $f$ est décroissante sur $[2;4]$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Tracer deux courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction $f$.% dans un repère.
		\item Préciser les extremums éventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Pour chaque tableau de variations ci-dessous, déterminez si la fonction représentée admet:
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item un maximum et/ou un minimum;
		\item  absolu et/ou  relatif.
	\end{itemize}
	  
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		
		\begin{tikzpicture}[general, scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=3.7, color, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $0$ , $9$}
		\tkzTabVar{ +/ , -/ $+8$ , +/ }
		\end{tikzpicture}
		
		\item 
		\begin{tikzpicture}[general, scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $-3$ , 5, $+\infty$}
		\tkzTabVar{ +/  , -/ $-10$ ,+/$8$, -/ }
		\end{tikzpicture}
		
		\item 
		\begin{tikzpicture}[general, scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $h(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $-2$ ,7, $+10$}
		\tkzTabVar{ -/  , +/ $0$ , -/$-30$, +/ $7$}
		\end{tikzpicture}
		
		\item 
		\begin{tikzpicture}[general, scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=3.7, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $m(x)$ / 2}
		{ $-\infty$ , $15$ , $+\infty$}
		\tkzTabVar{ -/  , +/ $25$ , -/ }
		\end{tikzpicture}
		
		\item 
		\begin{tikzpicture}[general, scale=0.82]
		\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=7.4, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $p(x)$ / 2}
		{ $1$ ,  $+\infty$}
		\tkzTabVar{ -/ $-5$ ,  +/ }
		\end{tikzpicture}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	En utilisant les tableaux de variation, de valeurs et de signe de la fonction $f$ donnée ci-dessous, dessinez avec soin, dans un repère, une courbe représentative cohérente avec ces trois tableaux.

	\noindent \begin{tabular}{m{8cm}m{4cm}}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-6$ ,$-1$, $3$, $5$}
	\tkzTabVar {-/ $-5$, + / $1$ , - / $-4$, + / $6$ / }
	\end{tikzpicture}
	&
	$\begin{array}{|c|c|c|c|}
		\hline
		x & -4 & 1 & 4
		\\
		\hline
		f(x) & -3 & 0,5 & 5
		\\
		\hline
	\end{array}$
	\end{tabular}
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
 	{$-6$ ,$-2$, $2$, $\np{3,5}$, $5$}
	\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}%
	\end{tikzpicture}
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2014&page_gauche=121}{Exercices 7 page 121 jusqu'à 12 page 122}: passer de la courbe au tableau de variation et réciproquement.
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	On peut justifier l'exercice en parlant d'un choix de dessin de logo.
	
	\end{notabene}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6.5cm}m{0.5cm}m{4cm}}
	
	Soit $ABCD$ le carré de côté 5 représenté ci-contre.\newline
	$M$, $N$, $P$ et $Q$ sont des points mobiles respectivement sur les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ de telle sorte que les longueurs $AM$, $AQ$, $CN$ et $CP$ restent égales.\newline 
	On a donc: $AM=AQ=CN=CP$.\newline
	Le problème a pour objectif d'étudier l'aire (variable) du quadrilatère $MNPQ$.
	
	&&
	
	\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\x{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (0,5);
			\coordinate (C) at (5,5);
			\coordinate (D) at (5,0);
			\coordinate (M) at (0,\x);
			\coordinate (N) at ({5-\x},5);
			\coordinate (P) at (5,{5-\x});
			\coordinate (Q) at ({\x},0);
			\draw (A)node[below left]{$A$};
			\draw (B)node[above left]{$B$};
			\draw (C)node[above right]{$C$};
			\draw (D)node[below right]{$D$};
			\draw (M)node[left]{$M$};
			\draw (N)node[above]{$N$};
			\draw (P)node[right]{$P$};
			\draw (Q)node[below]{$Q$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[color=red , opacity=0.5] (M)--(N)--(P)--(Q)--cycle;	
			\draw[red](M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
	\end{tikzpicture}
	
	\end{center}
	\\ \end{tabular}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Choix d'une variable.
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item À quelle(s) variable(s) peut-on associer l'aire de $MNPQ$? 
			\begin{notabene}
			(Autrement dit l'aire est une fonction de quelle variable?)
			\end{notabene}
			\item On note $x=AQ$. Quelles sont les valeurs que peut prendre $x$?
		\end{enumerate}
		
		\item Détermination de l'aire par un calcul.
			
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Exprimez en fonction de $x$ l'aire de chacun des triangles $AMQ$ et $BMN$.
			\item Déduisez-en que l'aire du quadrilatère $MNPQ$ se calcule avec la formule $10x-2x^2$.
			\item Précisez, avec les notations fonctionnelles, la fonction $f$ que l'on a construit.
		\end{enumerate}
		
		\item Découverte des variations de la fonction $f$.
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Recopiez et complétez le tableau de valeurs ci-dessous pour $f(x)=10x-2x^2$.
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5\\ \hline
			$f(x)$ & &&&&&&&&&& \\ \hline
			\end{tabular}						
			\item Une autre façon de voir les choses est de tracer la courbe représentative de $f$ avec la calculatrice.
					
			Qu'apporte de plus cette méthode par rapport à la précédente?	
			\item Comment varie $f(x)$ lorsque $x$ augmente?
			\item Tracez le tableau de variation de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.	
			\item Comment obtenir une aire maximale pour $MNPQ$?
		\end{enumerate}		
		\item Les résultats ont-ils été démontrés ou conjecturés?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
			\item 
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
			\item 
			\item 
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
				
				\begin{center}
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
						\hline
						\rowcolor{violet!50}$x$ & 0 & $0,5$ & 1 & $1,5$ & 2 & $2,5$ & 3 & $3,5$ & 4 & $4,5$ & 5\\ \hline
						\rowcolor{orange!50}$f(x)$ & 0 & $4,5$ & 8 & $10,5$ & 12 & $12,5$ & 12 & $10,5$ & 8 & $4,5$ & 0 \\ \hline
					\end{tabular}
				\end{center}
			
			\item 
				
				~
				
				\begin{center}
					\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme/2ieme_21_monotonie_01.ggb}{\includegraphics[scale=0.8]{2ieme_21_monotonie_01.png}} \newline
					\emph{\small Cliquez sur l'image pour obtenir la version dynamique.}
				\end{center}
			
			\item 
				
				\begin{itemize}
					\item lorsque $x$ augmente passant de $0$ à $2,5$ l'aire $MNPQ$ augmente elle aussi passant de $0$ à $12,5$;
					\item lorsque $x$ augmente encore passant de $2,5$ à $5$ l'aire de $MNPQ$ au contraire diminue passant progressivement de $12,5$ à $0$.
				\end{itemize} 
			
			\item 
				
				~
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=2, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f$ /2} {$0$, $2.5$ , $5$}
					\tkzTabVar{-/ $0$ / , +/ $12.5$ / , -/ $0$ /}
					\end{tikzpicture}
				\end{center}	
			\item 
		\end{enumerate}		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	On considère le triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=8$ et $AC=6$. Un point $R$ est mobile sur le segment $[AB]$. On place les points $M$ et $S$ sur les segments $[BC]$ et $[AC]$ de telle sorte que $ASMR$ soit un rectangle.
	
	\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\x{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (C) at (0,6);
			\coordinate (R) at (\x,0);
			\coordinate (M) at (\x,{-0.75*\x+6});
			\coordinate (S) at (0,{-0.75*\x+6});
			\draw (A)node[below left]{$A$};
			\draw (B)node[below right]{$B$};
			\draw (C)node[above left]{$C$};
			\draw (S)node[left]{$S$};
			\draw (M)node[above right]{$M$};
			\draw (R)node[below]{$R$};
			\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(A);
			\draw[orange, thick](A)--(R)--(M)--(S)--(A);
			\fill[color=orange , opacity=0.5] (A)--(R)--(M)--(S)--cycle;	
	\end{tikzpicture}	
	\end{center}
	
	On considère la fonction $f$ qui à la longueur $AR$ associe l'aire du rectangle $ASMR$.
	
	On cherche ici à rendre l'aire du rectangle maximale.
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dessinez à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique la figure. On s'assurera de la réussite de la construction de la façon suivante: lorsqu'on déplace le point $R$ sur le segment $[AB]$, le quadrilatère $ASMR$ reste un rectangle.
		\item Dessinez le polygone (avec la commande correspondante dans geogebra) $ASMR$ et remarquez que l'aire du rectangle est alors indiquée dans la colonne algèbre.
		\item En déplaçant le point $R$ conjecturez l'aire maximale du rectangle $ASMR$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	À l'occasion d'un festival pyrotechnique, un artificier prépare le lancement de fusées à partir d'une plateforme située à $8$ mètres de hauteur. Il dispose de deux types de fusées notées $A$ et $B$.
	
	\textbf{Partie A: fusées de type $A$.}
	
	\noindent\begin{tabular}{m{9cm}m{4cm}}
	Le hauteur $h$, en mètres, atteinte par les fusées de type $A$ en fonction de leur temps de vol $t$, en dixièmes de seconde, est modélisée par la courbe ci-contre.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Précisez les légendes et unités pour chaque axe du graphique.
		\item Avec la précision permise par le graphique répondez aux questions suivantes.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item À quelle hauteur une fusée arrive-t-elle au bout de $15$ dixièmes de seconde?
			\item À quels temps de vol la hauteur d'une fusée est-elle égale à $40\ \mathrm{m}$?
			\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par une fusée?
			\item Au bout de combien de temps retombe-t-elle au sol?
			\item Décrivez en français la variation de la hauteur et tracez le tableau correspondant.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	&
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.1,yscale=0.05]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{0};
	\def\xcoinhautdroit{30};
	\def\ycoinbasgauche{0};
	\def\ycoinhautdroit{90};
	%Les deux grilles
	%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=5cm, ystep=20cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$t$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$h$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {5, 10, ...,25} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {20,40,...,80} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:24.8] plot({\x},{-(sqrt(72)/12*\x-sqrt(72)/12*12)^2+80});
	\end{tikzpicture}
	\end{tabular}
	
	\textbf{Partie B: fusées du type $B$.}
	
	Pour les fusées du type $B$, la hauteur, en mètres, en fonction du temps de vol, en dixièmes de seconde, est modélisé par la fonction $g$ définie par $g(t)=-0,5(t-10)^2+58$ pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0;20]$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez l'image de $6$ par $g$. Que représente le résultat?
		\item Donnez le tableau de valeur de $g$ pour $t$ allant de $0$ à $20$ avec un pas de $2$.
		\item Déduisez-en au bout de quels temps de vol la hauteur d'une fusée est de $40\ \mathrm{m}$.
		\item L'artificier souhaite faire exploser ses fusées de type $B$ lorsqu'elles seront à la hauteur maximale.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminez le temps de vol qu'il doit programmer avant l'explosion.
			\item Quelle est alors la hauteur maximale atteinte?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}	
	%Exercices 34 page 258 à 51 page 259 du manuel Indice. Tableaux de variation, description des variations, comparaison d'images. Pris: 37, 38, 39, 41, 44, 45, 46, 48
	
	%Exercices 52 page 259 à 60 page 261 du manuel Indice. Extrema.
	
\end{exercice}

\newpage ~
\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}