%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{17 Inéquations produit nul.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{17 Inéquations produit ou quotient nul.}

\begin{lecon}
	
	Nous savons depuis le collège résoudre des équations du premier degré et sinon nous essayons d'utiliser des équations produit-nul.
	
	Nous allons avoir sensiblement la même démarche pour les inéquations.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Exercice à faire pour mettre en évidence les difficultés de l'étude du signe d'une fonction.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		L'objectif de l'exercice suivant est de montrer aux élèves les difficultés de cette question.
		
		J'attends des démarches de conjectures: essais et calculatrice. Mais aussi des démarches de résolutions infructueuses faisant appel à la résolution séparée des deux équations de degré 1.
		
	\end{notabene}
	
	Essayez de résoudre, dans l'ensemble des réels, les inéquations d'inconnue $x$.
	
	\begin{align*}
		(E_1) &\quad -3x+1<0 \\
		(E_2) &\quad 2(x-3)(-7x+14)>0
	\end{align*}
	
\end{exercice}

\subsection{Étude du signe d'une fonction factorisée.}

\begin{lecon}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}{\color{orange}Pour étudier le signe d'une fonction factorisée il faut étudier le signe de chaque facteur en regroupant les résultats dans un unique tableau de signe.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le signe de la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ par, pour tout $x\in [-10;10]$ \[f(x)=(3x-7)x^2(-x+1) \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}La fonction $f$ est un produit de trois fonctions: $g(x)=3x-7$, $h(x)=x^2$ et $k(x)=-x+1$ quelque soit $x$ dans $[-10;10]$. Pour étudier le signe de $f$ nous allons donc rechercher le signe de ces trois fonctions.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Étudions le signe de $g(x)=3x-7$ sur $[-10;10]$.}
		
		$g$ est une fonction affine de la forme $g(x)=ax+b$ avec $a=3$ et $b=-7$. Puisque son coefficient directeur $a$ est strictement positif nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $g$ s'annule en $\color{blue}-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$.
				\item $g$ est strictement négative sur $\left[ -10 ; \frac{7}{3} \right[$.
				\item $g$ est strictement positive sur $\color{violet} \left] \frac{7}{3} ; 10 \right]$.
			\end{enumerate}
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{notabene}
			
			Pour étudier le signe de $g$, qui est une fonction affine, il faut résoudre $g(x)>0$, $g(x)=0$ et $g(x)<0$ (en fait il suffit d'en résoudre deux parmi les trois).
			\begin{enumerate}[.]
				\item 
				\begin{align*}
					g(x)>0 & \Leftrightarrow 3x-7>0 \\
					&\Leftrightarrow 3x-7+7>0+7\\
					&\Leftrightarrow 3x>7\\
					&\Leftrightarrow \frac{3x}{3}>\frac{7}{3}\\
					&\Leftrightarrow x> \frac{7}{3}
				\end{align*}
				
				Donc $g(x)>0$ si et seulement si $\color{violet}x\in \left] \frac{7}{3},10 \right]$.
				
				\item 
				\begin{align*}
					g(x)=0 & \Leftrightarrow 3x-7=0 \\
					&\Leftrightarrow 3x-7+7=0+7\\
					&\Leftrightarrow 3x=7\\
					&\Leftrightarrow \frac{3x}{3}=\frac{7}{3}\\
					&\Leftrightarrow x= \frac{7}{3}
				\end{align*}
				
				Donc $g(x)=0$ si et seulement si ${\color{blue}x=\frac{7}{3}}\  (\in [-10,10])$.
				
				
				\item Donc $g(x)<0$ si et seulement si $x\in \left[-10,  \frac{7}{3} \right[$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{notabene}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $h(x)=x^2$ sur $[-10;10]$.}
		
		$h$ est la restriction de la fonction carrée à l'intervalle $[-10 ; 10]$, donc, d'après le cours
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $h(x)>0$ si et seulement si $\color{violet}x\in [-10,0[ \cup ]0,10]$.
				\item $h(x)=0$ si et seulement si $\color{blue}x=0$.
			\end{enumerate}
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $k(x)=-x+1$ sur $[-10;10]$.}
		
		$k$ est une fonction affine de la forme $k(x)=ax+b$ avec $a=-1$ et $b=1$. Puisque son coefficient directeur $a$ est strictement négatif nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item $k$ s'annule en $\color{blue}-\frac{b}{a}=-\frac{1}{-1}=1$.
				\item $g$ est strictement positive sur $\color{violet} \left[ -10 ; 1 \right[$.
				\item $g$ est strictement négative sur $\left] 1 ; 10 \right]$.
			\end{enumerate}
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{notabene}
			
			De même que pour $g$:
			\begin{enumerate}[.]
				\item 
				\begin{align*}
					k(x)>0 & \Leftrightarrow -x+1>0 \\
					&\Leftrightarrow 1>x
				\end{align*}
				
				Donc $g(x)>0$ si et seulement si $\color{violet}x\in \left[ -10; 1\right[$.
				
				\item 
				\begin{align*}
					k(x)=0 & \Leftrightarrow -x+1=0 \\
					&\Leftrightarrow 1=x
				\end{align*}
				
				Donc $k(x)=0$ si et seulement si ${\color{blue}x=1}\  (\in [-10,10])$.
				
				\item Donc $k(x)<0$ si et seulement si $x\in \left] 1,  10 \right]$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
	{\color{orange}Nous regroupons à présent le signe des trois facteurs dans un unique tableau de signe. Pour cela il faut suivre les étapes suivantes.
		
		\begin{enumerate}
			\item Les lignes: $\color{red}x$, les facteurs $\color{red}g(x)=3x-7$, $\color{red}h(x)=x^2$, $\color{red}k(x)=-x+1$, et leur produit $\color{red}f(x)$.
			\item Indiquer l'ensemble de définition de $x$: $\color{Emerald}[-10,10]$.
			\item Les {\color{blue}valeurs de $x$ qui annulent les facteurs} $g$, $h$ ou $k$ (placés dans l'ordre croissant). Ces valeurs indiquent les colonnes du tableau. Puis les {\color{black}zéros} en dessous indiquant le facteur qu'elles annulent.
			\item Puis on complète {\color{violet}les lignes de signes du tableau} grâce aux résolutions d'équations et {\color{violet}inéquations} faites précédemment.
			
			Par exemple: $g(x)>0$ si et seulement si $x\in \left] \frac{7}{3},10 \right]$, on place donc des signes $+$ après le zéro de la ligne.
			\item Il est alors possible de compléter la dernière ligne de signe en utilisant la règle sur le signe d'un produit. Par exemple, pour $x\in [-10,0[$, $3x-7$ est négatif, $x^2$ est positif et $-x+1$ est positif donc leur produit est négatif.
		\end{enumerate}
	}
	
	\medskip
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$\color{red}x$ /0.8, $\color{red}3x-7$ /0.8, $\color{red}x^2$/0.8, $\color{red}-x+1$ /0.8, $\color{red}f(x)$/0.8}
			{$\color{Emerald}-10$ ,$\color{blue}0$, $\color{blue}1$, $\color{blue}\frac{7}{3}$, $\color{Emerald}10$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,{\color{violet}+},}%
			\tkzTabLine{,{\color{violet}+},z,{\color{violet}+},t,{\color{violet}+},t,{\color{violet}+},}%
			\tkzTabLine{,{\color{violet}+},t,{\color{violet}+},z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,-,z,{\color{violet}+},z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	{\color{orange}La rédaction adoptée ci-dessus est très détaillée nous adopterons une rédaction un peu plus légère dans la pratique.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour vérifier ou conjecturer le tableau de signe il est possible de faire une lecture graphique sur la calculatrice.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le signe de $g:\left\{\begin{array}{ccl} [ -6; 4] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & (x+4)(-x+2) \end{array} \right. $
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Étudions le signe de $g$.}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $h:x \mapsto x+4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=4$. $h$ est strictement croissante car $a>0$. $h$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$.
		
		\item $k:x \mapsto -x+2$ est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=2$. $k$ est strictement décroissante car $a<0$. $k$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{2}{-1}=2$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x+4$ /0.8, $-x+2$ /0.8, $g$ /0.8}
			{$-6$ ,$-4$, $2$, $4$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Inéquation produit-nul.}

\begin{lecon}
	
	{\color{WildStrawberry}Résoudre une inéquation produit-nul revient à étudier le signe de la fonction associée.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'inéquation $-2(x+1)(-7-x)\geqslant 0$ dans $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $f:x\mapsto -2(x+1)(-7-x)$ quelque soit $x$ réel.
	
	{\color{orange}Nous devons trouver pour quelles valeurs de $x$ $f(x)$ est positif ou nul.}
	
	\medskip
	\objectif{Étudions le signe de $f$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $-2$ est strictement négatif.
		\item $x\mapsto x+1$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=1$, elle s'annule en $-1$ et, son coefficient directeur étant strictement positif elle est strictement croissante.
		\item $x\mapsto -7-x$ est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=-7$, elle s'annule en $-\frac{-7}{-1}=-7$ et, son coefficient directeur étant strictement négatif, elle est strictement décroissante.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisions:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2$ /0.8, $x+1$ /0.8, $-7-x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-\infty$, $-7$, $-1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation $-2(x+1)(-7-x)\geqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty; -7 \right] \cup \left[ -1 ; +\infty \right[$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole page 121 exercice 16, 17, 18 page 123 exercice 34
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $(x-5)(-2x+6)\geqslant 0$
			\item $(3x-5)(x+4)>0$
			\item $(x+3)(-x+6)\leqslant 0$
			\item $(-x+4)(3x+2)>0$
			\item $(10x+5)(-3x+4)>0$
			\item $(x-4)(3-x)\leqslant 0$
			\item $(-2x+3)(5+x)>0$
			\item $3x(3x-5)<0$
			\item $-(x+1)^2(2x-1)\geqslant 0$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{9}
			\item $-2x(x-1)(4-x)\leqslant 0$
			\item $x^2(4-x)(-2x+1)>0$
			\item $x^3(x+1)<0$
			\item $(x^2+1)(x-1)\geqslant 0$
			\item $(x-2)(4-x)<0$
			\item $\left( \frac{3}{4}-x \right) \left( x- \frac{7}{6} \right)\geqslant 0$
			\item $(x+\sqrt{3})(x-4)\geqslant 0$
			\item $(3x-7)(7-3x)\leqslant 0$
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Dans tous les cas nous noterons $P(x)$ l'expression factorisée (\emph{i.e.} sous forme de produit).
	
	{\color{orange}Le corrigé ici ne détail pas l'étude du signe de chaque facteur.}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-5$ /0.8, $-2x+6$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $3$, $5$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-5)(-2x+6)\geqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left[ 3;5 \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $3x-5$ /0.8, $x+4$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-4$, $\frac{5}{3}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3x-5)(x+4)> 0$ est $\mathcal{S}= \left] - \infty; 4 \right[ \cup \left] \frac{5}{3} ;+\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x+3$ /0.8, $-x+6$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-3$, $6$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x+3)(-x+6)\leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] - \infty; -3 \right] \cup \left[ 6; +\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-x+4$ /0.8, $3x+2$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-\frac{2}{3}$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(-x+4)(3x+2)>0$ est $\mathcal{S}= \left] - \frac{2}{3}; 4 \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $10x+5$ /0.8, $-3x+4$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(10x+5)(-3x+4)>0$ est $\mathcal{S}= \left] - \frac{1}{2}; \frac{4}{3} \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-4$ /0.8, $3-x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $3$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,+-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-4)(3-x)\leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty; 3 \right] \cup \left[ 4; +\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2x+3$ /0.8, $5+x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-5$, $\frac{3}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(-2x+3)(5+x)> 0$ est $\mathcal{S}= \left] -5; \frac{3}{2} \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $3x$ /0.8, $3x-5$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $0$, $\frac{5}{3}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $3x(3x-5)< 0$ est $\mathcal{S}= \left] 0; \frac{5}{3} \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-1$ /0.8, $(x+1)^2$ /0.8, $2x-1$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $0$, $\frac{1}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,+,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $-(x+1)^2(2x-1) \geqslant 0$ est $\mathcal{S}=\left] -\infty ; \frac{1}{2} \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $-2$ /0.8, $x$ /0.8, $x-1$ /0.8, $4-x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $0$, $1$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x(x-1)(4-x) \leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; 0 \right] \cup [1;4]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^2$ /0.8, $4-x$ /0.8, $-2x+1$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $0$, $\frac{1}{2}$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,+,t,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,+,z,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2(4-x)(-2x+1)>0$ est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; 0 \right[ \cup \left] 0; \frac{1}{2} \right[ \cup ]4; + \infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^3$ /0.8, $x+1$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-1$, $0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^3(x+1)<0$ est $\mathcal{S}= ]-1; 0[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^2+1$ /0.8, $x-1$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x^2+1)(x-1)\geqslant 0$ est $\mathcal{S}= [1; +\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x-2$ /0.8, $4-x$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $2$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-2)(4-x)<0$ est $\mathcal{S}= ] -\infty ;2[ \cup ]4; +\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\frac{3}{4} -x$ /0.8, $x-\frac{7}{6}$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{6}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left( \frac{3}{4} -x \right) \left( x-\frac{7}{6} \right) \geqslant 0$ est $\mathcal{S}= \left[ \frac{3}{4} ; \frac{7}{6} \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x+ \sqrt{3}$ /0.8, $x-4$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $-\sqrt{3}$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x+\sqrt{3})(x-4) \geqslant 0$ est $\mathcal{S}= [ \sqrt{3} ; 4 ] $.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $3x-7$ /0.8, $7-3x$ /0.8,$P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ , $\frac{7}{3}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3x-7)(7-3x) \leqslant 0$ est $\mathcal{S}= \mathbb{R}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Inéquation se ramenant à une inéquation produit-nul.}

\begin{notabene}
	
	{\color{WildStrawberry}Pour résoudre une inéquation qui n'est pas linaire du premier degré nous essaierons de nous ramener à une inéquation produit-nul en procédant comme pour les équations produit-nul.}
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Justifiez que les inéquations suivantes sont équivalentes \[ (2x-4)(x+5)+x>-5 \text{ et } (2x-3)(x+5)>0 \] puis résolvez l'inéquation $(2x-4)(x+5)+x>-5$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item 
		
		\begin{align*}
			(2x-4)(x+5)+x>-5 &\Leftrightarrow (2x-4)(x+5)+x+5>0\\
			&\Leftrightarrow (2x-4)(x+5)+1 \times (x+5) >0\\
			&\Leftrightarrow \left[ (2x-4)+1 \right](x+5)>0\\
			&\Leftrightarrow (2x-4+1)(x+5)>0\\
			&\Leftrightarrow (2x-3)(x+5)>0
		\end{align*}
		
		\item \objectif{Résolvons l'inéquation $(2x-3)(x+5)>0$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto 2x-3$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=-3$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$.
			\item $g:x \mapsto x+5$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=5$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $2x-3$ /0.8, $x+5$ /0.8, $(2x-3)(x+5)$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-5$, $\frac{3}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $(2x-4)(x+5)+x>-5$ est $\mathscr{S}= ]-\infty;-5[ \cup \left]\frac{3}{2};+\infty \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2\leqslant 16$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		x^2 \leqslant 16 &\Leftrightarrow x^2-16 \leqslant 0\\
		&\Leftrightarrow (x-4)(x+4) \leqslant 0
	\end{align*}
	
	Étudions le signe de $h:x \mapsto (x-4)(x+4)$.
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f:x \mapsto x-4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=-4$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$.
		\item $g:x \mapsto x+4$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=4$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-4$ /0.8, $x+4$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-4$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $x^2\leqslant 16$ est $\mathscr{S}= [-4;4]$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 35, page 123 exercice 34
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations suivantes dans l'ensemble des réels.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x^2-4x\leqslant -2x-1$
		\task $3x(x+3)-(x+3)^2\leqslant 0$
		\task $x^3+2x^2+x\geqslant 0$
		\task $x(x+6)>3(x+6)$
		\task $2x(x-3)+3x-9<6x-18$
		\task $x^2(1-3x)+4(6x-2)\geqslant 0$
		\task $(1-2x)x-4x(x+6)\leqslant 0$
		\task $7-x^2<2x-2\sqrt{7}$
		\task $(x^2-1)+2x-2>6x-6$
		\task $x^2 \leqslant 10$
		\task $x^2 \leqslant -16$
		\task $x^2 \leqslant 0$
		\task $x^2<8$
		\task $x^2 \leqslant 144$
		\task $x^2 \leqslant 20$
		\task $x^2-4+(x+2)(2x+5)<0$
		\task $(x+1)(x-3)\geqslant x^2-9$
		\task $4x-4+(x-1)(x-4)+x^2-1>0$
		\task $(x+5)^2\leqslant (x+5)(x+3)$
		\task $(2x-1)(x+3)\geqslant \left( x-\frac{1}{2} \right) (x+6)$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $(x-1)^2\le 0$. $\mathscr{S}= \{ 1\}$.
		
		\task $(x+3)(2x-3)\le 0$. $\mathscr{S}= \left[-3 ; \frac{3}{2} \right]$.
		
		\task $x(x+1)^2\ge 0$. $\mathscr{S}= \{ -1 \} \cup [0 ;+\infty[$.
		
		\task $(x-3)(x+6)>0$. $\mathscr{S}= ]-\infty ; -6[ \cup ] 3;+ \infty[$.
		
		\task $(x-3)(2x-3)<0$. $\mathscr{S}= \left] \frac{3}{2} ; 3 \right[$.
		
		\task %{\color{red}Merci M. Permalnaïck.}
		
		\begin{align*}
			x^2(1-3x)+4(6x-2) &\geqslant 0\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			x^2(1-3x)+4 \times (-2)(1-3x) &\geqslant 0\\
			x^2(1-3x)-8(1-3x) &\geqslant 0\\
			[x^2-8] (1-3x) &\geqslant 0\\
			[x^2-(2\sqrt{2})^2 ] (1-3x) &\geqslant 0\\
			(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})(1-3x) &\geqslant 0
		\end{align*}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-2\sqrt{2}$ /0.8, $x+2\sqrt{2}$ /0.8, $1-3x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-2\sqrt{2}$, $\frac{1}{3}$, $2\sqrt{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,t,-,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$\mathscr{S}= \left]-\infty ; -2\sqrt{2} \right] \cup \left[ \frac{1}{3} ; 2\sqrt{2} \right]$.
		
		\task $x(-6x-23)\leqslant 0$. $\mathscr{S}=\left] -\infty, -\frac{23}{6} \right] \cup \left[ 0,+\infty\right[$.
		
		\task $(\sqrt{7}-x)(x+\sqrt{7}+2)<0$. $\mathscr{S}= \left]-\infty,-\sqrt{7}-2 \right[ \cup \left]\sqrt{7},+\infty\right[$.
		
		\task $(x-1)(x-3)>0$. $\mathscr{S}=]-\infty,1[ \cup ]3,+\infty[$.
		
		\task $(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\leqslant 0$. $\mathscr{S}=]-\infty,\sqrt{10}[ \cup ]\sqrt{10},+\infty[$.
		
		\task $\emptyset$
		
		\task $\{ 0\}$.
		
		\task $(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})<0$. $\mathscr{S}=]-2\sqrt{2},2\sqrt{2}[$.
		
		\task $(x-12)(x+12)\leqslant 0$. $\mathscr{S}=]-\infty,-12] \cup [12,+\infty[$.
		
		\task $(x-2\sqrt{5})(x+2\sqrt{5}) \leqslant 0$. $\mathscr{S}=[-2\sqrt{5},2\sqrt{5}]$.
		
		\task $3(x+2)(x+1) <0$. $\mathscr{S}=]-2,-1[$.
		
		\task $-2(x-3) \geqslant 0$. $\mathscr{S}=]-\infty,3]$.
		
		\task $(x-1)(2x+1)>0$. $\mathscr{S}=\left]-\infty,-\frac{1}{2} \right[ \cup ]1,+\infty[$.
		
		\task $2(x+5)\leqslant 0$. $\mathscr{S}=]-\infty,-5]$.
		
		\task $x\left( x-\frac{1}{2} \right)\geqslant 0$. $\mathscr{S}=]-\infty,0] \cup[\frac{1}{2},+\infty[$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Inéquation quotient.}

\begin{lecon}
	
	{\color{WildStrawberry} Pour étudier le signe d'un quotient nous étudions le signe du numérateur puis du dénominateur et nous utilisons la même règle que pour le signe d'un produit. Il faut cependant rester vigilant et exclure les valeurs interdites.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez l'inéquation $\displaystyle \frac{-x+1}{-2x+8}>0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{-x+1}{-2x+8}$.}
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f:x \mapsto -x+1$ est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=1$. $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{1}{-1}=1$.
		\item $g:x \mapsto -2x+8$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=8$. $a<0$ donc $g$ est strictement décroissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-2}=4$.
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-x+1$ /0.8, $-2x+8$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$1$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	{\color{orange}Il ne faut oublier d'exclure $4$ de l'ensemble de définition (double barre) car il est impossible de diviser par zéro.}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $\frac{-x+1}{-2x+8}>0$ est $\mathscr{S}= \left]-\infty; 1 \right] \cup \left] 4;+\infty\right[$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 127 exercice 49, 
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations dans $\mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\dfrac{2x-4}{x+2}\leqslant 0$
		\task $\dfrac{-2x+8}{3x-2}\leqslant 0$
		\task $\dfrac{x+3}{2x-1}\ge 0$
		\task $\dfrac{2-x}{5-2x}\le 0$
		\task $\dfrac{3x-1}{-x+5}>0$
		\task $\dfrac{5x(x-2)}{4x+1}<0$
		\task $\dfrac{2x^2}{(-x+1)(x+3)}\ge 0$
		\task $\dfrac{-x(x-4)}{2+x^2}\le 0$
		\task $\dfrac{(x+1)(x-2)}{3-x}>0$
		\task $\dfrac{9-4x}{11-5x}<0$
		\task $\dfrac{-5+4x}{2x-1}\ge 0$
		\task $\dfrac{x+1}{3-x}\le 0$
		\task $\dfrac{7-2x}{2x-1} >0$
		\task $\dfrac{-5x}{(2x-7)^2}<0$
		\task $\dfrac{1+2x^2}{7-x}\ge 0$
		\task $\dfrac{x+4}{5-x}<2$
		\task $\dfrac{2x+4}{x-1}-2\ge 0$
		\task $\dfrac{2x+4}{x+1}<3$
		\task $\dfrac{2x+3}{x+1} \le \dfrac{x-6}{x+1}$
		\task $1<\dfrac{2x+10}{-x+3}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 	
		\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{2x-4}{x+2}$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto 2x-4$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=-4$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$.
			\item $g:x \mapsto x+2$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=2$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $2x-4$ /0.8, $x+2$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-2$, $2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $\frac{2x-4}{x+2}\leqslant 0$ est $\mathscr{S}= \left]-2; 2 \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{-2x+8}{3x-2}$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto -2x+8$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=8$. $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-2}=4$.
			\item $g:x \mapsto 3x-2$ est une fonction affine avec $a=3$ et $b=-2$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-2x+8$ /0.8, $3x-2$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$\frac{2}{3}$, $4$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $\frac{-2x+8}{3x-2}\leqslant 0$ est $\mathscr{S}= \left]-\infty ; \frac{2}{3} \right[ \cup [4 ; + \infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

	~
	\newpage
	~



\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}