%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{16 Signe d'une fonction.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{16 Signe d'une fonction.}

\subsection{Signe des fonctions de référence.}

\begin{notabene}
	
	\color{red}Ajouter un exemple de lecture graphique de tableau de sign dès le début après la définition.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Étudier le signe d'une fonction consiste à déterminer toutes les valeurs de sa variable $x$ pour lesquelles on obtient des images, $f(x)$, strictement positives mais aussi les valeurs pour lesquelles les images sont strictement négatives et enfin celles pour lesquelles les images sont nulles.
	
	On résume l'étude du signe d'une fonction par un tableau de signe comme dans les propositions ci-dessous.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x^2$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x^3$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\frac{1}{x}$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,d,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\sqrt{x}$ /0.8}
			{$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\subsection{Signe d'une fonction affine.}

\begin{lecon}
	
	Les outils que nous venons d'introduire vont nous permettre de faire une étude générale du signe d'une fonction affine.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	Étudier le signe d'une fonction c'est-à-dire, suivant les valeurs de $x$ si $f(x)$ est positif ou négatif.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Soit $h: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}& \rightarrow & \mathbb{R}\\  x & \mapsto & -7x+49\end{array}\right.$
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item On cherche les valeurs de $x$ telles que
		
		\begin{align*}
			h(x)>0 \\
			\intertext{Cette inéquation équivaut successivement à:}
			-7x+49&>0\\
			-7x+49-40&>0-49\\
			-7x&>-49\\
			\frac{-7x}{-7}&<\frac{-49}{-7}\\
			x&<7\\
			x \in ]-\infty ; 7[
		\end{align*}
		
		\item En procédant comme précédemment nous obtiendrions que l'ensemble des solutions de l'équation $h(x)=0$ est $\{ 7 \}$.
		
		\item Des deux points précédents nous déduisons que $h(x)<0$ lorsque $x \in ]7; +\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous résumerons cette étude sous forme d'un tableau:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8,  $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$7$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		Que ce serait-il passé si la formule de $h$ avait été $h(x)= 7x+49$?
		
	\end{notabene}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Signe des fonctions affines.}
	
	Soient:	
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		\item $f:x \mapsto ax+b$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $a>0$, alors:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Supposons $a>0$ et démontrons qu'alors le tableau de signe proposé convient.
	
	\medskip
	Recherchons pour quelles valeurs de $x$, $f(x)>0$.
	\begin{align*}
		f(x)>0 &\Leftrightarrow ax+b>0\\
		&\Leftrightarrow ax+b-b>0-b\\
		&\Leftrightarrow ax>-b\\
		\intertext{Et comme $a> 0$:}
		f(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{ax}{a}>-\frac{b}{a}\\
		&\Leftrightarrow  x> -\frac{b}{a}\\
		&\Leftrightarrow x\in \left] -\frac{b}{a};+\infty \right[ 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Recherchons de même pour quelles valeurs de $x$, $f(x)=0$.
	\begin{align*}
		f(x)=0 &\Leftrightarrow ax+b=0\\
		&\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item De même si $a<0$ alors le tableau de signe est 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Si $a=0$ alors $f$ est la fonction constante égale à $b$ donc elle est toujours du même signe, celui de $b$.
		
		\item Ces deux situations correspondent soit au cas d'une droite qui monte soit au cas d'une droite qui descend.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x \mapsto 2x+8$.
		
		$f$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=8$.
		
		$a>0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{8}{2}=-4$ donc, d'après le cours,
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-4$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g:x \mapsto -4x+10$.
		
		$g$ est une fonction affine avec $a=-4$ et $b=10$.
		
		$a<0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{10}{-4}=\frac{5}{2}$ donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$g$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\frac{5}{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	La connaissance des variations de la fonction affine permet de retrouver les tableaux de signes en raisonnant à partir de la courbe représentative.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	{\color{RoyalBlue}Étudions par exemple le signe de $f:x\mapsto -2x+4$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=4$.
			\item {\color{orange}le coefficient directeur est strictement négatif}, $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante.
			
			{\color{orange}Ceci se traduit graphiquement par une droite qui descend. Quelque chose comme:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
						\def\xY{-2.5};
						\def\yY{-4.5};
						\def\xZ{15.5};
						\def\yZ{5.5};
						\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
						\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
						%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
						%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
						%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
						%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
						\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
						\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:15] plot(\x,{-0.5*\x+4});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous voyons sur ce schéma que la fonction prend d'abord des valeurs positives puis des valeurs négatives. Autrement dit nous pouvons déjà compléter le tableau de signe de la façon suivante:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
						{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
						\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Il nous reste à trouver pour quelle valeur de $x$, $f$ s'annule.
			} 
			
			\item $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. {\color{orange}Ce résultat a été établi plus tôt dans cette leçon.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons le tableau de signe de $f$.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	}
	
\end{exemples}


\begin{exercice}{}
	
	Donnez le tableau de signe de $f$ définie sur l'intervalle $I$ dans les différents cas proposés.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(x)=2x+4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-15$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-7x+14$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-13x-39$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x-\pi$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x+\sqrt{2}$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x-2$, $I=\mathbb{R}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{8}
				\item $f(x)=3x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-4x+13$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-3x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x+12$, $I=]-\infty; -3[$.
				\item $f(x)=6x-8$, $I=[-12; 10]$.
				\item $f(x)=-8x+12$, $I=\left[ \frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
				\item $f(x)=-3x-24$, $I=]-8 ;10[$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-7}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\pi$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\sqrt{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-\frac{7}{3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\frac{4}{5}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\frac{13}{4}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-\frac{4}{3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-3$,  $-\frac{12}{5}$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-12$ , $\frac{4}{3}$ , $10$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{ $\frac{3}{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-8$ , $10$ }%
				\tkzTabLine{ d , - ,d }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Insister sur la méthodologie pour tracer la courbe représentative.
		
	\end{notabene}
	
	Une patinoire propose deux tarifs:
	\begin{itemize}
		\item tarif A: chaque entrée coûte $5,25$ \euro{}.
		\item tarif B: un abonnement annuel de $12$ \euro{} et chaque entrée coûte alors $3,50$ \euro{}.
	\end{itemize}
	
	$x$ désigne le nombre de fois qu'un patineur a fréquenté la patinoire.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Donnez l'expression de la fonction $f$ qui modélise le budget annuel pour la patinoire avec le tarif A et celle de $g$ pour le tarif B.
			\item Tracez ces deux fonctions dans un repère approprié (attention au choix des unités).
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Résolvez graphiquement $f(x)>g(x)$.
			\item Résolvez par le calcul $f(x)>g(x)$.
			\item Que peut faire le patineur de ces solutions quand il veut déterminer lequel des deux tarifs est le plus avantageux?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=5,25x$ et $g(x)=3,50x+12$ pour tout $x \in[0;+\infty[$.
			
			\item {\color{orange}pour le tracer de la courbe représentative d'une fonction affine revoyez l'exercice 1 de cet leçon.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\def\xY{-0.5};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{10};
					\def\yZ{6};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1,2, 3, 4, 5} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathresult};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5.25*(\x)/10})node[above]{A};	
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{(12+3.5*(\x))/10})node[below]{B};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
					\def\xY{-0.5};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{10};
					\def\yZ{6};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
					%\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1,2, 3, 4, 5} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathresult};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5.25*(\x)/10})node[above]{$\mathcal{C}_f$};	
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{(12+3.5*(\x))/10})node[below]{$\mathcal{C}_g$};
					\draw[dashed,orange]({48/7},0)--({48/7},3.2);
					\draw[very thick,orange]({48/7},0)--(10,0);
					\draw[very thick,orange]({48/7},0)node{$]$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Par lecture graphique 
			
			\begin{conclusion}
				
				l'ensemble des solutions de $f(x)>g(x)$ est $]6;+\infty[$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Résolvons l'inéquation linéaire $f(x)>g(x)$.}
			
			Cette inéquation équivaut successivement à
			
			\begin{align*}
				5,25x &> 3,5x+12\\
				5,25x-3,5x &>3,5x+12-3,5x\\
				(5,25-3,5)x &>12\\
				1,75x &> 12\\
				\frac{1,75x}{1,75} &> \frac{12}{1,75}\\
				x &> \frac{48}{7}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'inéquation est \framebox{$\mathcal{S}= \left] \frac{48}{7};+\infty \right[$.}
				
			\end{conclusion}
			
			\item En arrondissant à $10^{-2}$ par excès $\frac{48}{7}\approx 6,86$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le patineur va $7$ fois ou plus dans l'année  la patinoire il doit choisir le forfait B sinon il doit choisir le forfait A.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 82 page 67 2ieme hachette mathématiques: loi d'Ohm.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (G) at (0,0);
			\coordinate(I) at (3,1);
			\coordinate (R) at (6,0);
			\coordinate(J) at (3,-1);
			\node[draw,circle,fill=blue!40](G1)at (G){\color{black}$G$};
			\node[draw](R1)at(R){Récepteur};
			\draw[->,>=latex] (G1)|-(I)node[above]{\small\color{red}$I$};
			\draw (I)-|(R1)node{\footnotesize\color{red}};
			\draw (R1)|-(J)node[midway]{\footnotesize};
			\draw (J)-|(G1)node[midway]{\footnotesize};
			\draw(-1,0)node{\footnotesize \color{black} $E$, $r$};
			\draw(8,0)node{\footnotesize \color{black} $E'$, $r'$};
			\draw[->,>=latex,red,thick](2,-0.9)--(2,0.9) node[midway,right]{\small \color{red} $U$};
			\node[draw,circle,red,fill=red,scale=0.5] (P) at (-0.5,0.75){\color{white} $\mathbf{+}$};
			\draw (-0.5,0.75)node{\huge \color{white} $\mathbf{+}$};
			\node[draw,circle,green,fill=green,scale=0.5] (M) at (-0.5,-0.75){\color{white} $\mathbf{-}$};
			\draw (-0.5,-0.75)node{\huge \color{white} $\mathbf{-}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Dans le circuit ci-dessus, le générateur possède une force électromotrice $E$ et une résistance interne $r$. La tension $U_1$ à ses bornes est une fonction affine de l'intensité $I$ du courant électrique selon la formule $U_1=E-rI$.
	
	De même, le récepteur possède une force contre électromotrice $E'$ et une résistance interne $r'$. La tension $U_2$ aux bornes du récepteur est également une fonction affine de l'intensité du circuit $I$ selon la formule $U_2=E'+r'I$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous supposerons que $E=300 \mathrm{V}$, $E'=200\ \mathrm{V}$, $r=10\ \Omega$ et $r'=5\ \Omega$.
		
		Tracez dans un même repère la courbe représentative de $U_1$ en fonction de $I$ et de $U_2$ en fonction de $I$.
		\item Lorsque le circuit est branché, la tension aux bornes du générateur est égale à la tension aux bornes du récepteur.
		
		Montrez alors que $I=\frac{E-E'}{r+r'}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item les fonctions $U_1:I \mapsto E-rI$ et $U_2:I \mapsto E'+r'I$ sont des fonctions affines et leurs courbe représentatives sont donc des droites.
		
		Avec les valeurs numériques: $U_1:I \mapsto 300-10 \times I$ et $U_2: I \mapsto 200+5 \times I$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{12.5};
				\def\yZ{10.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0, 1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {-2,-1,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y+200 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$I$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$U$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(300-10*\x-200)/10});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(200+5*\x-200)/10});
				\draw[red] (9,0) node[fill=white] {$U_1$};
				\draw[blue] (9,8) node[fill=white] {$U_2$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item \objectif{Déterminons l'intensité pour laquelle les tensions aux bornes des générateur et récepteur.}
		
		La tension est la même si et seulement si $U_1=U_2$. Cette dernière égalité équivaut successivement à 
		
		\begin{align*}
			E-rI &= E'+r'I\\
			E-rI-E' &= r'I E' -E'\\
			E-E'-rI &=r'I\\
			E-E'-rI+rI &= r'I+rI\\
			E-E' &= r'I+rI\\
			\intertext{On identifie un facteur commun:}
			E-E' &= (r'+r)I\\
			\frac{E-E'}{r'+r} &= I
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Lorsque les tensions sont égales $I=\frac{E-E'}{r+r'}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xAM{2};
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (6,0);
				\coordinate (M) at (\xAM,0);
				\coordinate (N) at (\xAM,\xAM);
				\coordinate (P) at (0,\xAM);
				\coordinate (R) at (\xAM,{6-\xAM});
				\coordinate (Q) at (6,{6-\xAM});
				\draw (A)node[below left]{$A$};
				\draw (B)node[below right]{$B$};
				\draw (M)node[below]{$M$};
				\draw (N)node[right]{$N$};
				\draw (P)node[above left]{$P$};
				\draw (R)node[above]{$R$};
				\draw (Q)node[above right]{$Q$};
				\draw[red, thick](A)--(M);
				\draw[black, thick](M)--(B);
				\draw[black, thick,dashed](M)--(N);
				\draw[orange, thick](B)--(Q)--(R)--(N)--(P)--(A);	
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		$AB=6\ \mathrm{cm}$. $M$ est un point du segment $[AB]$ et nous noterons $AM=x$. Dans le même demi-plan de frontière $(AB)$, sont construits les carrés $AMNP$ et $MBQR$.
		
		$f$ est la fonction qui à $x$ associe la longueur $f(x)$ de la ligne polygonale $APNRQB$ (tracée en orange sur la figure ci-contre).
		
		La figure a été faite dans le cas où $x$ est compris entre $0$ et $3$.
		
		\\ \end{tabular}
	
	Trouvez l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la longueur de la ligne polygonale est comprise entre $14$ et $16\ \mathrm{cm}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous remarquons qu'il y aura deux cas suivant que $x \in[0;3]$ ou $x \in [3;6]$. Nous allons donc raisonner par disjonction des cas.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Premier cas: supposons $x \in [0;3]$.
		
		Alors $f(x)=-2x+18$.
		
		Nous voulons que $14 \leqslant f(x) \leqslant 16$. Cet encadrement équivaut au système \[ \left\{ \begin{array}{l} 14 \leqslant -2x+18 \\ -2x+18 \leqslant 16\end{array} \right. \]
		
		Autrement dit: \[ \left\{ \begin{array}{l} x\leqslant 2 \\ 1 \leqslant x \end{array} \right. . \]
		
		Ce qui équivaut encore à: $x \in [0;3] \cap [1:+ \infty[ \cap ]-\infty;2]$. Finalement: $x \in [1;2]$.
		
		\item Second cas: supposons $x \in [3;6]$.
		
		Nous pourrions nous contenter d'évoquer la symétrie du problème et affirmer que $[4;5]$ est aussi un ensemble de solutions au problème.
		
		Nous pouvons également reprendre le précédent raisonnement avec, dans ce cas, $f(x)=2x+6$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions du problème est $[1;2] \cup[4;5]$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 101 page 77 2ieme didier mathx 2010 à mettre dans la leçon sur les fonctions affines. Regarder les autres exercices autour qui sont bien.
		
	\end{notabene}
	
	Une revue n'est distribuée que sur abonnement annuel. Le nombre d'abonnés $A(x)$ est donné en fonction du prix $x$ de l'abonnement en euros par: \[ A(x)=-50x+\np{12500},\ \text{pour } x\ge0. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Si l'abonnement est fixé à $x=50\ \text{\euro}$, quel est le nombre d'abonnés $A(x)$?
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Quel est le sens de variation de la fonction $A$?
			\item Comment évolue le nombre d'abonnés quand le prix de l'abonnement augmente?
			\item De combien varie le nombre d'abonnés quand le prix augmente de $1\ \text{\euro}$?
		\end{enumerate}
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $A(250)$.
			\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x)\geqslant 0$?
		\end{enumerate}
		
		\item La recette.
		
		\begin{enumerate}
			\item Le prix de l'abonnement est de $50\ \text{\euro}$. 
			
			Quelle est la recette correspondante?
			
			\item Le prix de l'abonnement est $x$ ($0\leqslant x \leqslant 250$). Montrez que la recette est $R(x)=x(-50x+\np{12500})$.
			
			\item À l'aide de la calculatrice, dressez le tableau de variation de $R$ puis conjecturez le prix de l'abonnement qui semble assurer la recette maximale.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A(50)= \np{10000}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons le sens de variation de $A$.}
			
			$A$ est une foncion affine avec $a=-50$ et $b=\np{12500}$.
			
			Puisque $a<0$
			
			\begin{conclusion}
				
				$A$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Quand le prix de l'abonnement augmente le nombre d'abonnés diminue.
			
			\item Lorsque le prix de l'abonnement augmente de $1\ \text{\euro}$, passant de $x$ à $x+1$ alors le nombre d'abonné varie de 
			
			\begin{align*}
				A(x+1)-A(x) &= -50(x+1)+\np{12500} -\left[ -50x+\np{12500} \right]\\
				&= -50
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsque l'abonnement augmente de $1$ euro le nombre d'abonnés diminue de $50$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $A(250)=	0$.
			
			\item \objectif{Résolvons: $A(x)\ge 0$.}
			
			L'inéquation proposée équivaut successivement à
			
			\begin{align*}
				-50x+\np{12500} &\geqslant 0\\
				-50x + \np{12500} {- \color{orange} \np{12500}} &\geqslant 0 {- \color{orange} \np{12500}}\\
				-50x &\geqslant \np{12500}\\
				\frac{-50x}{\color{orange}-50} &\leqslant \frac{\np{12500}}{\color{orange}-50}\\
				x &\le 250
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$A(x)\geqslant 0$ si et seulement si $x\leqslant 250$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Expression de la recette.}
			
			Si le prix de l'abonnement est de $50$ euros, alors le nombre d'abonnés est de $A(50)=\np{10000}$.
			
			La recette est donc par proportionnalité \[ 50 \times \np{10000} = \np{500000}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le prix de l'abonnement de $50$ euros alors la recette est de $500$ mille euros.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{déterminons la recette pour un abonnement à $x$ euros.}
			
			Si le prix de l'abonnement est de $x$ euros alors, le nombre d'abonné étant de $A(x)$,par proportionnalité, 
			
			\begin{align*}
				R (x) &= x \times A(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				quelque soit $x\in [0;250]$ \[ R(x)=x(-50x+\np{12500} ).\]
				
			\end{conclusion}
			
			\item Avec la calculatrice nous obtenons une parabole qui présente un sommet dont les coordonnées sont $(125 ; \np{781250}                           )$.
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				la recette maximale est de $\np{781250}$ euros.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 17 pages 68 2ieme hachette repere 2010 à mettre dans la leçon sur les fonctions affines. Degrés Celsius et kelvin.
		
	\end{notabene}
	
	Au quotidien pour exprimer une température, on utilise le degré Celsius (noté ${}^{\circ} \mathrm{C}$).
	
	En physique et en chimie on préfère utiliser l'unité de température absolue: le kelvin (noté $\mathrm{K}$).
	
	On sait que:
	
	$0\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ correspond à $273,15\ \mathrm{K}$;
	
	$0\ \mathrm{K}$ (appelé \emph{\color{purple}zéro absolu}) correspond à $-273,15\ {}^{\circ}\mathrm{C}$.
	
	On sait aussi qu'une augmentation de $1\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ entraîne une augmentation de $1\ \mathrm{K}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ une température exprimée en degrés Celsius. Déterminez l'expression $f(x)$ de cette température exprimée en kelvins.
		
		\item Soit $x$ une température exprimée en kelvins. Déterminez l'expression $g(x)$ de cette température exprimée en degrés Celsius.
		
		\item Soit $x$ une température exprimée en kelvin. Calculez $f\left( g(x) \right)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'énoncé n'est pas très explicite mais le fait que qu'une augmentation de $1\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ entraîne une augmentation de $1\ \mathrm{K}$ peut s'interpréter en disant que la température en kelvin est une fonction affine de la température en degré Celsius et dont le coefficient directeur est donc (taux d'accroissement) égale à $1$.
		
		Ainsi $f(x)=x+b$.
		
		Pour trouver $b$ utilisons une valeur remarquable. $0\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ correspond à $273,15\ \mathrm{K}$ donc on doit avoir: $f(0)=273,15$. Autrement dit $b=273,15$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x)=x+273,15$
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$g(x)=x-273,15$
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			f \left( g(x) \right) &= f\left( x-273,15 \right) \\
			&=(x-273,15) +273,15\\
			&= x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f\left(g(x) \right) = x$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Dans ce cas les fonctions $f$ et $g$ sont dites \emph{\color{purple}réciproques} l'une de l'autre. C'est une propriété extrêmement intéressante pour une fonction.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 18 pages  69 2ieme hachette repere 2010 à mettre dans la leçon sur les fonctions affines. Degrés Celsius et kelvin.
		
	\end{notabene}
	
	Le degré Celsius (noté ${}^{\circ}\mathrm{C}$) et le degré Fahrenheit (noté ${}^{\circ}\mathrm{F}$) sont deux unités de température.
	
	Dans l'échelle Celsius, la température de fusion de l'eau est de $0\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ et la température d'ébullition est de $100\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ (dans des conditions normales de pression atmosphérique).
	
	Dans l'échelle Fahrenheit, la température de fusion de l'eau est de $30\ {}^{\circ}\mathrm{F}$ et la température d'ébullition est de $212\ {}^{\circ}\mathrm{F}$ (dans des conditions normales de pression atmosphérique).
	
	On sait que la relation qui relie degrés Celsius et degrés Fahrenheit est affine.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ une température exprimée en degrés Celsius. Déterminez l'expression de $f(x)$ de cette température exprimée en degré Fahrenheit.
		\item Soit $x$ une température exprimée en degrés Fahrenheit. Déterminez l'expression de $g(x)$ de cette température exprimée en degré Celsius.
		\item Recopiez et complétez le tableau de conversion suivant.
		
		\medskip
		{\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				${}^{\circ}\mathrm{F}$ & -40 & 0 & & & 23 & 32 & 41 & && 68 & 77 & & & 
				\\
				\hline
				${}^{\circ}\mathrm{C}$ & & & $-15$ & $-10$ & & & & 10 & 15 & & & 30 & 35 & 37
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire un exercice de conversion d'angle de degré en radian.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64677&ordre=1}{Exercice 20 page 141 du manuel Sesamath}: dresser le tableau de signe à partir de la représentation graphique déterminer l'expression algébrique avec l'ordonnée à l'origine puis en résolvant une équation d'inconnue $b$ en choisissant un point quelconque de la droite.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Déterminons l'expression algébrique de $f$.}
			
			{\color{orange}Puisque $f$ est une fonction affine, elle admet une expression algébrique de l forme $f(x)=ax+b$. Nous devons donc trouver $a$ et $b$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Nous avons déjà remarqué que $b=f(0)$. Or, par lecture graphique, $f(0)=1$ donc $b=1$.
				
				\item {\color{orange}Pour calculer $a$ nous allons utiliser une équation. Nous avons trouvé $b$ en utilisant le point de la droite de coordonnées $(0;1)$, or une droite est déterminée par la donnée de deux points donc nous devons considérer un second point.}
				
				Le point de coordonnées $(-3;-1)$ appartient à la droite donc $f(-3)=-1$. Cette dernière égalité équivaut successivement à
				
				\begin{align*}
					a \times (-3)+1 &= -1\\
					-3a+1 &= -1\\
					-3a &= -2\\
					a &= \frac{-2}{-3}
				\end{align*}
				
				Enfin $a=\frac{2}{3}$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$f:x \mapsto \frac{2}{3}x+1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Par lecture graphique
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
					{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
					{$-\infty$ , $\np{-1,5}$ , $+\infty$ }%
					\tkzTabLine{ , - , z , + , }
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64678&ordre=1}{Exercice 21 page 141 du manuel Sesamath}. Modifiez l'énoncé en: déterminez l'expression algébrique de la fonction affine représentée dans le repère.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Les techniques vues dans cet exercice seront utiles pour l'étude des droites du plan.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons l'expression algébrique de la fonction $f$ représentée graphiquement.}
		
		Puisque $f$ est une fonction affine elle est de la forme $f(x)=ax+b$.
		\begin{enumerate}[*]
			\item $b$ est l'ordonnée à l'origine donc $b=f(0)$. Or graphiquement $f(0)=1,2$ donc $b=1,2$.
			
			\item $f$ est une fonction affine donc son coefficient directeur est le taux d'accroissement de $f$ entre n'importe qu'elles valeurs $x_1$ et $x_2$ (distinctes).
			
			Choisissons par exemple $x_1=-1$ et $x_2=3$. Alors 
			
			\begin{align*}
				a &= \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\\
				\intertext{Par lecture graphique des images:}
				a &= \frac{2-(-1)}{-1-3} \\
				&= -\frac{3}{4}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f:x \mapsto -\frac{3}{4}x+1,2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}



\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}