%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{08 Développer des expressions polynomiales.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{08 Développer des expressions polynomiales.}

\subsection{Les polynômes.}

\begin{notabene}
Avertissement: c'est hors programme mais c'est pertinent pour pouvoir parler des objets. De plus les polynômes sont d'un certain point de vue les lettres d'un alphabet qui permet d'exprimer, d'analyser de nombreuses autres fonctions.
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les monômes sont des expressions algébriques formées du produit d'un \emph{\color{purple}coefficient $a$} réel par une puissance d'une \emph{\color{purple}indéterminée $\mathbf{X}$}: $a\mathbf{X}^n$. 
	
	\medskip
	Exemples de monômes: $4\mathbf{X}^0=4$, $-3\mathbf{X}^1=-3\mathbf{X}$, $\pi \mathbf{X}^2$, $12,5\mathbf{X}^7$ et $0\mathbf{X}=0$ 
	
	\medskip
	L'exposant de $\mathbf{X}$ est appelé le \emph{\color{purple}degré} du monôme. Par exemple:  $-3\mathbf{X}$ est de degré \trous[0.5cm]{1}, $\pi \mathbf{X}^2$, est de degré \trous[0.5cm]{2}, $12,5\mathbf{X}^7$ est de degré \trous[0.5cm]{$7$}, $4$ est de degré \trous[0.5cm]{$0$} et $0\mathbf{X}=0$ est de degré \trous[0.5cm]{$-\infty$}.
	
	\medskip
	Un \emph{\color{purple}polynôme} est une somme (finie) de monômes. 
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	$-3+8\mathbf{X}^2+4\mathbf{X}-7\mathbf{X}^3-7\mathbf{X}+10$ est un polynôme.
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Les fonctions affines, linéaires, constante, carré et cube sont des fonctions polynomiales de degrés $\dots$.

\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	On dit qu'un polynôme est \emph{\color{purple}réduit} lorsque tout ses monômes sont de degrés distincts. Ainsi $3\mathbf{X}^2-12\mathbf{X}^5 +2$ est sous forme réduite mais $5+7\mathbf{X}-14\mathbf{X}^2+8\mathbf{X}$ n'est pas sous forme réduite car les monômes $7\mathbf{X}$ et $8\mathbf{X}$ sont semblables (même degré).
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{C}

	Donnez la forme réduite des polynômes suivants:
	
	\begin{enumerate}
		\item $-3\mathbf{X}^2+7\mathbf{X}-4\mathbf{X}+12\mathbf{X}^3+2$
		\item $7\mathbf{X}^{25}-8\mathbf{X}+3+\mathbf{X}-7\mathbf{X}+12$
		\item $3\mathbf{X}^2+2\mathbf{X} +4\mathbf{X} +12$
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		\item $-3\mathbf{X}^2+7\mathbf{X}-4\mathbf{X}+12\mathbf{X}^3+2=\trous{-3\mathbf{X}^2+3\mathbf{X}+12\mathbf{X}^3+2}$
		\item $7\mathbf{X}^{25}-8\mathbf{X}+3+\mathbf{X}-7\mathbf{X}+12= \trous{7\mathbf{X}^{25}-14\mathbf{X}+15}$
		\item $3\mathbf{X}^2+2\mathbf{X} +4\mathbf{X} +12= \trous{3\mathbf{X}^2+6\mathbf{X}+12}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	Le degré d'un polynôme réduit est le plus grand degré de ses monômes.
	
	\medskip
	Un polynôme réduit est dit \emph{\color{purple}ordonné} lorsque ses monômes sont rangés suivant les puissances décroissantes de l'indéterminée $\mathbf{X}$. Par exemple $-7\mathbf{X}^3+\mathbf{X}-3$ est ordonné alors que $\mathbf{X}-7\mathbf{X}^2+2$ ne l'est pas.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{C}
	
	Donnez la forme ordonnée et réduite des polynômes suivants:
	\begin{enumerate}
		\item $4\mathbf{X}^3-2\mathbf{X}^2+7\mathbf{X}-14+3\mathbf{X}$
		\item $23+\mathbf{X}+\mathbf{X}^2$
		\item $3 \mathbf{X} + 4\mathbf{X}^2+9\mathbf{X}+9$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}
	
\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		\item $4\mathbf{X}^3-2\mathbf{X}^2+7\mathbf{X}-14+3\mathbf{X}= 4\mathbf{X}^3-2\mathbf{X}^2+10\mathbf{X}-14$
		\item $23+\mathbf{X}+\mathbf{X}^2= \mathbf{X}^2+\mathbf{X}+23$
		\item $3 \mathbf{X} + 4\mathbf{X}^2+9\mathbf{X}+9= 4\mathbf{X}^2 +12\mathbf{X}+9$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}

	4ieme transmath page 224 exercices 42 à 44. Poursuivre à partir du 39.
	
\end{notabene}

\begin{correction}	

	Les polynômes ont ceci de merveilleux qu'ils peuvent s'appliquer à un très grand nombre d'objets $\mathbf{X}$ peut désigner des nombres bien sûr mais aussi d'autres polynômes, des fonctions, des transformations géométriques, des tableaux de nombres (matrices), etc.
	
\end{correction}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $x^2-x+3$ est une expression polynomiale sous forme développée, réduite et ordonnée
		
		\item $-x+3+x^2$ est une expression polynomiale mais elle n'est pas ordonnée.
		
		\item $x^2-2x+x+5-2$ est une expression polynomiale mais elle n'est pas réduite.
		
		\item $x^3(x+1)$ est une expression polynomiale.
		
		\item $\frac{3x^3}{x+1}$ n'est pas une expression polynomiale mais les numérateurs et dénominateurs en sont.
		
		\item $\sqrt{x^2+1} +2x+7$ n'est pas une expression polynomiale.
		
		\item L'expression algébrique d'une fonction affine est une fonction polynomiale.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Développer.}

\begin{lecon}
	
	Dans la suite les indéterminées, $\mathbf{X}$, seront notées comme des variables ($x$).
	
\end{lecon}

\subsubsection{Développer, réduire et ordonner.}

\begin{lecon}
		
	$x^2(3x-1)$ n'est, a priori, pas un polynôme puisque ce n'est pas une somme de monômes. Cependant en distribuant $x^2$:
	
	\begin{align*}
		x^2(3x-1) &= x^23x-x^21\\
		&= x^23x^1-x^2\\
		&= 3x^{2+1}-x^2\\
		&= 3x^3-x^2
	\end{align*}
	
	Ainsi $x^2(3x-1)=3x^3-x^2$ est bien un polynôme de degré 3.
	
	\medskip
	Afin d'identifier chaque polynôme la convention est de l'écrire sous forme développée, réduite et ordonnée.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Deux polynômes sont dits \emph{\color{purple}égaux} lorsqu'ils ont la même expression développée, réduite et ordonnée.
	
\end{definition}

\subsubsection{La boîte à outil pour développer.}

\begin{proposition}{}
	
	Les lettres $a$, $b$, $c$, $d$ désignent des nombres, des expressions algébriques, des fonctions numériques etc.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \emph{\color{purple}Distributivité} de la multiplication sur l'addition: $a(b+c)= ab+ac$
		\item Double distributivité: $(a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd$
		\item \emph{\color{purple}Identités remarquables}:
		\begin{enumerate}[.]
			\item $\color{purple} (a+b)^2= a^2+2ab+b^2$
			\item $\color{purple} (a-b)^2= a^2-2ab+b^2$
			\item $\color{purple} (a-b)(a+b)=a^2-b^2$
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}

	\begin{enumerate}[(i)]
		\item La distributivité n'est pas démontrable. C'est un axiome de la construction de la multiplication de l'ensemble des nombres réels.
		\item On applique en deux temps la propriété de distributivité.
		\item Les égalités se démontrent en partant du membre de gauche vers faisant:
		\begin{enumerate}[.]
			\item $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ puis on utilise la double distributivité.
			\item $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$ puis on utilise la double distributivité.
			\item En utilisant la double distributivité.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{preuve}

\subsection{Exercice.}

\begin{exercice}{}
	
	Développez, ordonnez puis réduisez les expressions suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(x) = 4x(x+3)$.
		\task $B(x)= (3+x)(2x-1)$.
		\task $C(x) = (x+3)^2$.
		\task $D(x)= (2x-4)^2$.
		\task $E(x)= (-x+5)(-x-5)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task {\color{orange}En utilisant la distributivité:}
		
		\begin{align*}
			A(x) &= 4x \times x + 4x \times 3\\
			&=4x^2+12x\\
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}En utilisant la double distributivité:}
		
		\begin{align*}
			B(x) &= {\color{orange} (3+x)(2x+(-1))} \\
			&= 3 \times 2x+ 3 \times (-1) +x \times 2x+x \times (-1) \\
			&= 6x-3+2x^2-x \\
			&= 2x^2+6x-x-3 \\
			&= 2x^2+5x-3 
		\end{align*}
		
		\task {\color{orange}Nous utiliserons ici une identité remarquable: $(a+b)^2=a^2+2ab +b^2$. Avec $a=x$ et $b=3$.}
		
		\begin{align*}
			C(x) &= x^2+2 \times x \times 3 +3^2\\
			&= x^2+6x+9
		\end{align*}
		
		\task {\color{orange}Nous utiliserons ici une identité remarquable: $(a-b)^2=a^2-2ab +b^2$. Avec $a=2x$ et $b=4$.}
		
		\begin{align*}
			D(x) &= (2x)^2-2 \times (2x) \times 4 +4^2\\
			&= 2^2x^2-16x+16\\
			&= 4x^2-16x+16
		\end{align*}
		
		\task {\color{orange}Nous utiliserons ici une identité remarquable: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Avec $a=-x$ et $b=5$.}
		
		\begin{align*}
			E(x) &= (-x)^2-5^2\\
			&= x^2-15
		\end{align*}
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Développez, réduisez puis ordonnez les expressions suivantes:
	
	\noindent 
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}[1.]
				\item $A(x)=(x-1)(x-2)$
				\item $B(x)=(11x-12)^2$
				\item $C(x)=(x+5)^2$
				\item $D(x)= (x-5)^2$
				\item $E(x) = (x+5)(x-5)$
				\item $F(x)=(2x-7)^2$
				\item $G(x)=(3+2x)^2$
				\item $H(x)=(11-x)(11+x)$
				\item $I(x)= \left( 3x+\frac{5}{6} \right)^2$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{9}
				\item $J(x)= \left( 7x-\frac{1}{3} \right) ^2$
				\item $K(x) = \left( \frac{x}{2}-\frac{5}{6}\right)\left( \frac{x}{2}+\frac{5}{6}\right)$
				\item $L(x)= (5-11x)^2$
				\item $M(x)= (12+13x)^2$
				\item $N(x)= (9x-4)(4+9x)$
				\item $O(x)= \left( 10x+\frac{1}{3} \right) ^2$
				\item $P(x)=  (-x+1,2)^2$
				\item $Q(x)=(0,7-x)(0,7+x)$
				\item $R(x)=(x-2)(x^2+3)-(x+2)x^2$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x^2-3x+2$.
		
		\item .
		
		\item $x^2+10x+25$
		\item $x^2-25$.
		
		\item $4x^2-28x+49$
		\item $4x^2+12x+9$.
		\item $-x^2-121$.
		\item $9x^2+5x+\frac{25}{36}$.
		\item $49x^2-\frac{14}{3}x+\frac{1}{9}$.
		\item $\frac{1}{4}x^2-\frac{25}{36}$.
		\item $x^3-2x^2+3x-6-x^3-2x^2=-4x^2+3x-6$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		4ieme transmath page 224 exercices 27 à 47. Poursuivre à partir du 39.
		
	\end{notabene}
	
	Développez, ordonnez puis réduisez les expressions polynomiales.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $A(X)=(3X+4)(X-5)$,
				\item $B(X)=12(X-3)-14(X+4)$,
				\item $C(X)=11(X-9)-7(X-1)$,
				\item $D(X)=28X(3X^2-4X+12)$,
				\item $E(X)=3,2X^2(5X^2-12X-1,1)$,
				\item $F(X)=-2X(3X-X+2)$,
				\item $G(X)=5X(X-3)$,
				\item $H(X)=3X^2(2X^2-X+4)$,
				\item $K(X)=(X+3)(X+4)$,
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{9}
				\item $L(X)=(2X+1)(X+2)$,
				\item $M(X)=(3X-2)(2X+3)$,
				\item $N(X)=(X-5)(X-2)$,
				\item $P(X)=(2X-1)(4X+3)$,
				\item $Q(X)=(2X-7)^2$,
				\item $R(X)=(5X-2)(X+4)$,
				\item $S(X)=(3X+1,5)(2X-3)$,
				\item $T(X)=(5X-7)(0,5X-1,2)$,
				\item $U(X)=(2X-1,1)(X+4)$,
				\item $V(X)=(X-7)(X+7)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $P_1(X) = 3X^2-X-20$
		\item $P_2(X) = -2X -92$
		\item $P_3(X) = 4X -92$
		\item $P_4(X) = 54X^3 -112X^2 + 336X$
		\item $P_5(X) = 16X^4 - 38,4X^3 -3,52X^2$
		\item $P_7(X)= -4X^2-4X$
		\item $P_8(X)=5X^2-3X$
		\item $P_9(X)= 6X^4-3X^3+12X^2$
		\item $P_{10}(X)= X^2+7X+12$
		\item $P_{11}(X)= 2X^2+5X+2$
		\item $P_{12}(X)= 6X^2+5X-6$
		\item $P_{13} (X)= X^2-7X+10$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		4ieme transmath page 224 exercices 27 à 47. Poursuivre à partir du 39.
		
	\end{notabene}
	
	Développez, ordonnez puis réduisez les expressions polynomiales.
	
	\begin{enumerate}
		\item $A(x)=(2X-3)^2$,
		
		\item  $B(X)=\left[ (2X^2-2X+ 3)-(2X^2+3) \right] (5X^2-4X+3)$,
		
		\item $C(X)=(3X-1)(5X-2)+(X+2)^2$,
		\item $D(X)=(5X-3)(3X+1) - (2X-4)(-X+5)$,
		\item $E(X)=(1,5X-5)(1,5X+5)-(X-1)^2$,
		\item $F(X)=(5X+2)^2-(X-3)^2$,
		\item $G(X)=(3X-2)^2-(5-4X)(4-6X)$,
		\item $H(X)=(X-1)(2X+3)+(X-1)(X+2)$,
		\item $I(X)=(2X-5)(2X+5)$,
		\item $J(X)=(3X+1)(7X-2)+(X-2)^2$,
		\item $K(X)=(4X-3)(3X+2)-(2X+5)(X-3)$,
		\item $L(X)=(1,5X-2)(1,5X+2)-(X+3)^2$,
		\item $M(X)=(3X-2)^2-(X-4)^2$,
		\item $N(X)=(3X+1)^2-(5-4X)(2+3X)$,
		\item $P(X)=(X-1)(2X+2)+(X-1)(2X+2)$,
		\item $Q(X)=(X+1)(X-3)+(X+1)(3X+1)$,
		\item $R(X)=(2X-4)(X-1)-(X-2)(3X+2)$,
		\item $S(X)=(X-3)(X+2)-(X-2)(2X+1)$,
		\item $T(X)=(X+1)(X-4) -(2X+8)(X+5)$,
		\item $U(X)=(3X-2)^2-(5X-4)(2+3X)$,
		\item $V(X)=(X+2)(2X-3)+(X-1)(X+2)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour parler des méthodes de démonstration de $A=B$, $A=C$, etc.
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez les égalités proposées, valables pour tout $x$ réel.
	\begin{enumerate}
		\item $(-2x+8)(x-7)=-2x^2+22x-56$,
		\item $-9 + 6 x + 3 x^2=-3 (1 - x) (x + 3)$,
		\item $-3(x-3)^2+3=-3(x-4)(x-2)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 page 82 exercices 66 à 68
		
	\end{notabene}
	
	Vérifiez que les trois formes proposées, $A$, $B$ et $C$, correspondent à une même expression polynomiale.
	
	\noindent 
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}[1.]
				\item $A(x)= (x-3)(x+5)$.
				
				$B(x)=x^2+2x-15$.
				
				$C(x)=(x+1)^2-16$.
				
				\item $A(x)=x^2-2\sqrt{2}x-6$.
				
				$B(x)= (x-3\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$.
				
				$C(x)= (x-\sqrt{2})^2-8$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				
				\item $A(x)=2x^2 +3x-2$.
				
				$B(x)=(2x-1)(x+2)$.
				
				$C(x)=2 \left( x+ \frac{3}{4} \right) ^2 -\frac{25}{8}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 103 exercice 142
		
		Raisonnement par l'absurde.
		
	\end{notabene}
	
	Est-il possible que $x^2-3x+4$ s'écrive pour tout $x$ réel comme un produit de la forme $(x+1)(ax+b)$ avec $a$ et $b$ réels?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous allons faire une démonstration par analyse-synthèse.}
	
	Notons $f(x)= x^2-3x+4$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Analyse.}
	
	Supposons que $f(x)=(x+1)(ax+b)$.
	
	Comme \[ (x+1)(ax+b)=ax^2+(a+b)x+b, \]
	
	et donc \[ ax^2+(a+b)x+ab=x^2-3x+4. \]
	
	L'écriture sous forme développée, réduite et ordonnée étant unique, nous identifions les coefficients: \[ \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ a+b=-3 \\ b=4 \end{array} \right. \]
	
	Et donc: $a=1$, $b=-4$ et $b=4$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Synthèse.}
	
	Les seules solutions possibles doivent vérifier à la fois $ab= 1 \times (-4) =-4$ mais aussi $b=4$ ce qui est impossible donc il n'y a pas de solution au problème.
	
	\begin{conclusion}
		
		Il n'est donc pas possible de trouver une écriture de $x^2-3x+4$ de la forme $(x+1)(ax+b)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Démonstration plus brève. {\color{orange}Raisonnement par l'absurde.}
	
	Raisonnons par l'absurde en supposant que nous avons trouvé des nombres $a$ et $b$ tels que pour tout $x$ réel $x^2-3x+4= (x+1)(ax+b)$.
	
	Alors en particulier, pour $x=-1$, $8=0$, ce qui est impossible.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons donc démontré par l'absurde qu'il n'est pas possible de trouver $a$ et $b$ tels que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2-3x+4=	(x+1)(ax+b)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 103 exercice 141
		
		Algorithme de Horner.
		
	\end{notabene}
	
	À la calculatrice, une instruction $x \wedge 3$ compte pour $2$ multiplications: $x\wedge 3= x \times x \times x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Premier exemple.}
		
		Soit $f(x) = x^2+4x+3$ sur $\mathbb{R}$ (forme $A$).
		
		\begin{enumerate}
			\item Vérifiez que $f(x)=3+x(x+4)$ pour tout $x$ réel (forme $H$).
			\item Combien d'opérations sont effectuées avec la forme $A$? avec la forme $H$?
			\item On programme le calcul de $f(x)$ pour $x$ variant de $0$ à $2$ avec un pas de $0,1$. Combien d'opérations sont nécessaires avec chacune des deux formes?
		\end{enumerate}
		
		\item \textbf{Deuxième exemple.}
		
		Reprendre les questions $a$, $b$ et $c$ de la question $1$ pour $f(x)=x^4+2x^3-3x^2+4x-1$ (forme $A$) et $f(x) = -1+x(4 +x(-3+x(2+x)))$ (forme $H$).
		
		\item \textbf{Troisième exemple.}
		
		Soit $f(x)=4x^7+2x^6+3x^5-4x^4+2x^3-3x^2+4x-1$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Proposer la forme $H$ associée.
			\item Reprendre les questions 1(b) et 1(c).
		\end{enumerate}
	
		\item Quel est le gain obtenu en nombre d'opérations pour $f(x)=x^{50}+x^{49}+x^{48}+ \dots +x^2+x+1$?
		
		On pourra programmer un algorithme pour effectuer un calcul de ce gain.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Cette méthode qui permet d'économiser les calculs et donc d'accélérer les programme informatiques est appelé l'\emph{\color{purple}algorithme de Hörner}.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				3+x(x+4) &= 3 + x \times x + x \times 4\\
				&= 3+x^2+4x\\
				&= x^2+4x+3\\
				&= f(x)
			\end{align*}
			
			\item Avec la forme $A$: $x \times x+4 \times x+3$. Il y a donc $4$ opérations.
			
			Avec la forme $H$: $3+x \times (x+4)$. Il y  $3$ opérations.
			
			\item Il faut faire les calculs pour $0$, $0,1$, $0,2$, ..., $2$. Il faut donc calculer $21$ images par $f$.
			
			Avec la forme $H$ il faudra donc faire $21$ fois $4$ opérations, c'est-à-dire $81$ opérations.
			
			Avec la forme $A$ il faudra donc faire $21$ fois $3$ opérations, c'est-à-dire $63$ opérations.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				-1 + x(4+x(-3+x(2+x))) &= -1 + x(4+x(-3+x \times 2+ x \times x)))\\
				&= -1 + x(4+x(x^2+2x-3))\\
				&= -1 + x(4+x \times x^2+ x \times 2x- x \times 3)\\
				&= -1 + x(x^3+2x^2-3x+4)\\
				&= -1 + x \times x^3+x \times 2x^2-x \times 3x+ x \times 4)\\
				&= x^4+2x^3-3x^2+4x-1\\
				&= f(x)
			\end{align*}
			
			\item Forme $A$: $13$ opérations.
			
			Forme $H$: $7$ opérations.
			
			\item Forme $A$: $273$ opérations.
			
			Forme $H$: $147$ opérations.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				f(x) &= 4x^7+2x^6+3x^5-4x^4+2x^3-3x^2+4x-1 \\
				&= -1 +4x -3x^2+2x^3-4x^4+3x^5+2x^6+4x^7 \\
				&= -1+ x(4-3x+2x^2-4x^4+3x^4+2x^5+4x^6) \\
				&= -1+x(4+x(-3+2x-4x^2+3x^3+2x^4+4x^5))\\
				&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2-4x+3x^2+2x^3+4x^4))) \\
				&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2 +x(-4+3x+2x^2+4x^3)))) \\
				&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2 +x(-4+x(3+2x+4x^2))))) \\
				&= -1 +x ( 4+x(-3+x(2 +x(-4+x(3+x(2+4x))))))
			\end{align*}
			
			
			\item Forme $A$: $35$ opérations.
			
			Forme $H$: $14$ opérations.
			
			\item Forme $A$: $735$ opérations.
			
			Forme $H$: $294$ opérations.
			
		\end{enumerate}
		
		\item ~
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			$1+x$ & $1$
			\\
			\hline
			$1+x+x \times x$ & $3$
			\\
			\hline
			$1+x+x \times x + x \times x \times x$ & $6$
			\\
			\hline
			$1+x+x \times x + x \times x \times x + x \times x \times x \times x$ & $10$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		De proche en proche on obtient: $1+2+3+4$.
		
		Il faut donc calculer $S=1+2+ \dots + 50$.
		
		Nous utilisons l'astuce usuelle pour la somme des entiers naturels. Nous écrivons deux fois la somme et nous additionnons terme à terme
		
		\[ \begin{array}{ccccccc} 
		1 & + 2 & +3 & +\dots & + 48 &+49 &+50 \\
		50 & + 49 & + 48 & + \dots & +3 & +2 & +1\\
		\hline
		51 & +51 & + 51 & +\dots & +51 & +51 & +51
		\end{array} \]
		
		Ainsi $2S=50 \times 51$. Enfin: $S=\frac{50 \times 51}{2}= 1275$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	Soit $x$ un nombre réel différent de $1$, démontrez que \[ x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{1-x^5}{1-x}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il est possible d'utiliser le produit en croix.}
	
	\medskip
	Soit $x \in \mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$.
	
	\begin{align*}
	\intertext{Démontrer:}
		x^4+x^3+x^2+x+1 &= \frac{1-x^5}{1-x}\\
		\intertext{équivaut à démontrer:}
		\left( x^4+ x^3 +x^2 + x + 1\right) {\color{orange}(1-x)} &= \frac{1-x^5}{1-x} {\color{orange}(1-x)}\\
	\end{align*}
	
	\begin{align*}
		\intertext{Or:}
		& \left( x^4+ x^3 +x^2 + x + 1\right) {\color{orange}(1-x)}\\
		&= 		{\color{orange}1 \times} x^4+ {\color{orange}1 \times} x^3 + {\color{orange}1 \times}x^2 + {\color{orange}1 \times} x + {\color{orange}1 \times}1 -{\color{orange}x \times} x^4+ {\color{orange}x \times} x^3 - {\color{orange}x \times}x^2 - {\color{orange}x \times} x - {\color{orange}x \times}1 \\
		&= 1-x^5\\
	\end{align*}
		
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	~
	\newpage
	~
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}