%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{03 Identités remarquables et puissances.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}


%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{03 Identités remarquables et puissances.}

\subsection{Identités remarquables.}

\begin{lecon}
	
	Une identité est une égalité qui est toujours vraie (contrairement par exemple à une équation).
	
\end{lecon}

\subsubsection{Les identités à connaître par cœur.}

\begin{proposition}{}
	
	Pour tous nombres $a$ et $b$:
	\[ \color{purple} (a+b)^2= a^2+2ab+b^2\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Soient $a$ et $b$ des nombres réels (sous-entendu quelconque).
	
	\begin{align*}
		(a+b)^2 &= (a+b) \times (a+b)\\
		&= a \times a + a \times b +b \times a + b \times b\\
		&= a^2+ab+ab+b^2\\
		&= a^2+2ab+b^2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour tous $a,b \in \mathbb{R},\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Utilisation pour trouver une forme développée réduite et ordonnée d'un polynôme: $(2x+3)^2=(2x)^2+2 \times 2x \times 3+3^2=4x^2+12x+9$.
		
		\item Utilisation pour factoriser: $9x^2+6x+1=(3x)^2+2 \times 3x\times 1+1^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une interprétation géométrique de cette identité avec des aires de rectangles.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw [Green] (0,0) -- (3,0) node[midway,below] {a};
				\draw [violet] (3,0) -- (5,0) node[midway,below] {b};
				\draw [Green] (0,0) -- (0,3) node[midway,left] {a};
				\draw [violet] (0,3) -- (0,5) node[midway,left] {b};
				\draw (0,3) -- (5,3);
				\draw (3,0)--(3,5);
				\draw (5,0) -- (5,5) -- (0,5);
				\draw [>=latex,<->] (0,-0.5) -- (5,-0.5) node [midway,below] {$a+b$};
				\draw [>=latex,<->] (-0.5,0) -- (-0.5,5) node [midway,left] {$a+b$};
				\fill[color=Green , opacity=0.25] (0,0) -- (3,0) -- (3,3) -- (0,3) -- cycle;
				\fill[color=violet , opacity=0.25] (3,3) -- (5,3) -- (5,5) -- (3,5) -- cycle;
				\fill[color=orange , opacity=0.25] (3,0) -- (5,0) -- (5,3) -- (3,3) -- cycle;
				\fill[color=orange , opacity=0.25] (0,3) -- (3,3) -- (3,5) -- (0,5) -- cycle;
				\draw [Orange] (1.5,4) node [fill=white] {$a\times b$};
				\draw [Orange] (4,1.5) node [fill=white] {$b\times a$};
				\draw [Green] (1.5,1.5) node [fill=white] {$a^2$};
				\draw [violet] (4,4) node [fill=white] {$b^2$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		L'aire du grand carré $(a+b)^2$ est obtenue comme la somme des aires des deux petits carrés $a^2$ et $b^2$ ainsi que de celle des rectangles $a\times b$ et $b\times a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Pour tous nombres $a$ et $b$: \[ \color{purple} (a-b)^2= a^2-2ab+b^2\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Soient $a$ et $b$ des nombres réels (sous-entendu quelconque).
	
	\begin{align*}
		(a-b)^2 &= (a-b) \times (a-b)\\
		&= a \times a + a \times (-b) +(-b) \times a + (-b) \times (-b)\\
		&= a^2-ab-ab+b^2\\
		&= a^2-2ab+b^2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour tous $a,b \in \mathbb{R},\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Pour tous nombres $a$ et $b$: \[ \color{purple} (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Soient $a$ et $b$ des réels.
	\begin{align*}
		(a+b)(a-b) &= a \times a +a \times (-b)+ b \times a + b \times (-b)\\
		&=a^2-ab+ab+b^2\\
		&= a^2-b^2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour tous $a,b \in \mathbb{R},\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Développez les expressions polynomiales suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(x)=(x+6)^2$.
		\task $B(x)=(x-11)^2$.
		\task $C(x)=\left(x+3^2\right)\left(x-3^2\right)$.
		\task $D(x)=(2x-3)^2$.
		\task $E(x)=(-7x+3)^2$.
		\task $F(x)=(3x-6)(3x+6)$.
		\task $G(x)=x(5x-7)^2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Factorisez les expressions polynomiales suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(x)=x^2+6x+9$.
		\task $B(x)=49x^2-14x+1$.
		\task $C(x)=x^2+2x+1$.
		\task $D(x)=x^2-8$.
		\task $E(x)=x^4-49$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez les équations.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $x^2=81$.
		\task $9x^2-42x+49=0$.
		\task $x^2+4=0$.
		\task $x^4-16=0$. \task $3x=-\dfrac{1}{4}x^2-9$.
		\task $x^2=14x-7$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		nathan 2006 page 110 exo 74
	\end{notabene}
	
	Soit $f:x \mapsto (x+1)^2-4$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Développer $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Parmi les trois formes précédentes de $f(x)$, choisir la plus adaptée pour:
		
		\begin{enumerate}
			\item calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(-3)$, $f(-1)$, $f\left( \sqrt{3} \right)$.
			
			\item résoudre l'équation $f(x)=0$.
			
			\item résoudre l'équation $f(x)=-4$.
			
			\item résoudre l'équation $f(x)=-3$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			f(x) &= x^2+2 \times x \times 1^2-4\\
			&= x^2+2x-3
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			f(x) &= (x+1)^2-2^2\\
			&= \left[ (x+1)+2 \right] \times \left[ (x+1)-2 \right]\\
			&= (x+3)(x-1)
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item  
			
			\begin{align*}
				f(0) &= 0^2+2 \times -3\\
				&= -3\\
				f(1) &= (1+3)(1-1)\\
				&= 0\\
				f(-3) &= (-3+3)(-3-1)\\
				&= 0\\
				f(-1) &= (-1+1)^2-4\\
				&= -4\\
				f(\sqrt{3}) &= \sqrt{3}^2+2 \sqrt{3}-3\\
				&= 2\sqrt{3}
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				f(x)=0 &\Leftrightarrow (x+3)(x-1)=0\\
				&\Leftrightarrow x=-3 \text{ ou } x=1
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				f(x)=-4 &\Leftrightarrow (x+1)^2-4=-4\\
				&\Leftrightarrow (x+1)^2=0\\
				&\Leftrightarrow x+1=0\\
				&\Leftrightarrow x=-1
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				f(x)=-3 &\Leftrightarrow x^2+2x-3=-3\\
				&\Leftrightarrow x^2+2x=0\\
				&\Leftrightarrow x(x+2)=0\\
				&\Leftrightarrow x+2=0 \text{ ou } x=0\\
				&\Leftrightarrow x=-2 \text{ ou }x=0
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Bordas fractales 1990 page 97 exerices 32 à 46
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations suivantes en vous ramenant à des équations du premier degré.
	\begin{tasks}(2)
		\task $4x^2-(x+1)^2=0$.
		\task $(2x+1)^2-(x+2)^2=0$.
		\task $(2x+7)^2-9(x+2)^2=0$.
		\task $4(2x+7)^2-9(x+3)^2=0$.
		\task $(4x^2-3x-18)^2=(4x^2+3x)^2$.
		\task $(2x-3)(x-1)^2=4(2x-3)$.
		\task $(5x-10)(x-3)-3(x^2-4)=0$.
		\task $(x^2+1)(4-3x)-8x+6x^2=0$.
		\task $(9x^2-1)^2-4(3x+1)^2=0$.
		\task $\left( \dfrac{3x}{5}-\dfrac{1}{3} \right)^2-\left( \dfrac{x}{5} +\dfrac{2}{3} \right)^2=0$.
		\task $\left( \dfrac{2x+3}{4} \right)^2= \left( \dfrac{5-3x}{12} \right)^2$.
		\task $(x^2-16)^2=(x+4)^2$.
		\task $9x^3+18x^2-x-2=0$.
		\task $x^3+2x^2-5x-10=0$.
		\task $x^3-8-2(x^2-4)=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\newpage

\subsection{Puissances.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Si $x$ est un nombre et $n$ un entier naturel, alors $x^n$, qui se lit \og $x$ puissance $n$ \fg{} ou \og $x$ exposant $n$ \fg{}, est le nombre \[ x^n=\underset{n\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}} \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x^0=1$ et $x^1=x$.
		\item Lorsque l'exposant est $2$ comme dans $x^2$ on dit \og $x$ au carré\fg{}.
		\item Lorsque l'exposant est $3$ comme dans $x^3$ on dit \og $x$ au cube\fg{}.
		\item Par convention, si $x$ est non nul, nous noterons son \emph{\color{purple}inverse} \[ \color{purple} x^{-1}= \frac{1}{x} \]
		En généralisant nous noterons pour $n$ entier naturel \[ \color{purple} x^{-n}= \frac{1}{x^n} \]
		\item D'après cette définition et du fait de la règle du signe d'un produit: lorsque l'exposant $n$ est pair $x^n$ est positif et lorsque l'exposant $n$ est impair $x^n$ est du même signe que $x$.
		
		\begin{correction}	
			
			Cette idée se généralise à des fonctions que nous dirons paires ou impaires. Ainsi les fonctions linéaires sont impaires alors que les fonction affines qui ne sont pas linéaires ne sont ni paires ni impaires.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Puissance et opérations.}

\begin{lecon}
	
	Les règles de priorités pour l'instant:
	
	\begin{enumerate}[\text{Priorité} 1]
		\item Les calculs entre parenthèses ou crochets. S'il y a des parenthèses emboîtées les plus emboîtées sont prioritaires. La barre de fraction joue le même rôle que des parenthèses.
		\item Les exposants (puissances).
		\item Les multiplications et division ($\div$) en allant de gauche à droite.
		\item Les additions et soustractions en allant de gauche à droite.
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}


\begin{proposition}{ - Produits et quotients de puissances d'un même nombre.}
	
	Soient $a$ un nombre, $n$ et $p$ deux entiers relatifs.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\[ a^n\times a^p=a^{n+p} \]
		&
		\[ \left( a^n \right) ^p= a^{n\times p} \]
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	{\color{orange}Ce résultat se démontre en utilisant la définition de la puissance.}
	
	\begin{align*}
		x^n \times x^p &= \left( \underset{n\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}} \right) \times \left( \underset{p\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}}\right)\\
		&= \underset{n\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}} \times \underset{p\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}}\\
		&= \underset{n+p\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}}\\
		&= x^{n+p}
	\end{align*}
	
	De même
	
	\begin{align*}
		\left( x^n \right)^p &= \underset{p\ \text{fois} }{\underbrace{ \left( \underset{n\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}} \right) \times \dots \times \left( \underset{n\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}} \right) }}\\
		&= \underset{n \times p\ \text{fois} }{\underbrace{x\times \dots \times x}}\\
		&= x^{n\times p}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultats concerne les puissances d'un même nombre $a$.
		\item Ce résultat sera très important pour développer les expressions algébriques faisant intervenir des lettres qu'il est impossible d'évaluer numériquement: $x^2(x-1)=x^2(x^1-1)=x^2\times x -x^2\times 1= x^{2+1}-x^2=x^3-x^2$.
		\item Il n'y a pas de résultat équivalent avec l'addition. Par exemple: $3^2+3^3=36$ et $3^{2+3}=243$. Les puissances d'une somme s'obtiennent avec des formules comme la distributivité, la double distributivité, les identités remarquables.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les puissances:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=12^4\times 12^{-7}$.
		\task $B=\left( 3^2 \right) ^7$.
		\task $\displaystyle C=3^{2}\times \left( \frac{1}{3^{6}} \right) ^{2}$.
		\task $D= n^4 \times (p^3 \times n)^3$, avec $n\in \mathbb{N}$ et $p\in \mathbb{N}$.
	\end{tasks}
	
	Vérifiez vos calculs en entrant exactement les formules dans votre calculatrice.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			A &= 12^{4+(-7)}\\
			&= 12^{-3}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= 3^{2\times 7}\\
			&= 3^{14}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			C &= 3^2 \times 3^{-6\times 2}\\
			&= 3^2 \times 3^{-12}\\
			&= 3^{2 + (-12)}\\
			&= 3^{-10}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= \left( \frac{3}{5} \right)^4 \times \left( \frac{10}{3} \right)^{4}\\
			&= \left( \frac{3}{5} \times \frac{10}{3} \right)^4\\
			&=2^4
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - Puissances de multiplications ou divisions}
	
	Soient $a$ et $b$ deux nombres, et $n$ un entier naturel.
	
	\[ (a\times b)^n=a^n \times b^n \] et si $b$ est non nul: \[ \left( \frac{a}{b} \right) ^n =\frac{a^n}{b^n} \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
		
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat concerne une même puissance de différents nombres.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Complétez les égalités suivantes (en justifiant):
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $7^2\times (3\times 7)^5=3^?\times 7^?$
		\task $\displaystyle \left( \frac{4^2}{5} \right)^3=4^?\times 5^?$
		\task $\displaystyle \frac{11^2\times 7 }{2\times 3}=2^?\times 3^? \times 7^? \times 11^?$
		\task $\displaystyle 10^? \times 10^{-2}=1$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			7^2 \times (3 \times 7)^5 &= 7^2 \times 3^5 \times 7^5\\
			&= 3^5 \times 7^2 \times 7^5\\
			&= 3^5 \times 7^{2+5}\\
			&= 3^5 \times 7^7
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\left( \frac{4^2}{5} \right)^3 &= \frac{\left( 4^2 \right)^3}{5^3}\\
			&= 4^{2 \times 3} \times 5^{-3}\\
			&=4^6 \times 5^{-3}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la  forme irréductible de la fraction $\displaystyle \frac{\np{138600}}{\np{147420}}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	En décomposant en facteurs premiers les numérateurs et dénominateurs nous obtenons:
	
	\begin{align*}
		\frac{\np{138600}}{\np{147420}} &= \frac{2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 \times 11}{2^2 \times 3^4 \times 5 \times 7 \times 13}\\
		&= \frac{2\times 5 \times 11}{3^2 \times 13}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		La forme irréductible recherchée est $\displaystyle \frac{110}{11}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Simplifiez l'expression suivante, dans laquelle $x$ désigne un nombre inconnu non nul, en justifiant: \[ C=\frac{x^{-3}\times x^5}{\left( x^2 \right) ^3} \]
		
		\item Calculez sous forme de fraction irréductible:
		
		\begin{enumerate}
			\item $A=5^{4}\times \left( 3^{-2} \right) ^{2}$.
			\item $B=\left( \frac{7}{3} \right)^3 \div \left( \frac{4}{10} \right) ^4$
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			C &= \frac{x^{-3}\times x^5}{\left( x^2 \right)^3}\\
			&= \frac{x^{-3+5}}{x^{2 \times 3}}\\
			&= \frac{x^{2}}{x^{6}}\\
			&= x^2 \times x^{-6}\\
			&= x^{2+(-6)}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$C=x^{-4}$ ou $C=\frac{1}{x^4}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				A &= 5^4 \times \left( 3^{-2} \right)^2\\
				&= 5^4 \times 3^{-2 \times 2}\\
				&= 5^4 \times 3^{-4}\\
				&= \frac{5^4}{3^4}
			\end{align*}
			
			Comme nous avons des décompositions en facteurs premiers des numérateurs et dénominateurs nous pouvons affirmer que la forme irréductible de $A$ est
			
			\begin{conclusion}
				
				$A= \frac{625}{81}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				B &= \left( \frac{7}{3} \right)^3 \div \left( \frac{4}{10} \right) ^4\\
				&= \left( \frac{7}{3} \right)^3 \div \left( \frac{2}{5} \right) ^4\\
				&= \frac{7^3}{3^3} \div \frac{2^4}{5^4}\\
				&= \frac{7^3}{3^3} \times \frac{5^4}{2^4}\\
				&= \frac{7^3 \times 5^4}{3^3 \times 2^4}
			\end{align*}
			
			Comme nous avons des décompositions en facteurs premiers des numérateurs et dénominateurs nous pouvons affirmer que la forme irréductible de $B$ est
			
			\begin{conclusion}
				
				$B=\frac{ \np{214375}}{ \np{144}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	L'écriture décimale infinie d'un nombre comporte un grand nombre de chiffres zéros. Par exemple $2= \dots\np{0002,000} \dots$. Or, dans cet exemple, il n'y a qu'un seul chiffre qui contienne de l'information; nous dirons que $2$ est \emph{\color{purple}significatif}.
	
	\medskip
	Les physiciens ont adoptés une écriture des nombres qui prend en compte la notion de chiffre significatif:
	
	\begin{definition}
		
		La \emph{\color{purple}notation scientifique} (ou \emph{\color{purple}écriture scientifique}) d'un nombre décimal est l'écriture de ce nombre sous la forme $a\times 10^n$, le nombre $a$ ne possédant qu'un chiffre non nul avant la virgule ($1\leqslant a < 10$) et $n$ un entier.
		
	\end{definition}
	
	Par exemple: $\np{1234,5678}=\np{1,2345678}\times 10^{3}$.
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la notation scientifique des quatre nombres $\np{123400000}$ et $\np{0,000123}$ et $451$ et $\np{92384}$.
		
		\item Déterminez, sans calculatrice, l'écriture en notation scientifique du nombre \[ \frac{2\times 10^3 \times 2,4 \times 10^{-6}}{1,2 \times 10^{-10} \times 8\times 10^{12}} \]
		
		\item Arrivés en fin de vie, certaines étoiles explosent violemment. Ce phénomène, appelé supernova, entraîne une forte augmentation de l'intensité lumineuse de l'astre qui peut briller comme $200$ millions de soleils pendant plusieurs semaines.
		
		Exprimez en notation scientifique et sans user de la calculatrice, le rapport maximal entre l'intensité lumineuse d'une supernova et celle du soleil.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\np{123400000}=1,234 \times 10^{8}$ et $\np{0,000123}=1,23 \times 10^{-4}$ et $451=4 \times 10^2$ et $\np{92384}=9,2384 \times 10 ^{4}$.
		
		\item $\frac{1}{2} \times 10^{-5}=5 \times 10^{-6}$.
		
		\item $200 \times 10^{6}=2 \times 10^{8}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $x$ un réel non nul.
	
	Écrivez chacun des nombres suivants sous la forme $x^n$, où $n$ est un nombre entier relatif.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=x^4 \times (x^{-2} )^3 \times x^5$.
		
		\task $\displaystyle B= \frac{x^7}{x^8 \times x^{-5}}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=x^3$.
		
		\task $B=x^{6}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Écrivez les nombres sous la forme $a^n$ avec $a$ et des nombres entiers relatifs.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A= \displaystyle 5^3 \times 5^8$.
		
		\task $B= \displaystyle 7^{-4} \times 7 ^{-5}$.
		
		\task $C= \displaystyle (-3)^6 \times (-3)^{9}$.
		
		\task $D= \displaystyle  \frac{4^7}{4^4}$.
		
		\task $E = \displaystyle  \frac{10^{14}}{10^{20}}$.
		
		\task $F= \displaystyle \frac{9^{-5}}{9^{11}}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=5^{3+8}=5 ^{11}$.
		
		\task $B=7^{-4+(-5)}= 7^{-9}$.
		
		\task $C=(-3)^{6+9}=(-3)^{15}$.
		
		\task $D= 4^{7} \times 4^{-4} = 4 ^{7+(-4)}= 4^{3}$.
		
		\task $E= 10^{14} \times 10{-20} = 10^{14+(-20)}=10^{-6}$.
		
		\task $F= 9^{-5} \times 9^{-11}= 9 ^{-5+(-11)}=9^{-16}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Écrivez les nombres sous la forme $10^n$ avec $n$ un nombre entier relatif.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=\dfrac{10^7}{10^3 \times 10^2}$.
		
		\task $B=\dfrac{10^{-7} \times 10^8}{10^5}$.
		
		\task $C= \dfrac{\left( 10^{-2} \right)^4}{10^{14}}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=10^2$.
		
		\task $B=10^{-4}$.
		
		\task $C=10^{-22}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $a$ et $b$ des nombres réels non nuls.
	
	Écrivez les expressions littérales suivantes sous la forme $a^n \times b^p$ avec $n$ et $p$ des nombres entiers relatifs.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A= \left( \frac{a}{b}\right)^3$.
		
		\task $\displaystyle B=\frac{ (ab)^5}{a^4}$.
		
		\task $\displaystyle C=\frac{a^4}{a^3 \times b^{-7}}$.
		
		\task $\displaystyle D=\left( \frac{b}{a} \right)^4 \times a^2$.
		
		\task $\displaystyle E=\left( a^3 \times b \right)^2$.
		
		\task $\displaystyle F= \left( \frac{a}{b} \right)^3 \times a^{-2}$.
		
		\task $G= \displaystyle \left( a^{-5} \times b^{-2} \right)^{10}$.
		
		\task $\displaystyle H=\left( \frac{a}{b^2} \right) ^{-2} \times \left( \frac{a}{b^2} \right)^{-2} \times \left( \frac{1}{a^3} \right)^5$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=a^3 b^{-3}$.
		
		\task $B=ab^{5}$.
		
		\task $C=ab^{7}$.
		
		\task $D=a^{-2}b^4$.
		
		\task $E=a^6b^2$.
		
		\task $F=ab^{-3}$.
		
		\task $G=a^{-50} b^{-20}$.
		
		\task $H=a^{-19}b^{8}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Écrivez chacun des nombres suivants sous la forme $3^p$, ou $p$ est un nombre entier relatif.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=27 \times 9^5$.
		
		\task $\displaystyle B=\frac{81^4 \times 9^{-2}}{27^{-3}}$.
		
		\task $\displaystyle C=9^{-3} \times 81^2$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=3^{13}$.
		
		\task $B=3^{21}$.
		
		\task $C=3^2$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Écrivez chacun des nombres suivants sous la forme $2^p$, ou $p$ est un nombre entier relatif.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=2^n \times 2^{n-1}$.
		
		\task $\displaystyle B=\frac{2^{3-n} \times 2^{n+2}}{2^{-4n}}$.
		
		\task $\displaystyle C= \left( 2^{n-1} \right)^3 \times 2^{-n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=2^{2n-1}$.
		
		\task $B=2^{4n+5}$.
		
		\task $C=2^{2n-3}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Factorisez les expressions suivantes pour $n$ entier naturel non nul.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle 3^n+2 \times 3^{n+2}$.
		\task $\displaystyle 7^{n}+7^{n+1}+7^{n+2}$.
		\task $\displaystyle \left( 13^n \right)^2+13^n$.
	\end{tasks}
		
\end{exercice}

\subsection{Analyse dimensionnelle.}
\begin{lecon}
	
	L'\emph{\color{purple}analyse dimensionnelle} est un outil qui permet d'étudier les égalités ou les formules faisant intervenir des grandeurs physiques, et donc des unités différentes.
	
	\medskip
	Rappelons quelques grandeurs et unités du système international.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|l|l|l|}
			
			\hline
			Grandeur & Dimension & Unité du SI
			\\
			\hline
			Masse & $M$ & kilogramme (kg)
			\\
			\hline
			Temps & $T$ & seconde (s)
			\\
			\hline
			Longueur & $L$ & mètre (m)
			\\
			\hline
			Température & $\theta$ & kelvin (K)
			\\
			\hline
			Intensité électrique & $I$ & ampère (A)
			\\
			\hline
			Quantité de matière & $N$ & mole (mol)
			\\
			\hline
			Intensité lumineuse & $J$ & candela (cd)
			\\
			\hline
			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	À partir de ces unités de base il est possible de construire des unités dérivées. Ainsi la vitesse $v$, dans le système international, s'exprime en $\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, que nous pourrons aussi noter $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ou $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{ \emph{Sujet C.R.P.E. 2020.}}
		
	Monsieur Piti, professeur des écoles à Tahiti, organise un voyage scolaire au Chili avec ses élèves. Le vol Papeete - Santiago du Chili fait une escale sur l’Île de Pâques, où ils passeront quelques jours.
	
	Dans l’avion, l’écran du passager indique les informations du vol en direct, en différentes langues et unités. Monsieur Piti compare les données en anglais et en espagnol au même
	moment:
	
	\medskip
	\hspace*{-0.75cm}
	\begin{tabularx}{1.06\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\emph{Anglais} & \emph{Espagnol} & \emph{Traduction de M. Piti} 
		\\
		\hline
		Ground speed: \newline $530\ \mathrm{mph}$ & Velocidad: \newline $853\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ & Vitesse
		\\
		\hline
		Altitude: \newline $\np{35000}\ \mathrm{ft}$ & Altura: \newline $\np{10668}\ \mathrm{m}$ &  Altitude
		\\
		\hline
		Outside air temperature: \newline $-58\degres \ \mathrm{F}$ & Temperatura exterior: \newline $-50\degres \ \mathrm{C}$ & Température extérieure
		\\
		\hline
		Distance to destination: \newline $2497\ \mathrm{mi}$ & Distancia asta el destino: \newline $4018\ \mathrm{km}$ & Distance restante
		\\
		\hline
		Local time at \newline destination: $3:43\ \mathrm{pm}$ & La hora a la destinacion: \newline $15:43$ & Heure locale à destination
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Monsieur Piti a traduit les mots en français (dernière colonne), mais les unités sont différentes.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		Quelle est la longueur d’un pied ($1\ \mathrm{ft}$) en millimètre?	
		
		\item 
		
		Si l’avion gardait cette vitesse constante, à quelle heure arriverait-il?
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\objectif{Exprimons un pied en millimètre.}
			
			D'après l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				\np{35000}\ \mathrm{ft} &= \np{10668}\ \mathrm{m} \\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				\frac{\np{35000}\ \mathrm{ft}}{\color{orange}\np{35000}} &= \frac{\np{10668}\ \mathrm{m}}{\color{orange}\np{35000}} \\
				\frac{\np{35000}}{\np{35000}}\ \mathrm{ft} &= \frac{\np{10668}}{\np{35000}}\ \mathrm{m} \\
				1\ \mathrm{ft} &= 0,3048\ {\color{orange}\mathrm{m}}\\
				1\ \mathrm{ft} &= 0,3048 {\color{orange}\times 1000\ \mathrm{mm}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$1\ \mathrm{ft} = 304,8 \ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			
			\item 
			
			\objectif{Déterminons l'heure d'arrivée.}
			
			Nous connaissons la vitesse de l'avion et la distance qu'il doit parcourir, par conséquent la durée du trajet restant est
			
			\begin{align*}
				d_r &= \frac{\np{4018}\ \mathrm{km}}{\np{853}\ \mathrm{km}/ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{\np{4018}}{\np{853}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}}\\
				&= \frac{\np{4018}}{\np{853}}\ \mathrm{h}\\
				&= \left(4+ \frac{606}{853} \right) \ \mathrm{h}\\
				&= \left(4\ \mathrm{h} \right)+ \left( \frac{606}{853}\times 60\ \mathrm{min} \right) \\
				&\approx \left(4\ \mathrm{h} \right)+ \left( 43\ \mathrm{min} \right) \\
			\end{align*}
			
			Par conséquent l'heure à l'arrivée sera, en arrondissant à la minute:
			
			\begin{align*}
				\left(15\ \mathrm{h} \right)+ \left( 43\ \mathrm{min} \right) + \left(4\ \mathrm{h} \right)+ \left( 43\ \mathrm{min} \right) &= \left[ (15+4)\ \mathrm{h} \right]+ \left[(43+43)\ \mathrm{min} \right]\\
				&= \left(19\ \mathrm{h} \right)+ \left( 86\ \mathrm{min} \right) \\
				&= \left(19\ \mathrm{h} \right)+ \left[ (1 \times 60 +26)\ \mathrm{min} \right] \\
				&= \left(19\ \mathrm{h} \right)+ \left(1\ \mathrm{h} \right) + \left( 26\ \mathrm{min} \right)
			\end{align*}
			
			Finalement:
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsqu'ils arriveront l'heure locale sera: $19\ \mathrm{h}$ et $26\ \mathrm{min}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	Nous pourrons également créer des sous-unités $\mathrm{cm}=\frac{1}{100}\ \mathrm{m}$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{ \emph{Sujet de C.R.P.E. 2020.}}
	
		Un fabricant de sauce tomate utilise des boîtes de conserve de forme cylindrique de diamètre $99\ \mathrm{mm}$ et de hauteur $118\ \mathrm{mm}$.
	
	%\begin{center}
		%\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_algebre_03_puissances_01_crpe_boite.png}
	%\end{center}
	
	Le format de ces boîtes est appelé $\displaystyle \frac{4}{4}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Rappel du volume d'un cylindre: \[ V = Aire\ de\ la\ base \times hauteur. \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Dans tout cet exercice, on négligera l’épaisseur du métal.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		Calculer le volume, en $\mathrm{cm}^3$, d’une boîte de conserve $\displaystyle \frac{4}{4}$. Arrondir le résultat à l’unité.
		
		
		\item 
		
		La contenance affichée sur la boîte est $850\ \mathrm{mL}$. Vérifier qu’une boîte remplie à $95\ \%$ contient bien au moins $850\ \mathrm{mL}$ de sauce tomate.
		
		\item 
		
		On considère une nouvelle boîte de même hauteur et dont le diamètre est le double de la précédente. Le volume de la nouvelle boîte est-il le double du volume d’une boîte $\displaystyle \frac{4}{4}$? Justifier la réponse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\objectif{Calculons le volume $V_1$ de la boîte.}
			
			Puisque la base de ce cylindre est un disque de rayon $\frac{99}{2}\ \mathrm{mm}$, d'après la formule qui nous est rappelée:
			
			\begin{align*}
				V_1 &= \left[ \pi \left(\frac{99}{2}\ \mathrm{mm} \right)^2 \right] \times \left( 118\ \mathrm{mm} \right)\\
				&= \pi \times \left( \frac{99}{2} \right)^2 \times 118\ \mathrm{mm}^2 \cdot \mathrm{mm}\\
				&= \np{289129,5}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mm}}^3\\
				&= \np{289129,5}\pi \left({\color{orange} \frac{1}{10}\ \mathrm{cm}} \right)^3\\
				&= \np{289129,5}\pi \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{cm}^3\\
				&\approx \np{908,32711}\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_1 \approx 908\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\objectif{Calculons le volume $V_2$ correspondant à $95\ \%$ du volume de la boîte précédente.}
			
			\begin{align*}
				V_2 &= \frac{95}{100} \times V_1\\
				&= \frac{95}{100} \times \np{289,1295}\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
				&= \frac{95}{100} \times \np{289,1295}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
				&\approx 862,9107\ \mathrm{mL}
			\end{align*}
			
			Nous avons bien $V_2>850\ \mathrm{mL}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La boîte contient au moins $850\ \mathrm{mL}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			{\color{orange}Nous pourrions faire les calculs numériques pour comparer les volumes de boîtes mais nous allons démontrer que ce résultat est inexacte pour tous les cylindres.}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que doubler le diamètre ne signifie pas doubler le volume.}
			
			Notons $d$ le diamètre de la base du cylindre et $h$ sa hauteur. Alors son volume est:
			
			\begin{align*}
				V_3 &= \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \times h\\
				&= \frac{1}{4} \pi d^2h
			\end{align*}
			
			Le volume obtenu en doublant le diamètre est:
			
			\begin{align*}
				V_4 &= \pi \left( \frac{2d}{2} \right)^2 \times h\\
				&= \pi d^2h
			\end{align*}
			
			Nous remarquons que: $4V_3= V_4$ et donc (hormis dans le cas de volumes nuls):
			
			\begin{conclusion}
				
				lorsque le diamètre double le volume du cylindre ne double pas.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{lecon}
	
	Il est toujours possible de multiplier ou diviser ente elles des unités pour créer de nouvelles unités, par contre il n'est possible d'additionner et soustraire que des unités identiques.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Sachant que l'accélération d'un objet est donnée par la formule \[ a= \frac{v}{t} \] où $v$ désigne la vitesse de l'objet et $t$ le temps écoulé, donnez l'unité du système international qui permet de mesurer cette accélération.
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	L'analyse dimensionnelle permet de vérifier l'homogénéité d'une formule ou d'une égalité en s'assurant que la dimension est la même des deux côtés de l'égalité.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Un élève propose l'équation suivante pour calculer la distance parcourue, $x$, par un objet: \[ x=vt^2 \] où $v$ désigne la vitesse de l'objet et $t$ le temps écoulé.
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez l'homogénéité (cohérence des unités) de cette équation (en cherchant l'unité des membres de gauche puis de droite de l'égalité).
		
		\item Exprimez la vitesse en fonction du temps et de la distance parcourue $x$ avec la formule proposée.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}	

\begin{lecon}
	
	Un résultat incontournable de la mécanique:
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Le \emph{\color{purple}principe fondamental de la dynamique} (ou \emph{\color{purple}deuxième loi de Newton}) indique qu'un objet subit une accélération $a$ qui est donné par \[ a=\frac{F}{m} \] où $F$ est la force, exprimée en newton ($\mathrm{N}$) (unité qui mesure l'intensité d'une force), qui s'applique à l'objet et $m$ la masse de cet objet.
	
	Exprimez le newton ($\mathrm{N}$) avec des unités du système international.
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Un autre résultat de la physique qui de plus est au programme de seconde.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	La force d’interaction gravitationnelle entre deux corps de masses $m_1$ et $m_2$ distants de $d$ (la Terre et la Lune par exemple) est donnée par la relation \[ F= G\frac{m_1m_2}{d^2} \] où  $G$ est une constante appelée \emph{\color{purple}constante gravitationnelle}.
	
	Exprimez l'unité de la constante gravitationnelle avec les unités du système international.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Cherchez l'erreur dans le raisonnement suivant:
	
	\begin{enumerate}
		\item Prenez d'abord: 1 kilogramme égale 1000 grammes et 2 kilogrammes égale 2000 grammes.
		\item Multiplions chaque masse en kilo entre elles puis de même pour celles en grammes. On a donc l'égalité : $1\times 2\ \mathrm{kg} =1000\times 2000\ \mathrm{g}$.	
		\item Ce qui fait donc: $2\ \mathrm{kg} = \np{2000000}\ \mathrm{g}$
		\item Soit en changeant d'unité $2\ \mathrm{kg} = 2000\ \mathrm{kg}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Le nombre d'or est obtenu comme le rapport de la largeur sur la longueur d'un certain rectangle.
	
	Quelle est la dimension du nombre d'or? Quelle est l'unité du système international qui permet de l'exprimer?
	
\end{exercice}


~
\newpage
~
\newpage
~
\newpage
~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}