%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{32 Monotonie.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{32 Monotonie.}

\subsection{De la variation des fonctions.}

\subsubsection{De la géométrie ...}

\begin{notabene}
	
	Présenter sur la courbe représentative de la fonction cube la notion de croissance. Et en fait dire qu'il ne s'agit pas de la fonction cube et zoomer et se rendre compte qu'il y a d'autre variation.
	
	Présenter une sinusoïde pour montre le côté il peut y avoir plein de variation et il faudra décrie en précisant les intervalles.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
	
	\begin{notabene}
		
		Pour la classe faire avec la calculatrice et des schémas au tableau.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Quantité produite (tonne)};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Bénéfice (milliers d'euros)};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(sqrt(4*\x+0.5)});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Lorsque nous voyons que la courbe représentative d'une fonction $f$ monte cela traduit le fait que la quantité $f(x)$ augmente à mesure que $x$ augmente. Ci-dessus le bénéfice augmente à mesure que la quantité produite augmente.
	
	\newpage
	Regardons ce qu'il se passe dans une situation purement mathématique.Nous allons essayer comme d'habitude d'étudier le géométrique (la courbe monte) en en donnant une interprétation avec des coordonnées.
	
	On a dessiné ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g:x \mapsto (x-0,001)^2(x+0,001)$
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\newpage
	Nous voyons que la courbe monte. Cela traduit bien le fait que les $f(x)$ augmente à mesure que les $x$ augmentent.
	
	Par exemple si les $x$ passent d'une valeur $x_1$ à une plus grande valeur $x_2$ on constate qu'on est passé d'une image $f(x_1)$ à une plus grande image $f(x_2)$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [red] (-1.5,0.5) node {$x_1$};
			\draw [violet, dashed] (0,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [violet] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$f(x_1)$};
			\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [red] (1.2,-0.5) node {$x_2$};
			\draw [violet, dashed] (0,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [violet] (-0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$f(x_2)$};
			\draw [red, very thick, >=latex,->] (-1,-0.5) -- (0.9,-0.5);
			\draw [violet, very thick, >=latex,->] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)+0.5}) -- (0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)-0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\newpage
	Alors que si la courbe descend, lorsque les $x$ augment les images $f(x)$ diminuent:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{-(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
			\draw[blue] (1.25,-6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [red] (-1.5,-0.5) node {$x_1$};
			\draw [violet, dashed] (0,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
			\draw [violet] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$f(x_1)$};
			\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [red] (1.2,0.5) node {$x_2$};
			\draw [violet, dashed] (0,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
			\draw [violet] (-0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$f(x_2)$};
			\draw [red, very thick, >=latex,->] (-1,0.5) -- (0.9,0.5);
			\draw [violet, very thick, >=latex,->] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)-0.5}) -- (0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)+0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\newpage
	Pourquoi aller regarder ce qui ce passe pour les $x$ et les $f(x)$? Pourquoi ne pas se contenter de la représentation graphique pour dire si ça augmente ou diminue?
	
	Parce que nous ne pouvons nous fier à nos sens. Agrandissons la courbe représentative au voisinage de $0$.
	
	\begin{notabene}
		
		À aire avec Géogébra szoomer à la roulette jusqu'à obtenir l'intervalle $[-0,002;0,002]$ puis tirer à la souris sur l'axe de ordonnées pour continuer à zooer sur l'axe des ordonnées.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-8};
			\def\xZ{2};
			\def\yZ{8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.8:2] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)*(\x+1)});
			\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous avons besoin d'un outil qui ne peut se tromper: une définition analytique des variations d'une fonction.
	
\end{correction}

\subsubsection{ ... à l'analyse ...}

\begin{notabene}
	
	Vraie définition mais simple constat que ça fonctionne.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $\mathscr{D}_f \subset \mathbb{R}$ un ensemble,
		
		\item $E \subset \mathscr{D}_f$ un ensemble,
		
		\item $f: \mathscr {D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}croissante sur} $E$ lorsque, quels que soient $x_1$ et $x_2$ choisis dans $E$, si $x_1<x_2$ alors, forcément, $f(x_1)\leqslant f(x_2)$.
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	Avec les élèves écrire les trois autres définition pour qu'il mémorise la définition et voit ce qui peut changer ou pas.
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Regarder le paragraphe suivant pour des exemples graphiques de fonctions avec divers sens de variation.
		
		\item Nous avons déjà établi que la monotonie d'une fonction affine est liée au signe de son coefficient dominant.
		
		\item Nous avons démontré dans la leçon sur racine carrée que c'est une fonction strictement croissante.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons définir de même:
		
		\begin{enumerate}
			\item $f$ est \emph{croissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)\leqslant f(\beta)$.
			
			\item $f$ est \emph{strictement décroissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)> f(\beta)$.
			
			\item $f$ est \emph{décroissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)\geqslant f(\beta)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Nous retiendrons que \emph{\color{purple}les fonctions croissantes conservent l'ordre tandis que les fonctions décroissantes ne conservent pas l'ordre}.
		
		\item C'est une définition complexe. Il faut comprendre l'idée correspondante: dire que $f$ est \emph{\color{purple}croissante} c'est dire que \emph{\color{purple}quand les $x$ augmentent les $f(x)$ augmentent aussi}. Il faut commencer à se familiariser avec l'aspect technique.
		
		\item Une fonction qui est croissante ou décroissante sur tout son ensemble de définition est dite \emph{\color{purple}monotone}. Il existe des fonctions qui ne sont pas monotone.
		
		\item Permet de trouver de nouvelles inéquations mais pas d'équivalences.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Des exemples graphiques dans ce qui suit.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $(x+1)(x-2)>0$ pour tout $x \in ]2,+\infty[$.
		
		\item Déduisez en que, pour $x \in ]2,+\infty[$, $x^2-x>2$.
		
		\item Déduisez-en, finalement que $\sqrt{x^2-x}>\sqrt{2}$ pour tout $x \in ]2,+\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{... au français ...}

\begin{notabene}
	
	Le prgramme impose de parti de la réprésentation graphique à la calculatrice.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les \emph{\color{purple}fonctions monotones} sont les fonctions dont le sens de variation ne change pas.
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{3cm}|m{3cm}|m{3cm}|m{3cm}}
		Fonction \emph{\color{purple}croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick](-3,-5)--(-1,1)--(1,1)--(3,3);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}décroissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick](-3,4)--(-1,4)--(1,1)--(3,-4);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement décroissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-6};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{-0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline 
	\end{tabular}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Une fonction n'est pas monotone lorsqu'elle est tantôt croissante tantôt décroissante. Dans ce cas il faut préciser sur quelles parties elle est croissante ou décroissante.
	
	\begin{notabene}
		
		Lorsque $x$ augmente de $-3$ à $-2$, $f(x)$ diminue de $5$ à $1$. Ce que nous traduirons en disant:
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4cm}m{0.5cm}m{7cm}}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-1.5};
				\def\xZ{3.2};
				\def\yZ{5.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left](0,0){\small $O$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
				\draw[blue, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
				\draw[blue, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
				\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{blue}$\mathcal{C}_f$};
				\draw[blue] (3,0) node{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&&
		
		Nous dirons que:\newline
		$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2]$,\newline
		$f$ est constante sur $[-2;-1]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$,\newline
		$f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[2;3]$.
		
		\smallskip
		La courbe fait également apparaître des \emph{\color{purple}sommets} (points haut ou bas de la courbe).
		
		\smallskip 
		Nous dirons que, par exemple, \emph{\color{purple}$f$ admet un minimum (absolu) égale à $-1$ qui est atteint pour $x=2$}.
		
		\smallskip
		Ou encore que \emph{\color{purple}$f$ admet un maximum local sur $[-2;3]$ qui est égale à $3$ et qui est atteint en $x=0$}.
		\\ \end{tabular}
	
	
	
	
\end{lecon}

\subsubsection{... pour finir par une schématisation.}

\begin{lecon}
	
	Nous schématiserons la courbe représentative de la fonction par un \emph{\color{purple}tableau de variation}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick,violet] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick,orange] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
			\draw[black, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
			\draw[black, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
			\draw[black, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
			\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{black}$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=1.6, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f$ /2}
			{$-\infty$, $-2$, $-1$, $0$, $2$, $3$}
			\tkzTabVar{+/ /, -/ $1$ / , -/ $1$, + / $3$, -/ $-1$, +/ $0$ /}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			monotone
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			diverses variations.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Exemple à partir de la calculatrice: $0,06(x-2)(x-3)(x+5)$
			
		\end{notabene}
		
		Dressons le tableau de variation de la fonction $x \mapsto 0,06(x-2)(x-3)(x+5)$ sur $[-10;10]$ d'après la calculatrice.
		
		\item Proposer une représentation graphique à partir d'un tableau de variation.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un tableau de variation apparaissent bien sûr les variations mais aussi les \emph{\color{purple}extremum} (\emph{\color{purple}minimum} ou \emph{\color{purple}maximum}, \emph{\color{purple}absolu} ou \emph{\color{purple}local}).
		\item Les valeurs dans un tableau de variation sont toutes exactes. Pas de valeur approchée.
		\item Il est possible de décrire les variations de la fonction à partir du tableau de variation sans connaître la courbe représentative.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour faire des phrases descriptives des variations, ainsi que des extremums.
		
		Schématiser une représentation graphique grâce au tableau de variation.
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64571&ordre=1}{Exercice 8 page 122 (Sesamath).}
		
	\end{notabene}
	
	 Compléter le tableau de variation proposé à partir de la représentation graphique ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.85, lw=0.3mm]
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-4$,\textcolor{white}{$-1$},4}
			\tkzTabVar{+/2,-/\textcolor{white}{$-1{,}5$},+/2}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.78]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-2.5};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-4,2)(-3,0)(-1,-1.5)(3,0)(4,2)};
			\draw [purple] (-4,2) node {$\bullet$};
			\draw [purple] (4,2) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour faire des phrases descriptives des variations, ainsi que des extremums.
		
		Schématiser une représentation graphique grâce au tableau de variation.
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64572&ordre=1}{Exercice 9 page 122 (Sesamath).}
		
		Complétez le tableau de variations proposé à partir de représentation graphique ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[color, lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]
				{ $x$ / 1,  $f(x)$ / 2}
				{ $-4$,\textcolor{white}{$-1$},4}
				\tkzTabVar[color=white]{+/2,-/\textcolor{white}{$-1{,}5$},+/2}
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{notabene}
		
	Compléter le tableau de variation proposé à partir de la représentation graphique ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.85, lw=0.3mm]			
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-4$,$\dots$,$\ldots$,$\ldots$}
			\tkzTabVar[color=white]{+/$\ldots$,-/$\ldots$,+/1, -/$-1{,}5$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.78]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-2.5};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-4,2)(-1,-1.5)(1,1)(4,-1.5)};
			\draw [purple] (-4,2) node {$\bullet$};
			\draw [purple] (4,-1.5) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Profiter de cet exercice pour faire des phrases descriptives des variations, ainsi que des extremums.
		
		Schématiser une représentation graphique grâce au tableau de variation
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64573&ordre=1}{Exercice 10 page 122 (Sesamath).}
		
		Complétez le tableau de variations proposé à partir de représentation graphique ci-dessous.
				
	\end{notabene}
	
	Compléter le tableau de variation proposé à partir de la représentation graphique ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=0.78]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.85, lw=0.3mm]			
			{ $x$ / 1,  $f$ / 2}{ $-3$,,$\ldots$}
			\tkzTabVar[color=white]{}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.78]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-4};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-2.5};
			\def\ycoinhautdroit{2};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw[smooth, very thick, color=purple] plot coordinates{(-3,2)(-2,0)(0,-1)(4,-1.5)};
			\draw [purple] (-3,2) node {$\bullet$};
			%\draw [purple] (4,-1.5) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64577&ordre=1}{Exercice 14 page 123 (Sesamath).} Lire un tableau de variation. Maxima et minima.
	\end{notabene}
	
	Voici le tableau de variations d'une fonction $f$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=1.85,lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-4$ , $-1$ , $1$ , $3$,  $3{,}5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $-4$ , +/ $-2$ , -/ $-5$ , +/ $0$ , -/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
		\task Indiquer le sens de variation de la fonction $f$.
		\task Préciser les extrema éventuels de la fonction $f$ et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints.
		\task Tracer deux courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction $f$.% dans un repère.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64584&ordre=1}{Exercice 21 page 124 (Sesamath).} Comparer avec un tableau de variation.
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-2$ , $0$ , $3$ , $4$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $-1$ , +/ $\dfrac{5}{2}$ , -/ $-1$ , +/ $6$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Comparer si possible les nombres suivants.
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(-2)$ et $f(-1)$
		\task $f\left(\dfrac{1}{3}\right)$ et $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$
		\task  $f(-1)$ et $f(1)$
		\task $f(3,6)$ et $f(3,7)$
		\task $f\left(\dfrac{7}{2}\right)$ et $f(4)$
		\task $f(1)$ et $f(3,5)$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	%Exercices 34 page 258 à 51 page 259 du manuel Indice. Tableaux de variation, description des variations, comparaison d'images.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	%Exercices 37 page 258  du manuel Indice 2019.
	
	On donne le tableau de variation d'une fonction $f$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $f$ / 2}
			{ $-5$ , $0$ , $1$ , $2$}
			\tkzTabVar[color=white]{ -/ $2$ , +/ $5$ , -/ $-4$ , +/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Tracez une courbe pouvant représenter la fonction $f$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	%Exercices 38 page 258  du manuel Indice 2019.
	
	On donne le tableau de variation d'une fonction $g$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\tkzTabInit[color,lgt=1.3,espcl=2.46, lw=0.3mm]{ $x$ / 1, $g$ / 2}
			{ $-4$ , $-1$ , $2$ , $5$}
			\tkzTabVar[color=white]{ +/ $2$ , -/ $-3$ , +/ $3$ , -/ $-1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{tasks}
		\task Quel est l'ensemble de définition de $g$?
		\task Décrivez par des phrases les variations de $g$.
		\task Tracez dans un repère une courbe pouvant représenter $g$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	%Exercices 39 page 258  du manuel Indice 2019.
	
	Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-2;7]$. On sait:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $f$ est croissante sur $[-2;5]$ et sur $[6;7]$;
		\item $f$ est décroissante sur $[5;6]$;
		\item $f(-2)=f(6)=-1$ et $f(5)=f(7)=1$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{tasks}
		\task Construisez le tableau de variation de $f$.
		\task Tracez dans un repère une courbe pouvant représenter $f$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	%Exercices 52 page 259 à 60 page 261 du manuel Indice. Extrema.
	
\end{exercice}

\subsection{Variation des fonctions affines.}

\begin{notabene}
	
	Pour l'instant nous nous sommes contenté de lecture graphique or nous savons que c'st trop imprécis.
	
	L'étude des variations d'une fonction n'est pas forcément aisée.
	
	Nous allons commencer par étudier les variations des fonctions que nous connaissons.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrons que la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par: $\forall x\in \mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ est strictement croissante {\color{orange}conjecture établie avec une calculatrice}.
		
		{\color{orange}Il faut démontrer que quelque soient les nombres $\alpha$ et $\beta$ choisis avec $\alpha < \beta$on a forcément $f(\alpha)<f(\beta)$.}
		
		\medskip
		Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha< \beta$. {\color{orange}Il faut garder des lettres et ne pas remplacer par des valeurs numériques pour que le résultat reste général, vrai quelque soit les nombres choisis.} Démontrons qu'alors nécessairement $f(\alpha)<f(\beta$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Le raisonnement consiste à partir de l'inégalité $\alpha < \beta$ et de reconstruire la fonction $f$ de par et d'autre d façon à faire apparaître $f(\alpha)$ et $f(\beta)$. Pour cela nous ferons les étapes correspondant aux priorités opératoires.}
		
		L'inégalité $\alpha < \beta$ est successivement équivalente à 		
		\begin{align*}
			2\alpha  &< 2\beta, \text{ \color{orange}le sens est conservé car $2>0$.}\\
			2\alpha+1 &< 2\beta+1\\
			f(\alpha) &< f(\beta)
		\end{align*}
		
		\medskip
		Nous avons démontré que si $\alpha<\beta$ alors $f(\alpha)<f(\beta)$. {\color{orange}Les images et les antécédents sont rangés dans le même ordre.}
		
		Ceci étant vrai quelque soit les $\alpha$ et $\beta$ choisis nous pouvons affirmer que la fonction $f$ est strictement croissante.
		
		\begin{notabene}
			
			Sur quelques autre exemples non détaillés faire deviner la règle générale.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		
		\item $f$ la fonction affine définie par: $f(x)= ax+b$ quelque soient $x\in\mathbb{R}$
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Si $a<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Si $a=0$ la fonction est évidemment constante.
	
	\medskip
	Démontrons l'un des deux cas l'autre se traitant de la même façon. Supposons par exemple que $a<0$. 
	
	Il faut démontrer que $f$ est strictement décroissante. {\color{orange}D'après la définition de la monotonie, il faut donc montrer que quels que soient les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$.}
	
	\medskip
	Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha<\beta$. Cette inégalité est successivement équivalente à:
	
	\begin{align*}
		a\alpha &>ax\beta \text{ car $a<0$} \\
		a\alpha+b &> a\beta+b \\
		f(\alpha) &> f(\beta)
	\end{align*}
	
	On a donc démontrer que si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$. Autrement dit $f$ est strictement décroissante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Étudions les variations de la fonction $h$, définie par $h(x)=-12x+3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
		
		$h$ est une fonction affine avec $a=-12$ et $b=3$. Comme $a<0$, $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Nous ne pouvons rien dire pour $x\mapsto 2x^2-3x+1$ car ce n'est pas une fonction affine.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	La connaissance des variations de la fonction affine permet de retrouver les tableaux de signes en raisonnant à partir de la courbe représentative.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	{\color{RoyalBlue}Étudions par exemple le signe de $f:x\mapsto -2x+4$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=4$.
			\item {\color{orange}le coefficient directeur est strictement négatif}, $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante.
			
			{\color{orange}Ceci se traduit graphiquement par une droite qui descend. Quelque chose comme:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
						\def\xY{-2.5};
						\def\yY{-4.5};
						\def\xZ{15.5};
						\def\yZ{5.5};
						\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
						\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
						%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
						%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
						%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
						%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
						\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
						\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:15] plot(\x,{-0.5*\x+4});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous voyons sur ce schéma que la fonction prend d'abord des valeurs positives puis des valeurs négatives. Autrement dit nous pouvons déjà compléter le tableau de signe de la façon suivante:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
						{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
						\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Il nous reste à trouver pour quelle valeur de $x$, $f$ s'annule.
			} 
			
			\item $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. {\color{orange}Ce résultat a été établi plus tôt dans cette leçon.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons le tableau de signe de $f$.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	}
	
\end{exemples}

\subsection{Démonstrations pour les fonctions de référence.}

\begin{lecon}
	
	La façon la plus simple de retenir les résultats de cette partie consiste à connaître par cœur les allures des courbes représentatives des fonctions de référence.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	La parité pas encore vue ne peut être utilisée comme argument dans les démonstrations.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Carré.}

\begin{notabene}
	
	Démonstration.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Conjecturer le tableau de variation d'après la courbe représentative.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Tableau de variations de la fonction carrée:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/0.8,$x \mapsto x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $[0\ ;\ +\infty [$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\le x_2\times x_1\text{, car } x_1\ge 0$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2<  x_2^2\text{, car } x_2 x_2>x_1\ge 0$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_1^2\le x_1x_2<x_2^2$$
	
	et donc $x_1^2 <x_2^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $]-\infty \ ;\ 0]$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\trous[0.5cm]{> }x_2\times x_1\text{, car } x_1\trous[1cm]{x_1<x_2 \le 0}$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2\trous[0.5cm]{\ge } x_2^2\text{, car } x_2 \trous[1cm]{x_2\le 0}$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_2^2\le \trous[2cm]{x_1x_2}<x_1^2$$
	
	et donc $x_2^2 \trous[0.5cm]{<}x_1^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit: la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$ et strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette déclic 2014 exercice 24 page 75.
		
	\end{notabene}
	
	Dans chaque cas comparez les nombres $A$ et $B$ sans utiliser la calculatrice.
	
	\begin{enumerate}
		\item $A=\left( \frac{3}{4} \right) ^2$ et $B=\left( \frac{4}{3} \right)^2$,
		\item $A=1,001^2$ et $B=1,0099^2$,
		\item $A=-2,3^2$ et $B=(-2,3)^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
			
			{\color{orange}Nous allons utiliser le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre.}
			
			\medskip
			La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
			
			Or $\frac{3}{4}<1<\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{4}$ et $\frac{4}{3}$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				\[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 < \left( \frac{4}{3} \right)^2 \]
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
			
			\medskip
			La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
			
			Or $1,001<1,0099$ et $1,001$ et $1,0099$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				\[ 1,001^2 < 1,0099^2 \]
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
			
			{\color{orange}$-2,3^2$ n'est pas une image par la fonction carrée. La précédente méthode ne fonctionnera donc pas.}
			
			\medskip
			Clairement: $-2,3^2<0<(-2,3)^2$
			
			\begin{conclusion}
				
				\[ -2,3^2<(-2,3)^2 \]
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette déclic 2014 exercice 25 page 75.
		
	\end{notabene}
	
	Encadrez $x^2$, puis $3x^2$, le plus précisément possible, dans les cas suivants:
	
	\noindent \begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		
		\begin{enumerate}
			\item $1\le x \le 4$,
			\item $-2\le x <-0,5$,
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{2}
			\item $-2 \le x < 3$,
			\item $-10\le x \le 10$.
		\end{enumerate}
		
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Pour avoir un résultat très précis il faut raisonner algébriquement. Sinon une résolution graphique convient. Cette dernière est ici plus simple et efficace.}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Résoudre une inéquation avec des carrés ou démonter une inégalité.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Inverse.}

\begin{notabene}
	
	Démonstration.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Conjecturer le tableau de variation d'après la courbe représentative.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Tableau de variations de la fonction inverse:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \frac{1}{x}$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ , -D+ / , - /  }
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Nous allons démontrer trois choses: la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$, sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soient $x_1,x_2 \in \mathbb{R}_-^*$ tels que $x_1<x_2$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\frac{x_1}{x_2} &> \frac{x_2}{x_2} \quad \text{car }x_2<0\\
			\frac{x_1}{x_2} &> 1\\
			\frac{1}{x_1} \times \frac{x_1}{x_2} &< \frac{1}{x_1} \times 1 \quad \text{car } \frac{1}{x_1}<0\\
			\frac{1}{x_2} &< \frac{1}{x_1}
		\end{align*}
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Idem pour $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Introduire le contre-exemple sur un graphique.
			
		\end{notabene}
		
		$-2<2$ et pourtant $-\frac{1}{2}< \frac{1}{2}$ donc la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Racine carrée.}

\begin{notabene}
	
	Démonstration.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Conjecturer le tableau de variation d'après la courbe représentative.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous avons déjà remarqué qu'il n'est pas possible d'obtenir des identités remarquables, des égalités, liant la somme et la racine carré. Cependant nous pouvons obtenir une inégalité.
	
\end{lecon}

\begin{lemme}{ Croissance de la racine carrée.}
	
	Soient: 
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a\in [0;+\infty[$,
		\item $b\in [0;+\infty[$.
	\end{enumerate} 
	
	\medskip
	Si $a <b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
	
\end{lemme}

\begin{preuve}{}
	
	\objectif{Supposons $a<b$ et démontrons que $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.}
	
	{\color{orange}Nous allons en fait démontrer que $\sqrt{b}-\sqrt{a}>0$.}
	
	\medskip
	Puisque $a<b$: \[ b-a>0.\]
	
	Or, $a$ et $b$ étant positifs,
	
	\begin{align*}
		b-a &= \sqrt{b}^2-\sqrt{a}^2\\
		&= \left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)
	\end{align*}
	
	donc
	
	\begin{align*}
		\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right) &> 0\\
		\intertext{Et comme $\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)>0$:}
		\frac{\left( \sqrt{b}-\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)} &> \frac{0}{\color{orange}\left( \sqrt{b}+\sqrt{a} \right)}\\
		\sqrt{b}-\sqrt{a} &> 0
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Ainsi dès que $a<b$ forcément $\sqrt{a}< \sqrt{b}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous verrons que ce résultat établit que la fonction racine carrée est strictement croissante (sa courbe représentative ne cesse de monter).
		
		\item Ce résultat constitue une nouvelle façon de transformer une inéquation. Lorsque nous verrons $x^2+x^4<8+x^2$ alors nous pourrons affirmer que $\sqrt{x^2+x^4}<\sqrt{8+x^2}$.		
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Tableau de variations de la fonction racine carrée:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \sqrt{x}$ /1.6}
			{$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {- / $0$, + /  }
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Ce résultat a été établi dans le lemme.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Cube.}

\begin{notabene}
	
	Pas de démonstration.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Conjecturer le tableau de variation d'après la courbe représentative.
	
\end{notabene}


\begin{proposition}{}
	
	Tableau de variations de la fonction cube:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
			{$-\infty$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {- / , + /  }
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item \objectif{Démontrons que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.}
		
		Nous allons utiliser une identité remarquable qui vous est encore inconnue: \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). \]
		
		\medskip
		Soient $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $x_h1 < x_2$.
		
		Démontrons que $x_1^3 < x_2^3$.
		
		Ou plutôt, ce qui revient au même démontrons que $x_2^3-x_1^3>0$.
		
		Pour étudier le signe d'une expression il vaut mieux qu'elle soit factorisée.
		
		\begin{align*}
			x_2^3-x_1^3 &= (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)
		\end{align*}
		
		D'une part, par hypothèse, \[ x_2-x_1>0. \]
		
		D'autre part, puisque $0 \leqslant x_1<x_2$: $x_1\geqslant 0$, $x_1x_2\geqslant 0$ et $x_2^2>0$ donc \[ x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0. \]
		
		Donc: \[ (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)>0. \]
		
		Ainsi, si $0\leqslant x_1<x_2$ alors $x_1^3<x_2^3$.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La fonction cube étant impaire nous en déduisons par symétrie, que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		belin métamaths 2019 page 131 exercice 69.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		belin métamaths 2019 page 131 exercice 70.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		belin métamaths 2019 page 131 exercice 71.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		belin métamaths 2019 page 131 exercice 72.
		
	\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		belin métamaths 2019 page 131 exercice 73.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}