%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{22 Manipuler des inégalités.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{22 Manipuler des inégalités.}

\subsection{Les règles de manipulation.}

\begin{theoreme}{}
	
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\item On ne modifie pas l'ensemble des solutions d'une inéquation en ajoutant ou en soustrayant le même nombre à chaque membre de celle-ci.
		
		\item On ne modifie pas l'ensemble des solutions d'une inéquation en multipliant ou en divisant par un même nombre strictement positif chaque membre de celle-ci.
		
		\item Pour ne pas modifier l'ensemble des solutions d'une inéquation en multipliant ou en divisant par un même \underline{nombre strictement négatif} des deux côtés de l'inégalité il faut changer le sens de l'inégalité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce sont les même règles que pour les équations hormis le cas de la multiplication (ou division) par un nombre strictement négatif.
		
		\item Nous pourrons donc résoudre les inéquations du premier degré comme nous le faisions pour les équations du premier degré en isolant l'inconnue.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			x-7 &\ge 12\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			x-7 {\color{blue}+7} &\leqslant 12  {\color{blue}+7}\\
			x &\leqslant 19\\
			&x\in ]-\infty;19]
		\end{align*}
		
		\item $3x\le 12$.
		
		\item $-4x\ge 32$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\subsection{Variation d'une fonction affine.}

\begin{correction}
	
	Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=3x-8$. Quel nombre est le plus grand $f(2)$ ou $f(-7)$? Peut-on le deviner sans calculer $f(2)$ et $f(-7)$.	
	
\end{correction}

\begin{notabene}
	
	Faire une représentation graphique à la calculatrice. On regarder le point le plus haut. Puis avec divers essais comment deviner la réponse juste avec le formule algébrique.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		
		\item $f$ la fonction affine définie par: $f(x)= ax+b$ quelque soient $x\in\mathbb{R}$
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Lorsque $a>0$, alors les images de deux nombres par $f$ sont rangées dans le même ordre. Autrement dit si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)< f(x_2)$.
		
		\item Si $a<0$ alors alors les images de deux nombres par $f$ sont rangées dans l'ordre contraire. Autrement dit si $x_1<x_2$ alors $f(x_1)> f(x_2)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Si $a=0$ la fonction est évidemment constante.
	
	\medskip
	Démontrons l'un des deux cas l'autre se traitant de la même façon. Supposons par exemple que $a<0$. 
	
	Il faut démontrer que $f$ est strictement décroissante. {\color{orange}D'après la définition de la monotonie, il faut donc montrer que quels que soient les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$.}
	
	\medskip
	Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha<\beta$. Cette inégalité est successivement équivalente à:
	
	\begin{align*}
		a\alpha &>ax\beta \text{ car $a<0$} \\
		a\alpha+b &> a\beta+b \\
		f(\alpha) &> f(\beta)
	\end{align*}
	
	On a donc démontrer que si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$. Autrement dit $f$ est strictement décroissante.
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Si $a>0$ la fonction affine est dite \emph{\color{purple}strictement croissante} et \emph{\color{purple}strictement décroissante} lorsque $a<0$.
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous reviendrons sur cette idée en la généralisant à d'autre fonction en parlant de monotonie.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Étudions les variations de la fonction $h$, définie par $h(x)=-12x+3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
		
		$h$ est une fonction affine avec $a=-12$ et $b=3$. Comme $a<0$, $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Signe d'une fonction affine.}

\begin{lecon}
	
	Les outils que nous venons d'introduire vont nous permettre de faire une étude générale du signe d'une fonction affine.
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	Étudier le signe d'une fonction c'est-à-dire, suivant les valeurs de $x$ si $f(x)$ est positif ou négatif.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Soit $h: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}& \rightarrow & \mathbb{R}\\  x & \mapsto & -7x+49\end{array}\right.$
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item On cherche les valeurs de $x$ telles que
		
		\begin{align*}
			h(x)>0 \\
			\intertext{Cette inéquation équivaut successivement à:}
			-7x+49&>0\\
			-7x+49-40&>0-49\\
			-7x&>-49\\
			\frac{-7x}{-7}&<\frac{-49}{-7}\\
			x&<7\\
			x \in ]-\infty ; 7[
		\end{align*}
		
		\item En procédant comme précédemment nous obtiendrions que l'ensemble des solutions de l'équation $h(x)=0$ est $\{ 7 \}$.
		
		\item Des deux points précédents nous déduisons que $h(x)<0$ lorsque $x \in ]7; +\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous résumerons cette étude sous forme d'un tableau:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8,  $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$7$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		Que ce serait-il passé si la formule de $h$ avait été $h(x)= 7x+49$?
		
	\end{notabene}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Signe des fonctions affines.}
	
	Soient:	
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		\item $f:x \mapsto ax+b$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $a>0$, alors:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Supposons $a>0$ et démontrons qu'alors le tableau de signe proposé convient.
	
	\medskip
	Recherchons pour quelles valeurs de $x$, $f(x)>0$.
	\begin{align*}
		f(x)>0 &\Leftrightarrow ax+b>0\\
		&\Leftrightarrow ax+b-b>0-b\\
		&\Leftrightarrow ax>-b\\
		\intertext{Et comme $a> 0$:}
		f(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{ax}{a}>-\frac{b}{a}\\
		&\Leftrightarrow  x> -\frac{b}{a}\\
		&\Leftrightarrow x\in \left] -\frac{b}{a};+\infty \right[ 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Recherchons de même pour quelles valeurs de $x$, $f(x)=0$.
	\begin{align*}
		f(x)=0 &\Leftrightarrow ax+b=0\\
		&\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item De même si $a<0$ alors le tableau de signe est 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Si $a=0$ alors $f$ est la fonction constante égale à $b$ donc elle est toujours du même signe, celui de $b$.
		
		\item Ces deux situations correspondent soit au cas d'une droite qui monte soit au cas d'une droite qui descend.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x \mapsto 2x+8$.
		
		$f$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=8$.
		
		$a>0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{8}{2}=-4$ donc, d'après le cours,
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-4$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g:x \mapsto -4x+10$.
		
		$g$ est une fonction affine avec $a=-4$ et $b=10$.
		
		$a<0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{10}{-4}=\frac{5}{2}$ donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$g$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\frac{5}{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	La connaissance des variations de la fonction affine permet de retrouver les tableaux de signes en raisonnant à partir de la courbe représentative.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	{\color{RoyalBlue}Étudions par exemple le signe de $f:x\mapsto -2x+4$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=4$.
			\item {\color{orange}le coefficient directeur est strictement négatif}, $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante.
			
			{\color{orange}Ceci se traduit graphiquement par une droite qui descend. Quelque chose comme:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.25,yscale=0.25]
						\def\xY{-2.5};
						\def\yY{-4.5};
						\def\xZ{15.5};
						\def\yZ{5.5};
						\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
						\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
						%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
						%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
						%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
						%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
						\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
						\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
						\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:15] plot(\x,{-0.5*\x+4});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Nous voyons sur ce schéma que la fonction prend d'abord des valeurs positives puis des valeurs négatives. Autrement dit nous pouvons déjà compléter le tableau de signe de la façon suivante:
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
						{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
						\tkzTabLine{,+,z,-,}%
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Il nous reste à trouver pour quelle valeur de $x$, $f$ s'annule.
			} 
			
			\item $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. {\color{orange}Ce résultat a été établi plus tôt dans cette leçon.}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons le tableau de signe de $f$.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	}
	
\end{exemples}

\subsection{Somme d'inégalités.}

\begin{notabene}
	
	Faire comparaisons avec l'égalité.
	
	Chercher un lien dans une autre partie du programme car je ne vois pas l'intérêt.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Il est possible  d'ajouter des égalités membre à membre. On peut également ajouter des inégalités si elles sont dans le même sens.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}
	
	Soient $a$, $b$, $u$ et $v$ des réels.
	
	\medskip
	Si $\left\{ \begin{array}{l} a\leqslant b \\ u\leqslant v \end{array} \right.$, alors $a+u \leqslant b+v$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	La somme de deux nombres positifs est un nombre positif donc $(b-a)+(v-u)\geqslant 0$.
	
	D'où: $b+v \geqslant a+u$.
	
\end{preuve}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	Résolvez les inéquations.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $-3x+7 < x+2$
		\task $-5x-2\le 0$
		\task $-x> 9$
		\task $-x+5\leqslant 7-6x$
		\task $2(3-x)\geqslant 8$
		\task $2x-7 < (3x-4)-x$
		\task $3x-(4+3x) > 2$
		\task $(2x-1)(2x+3)\leqslant (2x+4)^2$
		\task $(x-1)(3-x)>7$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task
		
		\begin{align*}
			-3x+7 < x+2 & \Leftrightarrow -3x+7-x < x+2-x\\
			&\Leftrightarrow -4x+7< 2\\
			&\Leftrightarrow -4x+7 -7 < 2-7\\
			&\Leftrightarrow -4x < -5\\
			&\Leftrightarrow \frac{-4x}{-4} > \frac{-5}{-4}\\
			&\Leftrightarrow x > \frac{5}{4}
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left] \frac{5}{4} ; +\infty \right[$.
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			-5x-2 \le 0 &\Leftrightarrow -5x-2+2 \le 0+2\\
			&\Leftrightarrow -5x \le 2\\
			&\Leftrightarrow \frac{-5x}{-5} \ge \frac{2}{-5}\\
			&\Leftrightarrow x \ge -\frac{2}{5}
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left[ -\frac{2}{5} ; +\infty \right[$.
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			-x>9 &\Leftrightarrow \frac{-x}{-1} < \frac{9}{-1}\\
			&\Leftrightarrow x<-9
		\end{align*}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; -9 \right[$.
		
		\task $\mathcal{S}= \left]-\infty, \frac{2}{5} \right]$.
		
		\task $\mathcal{S}= \left]-\infty, -1 \right]$.
		
		\task
		
		\begin{align*}
			2x-7<(3x-4)-x &\Leftrightarrow 2x-7<3x-4-x\\
			\Leftrightarrow 2x-7 <2x-4\\
			&\Leftrightarrow 2x-7-2x < 2x-4-2x\\
			&\Leftrightarrow -7<-4
		\end{align*}
		
		{\color{orange} Cette dernière égalité est toujours vraie, quelque soit la valeur choisie pour $x$. Donc:}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \mathbb{R}$.
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			3x-(4+3x)>2 &\Leftrightarrow 3x-4-3x>2\\
			\Leftrightarrow -4>2
		\end{align*}
		
		{\color{orange} Cette dernière égalité est toujours fausse, quelque soit la valeur choisie pour $x$. Donc:}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \emptyset$.
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			&\Leftrightarrow 3x-3 \leqslant 16x+16\\
			&\Leftrightarrow -19\leqslant 13x
		\end{align*}
		
		$\mathcal{S}= \left[ -\frac{19}{13};+\infty \right[$.
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			&\Leftrightarrow x^2+4x-10>0
		\end{align*}
		
		$\mathcal{S}=?$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	Trouvez tous les nombres $x$ qui vérifient les deux inéquations (système de deux équations à une inconnue) dans chaque cas:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{l} x+7 \le 12\\ x-5 \ge -17 \\ \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x+13 \\ 4x-23 \le 10+x \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \ge 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$
		\task $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble des solutions de $2x-8\le 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= [-7 ; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions de $4x-23\le 10+x$ est $\mathcal{S}_2= ]-\infty ; 11]$.
		
		L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= [-7 ; +\infty [ \cap ]-\infty ; 11] =[-7;11]$.
		
		\item L'ensemble des solutions de $2x-8\ge 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= ]-\infty ; -7]$.
		
		L'ensemble des solutions de $4x-23\ge 10+x$ est $\mathcal{S}_2= [11; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= ]-\infty ; -7] \cap [11; +\infty [ = \emptyset$.
		
		\item L'ensemble des solutions de $2x-8\le 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= [-7 ; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions de $4x-23\ge 10+x$ est $\mathcal{S}_2= [11; +\infty [$.
		
		L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= [-7 ; +\infty [ \cap [11; +\infty [ = [11 ; +\infty [$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Précisez les variations de $f$ définie sur l'intervalle $I$ dans les différents cas proposés puis donnez son tableau de signe.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(x)=2x+4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-15$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-7x+14$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-13x-39$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x-\pi$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x+\sqrt{2}$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x-2$, $I=\mathbb{R}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{8}
				\item $f(x)=3x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-4x+13$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-3x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x+12$, $I=]-\infty; -3[$.
				\item $f(x)=6x-8$, $I=[-12; 10]$.
				\item $f(x)=-8x+12$, $I=\left[ \frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
				\item $f(x)=-3x-24$, $I=]-8 ;10[$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-7}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\pi$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\sqrt{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-\frac{7}{3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\frac{4}{5}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $\frac{13}{4}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-\frac{4}{3}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-\infty$ , $-3$,  $-\frac{12}{5}$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-12$ , $\frac{4}{3}$ , $10$ }%
				\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{ $\frac{3}{2}$ , $+\infty$ }%
				\tkzTabLine{ z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
				{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
				{$-8$ , $10$ }%
				\tkzTabLine{ d , - ,d }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		Trasnmath 2010 2ieme page 44 exo 63
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Résolvez l'équation $8x-4=0$.
			
			\item Résolvez l'inéquation $8x-4\geqslant 0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Parfois on ne précise pas l'ensemble de définition d'une fonction $g$. Dans ce cas l'ensemble des définition est l'ensemble des nombres $x$ pour lesquels $g(x)$ existe.
		
		Déduisez de la question $1$ les ensembles de définition des fonctions suivantes.
		
		\begin{enumerate}
			\item $g:x \mapsto \dfrac{1}{8x-4}$.
			
			\item $h:x \mapsto \sqrt{8x+4}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item $x=\frac{1}{2}$.
			
			\item $\left[ \frac{1}{2} ,+\infty\right[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\mathscr{D}_g= \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\}$.
			
			\item $\mathscr{D}_h= \left[ \frac{1}{2} ,+\infty\right[$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		Trasnmath 2010 2ieme page 64 exo 67
	\end{notabene}
	
	Un particulier a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui demande $460\ \text{\euro}$ au départ et $3,50\ \text{\euro}$ par kilomètre. Un second transporteur lui demande $1000\ \text{\euro}$ au départ et $2\ \text{euro}$ par kilomètre.
	
	Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s'adresser au second transporteur?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$3,5x+460 \geqslant2x+1000 \Leftrightarrow  x\geqslant \frac{1000-460}{1,5} \Leftrightarrow x \geqslant 460$
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		Trasnmath 2010 2ieme page 64 exo 68
	\end{notabene}
	
	Une société veut imprimer des livres. La location de la machine revient à $750\ \text{\euro}$ par jour et les frais de fabrication s'élèvent à $3,75\ \text{\euro}$ par livre.
	
	Combien faut-il imprimer de livre par jour pour que le prix de revient d'un livre soit inférieur ou égal à $6\ \text{\euro}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$3,75x+750\leqslant 6x \Leftrightarrow \frac{750}{6-3,75} \leqslant x  \Leftrightarrow \frac{1000}{3}\leqslant x$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}