%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{20 Expressions fractionnaires.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}


%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}


%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{20 Expressions fractionnaires.}

\subsection{Division.}

\begin{lecon}
	
	\[ \frac{\color{OliveGreen}6}{\color{Orange}3}= {\color{Blue}2}. \]
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Les nombres $\frac{\color{OliveGreen}6}{\color{Orange}3}$ ou ${\color{Blue}2}$ sont appelés le \emph{\color{purple}quotient} de la division.
		
		\item $\color{OliveGreen}6$ est appelé le \emph{\color{purple}numérateur} et $\color{orange}{3}$ le \emph{\color{purple}dénominateur}.
		
		\item Si l'écriture fractionnaire est l'écriture usuelle au lycée il est encore possible de trouver les symbole $\div$, $/$, ou $:$ qui se lisent \og {\color{purple}divisé par} \fg{}.
		
		\begin{notabene}
			
			$\div$ est appelé obélus
		\end{notabene}
		
		\item La division n'est ni commutative, ni associative et elle n'admet pas d'élément neutre.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}


\subsection{Manipuler les expressions fractionnaires.}

\begin{notabene}
	
	Faire relire à la maison et rappeler rapidement les règles importantes en classe.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Rappelons tout d'abord qu'il est impossible de diviser par $0$, ou pour le dire autrement $0$ n'est pas inversible.
	
	Par conséquent les quantités qui apparaissent aux dénominateurs dans ce chapitre sont toutes supposées non nulles.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Une simplification et une astuce.}

\begin{lecon}
	
	\[ \frac{\color{blue}a}{\color{BurntOrange}1} = {\color{blue}a}. \]
	
	Nous nous servirons de cette égalité dans les deux sens: pour simplifier ou pour écrire un nombre sous forme de fraction lorsque nécessaire.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Produit.}

\begin{lecon}
	
	\[  \frac{\color{blue}a}{\color{BurntOrange}b}\times \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}=\frac{{\color{blue}a} \times  {\color{Mulberry}x}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} \]
	
\end{lecon}

\subsubsection{Simplification par facteur commun.}

\begin{lecon}
	
	Nous déduisons de ce qui précède une méthode de simplification d'écriture d'une expression fractionnaire; il est possible de simplifier un facteur commun aux numérateur et dénominateur: 
	
	\[ \frac{{\color{blue}a} \times {\color{orange}c}}{{\color{ForestGreen}b} \times {\color{orange}c}} = \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b} \times \frac{\color{orange}c}{\color{orange}c} = \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b} \times {\color{orange}1} = \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b}. \]
	
	Ainsi: \[ \frac{{\color{blue}a} \times {\color{orange}c}}{{\color{ForestGreen}b} \times {\color{orange}c}}= \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b}. \]
	
\end{lecon}

\subsubsection{Diviser c'est multiplier par l'inverse.}

\begin{lecon}
	
	\[ \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b} = \frac{\color{blue}a {\color{orange}\times 1}}{{\color{orange}1 \times }\color{ForestGreen}b} =  \frac{\color{blue}a}{\color{orange}1} \times \frac{\color{orange}1 }{\color{ForestGreen}b} = {\color{blue}a} \times \frac{\color{orange}1 }{\color{ForestGreen}b}. \]
	
	Résumons: \[ \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b} ={\color{blue}a} \times \frac{\color{orange}1 }{\color{ForestGreen}b}. \]
	
\end{lecon}

\subsubsection{Inverse.}

\begin{lecon}
	
	\[ \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b} \times \frac{\color{ForestGreen}b}{\color{blue}a} = \frac{{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b}}{{\color{ForestGreen}b}{\color{blue}a}} = \frac{{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b}}{{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b}} = 1. \]
	
	Donc $\frac{\color{ForestGreen}b}{\color{blue}a}$ est l'inverse de $\frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b}$: \[ \left( \frac{\color{blue}a}{\color{ForestGreen}b} \right)^{-1}= \frac{\color{ForestGreen}b}{\color{blue}a}. \]
	
\end{lecon}

\subsubsection{Expression fractionnaire et signe.}

\begin{notabene}
	
	Lien avec compatibilité, distributivité.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous essaierons, si possible, de n'écrire des expressions fractionnaires que positives (si le nombre est négatif le signe moins est mis en évidence devant): \[ \frac{-a}{b}= - \frac{a}{b}. \] 
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	mise en facteur de $-1$ correspondant aux règles sur les signes des produits en écrivant le calcul en ligne.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Somme.}

\begin{lecon}
	
	Pour additionner deux expressions fractionnaires il faut les mettre au même dénominateur.
	
	\[ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} + \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{{\color{blue}a} \times {\color{ForestGreen}y}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} + \frac{ {\color{BurntOrange}b} \times {\color{Mulberry}x}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} = \frac{{\color{blue}a} {\color{ForestGreen}y} + {{\color{BurntOrange}b} \color{Mulberry}x} }{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}}.\]
	
	C'est une méthode très générale qui fonctionne y compris lorsque nous manipulons d'autres objets que des nombres.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Différence.}

\begin{lecon}
	
	Il s'agit d'une combinaison des deux précédents résultats:
	
	\[ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} - \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} + \frac{-\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{{\color{blue}a} \times {\color{ForestGreen}y}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} + \frac{ {\color{BurntOrange}b} \times {\color{Mulberry}(-x)}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} = \frac{{\color{blue}a} {\color{ForestGreen}y} - {{\color{BurntOrange}b} \color{Mulberry}x} }{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}}. \]
	
\end{lecon}

\subsubsection{Quotient.}

\begin{notabene}
	
	Donner le résultat et démonstration en exercice.
	
\end{notabene}	

\begin{lecon}
	
	\[ \frac{\frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b}}{ \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \div \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \times \left( \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} \right)^{-1} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \times \frac{\color{ForestGreen}y}{\color{Mulberry}x}. \]
	
	Ainsi: \[ \frac{\frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b}}{ \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \times \frac{\color{ForestGreen}y}{\color{Mulberry}x}. \]
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
\subsubsection{Forme irréductible d'une fraction.}

\begin{lecon}
	
	Un entier naturel est dit \emph{\color{purple}premier} si et seulement si il a exactement deux diviseurs distincts positifs.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $12$ n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible par $2$ et $3$.
		\item Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
		\item $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur: lui-même.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Les nombres premiers jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines notamment en cryptographie.
	
\end{notabene}

\begin{theoreme}{ - théorème fondamental de l'arithmétique}
	
	Tout entier naturel supérieur ou égale à $2$ admet une décomposition en facteurs premiers unique à l'ordre des facteurs près.
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	Hors programme.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $12=2 \times 2 \times 3$ et $2$ et $3$ sont bien des nombres premiers.
		\item $16=2\times 2 \times 2 \times 2 =2^4$.
		\item $36= 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^2 \times 3^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour que l'écriture de la décomposition soit unique la convention est d'écrire une seule fois chaque facteur premier à la puissance convenable et d'écrire les facteurs dans l'ordre croissant. On n'écrira pas $3 \times 2 \times 3$ mais $2 \times 3^2$.
		
		\item D'après ce théorème tous les résultats sur les nombre entiers naturels peuvent se ramener à des résultats sur les nombres premiers.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	\medskip
	Le nombre $\frac{1}{2}$ peut encore s'écrire $\frac{2}{4}$. L'écriture fractionnaire d'un nombre n'est pas unique. Ceci pouvant produire de la confusion les mathématiciens ont retenu une écriture fractionnaire qui est unique: \emph{\color{purple}la forme irréductible d'une fraction}.
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}{}
	
	Tout nombre rationnel s'écrit de façon unique comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autre commun diviseur que $1$ (ou $-1$), et dont le dénominateur est positif.
	
\end{corollaire}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{3}$ est une forme irréductible.
		
		\item $\frac{14}{21}$ n'est pas une forme irréductible puisque $14$ et $21$ admettent $7$ pour diviseur commun: $\frac{14}{21}=\frac{2 \times {\color{orange}7}}{3 \times {\color{orange}7}}=\frac{2}{3}$.
		
		\item En toute rigueur la forme irréductible de l'entier $5$ devrait s'écrire $\frac{5}{1}$ cependant l'usage veut que nous usions de l'écriture la plus simple: $5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Des nombres entiers qui n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ ou $-1$ sont dits \emph{\color{purple}premiers entre eux}.
		
		\item Pour trouver la forme irréductible d'une fraction il faut recherche le plus grand facteur commun au numérateur et au dénominateur qu'on appelle le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur). Le P.G.C.D. s'obtient grâce à l'algorithme d'Euclide.
		
		\item Dans la pratique pour trouver la forme irréductible nous utiliserons des décompositions en facteurs premiers.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\end{correction}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	Donnez les expressions irréductibles des nombres rationnels suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=\frac{2}{7} \times \frac{9}{4}$.
		
		\task $\displaystyle B=5 \times \frac{7}{15}$.
		
		\task $\displaystyle C=\frac{36}{35} \times \frac{21}{12}$.
		
		\task $\displaystyle D=\left( \frac{4}{5} - \frac{1}{15} \right) \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right)$.
		
		\task $\displaystyle E=\frac{4}{3} \times \left( \frac{1}{8}-1 \right)$.
		
		\task $\displaystyle F= \frac{\frac{-9}{4} \times \frac{5}{9}}{1- \frac{7}{12} }$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A= \frac{2 \times 3^2}{2^2 \times 7}= \frac{3^2}{2 \times 7}= \frac{9}{14}$.
		
		\task $B=\frac{5 \times 7}{3 \times 5}= \frac{7}{3}$.
		
		\task $C= \frac{2^2 \times 3^2 \times 3 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 2^2}= \frac{3^2}{5}= \frac{9}{5}$.
		
		\task $D=\left( \frac{3 \times 4}{3 \times 5}-\frac{1}{15} \right) \frac{4+6}{4 \times 6}= \frac{11}{15} \times \frac{10}{24}= \frac{11 \times 3 \times 5}{2 \times 5 \times 2^3 \times 3} = \frac{11}{2^4}= \frac{11}{16}$.
		
		\task $E=\frac{4}{3} \left( \frac{1}{8h}-\frac{8}{8} \right)$.
		
		\task $F= \frac{\frac{-3^2 \times5}{2^2 \times 3^2}}{\frac{12}{12} - \frac{7}{12}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{12}}=-\frac{5}{4} \times \frac{12}{5}= -\frac{12}{4}=-3$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Soit $x$ un nombre.
	
	Simplifiez les écritures fractionnaires suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=\frac{6x}{2}$.
		
		\task $\displaystyle B=\frac{2x}{8}$.
		
		\task $\displaystyle C=\frac{3x+9}{3}$.
		
		\task $\displaystyle D= \frac{8x+12}{6}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $A= 3x$.
!		
		\task $B=\frac{1}{4}x$.
		
		\task $C=x+3$.
		
		\task $D=\frac{4}{3}x+2$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Soit $x$ un nombre.
	
	Écrivez chaque expression littérale sous forme d'une seule expression fractionnaire.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=2x-\frac{x}{5}$.
		
		\task $\displaystyle B= \frac{3}{2} x -5$.
		
		\task $\displaystyle C= 5 \times \frac{4x-1}{3}$.
		
		\task $\displaystyle D=\frac{2x-3}{4} -1$.
		
		\task $\displaystyle E=2-\frac{3x+2}{3}$.
		
		\task $\displaystyle F=\frac{x}{6}- \frac{5x-4}{4}$.
		
		\task $\displaystyle G=x+\frac{x-4}{2}$.
		
		\task $\displaystyle H=3-\frac{x-1}{4}$.
		
		\task $\displaystyle I=\frac{3x-2}{8} - \frac{5x+1}{6}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A= \frac{9x}{5}$.
		
		\task $B= \frac{3x-10}{2}$.
		
		\task $C=\frac{20x-5}{3}$.
		
		\task $D = \frac{2x-7}{4}$.
		
		\task $E= \frac{-3x+4}{3}$.
		
		\task $F= \frac{-13x+12}{12}$.
		
		\task $G= \frac{3x-4}{2}$.
		
		\task $H= \frac{-x+13}{4}$.
		
		\task $I= \frac{-11x-10}{24}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Soit $x$ un nombre. On supposera que les dénominateurs des expressions fractionnaires considérés sont tous non nuls.
	
	Écrivez chaque expression littérale sous forme d'une seule expression fractionnaire.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=\frac{2}{x+1} - \frac{x}{x+1}$.
		
		\task $\displaystyle B= \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{x}$.
		
		\task $\displaystyle C=\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$
		
		\task $\displaystyle D= \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x+3}$.
		
		\task $\displaystyle E= \frac{x}{x+1} + \frac{2x-1}{x}$.
		
		\task $\displaystyle F= \frac{x}{x-1} -x$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A= \frac{-x+2}{x+1}$.
		
		\task $B= \frac{2x+1}{x(x+1)}$.
		
		\task $C= \frac{x^2-16}{4x}$.
		
		\task $D= \frac{x}{(x+1)(x+3)}$.
		
		\task $E= \frac{3x^2+x-1}{x(x+1)}$.
		
		\task $F= \frac{-x^2+2x}{x-1}$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	\begin{notabene}
		Nathan 2ieme 2006 page 109 exo 63 à 66
	\end{notabene}
	
	Réduisez au même dénominateur puis sommez.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle f(x)=3+ \frac{1}{x-2}$.
		\task $\displaystyle f(x)=2x-1-\frac{1}{x}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{3x-1}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{2}{x-1}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{3x-1}-\frac{x+1}{3x+1}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x	-1)(x-2)}+\frac{4}{(x-1)(x-5)}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{E}
	\begin{notabene}
		Nathan 2ieme 2006 page 110 exo 81
	\end{notabene}
	
	Soit $n \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que: $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$.
		\item Déduisez-en $\frac{1}{1\times 2}+ \frac{1}{2 \times 3}+ \dots + \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}