%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{16 Nombres rationnels.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{18 Base orthonormée.}

\subsection{Multiplication d'un vecteur par un scalaire.}

\begin{lecon}
	
	Il paraît naturel de noter: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}$. En généralisant nous définirons n'importe quel vecteur $\lambda \overrightarrow{AB}$, $\lambda$ désignant un réel.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient $\overrightarrow{AB}$ le représentant d'un vecteur et $\lambda$ un nombre quelconque.
	
	Nous définissons le vecteur $\lambda \overrightarrow{AB}$ par
	\begin{itemize}
		\item $\lambda \overrightarrow{AB}$ a même direction que $\overrightarrow{AB}$
		\item la norme: $\left\|\lambda \overrightarrow{AB} \right\|=|\lambda | \times \left\| \overrightarrow{AB} \right\|$
		\item si $\lambda > 0$ alors $\lambda \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont même sens et si $\lambda <0$ alors ils sont de sens contraire.
	\end{itemize}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Plutôt que d'apprendre cette définition sachez l'utiliser. Les vecteurs ont même direction, la longueur est multipliée par autant que l'indique $\lambda$ et le sens dépend du signe de $\lambda$.
		
		\item Nous retrouverons les règles habituelles de distributivité, de commutativité, d'associativité.
		
		Si $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres et $\vec u$ et $\vec w$ des vecteurs, alors \[ \lambda (\vec u+ \vec w)=\lambda \vec u + \lambda \vec w, \quad (\lambda +\mu ) \vec u= \lambda \vec u + \mu \vec u, \quad \lambda ( \mu \vec u)=(\lambda \mu) \vec u \]
		
		\item L'addition et la multiplication par un nombre sont les deux opérations qui définissent de façon très général un espace vectoriel.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Base de vecteurs.}

\begin{notabene}
	
	Partir d'un constat: tout déplacement dans le plan peut su décomposer en déplacements élémentaires sur les axes des abscisses et ordonnées.
	
	Définition de combinaison linéaire de deux vecteurs. Définition de base avec combinaison linéaire.
	
	Définition de coordonnées d'un vecteur relativement à une base.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Combinaison linéaire de deux vecteurs.}

\begin{notabene}
	
	Définition et exemples. remarques sur l'importance le domaine de math est appelé algèbre linéaire.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan,
		\item $a$ et $b$ deux réels.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que le vecteur $\vec{w} = a \vec{u} +b \vec{v}$ est une \emph{\color{purple}combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$}.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item C'est pourquoi la branche des mathématiques traitant des vecteurs est appelée l'\emph{\color{purple}algèbre linéaire}: \emph{algèbre} à cause des calculs et \emph{linéaire} à cause des \emph{combinaisons linéaires} (et de l'origine historique).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Base de vecteurs.}


\begin{notabene}
	
	De même que nous avons utilisés les coordonnées pour interpréter toute la géométrie vue au collège de même le vecteurs peuvent être travaillés avec des coordonnées.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec i$ et $\vec j$ deux vecteurs du plan,
		\item $O$ un point du plan,
		\item $I$ l'image de $O$ par la translation de vecteur $\vec i$,
		\item $J$ l'image de $O$ par la translation de vecteur $\vec j$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $\left( \vec i,\vec j \right)$ est \emph{\color{purple}une base du plan} si et seulement si $(O;I,J)$ est un repère du plan.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour que $(O;I,J)$ soit un repère il faut que les points $O$, $I$ et $J$ soient distincts et non alignés.
		
		\item Autrement dit $\vec{i}$ et $\vec{j}$ n'ont pas la même direction et ne sont pas nuls.
		
		\item Si de plus $(O;I,J)$ est un repère orthonormé alors nous dirons que $\left( \vec i, \vec j \right)$ est \emph{\color{purple}une base orthonormée}.
		
		\item Nous pourrons dorénavant parler du repère $\left( O; \vec i, \vec j \right)$. Un repère est complètement défini pr la donnée d'un point et d'une base.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Vecteurs et coordonnées.}

\subsubsection{Coordonnées de vecteurs relativement à une base.}

\begin{lecon}
	
	En utilisant les bases et les combinaisons linéaires nous pouvons définir les coordonnées d'un vecteur. Par exemple le vecteur $\vec u = 3\vec i -\vec j$ aura pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( \vec i, \vec j \right)$ une base du plan,
		
		\item $\vec u$ un vecteur du plan.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il existe un unique couple de réels $(x,y)$ de nombres réels $x$ et $y$ tel que \[ \vec u = x \vec i + y\vec j.\]
	
	Le couple $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est appelé le couple des \emph{\color{purple}coordonnées} de $\vec u$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item De même que les coordonnées d'un point dépendent du repère choisi, les coordonnées d'un vecteur dépendent de la base choisie.
		
		\item Pour une base fixée les coordonnées du vecteur sont uniques.
		
		\begin{correction}
			
			Cette affirmation constitue un théorème qu'il faudrait démontrer ce que nous nous garderons de faire.
			
		\end{correction}
		
		\begin{notabene}
			
			Faire un quadrillage et regarder les déplacement en  $\vec i$ et $\vec j$ et remarquer que l'on obtient toujours la même combinaison linéaire.
			
		\end{notabene}
		
		\item Les vecteurs de la base sont les vecteurs, en nombre minimum, qui permettent de décrire n'importe qu'elle translation.
		
		\item Concrètement pour obtenir les coordonnées d'un vecteur dans un repère il suffit de compter les carreaux en suivant l'axe des abscisses puis recommence suivant l'axe des ordonnées, en partant de l'origine pour rejoindre l'extrémité.
		
		\item Les coordonnées de vecteurs sont plutôt notées en colonne qu'en ligne \[ \color{purple} \vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \]
		
		$x$ est appelé l'abscisse et $y$ l'ordonnée.
		
		\item {\color{orange}Si $M$ est l'extrémité du représentant de $\vec{u}$ d'origine $O$ alors $M$ et $\vec{u}$ ont les mêmes coordonnées.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Égalité de vecteurs.}


\begin{proposition}{}
	
	Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées (dans la même base).
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Ce résultat découle directement de l'unicité des coordonnées admises dans la précédente définition.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Norme de vecteurs.}

\begin{definition}	
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\vec{i},\vec{j})$ une base du plan,
		
		\item $\vec u \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ un vecteur.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons {\color{purple}norme de $\vec u$}, et nous noterons $\| \vec u \|$, le nombre \[ \| \vec u \| =\sqrt{x^2+y^2}.\]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\vec u \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$ alors 
		
		\begin{align*}
			\| \vec u \| &= \sqrt{x^2+y^2}\\
			&= \sqrt{(-3)^2+7^2}\\
			&= \sqrt{58}
		\end{align*}
		
		\item On considère le quadrillage ci-dessous formé de carrés d'un centimètre de côte.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (8,4);
				\draw [>=latex,->, red, very thick] (4,1) -- (6,1) node [midway, below left] {$\vec i$};
				\draw [>=latex,->, red, very thick] (6,2) -- (6,3) node [midway, left] {$\vec j$};
				\draw [>=latex,->, very thick] (1,1) -- (3,2) node [midway, above left] {$\vec u$};
				\draw (1,1) node [below left] {$A$};
				\draw (3,2) node [above right] {$B$}; 
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$AB=\sqrt{5}$ et 
		\begin{align*}
			\| \vec u \| &= \sqrt{x^2+y^2}\\
			&= \sqrt{1^2+1^2}\\
			&=\sqrt{2}
		\end{align*}
		
		Longueur et norme ne coïncident pas toujours.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La norme d'un vecteur est un nombre positif.
		
		\item Nous avions déjà donné une définition de la norme d'un vecteur dans le cas d'un vecteur au sens géométrique (représentant du vecteur). Cette définition se veut un peu plus général puisqu'elle fonctionne pour d'autres sortent de vecteurs. Cependant cette définition de la norme dépend de la base choisie.
		
		\item La norme d'un vecteur peut se confondre avec la longueur si le repère est orthonormé.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsubsection{Coordonnées d'un représentant.}

\begin{notabene}
	
	Coordonnées à partir de celles des points.
	
\end{notabene}


\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(O,I,J)$ un repère du plan, 
		
		\item $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ des points dans ce repère,
		
		\item $\left( \vec{i}, \vec{j} \right)$ la base associée au repère $\left( O;I,I \right)$ (\emph{i.e} $\vec{i} = \overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On a \[ \color{purple} \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\objectif{Déterminons les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\
		&= x_B\vec{i} + y_B\vec{j} -\left( x_A\vec{i} + x_A \vec{i} \right)\\
		&= \left( x_B-x_A \right) \vec{i} + \left( y_B-y_A \right) \vec{j}
	\end{align*}
	
	Donc
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}


\subsubsection{Somme vectorielle et coordonnées.}

\begin{proposition}{}
	
	Si $\vec u \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$, alors $\vec u +\vec v \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}$.
	
\end{proposition}

\subsubsection{Multiplication d'un vecteur par un scalaire avec les coordonnées.}

\begin{proposition}
	
	Si $\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\lambda \vec u \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y\end{pmatrix}$.
	
\end{proposition}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	Dessinez deux points $A$ et $B$ distincts puis placez les points $M$, $N$ et $P$ tels que $\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BP}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points distincts, $I$ le milieu du segment $[AB]$.
	
	Dans chaque cas déterminez le réel $\lambda$ tel que: $\overrightarrow{AI}=\lambda \overrightarrow{AB}$ puis $\overrightarrow{BI}=\lambda \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 53 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points du plan distants de $6$ unités de longueur (choisissez deux unités de longueur par centimètre).
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Construisez le point $L$ tel que $\overrightarrow{BL} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AB}$.
			
			\item Construisez le point $K$ tel que $\overrightarrow{AK} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{AB}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{LK}$ peut s'écrire $\overrightarrow{LB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK}$, établissez une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{LK}$ et $\overrightarrow{AB}$.
			
			\item Déduisez-en la longueur $LK$ en unités de longueur.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\item 
			
		\end{enumerate}
		
		\item
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{LK} &= \overrightarrow{LB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} \\
				&= -\overrightarrow{BL} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AK} \\
				&= -\frac{5}{2} \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AB}+ \left(-\frac{4}{3} \overrightarrow{AB} \right)\\
				&= \left( -\frac{5}{2}  -1-\frac{4}{3} \right) \overrightarrow{AB}\\
				&= \left( -\frac{5 \times 3}{2 \times 3} -\frac{6}{6}-\frac{4 \times 2}{3 \times 2} \right) \overrightarrow{AB}\\
				&= \frac{-15-6-8}{6} \overrightarrow{AB}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{LK}=-\frac{29}{6} \overrightarrow{AB}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $\overrightarrow{LK}=-\frac{29}{6} \overrightarrow{AB}$, nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\left\| \overrightarrow{LK} \right\| &= \left|-\frac{29}{6}\right| \times  \left\| \overrightarrow{AB} \right\|\\
				&= \frac{29}{6} \times AB\\
				&= \frac{29}{6} \times 6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$LK=29$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 69 page 217
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que: \[ 3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}= \vec 0 .\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Réalisez une figure.
		
		\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{AC}$ peut s'écrire $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, exprimez le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BC}$ en justifiant la réponse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item Par construction
		
		\begin{align*}
			3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} &= \vec 0\\
			\intertext{ce qui équivaut, d'après la relation de Chasles, à}
			3\overrightarrow{AB} - 2 \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right) &= \vec 0\\
			3\overrightarrow{AB} -2\overrightarrow{AB}-2 \overrightarrow{BC} &= \vec 0 \\
			\overrightarrow{AB}-2 \overrightarrow{BC} &= \vec 0
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 93 page 221
		
	\end{notabene}
	
	Soit $MNPQ$ un parallélogramme. On définit le point $R$ tel que $\overrightarrow{QR} = \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$ et le point $S$ tel que $\overrightarrow{MS}= - \frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Réalisez une figure.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QR}$, montrez que $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$.
			
			\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{NS}$ peut s'écrire $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MS}$, montrez que $\overrightarrow{NS} = -\overrightarrow{MN}-\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$.
			
			\item Déduisez-en une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la relation de Chasles
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{MR} &= \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QR}\\
				\intertext{Or, d'après l'énoncé, $\overrightarrow{QR}= \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$, donc en substituant:}
				\overrightarrow{MR} &= \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{NS} &= -\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MS}\\
				&= -\overrightarrow{MN}-\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}
			\end{align*}
			
			\item $-\frac{4}{3} \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{NS}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 95 page 221
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABCD$ un parallélogramme et $S$ et $V$ des points tels que $\overrightarrow{AV} = 2 \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CS} = 2 \overrightarrow{CD}$.
	
	Montrez que les segments $[VS]$ et $[AC]$ ont le même milieu.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}En faisant à main levé une figure nous voyons que $AVCS$ est un parallélogramme et par conséquent ses diagonales se coupent bien en leur milieu. Démontrons-le proprement.}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que $AVCS$ est un parallélogramme.}
	
	{\color{orange}Pour cela nous allons démontrer que $\overrightarrow{AV}=\overrightarrow{SC}$.}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AV} &= 2 {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{AB}}\\
		\intertext{Or $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ et en remplaçant:}
		\overrightarrow{AV} &= 2 {\color{WildStrawberry} \overrightarrow{DC}}\\
		\intertext{Comme, par construction,  $2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CS}$, en considérant les vecteurs opposés, nous en déduisons:}
		\overrightarrow{AV} &= \overrightarrow{SC}
	\end{align*}
	
	Nous avons bien démontré que $\overrightarrow{AV} = \overrightarrow{SC}$ et donc que $AVCS$ est un parallélogramme. Nous en déduisons que ses diagonales
	
	\begin{conclusion}
		
		$[VS]$ et $[AC]$ se coupent en leur milieu.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		50 page 223 %2ieme_belin_metamaths_maths_2de_2019_light
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $I$ est le milieu de l'hypoténuse. On appelle $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$, $B'$ et $C'$ les images de $B$ et $C$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AI}$.
	
	Démontrez que $A'$ est le milieu de $[B'C']$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	D'après la relation de Chasles:
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{B'I'} &= \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{II'}
	\end{align*}
	
	Or par construction $I$ est milieu de $[AI']$ donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{II'}$, et $\overrightarrow{B'B}=\overrightarrow{IA}$ donc
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{B'I'} &=  \overrightarrow{BI}\\
		&= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}
	\end{align*}
	
	De $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{CC'}$ nous déduisons que $BB'C'C$ est un parallélogramme, donc: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B'C'}$.
	
	Finalement: $\overrightarrow{B'I'}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B'C'}$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$I'$ est le milieu de $[B'C']$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Dessiner un repère avec i plus grand que j est déterminer des combinaisons linéaire de vecteurs notamment des OA OB pour faire apparaitre l'idée de coordonnées.
		
	\end{notabene}
	
	Exprimez les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{k}$ comme combinaisons linéaires des vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (12,6);
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (1,1) -- (3,1) node [midway, below left] {$\vec i$};
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (2,2) -- (2,3) node [midway, left] {$\vec j$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (3,2) -- (5,5) node [midway, above left] {$\vec u$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (5,3) -- (8,1) node [midway, above right] {$\vec v$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (11,6) -- (9,3) node [midway, above left] {$\vec w$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (11,3) -- (11,1) node [midway, left] {$\vec k$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Comme le précédent mais avec des vecteurs noon orthogonaux pour un plus de challenge.
		
	\end{notabene}
	
	Exprimez les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{k}$ comme combinaisons linéaires des vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (12,6);
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (1,1) -- (3,0) node [midway, below left] {$\vec i$};
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (2,2) -- (1,3) node [midway, left] {$\vec j$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (3,2) -- (5,5) node [midway, above left] {$\vec u$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (5,3) -- (8,1) node [midway, above right] {$\vec v$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (11,6) -- (9,3) node [midway, above left] {$\vec w$};
			\draw [>=latex,->, black, very thick] (11,3) -- (11,1) node [midway, left] {$\vec k$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Donnez les coordonnées du vecteur dans la base $(\vec{a} , \vec{b})$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\vec{u}=\vec{b}-7\vec{a}$.
		
		\item $\vec{v}= 3\vec{a} + 2\vec{b}-7\vec{a}+4 \vec{a}$.
		
		\item $\vec{w}= 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CD}$ où $ \overrightarrow{AB}=\vec{a}+\vec{b}$ et $\overrightarrow{CD}=-2\vec{b}+5\vec{a}$
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Exercices 49 à 51 page 188 du \href{https://www.lelivrescolaire.fr/books/6067399}{manuel Lelivrescolaire}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		
		\item 49 page 188 du manuel Lelivrescolaire.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{LK} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{FG} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b} \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{d} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.
			
			\item $\overrightarrow{OB} = 3 \vec{i} +2 \vec{j}$, $\overrightarrow{AC} = 1 \vec{i} -4 \vec{j}$, $\overrightarrow{LK} = 1 \vec{i} +2 \vec{j}$, $\overrightarrow{FG} = 2 \vec{i} -3 \vec{j}$, $\overrightarrow{b} = -4 \vec{i} - \vec{j}$, $\overrightarrow{d} = -2 \vec{j}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 50 page 188 du manuel Lelivrescolaire.
		
		$A(-1;1)$, $B(1;1,5)$, $C(4;1,5)$, $D(1;-1)$, $E(1;-2)$, $F(7;-2,5)$.
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2\\0,5 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} -2,5\\-3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{EF} \begin{pmatrix} 6\\-0,5 \end{pmatrix}$.
		
		Les coordonnées sont les opposées des précédents.
		
		\item 51 page 188 du manuel Lelivrescolaire.
		
		$A(-2;3)$, $B(-3;2)$, $C(-4;0)$, $D(0;1)$, $E(-1;-2)$, $F(-3;0)$.
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -1\\-2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{EF} \begin{pmatrix} -2\\0 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez $x,y\in \mathbb{R}$ de sorte que $\vec{u}=\vec{v}$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} x+2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 2y+3 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} -2x+5 \\ 3y-5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 12 \\ -12y+4 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 3x^2+x+7 \\ \frac{2}{y} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix}   x-10 \\ \frac{4}{y+1} \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} x^2 \\ y+x \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix}   144 \\ 3y-4 \end{pmatrix}$.	
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $(x,y)=(6,0)$.
		\task $(x,y)=\left( -\frac{7}{2}, \frac{3}{5} \right)$.
		\task $\emptyset$.
		\task $(x,y)=(12,16)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Exercice 53 page 188 du \href{https://www.lelivrescolaire.fr/books/6067399}{manuel Lelivrescolaire}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x=3$ et $y=-4$.
		
		\item $x=3$ et $y=8$.
		
		\item $x=-6$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{C}
	
	Calculez la norme des vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Soient $A(-2;1)$, $B(2;4)$, $C(3;0)$ et $D(-1;-3)$ des points du plan muni d'un repère.
	
	Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer en utilisant les vecteurs.
		
	\end{notabene}
	
	{\color{orange}$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.}
	
	\begin{align*}
		& \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\\
		& \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2-(-2) \\ 4-1 \end{pmatrix}\\
		& \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
	\end{align*}
	
	De même
	
	\begin{align*}
		& \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 0-(-3) \end{pmatrix}\\
		& \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
	\end{align*}
	
	Donc, {\color{orange}les vecteurs ayant même coordonnées}: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
	
	Et par conséquent 
	
	\begin{conclusion}
		
		$ABCD$ est un parallélogramme.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 331 exercice 32
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(-3;3)$, $B(2;5)$, $C(4;0)$ et $D(-1;-2)$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec i, \vec j \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item Calculez $AC$ et $BD$.
		
		\item Qu'en déduisez-vous sur $ABCD$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Il suffit de procéder comme dans l'exercice précédent
		
		\item Le repère étant orthonormé il suffit d'utiliser la formule
		
		$AC=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}$.
		
		\item D'après les questions précédentes $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{m{4cm}X}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Lisez les coordonnées des vecteurs représentés ci-contre et indiquez ceux qui sont égaux.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
					\def\xY{-7};
					\def\yY{-5};
					\def\xZ{7};
					\def\yZ{5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left](0,0){\footnotesize $O$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node{};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node{};
					\draw[>=latex,->](-6,2)--(-4,1)node[midway,above]{$\vec u$};
					\draw[>=latex,->](-4,-5)--(-5,-2)node[midway,above right]{$\vec v$};
					\draw[>=latex,->](6,1)--(5,4)node[midway,above right]{$\vec r$};
					\draw[>=latex,->](-2,3)--(-4,4)node[midway,above right]{$\vec w$};
					\draw[>=latex,->](-3,-2)--(0,-2)node[midway,below right]{$\vec s$};
					\draw[>=latex,->](2,5)--(2,2)node[midway,right]{$\vec t$};
					\draw[>=latex,->](1,-4)--(2,-1)node[midway,right]{$\vec a$};
					\draw[>=latex,->](6,-1)--(4,-3)node[midway,below right]{$\vec b$};
					\draw [red,thick,>=latex,->] (0,0) -- (1,0) node[midway,below]{$\vec i$};
					\draw [red,thick,>=latex,->] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]{$\vec j$}; 
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Soient $A(7;-3)$, $B(3;2)$ et $C(-5;-4)$ des points du plan muni d'un repère.
	
	Déterminez les coordonnées du point $D(x_D;y_D)$ qui vérifie $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
	
\end{exercice} 

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\objectif{Déterminons $x_D$ et $y_D$.}
	
	$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées donc si et seulement si \[ \left\{ \begin{array}{l} 3-7 =x-(-5)\\ 2-(-3) =y-(-4) \end{array} \right. \]
	
	donc, si et seulement si \[ \left\{ \begin{array}{l} x=-9 \\ y=1 \end{array} \right. \]
	
	\begin{conclusion}
		
		$D(-9,1)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Une rédaction alternative.}
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons $x_D$ et $y_D$.}
	
	$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
	
	De plus $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
	
	Autrement dit dire que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut successivement à 
	
	\begin{align*}
		\frac{x_A+x_D}{2}=\frac{x_B+x_C}{2} & \quad \text{et} \quad \frac{y_A+y_D}{2}=\frac{y_B+y_C}{2}& \\
		\frac{7+x_D}{2} = \frac{3+(-5)}{2} & \quad \text{et} \quad \frac{-3+y_D}{2}=\frac{2+(-4)}{2}& \\
		x_D= -9 & \quad \text{et} \quad y_D=1
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré qu'il y a un seul point $D$ qui satisfassent à la condition $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ et ses coordonnées sont $(-9;1)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Soient $A(2;-3)$ et $B(-1;4)$ deux points dans un repère orthonormé $(O; \vec i , \vec j )$.
	
	Calculez $\| \overrightarrow{AB} \|$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$ donc $\| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{(-3)^2+7^2}=\sqrt{58}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 54 page 188, 56 page 189 du \href{https://www.lelivrescolaire.fr/books/6067399}{manuel Lelivrescolaire}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 54 page 188 du manuel Lelivrescolaire.
		
		\begin{enumerate}
			\item $G(-1;2)$, $H(5;-2)$, $M(7;4)$, $N(0,1)$, $P(3,0)$.
			
			\item 
			
		\end{enumerate}
		
		\item 56 page 189 du manuel Lelivrescolaire.
		
		\begin{enumerate}
			\item Oui.
			
			\item Non.
			
			\item Non.
			
			\item Oui.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Exercices 57 et 58 page 189 du \href{https://www.lelivrescolaire.fr/books/6067399}{manuel Lelivrescolaire}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice }]
		\item 57 page 189 du manuel Lelivrescolaire.
		
		\begin{enumerate}
			\item $ABCD$ est un parallélogramme car $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$.
			
			\item $C$ est le milieu de $[BE]$ car $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CE}$.
			
			\item $C$ est l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DA}$ car $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{DA}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 58 page 189 du manuel Lelivrescolaire.
		
		\begin{enumerate}
			\item $M'$ symétrique de $M$ par la symétrie de centre $P$ ssi $P$ est milieu de $[MM']$, donc ssi $\overrightarrow{MP}= \overrightarrow{PM'}$.
			
			Donc $M'(15;-9)$.
			
			\item On en déduit $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PC}$ donc $P$ milieu de $[AC]$.
			
			\item D'après les questions précédentes les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu $P$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 205 exercice 22.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		La méthode de recherche des coordonnées est classique. De plus le point ainsi obtenu est l'isobarycentre des point $A$, $B$ et $C$ Ajouter aussi en correction avant l'exercices des explications sur le rôle fondamental du centre de gravité en physique.
		
	\end{notabene}
	
	Dans un repère on considère les points: $A(-2;1)$, $B(3;4)$ et $C(-5;2)$.
	
	Calculez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= \vec 0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2-x+3-x+(-5)-x =0\\ 1-y+4-y+2-y=0\end{array} \right. \]
	
	\begin{conclusion}
		
		$M\left( -\frac{4}{3} , \frac{7}{3} \right)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Soit les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\| \vec{u} \|$ et $\| \vec{v} \|$.
		
		\item Calculez les coordonnées $\vec{u} + \vec{v}$.
		
		\item Montrez que $\| \vec{u}+ \vec{v} \|=5$.
		
		\begin{notabene}
			
			CEla ilustre l'inégalité triangulaire.
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\| \vec{u} \|=5$ et $\| \vec{v} \|=\sqrt{19}$.
		
		\item $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$.
		
		\item $\| \vec{u} + \vec{v} \|=5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 31 et 32 page 136 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Soient $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées:
			
			\begin{tasks}(2)
				\task $\begin{pmatrix} 5 \\12 \end{pmatrix}$.
				\task $\begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix}$. \task $\begin{pmatrix} 1 \\12 \end{pmatrix}$.
				\task  $\begin{pmatrix} 9 \\-2 \end{pmatrix}$.
			\end{tasks}
			\item Le vecteur $-2\vec{u}$ a pour coordonnées:
			
			\begin{tasks}(2)
				\task $\begin{pmatrix} -4 \\-5 \end{pmatrix}$.
				\task $\begin{pmatrix} 2 \\10 \end{pmatrix}$. 
				\task $\begin{pmatrix} -4\\-10 \end{pmatrix}$.
				\task  $\begin{pmatrix} -4 \\10 \end{pmatrix}$.
			\end{tasks}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Calculez les coordonnées de $\vec{u} + \vec{v}$ si
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix}$.
			\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\6 \end{pmatrix}$.
		\end{tasks}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix}
				5\\2
			\end{pmatrix}$.
			
			\item $-2\vec{u} \begin{pmatrix}
				-4\\10
			\end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item
		
		\begin{enumerate}
			\item $\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix}
				3\\6 \end{pmatrix}$.
			
			\item $\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix}
				-1\\ 10 \end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 36 page 136 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $A(-2;1)$, $B(4;2)$ et $C(2;4)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(6;1)$.
			
			\item Calculez les coordonnées du vecteurs $\overrightarrow{AC}$.
			
			\item Calculez les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Placez les points dans un repère orthonormé est dessinez le représentant d'origine $A$ du vecteur $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$.
			
			\item Vérifiez le résultat de la question 1.(c).
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4-(-2) \\ 2-1 \end{pmatrix}$,
			
			$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}$.
			
			\item De même $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4\\ 3\end{pmatrix}$.
			
			\item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez les coordonnées de $-7\vec u$ sachant que $\vec u \begin{pmatrix} -3 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$-7\vec{u} \begin{pmatrix} 21 \\ -7 \sqrt{2} \end{pmatrix}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 34 page 136, 92, 94, 95 et 96 page 140 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Les questions sont indépendantes les unes des autres (sauf les deux dernières).
	
	\begin{enumerate}
		\item Soient $\vec{u}(2,-1)$ et $\vec{v}(1;2)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez les coordonnées de $3\vec{u}$ et $2 \vec{v}$.
			
			\item Calculez les coordonnées de $3\vec{u} + 2 \vec{v}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soient $\vec{u}(5;1)$ et $\vec{v}(2;-3)$. calculez les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$, $2 \vec{u}$, $-3\vec{v}$ et $2\vec{u}-3\vec{v}$.
		
		\item Soient $\vec{u}(0;-1)$, $\vec{v}(3;4)$ et $\vec{w}(8;-6)$. Calculez la norme de chacun des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
		
		\item Soient $\vec{u}(0;5)$ et $\vec{v}(4;-2)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la norme de chacun des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
			
			\item Calculez les coordonnées du vecteur $\vec{u}+\vec{v}$.
			
			\item Montrez que $\| \vec{u} + \vec{v} \|=5$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Dites en justifiant si la proposition suivante est vraie: \og Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, $\|\vec{u}+ \vec{v} \|= \| \vec{u} \| + \| \vec{v} \|$\fg{}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 34 page 136.
		
		\begin{enumerate}
			\item $3 \vec{u} \begin{pmatrix} 6\\-3 \end{pmatrix}$ et $2\vec{v} \begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}$.
			
			\item $3\vec{u} + 2 \vec{v} \begin{pmatrix} 6+2 \\ -3+4\end{pmatrix}$ donc $3\vec{u} + 2 \vec{v} \begin{pmatrix} 8 \\ 1\end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 92 page 140.
		
		$\vec{u}+ \vec{v} \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix}$, $2\vec{u} \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}$, $-3 \vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}$, $2\vec{u}- 3\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}$.
		
		\item 94 page 140.
		
		$\| \vec{u} \| = 1$, $\| \vec{v} \| = 5$, $\| \vec{w} \| = 10$.
		
		\item 95 page 140.
		
		\begin{enumerate}
			\item $\| \vec{u} \| = 5$, $\| \vec{v} \| = 2 \sqrt{5}$.
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item $\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$.
				
				\item $\| \vec{u} + \vec{v} \| =\sqrt{4^2+3^2}=5$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 96 page 140.
		
		L'affirmation est fausse. Un contre-exemple est fourni par l'exercice précédent.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


tyu

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 337 exercice 100
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(-1;-2)$, $B(5;-1)$, $C(6;3)$ et $D(0;2)$ des points considérés dans un repère du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Faites un figure.
		\item Construisez le point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.
		\item Déterminez les coordonnées de $E$.
		\item Démontrez que $\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{BC}$.
		\item Que pouvez-vous en déduire?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Soient $ABC$ un triangle et $K$, $L$ et $M$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{BM}$.
		
		\begin{notabene}
			
			Attendu démonstration de l'existence d'un parallélogramme double Thalès ou théorème des milieux.
			
		\end{notabene}
		
		\item Déduisez-en $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{KL}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Si aucune figure n'est demandée il est nécessaire pour aborder un tel exercice de faire un schéma.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Comme $M$ est le milieu de $[BC]$:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BM} &= \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\\
			\intertext{Donc, d'après la relation de Chasles:}
			\overrightarrow{BM}&= \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AC} \right)\\
			\intertext{Puisque $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$:}
			\overrightarrow{BM} &= \frac{1}{2} \left( 2 \overrightarrow{KA} + 2 \overrightarrow{AL} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \times 2 \overrightarrow{KA} + \frac{1}{2} \times 2 \overrightarrow{AL} \\
			&= \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AL}
		\end{align*}
		
		D'après la relation de Chasles:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{KL}$
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $M$ est le milieu de $[BC]$
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BC} &= 2 \overrightarrow{BM}
		\end{align*}
		
		Donc, d'après la question précédente:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{KL}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 209 exercice 57
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABC$ un triangle, $D$ et $E$ des points tels que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{ED}=2\overrightarrow{BC}$.
	
	Faites une figure puis démontrez que $C$ est le milieu du segment $[AD]$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\def\xB{3};
			\def\yB{0};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xB},{\yA+\yB});
			\def\xC{2};
			\def\yC{2};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xC},{\yA+\yC});
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (C) node[above left]{$C$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({\xA+\xB+\xB},{\yA+\yB+\yB});
			\draw (E) node{$\times$};
			\draw (E) node[below right]{$E$};
			\draw[dashed] (B) -- (E);
			\coordinate (D) at ({\xA+\xB+\xB+2*(\xC-\xB)},{\yA+\yB+\yB+2*(\yC-\yB)});
			\draw (D) node{$\times$};
			\draw (D) node[above right]{$D$};
			\draw[dashed] (E) -- (D);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	{\color{orange} Nous allons utiliser une caractérisation vectorielle du milieu: $C$ est le milieu de $[AD]$ si et seulement si $\overrightarrow{AD}= 2 \overrightarrow{AC}$.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AD}= 2 \overrightarrow{AC}$.}
	
	{\color{orange}Pour démontrer cette égalité nous disposons d'informations sur les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{ED}$ et $\overrightarrow{BC}$. Nous allons, avec la relation de Chasles, nous allons décomposer $\overrightarrow{AD}$ en faisant apparaître tous ces vecteurs. Autrement dit il faut trouver un chemin qui va de $A$ à $D$ et qui passe si possible par $B$ et $E$ (ou $C$ mais il s'avérera que ce n'est pas nécessaire).}
	
	D'après la relation de Chasles:
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{ED}\\
		\intertext{Comme $\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AB}$:}
		\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED}\\
		&= 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}\\
		\intertext{Comme $\overrightarrow{ED}=2 \overrightarrow{BC}$:}
		\overrightarrow{AD} &= 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}\\
		&= 2 \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right)\\
		\intertext{D'après la relation de Chasles:}
		\overrightarrow{AD} &= 2 \overrightarrow{AC} 
	\end{align*}
	
	Nous en déduisons finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		$C$ est le milieu de $[AD]$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous aurions pu aussi utiliser une variante du théorème des milieux.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Intervertir les exercices 31 et 32 car permet de découvrir avant d'appliquer.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_didier_math_x_2de_2019
		Exercices 72 page 305
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABCD$ un carré non trivial (non réduit à un point), $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Faites un croquis à main levé.
		
		\item Justifiez que $\left( A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD} \right)$ est un repère orthonormé du plan.
		
		\item Déterminez les coordonnées des différents points de la figure puis montrez que $I$ est le milieu de $[DE]$.
		
		\item Démontrez ce résultat sans utiliser de repère.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par construction $ABD$ est un triangle isocèle rectangle en $A$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Du fait du choix du repère: $A(0;0)$, $B(1;0)$, $D(0;1)$. 
			
			\item Puisque $ABCD$ est un carré: $C(1;0)$.
			
			\item $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Autrement dit $B$ est le milieu de $[AE]$. Nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				x_B &= \frac{x_A+x_E}{2}\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				1 &= \frac{0+x_2}{2}\\
				1 {\color{orange}\times 2} &= \frac{x}{2} {\color{orange} \times 2}\\
				2 &= x_E
			\end{align*}
			
			et de même pour les ordonnées:
			
			\begin{align*}
				y_B &= \frac{y_A+y_E}{2}\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				0 &= \frac{0+y_2}{2}\\
				0 {\color{orange}\times 2} &= \frac{x}{2} {\color{orange} \times 2}\\
				0 &= y_E
			\end{align*}
			Ainsi: $E(2,0)$.
			
			\item Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$:
			
			\begin{align*}
				x_I &= \frac{x_B+x_C}{2}\\
				&= \frac{1+1}{2}\\
				&= 1
			\end{align*}
			
			et
			
			\begin{align*}
				y_I &= \frac{y_B+y_C}{2}\\
				&= \frac{0+1}{2}\\
				&= \frac{1}{2}
			\end{align*}
			
			Donc: $I\left( 1; \frac{1}{2} \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\objectif{Démontrons que $I$ est le milieu de $[DE]$.}
		
		{\color{orange}Nous allons simplement vérifier que le milieu de $[DE]$ et $I$ coïncident car ils ont même coordonnées.}
		
		\medskip
		Si nous notons $M$ le milieu de $[DE]$ nous avons d'une part
		
		\begin{align*}
			x_M &= \frac{x_D+x_E}{2}\\
			&= \frac{0+2}{2}\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		et
		
		\begin{align*}
			y_M &= \frac{y_D+y_E}{2}\\
			&= \frac{1+0}{2}\\
			&= \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		Donc $M\left( 1; \frac{1}{2} \right)$.
		
		Puisque $M$ et $I$ ont même coordonnées nous pouvons affirmer
		
		\begin{conclusion}
			
			$I$ est le milieu de $[DE]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En utilisant le théorème des milieux.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_didier_math_x_2de_2019
		Exercices 73 page 305
		
	\end{notabene}
	
	On considère un carré $ABCD$ non réduit à un point.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$ est un repère du plan. Est-il orthonormé?
		
		\item Justifiez que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$ et en déduire les coordonnées du point $C$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right)$.
		
		\item On considère le point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$ et le point $F$ symétrique de $F$ par rapport à $D$.
		
		Déterminez les coordonnées des points $E$ et $F$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		
		\item Que semble représenter le point $C$ par rapport aux points $E$ et $F$? Démontrez le par au moins $3$ méthodes différentes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $ABCD$ est un carré donc $ABD$ est un triangle isocèle rectangle en $A$. Par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$ est un repère orthonormé.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, d'après l'identité du parallélogramme
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons les coordonnées de $C$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item D'une part $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ et donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C \\ y_C \end{pmatrix}$,
			
			\item d'autre part $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} (1-0) + (0-0) \\ (0-0) + (1-0) \end{pmatrix}$,
			
		\end{enumerate}
		
		nous en déduisons donc: $x_C=1$ et $y_C=1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$C(1;1)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $E$ et le symétrique de $A$ par rapport à $B$, $B$ est le milieu de $[AE]$ et, par conséquent, $\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{AB}$.
		
		Comme $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ nous en déduisons $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 2 \times 1 \\ 2 \times 0 \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		Mais $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E \\ y_E \end{pmatrix}$ donc \[ \left\{ \begin{array}{l} x_E = 2 \\ y_E= 0 \end{array} \right. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$E(2;0)$.
			
		\end{conclusion}		
		
		\medskip
		En procédant de même
		
		\begin{conclusion}
			
			$F (0;2)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $C$ est le milieu de $[EF]$.
		
		Voici trois méthodes pour le démontrer:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Montrer avec les coordonnées que $\overrightarrow{EC}= \overrightarrow{CF}$.
			
			\item En calculant les coordonnées du milieu de $[EF]$ nous nous rendons compte qu'elles coïncident avec celles de $C$.
			
			\item En utilisant le théorème des milieux. {\color{orange}Ceci dit il faudrait expliciter le fait que $C$ est dans le même demi-plan délimité par $(AD)$ que $F$.}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65128&ordre=1}{Exercice 92 page 218 du Manuel Sésamath.}
		
	\end{notabene}
	Soient $T$, $R$ et $I$ trois points non alignés.\\
	Les points $U$ et $V$ sont définis par:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\overrightarrow{IU} = \overrightarrow{IR} + \overrightarrow{TI}$
		\item $\overrightarrow{TV} = \overrightarrow{TI} + \overrightarrow{TR}$
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure sur papier ou \`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique.
		\item Que peut-on conjecturer?
		\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $\overrightarrow{UV} = \overrightarrow{RI} + \overrightarrow{IT} + \overrightarrow{TR}$.
			\item Conclure.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65129&ordre=1}{Exercice 93 page 218 du Manuel Sésamath.}
		
	\end{notabene}
	
	
	Soient $T$, $R$ et $I$ trois points non alignés. On définit les points $A$, $B$ et  $C$ par:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{RT} - \overrightarrow{IT}$
		\item $\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{TI}$
		\item $\overrightarrow{IC} =  \overrightarrow{RT}+ \overrightarrow{RI}$
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure sur papier ou \`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique.
		\item Que peut-on conjecturer?
		\item 
		
		\begin{enumerate} 
			
			\item D\'emontrer que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB}$.
			\item En déduire une expression des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{RT}$ puis conclure.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item 
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}\\
				&= -\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC}\\
				&= \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA}
			\end{align*}
			
			\medskip
			De même: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}$.
			
			\item D'après la question précédente:
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{BA} &= \overbrace{IC} - \overrightarrow{IA}\\
				\intertext{Donc, d'après l'énoncé:}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		didier 2010 exo 48 page 332 déplacement d'un nageur.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}