%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{14 Décimaux.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{14 Décimaux.}

\subsection{$\mathbb{D}$.}

\begin{lecon}
	
	Il existe un ensemble classique de nombres que nous n'avons pas évoqué c'est \emph{\color{purple}l'ensemble des nombres décimaux} que nous noterons $\color{purple}\mathbb{D}$. Si cet ensemble a eu droit à un nom et une notation personnalisée c'est à cause de son importance pour les sciences expérimentales, en informatique et en mathématique pour donner des valeurs approchées des nombres dont il est impossible de donner une valeur exacte.
	
	Un nombre est décimal s'il est possible de l'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$.
	
	\medskip
	Bien entendu $\mathbb{D} \subset \mathbb{R}$; tous les nombres décimaux sont des nombres réels.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $-0,1 \in \mathbb{D}$.
		
		\item $\dfrac{9078687656}{100} \in \mathbb{D}$.
				
		\item Nous verrons plus loin que, par exemple, $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Il existe d'autres façon de reconnaître des nombres décimaux que l'écriture sous forme d'une fraction $\frac{a}{10^n}$ où $a$ et $n$ sont des entiers.
	
	\medskip
	Les nombres décimaux sont aussi ceux qui admettent une écriture décimale finie.
	
	Un nombre est décimal s'il admet un développement décimal infini ne comportant que des zéros à partir d'un certain rang. Par exemple: $2,34000\dots$ et $-0,088000\dots$.
	
	\medskip
	Les nombres décimaux sont enfin ceux qui admettent une écriture fractionnaire de la forme $\dfrac{a}{2 ^p \times5^n}$ où $a$, $n$ et $p$ sont des nombres entiers.
	
	Un nombre est décimal s'il admet une écriture fractionnaire dont le numérateur est un entier et le dénominateur le produit d'une puissance de deux et d'une puissance de $5$.
	
\end{lecon}

\subsection{Encadrer un réel.}

\begin{lecon}
	
	La recherche d'une valeur approchée d'un nombre est contraire au désir de vérité absolue propre aux mathématiques. C'est pourquoi si nous acceptons, contraints et forcés, de ne pas avoir des valeurs exactes il faut que du moins nous limitions notre erreur.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	\medskip
	Exemples.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour donner une valeur approchée de $0,561$ considérons le point $C$ d'abscisse $0,561$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=3.5]
				\foreach \x in { -10, -9,...,20} \draw[line width=0.005cm] ({\x/10},{-0.05}) -- ({\x/10},{0.05});
				\foreach \x in { -1,0,1} \draw[line width=0.05cm] ({\x+0.5},{-0.08}) -- ({\x+0.5},{0.08});
				\foreach \x in { -1,0,1,2} \draw[line width=0.05cm] ({\x},{-0.1}) -- ({\x},{0.1});
				\draw[ ->,very thick] (-1.1, 0) -- (2.2, 0) node[right]{};
				\foreach \x in {-1,0,1,2} \draw ({\x},{-0.2}) node {$\x$};
				\def\nombre{0.561};
				\draw[red] ({\nombre},{0}) node {\large $\bullet$};
				\draw[red] ({\nombre},{-0.2}) node {$C$};
				\draw[magenta][samples=100,domain=0:360] plot({1.2*cos(\x)+\nombre},{1.2*sin(\x)});
				\draw [magenta,>=latex, <->] ({\nombre},{0}) -- ({1.2*cos(120)+\nombre},{1.2*sin(120)}) node [midway, above, sloped] {$1,2$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{magenta}Valeurs approchées à $1$ près}.
			
			Le cercle magenta a un rayon de $1$ et est centré sur le point d'abscisse $0,561$.
			
			Toutes les abscisses des points de l'axe gradué, situés à l'intérieur du cercle, sont des valeurs approchées à $1$ unité près de $0,561$.
			
			Ainsi: $0$, $-0,2$, $0,5$, $1$, $0,56$, $1,2$ et bien sûr, $0,561$ lui-même, sont des valeurs approchées de $0,561$ à une unité près.
			
			\item {\color{green}Valeurs approchées à $0,2$ près}.
			
			Le cercle vert a un rayon de $0,2$ et est centré sur le point d'abscisse $0,561$.
			
			Ainsi: $0,4$, $0,5$, $0,6$ et $0,7$ sont des valeurs approchées de $0,561$ à $0,2$ près.
		\end{enumerate}
		
		Nous distinguerons parfois les \emph{\color{purple}valeurs approchées par excès} (en prenant trop) et \emph{\color{purple}les valeurs approchées par défaut} (en prenant insuffisamment): $0,6$, $0,7$, $1,2$ sont des valeurs approchées par excès de $0,561$ à un près tandis que $-0,2$, $0$ et $0,56$ sont des valeurs approchées par défaut à $1$ près.
		
		Nous prendrons également l'habitude d'exprimer les distance non pas avec les cercles mais avec les valeurs absolues. Pour dire que $0,6$ est une valeur approchées de $0,561$ à $0,2$ près nous écrirons: $|0,6-0,561|\leqslant 0,2$.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	$14$ est une valeur approchée de $\np{20000000}$ mais c'est sans intérêt tant cette approximation est grossière. Nous voyons bien sur cet exemple qu'il est vain de parler de valeur approchée si nous ne sommes pas capable de limiter, de quantifier, l'erreur commise.
	
	\medskip
	Nous ne pouvons pas donner exactement l'erreur commise car, sinon, nous connaîtrions la valeur exacte. Nous indiquons l'erreur maximale que nous commettons sous forme d'écart, de distance maximale, entre notre valeur approchée et la valeur exacte.
	
	Pour parler de la distance entre les nombres nous utiliserons donc la valeur absolue.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient $x \in \mathbb{R}$, $r\in\mathbb{R}_+^*$ et $v \in \mathbb{D}$.
	
	\medskip
	Nous dirons qu'un nombre décimal $v$ est \emph{\color{purple}une valeur approchée d'un nombre $x$ à $r$ près} si la distance entre $v$ et $x$ est inférieure à $r$. Autrement dit si: \[ |x-v|\leqslant r. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Pour se représenter la situation nous raisonnons géométriquement:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw[ ->,very thick] (-3, 0) -- (3, 0) node[right]{};
				\draw (0,0) node {$\times$};
				\draw (0,-0.5) node {$x$};
				\draw [magenta] (-2,0) node {$\times$};
				\draw [magenta] (2,0) node {$\times$};
				\draw [>=latex, <->, magenta] (-2,0.5) -- (0,0.5) node [midway, above, sloped] {$r$};
				\draw [>=latex, <->, magenta] (0,0.5) -- (2,0.5) node [midway, above, sloped] {$r$};
				\draw [RoyalBlue] (-1,0) node {$\times$};
				\draw [RoyalBlue] (-1,-0.5) node {$v$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Nous voyons clairement sur le précédent schéma que $\color{purple}v \in [x-r;x+r]$. $r$ peut être appelé le \emph{\color{purple}rayon de l'intervalle} (par analogie avec le disque) et $2r$ est alors le diamètre ou l'\emph{\color{purple}amplitude} de l'intervalle ou de l'encadrement.
		
		\item Si la valeur approchée $v$ est inférieure à la valeur exacte $x$ nous dirons que $v$ est \emph{\color{purple}une valeur approchée par défaut}.
		
		De même si $x\leqslant v$ nous dirons que $v$ est \emph{\color{purple}une valeur approchée par excès}.
		
		\item Un procédé simple pour obtenir une valeur approchée à $10^{-n}$, avec $n \in \mathbb{N}$, consiste à arrêter son écriture décimale au $n$-ième chiffre après la virgule. Ce procédé est appelé \emph{\color{purple}troncature}. Tronquer $1,23456$ à $10^{-4}$ donne $1,2345$. Tronquer $-1,23456$ à $10^{-3}$ donne $-1,234$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Puisque $1,9 \in [2-0,5;2+0;5]$ nous pouvons dire que $1,9$ est une valeur approchée de $2$ à $0,5$ près.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soient $x \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{Z}$ et $v \in \mathbb{D}$.
	
	\medskip
	Nous dirons que $v$ est \emph{\color{purple}une valeur arrondie de $x$ à $10^{n}$ près} si $v$ est une valeur approchée de $x$ à $\frac{1}{2}\times 10^n$ près et si $v\times 10^{-n}$ est un entier.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous retiendrons que l'arrondie est la plus proche des valeurs approchées par excès et  pa défaut.
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\subsection{$\frac{1}{3}$.}

\subsubsection{$\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.}

\begin{notabene}
	
	Raisonnement par l'absurde.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Approximation.}

\begin{notabene}
	
	En procédant à la division euclidienne nous voyons le procédé algorithmique et on en déduit les valeurs approchées.
	
	Quel procédé algorithmique pour construire l'écriture décimale?
	
\end{notabene}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Une droite graduée et donnée des valerus approchés.
	\end{notabene}
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-6,0) -- (6,0);
		\foreach \abs in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}{\draw ({\abs},0) node{$|$};}
		\foreach \abs in {-4.5,-4,...,4.5}{\draw ({\abs},0) node{\footnotesize $|$};}
		\foreach \abs/\nom in {-5/{12,23},-3/{12,25},-1/{12,27},1/{12,29},3/{12,31},5/{12,33}}{\draw ({\abs},-0.5) node{\footnotesize $\nom$};}
		\foreach \abs/\nom in {-4/{12,24},-2/{12,26},0/{12,28},2/{12,30},4/{12,32}}{\draw ({\abs},-0.5) node{\tiny $\nom$};}
		\draw [BlueViolet] (-3.75,0.5) node {$\alpha$};
		\draw [BlueViolet] (-3.75,0) node {$\times$};
		\draw [BlueViolet] (-0.25,0.5) node {$\beta$};
		\draw [BlueViolet] (-0.25,0) node {$\times$};
		\draw [BlueViolet] (1.5,0.5) node {$\gamma$};
		\draw [BlueViolet] (1.5,0) node {$\times$};
		\draw [BlueViolet] (4.6,0.5) node {$\nu$};
		\draw [BlueViolet] (4.6,0) node {$\times$};
	\end{tikzpicture}
	
	Donnez, pour $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\nu$, un encadrement décimal d'amplitude $10^{-2}$, des valeurs approchées par excès, par défaut et arrondies à $10^{-2}$ près.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Une droite graduée et donnée des valerus approchés.
	\end{notabene}
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw [>=latex, ->] (-6,0) -- (6,0);
		\foreach \abs in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}{\draw ({\abs},0) node{$|$};}
		\foreach \abs in {-4.5,-4,...,4.5}{\draw ({\abs},0) node{\footnotesize $|$};}
		\foreach \abs/\nom in {-5/{-0,9},-3/{-0,7},-1/{-0,5},1/{-0,3},3/{-0,1},5/{0,1}}{\draw ({\abs},-0.5) node{\footnotesize $\nom$};}
		\foreach \abs/\nom in {-4/{-0,8},-2/{-0,6},0/{-0,4},2/{-0,2},4/{0}}{\draw ({\abs},-0.5) node{\tiny $\nom$};}
		\draw [BlueViolet] (-3.75,0.5) node {$\alpha$};
		\draw [BlueViolet] (-3.75,0) node {$\times$};
		\draw [BlueViolet] (-0.25,0.5) node {$\beta$};
		\draw [BlueViolet] (-0.25,0) node {$\times$};
		\draw [BlueViolet] (1.5,0.5) node {$\gamma$};
		\draw [BlueViolet] (1.5,0) node {$\times$};
		\draw [BlueViolet] (4.6,0.5) node {$\nu$};
		\draw [BlueViolet] (4.6,0) node {$\times$};
	\end{tikzpicture}
	
	Donnez, pour $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\nu$, un encadrement décimal d'amplitude $10^{-1}$, des valeurs approchées par excès, par défaut et arrondies à $10^{-1}$ près.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
		
	Donnez un encadrement décimal de $\dfrac{2}{3}$ à $0,1$ près, puis à $0,01$ près, puis $0,001$ près.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Donner une valeur approchée d'un nombre rationnel non décimal. Division euclidienne, encadrements puis différentes précisions.
	\end{notabene}
	
	Donnez, avec une précision de $10^{-4}$, un encadrement décimal, des valeurs approchées par défaut et par excès et enfin une valeur arrondie de $\dfrac{11}{7}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	À l'aide de la calculatrice donnez 
	
	\begin{tasks}
		\task un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude $10^{-3}$,
		\task une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ par défaut,
		\task une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ par excès,
		\task une valeur arrondie de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$,
		\task une valeur arrondie de $-\sqrt{3}$ à $10^{-5}$,
		\task une valeur arrondie de $\mathrm{e}$ à $10^{-4}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	En physique on a mesuré une masse $m$ et on donne comme résultat $m=11,6\ \mathrm{kg}$. Le dernier chiffre est en fait inconnu à $\pm 0,5\ \mathrm{kg}$.
	
	Donnez un encadrement de $m$ en $\mathrm{kg}$ et précisez sont amplitude.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminer quelques valeurs approchées.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez encadrement, valeurs approchées et arrondie du nombre $\alpha$ avec la précision $\varepsilon$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\alpha=857,543$, $\varepsilon=10^{-2}$.
		\task $\alpha=-3,14159$, $\varepsilon=10^{-4}$.
		\task $\alpha=\pi+\sqrt{5}$, $\varepsilon=0,001$.
		\task $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\varepsilon=0,0001$.
		\task $\alpha=\np{23450000}$, $\varepsilon=10^{5}$.
		\task $\alpha=14$, $\varepsilon=10^{-1}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item À la Grecque. En considérant un disque de rayon $1\ \mathrm{cm}$ et des carrés, expliquez l'encadrement $3< \pi < \dfrac{22}{7}$.
		
		\item Pour calculer l'air d'un disque, les Égyptiens procédez ainsi: multiplier le diamètre par $8$, diviser par $9$ puis élever au carré.
		
		Quel résultat obtient-on pour un disque de rayon $1 \ \mathrm{cm}$?
		
		\item Comparer les deux résultats obtenus.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		hachette barbazo 2019 page 47 exo 109
	\end{notabene}
	
	La vitesse d'un satellite qui tourne autour de la Terre sur son orbite circulaire est donnée par la formule: \[ V=R \sqrt{\dfrac{g}{R+h}}\] où $R$ est le rayon de la Terre, $g$ est l'accélération de la pesanteur d'environ $9,81 \ \mathrm{m}/ \mathrm{s}^2$ et $h$ l'altitude du satellite.
	
	Calculez la vitesse du satellite an $\mathrm{m}/ \mathrm{s}$ puis en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pour une hauteur de $200\ \mathrm{km}$? de $\np{50000}\ \mathrm{km}$?
	
\end{exercice}
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}