%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{13 Distance entre points du plan.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{13 Distance entre points du plan.}

\subsection{Repère.}

\begin{lecon}
	
	Un repère est une façon de donner des indication numériques sur la position d'un objet géométrique dans le plan.
	
	Il existe d'autres repère, notamment le repérage avec les coordonnées polaires qui est plus adapté pour décrire des trajectoires circulaires.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}repère cartésien du plan} la donnée, dans cet ordre, de trois points $O$, $I$ et $J$ du plan euclidien non alignés et distincts deux à deux. Nous le noterons $(O,I,J)$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Le repère $(O,I,J)$ est dit \emph{\color{purple}orthogonal} lorsque le triangle $OIJ$ est rectangle en $O$.
		\item Le repère $(O,I,J)$ est dit \emph{\color{purple}orthonormal}, ou \emph{\color{purple}orthonormé}, lorsque le triangle $OIJ$ est isocèle rectangle en $O$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] (\u,-2)--(\u,3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2,\v)--(2,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2, 0) -- (2, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] (\u,-2)--(\u,3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2,\v)--(2,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2, 0) -- (2, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[
			blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] ({\u+0.5},-2)--({\u-0.5},3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2.5,\v)--(2.5,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0.5, -2) -- (-0.5, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0.1,0);
			\coordinate (I) at (1.1,0);
			\coordinate (J) at ({-0.15},1);
			\coordinate (A) at ({0.7},2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On pourrait ajouter un nouveau point $K$ et considérer le repère $(O,I,J,K)$ pour passer d'un espace à deux dimensions à un espace à trois dimensions.
		
		\item Dans un couple de coordonnées la première coordonnée est (toujours) l'\emph{\color{purple}abscisse} et la seconde l'\emph{\color{purple}ordonnée}.
		
		\item Nous noterons $\left(O,\overrightarrow{i} \right)$ l'\emph{\color{purple}axe des abscisses} \emph{i.e.} la droite $(OI)$ orientée de $O$ vers $I$.
		
		De même nous noterons $\left( O,\overrightarrow{j} \right)$ l'\emph{\color{purple}axe des ordonnées} \emph{i.e.} la droite $(OJ)$ orientée de $O$ ver $J$.
		
		Les notations $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ seront expliquées dans une autre leçon.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Distance.}

\begin{definition}
	
	Dans un repère $(O,I,J)$ \underline{orthonormé} sont placés deux points $A$ et $B$ dont les coordonnées sont respectivement $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$.
	
	\medskip
	La distance (euclidienne affine) de $A$ à $B$ est définie par
	\[ \color{purple} AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		
		\item Cette formule permet de calculer (les distances donc) les longueurs en géométrie repérée. Elle sera donc utiliser avec des résultats utilisant les longueurs: théorème de Thalès, théorème de Pythagore, calculs d'aires.
		
		\item Cette définition n'est valable que pour les repères orthonormés. Ce peut être un indice dans les exercices.
		
		\item Cette formule généralise la distance vue avec la valeur absolue: pour $A$ et $B$ des points de la droite numérique, $AB=|x_A-x_B|=\sqrt{(x_A-x_B)^2}$. Elle se généralise en trois dimensions comme vous le verrez en terminale: $AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}$.
		
		\item Cette formule est également appelée formule de la \emph{\color{purple}moyenne géométrique}.
		
		\item Cette formule est ici introduite comme une définition cependant il est possible de faire le lien avec la géométrie classique et les distance sur les axes gradués grâce au théorème de Pythagore:
		
		\begin{center}
			
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{14.5};
				\def\yZ{8.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\coordinate (O) at (0,0);
				\draw (O) node {$\bullet$};
				\draw (O) node[below left] {$O$};
				\coordinate (I) at (1,0);
				\draw (I) node {$\bullet$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				\coordinate (J) at (0,1);
				\draw (J) node {$\bullet$};
				\draw (J) node[above left] {$J$};
				\coordinate (A) at (3,2);
				\draw (A) node {$\bullet$};
				\draw (A) node[below left] {$A$};
				\coordinate (A1) at (3,0);
				\draw (A1) node {\tiny \color{orange} $\bullet$};
				\draw (A1) node[below] {\color{orange} $x_A$};
				\coordinate (A2) at (0,2);
				\draw (A2) node {\tiny \color{orange} $\bullet$};
				\draw (A2) node[left] {\color{orange} $y_A$};
				\coordinate (B) at (10,6);
				\draw (B) node {$\bullet$};
				\draw (B) node[above right] {$B$};
				\coordinate (B1) at (10,0);
				\draw (B1) node {\tiny \color{OliveGreen} $\bullet$};
				\draw (B1) node[below] {\color{OliveGreen} $x_B$};
				\coordinate (B2) at (0,6);
				\draw (B2) node {\tiny \color{OliveGreen} $\bullet$};
				\draw (B2) node[left] {\color{OliveGreen} $y_B$};
				\draw[thick,Emerald] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
				\fill[Emerald!40] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5) -- (10,2) -- cycle;
				\coordinate (H) at (10,2);
				\draw (H) node {$\bullet$};
				\draw (H) node[below right] {$H$};
				\draw[thick,OliveGreen] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
				\fill[OliveGreen!40] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
				\draw[very thick,blue] (A) -- (B);
				\draw[>=latex,thick,red,dashed,<->] (A) -- (H) node[midway,below,fill=white] {$x_B-x_A$};
				\draw[>=latex,thick,red,dashed,<->] (B) -- (H) node[midway,right,fill=white] {$y_B-y_A$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	Dans le repère $(O,I,J)$ ci-dessous
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			[xscale=0.4,yscale=0.4]
			\def\xY{-9.2};
			\def\yY{-7.2};
			\def\xZ{11.2};
			\def\yZ{8.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw (3,0) node {$\bullet$};
			\draw (3,0) node[below right] {$I$};
			\draw (0,2) node {$\bullet$};
			\draw (0,2) node[above left] {$J$};
			\draw (0,0) node {$\bullet$};
			\draw (0,0) node[below left] {$O$};
			\draw (-6,2) node {$\bullet$};
			\draw (-6,2) node[above right] {$A$};
			\draw (-3,-4) node {$\bullet$};
			\draw (-3,-4) node[above right] {$B$};
			\draw (3,4) node {$\bullet$};
			\draw (3,4) node[above right] {$C$};
			\draw (6,5) node {$\bullet$};
			\draw (6,5) node[above right] {$D$};
			\draw (9,-6) node {$\bullet$};
			\draw (9,-6) node[above right] {$E$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item déterminez les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$;
		\item placez les points
		\begin{tasks}(3)
			\task $F(1;-2)$,
			\task $G(-1;3)$,
			\task $H\left( \frac{2}{3};0\right)$.
		\end{tasks}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Ajouter une explication graphique de la lecture du premier point en distinguant bien abscisse et ordonnées.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Il faut être vigilant: ici le repère n'est pas orthonormé mais simplement orthogonal. Une unité sur l'axe des abscisses correspond à $3$ carreaux et une unité sur l'axe des ordonnées correspond à $2$ carreaux.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$A(-2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(1;2)$, $D(2;2,5)$ et $E(3;-3)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				[xscale=0.4,yscale=0.4]
				\def\xY{-9.2};
				\def\yY{-7.2};
				\def\xZ{11.2};
				\def\yZ{8.2};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw (3,0) node {$\bullet$};
				\draw (3,0) node[below right] {$I$};
				\draw (0,2) node {$\bullet$};
				\draw (0,2) node[above left] {$J$};
				\draw (0,0) node {$\bullet$};
				\draw (0,0) node[below left] {$O$};
				\draw (-6,2) node {$\bullet$};
				\draw (-6,2) node[above right] {$A$};
				\draw (-3,-4) node {$\bullet$};
				\draw (-3,-4) node[above right] {$B$};
				\draw (3,4) node {$\bullet$};
				\draw (3,4) node[above right] {$C$};
				\draw (6,5) node {$\bullet$};
				\draw (6,5) node[above right] {$D$};
				\draw (9,-6) node {$\bullet$};
				\draw (9,-6) node[above right] {$E$};
				\draw (3,-6) node {$\bullet$};
				\draw (3,-6) node[above right] {$F$};
				\draw (-3,6) node {$\bullet$};
				\draw (-3,6) node[above right] {$G$};
				\draw (2,0) node {$\bullet$};
				\draw (2,0) node[above right] {$H$};
			\end{tikzpicture}
			
			h		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		\begin{itemize}
			\item Les questions sont de l'application des coordonnées et lecture d'un programme scratch.
			\item La question 4 fait intervenir des multiples.
			\item La question 5 permet d'évoquer les translation et donc les vecteurs.
		\end{itemize}
		
	\end{notabene}
	
	L'affichage sur un moniteur (écran) est constitué de pixels, \emph{i.e.} de tout petits carrés illuminés d'une seule couleur à la fois.
	
	Il est possible de repérer chaque pixel par ses coordonnées.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{10};
			\def\yZ{10};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{};
			\draw[ ->,thick,black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\fill[color=gray , opacity=0.75] (0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)-- cycle;
			\fill[color=red , opacity=0.75] (3.5,5.5)--(4.5,5.5)--(4.5,6.5)--(3.5,6.5)-- cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Lors de la création d'un jeu vidéo l'affichage d'un personnage sera centré sur un pixel.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering\arraybackslash}X}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Afin de déplacer le personnage (ici le lutin sous Scratch) vers la droite ou vers la gauche le programme suivant est créé.
			
			Le lutin apparaît au pixel de coordonnées $(0,0)$.
			
			
			\begin{enumerate}
				\item Donnez les abscisses et ordonnées du lutin si l'utilisateur appuie sur la touche \og bas \fg{}.
				
				\item Donnez les abscisses et ordonnées du lutin si l'utilisateur appuie successivement sur la touche \og bas \fg{}, la touche \og gauche \fg{}, la touche \og bas \fg{} et à nouveau la touche \og bas \fg{}.
				
				\item Proposez un enchaînement de touches sur lesquelles appuyer afin que le lutin se retrouve au point de coordonnées $(-90,30)$.
				
				\item Expliquez pourquoi il est impossible que le lutin se retrouve au point de coordonnées $(25,-60)$.
				
				\item Quelle transformation du plan est appliquée au lutin lorsqu'une instruction \begin{scratch}[scale=0.75] \blockmove{ajouter \ovalnum{} à ...} \end{scratch} est réalisée?
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{scratch}[scale=0.75]
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
				\blockinfloop{répéter indéfiniment}
				{
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche droite} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{10} à x}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche gauche} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{-10} à x}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche haut} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{10} à y}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche bas} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{-10} à y}
					}
				}
			\end{scratch}
		\end{minipage}
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}En algorithmique , pour l'instant , les réponses sont relativement peu argumentée. l'essentiel est de lire est comprendre le fonctionnement et le rôle de l'algorithme.}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si l'utilisateur appuie sur la touche bas le lutin voit ses coordonnées modifiées (donc il se déplace) la variable $y$ qui représente son ordonnée est diminuée de $10$ donc ses nouvelles coordonnées sont $(0;-10)$.
		
		\item Puisqu'on appuie $3$ fois sur \og bas \fg{} et $1$ fois sur \og gauche\fg{} ses nouvelles coordonnées (en partant de l'origine du repère) sont $(-30;-10)$.
		
		\item $-90=9 \times (-10)$ donc il a fallu se déplacer $9$ fois vers la gauche. Puisque $30 = 3 \times 10$ il a fallu se déplacer $3$ fois vers le haut.
		
		\item $25$ n'est pas un multiple de $10$ il est donc impossible qu'un déplacement conduise à cette position.
		
		\item Le lutin n'est tourné (rotation), il n'est pas retourné (symétrie axiale), il n'est ni agrandi ni réduit par conséquent il s'agit d'une translation.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	Tracez un repère orthonormé $(O,I,J)$ ($1\ \mathrm{cm}$ ou un carreau pour unité) puis placez les points: $A(1;3)$, $B(-3;1)$ et $C(3,-3)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-4.5};
			\def\yY{-4.5};
			\def\xZ{4.5};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\coordinate (A) at (1,3);
			\coordinate (B) at (-3,1);
			\coordinate (C) at (3,-3);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (O) node{$\bullet$};
			\draw (I) node{$\bullet$};
			\draw (J) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A$};
			\draw (B) node[above right]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (O) node[below left]{$O$};
			\draw (I) node[below right]{$I$};
			\draw (J) node[above left]{$J$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Point méthodologique: s'il est écrit \og démontrez\fg{}, vous ne pouvez vous contenter d'une lecture graphique.
		
		De plus si le dessin n'est pas demandé il est inutile de perdre du temps à le faire en évaluation à moins bien sûr que ce soit pour vous, pour conjecturer une propriété. Dans ce cas il ne faut perdre de temps.
		
	\end{notabene}
	
	Les points $N(1;1)$, $P(-2;-1)$ et $Q(3;-2)$ sont placés dans un repère orthonormé du plan. 
	
	Démontrez que le triangle $NPQ$ est isocèle en $N$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}$NPQ$ est isocèle en $N$ si et seulement si $NP=NQ$.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $NP$ et $NQ$.}
	
	Le repère est orthonormé donc
	\begin{align*}
		NP &= \sqrt{(x_N-x_P)^2+(y_N-y_P)^2}\\
		&= \sqrt{(1-(-2))^2+(1-(-1))^2}\\
		&=\sqrt{13}
	\end{align*}
	et 
	\begin{align*}
		NQ &\color{orange}= \sqrt{(x_N-x_Q)^2+(y_N-y_Q)^2}\\
		&\color{orange}= \sqrt{(1-3)^2+(1-(-2))^2}\\
		&=\sqrt{13}
	\end{align*}
	
	Donc $NP=NQ$ et 
	
	\begin{conclusion}
		
		$NPQ$ est isocèle en $N$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$, les points $K(-1;7)$, $L(-1;4)$ et $M(3;4)$ sont choisis.
	
	Démontrez que le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons que $KLM$ est rectangle en $L$.}
	
	{\color{orange}Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, en calculant les longueurs des différents côtés.}
	
	Puisque le repère est orthonormé
	
	\begin{align*}
		KL &= \sqrt{(x_K-x_L)^2+ (y_K-y_L)^2}\\
		&= \sqrt{(-1-(-1))^2 + ((7-4)^2)^2}\\
		&= 3
	\end{align*}
	
	De même
	
	\begin{align*}
		LM &= 4\\
		MK &= 5
	\end{align*}
	
	\medskip
	Comme \[ \left\{ \begin{array}{l} KL^2 + LM^2 =3^2+4^2=25\\
		MK^2 = 5^2 = 25 \end{array} \right. \] par transitivité: $KL^2+LM^2=MK^2$.
	
	Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore, 
	
	\begin{conclusion}
		
		$KLM$ est rectangle en $L$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Dans un repère orthonormé on considère les points $I(4;-50)$ et $M(25;13)$ démontrez que $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $21\sqrt{10}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Rédigez une fonction Python ou en Scratch qui détermine la longueur $AB$ en fonction des coordonnées des points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}{}
	
	Voici une fonction en Python qui calcul la longueur $AB$ lorsque $A(x;y)$ et $B(u;v)$.
	
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{8cm}
			\lstset{emph={dis}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y,u,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
			\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
				from math import *
				def dis(x,y,u,v):
				print("AB=",sqrt((x-u)**2+(y-v)**2))
			\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Dans un repère orthonormé, on donne les points: $E(3;-2),\ F(-2;-3),\ G(-3;2)$.
	Quelle est la nature du triangle $EFG$?
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Dessinons le triangle afin de conjecturer la nature de $EFG$.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-4};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{4};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathresult};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathresult};
				\coordinate (E) at (3,-2);
				\coordinate (F) at (-2,-3);
				\coordinate (G) at (-3,2);
				\draw (E) node {$\bullet$};
				\draw (F)node {$\bullet$};
				\draw (G)node {$\bullet$};
				\draw (E)node[below]{$E$};
				\draw (F)node[below right]{$F$};
				\draw (G)node[right]{$G$};
				\draw (E)--(F)--(G)--(E);
			\end{tikzpicture}
			
			Il semble que $EFG$ soit isocèle rectangle en $F$.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Démontrons que $EFG$ est isocèle en $F$.}
			
			\medskip
			Le repère étant orthonormé:
			\begin{align*}
				EF &= \sqrt{(x_E-x_F)^2+(y_E-y_F)^2}\\
				&= \sqrt{[3-(-2)]^2+[-2-(-3)]^2}\\
				&= \sqrt{26}
			\end{align*}
			
			et
			
			\begin{align*}
				FG &= \sqrt{(x_F-x_G)^2+(y_F-y_G)^2}\\
				&= \sqrt{[-2-(-3)]^2+(-3-2)^2}\\
				&= \sqrt{26}
			\end{align*}
			
			Donc: $EF=FG$. Autrement dit
			
			\begin{conclusion}
				
				$EFG$ est isocèle en $F$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Démontrons que $EFG$ est de plus rectangle en $F$.}
			
			Le repère étant orthonormé:
			\begin{align*}
				EG &= \sqrt{(x_E-x_G)^2+(y_E-y_G)^2}\\
				&= \sqrt{[3-(-3)]^2+(-2-2)^2}\\
				&= \sqrt{52}
			\end{align*}
			
			Nous avons:
			
			\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
				$\begin{aligned}
					EG^2 &= \sqrt{52}^2\\
					&= 52
				\end{aligned}$
				&
				$\begin{aligned}
					EF^2+FG^2 &= \sqrt{26}^2+\sqrt{26}^2\\	
					&= 52
				\end{aligned}$
				\\ 
			\end{tabular}
			
			et donc: $EG^2=EF^2+FG^2$.
			
			Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore, que 
			
			\begin{conclusion}
				
				$EFG$ est rectangle en $F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré que $EFG$ est isocèle rectangle en $F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{C}
	
	Dans un repère orthonormé du plan sont donnés les points 	$A(4;2)$, $B(6;-4)$ et $C(0,-2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que le triangle $ABC$ est isocèle.
		\item On note $H$ le pied de la hauteur issue de $B$. Calculez la longueur $AH$, puis la longueur $BH$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons que $ABC$ est isocèle en $B$}.
			
			{\color{orange}Pour cela il suffit de démontrer que $AB=BC$.}
			
			\medskip
			Le repère étant orthonormé:
			\begin{align*}
				AB &= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\
				&= \sqrt{(4-6)^2+(2-(-4))^2}\\
				&=\sqrt{40}\\
				&= 2\sqrt{10}\\
			\end{align*}
			et
			\begin{align*}
				BC &= \sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}\\
				&= \sqrt{(6-0)^2+(-4-(-2))^2}\\
				&= \sqrt{40}\\
				&= 2\sqrt{10}\\
			\end{align*}
			
			Donc: $AB=BC$ et 
			
			\begin{conclusion}	
				
				$ABC$ est isocèle en $B$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \underline{Déterminons la longueur $AH$}.
			
			\medskip
			{\color{orange}$H$ n'est pas que le pied de la hauteur issue de $B$. En effet,} $ABC$ est isocèle en $B$, donc la hauteur issue de $B$ se confond avec la médiane issue de $B$ {\color{orange}(par symétrie)}. Ainsi $H$ est aussi le milieu de $[AC]$. Donc:
			\[ AH=HC=\frac{AC}{2} \]
			
			Calculons la longueur $AC$.
			\begin{align*}
				AC &= \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\\
				&= \sqrt{(4-0)^2+(2-(-2))^2}\\
				&=\sqrt{32}\\
				&= 4\sqrt{2}\\
			\end{align*}
			
			Finalement: 
			
			\begin{conclusion}
				
				$AH=HC=2\sqrt{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\bigskip
			\objectif{Déterminons la longueur $BH$}.
			
			$(BH)$ étant une hauteur de $ABC$, le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. Nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore que \[ AH^2+HB^2=AB^2 \]
			Cette dernière égalité équivaut successivement à
			\begin{align*}
				\sqrt{32}^2+HB^2 &= \sqrt{40}^2\\
				32+HB^2 &= 40\\
				32+HB^2-32 &= 40-32\\
				HB^2 &= 8\\
				\intertext{et $HB$ étant une longueur donc positive}
				HB &= \sqrt{8}\\
				&= 2\sqrt{2}
			\end{align*}
			
			Et donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$BH=2\sqrt2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{C}
	
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on donne les points: $$A(4;3),\ B(-1;0) \text{ et } K(3,-1)$$
	Montrez que $K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		$K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si $AK=KB$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $AK=KB$.}
		
		Le repère est orthonormé donc:
		
		\begin{align*}
			AK &= \sqrt{(x_A-x_K)^2+(y_A-y_K)^2}\\
			&= \sqrt{(4-3)^2+[3-(-1)]^2}\\
			&= \sqrt{17}
		\end{align*}
		
		et
		
		\begin{align*}
			KB &= \sqrt{(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2}\\
			&= \sqrt{[3-(-1)]^2+(-1-0)^2}\\
			&= \sqrt{17}
		\end{align*}
		
		donc: $AK=KB$.
		
		Et par conséquent 
		
		\begin{conclusion}
			
			$K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{10}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64971&ordre=1}{Exercice 28 page 192 du manuel Sésamath}: triangle rectangle, médiatrice, distance.
		
	\end{notabene}
	
	Dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ d'unité $1\ \mathrm{cm}$, on considère les points suivants: $A(6;0)$, $B(0;4)$ et $C(1;-1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle.
		\item On appelle $K$ le milieu du segment $[AB]$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculer les coordonnées de $K$.
			\item Prouver que $K$ appartient à la médiatrice de $[OC]$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}