%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Courbes représentatives, fonctions de référence.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Courbes représentatives, fonctions de référence.}

\subsection{Équations de courbes.}

\begin{lecon}
	
	Les courbes (les lignes) sont des ensembles infinis de points. Une façon de décrire une courbe consiste à donner une relation qui lie abscisse et ordonnée de chacun des points de la courbe, une équation liant l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ de chaque point de la courbe.
	
	Ainsi: $x^2+y^2=16$ ou $2x-y+1=0$ ou $y=x^2$. 
	
	\medskip
	Nous nous intéresserons aux courbes dont l'équation est de la forme $y=f(x)$ qui sont les courbe associées à des fonctions.
	
\end{lecon}

\subsection{Définition de la fonction.}

\begin{lecon}
	
	Une fonction $f$ indique des liens entre des nombres. Par exemple pour indiquer que $f$ relie le nombre $\color{blue}2$ au nombre $\color{green}3$ nous écrirons: \[ f({\color{blue}2})={\color{green}3}. \] 
	
	Nous dirons alors que $\color{blue}2$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $\color{green}3$ par $f$.
	
	Nous dirons aussi que $\color{green}3$ est \emph{\color{purple}l'image} de $\color{blue}2$ par $f$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soit $\color{blue}\mathscr{D}$ un ensemble de nombres. 
	
	\medskip
	On définit une \emph{\color{purple}fonction $\color{red}f$ sur $\color{blue}\mathscr{D}$} en associant à chaque nombre $\color{blue}x$ appartenant à $\color{blue}\mathscr{D}$ \underline{un seul} nombre $\color{green}y$, noté $\color{green}f(x)$.
	
	
	\medskip
	Nous dirons que $\color{red}f$ est une fonction de la \emph{\color{purple}variable} $\color{blue}x$.
	
	\medskip
	La \emph{\color{purple}courbe représentative de $\color{red}f$}, que nous noterons souvent $\color{red}\mathscr{C}_f$ est l'objet géométrique formé de tous les points de coordonnées $({\color{blue}x};{\color{green}f(x)})$ lorsque $\color{blue}x$ prend toutes les valeurs possibles dans $\color{blue}\mathscr{D}$.
	
\end{definition}

\begin{lecon}
		
	\begin{notabene}
		
		Ne pas présenter cette notation aux "élèves l'introduire dans les exemples des fonctions de références.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{flushleft}
		\begin{tikzpicture}
			\node[rounded corners=3pt,color=purple, text centered,text width=3.5cm](A)at(0,0){\[ {\color{red}f}:\left\{\begin{array}{rcl} {\color{blue}\mathscr{D}} & \rightarrow & {\color{green}\mathbb{R}} \\ {\color{blue}x} &\mapsto & {\color{green}y} \\ \end{array} \right.\]
				~
			};
			\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=8cm](B)at(0,2){$\color{blue}\mathscr{D}$ est \emph{\color{purple}l'ensemble} (ou \emph{\color{purple}domaine}) \emph{\color{purple}de définition} de $\color{red}f$. $\color{blue}\mathscr{D}$ est l'ensemble des nombres auxquels un nombre est associé par $\color{red}f$. On dit que $\color{red}f$ est définie sur $\color{blue}\mathscr{D}$.};
			\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](C)at(-3,-2){$\color{blue}x$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $\color{green}y$ par $\color{red}f$. };
			\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](D)at(4,-2){$\color{green}y$ est \emph{\color{purple}l'image} de $\color{blue}x$ par $\color{red}f$. On le note $\color{green}f(x)$ et on lit \og $f$ de $x$\fg .};
			\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](E)at(5,0){Cette présentation se lit: \og la fonction $\color{red}f$, définie sur $\color{blue}\mathscr{D}$, à valeurs dans $\color{green}\mathbb{R}$, et qui à $\color{blue}x$ associe $\color{green}y$\fg .};
			\draw(A)--(B);
			\draw(A)--(C);
			\draw(A)--(D);
			\draw(A)--(E);
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
	\begin{remarques}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item La première ligne ($\mathscr{D}$ et $\mathbb{R}$) est celle des ensembles, la seconde ($x$ et $y$) celle des variables. 
			
			\item La première colonne ($\mathscr{D}$ et $x$) correspond à l'axe des abscisses, la seconde ($\mathbb{R}$ et $y=f(x)$) à celui des ordonnées.
			
			\item Le préfixe \og anté- \fg{} signifie avant (latin).
			\item \og un\fg{} antécédent car il peut y en avoir plusieurs.
			
			\item \og l'\fg{}image car (par construction) il ne peut y en avoir qu'une.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{remarques}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
		
	\begin{enumerate}
		\item Fonction définie par un diagramme sagittal.
		
		\item Fonction définie par une situation géométrique: l'aire d'un rectangle en fonction de la longueur d'un côté.
		
		\item La fonction qui a un nombre de points associe le nombre d'arêtes du graphe.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Représenter des liens par une formule de calcul ou un procédé implicite.}

\begin{lecon}
	
	Très souvent les liens entre les nombres seront représentés par des calculs. Par exemple nous écrirons \[ f:{\color{blue}x} \mapsto {\color{green} 2x-1}, \] et nous lirons \og {\color{purple}la fonction $f$ qui à $x$ associe} $\color{green}2x-1$\fg{}, pour indiquer qu'à chaque nombre $\color{blue}x$ choisi nous associerons le résultat du calcul ${\color{green} 2x-1}$.
	
	\medskip
	Ce lien que vous avez déjà rencontré au collège défini une fonction affine.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les fonctions {\color{purple}affines}. $f: x \mapsto {\color{purple}ax+b}$ où $a,b \in \mathbb{R}$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions {\color{purple}linéaires}. $f:x  \mapsto  {\color{purple}ax}$ où $a \in \mathbb{R}$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions {\color{purple}constantes}. $f:x  \mapsto {\color{purple}b}$ où $b \in \mathbb{R}$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$..
		
		\item La fonction {\color{purple}carré}. $x  \mapsto  {\color{purple}x^2}$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}cube}. $fx \mapsto {\color{purple}x^3}$ et $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}inverse}. $f: x \mapsto {\color{purple}\frac{1}{x}} $ et $\mathscr{D}_f=]-\infty . 0[ \cup ]0;+\infty[ =\mathbb{R}^*=  \mathbb{R} \setminus \{ O \}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}racine carrée}. $f: x \mapsto {\color{purple}\sqrt{x}}$ et  $\mathscr{D}_f=[0;+\infty[=\mathbb{R}_+$.
		
		\begin{notabene}
			
			Définition avec une phrase définissant la racine carré. Pas de formule calculatoire. Nous ne connaissons pas de procédé de calcul de ces valeurs mais seulement les algorithme , des programmes qui permettent d'obtenir des valeurs approchées aussi précisent que possibles. Nous étudierons certains qui permettent d'obtenir $\sqrt{2}$.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si, pour les modélisations en sciences expérimentales (physique, chimie, biologie, géologie, économie,...), les fonctions constantes et linéaires correspondent à des modélisations spécifiques, pour l'étude mathématique, elles ne sont que des cas particuliers de fonctions affines.
		
		\item Pour la fonction racine carrée nous n'avons pas réellement une formule. Nous ne connaissons que les racines carrées des carrés parfaits ($0$, $1$, $4$, $9$, $16$, ...). L'utilisation du symbole $\sqrt{}$ n'indique pas un procédé de calcul pour obtenir ne serait-ce qu'une valeur approchée de la valeur désirée. Nous verrons des algorithmes pour obtenir des valeurs approchées. Ainsi pour obtenir une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $\sqrt{x}$:
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{4cm}
				\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]v,x}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
v=0
while v**2<x:
    v=v+0.01
print(v-0.01)
\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Il s'agit, hormis pour les carrés parfaits, d'un procédé de définition implicite: la racine carrée est l'antécédent positif par la fonction carrée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Tableau de valeurs.}

\begin{lecon}
	
	Il est possible de représenter les nombres reliés par une fonction en les plaçant en vis-à-vis dans un tableau.
	
	Par exemple, en utilisant la fonction affine précédente, nous voyons: \[ f({\color{blue}-1}) = {\color{green}2 \times (-1) -1} = {\color{green}-3}. \]
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$\color{blue}x$ & $\color{blue}-1$ & $\color{blue}0$ &$\color{blue}1$ &$\color{blue}2$ & $\color{blue}3$
			\\
			\hline
			$\color{green}f(x)$ & $\color{green}-3$ & $\color{green}-1$ & $\color{green}1$ & $\color{green}3$ & $\color{green}5$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Nous utiliserons en général la calculatrice pour obtenir le tableau.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Obtention du tableau à la calculatrice.
	
\end{notabene}

\subsection{Représentation graphique.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}$ un ensemble de nombres,
		\item $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr{D} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f(x) \end{array} \right.$ une fonction.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La \emph{\color{purple}courbe représentative de $f$}, que nous noterons souvent $\color{purple}\mathscr{C}_f$ est l'objet géométrique formé de tous les points de coordonnées $(x;f(x))$ (dans un certain repère) lorsque $x$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathscr{D}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La courbe représentative (pas le dessin mais l'ensemble des couples $(x;f(x))$) est le point de vue retenu pour la définition générale d'une fonction.
		
		\item 
		Comme $f(x)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $x$ nous dirons aussi que $\mathscr{C}_f$ est la \emph{\color{purple}courbe d'équation $y=f(x)$}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Tracer les courbes représentatives des fonctions de références en se limitant à la partie de l'ensemble de définition incluse dans $[-2;2]$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Fonction affine. La courbe est une \emph{\color{purple}droite} (nous le démontrerons après avoir défini proprement les droites).
		
		\item Fonction carré. La courbe est une \emph{\color{purple}parabole}.
		
		\item Fonction Cube.
		
		\item Fonction Inverse. La courbe est une \emph{\color{purple}hyperbole}.
		
		\item Fonction racine carrée. La courbe est une branche de parabole.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Compléter le tableau de valeur avec le graphique.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		
		Exercice 27 page 54 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
		
	\end{notabene}
	
	On considère ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.25]
			\def\xY{-3.5};
			\def\yY{-7.5};
			\def\xZ{3.5};
			\def\yZ{6.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue] (-1.5,2.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-2.7,-7.5)(-2,-2)(-1,0)(0,-1)(1,-2)(2,0)(2.8,6.5)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Complétez le tableau de valeurs suivant.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			$x$ & $-2$ &  & $0$ &  & $2$
			\\
			\hline
			$f(x)$ &  & $0$ & & $-2$ & 
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Par lecture graphique:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$x$ & $-2$ & $-1$ ou $2$ & $0$ & $-2$ ou $1$ & $2$
			\\
			\hline
			$f(x)$ & $-2$ & $0$ & $-1$ & $-2$ & $0$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Une fonction $f$ est représentée ci-dessous dans un repère $\left( O,I,J \right)$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{2.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $I$};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $J$};
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw[blue](-3,-1)node{$\bullet$};
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)};	
			\draw[blue](-1.5,1)node{$\bullet$};
			\draw[blue](-1.5,1)node[above,left]{$M$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Répondez aux questions suivantes sans justification.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez l'ensemble de définition de $f$.
		\item Quel est l'image de $2$ par $f$.
		\item Quel est l'ensemble des antécédents de $0$ par $f$?
		\item Quel est l'ensemble des antécédents de $-2$ par $f$?
		\item Quel est l'ensemble des antécédents de $2$ par $f$?
		\item Quel est l'ensemble des antécédents de $2,5$ par $f$?
		\item Si $x$ appartient à $[-1,5;1]$ que peut-on dire de $f(x)$?
		\item Quel est l'abscisse de $M$?
		\item Quel est l'ordonnée de $M$?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	{\color{orange}Par convention: sur une courbe représentative dessinée (contrairement à ce que montre la calculatrice) toute l'information est visible. Un point signifie que la courbe s'arrête à cet endroit. Si la courbe continue jusqu'au bord c'est que la courbe continue indéfiniment de la même façon.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}		
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64425&ordre=1}{Graphique de l'exercice 53 page 90 du Sésamath}: ensemble de définition, image et antécédents.
		
	\end{notabene}
	
	On considère une fonction $f$ définie sur $[-4;3]$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw (-5,-4) grid (4,4);
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-5,0)--(4,0);
			\foreach \abs in {-4, -2, 2} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-4)--(0,4);
			\foreach \ord in {-2, 2} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[color=violet, smooth, thick] plot coordinates{(-4,-3)(-3,0)(-2,1)(-1,0)(0,-2)(2,0)(3,3)};
			\draw(-4,-3) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
			\draw(-3,0) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
			\draw(-2,1) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
			\draw(-1,0) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
			\draw(0,-2) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
			\draw(2,0) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
			\draw(3,3) node{\textcolor{violet}{$\bullet$}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de $f$?
		
		\item  Quels sont le (ou les) antécédent(s) de 0 par $f$?
		\item Combien d'antécédent(s) possède $2$?
		\item Quel est le nombre d'antécédent(s) de $1$? 
		\item Donner un nombre réel $m$ qui n'a qu'un unique antécédent par $f$.
		\item Donner le nombre d'antécédent(s) de $t$ par $f$, suivant les valeurs de $t$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	Associez, sans aucune justification, chaque fonction à sa courbe représentative.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		$ \displaystyle f_1:x\mapsto \frac{1}{x} $,
		&
		$\displaystyle f_2: x\mapsto x $,
		\\
		$\displaystyle f_3:  x\mapsto \sqrt{x} $ ,
		&
		$\displaystyle f_4:x\mapsto x^2 $.
		\\
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{8.5};
				\def\yZ{4.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{sqrt(\x)});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-4};
				\def\yY{-4};
				\def\xZ{4};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.25:4] plot(\x,{1/\x});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:-0.25] plot(\x,{1/\x});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-3};
				\def\yY{-1};
				\def\xZ{3};
				\def\yZ{9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{-5};
				\def\yY{-5};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,{\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64396&ordre=1}{Exercice 24 page 86 du manuel Sésamath}: Reconnaître la courbe représentative d'une fonction.
		
	\end{notabene}
	Parmi les graphiques proposés, lesquels  correspondent à la représentation graphique d'une fonction?
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.42]
			\draw (-3,-2) grid (6,5);
			\draw (-1.5, 3.5) node[draw, circle, color=Blue] {$a$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-3,0)--(6,0);
			\foreach \abs in {1} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below right] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-2)--(0,5);
			\foreach \ord in {1} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[color=Blue, smooth] plot coordinates{(-3,0)(-2,-1)(-1,-1)(0,0)(1,2)(2,3)(3,3.5)(4,1)(6,-1)};
			\draw[color=Blue] (5,3) node {$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		\quad 
		\begin{tikzpicture}[scale=0.42]
			\draw (-3,-2) grid (6,5);
			\draw (-1.5, 3.5) node[draw, circle, color=Blue] {$b$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-3,0)--(6,0);
			\foreach \abs in {1} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below right] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-2)--(0,5);
			\foreach \ord in {1} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[smooth,domain=1:6, color=Blue, thick, samples=80] plot(\x,{--(sqrt(\x-1)+1)});
			\draw[smooth,domain=1:6, color=Blue, thick, samples=80] plot(\x,{--(1-sqrt(\x-1))});
			\draw[color=Blue] (3,3) node {$\mathcal{C}_g$};
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.42]
			\draw (-3,-2) grid (6,5);
			\draw (-1.5, 3.5) node[draw, circle, color=Blue] {$c$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-3,0)--(6,0);
			\foreach \abs in {1} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below right] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-2)--(0,5);
			\foreach \ord in {1} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[smooth,domain=0.25:6, color=Blue, thick] plot(\x,{--(1/\x)});
			\draw[smooth,domain=-3:-0.5, color=Blue, thick] plot(\x,{--(1/\x)});
			\draw[color=Blue] (5,3) node {$\mathcal{C}_h$};
		\end{tikzpicture}
		\quad
		\begin{tikzpicture}[scale=0.42]
			\draw (-3,-2) grid (6,5);
			\draw (-1.5, 3.5) node[draw, circle, color=Blue] {$d$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-3,0)--(6,0);
			\foreach \abs in {1} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below right] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-2)--(0,5);
			\foreach \ord in {1} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[smooth,domain=1:6, color=Blue, thick] plot(\x,{--(\x)-3)});
			\draw[color=Blue] (5,3) node {$\mathcal{C}_k$};
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.42]
			\draw  (-3,-2) grid (6,5);
			\draw (-1.5, 3.5) node[draw, circle, color=Blue] {$e$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-3,0)--(6,0);
			\foreach \abs in {1} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below right] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-2)--(0,5);
			\foreach \ord in {1} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[ color=Blue, thick](-3,2)--(6,2);
			\draw[color=Blue] (5,3) node {$\mathcal{C}_m$};
		\end{tikzpicture}       
		\quad   
		\begin{tikzpicture}[scale=0.42]
			\draw  (-3,-2) grid (6,5);
			\draw (-1.5, 3.5) node[draw, circle, color=Blue] {$f$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (-3,0)--(6,0);
			\foreach \abs in {1} \draw[black] ({\abs-0.1},0) node[below right] {$\abs$};
			\draw[>=latex,->,thick,black] (0,-2)--(0,5);
			\foreach \ord in {1} \draw[black] (0,{\ord}) node[left] {$\ord$};
			\draw[black] (0,0) node[below left]{$0$};
			\draw[ color=Blue, thick] (3,1) ellipse (1cm and 2cm);
			\draw[color=Blue] (5,3) node {$\mathcal{C}_p$};
		\end{tikzpicture} 
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Identifier les courbes qui ne sont pas des fonctions.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 31 page 55 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	Exercice 31 page 55 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Seules les courbes $1$, $2$ et $5$ sont des courbes représentatives de fonctions. Les autres ne respectent l'unicité de l'image associée à une valeur de départ.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 88 page 232 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{C}$ la courbe d'équation $y=2x^2-4x-1$ (\emph{i.e.} la courbe représentative de la fonction $x \mapsto 2x^2-4x-1$), où $x$ est un réel de l'intervalle $[-2;2]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les points $A(0;2)$ et $B(-1;7)$ appartiennent-ils à $\mathscr{C}$?
			
			\item Calculez l'ordonnée du point $D$ de $\mathscr{C}$ dont l'abscisse est $2$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Construisez un tableau de valeur de $y$ pour $x$ variant de $-2$ à $2$ avec un pas de $1$.
			
			\item Tracez $\mathscr{C}$ dans un repère.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{magenta}Les fonctions sont des outils assez récents mais la géométrie repérée s'intéressait aux courbe depuis longtemps. Ce sont les équations (égalités liant abscisses et ordonnées) qui étaient privilégiées. Vous pouvez comprendre $y=4x^2-2x-1$ comme $f:x \mapsto 4x^2-2x-1$}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{magenta}Le point $A$ est un point de la courbe représentative de $f$, autrement dit $A \in \mathscr{C}_f$ si et seulement si $A(x_A;f(x_A))$. Autrement dit si $f(x_A)=y_A$.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				f(x_A) &= f(0)\\
				&= 2 \times 0^2-4 \times 0-1\\
				&= -1
			\end{align*}
			
			Comme $f(x_A) \ne y_A$
			
			\begin{conclusion}
				
				$A \notin \mathscr{C}_f$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même
			
			\begin{align*}
				f(x_B) &= f(-1)\\
				&= 2 \times (-1)^2-4 \times (-1)-1\\
				&= 5
			\end{align*}
			
			puisque $f(x_B) \ne y_B$
			
			\begin{conclusion}
				
				$B \notin \mathscr{C}_f$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $D \in\mathscr{C}_f$:
		
		\begin{align*}
			y_D &= f(x_D)\\
			\intertext{Or, d'après l'énoncé, $x_D=2$ donc}
			y_D &= f(2)\\
			&= 2 \times 2^2-4 \times 2-1\\
			&= -1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$D(2;-1)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la calculatrice:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$
					\\
					\hline
					$y=f(x)$ & $15$ & $5$ & $-1$ & $-3$ & $-1$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item ~
			
			\begin{center}				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
					\def\xY{-2.5};
					\def\yY{-5};
					\def\xZ{2.5};
					\def\yZ{15};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{2*\x*\x-4*\x-1});
					\draw[blue] (2,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f:\ y=2x^2-4x-1$};
					\foreach \a/\o in {-2/15, -1/5, 0/-1, 1/-3, 2/-1} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}		
		
		Exercices 89 page 232 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f: x \mapsto 2x^2+6$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sans justification le tableau de valeur de $f$ pour $x$ variant de $-2$ à $0,5$ avec un pas de $0,5$.
		
		\item Tracez $\mathscr{C}$ dans un repère orthonormé.
		
		\item Le point $M(0,4;2,72)$ appartient-il à $\mathscr{C}$?
		
		\item Quelle est l'ordonnée du point $K$ de $\mathscr{C}$ d'abscisse $0,3$?
		
		\item Déterminez algébriquement l'abscisse de chacun des deux points de $\mathscr{C}$ d'ordonnée $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Tableau de valeurs de $y$ (alias $f$).
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1,5$ & $-1$ & $-0,5$ & $0$ & $0,5$
				\\
				\hline
				$y=f(x)$ & $-4$ & $-4,5$ & $-4$ & $-2,5$ & $0$ & $3,5$ 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					\def\xY{-2.5};
					\def\yY{-5};
					\def\xZ{1};
					\def\yZ{4};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:0.5] plot(\x,{2*\x*\x+6*\x});
					\draw[blue] (2,-4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f:\ y=2x^2+6x$};
					\foreach \a/\o in {-2/-4, -1.5/-4.5, -1/-4, -0.5/-2.5, 0/0, 0.5/3.5} \draw ({\a},{\o}) node{$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item $f(0,4)=2 \times 0,4^2+6  \times 0,4= 2,72$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$M \in \mathscr{C}_f$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $f(0,3)=1,98$. Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$K(0,3;1,98)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Si un point $N$ est sur la courbe $\mathscr{C}_f$ alors ses coordonnées sont de la forme $(x;f(x))$.
			
			Donc dire que l'ordonnée de $N$ vaut $0$ signifie que $f(x)=0$. Nous cherchons $x$ tel que
			
			\begin{align*}
				f(x) &= 0\\
				\intertext{Ce qui équivaut succcessivement à:}
				2x^2+6x &= 0\\
				\intertext{\color{WildStrawberry}Il s'agit d'une équation qui n'est pas linéaire nous essayons de nous ramener à une équation produit-nul.}
				2x \times x +6 \times x &= 0\\
				(2x+6) \times x &= 0\\
				2x+6=0\quad &\text{ou} \quad x=0\\
				2x+6 {\color{orange}-6} =0{\color{orange}-6} \quad &\text{ou} \quad x=0\\
				2x=-\quad &\text{ou} \quad x=0\\
				\frac{2x}{\color{orange}2} = \frac{-6}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad x=0\\
				x=-3\quad &\text{ou} \quad x=0\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les points d'ordonnées $0$ de $\mathscr{C}_f$ ont pour coordonnées $(-3;0)$ et $(0;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{C}
	
	Une fonction numérique $f$ est représentée ci-après.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-3};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,-1) (-3,-2) (-2,0) (-1,2) (0,3) (1,2) (2,1) (3,2) (4,4)};
			\draw (-4,-1)node{$\bullet$};
			\draw (4,4)node{$\bullet$};
			\draw (3,4.5)node{$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Dans cet exercice nous adopterons la notation suivante: $f([0;1])$ désignera l'ensemble de toutes les images des nombre compris entre $0$ et $1$, $f^{-1}([0;1])$ désignera l'ensemble de tous les antécédents des nombres compris entre $0$ et $1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $f([0;1])$.
		\item Déterminez $f([1;3])$.
		\item Déterminez $f^{-1} ([0;1])$.
		\item Déterminez $f^{-1}([-2;2])$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Soient $f:x \mapsto \sqrt{x}$ et $g: x \mapsto \frac{1}{x}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez l'ensemble de définition de $f$.
		\item Donnez l'ensemble de définition de $g$.
		\item Déduisez des deux questions précédentes l'ensemble de définition de la fonction $h: x \mapsto \sqrt{x} + \frac{1}{x}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles.
	
	\medskip
	Sur le graphique donné ci-dessous sont tracées les courbes représentant les recettes (en trait plein) et les coûts (en pointillés), en fonction du nombre de coques fabriquées exprimé en centaines d'unités.
	
	\begin{notabene}
		Que signifient recette et coûts.
	\end{notabene}
	
	Les ateliers permettent la fabrication de $0$ à $800$ coques.
	
	Les recettes et les coûts sont exprimés euros.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{16.25};
			\def\yZ{11.25};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Coques};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Euros};
			\draw node[below left](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {2, 4, 6, 8, 10, 12 ,14, 16}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{100*\x /2}\pgfmathresult};
			\foreach \y in {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathresult};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:16] plot(\x,{(-12*((\x/2)-4)^2+192)/20});
			\draw[black] (3,9) node {Recettes};	
			\draw[red, thick, dashed][samples=50,domain=0:16] plot(\x,{(2/4.5)*\x +1});
			\draw[red,dashed] (6,2) node {Coûts};	
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		Pour s-y retrouver on va indiquer sur le graphique ce que représentent les axes.
		
		Introduire le vocabulaire image et antécédent pour les exercices sur wims.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Forme bizarre de la fonction coût: effet ostentatoire.
		
	\end{notabene}
	
	\emph{Les réponses aux questions suivantes sont à justifier par lecture graphique avec, éventuellement, des tracés sur le graphique.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étude du coût.
		\begin{enumerate}
			\item Quel est le coût de production de 125 coques?
			\item Pour quelle quantité de coques fabriquées le coût est-il de $\np{1000}$ euros?
		\end{enumerate}
		\item Étude de la recette.
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la recette occasionnée par la vente de 500 coques?
			\item Pour quel nombre de coques fabriquées la recette est-elle de $\np{1300}$ euros? de $\np{2000}$ euros?
		\end{enumerate}
		\item Étude du bénéfice.
		\begin{enumerate}
			\item Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût. 
			
			Quel est le bénéfice pour une production de 450 coques?
			\item Lorsque le bénéfice est positif on dit que l'entreprise est bénéficiaire. 
			
			Dans quels cas l'entreprise est-elle bénéficiaire?
		\end{enumerate}
		
		\begin{notabene}
			
			\item Étude des variations des recettes.
			\begin{enumerate}
				\item Lorsque le nombre de coques produites augmente de 0 à 800, les coût vont croissants. 
				
				Que peut-on dire des variations des recettes lorsque le nombre de coques produites augmente de 0 à 800?
				\item Proposez une explication possible à ces variations.
				\item Quel est la recette maximale que peut engendrer la vente des coques? pour quelle nombre de coques fabriquées la recette est-elle maximale?
				\item Quel nombre de coques faut-il recommander à l'entrepreneur de produire?
			\end{enumerate}
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Maths appliqué: lire sur la courbe des volumes.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 35 page 56 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	Exercice 35 page 56 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\mathscr{D}_1=[0;10,5]$. $f(0)=0$ et $f(10,5)=30$.
			
			\item $\mathscr{D}_2=[0;7,3]$. $f(0)=0$ et $f(7,3)=30$.
			
			\item $\mathscr{D}_3=[0;9,7]$. $f(0)=0$ et $f(9,7)=30$.
			
		\end{enumerate}
		
		Les verres n'ont pas tous la même hauteur mais ils sont tous vides au début et leur contenance totale est la même.
		
		\item $V_1(5,5)=16$, $V_2(3,65)=3,5$, $V_3(4,85)=7$.
		
		$V_1^{-1}(\{ 15\})= \{ 5,3 \}$, $V_2^{-1}(\{ 15\})= \{ 5,8 \}$, $V_3^{-1}(\{ 15\})= \{ 7 \}$.
		
		\item $(6;17)$: pour une hauteur de $6$ les verres $1$ et $2$ contiennent tout deux $17$.
		
		$(4;4,9)$: pour une hauteur de $4$ les verres $1$ et $3$ contiennent tout deux $4,9$.
		
		$(9;26)$: pour une hauteur de $9$ les verres $1$ et $3$ contiennent tout deux $26$.
		
		$(0;0)$: pour une hauteur nulle les verres ne contiennent pas de liquide.
		
		\item C'est impossible car il n'y a pas de points qui soit un point d'intersection pour les trois courbes simultanément hormis l'origine du repère qui correspond à des verres vides.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		Maths appliqué: volume de la boule.
		
		\href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}
		
		Exercice 41 page 57 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	\end{notabene}
	
	Exercice 41 page 57 du manuel \href{https://www.lelivrescolaire.fr/page/6870830}{lelivrescolaire.fr}.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $P(h)=1$ si et seulement si $h=\frac{4}{3}$.
		
		$V_B=\frac{4}{3} \times V_{C(1)}$.
		
		\item Il faut que $h=2$ et dans ce cas: 
		
		\begin{align*}
			h(2) &= \frac{2}{3}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{V_B}{V_{C(2)}} &= \frac{2}{3}\\
			\frac{V_B}{V_{C(2)}} {\color{orange}\times V_{C(2)}} &= \frac{2}{3}{\color{orange}\times V_{C(2)}}\\
			V_B &= \frac{2}{3} V_{C(2)}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\end{document}

\begin{exercice}{C}
		
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6.5cm}m{5cm}}
		
		Dans un carré $ABCD$ de côté $20\ \mathrm{cm}$, on inscrit un carré $MNPQ$ suivant le schéma ci-contre.
		
		\medskip
		On pose $x=AM=BN=CP=DQ$. 
		
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.15]
				\def\xM{5};
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (20,0);
				\coordinate (C) at (20,20);
				\coordinate (D) at (0,20);
				\coordinate (M) at (\xM,0);
				\coordinate (N) at (20,\xM);
				\coordinate (P) at ({20-\xM},20);
				\coordinate (Q) at (0,{20-\xM});
				\draw (A)--(M)node[midway]{$//$};
				\draw (M)--(B);
				\draw (B)--(N)node[midway,rotate=90]{$//$};
				\draw (N)--(C);
				\draw (C)--(P)node[midway]{$//$};
				\draw (P)--(D);
				\draw (D)--(Q)node[midway,rotate=90]{$//$};
				\draw (Q)--(A);
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				\draw (D) node[above left]{$D$};
				\draw (M) node[below]{$M$};
				\draw (N) node[right]{$N$};
				\draw (P) node[above]{$P$};
				\draw (Q) node[left]{$Q$};
				\fill[purple!20] (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
				\draw [>=latex,<->] (24,0)--(24,20) node[midway,right]{$20 \ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\
	\end{tabular}
	
	Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré $MNPQ$ exprimée en $\mathrm{cm}^2$, que nous noterons $g(x)$, dépasse $272\ \mathrm{cm}^2$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminez le domaine de définition, $\mathscr{D}_g$ de $g$.
		
		\item Démontrez que: $g(x)=2x^2-40x+400$, pour tout $x \in \mathscr{D}_g$.
		
		\item Dressez le tableau de variation de la fonction $g$ d'après sa représentation graphique donnée à l'\textbf{annexe 1}.
		
		\item Précisez les extrema de la fonction $g$ d'après le précédent tableau de variation.
		
		\item Complétez le tableau de valeurs donné à l'\textbf{annexe 2} sans aucune justification.
		
		\item Utilisez le graphique fourni en \textbf{annexe 1} pour conjecturer l'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x)>272$.
		
		\item On se propose de retrouver par le calcul les solutions de l'équation $g(x)=272$.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Prouvez que $g(x)=272$ équivaut à $ 2x^2 -40 x +128=0$.
			
			\item On note $f(x)=2x^2-40x+128$ pour tout $x$ réel.
				
				Vérifiez que $f(x)=(8-2x)(16-x)$ pour tout nombre $x$ réel.
			
			\item Résolvez l'équation $f(x)=0$.				
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{15};
				\def\xZ{20.5};
				\def\yZ{40.8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,20}	\draw[thick](\x,{15+0.1})--(\x,{15-0.1}) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {15,20,...,40}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 15) -- (\xZ, 15) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:20] plot(\x,{(2*\x*\x-40*\x+400)/10});
				\draw[blue] (18,21) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{sujet}
		
		\noindent
		\begin{tabular}{m{6.5cm}m{5cm}}
			
			Dans un carré $ABCD$ de côté $20\ \mathrm{cm}$, on inscrit un carré $MNPQ$ suivant le schéma ci-contre.
			
			\medskip
			On pose $x=AM=BN=CP=DQ$. 
			
			&
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.15]
					\def\xM{5};
					\coordinate (A) at (0,0);
					\coordinate (B) at (20,0);
					\coordinate (C) at (20,20);
					\coordinate (D) at (0,20);
					\coordinate (M) at (\xM,0);
					\coordinate (N) at (20,\xM);
					\coordinate (P) at ({20-\xM},20);
					\coordinate (Q) at (0,{20-\xM});
					\draw (A)--(M)node[midway]{$//$};
					\draw (M)--(B);
					\draw (B)--(N)node[midway,rotate=90]{$//$};
					\draw (N)--(C);
					\draw (C)--(P)node[midway]{$//$};
					\draw (P)--(D);
					\draw (D)--(Q)node[midway,rotate=90]{$//$};
					\draw (Q)--(A);
					\draw (A) node[below left]{$A$};
					\draw (B) node[below right]{$B$};
					\draw (C) node[above right]{$C$};
					\draw (D) node[above left]{$D$};
					\draw (M) node[below]{$M$};
					\draw (N) node[right]{$N$};
					\draw (P) node[above]{$P$};
					\draw (Q) node[left]{$Q$};
					\fill[purple!20] (M)--(N)--(P)--(Q)--(M);
					\draw [>=latex,<->] (24,0)--(24,20) node[midway,right]{$20 \ \mathrm{cm}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\\
		\end{tabular}
		
		Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré $MNPQ$ exprimée en $\mathrm{cm}^2$, que nous noterons $g(x)$, dépasse $272\ \mathrm{cm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez le domaine de définition, $\mathscr{D}_g$ de $g$.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{notes}
				
				Barème.
				
				\begin{itemize}
					\item $0,5$ si aucune justification.
				\end{itemize}
				
			\end{notes}
			
			\objectif{Déterminons $\mathscr{D}_g$.}
			
			$\left. \begin{array}{l} x = AM \\ M \in [AB] \\ AB=20 \end{array} \right\} \Rightarrow x \in [0;20]$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{D}_g= [0;20]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			\emph{Question longue est mal notée. À traiter à la toute fin du sujet. Son résultat doit être utilisé pour la suite.}
			
			Démontrez que: $g(x)=2x^2-40x+400$, pour tout $x \in \mathscr{D}_g$.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{notes}
				
				Barème.
				
				\begin{itemize}
					\item $0,25$ si une bonne idée de départ pour calculer l'aire.
					\item $0,25$ si formulation faisant intervenir la variable $x$.
				\end{itemize}
				
			\end{notes}
			
			Utilisons la notation $\mathcal{A}$ pour désigner les différentes aires.
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $g(x)$.}
			
			Soit $x\in [0;20]$.
			
			\begin{align*}
				\mathcal{A}(MNPQ) &= \mathcal{A}(ABCD)-4 \times \mathcal{A} (AMQ)\\
				\intertext{Puisque $ABCD$ est un carré et puisque $AMQ$ est rectangle en $A$:}
				\mathcal{A}(MNPQ) &= 20^2 - 4 \times \frac{1}{2} x(20-x)\\
				&= 400 -2x(20-x)\\
				&= 400-40x+2x^2\\
				&= 2x^2 -40x +400
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in [0;20],\ g(x)=2x^2-40x+400$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dressez le tableau de variation de la fonction $g$ d'après sa représentation graphique donnée à l'\textbf{annexe 1}.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{notes}
				
				Barème.
				
				\begin{itemize}
					\item $-0,25$ si le tableau n'est pas fermé.
					\item $-0,25$ si une image manque.
					\item $-0,25$ si le nom de la fonction est incorrecte.
					\item $-0,5$ si erreur dans le variations.
				\end{itemize}
				
			\end{notes}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /1.6}
					{$0$ ,$10$, $20$}
					\tkzTabVar {+/ $400$, -/ $200$ , + / $400$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Précisez les extrema de la fonction $g$ d'après le précédent tableau de variation.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{notes}
				
				Barème.
				
				\begin{itemize}
					\item $0,5$ s'il n'y a pas les valeurs pour lesquels ils sont atteints.
					\item $0$ si les extrema ne sont pas différenciés.
					\item $-0,25$ si je n'ai pas les belles phrases.
				\end{itemize}
				
			\end{notes}
			
			D'après le précédent tableau de variation:
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ admet un maximum égale à $400$ qui est atteint pour $x=0$ ou $x=20$.
				
				$g$ admet un minimum égale à $200$ qui est atteint pour $x=10$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Complétez le tableau de valeurs donné à l'\textbf{annexe 2} sans aucune justification.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{notes}
				
				Barème.
				
				\begin{itemize}
					\item $-0,25$ par erreur.
				\end{itemize}
				
			\end{notes}
			
			{\color{orange}Avec la calculatrice:}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline					
					$x$ & $3$ & $5$ & $7$ & $8,5$ & $10,5$ &  $11$ & $13,5$ & $15$ & $17$ & $19$
					\\
					\hline
					$g(x)$ & $298$ & $250$ & $218$ & $204,5$ & $200,5$ & $202$ & $224,5$ & $250$ & $298$ & $362$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Utilisez le graphique fourni en \textbf{annexe 1} pour conjecturer l'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x)>272$.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{notes}
				
				Barème.
				
				\begin{itemize}
					\item $0,5$ si aucune justification graphique.
					\item $0,5$ si aucune phrase de conclusion.
					\item $-0,25$ si l'expression de l'ensemble des solutions est peu clair (pas d'union par exemple).
					\item $-0,25$ si la topologie n'est pas la bonne.
				\end{itemize}
				
			\end{notes}
			
			Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x)>272$ est
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}_2 = [0;4[ \cup ]16;20]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On se propose de retrouver par le calcul les solutions de l'équation $g(x)=272$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Prouvez que $g(x)=272$ équivaut à $ 2x^2 -40 x +128=0$.
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Démontrons l'équivalence.}
				
				\begin{align*}
					g(x)>272 &\Leftrightarrow 2x^2-40x+400 =272\\
					&\Leftrightarrow 2x^2-40x+400 {\color{orange}-272} = 272 {\color{orange}-272}\\
					&\Leftrightarrow 2x^2-40x+128 =0
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$g(x)=272 \Leftrightarrow 2x^2-40x+128 =0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				On note $f(x)=2x^2-40x+128$ pour tout $x$ réel.
				
				Vérifiez que $f(x)=(8-2x)(16-x)$ pour tout nombre $x$ réel.
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{notes}
					
					Barème.
					
					\begin{itemize}
						\item $-0,25$ si la conclusion est supposée et utilisée dès le début de la rédaction.
					\end{itemize}
					
				\end{notes}
				
				Soit $x\in [0;20]$.
				
				\objectif{Démontrons que $(8-x)(16-x)=f(x)$.}
				
				\begin{align*}
					(8-x)(16-2x) &= 8 \times 16 + 8 \times (-x) +(-2x) \times 16 + (-x) \times (-2x)\\
					&= 128 -8x-32x+2x^2\\
					&= 2x^2-40x+128\\
					&=f(x)
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					Nous avons démontré que, quelque soit $x\in [0;20]$, $f(x)=(8-2x)(16-x)$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Résolvez l'équation $f(x)=0$.
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{notes}
					
					Barème.
					
					\begin{itemize}
						\item $0,25$ si vérification d'une ou plusieurs solutions.					
					\end{itemize}
				\end{notes}
				\objectif{Résolvons l'équation $f(x)=0$.}
				
				Soit $x \in [0;20]$.
				
				\begin{align*}
					f(x)=0 &\Leftrightarrow (8-2x)(16-x)=0\\
					&\Leftrightarrow 8-2x=0 \quad \text{ou} \quad 16-x=0\\
					&\Leftrightarrow 8-2x {\color{orange}-8}=0 {\color{orange}-8} \quad \text{ou} \quad 16-x {\color{orange}-16}=0 {\color{orange}-16}\\
					&\Leftrightarrow -2x=-8 \quad \text{ou} \quad -x =-16\\
					&\Leftrightarrow \frac{-2x}{\color{orange}-2}=\frac{-8}{\color{orange}-2} \quad \text{ou} \quad \frac{-x}{\color{orange}-1} = \frac{-16}{\color{orange}-1}\\
					&\Leftrightarrow x=4 \quad \text{ou} \quad x =16
				\end{align*}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathscr{S}_2= \{ 4;16 \}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{15};
			\def\xZ{20.5};
			\def\yZ{40.8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,20}	\draw[thick](\x,{15+0.1})--(\x,{15-0.1}) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {15,20,...,40}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 15) -- (\xZ, 15) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:20] plot(\x,{(2*\x*\x-40*\x+400)/10});
			\draw[blue] (18,21) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			\draw[blue] (0,40) node {$\bullet$};
			\draw[blue] (20,40) node {$\bullet$};
			\draw[red, dashed][samples=100,domain=0:20] plot(\x,{272/10});
			\draw[green, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{(2*\x*\x-40*\x+400)/10});
			\draw[green, thick][samples=100,domain=16:20] plot(\x,{(2*\x*\x-40*\x+400)/10});
			\draw[red, dashed, very thick] (4,{150/10})--(4,{272/10});
			\draw[red, dashed, very thick] (16,{150/10})--(16,{272/10});
			\draw [orange,very thick] (0,15)--(4,15);
			\draw [orange,very thick] (16,15)--(20,15);
			\draw (0,15) node{\color{orange}\Large $[$};
			\draw (4,15) node{\color{orange}\Large $[$};
			\draw (16,15) node{\color{orange}\Large $]$};
			\draw (20,15) node{\color{orange}\Large $]$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}