%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Vecteurs du plan (introduction).} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Vecteurs du plan (introduction).}

\begin{notabene}
	
	Ajouter en recherche à la fin des expressions vectorielles des homothéties.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Insister davantage sur l'alignement utilisé notamment dans le cas du milieux sans approfondir puisque ce sera fait dans la leçon sur les droites.
	
	Parler clairement du fait que le repère est la base orthonormale sont nécessaire pour que norme et longueur coïncident.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
	Remarque liminaire. Dans cette leçon nous aurons besoin des instruments du géomètre: le compas, la règle non graduée, le crayon à papier bien taillé et la gomme.
	
\end{correction}

\subsection{Approche intuitive et historique.}

\subsubsection{Force: apparition historique.}

\begin{correction}
	
\begin{notabene}
	
	Exemple de force (ponctuelle): une ficelle attachée à une chaise sur laquelle on tire. Nous voyons ainsi apparaître les différents éléments géométriques d'une force.
	
\end{notabene}

Un exemple parlant de vecteur est celui du vent. Il s'agit d'une force qui est (dans une certaine région) partout de même intensité, qui suit la même direction et qui s'applique en tout point.

Si nous notons $\vec u$ le vent dans son ensemble nous noterons {\color{purple}$\overrightarrow{AB}$} le \emph{\color{purple}représentant} de ce vent qui s'applique au point $A$.

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\node(IMG1) at (0,0){\includegraphics[scale=0.2]{2ieme_geometrie_05_vecteurs_introduction_01_illustration_vent.png}};
		\coordinate (A) at (-3.9,-1.5);
		\coordinate (B) at (-2.9,-1.5);
		\coordinate (C) at (0.4,0.3);
		\coordinate (D) at (1.4,0.3);
		\coordinate (E) at (3.5,1.6);
		\coordinate (F) at (4.5,1.6);
		\draw[>=latex,->, very thick,blue] (-2,2)--(-1,2)node[midway,above]{$\vec u$};
		\draw[>=latex,->, thick,black] (A)--(B)node[midway,above]{\small $\vec u$};
		\draw (A)node{$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw[>=latex,->, thick,black] (C)--(D)node[midway,above]{\small $\vec u$};
		\draw (C)node{$\bullet$};
		\draw (C)+(-0.25,0)node[left]{$C$};
		\draw (D)node[below]{$D$};
		\draw[>=latex,->, thick,black] (E)--(F)node[midway,below]{\small $\vec u$};
		\draw (E)node{$\bullet$};
		\draw (E)node[below]{$E$};
		\draw (F)node[below]{$F$};
		\draw (4,-1.5) node{$\vec u=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\medskip
Le \emph{\color{purple}vecteur $\vec u$} est un nouvel objet géométrique qui regroupe trois notions géométriques.

\begin{itemize}
	\item La \emph{\color{purple}norme}, c'est-à-dire la longueur (comme celle d'un segment): ${\color{purple}||\vec u||}=AB$
	\item La \emph{\color{purple}direction} (la droite $(AB)$ et toutes les droites qui lui sont parallèles $(CD)$, $(EF)$, etc).
	\item Le \emph{\color{purple}sens} (un sens de déplacement sur la direction): de $A$ vers $B$ ou de $B$ vers $A$.
\end{itemize}
	
	Remarquons que la gravitation qui est étudiée en physique n'est pas, en toute rigueur, un vecteur puisqu'elle diminue d'intensité lorsque l'objet s'éloigne de la Terre et qu'elle n'a pas la même direction suivant l'endroit du globe terrestre considéré.
	
\end{correction}

\subsubsection{Translation: la définition du collège.}

\begin{correction}
	
Comme vous l'avez le savez depuis le collège, une \emph{\color{purple}translation} est une transformation géométrique qui correspond à un déplacement rectiligne, sans rotation, retournement ni déformation de cet objet.

\medskip
Regardons par exemple les effets de la translation de vecteur $\vec v$ sur des objets du plan.

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xv{2};
	\def\yv{1};	
	\def\xY{-5};
	\def\yY{-2.5};
	\def\xZ{5};
	\def\yZ{2.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $O$};
	\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[above,fill=white]{\footnotesize $I$};
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  $J$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x )-4},{sin(\x )-1});
	\fill[color=cyan, opacity=0.5, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x )-4},{sin(\x )-1});
	\draw[blue](-4,-1)node{$\bullet$};
	\draw[violet, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x )-2},{sin(\x )-0});
	\fill[color=pink, opacity=0.5][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x )-2},{sin(\x )-0});
	\draw[violet](-2,0)node{$\bullet$};
	\draw[>=latex,->,red](-4,-1)--({-4+\xv},{-1+\yv})node[midway,above,fill=white]{$\vec v$};
	\draw[blue,thick](-1,-1)--(-1,-2)--(1,-2)--(-1,-1);
	\fill[cyan, opacity=0.5](-1,-1)--(-1,-2)--(1,-2)--(-1,-1);
	\draw[violet,thick](-1+\xv,-1+\yv)--(-1+\xv,-2+\yv)--(1+\xv,-2+\yv)--(-1+\xv,-1+\yv);
	\fill[pink, opacity=0.5](-1+\xv,-1+\yv)--(-1+\xv,-2+\yv)--(1+\xv,-2+\yv)--(-1+\xv,-1+\yv);
	\draw[>=latex,->,red](1,-2)--({1+\xv},{-2+\yv})node[midway,below]{$\vec v$};
	\draw[blue,thick](2,0)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--(2,0);
	\fill[cyan, opacity=0.5](2,0)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--(2,0);
	\draw[violet,thick](2+\xv,0+\yv)--(3+\xv,0+\yv)--(3+\xv,1+\yv)--(2+\xv,1+\yv)--(2+\xv,0+\yv);
	\fill[pink, opacity=0.5](2+\xv,0+\yv)--(3+\xv,0+\yv)--(3+\xv,1+\yv)--(2+\xv,1+\yv)--(2+\xv,0+\yv);
	\draw[>=latex,->,red](2,1)--({2+\xv},{1+\yv})node[midway,above]{$\vec v$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\medskip
	L'exemple précédent nous incite à utiliser le quadrillage pour décrire le déplacement. Nous généraliserons cette idée en disant que se déplacer d'un carreau de la gauche vers la droite c'est faire la translation qui transforme $O$ en $I$ que nous noterons $\vec i$. De même un déplacement vertical sera décrit avec le vecteur $\vec j$ qui correspond à la translation transformant $O$ en $J$.
	
	\medskip
	Le points de vue de la translation revêt un intérêt supplémentaire dans l'application qui en est faite en mécanique pour repérer la position d'un point dans le plan.

\end{correction}

\subsubsection{Historique.}



\begin{correction}
	
	Les vecteurs du plan sont des cas particuliers d'une notion très générale qui fait partie de l'\emph{\color{purple}algèbre linéaire} (ce qu'on pourrait comprendre comme un calcul avec des lignes).
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{5cm}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Cette dernière fut essentiellement développée au dix-neuvième siècle. Si des célébrités comme Gauss, Jordan ou Hamilton contribuèrent à son développement c'est \emph{\color{purple}Hermann Grassmann} qui en découvrit toute la richesse. 
			
			Isolé, il ne parvint à faire reconnaître ses découvertes. Rejeté des milieux universitaires il enseigna longtemps au Gymnasium avant d'obtenir tardivement une reconnaissance universitaire dans le domaine de la linguistique en rédigeant un dictionnaire sanskrit et en traduisant le Rig-Véda.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.4]{2ieme_geometrie_05_vecteurs_introduction_02_grassmann_hermann_gunther.jpg}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Les élèves de classes préparatoires connaissent son nom grâce à la formule dite de Grassmann qui n'est pas sans rappeler une formule de probabilité \[ \dim (F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)\]
	
\end{correction}


\subsection{Bipoints: des représentants géométriques d'un vecteur.}

\subsubsection{Définitions.}

\begin{correction}
	
	Ce n'est pas une définition très rigoureuse mais elle a l'avantage d'être simple et intuitive.
	
\end{correction}

Nous définirons un \emph{\color{purple}vecteur $\vec u$} comme le déplacement associé à une translation. 

\medskip
Si $M$ et $N$ sont deux points du plan. Nous dirons que $\overrightarrow{MN}$ est \emph{\color{purple}un représentant du vecteur $\vec u$} correspondant à la translation qui transforme $M$ en $N$.

\medskip
Si $\overrightarrow{MN}$ est un représentant d'un vecteur $\vec u$ alors nous définissons

\begin{itemize}
	\item la \emph{\color{purple}norme du vecteur} par: $\color{purple}\| \vec u \| =MN$,
	
	\item la \emph{\color{purple}direction du vecteur} qui est la droite $(MN)$,
	
	\item le \emph{\color{purple}sens du vecteur $\vec u$}: de $M$ vers $N$.
	
\end{itemize}

\subsubsection{Égalité de représentants.}

Deux représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ représentent le même vecteur si et seulement si ils vérifient les trois conditions:
	\begin{itemize}
	\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont même norme, \emph{i.e.} $AB=CD$,
	\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont même direction, \emph{i.e.} $(AB)//(CD)$,
	\item le sens de $A$ vers $B$ est le même que celui de $C$ vers $D$.
	\end{itemize}
Si ces conditions sont vérifiées nous écrirons: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

\medskip
Cette façon, certes intuitive de voir que deux représentants sont égaux, sera avantageusement remplacée dans les démonstrations par la 

\begin{proposition}{}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan.
	
	$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ représentent un même vecteur (\emph{i.e.} $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$) si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (4,3);
		\coordinate (D) at (3,5);
		\coordinate (C) at (-1,2);
		\draw[>=latex,->,very thick] (A)--(B);
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[right]{$B$};
		\draw[>=latex,->,very thick] (C)--(D);
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (C)node[above left]{$C$};
		\draw[dashed] (A)--(C);
		\draw[dashed] (B)--(D);
		\draw[dashed,thin] (A)--(D);
		\draw[dashed,thin] (B)--(C);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\end{minipage}
	
	\end{tabularx}

\end{proposition}

\begin{preuve}

Indémontrable avec la construction non explicite des bipoints et des classes d'équivalences.

\end{preuve}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item Rappelons que {\color{orange}pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme il faut et il suffit de montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu}.
	\item Dans la pratique il y a rarement d'inconvénients à confondre un vecteur et un de ses représentants. Nous dirons donc \og le vecteur $A$, $B$ \fg{} pour $\overrightarrow{AB}$.
	\item $A$ est appelé l'\emph{\color{purple}origine} de $\overrightarrow{AB}$.
	\item $B$ est appelé l'\emph{\color{purple}extrémité} de $\overrightarrow{AB}$.
	\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Choisissez $A$, $B$, $C$ et $D$ des points distincts et non alignés du plan en dehors du quadrillage de votre feuille.
	
	Notons $\vec u$ un vecteur dont $\overrightarrow{AB}$ est un représentant.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez le représentant $\overrightarrow{AB}$ de $\vec u$.
		
		\item Dessinez le représentant de $\overrightarrow{u}$ d'origine $C$.
		
		\item Dessinez le représentant de $\overrightarrow{u}$ d'extrémité $D$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Recommencez le précédent exercice en choisissant maintenant les points sur le quadrillage et en utilisant ce dernier pour construire les représentants.

\end{exercice}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $A(-1,1)$, $B(2,3)$, $C(11,-7)$ et $D(14,-5)$ des points dans un repère orthonormé du plan.
	
	Démontrez que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}

\begin{minipage}{\linewidth}

Par lecture graphique indiquez
	
	\begin{enumerate}
	\item un vecteur égale à $\overrightarrow{AE}$; à $\overrightarrow{CF}$.
	\item un vecteur de même direction que $\overrightarrow{CB}$ mais de sens opposé; idem pour $\overrightarrow{AF}$.
	\item un vecteur égale à $\overrightarrow{DC}$ d'extrémité $F$; égale à $\overrightarrow{FB}$ d'origine $A$.
	\item deux vecteurs de même de direction, de même sens qui ne sont pas égaux.
	\item de vecteurs de même norme qui ne sont pas égaux.
	\end{enumerate}

\end{minipage}

&

\begin{minipage}{\linewidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{11.5};
	\def\yZ{8.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\coordinate (A) at (1,1);
	\coordinate (B) at (10,4);
	\coordinate (C) at (9,7);
	\coordinate (D) at (3,5);
	\coordinate (E) at (4,2);
	\coordinate (F) at (7,3);
	\draw (A) node[below]{$A$};
	\draw (B) node[below]{$B$};
	\draw (C) node[above right]{$C$};
	\draw (D) node[above left]{$D$};
	\draw (E) node[below]{$E$};
	\draw (F) node[below]{$F$};
	\draw (A)--(E)--(F)--(B)--(C)--(D)--(A);
	\draw (E)--(D)--(F)--(C);
\end{tikzpicture}

\end{minipage}

\end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Dans un repère $(O;I,J)$ on considère les points $A(-3;-1)$, $B(0;1)$, $C(-2;2)$, $D(1;-2)$.
	
	Nous noterons $\vec u$ le vecteur dont $\overrightarrow{AB}$ est un représentant.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez le représentant $\overrightarrow{CE}$ (donc d'origine $C$) du vecteur $\vec u$.
		
		\item Placez le point $F$ image de $D$ par la translation de vecteur $\vec u$.
		
		\item Que peut on conjecturer concernant le quadrilatère $CEFD$?
		
		\item Démontrez votre conjecture.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Somme de représentants de vecteurs: la relation de Chasles.}

\begin{notabene}
	
	Dans cette partie nous allons voir que ces étonnants objets géométriques que nous avons découverts peuvent être additionnés. Nous allons construire une addition de vecteurs. Que serait une telle addition? Pour cela raisonnons en regardant les vecteurs comme des translations.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
Soient $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec w \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs et $A$ un point du plan. 

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Notons $B$ l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec u$ et $C$ celle de $B$ par la translation de vecteur $\vec w$.
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\coordinate (B) at (4,3);
			\coordinate (C) at (6,1);
			\draw(A)node{$\times$};
			\draw(B)node{$\times$};
			\draw(C)node{$\times$};
			\draw(A)node[left]{$A$};
			\draw(B)node[above]{$B$};
			\draw(C)node[right]{$C$};
			\draw[>=latex,->,thick,blue](A)--(B)node[midway,above]{$\vec u$};
			\draw[>=latex,->,thick,blue](B)--(C)node[midway,above]{$\vec w$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

Si nous devons interpréter le déplacement total en terme de translation nous dirons que

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$C$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}=\vec u +\vec w$.
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{7};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\coordinate (B) at (4,3);
			\coordinate (C) at (6,1);
			\draw(A)node{$\times$};
			\draw(B)node{$\times$};
			\draw(C)node{$\times$};
			\draw(A)node[left]{$A$};
			\draw(B)node[above]{$B$};
			\draw(C)node[right]{$C$};
			\draw[>=latex,->,thick,blue](A)--(B)node[midway,above]{$\vec u$};
			\draw[>=latex,->,thick,blue](B)--(C)node[midway,above]{$\vec w$};
			\draw[>=latex,->,thick,red](A)--(C)node[midway,below]{$\vec u +\vec w$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

\begin{notabene}
	
	On peut remarquer sur ce schéma la commutativité de l'addition de vecteur.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Nous utiliserons cette présentation intuitive e la somme en guise de définition.
	
\end{notabene}

Ce résultat qui permet de définir une somme de vecteur, se formalise sous forme de

\end{correction}

\begin{proposition}{ - {\color{purple}Relation de Chasles}}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. \[ {\color{orange}\overrightarrow{AB}}+{\color{red}\overrightarrow{BC}}={\color{Emerald}\overrightarrow{AC}} \]
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (2,2);
			\coordinate (D) at (5,1);
			\draw (A)node[left]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (D)node[right]{$C$};
			\draw[>=latex,->,orange,thick] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->,red,thick] (B)--(D);
			\draw[>=latex,->,Emerald,thick] (A)--(D);
			\draw (3,-0.7)node{\color{Emerald}$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item {\color{orange}Pour dessiner le représentant de la somme il faut choisir deux représentants des vecteurs qui \og se suivent \fg{}: l'extrémité d'un représentant est l'origine de l'autre représentant à sommer.}
	\item Nous utiliserons aussi cette relation pour \og calculer\fg{} avec des vecteurs, \emph{i.e.} essentiellement pour simplifier les expressions.
	\item La somme de vecteurs est commutative: $\vec u +\vec v=\vec v+\vec u$.
	
	\begin{notabene}
		
		Ajouter un schéma qui met aussi en évidence le parallélogramme.
		
	\end{notabene}
	
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Choisissez $4$ points $A$, $B$, $C$ et $D$ non alignés et hors du quadrillage.
	
	Construisez un représentant du vecteur somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Recommencez l'exercice précédent en choisissant des points du quadrillage et en utilisant celui-ci pour répondre à la question.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Vecteurs opposé et nul.}

En considérant le cas de la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$ nous sommes naturellement amenés à considérer un vecteur que nous appellerons \emph{\color{purple}le vecteur nul}, que nous noterons $\color{purple}\overrightarrow{0}$. En effet la première translation transforme $A$ en $B$ et la seconde $B$en $A$: globalement il n'y a pas de déplacement.


\begin{notabene}
	
	Remarquons que nous ne pouvons pas définir le vecteur nul comme un autre vecteur puisque:
	
\end{notabene} 

Le vecteur nul ne possède ni sens ni direction et sa norme est nulle.

\begin{notabene}
	
	Quelles seront les coordonnées d'un vecteur nul?
	
\end{notabene}

\medskip
Nous écrirons donc: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec 0$.

Par analogie avec la somme des nombres nous dirons que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont \emph{\color{purple}opposés} et nous écrirons \[ \color{purple}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA} \]

\begin{notabene}
	
	Ainsi des vecteurs opposés ont même norme, même direction mais sont de sens contraire.
	
\end{notabene}

De même que pour les nombres nous simplifierons les écritures en utilisant la \emph{\color{purple}soustraction de vecteur}: $\vec u +(-\vec v)=\vec u -\vec v$.

\medskip
{\color{orange}Nous pourrons donc manipuler les vecteurs comme des nombres en les additionnant, en les soustrayant, en prenant leurs opposés, etc.}

\begin{correction}
	
	\medskip
	Nous verrons dans la leçon sur les droites que les vecteurs et les droites sont intimement liés. Si bien que nous arriverons au résultat voulu par Grassmann: calculer avec des lignes.
	
\end{correction}


\begin{exerciceapplication}
	
	En choisissant des points judicieux complétez.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}+\dots=\overrightarrow{AE}$
				\item $\overrightarrow{G\dots}+\overrightarrow{B\dots}=\overrightarrow{GI}$
				\item $\overrightarrow{\dots B}+\overrightarrow{B \dots}=\overrightarrow{CG}$
				\item $\overrightarrow{BE}+\dots=\overrightarrow{BD}$
				\item $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{\dots F}=\overrightarrow{B\dots}$
				\item $\overrightarrow{B\dots}+\overrightarrow{\dots A}=\overrightarrow{BA}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{6}
				\item $\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{G\dots}=\overrightarrow{B\dots}$
				\item $\overrightarrow{\dots E}+\overrightarrow{E \dots}=\overrightarrow{BC}$
				\item $\overrightarrow{A \dots }+\overrightarrow{B\dots}=\overrightarrow{AC}$
				\item $\overrightarrow{O\dots}+\overrightarrow{M\dots}=\overrightarrow{\dots P}$
				\item $\overrightarrow{A\dots}+\overrightarrow{D\dots}+\overrightarrow{M\dots }=\overrightarrow{AG}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $A$, $B$, $C$, $E$, $G$ et $I$ des points du plan. Simplifiez les expressions suivantes (grâce notamment à la relation de Chasles).
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{CG}$
		\item $\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{CG}$
		\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{CG}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Simplifiez les expressions.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				\item $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \vec 0$.
		
		\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{BA}$.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Démontrez.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$.
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$.
				\item $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0$.
				\item $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
				\item $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{notabene}
	
	Il y a dans l'exercice précédent la somme d'un vecteur par lui-même d'où l'apparition de la multiplication par un nombre.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Somme de vecteurs: identité du parallélogramme.}

\begin{notabene}
	
	Nous avons vu la somme de vecteurs en raisonnant avec les translations. En physique vous serez amenés à faire le bilan des forces s'appliquant à un solide. Dans ce cas toutes les forces ont la même origine. Il est donc difficile de dessiner les vecteurs sommes. Nous allons voir un procédé pour sommer des vecteurs ayant même origine.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Un glaçon est placé sur un plan incliné. Nous supposerons qu'il n'est soumis qu'a son propre poids $\color{red}\vec P$ et à la réaction du sol $\color{orange}\vec R$ (pas de force de frottement, pas de force d'Archimède, etc).
		
		Nous avons représenté le bilan des forces appliquées au centre de gravité (ou centre d'inertie).
		
		\medskip
		Nous recherchons la force résultante, $\color{Emerald}\overrightarrow{F_r}$, \emph{i.e.} la somme de toutes les forces appliquées au glaçon.
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\def\angle{150};
			\def\poids{2};
			\draw[black][samples=100,domain=0:5] plot({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)});
			\foreach \x in {0,0.2,...,5}
			\draw[black,thin]({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)})--({\x*cos(\angle)+5-0.3},{\x *sin(\angle)-0.2});
			\coordinate (A) at ({3*cos(\angle)+5},{3*sin(\angle)});
			\coordinate (B) at ({2*cos(\angle)+5},{2*sin(\angle)});
			\coordinate (C) at ({2*cos(\angle)+5+0.5},{2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
			\coordinate (D) at ({3*cos(\angle)+5+0.5},{3*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
			\draw[blue](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[blue,opacity=0.25](A)--(B)--(C)--(D)--(A);\coordinate (M) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))});
			\draw (M) node{$\bullet$};
			\coordinate (P) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))-\poids});
			\draw[>=latex,->,red,very thick](M)--(P)node[below]{$\vec P$};
			\coordinate (R) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5) - \poids*cos(\angle)*cos(\angle-90)} , {0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)) - \poids *cos(\angle)*sin(\angle-90)});
			\draw[>=latex,->,orange,very thick](M)--(R)node[above]{$\vec R$};
			\draw[dashed] (R) circle ({\poids});
			\draw[dashed] (P) circle ({\poids *cos(\angle)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Plutôt que de dessiner le représentant de $\vec R$ ayant pour origine l'extrémité de $\vec P$ nous allons construire le parallélogramme.
		
		Ainsi \[ {\color{red}\vec P} +{\color{orange}\vec R} ={\color{Emerald}\overrightarrow{F_r}} \]
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\def\angle{150};
			\def\poids{2};
			\draw[black][samples=100,domain=0:5] plot({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)});
			\foreach \x in {0,0.2,...,5}
			\draw[black,thin]({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)})--({\x*cos(\angle)+5-0.3},{\x *sin(\angle)-0.2});
			\coordinate (A) at ({3*cos(\angle)+5},{3*sin(\angle)});
			\coordinate (B) at ({2*cos(\angle)+5},{2*sin(\angle)});
			\coordinate (C) at ({2*cos(\angle)+5+0.5},{2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
			\coordinate (D) at ({3*cos(\angle)+5+0.5},{3*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
			\draw[blue](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[blue,opacity=0.25](A)--(B)--(C)--(D)--(A);\coordinate (M) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))});
			\draw (M) node{$\bullet$};
			\coordinate (P) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))-\poids});
			\draw[>=latex,->,red,very thick](M)--(P)node[below]{$\vec P$};
			\coordinate (R) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5) - \poids*cos(\angle)*cos(\angle-90)} , {0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)) - \poids *cos(\angle)*sin(\angle-90)});
			\draw[>=latex,->,orange,very thick](M)--(R)node[above]{$\vec R$};
			\coordinate (S) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5) - \poids*cos(\angle)*cos(\angle-90)} , {0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)) - \poids *cos(\angle)*sin(\angle-90)-\poids});
			\draw[>=latex,->,Emerald,very thick](M)--(S)node[right]{$\overrightarrow{F_r}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

\end{correction}

Mathématiquement nous retiendrons:

\begin{proposition}{ - {\color{purple}Identité du parallélogramme.}}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan.
			
			\medskip
			$\color{purple}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ équivaut à dire que $ABDC$ est un parallélogramme.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (2,2);
			\coordinate (C) at (3,-1);
			\coordinate (D) at (5,1);
			\draw (A)node[left]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (C)node[below]{$C$};
			\draw (D)node[right]{$D$};
			\draw[>=latex,->,orange,thick] (A)--(B);
			\draw[black,thin,dashed] (B)--(D);
			\draw[>=latex,->,red,thick] (A)--(C);
			\draw[black,thin,dashed] (C)--(D);
			\draw[>=latex,->,Emerald,thick] (A)--(D);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

Remarques.
\begin{enumerate}
	\item {\color{orange}Nous utiliserons ce résultat pour dessiner le vecteur somme lorsque les représentants additionnés ont la même origine.}
	\item Cette identité est plus rarement utilisée dans les calculs que la relation de Chasles.
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Dessinez trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés hors des quadrillages de votre feuille et dessinez le vecteur somme $\vec s=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
\subsubsection{La valeur absolue.}

Par définition la \emph{\color{purple}valeur absolue} d'un nombre $x$ est le nombre positif 

${\color{purple}|x|}=\left\{ \begin{array}{l} x \text{ si } x\ge 0\\ -x \text{ si }x<0 \end{array} \right.$

\end{correction}

\subsubsection{Multiplication d'un vecteur par un scalaire.}

Il paraît naturel de noter: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}$. En généralisant nous définirons n'importe quel vecteur $\lambda \overrightarrow{AB}$, $\lambda$ désignant un réel.

\begin{définition}
	
	Soient $\overrightarrow{AB}$ le représentant d'un vecteur et $\lambda$ un nombre quelconque.
	
	Nous définissons le vecteur $\lambda \overrightarrow{AB}$ par
	\begin{itemize}
		\item $\lambda \overrightarrow{AB}$ a même direction que $\overrightarrow{AB}$
		\item la norme de $\lambda \overrightarrow{AB}$ est $|\lambda | AB$
		\item si $\lambda > 0$ alors $\lambda \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont même sens et si $\lambda <0$ alors ils sont de sens contraire.
	\end{itemize}
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Plutôt que d'apprendre cette définition sachez l'utiliser. Les vecteurs ont même direction, la longueur est multipliée par autant que l'indique $\lambda$ et le sens dépend du signe de $\lambda$.
	\item Nous retrouverons les règles habituelles de distributivité, de commutativité, d'associativité.
	
	Si $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres et $\vec u$ et $\vec w$ des vecteurs, alors \[ \lambda (\vec u+ \vec w)=\lambda \vec u + \lambda \vec w, \quad (\lambda +\mu ) \vec u= \lambda \vec u + \mu \vec u, \quad \lambda ( \mu \vec u)=(\lambda \mu) \vec u \]
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Dessinez deux points $A$ et $B$ distincts puis placez les points $M$, $N$ et $P$ tels que $\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BP}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Profiter de l'exercice suivant pour donner la caractérisation du milieu d'un segment par les vecteur.
	
\end{notabene}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points distincts, $I$ le milieu du segment $[AB]$.
	
	Dans chaque cas déterminez le réel $\lambda$ tel que: $\overrightarrow{AI}=\lambda \overrightarrow{AB}$ puis $\overrightarrow{BI}=\lambda \overrightarrow{AB}$.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 50 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle quelconque.
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item Justifiez que $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}$.
		
		\item $F$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$. Justifiez que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{FB}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}L'intitulé triangle quelconque suggère qu'il faut éviter de se placer dans un cas particulier mais aussi que la construction doit se faire sans utiliser un quadrillage.}
		
		
		\item Par construction $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ donc $ABDC$ est un parallélogramme. Et par conséquent $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}$. {\color{orange}Il suffit de faire la figure pour s'en convaincre.}
		
		\item Puisque $F$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$: $\overrightarrow{AF}= \overrightarrow{CB}$. Nous déduisons de cette dernière égalité que $AFBC$ est un parallélogramme. Enfin, comme $AFBC$ est un parallélogramme $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{FB}$.
		
	\end{enumerate}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 53 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$ et $B$ deux points du plan distants de $6$ unités de longueur (choisissez deux unités de longueur par centimètre).
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Construisez le point $L$ tel que $\overrightarrow{BL} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AB}$.
			
			\item Construisez le point $K$ tel que $\overrightarrow{AK} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{AB}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{LK}$ peut s'écrire $\overrightarrow{LB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK}$, établissez une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{LK}$ et $\overrightarrow{AB}$.
			
			\item Déduisez-en la longueur $LK$ en unités de longueur.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\item 
			
		\end{enumerate}
		
		\item
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{LK} &= \overrightarrow{LB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} \\
				&= -\overrightarrow{BL} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AK} \\
				&= -\frac{5}{2} \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AB}+ \left(-\frac{4}{3} \overrightarrow{AB} \right)\\
				&= \left( -\frac{5}{2}  -1-\frac{4}{3} \right) \overrightarrow{AB}\\
				&= \left( -\frac{5 \times 3}{2 \times 3} -\frac{6}{6}-\frac{4 \times 2}{3 \times 2} \right) \overrightarrow{AB}\\
				&= \frac{-15-6-8}{6} \overrightarrow{AB}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{LK}=-\frac{29}{6} \overrightarrow{AB}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $\overrightarrow{LK}=-\frac{29}{6} \overrightarrow{AB}$, nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\left\| \overrightarrow{LK} \right\| &= \left|-\frac{29}{6}\right| \times  \left\| \overrightarrow{AB} \right\|\\
				&= \frac{29}{6} \times AB\\
				&= \frac{29}{6} \times 6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$LK=29$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 69 page 217
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que: \[ 3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}= \vec 0 .\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Réalisez une figure.
		
		\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{AC}$ peut s'écrire $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, exprimez le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BC}$ en justifiant la réponse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item Par construction
		
		\begin{align*}
			3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} &= \vec 0\\
			\intertext{ce qui équivaut, d'après la relation de Chasles, à}
			 3\overrightarrow{AB} - 2 \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right) &= \vec 0\\
			 3\overrightarrow{AB} -2\overrightarrow{AB}-2 \overrightarrow{BC} &= \vec 0 \\
			 \overrightarrow{AB}-2 \overrightarrow{BC} &= \vec 0
 		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 93 page 221
		
	\end{notabene}
	
	Soit $MNPQ$ un parallélogramme. On définit le point $R$ tel que $\overrightarrow{QR} = \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$ et le point $S$ tel que $\overrightarrow{MS}= - \frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Réalisez une figure.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QR}$, montrez que $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$.
			
			\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{NS}$ peut s'écrire $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MS}$, montrez que $\overrightarrow{NS} = -\overrightarrow{MN}-\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$.
			
			\item Déduisez-en une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après la relation de Chasles
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{MR} &= \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QR}\\
				\intertext{Or, d'après l'énoncé, $\overrightarrow{QR}= \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$, donc en substituant:}
				\overrightarrow{MR} &= \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}
			\end{align*}
			
			\item 
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 95 page 221
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABCD$ un parallélogramme et $S$ et $V$ des points tels que $\overrightarrow{AV} = 2 \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CS} = 2 \overrightarrow{CD}$.
	
	Montrez que les segments $[VS]$ et $[AC]$ ont le même milieu.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}En faisant à main levé une figure nous voyons que $AVCS$ est un parallélogramme et par conséquent ses diagonales se coupent bien en leur milieu. Démontrons-le proprement.}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que $AVCS$ est un parallélogramme.}
	
	{\color{orange}Pour cela nous allons démontrer que $\overrightarrow{AV}=\overrightarrow{SC}$.}
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AV} &= 2 {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{AB}}\\
		\intertext{Or $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ et en remplaçant:}
		\overrightarrow{AV} &= 2 {\color{WildStrawberry} \overrightarrow{DC}}\\
		\intertext{Comme, par construction,  $2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CS}$, en considérant les vecteurs opposés, nous en déduisons:}
		\overrightarrow{AV} &= \overrightarrow{SC}
	\end{align*}
	
	Nous avons bien démontré que $\overrightarrow{AV} = \overrightarrow{SC}$ et donc que $AVCS$ est un parallélogramme. Nous en déduisons que ses diagonales
	
	\begin{conclusion}
		
		$[VS]$ et $[AC]$ se coupent en leur milieu.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Géométrie repérée.}

\subsubsection{Coordonnées d'un vecteur.}

\begin{notabene}
	
	De même que nous avons utilisés les coordonnées pour interpréter toute la géométrie vue au collège de même le vecteurs peuvent être travaillés avec des coordonnées.
	
\end{notabene}

\begin{définition}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\vec i$ et $\vec j$ deux vecteurs du plan,
		\item $O$ un point du plan,
		\item $I$ l'image de $O$ par la translation de vecteur $\vec i$,
		\item $J$ l'image de $O$ par la translation de vecteur $\vec j$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $\left( \vec i,\vec j \right)$ est \emph{\color{purple}une base du plan} si et seulement si $(O;I,J)$ est un repère du plan.
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	
	\item Pour que $(O;I,J)$ soit un repère il faut que les points $O$, $I$ et $J$ soient distincts et non alignés.
	
	\item Si de plus $(O;I,J)$ est un repère orthonormé alors nous dirons que $\left( \vec i, \vec j \right)$ est \emph{\color{purple}une base orthonormée}.
	
	\item Nous pourrons dorénavant parler du repère $\left( O; \vec i, \vec j \right)$.
	
\end{enumerate}

\begin{correction}
	
	L'utilisation d'une base nous permet de définir les coordonnées d'un vecteur par exemple le vecteur $\vec u = 3\vec i -\vec j$ aura pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.
	
\end{correction}

\begin{définition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( \vec i, \vec j \right)$ une base du plan,
		
		\item $\vec u$ un vecteur du plan.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il existe un unique couple de réels $(x,y)$ de nombres réels $x$ et $y$ tel que \[ \vec u = x \vec i + y\vec j.\]
	
	Le couple $(x,y)$ est appelé le couple des \emph{\color{purple}coordonnées} de $\vec u$.
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.

\begin{enumerate}
	\item De même que les coordonnées d'un point dépendent du repère choisi, les coordonnées d'un vecteur dépendent de la base choisie.
	
	\item Pour une base fixée les coordonnées du vecteur sont uniques.
	
	\begin{correction}
		
		Cette affirmation constitue un théorème qu'il faudrait démontrer ce que nous nous garderons de faire.
		
	\end{correction}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire un quadrillage et regarder les déplacement en  $\vec i$ et $\vec j$ et remarquer que l'on obtient toujours la même combinaison linéaire.
		
	\end{notabene}
	
	\item Les vecteurs de la base sont les vecteurs, en nombre minimum, qui permettent de décrire n'importe qu'elle translation.
	
	\item La décomposition $\vec u = x \vec i + y \vec j $ est appelée une \emph{\color{purple}combinaison linéaire.}
	
	\begin{correction}
		
		C'est pourquoi la branche des mathématiques traitant des vecteurs est appelée l'\emph{\color{purple}algèbre linéaire}: \emph{algèbre} à cause des calculs et \emph{linéaire} à cause des \emph{combinaisons linéaires} (et de l'origine historique).
		
	\end{correction}
	
	\item Concrètement pour obtenir les coordonnées d'un vecteur dans un repère il suffit de compter les carreaux en suivant l'axe des abscisses puis recommence suivant l'axe des ordonnées, en partant de l'origine pour rejoindre l'extrémité.
	
	\item Les coordonnées de vecteurs sont plutôt notées en colonne qu'en ligne \[ \color{purple} \vec u = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \]
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Égalité de vecteurs.}

\begin{proposition}{}
	
	Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Ce résultat découle directement de l'unicité des coordonnées admises dans la précédente définition.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Égalité de représentants.}


\begin{proposition}{}

Soient $(O,I,J)$ un repère du plan, $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ des points dans ce repère.

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont \[ \color{purple} \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \]

\end{proposition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	
	\item Les coordonnées de vecteurs sont notées en colonnes pour les distinguer des coordonnées de points et pour faciliter la présentation des calculs.
	
	\item Pour que les coordonnées de vecteurs soient intéressantes à utiliser il faudrait que les coordonnées du vecteur soient les mêmes quelque soit le représentant choisi. Vérifions ceci dans la proposition suivante.
	
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $A(-2;1)$, $B(2;4)$, $C(3;0)$ et $D(-1;-3)$ des points du plan muni d'un repère.
	
	Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Démontrer en utilisant les vecteurs.
		
	\end{notabene}
	
	{\color{orange}$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.}
	
	\begin{align*}
		& \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\\
		& \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2-(-2) \\ 4-1 \end{pmatrix}\\
		& \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
	\end{align*}
	
	De même
	
	\begin{align*}
		& \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 0-(-3) \end{pmatrix}\\
		& \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
	\end{align*}
	
	Donc, {\color{orange}les vecteurs ayant même coordonnées}: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
	
	Et par conséquent 
	
	\begin{conclusion}
		
		$ABCD$ est un parallélogramme.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme didier mathx 2010 page 331 exercice 32
	
	\end{notabene}
	
	Soient $A(-3;3)$, $B(2;5)$, $C(4;0)$ et $D(-1;-2)$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec i, \vec j \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item Calculez $AC$ et $BD$.
		
		\item Qu'en déduisez-vous sur $ABCD$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Il suffit de procéder comme dans l'exercice précédent
		
		\item Le repère étant orthonormé il suffit d'utiliser la formule $AC=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}$.
		
		\item D'après les questions précédentes $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{m{4cm}X}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Lisez les coordonnées des vecteurs représentés ci-contre et indiquez ceux qui sont égaux.
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-7};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{7};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\footnotesize $O$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node{};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node{};
		\draw[>=latex,->](-6,2)--(-4,1)node[midway,above]{$\vec u$};
		\draw[>=latex,->](-4,-5)--(-5,-2)node[midway,above right]{$\vec v$};
		\draw[>=latex,->](6,1)--(5,4)node[midway,above right]{$\vec r$};
		\draw[>=latex,->](-2,3)--(-4,4)node[midway,above right]{$\vec w$};
		\draw[>=latex,->](-3,-2)--(0,-2)node[midway,below right]{$\vec s$};
		\draw[>=latex,->](2,5)--(2,2)node[midway,right]{$\vec t$};
		\draw[>=latex,->](1,-4)--(2,-1)node[midway,right]{$\vec a$};
		\draw[>=latex,->](6,-1)--(4,-3)node[midway,below right]{$\vec b$};
		\draw [red,thick,>=latex,->] (0,0) -- (1,0) node[midway,below]{$\vec i$};
		\draw [red,thick,>=latex,->] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]{$\vec j$}; 
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{minipage}
	
	\end{tabularx}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Soient $A(7;-3)$, $B(3;2)$ et $C(-5;-4)$ des points du plan muni d'un repère.
	
	Déterminez les coordonnées du point $D(x_D;y_D)$ qui vérifie $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

\end{exerciceapplication} 

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons $x_D$.}
	
	$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
	
	De plus $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
	
	Autrement dit dire que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut successivement à 
	
	\begin{align*}
		\frac{x_A+x_D}{2}=\frac{x_B+x_C}{2} & \quad \text{et} \quad \frac{y_A+y_D}{2}=\frac{y_B+y_C}{2}& \\
		\frac{7+x_D}{2} = \frac{3+(-5)}{2} & \quad \text{et} \quad \frac{-3+y_D}{2}=\frac{2+(-4)}{2}& \\
		x_D= -9 & \quad \text{et} \quad y_D=1
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré qu'il y a un seul point $D$ qui satisfassent à la condition $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ et ses coordonnées sont $(-9;1)$.
		
	\end{conclusion}
		
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $A(2;-3)$ et $B(-1;4)$ deux points dans un repère orthonormé $(O; \vec i , \vec j )$.
	
	Calculez $\| \overrightarrow{AB} \|$.
	
\end{exercice}


\subsubsection{Somme vectorielle et coordonnées.}

\begin{proposition}{}
	
	Si $\vec u \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$, alors $\vec u +\vec v \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}$.

\end{proposition}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 205 exercice 22.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		La méthode de recherche des coordonnées est classique. De plus le point ainsi obtenu est l'isobarycentre des point $A$, $B$ et $C$ Ajouter aussi en correction avant l'exercices des explications sur le rôle fondamental du centre de gravité en physique.
		
	\end{notabene}
	
	Dans un repère on considère les points: $A(-2;1)$, $B(3;4)$ et $C(-5;2)$.
	
	Calculez les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= \vec 0$.

\end{exercice}

\subsubsection{Multiplication d'un vecteur par un scalaire avec les coordonnées.}

\begin{proposition}
	
	Si $\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\lambda \vec u \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y\end{pmatrix}$.

\end{proposition}

\begin{exerciceapplication}
	
	Déterminez les coordonnées de $-7\vec u$ sachant que $\vec u \begin{pmatrix} -3 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$.

\end{exerciceapplication}

\subsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}

	Si $ABCD$ est un parallélogramme alors on peut simplifier (sans justifier)
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$.
		
		\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.
		
		\item $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}$.
		
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 337 exercice 100
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(-1;-2)$, $B(5;-1)$, $C(6;3)$ et $D(0;2)$ des points considérés dans un repère du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Faites un figure.
		\item Construisez le point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.
		\item Déterminez les coordonnées de $E$.
		\item Démontrez que $\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{BC}$.
		\item Que pouvez-vous en déduire?
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $ABC$ un triangle et $K$, $L$ et $M$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.

		\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{BM}$.
		
		\begin{notabene}
			
			Attendu démonstration de l'existence d'un parallélogramme double Thalès ou théorème des milieux.
			
		\end{notabene}
		
		\item Déduisez-en $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{KL}$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}SI aucune figure n'est demandée il est nécessaire pour aborder un tel exercice de faire un schéma.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Comme $M$ est le milieu de $[BC]$:
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BM} &= \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\\
			\intertext{Donc, d'après a relation de Chasles:}
			\overrightarrow{BM}&= \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AC} \right)\\
			\intertext{Puisque $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$:}
			\overrightarrow{BM} &= \frac{1}{2} \left( 2 \overrightarrow{KA} + 2 \overrightarrow{AL} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \times 2 \overrightarrow{KA} + \frac{1}{2} \times 2 \overrightarrow{AL} \\
			&= \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AL}
		\end{align*}
		
		D'après la relation de Chasles:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{KL}$
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $M$ est le milieu de $[BC]$
		
		\begin{align*}
			\overrightarrow{BC} &= 2 \overrightarrow{BM}
		\end{align*}
		
		Donc, d'après la question précédente:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{KL}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 209 exercice 57
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABC$ un triangle, $D$ et $E$ des points tels que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{ED}=2\overrightarrow{BC}$.
	
	Faites une figure puis démontrez que $C$ est le milieu du segment $[AD]$.

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\def\xB{3};
		\def\yB{0};
		\coordinate (B) at ({\xA+\xB},{\yA+\yB});
		\def\xC{2};
		\def\yC{2};
		\coordinate (C) at ({\xA+\xC},{\yA+\yC});
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\draw (B) node[below]{$B$};
		\draw (C) node[above left]{$C$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\coordinate (E) at ({\xA+\xB+\xB},{\yA+\yB+\yB});
		\draw (E) node{$\times$};
		\draw (E) node[below right]{$E$};
		\draw[dashed] (B) -- (E);
		\coordinate (D) at ({\xA+\xB+\xB+2*(\xC-\xB)},{\yA+\yB+\yB+2*(\yC-\yB)});
		\draw (D) node{$\times$};
		\draw (D) node[above right]{$D$};
		\draw[dashed] (E) -- (D);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	{\color{orange} Nous allons utiliser une caractérisation vectorielle du milieu: $C$ est le milieu de $[AD]$ si et seulement si $\overrightarrow{AD}= 2 \overrightarrow{AC}$.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AD}= 2 \overrightarrow{AC}$.}
	
	{\color{orange}Pour démontrer cette égalité nous disposons d'informations sur les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{ED}$ et $\overrightarrow{BC}$. Nous allons, avec la relation de Chasles, nous allons décomposer $\overrightarrow{AD}$ en faisant apparaître tous ces vecteurs. Autrement dit il faut trouver un chemin qui va de $A$ à $D$ et qui passe si possible par $B$ et $E$ (ou $C$ mais il s'avérera que ce n'est pas nécessaire).}
	
	D'après la relation de Chasles:
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{ED}\\
		\intertext{Comme $\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AB}$:}
		\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED}\\
		&= 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}\\
		\intertext{Comme $\overrightarrow{ED}=2 \overrightarrow{BC}$:}
		\overrightarrow{AD} &= 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}\\
		&= 2 \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right)\\
		\intertext{D'après la relation de Chasles:}
		\overrightarrow{AD} &= 2 \overrightarrow{AC} 
	\end{align*}
	
	Nous en déduisons finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		$C$ est le milieu de $[AD]$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous aurions pu aussi utiliser une variante du théorème des milieux.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Intervertir les exercices 31 et 32 car permet de découvrir avant d'appliquer.
	
\end{notabene}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_didier_math_x_2de_2019
		Exercices 72 page 305
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABCD$ un carré, $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et le point $I$ le milieu de $[BC]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $\left( A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD} \right)$ est un repère orthonormé du plan.
		
		\item Déterminez les coordonnées des différents points de la figure puis montrez que $I$ est le milieu de $[DE]$.
		
		\item Démontrez ce résultat sans utiliser de repère.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par construction $ABD$ est un triangle isocèle rectangle en $A$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Du fait du choix du repère: $A(0;0)$, $B(1;0)$, $D(0;1)$. 
			
			\item Puisque $ABCD$ est un carré: $C(1;0)$.
			
			\item $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Autrement dit $B$ est le milieu de $[AE]$. Nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				x_B &= \frac{x_A+x_E}{2}\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				1 &= \frac{0+x_2}{2}\\
				1 {\color{orange}\times 2} &= \frac{x}{2} {\color{orange} \times 2}\\
				2 &= x_E
			\end{align*}
			
			et de même pour les ordonnées:
			
			\begin{align*}
				y_B &= \frac{y_A+y_E}{2}\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				0 &= \frac{0+y_2}{2}\\
				0 {\color{orange}\times 2} &= \frac{x}{2} {\color{orange} \times 2}\\
				0 &= y_E
			\end{align*}
			Ainsi: $E(2,0)$.
			
			\item Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$:
			
			\begin{align*}
				x_I &= \frac{x_B+x_C}{2}\\
				&= \frac{1+1}{2}\\
				&= 1
			\end{align*}
			
			et
			
			\begin{align*}
				y_I &= \frac{y_B+y_C}{2}\\
				&= \frac{0+1}{2}\\
				&= \frac{1}{2}
			\end{align*}
			
			Donc: $I\left( 1; \frac{1}{2} \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\objectif{Démontrons que $I$ est le milieu de $[DE]$.}
		
		{\color{orange}Nous allons simplement vérifier que le milieu de $[DE]$ et $I$ coïncident car ils ont même coordonnées.}
		
		\medskip
		Si nous notons $M$ le milieu de $[DE]$ nous avons d'une part
		
		\begin{align*}
		x_M &= \frac{x_D+x_E}{2}\\
		&= \frac{0+2}{2}\\
		&= 1
		\end{align*}
		
		et
		
		\begin{align*}
		y_M &= \frac{y_D+y_E}{2}\\
		&= \frac{1+0}{2}\\
		&= \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		Donc $M\left( 1; \frac{1}{2} \right)$.
		
		Puisque $M$ et $I$ ont même coordonnées nous pouvons affirmer
		
		\begin{conclusion}
			
			$I$ est le milieu de $[DE]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En utilisant le théorème des milieux.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		%2ieme_didier_math_x_2de_2019
		Exercices 73 page 305
		
	\end{notabene}
	
	On considère un carré $ABCD$ non réduit à un point.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$ est un repère du plan. Est-il orthonormé?
		
		\item Justifiez que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$ et en déduire les coordonnées du point $C$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right)$.
		
		\item On considère le point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$ et le point $F$ symétrique de $F$ par rapport à $D$.
		
		Déterminez les coordonnées des points $E$ et $F$ dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$.
		
		\item Que semble représenter le point $C$ par rapport aux points $E$ et $F$? Démontrez le par au moins $3$ méthodes différentes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $ABCD$ est un carré donc $ABD$ est un triangle isocèle rectangle en $A$. Par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$ est un repère orthonormé.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, d'après l'identité du parallélogramme
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons les coordonnées de $C$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item D'une part $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ et donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C \\ y_C \end{pmatrix}$,
			
			\item d'autre part $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} (1-0) + (0-0) \\ (0-0) + (1-0) \end{pmatrix}$,
			
		\end{enumerate}
		
		nous en déduisons donc: $x_C=1$ et $y_C=1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$C(1;1)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Puisque $E$ et le symétrique de $A$ par rapport à $B$, $B$ est le milieu de $[AE]$ et, par conséquent, $\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{AB}$.
		
		Comme $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ nous en déduisons $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 2 \times 1 \\ 2 \times 0 \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		Mais $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E \\ y_E \end{pmatrix}$ donc \[ \left\{ \begin{array}{l} x_E = 2 \\ y_E= 0 \end{array} \right. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$E(2;0)$.
			
		\end{conclusion}		
		
		\medskip
		En procédant de même
		
		\begin{conclusion}
			
			$F (0;2)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $C$ est le milieu de $[EF]$.
		
		Voici trois méthodes pour le démontrer:
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Montrer avec les coordonnées que $\overrightarrow{EC}= \overrightarrow{CF}$.
			
			\item En calculant les coordonnées du milieu de $[EF]$ nous nous rendons compte qu'elles coïncident avec celles de $C$.
			
			\item En utilisant le théorème des milieux. {\color{orange}Ceci dit il faudrait expliciter le fait que $C$ est dans le même demi-plan délimité par $(AD)$ que $F$.}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65127&ordre=1}{Exercice 91 page 218 du Manuel Sésamath.}
		
	\end{notabene}

	Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points quelconques.
	\begin{enumerate} \item Démontrer les \'egalit\'es suivantes.
		\begin{enumerate}
			\item 
			$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \left(\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{BA}\right) = \overrightarrow{DA}$ 
			\item  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$
		\end{enumerate}
		
		\item Simplifier l'écriture des vecteurs suivants.
		\begin{enumerate}
			\item $\overrightarrow{u} = \left( \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC}\right) + \left(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD}\right)$
			\item $\overrightarrow{v} = \left(\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{CD}\right) - \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right)$
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
		
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			\begin{align*}
				\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} \right) &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}-\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right) \\
				&= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}- \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \\
				&= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA} \\
				&= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA}} \\
				\intertext{D'après la relation de Chasles:}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} \right) = {\color{WildStrawberry} \overrightarrow{DA}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item D'après la relation de Chasles
			
			\begin{align*}
				{\color{orange}\overrightarrow{AD}} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{BC}} &= {\color{orange}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{BD} +\overrightarrow{DC}}\\
				&= {\color{orange}\overrightarrow{AC} } + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{BD}} + {\color{orange} \overrightarrow{CD}} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{DC}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD} = \overbrace{AC} + \overrightarrow{BD}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				\vec u &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}\\
				&= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}
			\end{align*}
			
			D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec u= \overrightarrow{0}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\vec v &= {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\\
				\intertext{D'aprèsla relation de Chasles:}
				\vec v &= {\color{WildStrawberry} \overrightarrow{AC} } +\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}\\
				&= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}
			\end{align*}
			
			D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec v= \vec 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65128&ordre=1}{Exercice 92 page 218 du Manuel Sésamath.}
		
	\end{notabene}
	Soient $T$, $R$ et $I$ trois points non alignés.\\
	Les points $U$ et $V$ sont définis par:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\overrightarrow{IU} = \overrightarrow{IR} + \overrightarrow{TI}$
		\item $\overrightarrow{TV} = \overrightarrow{TI} + \overrightarrow{TR}$
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure sur papier ou \`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique.
		\item Que peut-on conjecturer?
		\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $\overrightarrow{UV} = \overrightarrow{RI} + \overrightarrow{IT} + \overrightarrow{TR}$.
			\item Conclure.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65129&ordre=1}{Exercice 93 page 218 du Manuel Sésamath.}
		
	\end{notabene}
	
	
	Soient $T$, $R$ et $I$ trois points non alignés. On définit les points $A$, $B$ et  $C$ par:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{RT} - \overrightarrow{IT}$
		\item $\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{TI}$
		\item $\overrightarrow{IC} =  \overrightarrow{RT}+ \overrightarrow{RI}$
	\end{enumerate}
	
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure sur papier ou \`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique.
		\item Que peut-on conjecturer?
		\item 
		
		\begin{enumerate} 
			
			\item D\'emontrer que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB}$.
			\item En déduire une expression des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{RT}$ puis conclure.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		didier 2010 exo 48 page 332 déplacement d'un nageur.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Centre d'inertie (presque le centre de gravité), barycentre.{\color{green}$\blacklozenge$}}

\begin{notabene}
	
	On commence par l'isobarycentre puis on considère le barycentre général.
	
	
			
			Ajouter un exercice sur le barycentre de deux points (et lien avec la colinéarité) puis de trois points. Lien avec le centre de gravité. Faire un topo sur la notion en physique. Problème d'exploration plutôt qu'exercice. Plein de bonnes idées: \href{http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/barycentre.html}{site de débart}.

\end{notabene}

\begin{notabene}
		
	Présentation intuitive centre de gravité de deux poinst centre de masse donc mileiu, pour des masse différentes exemple d'Archimède et des pivots, position en fonction de la masse
	
	pour trois point on commence par le milieu de deux d'entre eux puis on considère ce milieu affecter de la masse 2 et le dernier point. Propriés générales des barycentres (genre d'associativité avec des barycentres partiels etc).
	
	À la fois centre de gravité et orthocentre avec un lien vers un td pour une approche classique du centre de gravité.	
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	\url{https://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisation_du_barycentre_en_physique#Historique}
	
	Commencer par le milieu d'un segment puis faire avec une masse double de l'autre. En déduire une égalité vectorielle.Nous allons essayer de la généraliser.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Isobarycentre de deux points.}

\subsubsection{Barycentre de deux points.}

\begin{notabene}
	
	Pour le Pivot prendre un extrait de Feinmann.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Isobarycentre de trois points: centre de gravité d'un triangle.}

\begin{recherche}
	
	\begin{notabene}
		
		nathan hyperbole 2010 60 page 209
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item $[AB]$ est un segment et $I$ est son milieu.
		
		\begin{enumerate}
			\item Que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}$?
			
			\item Démontrer que quelque soit le point $M$ choisi, \[ \overrightarrow{MI} + \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right). \]
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soient $ABC$ un triangle, $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node[above] {$A$};
				\def\xB{-1};
				\def\yB{-2};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xB},{\yA+\yB});
				\draw (B) node[below left] {$B$};
				\def\xC{2};
				\def\yC{-2};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xC},{\yA+\yC});
				\draw (C) node[below right] {$C$};
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				\coordinate (C') at ({\xA+0.5*\xB},{\yA+0.5*\yB});
				\draw (C') node[above left] {$C'$};
				\draw[dashed] (C') -- (C);
				\coordinate (B') at ({\xA+0.5*\xC},{\yA+0.5*\yC});
				\draw (B') node[above right] {$B'$};
				\draw[dashed] (B') -- (B);
				\coordinate (A') at ({\xA+0.5*\xB+0.5*\xC},{\yA+0.5*\yB+0.5*\yC});
				\draw (A') node[below] {$A'$};
				\draw[dashed] (A') -- (A);
				\coordinate (G) at ({\xA+(2/3)*(0.5*\xB+0.5*\xC)},{\yA+(2/3)*(0.5*\yB+0.5*\yC)});
				\draw (G) node[above right] {$G$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Appliquer la formule établie à la question 1. aux vecteurs $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{BB'}$ et $\overrightarrow{CC'}$.
			
			\item Déduisez-en que $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = \vec 0$.
			
			\item On note $G$ le centre de gravité de $ABC$.
			
			Déduisez de la question précédente que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec 0$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{recherche}

\subsubsection{Barycentres.}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Les trois façons de se représenter un vecteur pour comprendre une situation: translation ,force, bipoint( direction, sens et norme, sa représentation dessinée).
	
	\item Égalité de vecteurs: géométrique (deux représentants dessinent un parallélogramme) et analytique (coordonnées).
	
	\item Vecteur nul et vecteur opposé.
	
	\item Somme de vecteurs: géométriquement (relation de Chasles et identité du parallélogramme) et analytique (somme des coordonnées).
	
	\item Multiplication d'un vecteur par un scalaire (nombre): géométrique et analytique.
	
\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}