%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Proportions} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Proportions.}

\begin{notabene}
	
	Pour 2020 refaire les corrigés avec la notation des probabilités conditionnelles et les cardinaux.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
	
	La notion de proportionnalité vous est familière. Au collège vous avez eu l'occasion de parler de:
	
	\begin{itemize}
		\item tableau de proportionnalité,
		\item quatrième proportionnelle,
		\item la notion et la notation du ratio (\href{https://pi.ac3j.fr/ratio-cycle-4/}{des explications} et \href{https://ent2d.ac-bordeaux.fr/disciplines/mathematiques/wp-content/uploads/sites/3/2019/01/Ratios_au-cycle-4.pdf}{des exercices}),
		\item de la modélisation d'une situation de proportionnalité par une fonction affine,
		\item le lien entre proportionnalité et géométrie dans le cadre du théorème de Thalès et nous aurons aussi l'occasion de l'utiliser pour le loi des sinus.
	\end{itemize}
	
	Nous allons cette année revoir cette notion dans le cas particulier de l'étude statistiques de populations.
	
\end{correction}

Dans cette leçon, si $A$ est un ensemble d'objets, nous noterons $\color{purple}|A|$ son \emph{\color{purple}cardinal}, \emph{i.e.} le nombre d'objets qu'il y a dans l'ensemble $A$.

\subsection{Calculer une proportion.}

\begin{définition}
	
	\begin{tabular}{m{4cm}m{1cm}m{5cm}}
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble fini,
		\item $A \subset E$ un sous-ensemble de $E$.
	\end{enumerate}
	&&
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({0.5+1.5*cos(\x)},{1*sin(\x)})node[fill=white]{$A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{2*sin(\x)})node[fill=white]{$E$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}proportion de $A$ dans $E$} le nombre rationnel \[ p_E(A)=\frac{|A|}{|E|}. \]
	
\end{définition}

\medskip
{\color{RoyalBlue}Exemples.
\begin{enumerate}
	\item Dans une classe de $24$ élèves il y a $2$ filles. La proportion de filles dans la classe est de $p=\frac{2}{24}= \frac{1}{12}$.
	
\end{enumerate}
}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Dans ce cas une proportion peut aussi être appelée une fréquence et l'on retrouve la formule habituelle: $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.
	
	\item Une proportion est un nombre rationnel appartenant à l'intervalle $[0,1]$.
		
	\item La notion de proportionnalité se généralise bien sûr comme vous le savez.
	
	\item En statistique $E$ est appelée la population de référence et $A$ une sous-population de $E$.
	
	\item Dans le langage courant (histoire, SES, etc) les proportions sont exprimées en pourcentages, c'est-à-dire en centièmes.
	
\end{enumerate}


\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	\begin{notabene} 
		
		Page 29 du livre intervalle 2019.
		
	\end{notabene}
	
	Dans une classe de première de 35 élèves, 9 élèves font du ski.
	
	Calculez la proportion, notée $p$, d'élèves de la classe qui font du ski. Écrivez $p$ sous la forme d'une fraction, puis donnez sa valeur arrondie à $10^{-4}$ près et enfin le taux (en pourcentage) $t$ correspondant.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $E$ l'ensemble des élèves de la classe et $A$ l'ensemble de ceux qui font du ski.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Par définition \[ p_E(A) = \frac{|A|}{|E|}.\] Or $|A|=9$ et $|E|=35$ donc: 
	
	\begin{conclusion}
		
		$p_E(A) = \frac{9}{35}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\begin{conclusion}
		
		$p_E(A)\approx 0,2571$ en arrondissant à $10^{-4}$ près.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Exprimer ce résultat en pourcentage revient à l'exprimer en centièmes. Il suffit donc de multiplier la précédente valeur par $100$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		$p_E(A)\approx 25,71\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme stmg hachette mathematiques 2012 page 11 exercice 3
		
	\end{notabene}
	
	Une salle de spectacle contient $\np{9000}$ places assises et $\np{21000}$ places debout.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez la proportion de places assises.
		\item Déterminez la proportion de places debout.
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons la proportion, $p_E(A)$, de places assises.}
		
		Notons $A$ l'ensemble des places assises et $E$ l'ensemble de toutes les places.
		
		Nous avons $|A|=9000$ (le nombre de places assises) et $|E|=9000+21000=30000$ (le nombre total, assis ou debout, de places).
		
		Donc la proportion de places assises est:
		\begin{align*}
			p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			&= \frac{9000}{30000}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p_E(A)=0,3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons la proportion, $p_E(B)$, de places debout.}
		
		Notons $B$ l'ensemble des places debout. 
		
		Nous avons $|B|=21000$.
		
		\medskip
		La proportion de places debout est:
		\begin{align*}
			p_E(B) &= \frac{|B|}{|E|}\\
			&= \frac{21000}{30000}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p_E(B)=0,7$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Calculer avec une proportion.}

Pour résoudre les exercices qui suivent vous devrez jongler avec la formule $p=\frac{|A|}{|E|}$ et parfois raisonner en utilisant les diagrammes de Venn (diagrammes patates).

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Page 29 du livre intervalle.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un petit port, les cinq-sixièmes des 720 habitants vivent de la pêche. Combien d'habitants vivent de la pêche?
		\item Dans un village voisin, 697 habitants vivent de l'agriculture, ce qui représente $82\%$ de la population. Combien y a-t-il d'habitants dans ce village?
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons $A$ l'ensemble des habitants vivant de la pêche et $E$ celui des habitant du village.
		
		\objectif{Calculons $|A|$.}
		
		\begin{align*}
			p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			p_E(A) {\color{orange}\times |E|} &= \frac{|A|}{|E|} {\color{orange}\times |E}|\\
			p_E(A) \cdot |E| &= |A|\\
			720 \times \frac{5}{6} &= |A|
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$|A|=600$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $A$ l'ensemble des habitants vivant de l'agriculture et $E$ celui des habitant du village.
		
		\objectif{Calculons $|E|$.}
		
		\begin{align*}
			p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			p_E(A) {\color{orange}\times |E|} &= \frac{|A|}{|E|} {\color{orange}\times |E}|\\
			p_E(A) \cdot |E| &= |A|\\
			\frac{p_E(A)\cdot |E|}{\color{orange}p_E(A)} &= \frac{|A|}{\color{orange}p_E(A)},\ \text{car } p_E(A)>0\\
			|E| &= \frac{|A|}{p_E(A)}\\
			&= \frac{697}{\frac{82}{100}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$|E|=850$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme stmg hachette mathematiques 2012 page 11 exercice 1
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une année le taux de réussite au baccalauréat technologique est de $79,7\ \%$, ce qui représente $\np{129979}$ candidats reçus.
		
		Calculez le nombre de candidats à cet examen.
		
		\item Dans un lycée le taux de réussite est de $95\ \%$, et il y a eu $12$ refusés.
		
		Calculez le nombre de candidats dans ce lycée.
	\end{enumerate}		
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons: $A$ l'ensemble des candidats reçus et $E$ celui de tous le candidats.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $|E|$.}
		\begin{align*}
			p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			0,797 &= \frac{129979}{|E|}\\
			0,797 |E| &= 129979\\
			|E| &= \frac{129979}{0,797}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$|E|\approx 163085$.
			
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons: $A$ l'ensemble des lycéens recalés et $E$ celui des candidats à l'examen.
		
		\objectif{Calculons $|E|$.}
		
		\begin{align*}
			p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			0,05 &= \frac{12}{|E|}, \quad \text{car } 1-\frac{95}{100}=0,05\\
			0,05 \times |E| &= 12\\
			|E| &= \frac{12}{0,05}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$|E| \approx 240$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme stmg hachette mathematiques 2012 page 11 exercice 2
		
	\end{notabene}
	
	Le salaire brut mensuel de Sophie est de $\np{13200}\ \text{\euro}$. Les cotisations salariales représentent $23\ \%$ du salaire brut.
	
	Calculez le salaire hors cotisations salariales.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons: $|A|$ le salaire hors cotisation salariale, $p_E(A)=\frac{100-23}{100}$ et $|E|=13200$ le salaire brut.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons $|A|$.}
	
	\begin{align*}
		p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		0,77 &= \frac{|A|}{13200}\\
		0,77 \times 13200 &= |A|\\
		10164 &= |A|
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le salaire hors cotisation salariales est  de $\np{10164}\ \text{\euro}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Pourcentage de pourcentage.}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{4.5cm}}
		Soient:
		\begin{enumerate}[.]
			\item $E$ un ensemble fini,
			\item $F \subset E$ un sous-ensemble de $E$,
			\item $A \subset F$ un sous-ensemble de $F$.
		\end{enumerate}
		&&
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({0.5+1.5*cos(\x)},{1*sin(\x)})node[fill=white]{$A$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{2*sin(\x)})node[fill=white]{$F$};
			\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=0:360] plot({4.5*cos(\x)},{3*sin(\x)})node[fill=white]{$E$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\[ p_E(A)= p_E(F) \times p_F(A). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Par définition: $p_E(F)= \frac{|F|}{|E|}$ et $p_F(A)=\frac{|A|}{|F|}$.
	
	Donc:
	\begin{align*}
		p_E(F) \times p_F(A) &= \frac{|F|}{|E|} \times \frac{|A|}{|F|}\\
		&= \frac{|F| \times |A|}{|E| \times |F|}\\
		&= \frac{|A|}{|E|}\\
		&= p_E(A)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Cette proposition permet en particulier de calculer un pourcentage de pourcentage. $60 \ \%$ de $20\ \%$ représente donc $\frac{60}{100} \times \frac{20}{100}= \frac{12}{100}$ autrement dit $12\ \%$.
	
	\item Les proportions fonctionnent de façon multiplicative. Vous retrouverez cette idée en classe de première en parlant de \emph{principe multiplicatif}.
	
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Un serveur de films en streaming est composé de $30\ \%$ de films d'action et, parmi ces films d'action, $60\ \%$ sont des films avec Bruce Willis.
	
	Quelle est la proportion de films avec Bruce Willis  sur le serveur?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $E$ l'ensemble des films proposé, $F$ l'ensemble des films d'actions et $A$ l'ensemble des films avec Bruce Willis.
	
	{\color{orange}Nous avons bien la situation des inclusions successives: $A \subset F \subset E$.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Nous savons que $p_E(F)=0,3$ et $p_F(A)=0,6$ donc
	
	\begin{align*}
		p_E(A) &= p_E(F) \times p_F(A)\\
		&= 0,3 \times 0,6
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$p_E(A)=0,18$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}

	Dans une classe $45\ \%$ des élèves sont des garçons et un tiers des garçons portent des lunettes.
	
	Il y a $3$ garçons à lunettes dans la classe.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe?
		
		\item Combien y a-t-il de filles dans cette classe?
		
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Intervertir les notations $F$ et $G$ pour que ça cole avec fille et garçons.
		
	\end{notabene}
	
	Notons $E$ l'ensemble des élèves, $F$ l'ensemble des garçons et $A$ l'ensemble des garçons à lunettes.
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $n_E$.}
		
		D'après l'énoncé $p_F(A)=\frac{1}{3}$ et $p_E(F)=\frac{45}{100}$ donc la proportion de garçons à lunettes dans la classe est \begin{align*}
			p_E(A) &= p_E(F) \times p_F(A)\\
			&= \frac{45}{100} \cdot \frac{1}{3}\\
			&= 0,15
		\end{align*}
		
		Mais on peut aussi écrire que:
		\begin{align*}
			p_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			0,15 &= \frac{3}{|E|}\\
			0,15 {\color{orange} \times |E|} &= \frac{3}{|E|} {\color{orange} \times |E|}\\
			0,15 \times |E| &= 3\\
			\frac{0,15 |E|}{\color{orange}0,15} &= \frac{3}{0,15}\\
			|E| &= 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a vingt élèves dans la classe.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $G$ l'ensemble ds filles de la classe.
		
		
		\medskip
		\objectif{Calculons le nombre, $|G|$, de filles dans la classe.}
		
		{\color{orange}Il s'agit simplement de calculer un pourcentage d'une quantité.}
		
		Le nombre de garçons dans la classe est:
		
		\begin{align*}
			|F| &= p_E(F) \times |E|\\
			&= \frac{45}{100} \times 20\\
			&= 9
		\end{align*}
		
		Donc: $|G|=20-9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $11$ filles dans la classe.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Dans un société les cadres représentent $40\ \%$ des salariés et les cadres supérieurs représentent un cinquième des cadres.
	
	Quelle est la proportion de cadres supérieurs par rapport aux salariés de cette société?
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $E$ l'ensemble des salariés, $F$ l'ensemble des cadres et $A$ l'ensemble des cadres supérieurs.
	
	{\color{orange}Nous avons bien la situation des inclusions successives: $A \subset F \subset E$.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Nous savons que $p_E(F)=0,4$ et $p_F(A)=\frac{1}{5}$ donc
	
	\begin{align*}
		p_E(A) &= p_E(F) \times p_F(A)\\
		&= 0,4 \times \frac{1}{5}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$p_E(A)=0,08$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Une société de téléphonie propose trois mode d'abonnement différents:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item forfait $A$: moins de $2\ \mathrm{h}$ de communication;
		\item forfait $B$: moins de $4\ \mathrm{h}$ de communication;
		\item forfait $C$: temps de communication illimité.
	\end{enumerate}
	
	La part de clients ayant souscrit le forfait $A$ est de $0,35$ et les clients ayant choisi le forfait $B$ représentent la moitié de la clientèle. 
	
	De plus $80\ \%$ des clients ayant choisi le forfait $C$ ont également choisi l'internet illimité.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la part de clients ayant choisi le forfait illimité? Exprimez ce résultat en pourcentage.
		
		\item Quelle est la part des clients  qui ont choisi un forfait $C$ mais sans l'internet illimité. 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons $E$ l'ensemble de tous les clients.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $p_E(C)$.}
		
		Nous savons que \[ p_E(A) + p_E(B) + p_E(C) =1. \quad {\color{blue}(1)} \]
		
		{\color{orange}En exprimant les proportions en pourcentages nous aurions que les total doit être de $100\ \%=\frac{100}{100} =1$.}
		
		$\color{blue}(1)$ est successivement équivalente à
		
		\begin{align*}
			0,35+\frac{1}{2}+p_E(C) &= 1\\
			0,85+p_E(C) &= 1\\
			0,85+p_E(C) {\color{orange}-0,85} &= 1 {\color{orange}-0,85} \\
			p_E(C) &= 0,15
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$15\ \%$ des clients ont choisi le forfait $C$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $D$ l'ensemble des clients ayant choisi le forfait $C$ mais qui n'ont pas choisi l'internet illimité.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $p_E(D)$.}
		
		Nous identifions la situation de populations emboîtées: $D \subset C \subset E$. Donc, d'après la leçon:
		
		\begin{align*}
			p_E(D) &= p_E(C) \times p_C(D)\\
			&= 0,15 \times \left( \frac{100}{100} - \frac{80}{100}\right)\\
			&= 0,03
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$3\ \%$ des clients ont un forfait $C$ sans internet illimité.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{concours}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 3 de bac stmg de première E3C
		
	\end{notabene}
	
	\begin{sujet}
		
		Le tableau incomplet, en question 1.(b), donne le nombre de salariés en France, en milliers, selon la catégorie et le type de contrôle de l’entreprise en 2015.
		
		\medskip
		\emph{On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En 2015, $66,8\ \%$ des salariés des ETI (entreprises de taille intermédiaire) font partie d’un groupe français.
				
				Calculer le nombre de salariés des ETI de groupes français.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Compléter le tableau donné ci-dessous en arrondissant les résultats au millier près.
								
				{\hspace*{-2cm}
				\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{|p{2.5cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\cline{2-5} \multicolumn{1}{m{3cm}|}{} & Unités légales hors groupes & Groupes français & Sous contrôle d'un groupe étranger & Total
					\\
					\hline
					Grandes entreprises (GE) & \begin{center} $0$ \end{center} & & & \begin{center} $\np{4235}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Entreprises de taille intermédiaire (ETI) & \begin{center} $154$ \end{center} & & & \begin{center} $\np{3657}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Petites et moyennes entreprises (PME) hors microentreprises & \begin{center} $\np{1669}$ \end{center} & \begin{center} $\np{2255}$ \end{center} & \begin{center} $335$ \end{center} & \begin{center} $\np{4259}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Microentreprises (MIC) & \begin{center} $\np{2549}$ \end{center} & \begin{center} $177$ \end{center} & \begin{center} $20$ \end{center} & \begin{center} $\np{2745}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Total & \begin{center} $\np{4373}$ \end{center}  & \begin{center} $\np{8477}$ \end{center} & \begin{center} $\np{2047}$ \end{center} & \begin{center} $\np{14897}$ \end{center}
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				}
			\end{sujet}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Nous noterons $F$ l'ensemble des salariés faisant partie d’un groupe français, $M$ l'ensemble des salariés faisant partie d’une PME et $E$ l'ensemble de tous les salariés.
						
			Dans cette question, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Calculer la proportion, $p_E(F)$, de salariés d'un groupe français parmi les salariés et $p_F(M)$ la proportion de salariés travaillant en PME parmi les salariés français.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Exprimer $\displaystyle \frac{2255}{14897}$ en pourcentage et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette proportion.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Calculer $p_M (F)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette proportion.
				
			\end{sujet}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{concours}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $E_1$ l'ensemble des salariés des ETI et $A_1$ l'ensemble des salariés des ETI appartenant à des groupes français.
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $|A_1|$.}
			
			\begin{align*}
				|A_1| &= p_{E_1}(A_1) \times |E_1|\\
				&= \frac{66,8}{100} \times 3657 \\
				&= 2442,876
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les ETI comptent $\np{2442876}$ salariés.
				
			\end{conclusion}
			
			\item ~
			
						
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|p{1cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\cline{2-5} \multicolumn{1}{m{1cm}|}{} & Unités légales hors groupes & Groupes français & Sous contrôle d'un groupe étranger & Total
					\\
					\hline
					(GE) & $0$ & $\np{3602}$ & $\np{632}$ & $\np{4235}$
					\\
					\hline
					(ETI) & $154$ & $\np{2443}$ & $\np{1060}$ & $\np{3657}$
					\\
					\hline
					(PME) & $\np{1669}$ & $\np{2255}$ & $335$  & $\np{4259}$
					\\
					\hline
					(MIC) & $\np{2549}$ & $177$ & $20$ & $\np{2745}$
					\\
					\hline
					Total & $\np{4373}$  & $\np{8477}$ & $\np{2047}$ &  $\np{14897}$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
			
\end{exercicecorrection}

\begin{correction}
	
\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{itemize}
	\item La formule liant population, sous-population et proportion.
	
	\item Savoir manipuler cette formule pour obtenir la donnée désirée.
	
	\item Raisonner sur un diagramme de Venn pour trouver les données nécessaire.
	
	\item Calculer un pourcentage de pourcentage.
	
\end{itemize}

\end{correction}

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{blue},
			emph={[2]variable1, variable2}, emphstyle={[2]\color{red}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}