%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement bareme
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Fonctions de référence} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
%\exclure{exercicecorrection}
\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Fonctions de référence.}

\subsection{Fonction carrée.}

\subsubsection{Définition.}

Soit $x$ un nombre réel. Le \emph{\color{purple}carré de $x$}, qu'on note $x^2$, est le nombre réel $x\times x$.

\medskip
La fonction carrée est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui à chaque réel $x$ associe son carré $x^2$. Autrement dit: $$\left\{ \begin{array}{ccl}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x & \mapsto & x^2 
\end{array} \right.$$

\subsubsection{Courbe représentative.}

\noindent 
\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Avec un logiciel on peut obtenir la courbe représentative de la fonction carrée qui est appelée une \emph{\color{purple}parabole} (ici pour $x\in[-2\ ;\ 2]$).
		
		Ce graphique permet de conjecturer un certain nombre d'éléments de la fonction carrée: un axe de symétrie, le signe (toujours positif), les variations,$\dots$
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-1};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x)^2});	
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	\\ 
	
\end{tabularx}

\subsubsection{Signe.}

\begin{proposition}{}
	
	Tableau de signe de la fonction carrée:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$ /.8 , $x^2$ /.8}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$};
		\tkzTabLine{,+,$0$,+,}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est positive (ou nulle).}
	
	Soit $x\in\mathbb{R}$.
	
	Le produit  de deux nombres de même signe est un nombre positif donc: $x^2=x\times x\ge 0$.
	
	\medskip
	\objectif{Recherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $x^2$ égale 0.}
	
	$x^2=0 \Leftrightarrow x\times x=0$ est une équation produit. Donc $x^2=0$ équivaut à $x=0$ ou $x=0$. Autrement dit $x^2=0$ si et seulement si $x=0$.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Variation.}

\begin{proposition}{}
	
	Tableau de variations de la fonction carrée:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/0.8,$x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
		\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $[0\ ;\ +\infty [$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\le x_2\times x_1\text{, car } x_1\ge 0$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2<  x_2^2\text{, car } x_2 x_2>x_1\ge 0$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_1^2\le x_1x_2<x_2^2$$
	
	et donc $x_1^2 <x_2^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$.}
	
	Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $]-\infty \ ;\ 0]$ tels que: $x_1<x_2$.
	
	D'une part:
	
	$$x_1^2\trous[0.5cm]{> }x_2\times x_1\text{, car } x_1\trous[1cm]{x_1<x_2 \le 0}$$
	
	et d'autre part:
	
	$$x_1x_2\trous[0.5cm]{\ge } x_2^2\text{, car } x_2 \trous[1cm]{x_2\le 0}$$
	
	On en déduit: 
	
	$$x_2^2\le \trous[2cm]{x_1x_2}<x_1^2$$
	
	et donc $x_2^2 \trous[0.5cm]{<}x_1^2$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Autrement dit: la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$ et strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.
	\item La fonction carrée n'est pas une fonction affine.
	
	\begin{preuve}
		
		{\color{orange}Nous avions vu qu'une fonction est affine si et seulement si son taux d'accroissement est constant (quelles que soient les valeurs choisies pour $x_1$ et $x_2$.
			
			Nous allons démontrer que le taux d'accroissement n'est pas constant.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons deux taux d'accroissements distincts pour la fonction carrée.}
		
		\begin{enumerate}[\text{Cas }1:]
			\item Si $x_1=0$ et $x_2=1$ alors le taux d'accroissement de la fonction carrée entre $x_1$ et $x_2$ est: $$\tau=\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=1$$
			\item Si $x_1=0$ et $x_2=-1$ alors le taux d'accroissement de la fonction carrée entre $x_1$ et $x_2$ est: $$\tau=\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=-1$$
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le taux d'accroissement n'est donc pas constant et la fonction carrée n'est pas une fonction affine.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{preuve}
	
\end{enumerate}

\begin{exercice}
	
	\begin{notes}
		
		hachette déclic 2014 exercice 24 page 75.
		
	\end{notes}
	
	Dans chaque cas comparez les nombres $A$ et $B$ sans utiliser la calculatrice.
	
	\begin{enumerate}
		\item $A=\left( \frac{3}{4} \right) ^2$ et $B=\left( \frac{4}{3} \right)^2$,
		\item $A=1,001^2$ et $B=1,0099^2$,
		\item $A=-2,3^2$ et $B=(-2,3)^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}Nous allons utiliser le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre.}
		
		\medskip
		La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		Or $\frac{3}{4}<1<\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{4}$ et $\frac{4}{3}$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 < \left( \frac{4}{3} \right)^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		\medskip
		La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
		
		Or $1,001<1,0099$ et $1,001$ et $1,0099$ sont dans $[0;+\infty[$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ 1,001^2 < 1,0099^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Comparons $A$ et $B$.}
		
		{\color{orange}$-2,3^2$ n'est pas une image par la fonction carrée. La précédente méthode ne fonctionnera donc pas.}
		
		\medskip
		Clairement: $-2,3^2<0<(-2,3)^2$
		
		\begin{conclusion}
			
			\[ -2,3^2<(-2,3)^2 \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}
	
	\begin{notes}
		
		hachette déclic 2014 exercice 25 page 75.
		
	\end{notes}
	
	Encadrez $x^2$, puis $3x^2$, le plus précisément possible, dans les cas suivants:
	
	\noindent \begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		
		\begin{enumerate}
			\item $1\le x \le 4$,
			\item $-2\le x <-0,5$,
		\end{enumerate}
		
		&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{2}
			\item $-2 \le x < 3$,
			\item $-10\le x \le 10$.
		\end{enumerate}
		
		\\ \end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Pour avoir un résultat très précis il faut raisonner algébriquement. Sinon une résolution graphique convient. Cette dernière est même parfois plus simple et efficace.}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	
	\begin{notes}
		
		2ieme nathan transmath 2010 page 73 exercice 23
		
	\end{notes}
	
	Recopiez et complétez sans justification les phrases suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $x\le -7$, alors $x^2\dots$
		\item Si $x\ge 5\sqrt{2}$, alors $x^2\dots$
		\item Si $-7\le x \le 5\sqrt{2}$, alors $\dots \le x^2 \le \dots$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicesup}
	
	\begin{notes}
		
		2ieme nathan transmath 2010 page 73 exercice 25
		
	\end{notes}
	
	Prouvez que les propositions suivantes sont fausses.
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $x\le 1$, alors $x^2\le 1$.
		\item Si $x>-\sqrt{10}$, alors $x^2<10$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicesup}

\begin{exercice}
	
	\begin{notes}
		
		2ieme nathan transmath 2010 page 74 exercice 29
		
	\end{notes}
	
	Résolvez graphiquement les inéquations
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		$x^2\le 5$ & $x^2>5$ & $x$ est négatif et $x^2\le 5$ \\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\subsection{Fonction inverse.}

\begin{définition}
	
	La \emph{\color{purple}fonction inverse} est définie sur $\mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$ (tous les nombres sauf $0$) par la formule \[ f(x)=\frac{1}{x} \]
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item La courbe représentative de la fonction inverse est appelée une \emph{\color{purple}hyperbole}.
	\item L'hyperbole présente une symétrie centrale dont le centre est l'origine du repère.
	\item L'ensemble $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ peut aussi être noté $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty [$ ou $\mathbb{R}^*$.
\end{enumerate}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Tableau de signe.
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\frac{1}{x}$ /0.8}
	{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,d,+,}%
	\end{tikzpicture}
	
	Tableau de variation.
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\frac{1}{x}$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
	\tkzTabVar {+/ , -D+ / , - /  }
	\end{tikzpicture}
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\def\xY{-4};
	\def\yY{-4};
	\def\xZ{4};
	\def\yZ{4};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.25:4] plot(\x,{1/\x});
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:-0.25] plot(\x,{1/\x});
	\draw[blue] (3,2.5) node[fill=white] {$x \mapsto \frac{1}{x}$};		
	\end{tikzpicture}
	
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

\begin{exercicesup}

	\begin{enumerate}
	\item Exercice 101 page 237: encadrer avec la fonction inverse.
	\end{enumerate}

\end{exercicesup}

\subsection{Fonction racine carrée.}

\begin{définition}
	
	La \emph{\color{purple}fonction racine carrée} est définie sur $[0; +\infty[$ (tous les nombres positifs) par la formule \[ f(x)=\sqrt{x} \]

\end{définition}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item La courbe représentative de la fonction racine carrée est une branche de parabole.
	\item L'ensemble $[0;+\infty[$ peut aussi être noté $\mathbb{R}_+$.
	\end{enumerate}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}

	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Tableau de signe.
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\sqrt{x}$ /0.8}
	{$0$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{z,+,}%
	\end{tikzpicture}
	
	Tableau de variation.
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $\sqrt{x}$ /1.6}
	{$0$, $+\infty$}
	\tkzTabVar {- / $0$ , + /  }
	\end{tikzpicture}
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{4.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1,2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{sqrt(\x)});
	\draw[blue] (3,4) node[fill=white] {$x \mapsto \sqrt{x}$};	
	\end{tikzpicture}
	
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

\begin{exercicesup}

	\begin{enumerate}
	\item Exercice 102 page 237: encadrer une expression avec racine carrée.
	\end{enumerate}

\end{exercicesup}

\subsection{Fonction cube.}


\begin{définition}
	
	La \emph{\color{purple}fonction cube} est définie sur $\mathbb{R}$ par la formule \[ f(x)=x^3 \]
	
\end{définition}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Tableau de signe.
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^3$ /0.8}
		{$-\infty$, $0$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
		
		Tableau de variation.
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x^3$ /1.6}
		{$-\infty$, $+\infty$}
		\tkzTabVar {- / , + /  }
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-4.5};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{4.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {-2,-1,...,1,2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {-4,-3,...,-1,1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.6:1.6] plot(\x,{\x*\x*\x});
		\draw[blue] (3,4) node[fill=white] {$x^3$};	
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
\end{tabularx}

\begin{exercicesup}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exercice 102 page 237: encadrer une expression avec racine carrée.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicesup}

\subsection{Fonction valeur absolue.}

\begin{définition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}valeur absolue d'un nombre} $x$, et nous noterons $|x|$, le nombre \[ |x|= \left\{ \begin{array}{l} x, \text{ si } x\geqslant 0 \\ -x, \text{ si } x<0 \end{array} \right. \]
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Autrement dit il faut prendre la \og version positive \fg{} du nombre, par exemple $|-3|=3$, $|5|=5$, $|0|=0$.
\end{enumerate}

\begin{définition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}fonction valeur absolue} la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ qui à tout $x\in \mathbb{R}$ associe $|x|$. 
	
\end{définition}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Il est possible d'obtenir une unique formule de calcul pour exprimer la fonction valeur absolue: $|x| = \sqrt{x^2}$.
\end{enumerate}

\begin{exercice}
	
	Donnez les tableaux de signe et de variation sur son ensemble de définition ainsi que la courbe représentative sur $[-4;4]$ de la fonction variation absolue.

\end{exercice}

\subsection{Exercices.}


\begin{exercice}
	
	Associez, sans aucune justification, chaque fonction à sa courbe représentative.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		$ \displaystyle f_1:x\mapsto \frac{1}{x} $,
		&
		$\displaystyle f_2: x\mapsto x $,
		\\
		$\displaystyle f_3:  x\mapsto \sqrt{x} $ ,
		&
		$\displaystyle f_4:x\mapsto x^2 $.
		\\
	\end{tabularx}

	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{4.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{sqrt(\x)});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-4};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0.25:4] plot(\x,{1/\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:-0.25] plot(\x,{1/\x});	
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {-2,-1,...,2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {0,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
			\foreach \y in {-3,-2,...,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,{\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Connaître la définition de la fonction carrée, le nom et la forme de sa courbe représentative, son tableau de signe, son tableau de variation.
	\item Utiliser les tableaux de signe et de variation ainsi que la courbe représentative de la fonction carrée dans diverses situations.
\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}