%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Systèmes linéaires.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
%\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Résoudre un système d'équations.}

\begin{notabene}
	
	Pour rendre les choses concrètes partir d'un problème de mise en équation (voir la fin) en utilisant le questionnement habituel de mise en équation: inconnues recherchées, égalités vérifiées.

\end{notabene}

\subsection{Généralités.}

\begin{lecon}
	
	Un \emph{\color{purple}système d'équations} est un groupe d'équations utilisant les mêmes inconnues. Résoudre un système d'équations c'est trouver toutes les solutions qui satisfont simultanément \emph{\textbf{toutes}} les équations. 
	
	Nous résoudrons quasi uniquement des \emph{\color{purple}systèmes d'équations linéaires (ou affines) de deux équations à deux inconnues} \[ \left\{\begin{array}{c} a_1x+b_1y=c_1  \\ a_2x+b_2y=c_2 \\ \end{array}\right. \] où $x$ et $y$ sont des inconnues (ou variables) et $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ des nombres réels fixés.
	
	Les solutions d'un tel système sont des couples (une valeur pour $x$ et une valeur pour $y$). Un tel système peut n'avoir aucune, une seule (\emph{i.e.} un couple) ou une infinité de solutions.
	
\end{lecon}

\subsection{Résolution par combinaisons linéaires.}

\begin{lecon}
	
	Cette méthode, qui est la plus générale, est aussi la plus abstraite.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}

	Les règles de calculs sur les équations d'un système qui conservent les systèmes équivalents sont:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item multiplier une équation par un nombre réel non nul,
		\item remplacer une équation par la somme des deux autres équations.
	\end{enumerate}

\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	
\end{preuve}

\begin{remarques}

	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item Ces règles complètent les règles vues pour manipuler une équation.
		
		\item Grâce à ces règles de calculs il est possible d'isoler les inconnues et de résoudre le système d'équations linéaires du premier degré.
		\item Les deux règles précédentes sont parfois regroupées en disant que les \emph{\color{purple}combinaisons linéaires} sur les lignes sont autorisées.
		
		\item Ces règles sont aisées à programmer et permettent de rédiger un algorithme de résolution de système appelé \emph{\color{purple}méthode du pivot de Gauss} ou \emph{\color{purple}élimination de Gauss-Jordan}.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item On souhaite résoudre le système avec l'algorithme du pivot de Gauss.
		
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
						&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} 4x & - & 2y & = & 24 \\ 2x & + & 4y & = & 2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		{\color{orange}Transformer les équations pour avoir le coefficient de $x$ égale à $1$. On dit que $x$ est le pivot.}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\frac{1}{4}L_1 \rightarrow L_1\\ 
			\frac{1}{2}L_2 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\ x & + & 2y & = & 1 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		{\color{orange}On supprime le pivot de la seconde équation.}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			L_2-L_1 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\color{orange}\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & 2y + \frac{1}{2}y & = & 1-6 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & \frac{5}{2}y & = & -5 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			\frac{2}{5} L_2 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\color{orange}\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & \frac{2}{5} \times \frac{5}{2}y & = & \frac{2}{5} \times (-5) \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\color{orange}\begin{array}{l} 
			\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y & = & 6 \\  &  & y & = & -2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\frac{1}{2} L_2 +L_1 \rightarrow L_1\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\color{orange}\left\{\begin{array}{rcrcl} x & - & \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y & = & 6+\frac{1}{2} \times(-2) \\  &  & y & = & -2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\color{orange}\begin{array}{l} 
			\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x &  &  & = & 5 \\  &  & y & = & -2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		L'ensemble des solutions du système est donc: $\mathscr{S}=\{ (5,-2) \}$.
		
		\item On souhaite résoudre le même système toujours avec des combinaisons linéaires mais sans suivre d'algorithme particulier.
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			L_1-2L_2 \rightarrow L_1\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} & - & 10y & = & 20 \\ 2x & + & 4y & = & 2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			-\frac{1}{10}L_1 \rightarrow L_1\\ 
			\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} &  & y & = & -2 \\ 2x & + & 4y & = & 2 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			L_2-4L_1 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} &  & y & = & -2 \\ 2x &  &  & = & 10 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
			$\begin{array}{l} 
			\\ 
			\frac{1}{2}L_2 \rightarrow L_2\\
			\end{array}$
			&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} &  & y & = & -2 \\ x &  &  & = & 5 \end{array}\right.$ \\ 
		\end{tabular}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}

	Résolvez les systèmes: \[ (S_1):\left\{\begin{array}{l} 3x+2y=2\\ x +y=1 \end{array}\right.,\ (S_2):\left\{\begin{array}{l} -x+3y=19\\ 4x-y = 1 \end{array}\right.,\ (S_3):\left\{\begin{array}{l} 5x+2y=12\\ -3x+4y =-2 \end{array}\right. \]

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons le système $(S_1)$.}
	
	Le système $(S_1)$ équivaut successivement à:
	
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l} \frac{1}{3}L_1 \rightarrow L_1\\ 
		\\
		\end{array}$
	&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & + & \frac{2}{3}y & = & \frac{2}{3} \\ x & + & y & = & 1 \end{array}\right.$ \\ 
	\end{tabular}
	
	{\color{orange}Nous avons utilisé la propriété $(i)$ de la proposition ci-dessus.}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l} \\ L_2-L_1 \rightarrow L_2 \end{array}$
		&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & + & \frac{2}{3}y & = & \frac{2}{3} \\  & & \frac{1}{3}  y & = & \frac{1}{3} \end{array}\right.$ \\
	\end{tabular}
	
	{\color{orange}Nous avons utilisé la propriété $(ii)$ de la proposition ci-dessus.}
		
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l}  \\ 3L_2 \rightarrow L_2 \end{array}$
		&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x & + & \frac{2}{3}y & = & \frac{2}{3} \\  & &  y & = & 1 \end{array}\right.$ \\ 
	\end{tabular}
	
	{\color{orange}Nous avons utilisé la propriété $(i)$ de la proposition ci-dessus.}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{m{2cm}m{1cm}m{5cm}}
		$\color{orange}\begin{array}{l} L_1- \frac{2}{3}L_1 \rightarrow L_1 \\  \end{array}$
		&& $\left\{\begin{array}{rcrcl} x &  & & = & 0 \\ & & y & = & 1 \end{array}\right. $
	\end{tabular}
		
	{\color{orange}Nous avons utilisé les propriétés $(i)$ et $(ii)$ de la proposition ci-dessus combinées.}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $(S_1)$ est donc: $\mathscr{S}=\{ (0,1) \}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Résolution par substitution.}

\begin{lecon}
	
	Dans le cas particulier d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues nous utiliserons la méthode par substitution.
	
	\[ \left\{\begin{array}{lr} a_1x+b_1y=c_1 & (1) \\ a_2x+b_2y=c_2 & (2)\\ \end{array}\right. \]
	
	{\color{orange}Méthode de résolution:
	\begin{enumerate}[\text{Étape }1]
		\item isoler $x$ dans la première équation $(1)$ et l'exprimer en fonction de $y$,
		\item substituer à $x$ son expression en fonction de $y$ dans l'équation $(2)$,
		\item résoudre l'équation du premier degré d'inconnue $y$ ainsi obtenue.
			\begin{itemize}
				\item si l'équation d'inconnue $y$ admet une solution en réinjectant cette valeur dans l'expression de $x$ obtenue à l'étape 2 nous obtenons la valeur de $y$,
				\item si nous ne trouvons pas de solution pour $y$ alors le système n'admet pas de solutions.
				\item si nous trouvons une infinité de valeurs ($\mathbb{R}$) pour $y$, alors une infinité de couple est solution. 
				\item conclure après avoir calculer la valeur de $y$.
			\end{itemize} 
	\end{enumerate}
	}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	Exemples.
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}

	Résolvez les systèmes: \[ (S_1) \left\{ \begin{array}{l}9x+3y=2 \\ -2x+y=1\end{array} \right.,\ (S_2) \left\{ \begin{array}{l}2x+8y=12\\ \frac{1}{2}x+2y=3\end{array} \right.,\ (S_3) \left\{ \begin{array}{l}y-3x=2\\ -6x+2y=14 \end{array} \right. \]

\begin{notabene}

$S_1$ Une solution unique.

$S_2$ Infinité de solutions.

$S_3$ Aucune solution.

\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Résolvons $(S_1)$.}
	
	Notons  \[ (S_1) \left\{ \begin{array}{lc}9x+3y=2 & (E_1) \\ -2x+y=1 & (E_2) \end{array} \right. \]
	
	\begin{enumerate}[\text{Étape }1. ]
		\item {\color{orange}Isolons $y$ dans $(E_2)$.}
		
		\begin{align*}
			(E_2) &\Leftrightarrow -2x+y {\color{orange}+2x} = 1 {\color{orange} +2x}\\
			&\Leftrightarrow y=2x+1
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Substituons à $y$ son expression en fonction de $x$ dans $(E_1)$.}
		
		\begin{align*}
			(E_1) &\Rightarrow 9x+3{\color{orange}(2x+1)}=2\\
			\intertext{\color{orange}Développons, ordonnons puis réduisons}
			(E_1) &\Rightarrow 9x+3\times 2x +3\times 1=2\\
			&\Rightarrow 9x+6x+3=2\\
			&\Rightarrow 15x +3=2
		\end{align*}
		
		\item Résolvons cette équation {\color{orange}linéaire de degré un en isolant l'inconnue $x$}.
		
		\begin{align*}
			15x +3=2 &\Leftrightarrow 15x+3 {\color{orange}-3} = 2 {\color{orange} -3}\\
			&\Leftrightarrow 15x =-1\\
			&\Leftrightarrow \frac{15x}{\color{orange}15} = \frac{-1}{\color{orange}15}\\
			&\Leftrightarrow x=-\frac{1}{15}
		\end{align*}
		
		\item Calculons $y$.
		
		Remplaçons $x$ par la valeur numérique trouvée précédemment.
		
		\begin{align*}
			-2\left( -\frac{1}{15} \right) +y=1 & \Leftrightarrow \frac{2}{15} + y =1 \\
			&\Leftrightarrow \frac{2}{15}+y {\color{orange} -\frac{2}{15} } =1 {\color{orange} - \frac{2}{15}}\\
			&\Leftrightarrow y=\frac{13}{15}
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Nous n'avons pas raisonné par équivalence mais par implication. Nous avons que s'il y a une solution ce ne peut-être que le couple précédent. Il faudrait maintenant vérifier que ce couple est effectivement solution des deux équations.}
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de $(S_1)$ est $\displaystyle \mathscr{S}=\left\{ \left( -\frac{1}{15} ; \frac{13}{15} \right) \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\subsubsection{Résolution de systèmes.}

\begin{exerciceapplication}{}
	
	Exercices 111 à 123 page 197 du manuel Indice: résolution de systèmes.
	
\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Position relative de droites.}

\begin{exercice}{}
	
	Par un raisonnement géométrique donnez le nombre de solutions des systèmes d'équations suivants.
	
	\[(S_1) \left\{ \begin{array}{l}y=2x+1 \\ y=-5x+6\end{array} \right.,\ (S_2) \left\{ \begin{array}{l}y=-3x+1\\ y=-3x+\pi \end{array} \right.,\ (S_3) \left\{ \begin{array}{l}y=2x+5\\ 2y=4x+10 \end{array} \right. .\]

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Même énoncé que le précédent mais avec des droites définies par deux points ou un point et un vecteurs directeur.
		
	\end{notabene}
	
	Par un raisonnement géométrique donnez le nombre de solution du système d'équations suivants.
	
	\[(S) \left\{ \begin{array}{l}3x+4y-1=0 \\ -2x-\frac{8}{3}y-17=0 \end{array} \right. .\]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}

	Recherchez les positions relatives et les éventuels points d'intersection des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ dont les équations dans un repère $(O,I,J)$ du plan sont:
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{D}_1:\ y=-1x+2$ et $\mathcal{D}_2:\ y=3x-1$
		\item $\mathcal{D}_1:\ y= \frac{10}{2}x-3$ et $\mathcal{D}_2:\ y=5x-\frac{27}{9}$
		\item $\mathcal{D}_1:\ y=\pi ^2x-\sqrt{2}$ et $\mathcal{D}_2:\ y=\pi ^2 x+\frac{7}{4}$
		\item $\mathcal{D}_1:\ y= \frac{\sqrt{2}}{2} x+ 1$ et $\mathcal{D}_2:\ y=-x+\frac{\pi}{2}$
		\item $\mathcal{D}_1:\ x=\sqrt{2}$ et $\mathcal{D}_2:\ y=\sqrt{2} x-2$
		\item $\mathcal{D}_1:\ x=-\pi ^2+4$ et $\mathcal{D}_2:\ x= 4^{1000}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 130 à 150 page 198 à 200 du manuel Indice: position relative de droites.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}

	Exercices \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65236&ordre=1}{36} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65237&ordre=1}{37} page 235 (Sesamath). Déterminer la position relative de deux droites à partir de leurs équations.

\end{exerciceapplication}	

\begin{exercice}{}

	Exercice \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65238&ordre=1}{38} page 235 (Sesamath). Déterminer la position relative de deux droites à partir des coordonnées de deux points de l'une et de l'équation de l'autre.

\end{exercice}	

\begin{exercice}{}

	Exercice \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65243&ordre=1}{43} page 236 (Sesamath). Parallélisme et mise en équation.

\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}

	Exercices \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65250&ordre=1}{50} et \href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65251&ordre=1}{51} page 236 (Sesamath). Détermination du nombre de solutions d'un système puis résolution.

\end{exerciceapplication}

\subsubsection{Problèmes.}

\begin{exercice}{}

\emph{Problème longtemps: le vigneron (1900)}.

Un vigneron qui venait d'acheter un pré disait: \og Si je vends mon vin $160\ \mathrm{F}$ la pièce, j'aurai de quoi payer mon pré et il me restera $800\ \mathrm{F}$; si je le vends $140\ \mathrm{F}$ comme on me le propose, il me manquera $300\ \mathrm{F}$.\fg{}

On demande le nombre de pièces de vin et le prix du pré.

\end{exercice}

\begin{exercice}{}

\begin{notabene}

Exercice 105 page 240 nathan transmath 2014: de nombreux rappels (orthogonalité, équation)

\end{notabene}

\begin{tabular}{m{4.5cm}m{6.5cm}}

Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on donne les points $A(6;0)$, et $M(2;0)$.

$OABC$ est un carré.

$OM=CN$ et $OMDN$ est un rectangle.

Les droites $(BD)$ et $(MN)$ se coupent en $H$.

Le but de l'exercice est de démontrer que le triangle $BHM$ est rectangle en $H$.

&

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\def\xY{-1};
	\def\yY{-1};
	\def\xZ{7};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\foreach \x in { 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
	\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
	\def\xM{2};
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (M) at (\xM,0);
		\coordinate (N) at (0,{6-\xM});
		\coordinate (A) at (6,0);
		\coordinate (B) at (6,6);
		\coordinate (C) at (0,6);
		\coordinate (D) at (\xM,{6-\xM});
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\draw (O)node[below left]{$O$};
		\draw (M)node[below left]{$M$};
		\draw (N)node[left]{$N$};
		\draw (A)node[above right]{$A$};
		\draw (B)node[above]{$B$};
		\draw (C)node[above left]{$C$};
		\draw (D)node[above]{$D$};
		\draw (I)node[below]{$I$};
		\draw (J)node[left]{$J$};
		\draw[blue, thick](O)--(A)--(B)--(C)--(O);
		\draw[blue, thick,dashed](M)--(D)--(N);
		\draw[green, thick](M)--(B);
	\draw[red, thick][samples=100,domain=-1:2.3] plot(\x,{((\xM-6)/\xM )*\x+6-\xM});
	\def\m{\xM/(6-\xM)};
	\draw[green, thick][samples=100,domain=-1:7] plot(\x,{\m*\x+6-6*\m});
		\coordinate (H) at ({(-\xM+6*\m)/(\m-(\xM-6)/\xM)},{\m *(-\xM+6*\m)/(\m-(\xM-6)/\xM)+6-6*\m});
		\draw (H)node[right]{$H$};
\end{tikzpicture}

\\ \end{tabular}

	\begin{enumerate}
	\item Quelles sont les coordonnées des points $B$, $N$ et $D$?
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les équations des droites $(MN)$ et $(BD)$?
		\item Déduisez-en les coordonnées de $H$.
		\end{enumerate}
	\item Démontrez que le triangle $MBH$ est rectangle.
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercices 124 à 129 page 198 du manuel Indice: des problèmes variés.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{notabene}
	
	
\subsubsection{À classer.}

\begin{exercice}
	
	Exercice 110 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Résolvons le système.}
		
		\begin{align*}
			& \left\{ \begin{array}{lc} x-3y=8 & {\color{blue}(1)} \\ 2x+5y=5 & {\color{blue}(2)} \end{array} \right.
		\end{align*}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				 {\color{blue}(1)} &\Leftrightarrow x-3y {\color{orange}+3y} = 8 {\color{orange}+3y}\\
				 &\Leftrightarrow x=8+3y
			\end{align*}
			
			\item En substituant dans $\color{blue}(2)$:
			
			\begin{align*}
				2 {\color{orange}(8+3y)}+5y=5 &\Leftrightarrow 2 \times 8 + 2 \times 3y +5y=5\\
				&\Leftrightarrow 16+6y+5y=5\\
				&\Leftrightarrow 11y+16=5\\
				&\leftrightarrow 11y+16 {\color{orange}-16} = 5 {\color{orange}-16}\\
				&\Leftrightarrow 11y = -11\\
				&\Leftrightarrow \frac{11y}{\color{orange}11} = \frac{-11}{\color{orange}11}\\
				&\Leftrightarrow y =-1 
			\end{align*}
			
			\item En remplaçant dans $\color{blue}(1)$, $y$ par la valeur numérique trouvée:
			
			\begin{align*}
				x-3{\color{orange}(-1)}=8 &\Leftrightarrow x+3=8\\
				&\Leftrightarrow x+3 {\color{orange}-3} =8 {\color{orange}-3}\\
				&\Leftrightarrow x =5
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions du système est  $\mathscr{S} = \left\{ (5;-1) \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Une unique solution: $(-2;4)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}
	
	Exercice 111 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(12;15)$.
		
		\item $\left( \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 112 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $(7;2)$.
			
			\item \objectif{Résolvons le système proposé.}
			
			$\begin{array}{l}
			\left\{
			\begin{array}{lll}
			8x & -5y &= -6\\
			4x & +2y &=24 
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & -5y &= -6 &\\
			8x & +4y &= 48 & L_2\leftarrow 2L_2
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & -5y &= -6 &\\
			& 9y &= 54 & L_2\leftarrow L_2-L_1
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & -5y &= -6 &\\
			& y &= 6 & L_2\leftarrow \frac{1}{9}L_2
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			8x & &= 24 & L_1\leftarrow L_1+5L_2 \\
			& y &= 6 & 
			\end{array}
			\right.
			\\
			\\
			\left\{\begin{array}{lllr}
			x & &= 3 & L_1\leftarrow \frac{1}{8}L_2 \\
			& y &= -6 & 
			\end{array}
			\right.
			\end{array}$
			
			\begin{conclusion}
				
				Le système admet une unique solution $\left( 3; -6 \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 113 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $(-1;2)$.
			
			\item $(-4;11)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 114 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item $a=-3$ et $b=8$.
			
			\item $a=1$ et $b=8$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	Exercice 115 page 206 du manuel Déclic.
	
\end{exercice}

	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item Car $M$ et $N$ ont des abscisses distinctes.
			
			\item La première équation signifie que $M$ appartient à $d$ et la seconde signifie que $N$ appartient $d$.
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item $m=3$ et $p=12$.
				
				\item $m \times (-10)+p= 3 \times (-10) + 12 =-18$ donc $P \in d$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\end{notabene}


\begin{correction}
	
\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues (au moins une méthode).
	
	\item Pour ceux qui souhaitent choisir la spécialité maths jusqu'en terminale il serait bon de maîtriser la méthode du pivot de Gauss.
	
	\item Mise en équation d'un système à partir d'un problème.
	
	\item Interpréter géométriquement l'ensemble des solutions.
	
	\item Prévoir le nombre de solution d'un système en faisant une interprétation géométrique en terme de droites.
	
\end{enumerate}
	
\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}