%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Équation produit-nul.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Équation produit-nul.}

Nous ne savons jusqu'à présent résoudre que les équations linéaires du premier degré. Afin d'étendre cette compétence à des équations plus complexes nous essaieront d'écrire les équations sous forme d'équations produit.

\subsection{Produit nul de réels.}

\begin{proposition}

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

\[ (a.b=0 )\Leftrightarrow (a=0 \text{ ou } b=0) \]

\end{proposition}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item Il est parfois intéressant d'utiliser la négation de cette phrase: $a\cdot b\ne 0$ équivaut à \[ a\ne 0 \quad \text{et} \quad b\ne 0 \]
	
	\begin{notabene}
	
	Faire remarquer le lien avec les résultats trouvés avec le contraire d'une réunion ou d'une intersection en probabilité.
	
	\end{notabene}
	
	\item Ce résultat ne s'applique qu'aux nombres. Il n'est, par exemple, pas vrai pour des fonctions.
	\end{enumerate}

\subsection{Équation produit-nul}

\subsubsection{Mise en évidence: égalité à zéro puis factorisation.}

Nous appellerons \emph{\color{purple}équation produit-nul} une équation dont l'un des membres est un produit et l'autre $0$.

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme didier mathx 2010 page 97 exercice 78
	
	\end{notabene}
	
	Identifiez (sans transformer les expressions) les équation produits.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $(x-1)(2x+3)=0$
		\item $x^2(x+3)=0$
		\item $4x^2+5x=0$
		\end{enumerate}
	&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{3}
		\item $(2x+3)(x+6)=1$
		\item $(2x-5)(x+1)=0$
		\item $(2x-5)(x+4)-1=0$
		\end{enumerate}
	\\ \end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	3, 4 et 6 ne sont pas des équations produits car
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $4x^2+5x$ est une somme.
		
		\item $(2x+3)(x+6)=1$ n'est pas égale à $0$.
		
		\item $(2x-5)(x+4)-1$ est une différence.
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}

	Écrivez les équations suivantes sous forme d'une équation produit.
	\begin{enumerate}
		\item $E_1:\quad 2x^2=3x$.
		\item $E_2:\quad 12x=6x^2+6$.
		\item $E_3:\quad x^2=5$.
		\item $E_4:\quad x^2=y^2$.
		\item $E_5:\quad (2x+3)^2=(x-1)^2$.
		\item $E_6:\quad (3x+1)(x-5)=5(5-x)$.
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Écrivons l'équation sous forme d'équation produit.}
		
		{\color{orange}Nous nous ramenons à une égalité à $0$.}
		
		\begin{align*}
		(E_1) &\Leftrightarrow 2x^2{\color{orange}-3x}=3x{\color{orange}-3x}\\
		&\Leftrightarrow 2x^2-3x=0\\
		\intertext{\color{orange}Il faut à présent factoriser.}
		(E_1) &\Leftrightarrow x(2x-3)=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
		$(E_1) \Leftrightarrow x(2x-3)=0$
		
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_2) &\Leftrightarrow 12x=6x^2+6\\
			&\Leftrightarrow 12x {\color{orange}-12x} =6x^2+6  {\color{orange}-12x}\\
			&\Leftrightarrow 0 =6x^2 -12x+6  \\
			&\Leftrightarrow 0 ={\color{WildStrawberry}6}x^2 -{\color{WildStrawberry}6} \times 2 x+ {\color{WildStrawberry}6} \times 1  \\
			&\Leftrightarrow 0 ={\color{WildStrawberry}6} ( x^2 - 2 x+  1)  \\
			&\Leftrightarrow 0 = 6 ( x^2 - 2 \times x \times 1+  1^2)  \\
			&\Leftrightarrow 0 = 6 ( x - 1)^2 
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_3) &\Leftrightarrow x^2=5\\
			&\Leftrightarrow x^2 {\color{WildStrawberry}-5} = 5 {\color{WildStrawberry}-5}\\
			&\Leftrightarrow x^2-5 =0\\
			&\Leftrightarrow x^2-\sqrt{5}^2 =0\\
			&\Leftrightarrow (x-\sqrt{5}) (x+\sqrt{5})=0
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_4) &\Leftrightarrow x^2=y^2\\
			&\Leftrightarrow x^2 {\color{WildStrawberry}-y^2} =y^2 {\color{WildStrawberry}-y^2} \\
			&\Leftrightarrow x^2-y^2=0\\
			&\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_5) &\Leftrightarrow (2x+3)^2=(x-1)^2\\
			&\Leftrightarrow (2x+3)^2 {\color{WildStrawberry}-(x-1)^2} = (x-1)^2 {\color{WildStrawberry}-(x-1)^2}\\
			&\Leftrightarrow (2x+3)^2-(x-1)^2=0\\
			&\Leftrightarrow [(2x+3)-(x-1)][(2x+3)+(x-1)]=0\\
			&\Leftrightarrow (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)=0 \\
			&\Leftrightarrow (x+4)(3x+2)=0
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(E_6) &\Leftrightarrow (3x+1)(x-5)=5(5-x)\\
			&\Leftrightarrow (3x+1)(x-5) {\color{WildStrawberry}-5(5-x)} = 5(5-x) {\color{WildStrawberry}-5(5-x)}\\
			&\Leftrightarrow (3x+1)(x-5)-5(5-x)=0 \\
			&\Leftrightarrow (3x+1){\color{WildStrawberry}(x-5)}+5{\color{WildStrawberry}(x-5)}=0 \\
			&\Leftrightarrow [(3x+1)+5]{\color{WildStrawberry}(x-5)}=0 \\
			&\Leftrightarrow [3x+6](x-5)=0 \\
			&\Leftrightarrow 3(x+2)(x-5)=0 \\
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Résolution.}

Pour résoudre une équation produit nous utiliserons la proposition vue précédemment.

Voyons ceci sur un exemple.

\medskip
\objectif{Résolvons l'équation $(E):\quad 2(x+2)(-3x+4)=0$.}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}$(E)$ équivaut à $x+2=0$ ou $-3x+4=0$.

Or 
\begin{align*}
x+2 = 0 & \Leftrightarrow x+2-2=0-2\\
&\Leftrightarrow x=-2
\end{align*}

et
\begin{align*}
-3x+4=0 &\Leftrightarrow -3x+4-4=0-4\\
&\Leftrightarrow -3x=-4\\
&\Leftrightarrow \frac{-3x}{-3}=\frac{-4}{-3}\\
&\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}
\end{align*}

donc $(E)$ équivaut à $x=-2$ ou $x=\frac{4}{3}$.

\begin{conclusion}
	
	L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\left\{ -2 ; \frac{4}{3} \right\}$.

\end{conclusion}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez les équations produits $(E_i)$ pour tous les entiers naturels $i$ tels que $1\leqslant i \leqslant 6$ obtenues à l'exercice 2.

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			x(2x-3)=0 &\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad 2x-3=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad 2x=3\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=\frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $E_1$ est $\mathscr{S}= \left\{ 0 ; \frac{2}{3} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 		
		
		\begin{align*}
			6(x-1)^2=0 &\Leftrightarrow x-1=0 \quad \text{ou} \quad x-1=0\\
			&\Leftrightarrow x=1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $E_2$ est $\mathscr{S}= \left\{ 1 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Nous avons ici une démonstration algébrique d'un résultat déjà connu $x^2=25$ admet deux solutions: $5$ et $-5$.}
		
		\begin{align*}
			(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0 &\Leftrightarrow x-\sqrt{5}=0 \quad \text{ou} \quad x+\sqrt{5}=0\\
			&\Leftrightarrow x=\sqrt{5} \quad \text{ou} \quad x=-\sqrt{5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $E_3$ est $\mathscr{S}= \left\{ \sqrt{5} ; -\sqrt{5} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
				
		\begin{align*}
			(x-y)(x+y)=0 &\Leftrightarrow x=y \quad \text{ou} \quad x=-y
		\end{align*}
		
		Nous verrons plus tard que l'ensemble des solutions (qui est formé de couples $(x,y)$) peut être interprété comme les coordonnées de points formant deux droites.
		
		\item 
				
		\begin{align*}
			(x+4)(3x+2)=0 &\Leftrightarrow x+4=0 \quad \text{ou} \quad 3x+2=0\\
			&\Leftrightarrow x=-4 \quad \text{ou} \quad 3x=-2\\
			&\Leftrightarrow x=-4 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $E_5$ est $\mathscr{S}= \left\{ -4 ; -\frac{2}{3} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 		
		
		\begin{align*}
			3(x+2)(x-5)=0 &\Leftrightarrow x+2=0 \quad \text{ou} \quad x-5=0\\
			&\Leftrightarrow x=-2 \quad \text{ou} \quad x=5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $E_6$ est $\mathscr{S}= \left\{ -2 ; 5 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme didier mathx 2010 page 97 exercices 83 jusqu'à 87
	
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations suivantes.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $4x^2=3x$
		\item $(2x-1)(x+3)=0$
		\item $3x(x-1)=5(x-1)$
		\item $2x+3=x^2+3$
		\item $(x-2)^2=0$
		\item $(2x-1)(4-x)=0$
		\item $x+(x-2)=-1$
		\item $x(x-2)=-1$
		\item $(x+1)^2-16x^2=0$
		\item $3x^3+2x^2=0$
		\end{enumerate}
	&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{10}
		\item $2x^3=x^2$
		\item $16x^2=24x$
		\item $x(x+4)=-4$
		\item $(x+1)^3-(x+1)^2=0$
		\item $4x^2-2x=6(2x-1)$
		\item $(x+2)^2-3x-6=0$
		\item $9x^2-4x=2x-1$
		\item $(2x+1)^2=4x^2-1$
		\item $4(x+1)^2=2(x+1)(2x-3)$
		\item $x^4-16=0$
		\end{enumerate}
	\\ \end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{S}=\left\{ 0 ; \frac{3}{4}\right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; -3\right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{5}{3} ; 1\right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ 0 ; 2 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ 2 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; 4\right\}$.
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation proposée.}
		
		{\color{orange}L'équation proposée ne fait intervenir ni carré ni plus grande puissance de $x$. C'est une équation linéaire du premier degré. L'équation produit-nul n'est pas utile. La méthode consiste à isoler l'inconnue $x$.
		
		\medskip
		Avant d'enlever des parenthèses nous vérifions 
		\begin{enumerate}[\text{Étape }1]
			\item qu'il n'y a d'exposant s'appliquant aux parenthèses,
			\item que les parenthèses ne sont multiplié par rien ni à droite ni à gauche,
			\item qu'il n'y a pas de signe moins devant les parenthèses.
		\end{enumerate}
		C'est bien le cas ici.}
		
		\begin{align*}
			x+(x+2) =-1 &\Leftrightarrow x+x-2 = -1\\
			&\Leftrightarrow 2x-2 {\color{OliveGreen}+2} = -1 {\color{OliveGreen}+2}\\
			&\Leftrightarrow 2x=1\\
			&\Leftrightarrow \frac{2x}{\color{OliveGreen}2} = \frac{1}{\color{OliveGreen}2}\\
			&\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solution de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ \frac{1}{2}\right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons l'équation proposée.}
		
		{\color{orange}On se ramène à une équation nulle:}
		
		\begin{align*}
			x(x+2)=-1 &\Leftrightarrow x(x+2) {\color{OliveGreen}+1} = -1 {\color{OliveGreen}+1}\\
			&\Leftrightarrow x(x+2)+1=0\\
			\intertext{\color{orange}Nous essayons maintenant de faire un produit donc de factoriser mais il n'y a ni facteur communt ni identité remarquable en désespoir de cause développons:}
			x(x+2)=-1 &\Leftrightarrow {\color{OliveGreen}x} \times x +  {\color{OliveGreen}x} \times 2 +1 =0\\
			&\Leftrightarrow x^2+2x+1=0
			\intertext{\color{orange}On recommence nos tentatives de factorisation: recherche d'un facteur commun ça ne donne rien, par contre l'identité remarquable ...}
			x(x+2)=-1 &\leftrightarrow x^2+2 \times x \times 1 =1^2\\
			&\Leftrightarrow (x+1)^2=0\\
			&\Leftrightarrow x+1=0 \quad \text{ou} \quad x+1=0\\
			&\Leftrightarrow x+1=0\\
			&\Leftrightarrow x=-1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ 1 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{3} ; -\frac{1}{5} \right\}$.
		\item \objectif{Résolvons l'équation.}
		
		{\color{orange}L'équation est déjà une égalité à zéro. Il y a ici des facteurs communs.}
		
		\begin{align*}
			3x^3+2x^2=0 &\Leftrightarrow {\color{orange}3\times x \times {\color{OliveGreen}x} \times {\color{OliveGreen}x} +2 \times {\color{OliveGreen}x} \times {\color{OliveGreen}x} =0}\\
			&\Leftrightarrow {\color{OliveGreen}x^2} (3x+2)=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=0 \quad \text{ou} \quad 3x+2=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad 3x=-2\\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}=\left\{ 0;-\frac{2}{3} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; 0 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{3}{2} ; 0 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ -2 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ 0;-1 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{2} ; 3 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ -2 ; 1 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \frac{1}{3} \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{  \frac{1}{2} \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{  -1 \right\}$.
		\item $\mathcal{S}=\left\{ -2;2 \right\}$.
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices page 91 du manuel Nathan Mathématiques 2014.
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $x^2+1=0$.
		\item $(3x-2)(5x+4)=0$.
		\end{enumerate}
	&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}	
		\item $x^2-2x=0$.
		\item $(x+1)^2=0$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{S}= \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S}= \left\{ \frac{2}{3}; -\frac{4}{5} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S}= \left\{ 0;2 \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S}= \left\{ -1 \right\}$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 102 exercice 133
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	Soit $M$ un point du segment $[AB]$. On considère les demi-disques de diamètres $[AB]$, $[AM]$ et $[MB]$ comme représentés ci-contre.
	
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xM{2};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (8,0);
			\coordinate (M) at ({\xM},0);
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\draw (B) node[below] {$B$};
			\draw (M) node[below] {$M$};
			\draw(A)--(B);
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({4*cos(\x)+4},{4*sin (\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\xM /2)*cos(\x)+(\xM /2)},{(\xM /2)*sin (\x)});
			\fill[color=magenta , opacity=0.5] (A)
			-- plot[domain=0:180]({4*cos(\x)+4},{4*sin (\x)})
			--(B)
			-- cycle;
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(8-\xM)/2*cos(\x)+\xM+(8-\xM)/2},{(8-\xM)/2*sin (\x)});
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (A)
			-- plot[domain=0:180]({(\xM /2)*cos(\x)+(\xM /2)},{(\xM /2)*sin (\x)})
			--(M)
			-- cycle;
			\fill[color=violet , opacity=0.5] (B)
			-- plot[domain=0:180]({(8-\xM)/2*cos(\x)+\xM+(8-\xM)/2},{(8-\xM)/2*sin (\x)})
			--(M)
			-- cycle;
	\end{tikzpicture}
	
	\end{minipage}
	
	\\ \end{tabularx}
	
	On donne $AB=8$. Nous noterons $AM=2x$. $f(x)$ désignera l'aire de la partie colorée en violet (\emph{i.e.} les deux demi-disques de diamètres $[AM]$ et $[MB]$).
	
	\begin{enumerate}
		\item À quel intervalle appartient $x$?
		\item Démontrez que $f(x)=\pi (x^2-4x+8)$.
		\item Les aires des deux parties colorées peuvent-elles être égales?
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item \objectif{Déterminons l'intervalle dans lequel varie $x$.}
	
		\begin{enumerate}[*]
		\item Puisque $2x=AM$ et que $AM$ est une longueur, nécessairement $x\ge 0$.
		\item $M\in[AB]$ et $AB=8$ donc $AM\le 8$.
		
		D'où: $\frac{AM}{2} \le \frac{8}{2}$.
		
		Autrement dit $x\le 4$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
	
	Nous avons démontré que $x\in[0;4]$.
	
	\end{conclusion}
		
	\item \objectif{Démontrons que $f(x)=\pi (x^2-4x+8)$.}
	
		\begin{enumerate}[*]
		\item Le rayon du demi-disque de diamètre $[AM]$ est $x$ (car $2x=AM$). Donc l'aire du demi-disque de diamètre $[AM]$ est \[ \mathcal{A}_1 = \frac{1}{2} \times \pi x^2 \]
		\item Le rayon du demi-disque de diamètre $[MB]$ est 
		\begin{align*}
		\frac{1}{2}MB &=\frac{1}{2} (AB-AM) & \text{ car } M\in[AB]\\
		&=\frac{1}{2} \left( 8-2x \right) & \\
		&= 4-x &
		\end{align*}
		
		Donc l'aire du demi-disque de diamètre $[MB]$ est \[ \mathcal{A}_2 = \frac{1}{2} \times \pi \left( 4-x \right)^2 \]
		
		\item Nous déduisons des deux points précédents
		\begin{align*}
		f(x) &= \mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2 \\
		&= \frac{1}{2}\pi x^2+\frac{1}{2}\pi (4-x)^2\\
		\intertext{\color{orange}En factorisant:}
		f(x) &= \frac{1}{2}\pi \left[ x^2+(4-x)^2 \right]\\
		\intertext{\color{orange}En développant l'identité remarquable:}
		f(x) &= \frac{1}{2} \pi [x^2+16-8x+x^2 ]\\
		&= \frac{1}{2} \pi (2x^2-8x+16)\\
		&= \pi (x^2-4x+8)
		\end{align*}
		\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
	
	Nous avons bien: $f(x)\pi(x^2-4x+8)$.
	
	\end{conclusion}
	
	\item Dire que les deux parties colorées ont la même aire se traduit par \[ \frac{1}{2}\pi4^2-f(x)=f(x)\quad (E) \]
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons l'équation $(E)$.}
	
	\begin{align*}
	(E) &\Leftrightarrow 8\pi -2f(x)=0\\
	&\Leftrightarrow  8\pi -2\times \pi (x^2-4x+8)=0\\
	&\Leftrightarrow -2\pi \left[ -4+(x^2-4x+8) \right]=0 \\
	&\Leftrightarrow -2\pi \left[ -4+x^2-4x+8 \right]=0 \\
	&\Leftrightarrow -2\pi (x^2-4x+4)=0 \\
	&\Leftrightarrow -2\pi (x-2)^2=0 \\
	&\Leftrightarrow x-2=0\\
	&\Leftrightarrow x=2
	\end{align*}
	
	$2\in [0;4]$, nous pouvons donc conclure.
	
	\begin{conclusion}
	
	Les aires des parties colorées ne peuvent être égales que lorsque $x=2$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme didier mathx 2010 page 98 exercice 93
	
	\end{notabene}
	
	Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-2x^2+8x-8$ sur $[0;+\infty[$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que pour tout $x \in [0;+\infty[$, $g(x)=-2(x-2)^2$
		\item Déterminez le point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ et de l'axe des ordonnées.
		\item Déterminez s'ils existent les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.
		\item Déterminez les abscisses des points de $\mathcal{C}_g$ ayant pour ordonnée $-8$.
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item {\color{orange}Nous allons voir deux façons de démontrer le résultat.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que, quelque soit $x\in\mathbb{R}$, $g(x)=-2(x-2)^2$.}
	
	{\color{orange}Démonstration en factorisant.
	
	\medskip
	Nous devons démontrer un résultat \og pour tout $x$ \fg{} ou \og quelque soit \fg{} nous commençons par \og fixer \fg{} cette variable:}
	
	Soit $x\in\mathbb{R}$.
	
	\begin{align*}
	g(x) &= -2x^2+8x-8\\
	&= -2(x^2-4x+4)\\
	&= -2 (x^2-2\times x \times 2 +2^2)\\
	&= -2(x-2)^2
	\end{align*}
	
	Nous avons démontré que
	
	\begin{conclusion}
	
	$\forall x\in\mathbb{R},\ g(x)=-2(x-2)^2$
	
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que, quelque soit $x\in\mathbb{R}$, $g(x)=-2(x-2)^2$.}
	
	{\color{orange}Démonstration en développant le résultat donné dans l'énoncé.}
	
	\medskip
	Soit $x\in\mathbb{R}$.
	
	\begin{align*}
	-2(x-2)^2 &= -2\left[ x^2-2\times x \times 2 +2^2 \right]\\
	&= -2(x^2-4x+4)\\
	&= -2\times x^2+(-2)\times (-4) x+(-2)\times 4\\
	&= -2x^2+8x-8\\
	&= g(x)
	\end{align*}
	
	Nous avons démontré que
	
	\begin{conclusion}
	
	$\forall x\in\mathbb{R},\ g(x)=-2(x-2)^2$
	
	\end{conclusion}
	
	\item {\color{orange}Le préfixe \og le \fg{} à propos du point d'intersection sous-entend qu'il est unique. Ceci découle du fait que, pour une fonction il y a unicité de l'image.
	
	Déterminer un point doit se comprendre dans le sens de trouver ses coordonnées.}
	
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons $M(x_M;y_M)$ point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des ordonnées.}
	
	{\color{orange}Interprétons les conditions imposées à $M$ avec un point de vue d'analyse.}
	
	\medskip
	Dire que $M$ appartient à l'axe des ordonnées équivaut à dire que $x_M=0$.
	
	Dire que $M\in\mathcal{C}_g$ équivaut à dire que $y_M=g(x_M)$. Donc: $y_M=g(0)=-8$.
	
	\begin{conclusion}
	
	Le point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées $(0;8)$.
	
	\end{conclusion}
	
	\item \objectif{Déterminons les points d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.}
	
	Supposons qu'il existe un point $M(x_M;y_M)$ qui soit l'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.
	
	$M$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_M=0$.
	
	$M$ appartient à $\mathcal{C}_g$ donc $g(x_M)=0$.
	
	Résolvons cette dernière équation d'inconnue $x_M$.
	
	\begin{align*}
	g(x_M)=0 &\Leftrightarrow -2(x-2)^2=0 \\
	&\Leftrightarrow x-2=0\\
	&\Leftrightarrow x=2
	\end{align*}
	
	$2\in [0;+\infty [$ et $g(2)=0$ donc c'est une solution qui convient bien.
	
	\begin{conclusion}
	
	L'unique point d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $(2;0)$;
	
	\end{conclusion}	
	
	\item \objectif{Déterminons les abscisses des points de $\mathcal{C}_g$ d'ordonnée $-8$.}
	
	En raisonnant comme précédemment cela revient à dire que nous cherchons les nombres $x\in[0:+\infty [$ tels que: $g(x)=-8$.
	
	Résolvons cette équation.
	
	\begin{align*}
	g(x)=-8 &\Leftrightarrow -2x^2+8x-8 = -8 \\
	&\Leftrightarrow -2x^2+8x=0 \\
	&\Leftrightarrow x(-2x+8)=0 \\
	&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } -2x+8=0
	\end{align*}
	
	Or 
	\begin{align*}
	-2x+8 &\Leftrightarrow -2x+8{\color{orange}-8}=0{\color{orange}-8}\\
	&\Leftrightarrow -2x=-8\\
	&\Leftrightarrow \frac{-2x}{\color{orange}-2} = \frac{-8}{\color{orange}-2}\\
	&\Leftrightarrow x=4
	\end{align*}
	donc, comme $0$ et $4$ sont bien dans l'ensemble $[0;+\infty[$ et $g(0)=g(4)=-8$, nous pouvons conclure.
	
	\begin{conclusion}
	
	Les abscisses des points de $\mathcal{C}_g$ ayant pour ordonnée $-8$ forment l'ensemble $\{ 0;4 \}$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme didier mathx 2010 page 98 exercice 95
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f(x)=4x^3-24x^2+36x$ quelque soit $x$ réel.
	
	Déterminez les zéros de la fonction $f$.

\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Les \emph{\color{purple}zéros d'une fonctions} sont les nombres $x$ de son ensemble de définitions telles que: $f(x)=0$. Ce sont les valeurs de $x$ qui annulent $f$.}
	
	\medskip
	Il faut trouver les valeurs $x$ telles que $f(x)=0$.
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons l'équation $f(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.}
	
	$f(x)=0$ équivaut successivement à
	\begin{align*}
	& 4x^3-24x^2+36x=0\\
	\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une équation polynomiale de degré 3 nous essayons de factoriser.}
	& 4x(x^2-6x+9)=0\\
	& 4x(x^2-2\times x \times 3 +3^2)=0\\
	& 4x(x-3)^2=0 \\
	& x=0 \text{ ou } x=3
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	L'ensemble des zéros de $f$  est $\{ 0;3 \}$.
	
	\end{conclusion}

\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme didier mathx 2010 page 97 exercice 88
	
	\end{notabene}
	
	Proposez une équation ayant pour ensemble des solutions $\mathcal{S}$.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{S}=\left\{ 4 \right\}$
		\item $\mathcal{S}=\left\{ 2;0 \right\}$
		\end{enumerate}
	&
		\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item $\mathcal{S}=\left\{ \sqrt{2} ; -\sqrt{2}\right\}$
		\item $\mathcal{S}=\left\{ -2 ; \frac{2}{3} ; 4 \right\}$
		\end{enumerate}
	\\ \end{tabularx}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme didier mathx 2010 page 102 exercice 137
	
	\end{notabene}
	
	Deux nombres ont pour somme $314$. De combien augmente leur produit si on ajoute $9$ à chacun des deux?

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Ici il n'y a pas besoin de résoudre une équation, car il n'y a pas de condition à résoudre, on nous demande d'effectuer un calcul.}
	
	$x+y=314$ et on souhaite calculer $(x+9)(y+9)-xy$ et on obtient $9 \times 323$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	Exercice avec uniquement du premier degré: révision.
	
	Il s'agit du problème tiré de L'abbacci de Fibonacci.
	
	\end{notabene}
	
	Deux frères héritent d'un terrain ayant la forme d'un trapèze  $ABCD$ rectangle en $A$ représenté ci-dessous tel que $AD=50\ \mathrm{m}$, $BC=30\ \mathrm{m}$ et $AB= 70\ \mathrm{m}$.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (7,0);
		\coordinate (C) at (7,3);
		\coordinate (D) at (0,5);
		\coordinate (M) at (2,0);
		\draw (A) node[below left] {$A$};
		\draw (B) node[below right] {$B$};
		\draw (C) node[above right] {$C$};
		\draw (D) node[above left] {$D$};
		\draw (M) node[below] {$M$};
		\draw[blue] (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
		\draw[red] (D)--(M)--(C);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Ils souhaitent que l'un dispose du terrain triangulaire $AMD$, l'autre du terrain triangulaire $BCM$, la dernière partie étant revendue.
	
	\begin{enumerate}
		\item Comment placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ pour que les deux frères disposent de la même surface?
		\item Comment placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ pour que les deux frères disposent de surfaces triangulaires d'hypoténuses de même longueur?
	\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Notons $x=AM$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquels $\mathscr{A}(AMD)= \mathscr{A}(MBC)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMD) &= \mathscr{A}(MBC)\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\frac{1}{2} AM \times AD &= \frac{1}{2} MB \times BC\\
			\frac{1}{2} x \times 50 &= \frac{1}{2} (70-x) \times 30\\
			50x &= 30(70-x)\\
			80x &= 2100\\
			x &= \frac{2100}{80}\\
			x &= 26,25
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Pour résoudre une équation linéaire inutile d'avoir une équation produit-nul.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut placer le point $M$ de sorte que $AM=26,25\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquels $DM= MC$.}
		
		\begin{align*}
			DM &= MC\\
			\intertext{implique successivement:}
			AD^2+AM^2 &= MB^2+BC^2\\
			50^2 + x^2 &= (70-x)^2 + 30^2\\
			2500+x^2 &= 70^2-2 \times 70 \times x +x^2+900\\
			2500+x^2 &= 4900-140x+x^2+900\\
			140x &= 3300\\
			x &= -\frac{165}{7}
		\end{align*}
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{recherche}

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}

\begin{minipage}{\linewidth}

Le rectangle d'or est un rectangle tel que, si on lui enlève un carré construit sur une largeur, on obtient un nouveau rectangle de même forme, c'est-à-dire dont le rapport $\frac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$ est le même.

Ce rapport est alors appelé \emph{\color{purple}nombre d'or} ou \og divine proportion\fg{}. Il est noté $\varphi$.

\end{minipage}

&

\begin{minipage}{\linewidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (0,3);
	\coordinate (C) at (4.8541,3);
	\coordinate (D) at (4.8541,0);
	\coordinate (E) at (3,0);
	\coordinate (F) at (3,3);
	\draw (A) node[below left]{$A$};
	\draw (B) node[above left]{$B$};
	\draw (C) node[above right]{$C$};
	\draw (D) node[below right]{$D$};
	\draw (E) node[below]{$E$};
	\draw (F) node[above]{$F$};
	\draw (0,1.5) node{\Large $\circ$};
	\draw (1.5,0) node{\Large $\circ$};
	\draw[blue] (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
	\draw[blue] (E)--(F);
	\draw[red][samples=100,domain=0:90] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x)});
	\draw (0.25,0)--(0.25,0.25)--(0,0.25);
	\draw ({4.8541-0.25},0)--({4.8541-0.25},0.25)--(4.8541,0.25);
	\draw ({3+0.25},0)--({0.25+3},0.25)--(3,0.25);
\end{tikzpicture}

\end{minipage}

\\ \end{tabularx}

	\begin{enumerate}
	\item Soit $L$ la longueur de départ et $l$ la largeur de départ.
	
	Calculez le rapport $\frac{DC}{ED}$ en fonction de $L$ et $l$.
	
	\item Montrez que \[ \frac{BC}{BA}=\frac{DC}{ED}\Leftrightarrow L(L-l)=	l^2. \]
	\item En déduire que le rapport $\frac{L}{l}$ est solution de l'équation \[x^2=x+1 \]
	Le nombre d'or vérifie donc la propriété \og si on l'augmente de $1$, il est égale à son carré\fg{}.
	\item Montrez que l'on a \[ x^2-x-1=\left( x- \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)  \left( x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \]
	\item En déduire la valeur exacte de $\varphi$ puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
	
\end{recherche}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
	
	2ieme nathan transmath 2010 exercice 81 page 58
	
	\end{notabene}

\end{exercice}

\end{document}

\begin{exercice}

\begin{tikzpicture}
	\set \x {0};
	\coordinate (M) at (1,0);
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (\x,0);
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (A) at (0,0);
\end{tikzpicture}

\end{exercice}

\begin{exercice}

\begin{notabene}

2ieme nathan transmath 2010 exercice 107 page 88.

\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

	\begin{enumerate}
	\item Pour résoudre une équation qui n'est pas linéaire nous la mettrons sous forme d'équation produit.
	\item Factoriser pour faire apparaître une équation produit.
	\item Résoudre une équation produit.
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}