%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Inéquations linéaires.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Les inéquations du premier degré.}

\begin{notabene}
	
	L'idée est de rechercher les manipulations autorisée pour maintenir le même déséquilibre que symbolise l'inégalité.
	
\end{notabene}

\subsection{Généralités sur les inéquations.}

Une inéquation est une  inégalité qui peut être vraie ou fausse suivant les valeurs attribuées aux inconnues.

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs qui rendent l'inéquation vraie.

Cette année les ensembles de solutions des inéquations seront souvent des intervalles ou des réunions d'intervalles.

Pour résoudre les inéquations nous regrouperont tous les termes d'un seul côté du signe d’inégalité afin de se ramener à une inégalité à $0$ c'est-à-dire à  une étude de signe.

\subsection{Modifications autorisées sur les inéquations.}

\begin{proposition}{}
	
	On ne modifie pas les résultats d'une inéquation en additionnant (respectivement en soustrayant) par un même nombre des deux côtés de l'inégalité.
	
\end{proposition}

\begin{correction}
	
	
	
\end{correction}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item Pour additionner ou soustraire les équations et les inéquations se manipulent de la même façon que les équations.
	\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez l'inéquation $x-7\ge 12$
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Trouvez tous les nombres $x$ qui vérifient les deux inéquations suivantes (système de deux équations à une inconnue):
	
	$\left\{ \begin{array}{l} x+7 \le 12\\ x-5 \ge -17 \\ \end{array} \right.$
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	On ne modifie pas les résultats d'une inéquation en multipliant (respectivement en divisant) par un même \underline{nombre strictement positif} des deux côtés de l'inégalité.

\end{proposition}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $3x\le 12$.

\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Pour le suivant pour imaginer une balance placée dans un champ de gravitation qu'on inverserai subitement: au lieu d'être orientés vers le bas les poids seraient orientés vers le haut.
	
\end{notabene}

\begin{théorème}
	
	Pour ne pas modifier les solutions d'une inéquation en multipliant (respectivement en divisant) par un même \underline{nombre strictement négatif} des deux côtés de l'inégalité il faut changer le sens de l'inégalité.

\end{théorème}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-4x\ge 32$.

\end{exercice}

\subsection{Inéquation linéaire.}

\begin{définition}
	
	Une \emph{\color{purple}inéquation linéaire}  (ou inéquation polynomiale de degré $1$) est une inéquation de la forme \[ ax+b<0\ \text{ ou }\ ax+b\le 0\ \text{ ou }\ ax+b>0\ \text{ ou }\ ax+b \ge 0 \] avec $a$ et $b$ des nombres fixés et $x$ un nombre variable.

\end{définition}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item Pour identifier l'inéquation du premier degré on regroupe tous les termes d'un même côté de l'inégalité. Autrement dit il faut se ramener à une inégalité à $0$.
	\item La résolution des inéquations du premier degré consiste à \og isoler le $x$ \fg{}.
	
	Supposons que $a$ n'est pas nul et résolvons
	\begin{align*}
	ax+b&\ge 0\\
	\intertext{équivaut successivement à}
	ax+b {\color{orange}-b} &\ge 0{\color{orange}-b}\\
	ax &\ge -b
	\end{align*}
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
	Ce qui équivaut encore, si $a>0$ à
	&
	Ce qui équivaut encore, si $a<0$ à
	\\
	$\begin{aligned}
	\frac{ax}{{\color{orange}a}} &\ge \frac{-b}{{\color{orange}a}} \text{, car $a> 0$}\\
	x &\ge -\frac{b}{a}
	\end{aligned}$
	&
	$\begin{aligned}
	\frac{ax}{{\color{orange}a}} &\le \frac{-b}{{\color{orange}a}} \text{, car $a< 0$}\\
	x &\le -\frac{b}{a}
	\end{aligned}$
	\\ \end{tabular}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}	
	L'ensemble des solutions de l'équation $ax+b\ge 0$ est $\left[ -\frac{b}{a}\ ;\ +\infty \right[$.
	&
	L'ensemble des solutions de l'équation $ax+b\ge 0$ est $\left] -\infty \ ;\ -\frac{b}{a} \right]$.
	\\
	\end{tabular}
	\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}

Résolvez les inéquations.

\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
	\begin{enumerate}
	\item $-3x+7 < x+2$
	\item $-5x-2\le 0$
	\item $-x> 9$
	\end{enumerate}
&&
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item $2x-7 < (3x-4)-x$
	\item $3x-(4+3x) > 2$
	\end{enumerate}
\\ \end{tabular}

\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{align*}
	-3x+7 < x+2 & \Leftrightarrow -3x+7-x < x+2-x\\
	&\Leftrightarrow -4x+7< 2\\
	&\Leftrightarrow -4x+7 -7 < 2-7\\
	&\Leftrightarrow -4x < -5\\
	&\Leftrightarrow \frac{-4x}{-4} > \frac{-5}{-4}\\
	&\Leftrightarrow x > \frac{5}{4}
	\end{align*}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left] \frac{5}{4} ; +\infty \right[$.
	
	\item 
	
	\begin{align*}
	-5x-2 \le 0 &\Leftrightarrow -5x-2+2 \le 0+2\\
	&\Leftrightarrow -5x \le 2\\
	&\Leftrightarrow \frac{-5x}{-5} \ge \frac{2}{-5}\\
	&\Leftrightarrow x \ge -\frac{2}{5}
	\end{align*}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left[ -\frac{2}{5} ; +\infty \right[$.
	
	\item 
	
	
	\begin{align*}
	-x>9 &\Leftrightarrow \frac{-x}{-1} < \frac{9}{-1}\\
	&\Leftrightarrow x<-9
	\end{align*}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; -9 \right[$.
	
	\item
	
	\begin{align*}
	2x-7<(3x-4)-x &\Leftrightarrow 2x-7<3x-4-x\\
	\Leftrightarrow 2x-7 <2x-4\\
	&\Leftrightarrow 2x-7-2x < 2x-4-2x\\
	&\Leftrightarrow -7<-4
	\end{align*}
	
	{\color{orange} Cette dernière égalité est toujours vraie, quelque soit la valeur choisie pour $x$. Donc:}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \mathbb{R}$.
	
	\item 
	
	\begin{align*}
	3x-(4+3x)>2 &\Leftrightarrow 3x-4-3x>2\\
	\Leftrightarrow -4>2
	\end{align*}
	
	{\color{orange} Cette dernière égalité est toujours fausse, quelque soit la valeur choisie pour $x$. Donc:}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \emptyset$.
		
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Résolvez les systèmes d'inéquations.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
	\begin{enumerate}
	\item $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x+13 \\ 4x-23 \le 10+x \end{array} \right.$
	\item $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \ge 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$
	\end{enumerate}
&&
	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$
	\end{enumerate}
	\\ \end{tabular}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item L'ensemble des solutions de $2x-8\le 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= [-7 ; +\infty [$.
	
	L'ensemble des solutions de $4x-23\le 10+x$ est $\mathcal{S}_2= ]-\infty ; 11]$.
	
	L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= [-7 ; +\infty [ \cap ]-\infty ; 11] =[-7;11]$.
	
	\item L'ensemble des solutions de $2x-8\ge 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= ]-\infty ; -7]$.
	
	L'ensemble des solutions de $4x-23\ge 10+x$ est $\mathcal{S}_2= [11; +\infty [$.
	
	L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= ]-\infty ; -7] \cap [11; +\infty [ = \emptyset$.
	
	\item L'ensemble des solutions de $2x-8\le 5x+13$ est $\mathcal{S}_1= [-7 ; +\infty [$.
	
	L'ensemble des solutions de $4x-23\ge 10+x$ est $\mathcal{S}_2= [11; +\infty [$.
	
	L'ensemble des solutions du système d'inéquation est $\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2= [-7 ; +\infty [ \cap [11; +\infty [ = [11 ; +\infty [$.
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item Le cas des inéquations produits sera traité dans une leçon ultérieure.
	\end{enumerate}

\subsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}
	
	Deux entreprises de transport proposent les tarifs suivants:
	\begin{itemize}
		\item $110$ \euro{} au départ plus $1,26$ \euro{} du kilomètre;
		\item $120$ \euro{} au départ plus $1,22$ \euro{} du kilomètre.
	\end{itemize}
	
	Pour quels kilométrages le tarif du second transporteur est-il plus avantageux?
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $x$ le nombre kilomètres parcourus, $A(x)$ le tarif pour $x$ kilomètres du premier transporteur, $B(x)$ le tarif pour $x$ kilomètres du second transporteur.
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons l'inéquation $A(x) \geqslant B(x)$ dans $[0;+\infty[$.}
	
	\begin{align*}
		A(x) \geqslant B(x) &\Leftrightarrow 110+1,26 \times  \geqslant 120+1,22 \times x \\
		&\Leftrightarrow 110+1,26 x {\color{orange}-1,22x}  \geqslant 120+1,22 x  {\color{orange}-1,22x}\\
		&\Leftrightarrow 110+(1,26 -1,22) x  \geqslant 120\\
		&\Leftrightarrow 110+0,04 x \geqslant 120 \\
		&\Leftrightarrow 110+0,04 x {\color{orange}-110}  \geqslant 120  {\color{orange}-110}\\
		&\Leftrightarrow 0,04 x   \geqslant 10\\
		&\Leftrightarrow \frac{0,04 x}{\color{orange}0,04} \geqslant \frac{10}{\color{orange}0,04} \\
		&\Leftrightarrow x \geqslant 250
	\end{align*}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation dans $[0;+\infty[$ est $\mathscr{S}=[250,+\infty[$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Le second transporteur est plus avantageux pour plus de $250\ \mathrm{km}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Un libraire vend des crayons $2,4$ \euro{} pièce. Sur ces articles ses frais s'élèvent à $0,6$ \euro{} par crayon  auxquels il faut ajouter  une somme fixe de $34,2$ \euro{}.
	
	Calculez, en fonction de $x$, le bénéfice réalisé par la vente de $x$ crayons. Combien doit-il vendre de crayons pour que le bénéfice soit compris entre $68,4$ \euro{} et $102,6$ \euro{}?
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Déterminons le bénéfice en fonction de $x$.}
	
	Le bénéfice réaliser pour la vente de $x \in \mathbb{N}$ crayons est: 
	
	\begin{align*}
		B(x) &= 2,4 x-0,6x-34,2\\
		&= (2,4-0,6)x-34,2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$B(x)= 1,8x-34,2$ pour tout $x \in \mathbb{N}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$ le système $\left\{ \begin{array}{l} 68,4 \leqslant B(x) \\ B(x) \leqslant 102,6 \end{array} \right.$.}
	
	\begin{align*}
		68,4 \leqslant B(x) &\Leftrightarrow x \in [57,+\infty[\\
		B(x) \leqslant 102,6 &\Leftrightarrow x \in ]-\infty, 76]
	\end{align*}
	
	Donc l'ensemble des solutions du système est: $\mathscr{S} = ]-\infty,76] \cap [57,+\infty[= [57;76]$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Il devra vendre entre $57$ et $76$ crayons pour réaliser ses objectifs.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Règles licites de manipulation d'inéquation.
	\item Pour résoudre une inéquation se ramener à une inégalité à zéro (faire passer tous les termes dans un seul membre de l'équation).
	\item Résoudre une inéquation linéaire.
	\item Résoudre un système d'inéquations linéaires à une inconnue.
	\item Mise en inéquation.
\end{enumerate}
	
\end{correction}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}