%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Racines carrées.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Racines carrées d'entiers.}

\subsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Partir de l'origine géométrique grecque de la racine carrée: explication du nom. À partir du schéma du carré aller vers l'expression algébrique du problème. Cela explique la définition à partir de l'équation et le fait qu'on ne s'intéresse qu'à la valeur positive (c'est une longueur).
	
\end{notabene}

\begin{définition}
	
	La \emph{\color{purple}racine carrée} d'un entier naturel $n$ est le nombre positif $x$ tel que: \[ x\times x=x^2=n \] et on note: $x={\color{purple}\sqrt{n}}$.
	
\end{définition} 

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Compte tenu de la règle du signe d'un produit il est clair que l'on ne peut prendre la racine carrée que d'un nombre positif (ou nul).
	
	\item Cette définition nécessiterait de démontrer que l'on peut toujours trouver un tel nombre $x$ et que d'autre part il est unique (puisque positif). Nous devrons attendre de bien connaître les fonctions pour pouvoir le justifier.
	
	\item Sauf si $n$ est un carré parfait ($1,\ 4,\ 9,\ \dots$),  $\sqrt{n}$ est un nombre qui n'est pas rationnel. Dans ce cas il n'y a pas d'écriture exacte du nombre plus simple que $\sqrt{n}$.
	\item Trivialement: $\sqrt{n}^2=n$.
\end{enumerate}

\subsection{Racine carrée et opérations.}

Les règles de priorités sont les suivantes:
	
\begin{enumerate}[\text{Priorité} 1]
	\item Les calculs entre parenthèses ou crochets. S'il y a des parenthèses emboîtées les plus emboîtées sont prioritaires. La barre de fraction ou la racine carrée jouent le même rôle que des parenthèses.
	\item Les exposants (puissances).
	\item Les multiplications et division ($\div$) en allant de gauche à droite.
	\item Les additions et soustractions en allant de gauche à droite.
\end{enumerate}

\begin{proposition}
	
	Le produit des racines carrées égale la racine carrée du produit. Pour $a$ et $b$ des entiers naturels: \[ \color{purple} \sqrt{a\times b} = \sqrt{a}\times \sqrt{b}. \]
	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	Exemple typique de petite démonstration simple dans une leçon.
		
\end{notabene}

\begin{preuve}{}
	
	Soit $a$ et $b$ des entiers naturels.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est la racine carrée de $ab$.}
	 
	Vérifions que le nombre $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est effectivement un nombre positif qui élevé au carré égale $ab$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Par définition de la racine carrée $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ sont positifs donc $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est positif.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\left( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \right) &= \sqrt{a}^2 \times \sqrt{b}^2\\
			\intertext{Puisque $a$ et $b$ sont positifs:}
			\left( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \right) &= a \times b
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré que quelques soient les entiers naturels $a$ et $b$, $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item Ce résultat se généralise à tous les nombres positifs et pas uniquement aux entiers.
	\item Si de plus $b \ne 0$ alors de même: \[ \color{purple}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}. \]
	\item Il n'y pas de résultat équivalent pour les additions et soustractions: $\sqrt{9}+\sqrt{4} \ne \sqrt{9+4}$.
	\end{enumerate}

\begin{notabene}

D'après les remarques précédentes on peut calculer la racine carrée d'un nombre rationnel.

\end{notabene}

\begin{notabene}

On remarque que les nombres obtenus par racine carré sont impossibles à écrire sous forme décimale c'est pourquoi on est obligé d'apprendre à manipuler les expressions radicales qui sont la seule façon d'écrire de tels nombres.

\end{notabene}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers $b$ étant le plus petit possible.
	
	{\color{orange}Vous pouvez utiliser une décomposition en facteurs premiers. Et en désespoir de cause sachez trouver les valeurs à la calculatrice.}

	\begin{enumerate}
		\item $A=\sqrt{36}$
		\item $B=\sqrt{8}$
		\item $C=\sqrt{2}\times \sqrt{18}$
		\item $D=\sqrt{7}\times \sqrt{14}$
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}
	
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A=\sqrt{6^2}=6$
		\item $B=\sqrt{2^3}=\sqrt{2\times 2^2}=\sqrt{2}\times \sqrt{2^2}=\sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2}$
		\item $C=\sqrt{2\times 18}=\sqrt{2^2\times 3^2}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3^2}=2\times 3$
		\item $D=\sqrt{7\times 14}=\sqrt{2\times 7^2}=\sqrt{2}\times \sqrt{7^2}=7\sqrt{2}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers $b$ étant le plus petit possible.

	\begin{enumerate}
		\item $A=\sqrt{64}$
		\item $B=\sqrt{27}$
		\item $C=\sqrt{15}\times \sqrt{3}$
		\item $D=\sqrt{12}\times \sqrt{6}$
	
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A=\sqrt{8^2}=8$
		\item $B=\sqrt{3\times 9}=\sqrt{3} \times \sqrt{3^2}=\sqrt{3} \times 3=3\sqrt{3}$
		\item $C=\sqrt{5\times 3} \times \sqrt{3}=\sqrt{5} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}=\sqrt{5}\times \sqrt{3}^2=3\sqrt{5}$
		\item $D=\sqrt{12 \times 6}=\sqrt{4\times 3 \times 2  \times 3}=\sqrt{4} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{2}=2 \times 3 \times \sqrt{2}=12 \sqrt{2}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Lorsqu'un calcul comprend des fractions et des racines carrées le résultat doit être présenté sous la forme $\frac{a}{b} \sqrt{c}$ avec $a$, $b$ et $c$ des entiers, $b$ étant non nul et $c$ le plus petit possible. Écrivez les calculs suivants sous cette forme:
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle A=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$
		
		\item $\displaystyle B=\frac{\sqrt{7}}{22}\times \frac{11}{\sqrt{7}}$
		
		\item $\displaystyle C=\frac{\sqrt{240}}{\sqrt{85}}$
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item $A=\frac{\sqrt{2\times 3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$
	\item $B=\frac{\sqrt{7}\times 11}{22\times \sqrt{7}}=\frac{11\sqrt{7}}{2\times 11\sqrt{7}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{1}$
	\item $C=\frac{\sqrt{2^4\times 3 \times 5}}{\sqrt{5\times 17}}=\sqrt{2^4}\times \frac{\sqrt{3}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{17}}=4 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}}=4 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} \times \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = 4 \frac{\sqrt{3}\times \sqrt{17}}{\sqrt{17}\times \sqrt{17}} =4\frac{\sqrt{3\times 17}}{\sqrt{17^2}}=\frac{4}{17}\sqrt{51}$
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{enumerate}
		\item Évaluez la quantité $A$ en donnant le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers $b$ étant le plus petit possible. \[ A= \sqrt{3}\times \sqrt{12} \]
		\item Calculez la valeur de $B$ sous la forme $\frac{a}{b} \sqrt{c}$ avec $a$, $b$ et $c$ des entiers, $\frac{a}{b}$ étant irréductible et $c$ le plus petit possible. \[ B = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{63}} \]
	\end{enumerate}

\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			A &= \sqrt{3 \times 12}\\
			&= \sqrt{3 \times 2^2 \times 3}\\
			&= \sqrt{2^2 \times 3^2}\\
			&= \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2}\\
			&= 2 \times 3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$A=6 \sqrt{1}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= \frac{\sqrt{2 \times 7}}{\sqrt{3^2 \times 7}}\\
			&= \sqrt{\frac{2 \times 7}{3^2 \times 7}}\\
			&= \sqrt{\frac{2}{3^2}}\\
			&= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}^2}\\
			&= \frac{\sqrt{2}}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$B=\frac{1}{3} \sqrt{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Un triangle $MNP$ rectangle en $P$ est tel que: $MN=4$ et $NP=\frac{1}{2}$
	
	Calculez $MP$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons $MP$.}
	
	$MNP$ est rectangle en $P$ donc, d'après le théorème de Pythagore: \[ MP^2+NP^2=MN^2 \]
	
	Or: $MN=4$ et $NP=\frac{1}{2}$ donc \[ MP^2+ \left( \frac{1}{2} \right) ^2 =4^2 \]
ce qui équivaut successivement à
	\begin{align*}
		MP^2 +\frac{1}{4}&=16\\
		MP^2+\frac{1}{4} {\color{orange}-\frac{1}{4}} &= 16 {\color{orange}-\frac{1}{4} } \\
		MP^2 &= \frac{63}{4}
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Autrement dit $MP=\sqrt{\frac{63}{4}}$ ou $MP=-\sqrt{\frac{63}{4}}$.}
	
	Mais $MP$ est une longueur donc est un nombre positif: \[ MP=\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{\sqrt{3^2 \times 7}}{\sqrt{2^2}}=\frac{3}{2}\sqrt{7} \]
	
	Finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		$\displaystyle MP=\frac{3}{2}\sqrt{7}$
		
	\end{conclusion}
		
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}

	Un triangle $ABC$ rectangle en $A$ est tel que: $AB=\frac{2}{3}$ et $AC=\frac{3}{2}$.
	
	Calculez $BC$.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Calculons $BC$.}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
	\begin{align*}
		BC^2 &= AB^2+AC^2\\
		\intertext{Donc:}
	BC^2 &= \left( \frac{2}{3} \right) ^2 + \left( \frac{3}{2} \right) ^2 \\
		BC^2 &= \frac{4}{9}+\frac{9}{4}\\
		BC^2 &= \frac{97}{36}\\
	\end{align*}
	$BC$  est une longueur c'est donc un nombre positif:
	\begin{align*}
		BC &= \sqrt{\frac{97}{36}}
	\end{align*}
	
	Donc:
	
	\begin{conclusion}
		
		$\displaystyle BC=\frac{1}{6}\sqrt{97}$
		
	\end{conclusion}	
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exerciceapplication}
	
	Un triangle $MNP$ rectangle en $M$ est tel que: $MN=\frac{7}{3}$ et $MP=2$.
	
	Calculez $BC$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item "L'affinité" qu'il y a entre la racine carrée et la multiplication ou la division.
	\item Le résultat d'un calcul impliquant une racine carrée est souvent un nombre irrationnel. Il est donc impossible d'en donner une écriture décimale. Dans ce cas le résultat est donné en conservant le symbole $\sqrt{\phantom{123}}$.
	\item Pour ceux qui envisagent la filière scientifique l'astuce de la quantité conjuguée se généralise. 
	\item Théorème de Pythagore (et sa réciproque).
\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}