%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\color{blue} \medskip \hfill{ \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Les entiers.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Les entiers.}

\subsection{Entiers naturels: $\mathbb{N}$.}

Les \emph{\color{purple}entiers naturels} sont les nombres qui servent à dénombrer, à compter.
L'ensemble de tous les entiers naturels est: $${\color{purple}\mathbb{N}}=\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$

\begin{notabene}
Ce sont des nombres positifs ou nuls.
\end{notabene}

\begin{center}
\begin{tabular}{m{3cm}m{4cm}}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{2ieme_algebre_01_entiers_01_illustration_leopold_kronecker.jpg}
\end{center}

&

\textbf{Leopold Kronecker} ($XIX^{\text{ième}}$): \og Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme.\fg
\\ \end{tabular}
\end{center}

\medskip
Remarques.
	\begin{enumerate}
	\item La notation $\mathbb{N}$ représente la première lettre de \og naturel\fg{}.
	\item En fait l'ensemble des nombres entiers naturels se construit logiquement.
	\item Parmi les mathématiciens qui ont marqué l'étude de l'ensemble des entiers naturels:
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{cm{0.5cm}c}
	\includegraphics[scale=0.3]{2ieme_algebre_01_entiers_02_illustration_giuseppe-peano.jpg}
	&&
	\includegraphics[scale=0.15]{2ieme_algebre_01_entiers_03_hermann_gunther_grassmann.jpg}
	\\
	Giuseppe Peano.
	&&
	Hermann Günther Grassmann.
	\\
	\end{tabular}
	\end{center}
	\end{enumerate}

\subsection{Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$.}

Les \emph{\color{purple}entiers relatifs} sont les entiers naturels et leurs \emph{\color{purple}opposés}.
L'ensemble de tous les entiers relatifs est:
$${\color{purple}\mathbb{Z}}=\{ \dots ,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$

\begin{notabene}

Logique. L'affirmation: \fg Tous les nombres sont des entiers \fg ~est-elle vraie ou fausse?

\end{notabene}

\begin{proposition}

Les nombres entiers relatifs ont une partie décimale nulle.

\end{proposition}

\medskip
Remarques:
	\begin{enumerate}
	\item Autrement dit une \emph{\color{purple}écriture décimale infinie} d'un entier ne comporte que des zéros dans la partie décimale. Ainsi: $3=3,000\dots$
	\item Il existe des nombres qui ne sont pas des entiers. Par exemple $\frac{1}{2}$ n'est pas un entier.
	\item La notation $\mathbb{Z}$ (de l'allemand \og zahlen\fg{} signifiant nombres) fut popularisée par Nicolas Bourbaki.
	\end{enumerate}
	
\subsection{Additionner des entiers relatifs.}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}

	Évaluez les quantités suivantes:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $A=-3+2$
				\item $B=-8-7$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				\item $C=-(-3)+4$
				\item $D=-13+(-11)$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item $A=-1$
	\item $B=-15$
	\item $C=1$
	\item $D=-24$
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\subsection{Multiplier des entiers relatifs.}

Les règles rappelées ici fonctionnent en fait pour n'importe quel nombre.

\subsubsection{Signe d'un produit.}

Le produit de deux nombres de même signe est positif.

Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

Il est également possible de se représenter les choses comme suit.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (4,0);
		\coordinate (C) at (2,1);	
		\node[draw,rectangle] (A) at (A) {$x$};
		\node[draw,rectangle] (B) at (B) {$ {\color{orange}-2 \times} x$};
		\draw[>=latex,->] (A)--(B)node[midway, above]{$\color{orange}-2 \times$};
		\draw node (C) at (C) {\footnotesize Multiplier par un nombre négatif change le signe};	
		\coordinate (A1) at (0,-2);
		\coordinate (B1) at (4,-2);
		\coordinate (C1) at (2,-1);	
		\node[draw,rectangle] (A1) at (A1) {$x$};
		\node[draw,rectangle] (B1) at (B1) {$ {\color{orange} 3 \times }x$};
		\draw[>=latex,->] (A1)--(B1)node[midway, above]{${\color{orange} 3 \times} $};
		\draw node (C1) at (C1) {\footnotesize Multiplier par un nombre positif ne change pas le signe};	
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

$0$ est dit \emph{\color{purple}absorbant} pour la multiplication: quelque soit le nombre $a$, $0\times a=0$.

$1$ est dit \emph{\color{purple}neutre} pour la multiplication: quelque soit le nombre $a$, $1\times a= a$.

\subsubsection{Priorités opératoires.}

Les règles de priorités pour l'instant se limitent à:

\begin{enumerate}[\text{Priorité} 1]
	\item Les calculs entre parenthèses ou crochets. S'il y a des parenthèses emboîtées les plus emboîtées sont prioritaires.
	\item Les multiplications en allant de gauche à droite.
	\item Les additions et soustractions en allant de gauche à droite.
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}

	Évaluez les quantités suivantes:
	
	\noindent 
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $A=4\times (-1)$
				\item $B=-1\times (-1)$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
		
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				\item $C=3\times [-2(3-5)]$
				\item $D=(3-5\times (-2))(-1+(-4)\times 2)$
			\end{enumerate}
		
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

	\begin{enumerate}
	\item $A=-4$
	\item $B=1$
	\item $C=12$
	\item $D=-117$
	\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\subsection{Nommer le résultat d'un calcul.}

Nous dirons qu'un calcul est une {\color{purple}somme} (respectivement une {\color{purple}différence}, respectivement un {\color{purple}produit}) si la dernière opération effectuée en respectant les priorités opératoires est une addition (respectivement une soustraction, respectivement une multiplication).

À moins de devoir distinguer somme et différence, les résultats d'une addition et d'une soustraction seront très souvent indifféremment appelés des sommes.

Ainsi $2\times(-2) +4\times (3-1)$ et $3-(4-2)\times (5-2)$ sont des sommes tandis que $(3-1)\times (-6-1)$ est un produit.

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Indiquez si les calculs suivants sont des sommes ou des produits et effectuez les calculs à la main.
	
	\noindent\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $A=5+2-5\times 3$
				\item $B=(3+2)\times 5$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
						
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				\item $C=(3+2)+(2-5)(3+1)$
				\item $D=(2+5)(1-3)$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}	

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $A$.}
		
		\begin{align*}
			A &= 5+2-{\color{orange}5 \times 3}\\
			&= {\color{OrangeRed}5+2}-15\\
			&= 7-15 \\
			&= -8
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'une somme.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $B$.}
		
		\begin{align*}
			B &= {\color{orange}(3+2)} \times 5\\
			&= 5 \times 5 \\
			&= 25
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'un produit.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $C$.}
		
		\begin{align*}
			C &= {\color{orange}(3+2)} + {\color{WildStrawberry}(2-5)} {\color{PineGreen}(3+1)}\\
			&= 5+ {\color{BrickRed}(-3) \times 4}\\
			&= 5+(-12) \\
			&= -7
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'une somme.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item \objectif{Calculons $D$.}
		
		\begin{align*}
			D &= {\color{orange}(2+5)} {\color{WildStrawberry}(1-3)} \\
			&= 7 \times (-2)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il s'agit d'un produit.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exerciceapplication}
	
	Calculez en ligne en détaillant.
	
	\begin{enumerate}
		\item $A=-2\times ( -4+2)-\left[ 3-2 \times (5-3) \right]$.
		\item $B=-3\times 2-4+3-7+8$.
		\item $C=[(-5+7)+6]-5$.
		\item $D=[(3-2)\times (4-1)] (5-7)$.
		\item $E= -3 \times (-2) \times (-1) \times 4$.
		\item $F= -4 \times (2-5) \times (3+1)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			A &= -2 \times (-2)-[3-2 \times 2]\\
			&= 4-[3-4]\\
			&= 4-[-1]\\
			&= 5
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= -6-4-3-7+8\\
			&= -12
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			C &= [ 2+6]-5\\
			&= 8-5\\
			&= 3
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= [1 \times 3] \times (-2)\\
			&= 3 \times (-2)\\
			&= -6
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			E &= 6 \times (-1) \times 4\\
			&= -6 \times 4 \\
			&= -24
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			F &= -4 \times (-3) \times 4\\
			&= 12 \times 4\\
			&= 48
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	Recopiez et complétez les phrases
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble $\{ 0;1;2; \dots \}$ est appelé l'ensemble \makebox[2cm]{\dotfill} et est noté \makebox[2cm]{\dotfill}
		\item L'ensemble $\{ \dots ; -2;-1;0;1;2; \dots \}$ est appelé l'ensemble \makebox[2cm]{\dotfill} et est noté \makebox[2cm]{\dotfill}
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{sujet}
		
		Sans calculatrice, évaluez les quantités suivantes en détaillant si besoin est.
		
	\end{sujet}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			
			\begin{enumerate}
				\item 
				
				\begin{sujet}
					
					$A=4\times (-7)$
					
				\end{sujet}
				
				\item 
				
				\begin{sujet}	
					
					$B=-3 \times (-4)$
					
				\end{sujet}
				
				\item 
				
				\begin{sujet}
					
					$C=2 \times [-3(5-7)]$
					
				\end{sujet}
				
			\end{enumerate}
		
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item 
				
				\begin{sujet}
					
					$D=-13+(-5)$
					
				\end{sujet}
				
				\item 
				
				\begin{sujet}
					
					$E=-12-7$
					
				\end{sujet}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}

\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
		
	Dites s'il s'agit d'une somme, ou d'un produit puis calculez en ligne en détaillant l'expression \[ F= -3 \times (2-1)-\left[ 2-2 \times (4-2) \right]. \]
		
\end{exerciceapplication}

\subsection{Construction géométrique des nombres. $\color{green}\lozenge$}

Depuis l'antiquité grecque, et jusque récemment, les mathématiciens étaient appelés des géomètres. Pour devenir ingénieur ou peintre il fallait être d'abord géomètre. Le frontispice de l'école de philosophie de Platon portait l'inscription: \og que nul, s'il n'est géomètre, n'entre ici \fg{}.

\medskip
Les grecs raisonnaient de façon géométrique: souvenez-vous de la démonstration géométrique du théorème de Pythagore.

Nous allons voir, dans diverses leçons, comment dessiner les nombres à la façon des grecs. Une première façon consiste à associer un nombre à une longueur.

\medskip
Rappelons d'abord une règle essentielle du géomètre il n'existe que deux instruments:

\begin{itemize}
	
	\item {\color{purple}la règle non graduée},
	
	\item {\color{purple}le compas}.
	
\end{itemize}

Commençons par revoir quelques techniques élémentaires de dessin en construisant divers polygones. Il s'agit d'un problème classique: quels sont les polygones que l'on peut dessiner uniquement avec la règle et le compas?

\begin{recherche}
	
	\emph{Les constructions suivantes sont à faire sur feuille blanche non quadrillée (du moins n'utilisez pas le quadrillage) en laissant apparents et en pointillés les traits de construction.}
	
	\medskip
	Nous allons construire différents triangles avec uniquement la règle non graduée et le compas. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Choisir une unité de longueur.
		
		Pour décrire les figures nous auront besoin d'indiquer les mesures des côtés. En bons géomètres nous ne pouvons nous contenter de l'arbitraire de la définition du mètre par les physiciens: \og la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant une durée d'un $\np{299 792 458}^{\mathrm{e}}$ de seconde\fg{}.
		
		Chacun sera libre de choisir son unité de mesure.
		
		\medskip
		Placez deux points distincts $O$ et $I$ sur votre feuille. La distance les séparant représentera une longueur de $1$ (donc ne les éloignez pas trop, en gros un centimètre).
		
		\item Triangles équilatéral et isocèle.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Dessinez un segment $[AB]$ de longueur $5$.
			
			\item Dessinez un triangle équilatéral $ABC$.
			
			\item Dessinez un triangle $ABD$ isocèle en $D$ avec $AD=4$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Un triangle scalène.
		
		\smallskip
		Dessinez un triangle $TUV$ avec $TU=4$, $UV=5$ et $VT=6$.
		
		\item Un triangle rectangle.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Dessinez deux points $E$ et $F$ distants de $5$.
			
			\item Dessinez le point $G$ milieu de $[EF]$.
			
			\item Dessinez un point $H$ de sorte que $EFH$ soit rectangle en $H$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Encore un triangle rectangle.
		
		\begin{enumerate}
			\item Dessinez deux points $K$ et $L$ distants de $6$.
			
			\item Dessinez un point $M$ de sorte que $KLM$ soit rectangle en $K$ et $KM=4$. 
			
			\emph{Vous pourrez introduire le point $L'$ symétrique de $L$ par rapport à $K$.}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
			
\end{recherche}

Construction maintenant d'un quadrilatère.

\begin{recherche}
	
	Après avoir choisir une unité de longueur en dessinant deux points distincts $O$ et $I$, dessinez un rectangle $NPQR$ avec $NP=3$ et $PQ=5$ à la règle non graduée et au compas.
	
\end{recherche}

\begin{recherche}
	
	Construisez un hexagone de côté de longueur $3$.
	
\end{recherche}

\begin{recherche}
	
	\begin{notabene}
		
		Construction du pentagone méthode de Ptolémée.
		
	\end{notabene}	
	
\end{recherche}

Nous venons de voir certains polygones constructibles. Plus généralement se pose la question des points qui sont constructibles: quels sont les points de ma feuille que je peux obtenir en faisant des constructions à la règle et au compas en se donnant deux points distincts de référence $O$ et $I$?

\begin{recherche}
	
	Soit $OIJ$ un triangle isocèle-rectangle en $O$ (vous choisirez de l'ordre de $1\ \mathrm{cm}$).
	
	\emph{Vos constructions doivent toujours être faites à la règle non-graduée et au compas.}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dessinez des points $O$, $I$ et $J$.
		
		\item Tracez les droites $(OI)$ et $(OJ)$.
		
		\item Placez des graduations de $1$ en $1$ sur $(OI)$ et $(OJ)$ en partant de $O$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous venons de mettre en évidence un repère orthonormé $(O,I,J)$. De façon général nous dirons que $(O,I,J)$ est un \emph{\color{purple}repère orthonormé} si et seulement si $OIJ$ est un triangle isocèle-rectangle en $O$.
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{4}
		
		\item Dessinez les points de coordonnées $(3;4)$, puis $(-2;4)$, puis $(-3;-3)$ et enfin $(4;-3)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{recherche}

Nous venons de voir que non seulement nous pouvons dessiner certaines figures géométriques classiques mais aussi tous les points à coordonnées entières dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.

\begin{correction}

\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Ce que sont $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ainsi que leurs noms et notations.
	\item Règles de priorités opératoires.
	\item Les additions et multiplications de nombres négatifs ou positifs.
	\item Le nom du résultat d'un calcul.
\end{enumerate}

\end{correction}

\newpage
~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
for i=1 #commentaire
\end{lstlisting}
%\end{minipage}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}