%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\href{http://unemainlavelautre.net/}{\textbf{Identifiant Wims:}\phantom{Identifiant Wims:}} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
%\exclure{details}
%\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{correction}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir 2ieme 10/12/2021.}

\begin{center}
	
	\emph{Le sujet est à rendre avec la copie.}
	
	\emph{Noté sur 20,25.}
	
	\emph{C'est normalement un sujet de deux heures. Faites-en un maximum.}
	
\end{center}


\subsection{Exercice. \hfill 7 points}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cet exercice les questions sont indépendantes les unes des autres et les réponses doivent être justifiées sauf indication contraire de l'énoncé. Aucune pénalité pour erreur}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les réunions et intersections suivantes dites laquelle est vraie. Vous justifierez votre choix par un seul schéma.
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $]-\infty;3] \cup ]7;9[=\emptyset$.
			
			\task $[6;8] \cap ]7;9]= ]7;8]$.
			
			\task $[14;20[ \cap [15;17[ = [14;20[$.
			
			\task $]-\infty ; 1 [ \cap [1; +\infty[ =\mathbb{R}$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,5$ pour le schéma
				
				\item $0,5$ pour la réponse.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{tikzpicture}
			\draw[>=latex, ->] (-3,0) -- (3,0);		\draw [red] (-2.5,0.25) -- (1,0.25);
			\draw [red] (-2.5,0.25) node{\huge $[$};
			\draw [red] (-2.5,2) node {$6$};
			\draw [red] (1,0.25) node{\huge $]$};
			\draw [red] (1,2) node {$8$};
			\draw [blue] (-1,-0.25) -- (2.5,-0.25);
			\draw [blue] (-1,-0.25) node{\huge $]$};
			\draw [blue] (-1,-2) node {$7$};
			\draw [blue] (2.5,-0.25) node{\huge $]$};
			\draw [blue] (2.5,-2) node {$9$};
			\draw (-3.5,0) node {$-\infty$};
			\draw (3.5,0) node {$+\infty$};
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse b.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sans aucune justification dites quelle fonction n'est ni paire ni impaire parmi celles proposées. Les fonctions sont toutes définies sur $\mathbb{R}$.
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $f:x \mapsto 2x^2-4$.
			
			\task $g: x \mapsto x^3$.
			
			\task $h: x \mapsto \sqrt{x^2}$.
			
			\task $\ell : x \mapsto x^3+1$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $1$ pour la réponse.
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		{\color{orange}Réponse obtenue grâce aux courbes représentatives sur la calculatrice.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse d.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résolvez l'équation $3x-\dfrac{1}{3}=-2x+\dfrac{2}{5}$ en détaillant soigneusement les étapes.
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ pour présentation avec passage à la ligne systématique.
				
				\item $0,25$ pour indiquer clairement la méthode d'opérer des deux côtés.
				
				\item $0,25$ pour la démarche de résolution sans aucune erreur (même mal justifiée).
				
				\item $0,25$ pour la bonne solution
				
				\item $0,25$ de bonus pour l'indication d'un raisonnement par équivalences.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		
		\begin{align*}
			3x- \frac{1}{3} &= -2x+ \frac{2}{5}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			3x- \frac{1}{3} {\color{cyan}+2x} &= -2x+ \frac{2}{5} {\color{cyan}+2x}\\
			5x-\frac{1}{3} &= \frac{2}{5}\\
			5x-\frac{1}{3} {\color{cyan}+\frac{1}{3}} &= \frac{2}{5} {\color{cyan}+\frac{1}{3}} \\
			5x &= \frac{11}{15}\\
			\frac{5x}{\color{cyan}5} &= \frac{\frac{11}{15}}{\color{cyan}5}\\
			x &= \frac{\frac{11}{6}}{\frac{5}{\color{cyan}1}}\\
			x &= \frac{11}{15} \times \frac{1}{5}\\
			x &= \frac{11}{75}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions est $\left\{ \frac{11}{75} \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un restaurant sert $300$ couverts par service, en proposant un menu à $16$ euros et un menu à $24$ euros. Pour l'inauguration de son restaurant, le gérant offre à chacun de ses clients soit un café, soit un apéritif.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $60\ \%$ des clients ont choisi un café, les autres un apéritif.
			
			\item La moitié des clients ont choisi un menu à $24$ euros avec un café.
			
			\item Parmi ceux qui choisissent le menu à $24$ euros, $75\ \%$ ont choisi un café.
			
		\end{enumerate}
		
		Complétez le tableau suivant en indiquant le nombre de clients.
		
		\begin{bareme} $2$ \end{bareme}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
				\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
				& Menus à $16\ \text{\euro}$ & Menus à $24\ \text{\euro}$ & Total
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un café &&&
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un apéritif &&&
				\\
				\hline
				Total &&&
				\\&&&
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $-0,25$ par erreur.
				
				\item $0,25$ bonus pour démonstration d'un calcul de pourcentage.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
				\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
				& Menus à $16\ \text{\euro}$ & Menus à $24\ \text{\euro}$ & Total
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un café & $30$ & $150$ & $180$
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un apéritif & $70$ & $50$ & $120$
				\\
				\hline
				Total & $100$ & $200$ & $300$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item ~
	
	\begin{sujet}
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw [>=latex, ->] (0,1) -- (4.678,-1) node [midway, above] {$\vec{u}$};
				\draw [>=latex, ->] (0,1) -- (-1,-3) node [midway, above left] {$\vec{w}$};
				\coordinate (H) at (2,-2);
				\draw (H) node {$\bullet$};
				\draw (H) node [above left] {$H$};
				%\draw [>=latex, ->, violet] (H)+(-4.678,2) -- (H) node [midway, above] {};
				\draw (2,-6) node {.};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
		
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dessinez le représentant de $\vec{u}$ ayant pour extrémité $H$.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $0,5$ pour le tracer correct.
					
					\item $0,5$ pour les traces de constructions correctes.
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\draw [>=latex, ->] (0,1) -- (4.678,-1) node [midway, above] {$\vec{u}$};
				\draw [>=latex, ->] (0,1) -- (-1,-3) node [midway, above left] {$\vec{w}$};
				\coordinate (H) at (2,-2);
				\draw (H) node {$\bullet$};
				\draw (H) node [above left] {$H$};
				\draw [>=latex, ->, violet] (H)+(-4.678,2) -- (H) node [midway, above] {};
				%\draw [>=latex, ->, red] (0,1) -- (3.678,-5) node [midway, above] {$\vec{u}+\vec{w}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dessinez un représentant de $\vec{u} + \vec{w}$.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $0,5$ tracer correcte.
					
					\item Traces de constructions correctes.
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\draw [>=latex, ->] (0,1) -- (4.678,-1) node [midway, above] {$\vec{u}$};
				\draw [>=latex, ->] (0,1) -- (-1,-3) node [midway, above left] {$\vec{w}$};
				\coordinate (H) at (2,-2);
				\draw (H) node {$\bullet$};
				\draw (H) node [above left] {$H$};
				%\draw [>=latex, ->, violet] (H)+(-4.678,2) -- (H) node [midway, above] {};
				\draw [>=latex, ->, red] (0,1) -- (3.678,-5) node [ below] {$\vec{u}+\vec{w}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice. \hfill 6,25 points}

\begin{sujet}
	
	Dans un repère orthonormé $\left( O, I, J\right)$ on considère les points $A(-5;1)$, $B(1;4)$, $D\left( -\frac{13}{2} ; 4 \right)$, $E$ et $F$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
		\coordinate (O) at (0,0);
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\draw (O) node [below left] {$O$};
		\coordinate (I) at (1,0);
		\draw (I) node {$\bullet$};
		\draw (I) node [below right] {$I$};
		\coordinate (J) at (0,1);
		\draw (J) node {$\bullet$};
		\draw (J) node [above left] {$J$};
		\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
		\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
		\coordinate (F) at (4,-2);
		\draw (F) node {$\bullet$};
		\draw (F) node [below left] {$F$};
		\coordinate (A) at (-5,1);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\coordinate (B) at (1,4);
		\draw (B) node {$\bullet$};
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		%\coordinate (C) at ({-1/2},7);
		%\draw (C) node {$\bullet$};
		%\draw (C) node [above left] {$C$};
		\coordinate (D) at ({-13/2},4);
		\draw (D) node {$\bullet$};
		\draw (D) node [above] {$D$};
		%\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\coordinate (E) at ({3},1);
		\draw (E) node {$\bullet$};
		\draw (E) node [below right] {$E$};
		%\coordinate (E1) at (9,4);
		%\draw (E1) node {$\bullet$};
		%\draw (E1) node [below right] {$E'$};
		%\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
		%\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lisez les coordonnées de $F$.
		
		\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			$F(4;-2)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Placez le point $C \left( -\frac{1}{2}; 7 \right)$ dans le repère ci-dessus.
		
		\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node [above left] {$J$};
			\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
			\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
			\coordinate (F) at (4,-2);
			\draw (F) node {$\bullet$};
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (A) at (-5,1);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,4);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({-1/2},7);
			\draw [red] (C) node {$\bullet$};
			\draw [red] (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at ({-13/2},4);
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (D) node [above] {$D$};
			%\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({3},1);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			%\coordinate (E1) at (9,4);
			%\draw (E1) node {$\bullet$};
			%\draw (E1) node [below right] {$E'$};
			%\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
			%\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Conjecturez la nature du quadrilatère $ABCD$.
		
		\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node [above left] {$J$};
			\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
			\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
			\coordinate (F) at (4,-2);
			\draw (F) node {$\bullet$};
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (A) at (-5,1);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,4);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({-1/2},7);
			\draw [red] (C) node {$\bullet$};
			\draw [red] (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at ({-13/2},4);
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (D) node [above] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({3},1);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			%\coordinate (E1) at (9,4);
			%\draw (E1) node {$\bullet$};
			%\draw (E1) node [below right] {$E'$};
			%\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
			%\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il semble que $ABCD$ soit un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\begin{bareme} $1,5$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ chercher coordonnées des milieux.
				
				\item $0,25$ une formule littérale correcte.
				
				\item $0,25$ une substitution par valeurs numérique sans erreur.
				
				\item $0,25$ valeur abscisse.
				
				\item $0,25$ valeur ordonnée.
				
				\item $0,25$ évoquer les diagonales qui se coupent en leur milieu.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\objectif{Démontrons que $ABCD$ est un parallélogramme.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Notons $M$ le milieu de $[AC]$.
			
			D'une part: $x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-5+\left( -\frac{1}{2}\right)}{2}= -\frac{11}{4}$ 
			
			et d'autre part: $y_M=\frac{y_A+y_c}{2}= \frac{1+7}{2}=4$
			
			donc: $M\left( -\frac{11}{4};4 \right)$.
			
			\item De même, en notant $N$ le milieu de $[BD]$, nous obtenons $N\left( -\frac{23}{4};\frac{5}{2} \right)$.
			
			\item Ainsi les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu. Autrement dit:
			
		\end{enumerate}
			
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $AB$.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $0,25$ repère.
					
					\item $0,25$ formule littérale
					
					\item $0,25$ substitution par les valeurs numériques.
					
					\item $0,25$ longueur.
					
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			\objectif{Calculons $AB$.}
			
			$(O,I,J)$ étant orthonormal:
			
			\begin{align*}
				AB &= \sqrt{\left( x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}\\
				&= \sqrt{(-5-1)^2+(1-4)^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AB= 3\sqrt{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On admet que $AD=\dfrac{3}{2}\sqrt{5}$ et $DB=\dfrac{15}{2}$.
			
			Démontrez que $ABD$ est rectangle en $A$.
			
			\begin{bareme} $0,75$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $0,5$ vérification de l'égalité.
					
					\item Utilisation à bon escient du théorème de Pythagore pour conclure.
					
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			\objectif{Démontrons que $ABD$ est rectangle en $A$.}
			
			D'une part: $AB^2+AD^2=\left( 3 \sqrt{5} \right)^2+ \left( \frac{3}{2} \sqrt{5} \right)^2= \frac{225}{4}$
			
			d'autre part: $\left( \frac{15}{2} \right)^2= \frac{225}{4}$
			
			donc: $AB^2+AD^2=BD^2$.
			
			Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que
			
			\begin{conclusion}
				
				$ABD$ est rectangle en $A$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que peut-on en déduire pour $ABCD$?
			
			\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le parallélogramme $ABCD$ est un parallélogramme dont un angle est droit donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$ABCD$ est un rectangle.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dessinez le représentant de $\overrightarrow{AB}$ d'origine $E$.
		
		\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item Pas de justification graphique attendue du fait de l'utilisation des carreaux.
			\end{itemize}
			
		\end{details}
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node [above left] {$J$};
			\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
			\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
			\coordinate (F) at (4,-2);
			\draw (F) node {$\bullet$};
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (A) at (-5,1);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,4);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			%\coordinate (C) at ({-1/2},7);
			%\draw (C) node {$\bullet$};
			%\draw (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at ({-13/2},4);
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (D) node [above] {$D$};
			%\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({3},1);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\coordinate (E1) at (9,4);
			%\draw (E1) node {$\bullet$};
			%\draw (E1) node [below right] {$E'$};
			%\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
			\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Placez, sur la figure, le point $E'$ image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
		
		\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node [above left] {$J$};
			\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
			\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
			\coordinate (F) at (4,-2);
			\draw (F) node {$\bullet$};
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (A) at (-5,1);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,4);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			%\coordinate (C) at ({-1/2},7);
			%\draw (C) node {$\bullet$};
			%\draw (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at ({-13/2},4);
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (D) node [above] {$D$};
			%\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({3},1);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\coordinate (E1) at (9,4);
			\draw (E1) node {$\bullet$};
			\draw (E1) node [below right] {$E'$};
			%\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
			\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $\overrightarrow{EE'}= \overrightarrow{DC}$.
		
		\begin{bareme} $0,75$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ pour la justification avec translation.
				
				\item $0,25$ pour la justification avec parallélogramme.
				
				\item $0,25 $ pour la transitivité.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node [above left] {$J$};
			\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
			\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
			\coordinate (F) at (4,-2);
			\draw (F) node {$\bullet$};
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (A) at (-5,1);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,4);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\draw [>=latex,->] (A) -- (B);
			\coordinate (C) at ({-1/2},7);
			\draw (C) node {$\bullet$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at ({-13/2},4);
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (D) node [above] {$D$};
			\draw [>=latex,->] (D) -- (C);
			%\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({3},1);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\coordinate (E1) at (9,4);
			\draw (E1) node {$\bullet$};
			\draw (E1) node [below right] {$E'$};
			%\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
			\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{DC}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $E'$ est l'image de $E$ par le translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ donc: $\overrightarrow{EE'}= \overrightarrow{AB}$.
			
			\item D'après la question B.2, $ABCD$ set  un parallélogramme donc: $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons par transitivité:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EE'}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduisez-en la nature de $EE'CD$.
		
		\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ pour un référence même vague à l'égalité précédente.
				
				\item $0,25$ pour la nature correcte.
			\end{itemize}
			
		\end{details}
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (-8,-3) grid (11,8);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node [below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node [below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node [above left] {$J$};
			\draw[ ->,very thick] (-8, 0) -- (11, 0);
			\draw[ ->,very thick] (0,-3) -- (0,8);
			\coordinate (F) at (4,-2);
			\draw (F) node {$\bullet$};
			\draw (F) node [below left] {$F$};
			\coordinate (A) at (-5,1);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\coordinate (B) at (1,4);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			%\draw [>=latex,->] (A) -- (B);
			\coordinate (C) at ({-1/2},7);
			\draw (C) node {$\bullet$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\coordinate (D) at ({-13/2},4);
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (D) node [above] {$D$};
			\draw [>=latex,->] (D) -- (C);
			%\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({3},1);
			\draw (E) node {$\bullet$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\coordinate (E1) at (9,4);
			\draw (E1) node {$\bullet$};
			\draw (E1) node [below right] {$E'$};
			\draw [red] (E) -- (E1) -- (C) -- (D) --cycle;
			\draw [>=latex,->] (E) -- (E1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		D'après la question précédente: $\overrightarrow{EE'} = \overrightarrow{DC}$, autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$EE'CD$ est un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice. \hfill 7 points}

\begin{sujet}
	
	Un joueur de volley-ball s'entraîne au service.
	
	On a représenté la situation dans le repère d'origine $O$ ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{20};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){$O$};
		%\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:20] plot(\x,{-0.05*\x*\x+0.6*\x+2});
		\coordinate(O) at (0,0);
		\coordinate(A) at (0,2);
		\coordinate(A2) at (0,-1);
		\coordinate(A3) at (-2,2);
		\coordinate(B) at (10,2.43);
		\coordinate(B1) at (10,0);
		\coordinate(B2) at (10,-1);
		\coordinate(C) at (1,0);
		\coordinate(C2) at (1,-1);
		\coordinate(C3) at (-2,0);
		\coordinate(E) at (19,0);
		\coordinate(E2) at (19,-1);
		\coordinate(H) at (12,2.43);
		\coordinate(H1) at (12,0);
		\draw[Sepia,>=latex,<->] (A2)--(C2)node[midway,below]{$d$};
		\draw[Sepia,>=latex,<->] (C2)--(B2)node[midway,below]{$D$};
		\draw[Sepia,>=latex,<->] (B2)--(E2)node[midway,below]{$D$};
		\draw[Sepia,>=latex,<->] (C3)--(A3)node[midway,left]{$h$};
		\draw[Sepia,>=latex,<->] (H)--(H1)node[midway,right]{$H$};
		\draw[Sepia,thin,dashed] (O)--(C3);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (A)--(A3);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (O)--(A2);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (C)--(C2);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (B1)--(B2);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (E)--(E2);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (H)--(H1);
		\draw[Sepia,thin,dashed] (B)--(H);
		\draw[blue] (B)--(B1);
		\draw (B)node[above]{\color{blue}$B$};
		\draw (A)node[above left]{\color{blue}$A$};
		\draw (C)node[above]{\color{blue}$C$};
		\draw (E)node[above]{\color{blue}$E$};
		\draw[OliveGreen,>=latex,->] (A)--({3*cos(30)},{2+3*sin(30)})node[midway,above]{\color{OliveGreen}$\overrightarrow{v_0}$};
		\draw[OliveGreen,dashed] (A)--({3*cos(30)},2);
		\draw[OliveGreen] ({3*cos(30)-1},2.25)node{$30^{\circ}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Le terrain a une longueur $CE=2\times D=18\ \mathrm{m}$. La hauteur $H$ du filet est égale à $2,43\ \mathrm{m}$. Le joueur, représenté par le segment $[OA]$, est situé à une distance $d=1\ \mathrm{m}$ de la ligne de fond (représentée par le point $C$). Le ballon part du point $A$ situé sur l'axe des ordonnées.
	
	On a modélisé la trajectoire du ballon après avoir mesuré la vitesse initiale du ballon et l'angle initial de sa trajectoire. La fonction $f$ qui donne la hauteur $y=f(x)$ du ballon en fonction de son abscisse $x$ est définie par: \[ f(x)=-0,05x^2+0,6x+2. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sans justification et en vous aidant de la calculatrice, résolvez graphiquement les équations suivantes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}
		Réglons la calculatrice pour obtenir l courbe représentative de la fonction $f$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Nous entrons l'expression algébrique de la fonction:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_01.png}
			\end{center}
			
			\item Il faut régler la question du réglage de l'affichage de la fenêtre. Pour les abscisses, en lisant l'énoncé nous voyons que le terrain fait un peu moins de $20$ mètres, donc $0\leqslant x \leqslant 20$.
			
			\item Pour les ordonnées, le ballon ne pouvant aller sous terre les valeurs négatives ne sont pas pertinentes.
			
			Pour la valeur maximale des ordonnées, le tableau de valeur 
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_02.png}
			\end{center}
			
			que ce sera aux alentours de $4$ mètres: $0\leqslant y \leqslant 4$.
			
			\item En tenant compte des points précédentes voici un paramétrage fenêtre raisonnable:
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_03.png}
			\end{center}
			
			\item Et voici la courbe correspondante.
			
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_04.png}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		}
		
	\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$f(x)=2,5$.
			
			\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}
				Nous recherchons donc les antécédents de $2,5$ par la fonction $f$. Autrement dit nous recherchons les abscisses des points d'ordonnée $2,5$ de la courbe représentative de $f$.
				
				Pour faciliter la lecture ajoutons le tracé de la fonction constante égale à $2,5$:
				
				
				\begin{center}
					\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_05.png}
				\end{center}
				
				et nous obtenons alors la courbe:
						
				\begin{center}
					\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_06.png}
				\end{center}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=2,5$ est  $\{ 1 ; 11 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Il était bien entendu possible d'utiliser le tableau de valeur, le déplacement du curseur sur le graphique (fonction trace), voire d'utiliser la fonction intersection.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$f(x)=6$.
			
			\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La courbe représentative n'atteint pas une ordonnée de $6$, comme nous l'avons remarqué lors du paramétrage de la fenêtre.}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=6$ est $\emptyset$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel ensemble de définition est-il judicieux de choisir pour la fonction $f$?
		
		\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le contexte de l'exercice (lancer de la balle vers la droite) et le choix de l'origine à la verticale du point de départ nous incitent à choisir:}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{D}_f= [0;+\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Complétez sans aucune justification le tableau de valeurs suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{0.8cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|}
			\hline
			$x$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ 
			\\
			\hline
			&&&&&&&&&&
			\\
			$f(x)$ &&&&&&&&&&
			\\
			&&&&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{bareme} $1$	\end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $-0,25$ par erreur.
				
				\item $-0,25$ si valeur approchées.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		{\color{orange}Là encore le tableau de valeur de la calculatrice est fort utile:
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_devoir_surveille_2021_12_10_2_heures_07.png}
		\end{center}
		}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
				\\
				\hline
				$f(x)$ & $2$ & $2,55$ & $3$ & $3,35$ & $3,6$ & $3,75$ & $3,8$ & $3,75$ & $3,6$ & $3,35$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour compléter le tableau de valeur précédent on propose le programme suivant, composé de la définition de la fonction $f$ et du programme proprement dit.
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{5cm}
			\lstset{emph={f}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def f(x):
    y= .....
    return(y)
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
		
		\begin{minipage}{7cm}
			\lstset{emph={f}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
for x in range(.....,.....):
    print(f(x))
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
		
		Sans justification complétez-les pour obtenir les valeurs du tableau de valeurs.
		
		\begin{bareme} $0,75$ \end{bareme}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ formule fonction.
				
				\item $0,25$ premier argument du range.
				
				\item $0,25$ second argument du range.
				 
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{7cm}
				\lstset{emph={f}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]x,y}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def f(x):
    y=-0.05x**2+0.6*x+2
    return(y)
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
			
			\begin{minipage}{7cm}
				\lstset{emph={f}, emphstyle=\color{red},
					emph={[2]x,y}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
				\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
for x in range(0,9+1):
    print(f(x))
				\end{lstlisting}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En vous aidant de la question précédente, tracez la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;12]$ dans le repère ci-dessous.
		
		\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
		
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{12.5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
			%\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{-0.05*\x*\x+0.6*\x+2});
			%\foreach \x in {0,1,...,12} \draw (\x,{-0.05*\x*\x+0.6*\x+2}) node {$\times$};
			\end{tikzpicture}
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $-0,25$ si pas de points placés.
				
				\item $-0,25$ si tracé trop moche.
				
				\item $-0,25$ si non respect de l'intervalle imposé.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		{\color{orange}Le tableau de valeurs permet de placer quelques points, puis, en s'inspirant du tracé de la courbe proposé par la calculatrice nous relions les points.}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=1]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{12.5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1,2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{-0.05*\x*\x+0.6*\x+2});
		\foreach \x in {0,1,...,12} \draw (\x,{-0.05*\x*\x+0.6*\x+2}) node {$\times$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez la hauteur $h=OA$ du ballon au départ de sa trajectoire.
		
		\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ pour faire le lien avec $f(0)$.
				
				\item $0,25$ pour la réponse.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		\objectif{Calculons $f(0)$.}
		
		\begin{align*}
			f(0) &= -0,05 \times 0^2+0,6 \times 0+2\\
			&= 2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$OA=2\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Prouver que le ballon passe au dessus du filet.
		
		\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{details}
			
			\begin{itemize}
				\item $0,25$ lien avec $f(10)$.
				
				\item $0,25$ réponse.
				
			\end{itemize}
			
		\end{details}
		
		Le filet est situé à $1\ \mathrm{m} + 9\ \mathrm{m}= 10\ \mathrm{m}$ du lanceur et le filet à une hauteur de $2,43\ \mathrm{m}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $f(10)>2,43$.}
		
		\begin{align*}
			f(10) &= -0,05\times 10^2 +0,6 \times 10 +2\\
			&= 3
		\end{align*}
		
		Nous avons bien $f(10)>2,43$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			le ballon passe au-dessus du filet.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On veut retrouver pour quelles distances parcourues le ballon est à une hauteur de $3\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que résoudre l'équation $f(x)=3$ équivaut à résoudre l'équation $-0,05x^2+0,6x-1=0$.
			
			\begin{bareme} $0,25$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				f(x) &= 3
				\intertext{équivaut successivement à:}
				-0,05x^2+0,6x+2 &= 3\\
				-0,05x^2+0,6x+2 {\color{cyan}-3} &= 3 {\color{cyan}-3}\\
				-0,05x^2+0,6x-1 &= 0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les équations $f(x)=3$ et $-0,05x^2+0,6x-1=0$ sont équivalentes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a: 
			
			$-0,05x^2+0,6x-1=-0,05(x-2)(x-10)$.
			
			\begin{bareme} $0,75$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $0,25$ partir du coté factorisé.
					
					\item $0,25$ double distributivité.
					
					\item $0,25$ distributivité.
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			\objectif{Démontrons que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-0,05x^2+0,6x-1=-0,05(x-2)(x-10)$.}
			
			{\color{orange}Il s'agit de démontrer l'égalité de deux expressions algébriques. Le plus simple est de développer l'une pour obtenir l'autre.}
			
			\medskip
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				-0,05(x-2)(x-10) &= -0,05 \left( x \times x +x \times (-10) + (-2) \times x + (-2) \times (-10) \right)\\
				&= -0,05 \left( x^2-10x-2x+20 \right)\\
				&= -0,05 \left( x^2-12x+20 \right)\\
				&= -0,05 \times x^2 +(-0,05) \times (-12)x + (-0,05) \times 20\\
				&= -0,05x^2 +0,6x-1
			\end{align*}
			
			Nous avons démontré que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ -0,05(x-2)(x-10)=-0,05x^2+0,6x-1$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez l'équation $-0,05x^2+0,6x-1=0$. Concluez.
			
			\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{details}
				
				\begin{itemize}
					\item $0,25$ partir de l'équation factorisée.
					
					\item $0,25$ résoudre équation produit.
					
					\item $0,25$ réponses.
					
					\item $0,25$ conclusion de la question 8.
					
				\end{itemize}
				
			\end{details}
			
			
			\objectif{Résolvons l'équation proposée.}
			
			\begin{align*}
				-0,05x^2+0,6x-1 &= 0\\
				\intertext{équivaut succesivement à:}
				-0,05(x-2)(x-10) &= 0\\
				x-2=0 \quad &\text{ou} \quad x-10=0\\
				x=2 \quad &\text{ou} \quad x=10\\
				x=2 \quad &\text{ou} \quad x=10
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solution d l'équation est $\{ 2;10\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Nous pouvons conclure pur la question 8:
			
			\begin{conclusion}
				
				La balle atteindra une hauteur de $3\ \mathrm{m}$ lorsqu'elle aura parcourue une distance au sol de $2\ \mathrm{m}$ puis de $10\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	~
	
\end{sujet}
	
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}