%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.} \addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}\exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Populations.}


\subsubsection{Fréquence d'une sous-population par rapport à une population.}

\begin{notabene}
	
	À l'oral pour faciliter l'apprentissage confondre effectif et cardinal. Notamment "effectif sur effectif total".
	
	
	Les populations sous populations, cardinal(notation à réfléchir car valeur absolue pose problème pour les élèves peut être croisillon), pas de résultat spécifique pour retrouver la population de départ et mais des résolutions d'équations linéaires.
	
	Introduction naïve de la notation d'inclusion avec l'idée de population et de sous-population. L'introduction formelle est gardée pour la leçon sur les ensembles de nombres.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	\color{red} Séparer les exercices de proportionnalité entre grandeur de dimensions différentes et exercices sur le populations.
\end{notabene}

\begin{lecon}
	Nous allons préciser les proportions intervenant dans le domaine des statistiques.
	
	En statistique une \emph{\color{purple}population} est un ensemble de trucs (des hommes, des animaux, des objets, ...) tous de même nature et que nous souhaitons étudier. Les trucs étudiés sont appelés des individus.
	
	Le plus souvent il s'agira de collecter des données sur un \emph{\color{purple}caractère} (un aspect des individus: taille, poids, couleur des chaussures, ...) des individus de la population. L'ensemble des données constituant alors une \emph{\color{purple}série statistique}.
	
	Si dans une première population de $12$ individus il y a $10$ filles et dans une seconde population de $24$ individus il y en a $12$, dans quelle population y a-t-il le plus de filles? La question est trop imprécise et deux réponses sont possibles:
	\begin{itemize}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item il y a plus de filles dans la seconde population que dans la seconde,		
		\item il y a plus de filles dans la première population par rapport au nombre d'élèves de la classe.
	\end{itemize}
	Dans le second cas nous comparons des fréquences.	
\end{lecon}


\begin{definition}	
	Soient $E$ une population d'individus et $A$ une sous-population de la population $E$.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({0.5+1.75*cos(\x)},{1*sin(\x)})node[fill=white]{$A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({4*cos(\x)},{3*sin(\x)})node[fill=white]{$E$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Nous appellerons \emph{\color{purple}fréquence de la sous-population $A$ par rapport à la population $E$} (ou \emph{\color{purple}fréquence conditionnelle} de $A$ sachant $E$) le nombre $P_E(A):=\frac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(E)}$.	
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Lors de tests sur un échantillon de $1240$ personnes, on observe que $356$ sont séro-positives. Donc la fréquence, en pourcentage, de la population qui peut être estimée séro-positive est de $\frac{356}{1240} \times 100\approx 28,71$ (en arrondissant au centième).		
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item On retrouve la formulation habituelle: $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.
		\item Nous constatons la même formule que pour les probabilités lors de la situation d'équiprobabilité.		
		\item Il est bien sur possible d'exprimer cette proportion en pourcentage.  Attention au pourcentage d'augmentation ou de diminution qui n'a rien à voir avec une fréquence. Nous rencontrerons une autre formulation: la proportion d'une sous-population dans une population.	
		\item La fréquence d'une sous-population dans une population est un nombre compris entre $0$ et $1$. Le pourcentage d'une sous-population dans une population est un nombre compris entre $0$ et $100$.
		\item En statistique $E$ est appelée la \emph{\color{purple}population de référence}.
		\item En mathématiques pures plutôt que de parler de population nous parlerons d'\emph{\color{purple}ensemble fini}. Le terme \emph{\color{purple}cardinal} est préféré à effectif.
		\item La notation mathématique pour indiquer que $A$ est une sous-population de $E$ est: $\color{purple}A\subset E$. Dans ce cas on dit que $A$ est \emph{\color{purple}inclus} dans $E$.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}%Page 29 du livre intervalle 2019.
	Dans une classe de première de 35 élèves, 9 élèves font du ski. Calculez le pourcentage d'élèves de la classe qui font du ski arrondi à $10^{-2}$ près.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Notons $E$ l'ensemble des élèves de la classe et $A$ l'ensemble de ceux qui font du ski.
	
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Par définition la proportion est de $ P_E(A) = \frac{\#A}{\#E}$. Or $\#A=9$ et $\#E=35$ donc:	
	\begin{align*}
		P_E(A) &= \frac{9}{35}\\
		&\approx 0,2571
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}		
		$25,71\ \%$ des élèves font du ski.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Une salle de spectacle contient $\np{9000}$ places assises et $\np{21000}$ places debout.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez le pourcentage de places assises.		
		\item Déterminez le pourcentage de places debout.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Calculons la proportion, $P_E(A)$, de places assises.}
		
		Notons $A$ l'ensemble des places assises et $E$ l'ensemble de toutes les places.
		
		Nous avons $\#A=9000$ (le nombre de places assises) et $\#E=9000+21000=30000$ (le nombre total, assis ou debout, de places).
		
		Donc le pourcentage de places assises est:
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
			&= \frac{9000}{30000}\\
			&= 0,3
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$30\ \%$ des places sont des places assises.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Calculons la proportion, $p_E(B)$, de places debout.}
		
		Notons $B$ l'ensemble des places debout. 
		
		Nous avons $\#B=21000$.
		
		Le pourcentage de places debout est:
		\begin{align*}
			P_E(B) &= \frac{\#B}{\#E}\\
			&= \frac{21000}{30000}\\
			&= 0,7
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$70\ \%$ des places sont des places debout.			
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans un petit port, les cinq-sixièmes des 720 habitants vivent de la pêche. Combien d'habitants vivent de la pêche?
		\item Dans un village voisin, 697 habitants vivent de l'agriculture, ce qui représente $82\%$ de la population. Combien y a-t-il d'habitants dans ce village?
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Il s'agit d'appliquer une proportion.}
				
		\objectif{Calculons le nombre d'habitants $n$ qui vivent de la pêche.}		
		\begin{align*}
			n &= \frac{5}{6} \times 720 
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$n=600$.			
		\end{conclusion}		
		\item Notons $A$ l'ensemble des habitants vivant de l'agriculture et $E$ celui des habitant du village.
		
		\objectif{Calculons $\#E$.}		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			P_E(A) {\color{orange}\times \#E} &= \frac{\#A}{\#E} {\color{orange}\times \#E}\\
			P_E(A) \times  \#E &= \#A \\
			\frac{P_E(A)\cdot \#E}{\color{orange}P_E(A)} &= \frac{\#A}{\color{orange}P_E(A)},\ \text{car } P_E(A)>0\\
			\#E &= \frac{\#A}{P_E(A)}\\
			&= \frac{697}{82}\\
			&\approx \np{163085}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			Il y a $\np{163085}$ candidats à l'examen du bac.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Un marchand a des crayons bleus, des crayons rouges et crayons verts. Les crayons bleus représentent $53\ \%$ de la totalité des crayons. Les crayons rouges représentent les  $\dfrac{3}{10}$ de la totalité des crayons.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les crayons verts représentent un pourcentage de la totalité des crayons. Quel est ce pourcentage?		
		\item En tout le marchand a $300$ crayons. Combien a-t-il de crayons bleus?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item La proportion des crayons bleus est $\frac{53}{100}=0,53$ et la proportion des crayons rouges  est $\frac{3}{10}=0,3$ donc la proportion de crayons verts est		
		\begin{align*}
			P_v &= 1-0,53-0,3\\
			&= 0,17
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$17\ \%$ des crayons sont verts.			
		\end{conclusion}		
		\item Le nombre de crayons bleu est		
		\begin{align*}
			n_b &= \frac{53}{100} \times 300
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$n_b=159$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Une année le taux de réussite au baccalauréat technologique est de $79,7\ \%$, ce qui représente $\np{129979}$ candidats reçus.
		
		Calculez le nombre de candidats à cet examen.		
		\item Dans un lycée le taux de réussite est de $95\ \%$, et il y a eu $12$ refusés.
		
		Calculez le nombre de candidats dans ce lycée.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Notons: $A$ l'ensemble des candidats reçus et $E$ celui de tous le candidats.
		
		{\color{orange}Nous utiliserons parfois dans la suite la notation moderne du cardinal qui est calquée sur de la valeur absolue: $\#A=A|$.}
		
		\objectif{Calculons $|E|$.}		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			0,797 &= \frac{129979}{|E|}\\
			0,797 |E| &= 129979\\
			|E| &= \frac{129979}{0,797}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$|E|\approx 163085$.			
		\end{conclusion}		
		\item Notons: $A$ l'ensemble des lycéens recalés et $E$ celui des candidats à l'examen.
		
		\objectif{Calculons $\#E$.}		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E} \\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			5 &= \frac{12}{\#E}, \quad \text{car } 100-95=5\\
			5 \times \#E &= 12\\
			\#E &= \frac{12}{5}\\
			\#E &= 240
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			Il y a $240$ candidats dans ce lycée.
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Ensembles, sous-ensembles, données croisées.}

\begin{lecon}
	Quelques rappels.
\end{lecon}

\begin{definition}	
	Nous dirons que $A$ est un \emph{\color{purple}sous-ensemble} de $E$, ou une \emph{\color{purple}partie} de $E$ si tous les éléments qui appartiennent à $A$ appartiennent aussi à $E$. Dans ce cas nous noterons: $\color{purple}A \subset E$.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A\subset B$ se lit \og {\color{purple}$A$ est inclus dans $B$}\fg{}.		
		\item La représentation typique illustrant deux sous-ensembles $A$ et $B$ de l'ensemble $E$ consiste au diagramme de Venn suivant.	
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
			%Ellipse E
			\def\xE{0};
			\def\yE{0};
			\def\rEa{4};
			\def\rEb{2.5};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
			\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
			\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
			%Ellipse A
			\def\xA{-1};
			\def\yA{0};
			\def\rAa{2};
			\def\rAb{1.5};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
			\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
			\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
			%Ellipse B
			\def\xB{1};
			\def\yB{0};
			\def\rBa{2};
			\def\rBb{1.5};
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
			\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
			\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Cette schématisation permet de comprendre les diverses situation que nous rencontrerons.		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Un sondage dans un lycée donne (et nous rencontrons ici notre premier \emph{\color{purple}tableau de données croisées}):
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		L'ensemble des élèves fumeurs est inclus dans l'ensemble des lycéens. L'ensemble des élèves fumeurs contient $160$ éléments.
				
		L'ensemble des élèves non fumeurs et qui ne pratiquent pas de sport est inclus dans l'ensemble des élèves non fumeurs. Le cardinal de l'ensemble des élèves non fumeurs et qui ne pratiquent pas de sport est $210$.		
		\item L'ensemble des Réunionnais est inclus dans l'ensemble des Français.		
		\item Plus généralement en reprenant la terminologie des statistiques: une sous-population est incluse dans une population.		
		\item $\{ 3;a \} \subset \{ 3;b;4;a \}$ mais $\{ 3;a \} \not\subset \{ 3;b;4 \}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{definition}	
	L'ensemble des éléments communs à $A$ et $B$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ \underline{et} $B$, est appelé l'\emph{\color{purple}intersection de} $A$ et $B$ et est noté $\color{purple}A \cap B$.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
		%Hachures
		\def\angle{60};
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=black] plot [domain={-\angle}:{\angle}] ({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA}) -- plot [domain={180-\angle}:{180+\angle}] ({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB}) -- cycle;
		\draw (0,0) node[fill=white] {\footnotesize $A \cap B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A\cap B$ se lit \og {\color{purple}$A$ inter $B$}\fg{}.		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Reprenons l'exemple ci-dessus:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		L'intersection de l'ensemble des fumeurs et de l'ensemble des non sportifs est un ensemble qui contient $120$ éléments.		
		\item L'intersection entre l'ensemble des élèves de premières et l'ensemble des élèves du lycée étudiant l'allemand est l'ensemble formé des élèves de première qui étudient l'allemand.		
		\item L'intersection entre l'ensemble des nombres pairs et celui des nombres impairs ne contient aucun élément. Nous dirons qu'il s'agit de \emph{\color{purple}l'ensemble vide} et nous le noterons $\emptyset$.		
		\item L'intersection ente l'ensemble des nombres positifs et négatifs est un ensemble qui ne contient que $0$: $\{ 0\}$.		
		\item $\{ 1;2;a;b \} \cap \{ 2;3;b;z \}= \{ 2; b\}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{definition}	
	L'ensemble de tous les éléments qu'ils soient pris dans $A$ \underline{ou} dans $B$ est appelé la \emph{\color{purple}réunion de} $A$ et $B$ et est notée $\color{purple}A \cup B$.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
		%Hachures
		\def\angle{60};
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=black] plot [domain={0}:{360}] ({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA}) -- plot [domain={0}:{360}] ({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB}) -- cycle;
		\draw (0,0) node[fill=white] {\footnotesize $A \cup B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item $A\cup B$ se lit \og {\color{purple}$A$ union $B$}\fg{}.	
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Reprenons l'exemple ci-dessus:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		La réunion de l'ensemble des élèves sportifs ou non fumeur contient: $40+430+210=680$ élèves.		
		\item La réunion des élèves qui étudient l'anglais, l'allemand, l'espagnol ou le chinois est l'ensemble de tous les élèves du lycée.		
		\item La réunion de  l'ensemble des nombres pairs et celui des nombres impairs contient tous les nombres entiers.		
		\item $\{ 1;2;a;b \} \cup \{ 2;3;b;z \}= \{ 1;2;a; b; 3; z \}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{definition}		
	\emph{\color{purple}Le complémentaire de} $A$ dans $E$ est formé de tous les éléments de $E$ qui ne sont pas dans  $A$. On le note $\color{purple}\overline{A}$ ou encore $\color{purple} E\setminus A$.	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Hachures
		\fill[pattern=north west lines, pattern color=black] plot [domain={0}:{360}] ({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		%Ellipse A blanche
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		%\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=white][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse A colorée
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw ({2*\xB},0) node[fill=white] {\footnotesize $\overline{A}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{definition}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item $\overline{A}$ se lit \og {\color{purple}le complémentaire de $A$} \fg{}.		
		\item $E \setminus A$ se lit \og {\color{purple}le complémentaire de $A$ dans $E$}\fg{} ou encore \og {\color{purple}$E$ privé de $A$} \fg{}.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Reprenons l'exemple ci-dessus:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}
			& Pratiquent un sport & Ne pratiquent pas de sport & Total 
			\\
			\hline
			Fumeurs & $40$ & $120$ & $160$
			\\
			\hline
			Non fumeurs & $430$ & $210$ & $640$
			\\
			\hline
			Total & $470$ & $330$ & $800$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		Le complémentaire de l'ensemble des élèves fumeurs est l'ensemble des élèves non fumeurs.
		
		Le complémentaire de l'ensemble des élèves fumeurs et sportifs est la réunion de l'ensemble des élèves non sportifs  et non fumeurs. Il a donc pour cardinal: $430+210+120=760$.		
		\item Le complémentaire de l'ensemble des nombres pair (dans l'ensemble des nombres entiers) est l'ensemble des nombres impairs.		
		\item Le complémentaire de l'ensemble des filles de la classe est l'ensemble des garçons de la classe.		
		\item Le complémentaire de $\{ 1;2;a;b \}$ dans $\{ 1;2;3;a;b;c \}$ est $\{ 3;c \}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Le tableau suivant donne le mode de transport des $\np{1292}$ salariés d'une entreprise pour se rendre à leur travail. On note:	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A$ l'ensemble des employés qui utilisent les transports en commun.		
		\item $B$ l'ensemble des employés qui viennent à pied.
		\item $C$ l'ensemble des employés qui utilisent leur voiture.
		\item $H$ l'ensemble des hommes.
	\end{enumerate}	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}
			& $H$ & $\overline{H}$
			\\
			\hline
			$A$ & $210$ & $380$
			\\
			\hline
			$B$ & $52$ & $80$
			\\
			\hline
			$C$ & $450$ & $120$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
		\item Recopiez ce tableau en indiquant le pourcentage d'employés plutôt que le nombre d'employés.
		\item Expliquez ce qu'est l'ensemble $\overline{H}$.		
		\item Calculez la proportion d'hommes dans l'entreprise.
		\item Expliquez ce qu'est $A \cap H$ puis calculez le pourcentage d'employés dans cet ensemble.
		\item Expliquez ce qu'est $C \cap \overline{H}$ puis calculez le pourcentage d'employés dans cet ensemble.
		\item Expliquez ce qu'est $\overline{C}$ puis calculez le pourcentage d'employés dans cet ensemble.
	\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item {\color{orange}En arrondissant au centième:}		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}
				& $H$ & $\overline{H}$
				\\
				\hline
				$A$ & $16,25$ & $29,41$
				\\
				\hline
				$B$ & $4,02$ & $6,19$
				\\
				\hline
				$C$ & $34,83$ & $9,29$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item $\overline{H}$ est l'ensemble des femmes {\color{orange}(ceux qui ne sont pas hommes)}.		
		\item La proportion d'hommes dans l'entreprise est de:		
		\begin{align*}
			P(H) &= \frac{210+52+450}{1292}
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$P(H) \approx 0,5511$.			
		\end{conclusion}
		
		{\color{orange}Nous sommes dans un cas particulier: la population a été séparée en sous-population disjointe (sans individus en commun) par le tableau. Dans ce cas on peut additionner les proportions. $P(H)\approx 16,25+4,02+34,83$.}
		
		\item $A \cap H$ est l'ensemble {\color{orange}des personnes qui utilisent les transports en commun \underline{et} qui sont des hommes, autrement dit c'est} l'ensemble des hommes qui prennent des transports en commun.		 
		\begin{align*}
			P(A \cap H) &= \frac{210}{1292}\\
			&\approx 0,1625
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$16,25\ \%$ des employés sont des hommes qui prennent les transports en commun.			
		\end{conclusion}
		
		{\color{orange}On retrouve bien la première case du tableau.}
		
		\item $C \cap \overline{H}$ est l'ensemble des employés qui utilisent leur voiture et qui ne sont pas des hommes. Autrement dit: ce sont les femmes qui ne utilisent leur voiture.		
		\begin{align*}
			P(C \cap \overline{H}) &= \frac{120}{1292}\\
			&\approx 0,0929
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$9,29\ \%$ des employés sont des femmes qui prennent leur voiture.			
		\end{conclusion}		
		\item $\overline{C}$ est l'ensemble des employés qui n'utilisent pas leur voiture.		
		\begin{align*}
			P(\overline{C}) &= \frac{210+52+380+80}{1292}\\
			&\approx 0,5588
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}	
			$55,88\ \%$ des employés n'utilisent pas leur voiture.			
		\end{conclusion}
		
		{\color{orange}Là encore nous aurions pu additionner les pourcentages: $16,25+4,02+29,41+6,19$.}
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	Proposition la proportion d'un événement et de son complémentaire égale $1$.
	
	Proposition proporttion de deux événements disjoints.
	
	Proposition proportion d'une réunion.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}
	Soient $E$ un ensemble,	$A$ et $B$ deux sous-ensembles de $E$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}			
		\item $P_E \left( \overline{A} \right) = 1-P_E(A)$.		
		\item Si $A$ et $B$ sont quelconques, alors $P_E(A\cup B) + P_E(A\cap B) = P_E(A)+ P_E(B)$.
		\item Si $A$ et $B$ sont \emph{\color{purple}disjoints} alors $P_E(A\cup B)= P_E(A) + P_E(B)$.
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Remarquons que le (iii) se déduit du (ii).
	
	Pour justifier le (i) et le (ii) nous raisonnerons sur le diagramme de Venn.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		%Ellipse E
		\def\xE{0};
		\def\yE{0};
		\def\rEa{4};
		\def\rEb{2.5};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\fill [color=blue, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rEa*cos(\x)+\xE},{\rEb*sin(\x)+\yE});
		\draw [blue] ({\xE-0.8*\rEa},{\yE-0.8*\rEb}) node {$E$};
		%Ellipse A
		\def\xA{-1};
		\def\yA{0};
		\def\rAa{2};
		\def\rAb{1.5};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\fill [color=red, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rAa*cos(\x)+\xA},{\rAb*sin(\x)+\yA});
		\draw [red] ({\xA-0.8*\rAa},{\yA+\rAb}) node {$A$};
		%Ellipse B
		\def\xB{1};
		\def\yB{0};
		\def\rBa{2};
		\def\rBb{1.5};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\fill [color=Green, opacity=0.1][samples=100,domain=0:360] plot({\rBa*cos(\x)+\xB},{\rBb*sin(\x)+\yB});
		\draw [Green] ({\xB+0.8*\rBa},{\yB+\rBb}) node {$B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{preuve}

\begin{notabene}
	
	Faire un exemple et un exercice avec un tableau double entrée mais cette fois-ci des pourcentage et on autorise ou pas les additions de proportions d'après la proposition précédente.
	
	
\end{notabene}

\begin{exercice}
	Un institut de sondage a interrogé $800$ personnes des la manière suivante:	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item $25\ \%$ des personnes interrogées habitent en zone rurale, les autres en zone urbaine;		
		\item $60\ \%$ des personnes interrogées ont été consultées par téléphone, les autres personnes ayant été interrogées en \og face à face\fg{} par un enquêteur;		
		\item $55\ \%$ des personnes habitant en zone urbaine ont été consultées par téléphone.		
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Reproduisez et complétez le tableau d'effectifs suivant:				
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Habitant en zone rurale & Habitant en zone urbaine & Total
				\\
				\hline
				Personnes interrogées par téléphone & & & 
				\\
				\hline
				Personnes interrogées en \og face à face \fg{} & &&
				\\
				\hline
				Total & $200$ & & $800$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		
			\item Calculez la proportion de personnes habitant en zone urbaine parmi celles qui ont été consultées par téléphone: donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal, puis sous la forme d'un pourcentage.			
			\item Calculez la proportion de personnes habitant en zone urbaine parmi celles interrogées en \og face à face \fg{}: donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal arrondi à $10^{-4}$ près, puis sous la forme d'un pourcentage.			
			\item L'ordre des proportions (ou fréquences) obtenues en (a) et en (b) est-il le même que celui des effectifs des sous-populations correspondantes?			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Habitant en zone rurale & Habitant en zone urbaine & Total
				\\
				\hline
				Personnes interrogées par téléphone & $150$ & $330$ & $480$
				\\
				\hline
				Personnes interrogées en \og face à face \fg{} & $50$ & $270$ & $320$
				\\
				\hline
				Total & $200$ & $600$ & $800$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
			\item $\frac{330}{480}=0,6875$.			
			\item $\frac{270}{320}=0,84375$.			
			\item Non.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Un restaurant sert $600$ couverts par service, en proposant un menu à $16$ euros et un menu à $24$ euros. Pour l'inauguration de son restaurant, le gérant offre à chacun de ses clients soit un café, soit un apéritif.
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item $60\ \%$ des clients ont choisi un café, les autres un apéritif.		
		\item La moitié des clients ont choisi un menu à $24$ euros.		
		\item Parmi ceux qui choisissent le menu à $24$ euros, $75\ \%$ ont choisi un café.		
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Complétez après l'avoir reproduit le tableau suivant:		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} 
			\multicolumn{1}{c|}{}& Menu à $16\ \text{\euro}$ & Menu à $24\ \text{\euro}$ & Total
			\\
			\hline
			Clients ayant choisi un café & & & $360$
			\\
			\hline
			Clients ayant choisi un apéritif &  & & 
			\\
			\hline
			Total & & & $600$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item On note $A$ la sous-population des clients ayant choisi un menu à $16$ euros et $B$ la sous-population des clients ayant choisi un apéritif.		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
			\item Définissez par une phrase les sous-populations $A \cap B$ et $A\cup B$.
		\end{enumerate}		
		\emph{Dans ce qui suit les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
			\setcounter{enumii}{1}
			\item Calculez les proportions (ou fréquences) respectives, notées $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ et $P(A \cup B)$, des sous-populations $A$, $B$, $A \cap B$ et $A \cup B$ dans la population des $600$ couverts.			
			\item Calculez $P(A)+P(B)-P(A \cap B)$. Que remarquez-vous?			
			\item On note $C$ la sous-population des clients ayant choisi un café. On note $P(C)$ la proportion de la sous-population $C$ dans la population des $600$ couverts. Les deux sous-populations $A$ et $B$ sont-elles disjointes? Même question pour les deux sous-populations $B$ et $C$. Calculez $P(B)+ P(C)$.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Menu à $16\ \text{\euro}$ & Menu à $24\ \text{\euro}$ & Total
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un café & $135$ & $225$ & $360$
				\\
				\hline
				Clients ayant choisi un apéritif & $165$ & $75$ & $240$
				\\
				\hline
				Total & $300$ & $300$ & $600$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
			\item $A \cap B$: client ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ et un apéritif.
			
			$A \cup B$: client ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ ou un apéritif.			
			\item 			
			\begin{align*}
				P(A) &= \frac{300}{600}\\
				&= 0,5\\
				P(B) &= \frac{240}{600}\\
				&= 0,4\\
				P(A \cap B) &= \frac{135}{600}\\
				&= 0,225\\
				P(A \cup B) &= \frac{165+135+225}{600}\\
				&= 0,875
			\end{align*}			
			\item $P(A)+P(B)-P(A \cap B)= P(A\cup B)$.			
			\item $A$ et $B$ ne sont pas disjointes car il y a des éléments dans l'intersection: les clients qui prennent un café et menu à $16\ \text{\euro}$.
			
			$B$ et $C$ sont disjointes puisque les clients sont tenus de choisir soit un café soit un apéritif.
			
			$P(B)+P(C)=P(B \cup C)$.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Un magasin vend deux types de téléphones mobiles: des modèles $m_1$ et des modèles $m_2$. Ce magasin propose deux types de forfait mensuel: un forfait $1$ et un forfait $2$. Le service commercial effectue une enquête sur un échantillon de $\np{2000}$ clients ayant acheté dans ce magasin un téléphone et un seul, et ayant opté pour un seul des forfaits proposés. Sur les $\np{2000}$ clients interrogés, $\np{1200}$ ont acheté le modèle $m_1$ et $960$ ont choisi le forfait $F_1$. Parmi les clients ayant acheté le modèle $m_1$, $32\ \%$ ont pris le forfait $F_1$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Complétez après l'avoir reproduit, le tableau d'effectifs suivant:		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\cline{2-4} 
			\multicolumn{1}{c|}{}& Modèle $m_1$ & Modèle $m_2$ & Total
			\\
			\hline
			Forfait $1$ & & & $960$
			\\
			\hline
			Forfait $2$ &&&
			\\
			\hline
			Total & $\np{1200}$ & & $\np{2000}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item On note $F_1$ la sous-population des clients interrogés ayant choisi le forfait $1$ et $M_2$ la sous-population ayant choisi le modèle $m_2$.		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
			\item Calculez, sous la forme d'un nombre décimal, la proportion $P(F_1)$ de clients interrogés qui ont choisi le forfait $1$.			
			\item Calculez, sous la forme d'un nombre décimal, la proportion $P(M_2)$ de clients ayant choisi le modèle $m_2$.			
			\item Définissez par une phrase en français les sous-populations $F_1 \cap M_2$ et $F_1 \cup M_2$.			
			\item Calculez, sous la forme d'un nombre décimal, la proportion $P(F_1 \cap M_2)$ de clients qui appartiennent à la sous-population $F_1 \cap M_2$ parmi les clients interrogés.			
			\item Déduisez de ce qui précède la proportion $P(F_1 \cup M_2)$ de clients qui appartiennent à la sous-population $F_1 \cup M_2$ parmi le clients interrogés: sous la forme d'un nombre décimal puis sous la forme d'un pourcentage.			
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-4} 
				\multicolumn{1}{c|}{}& Modèle $m_1$ & Modèle $m_2$ & Total
				\\
				\hline
				Forfait $1$ & $384$ & $576$ & $960$
				\\
				\hline
				Forfait $2$ & $816$ & $224$ & $1040$
				\\
				\hline
				Total & $\np{1200}$ & $800$ & $\np{2000}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $P(F_1)=\frac{960}{2000}= 0,48$.			
			\item $P(M_2)=\frac{800}{2000}=0,4$.
			\item $F_1 \cap M_2$ ensemble des personnes ayant choisi le forfait 1 et le modèle 2.			
			$F_1 \cap M_2$ ensemble des personnes ayant choisi le forfait 1 ou le modèle 2.
			\item $P(F_1 \cap M_2) = \frac{576}{2000}=0,288$.
			\item $P(F_1 \cap M_2) + P(F_1 \cup M_2) = P(F_1) + P(M_2)$ donc $P(F_1 \cup m_2)= 0,48+0,4-0,288=0,592.$
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}%1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 30 exercices  19 : somme de proportion avec des sous-populations disjointes.
	Le 29 mai 2005, lors du référendum français sur la constitution européenne , un institut a analysé les votes à la sortie des urnes dans une petite ville. Dans cette ville, $\np{3062}$ personnes sont inscrites sur les listes électorales. Parmi les personnes inscrites, on distingue les votants et les abstentionnistes. Dans les suffrages des votants, on considère les votes \og OUI\fg[{} et les vote \og NON\fg{} et les votes nuls ou blancs. Dans l'ensemble de l'exercice, les pourcentages obtenus seront arrondis à $0,1\ \%$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Sur les $\np{3062}$ personnes inscrites, $\np{1048}$se révèlent être des abstentionnistes. Le taux de participation au référendum correspond au pourcentage des votants parmi l'ensemble des inscrits. Déterminez ce taux de participation.
		\item Lors du vote, $\np{2000}$ personnes ont déclaré avoir voté \og OUI \fg{} ou \og NON\fg{} au référendum. On considérera que leurs déclarations sont sincères. Leur répartition en pourcentage est donnée dans le tableau suivant:
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|}
				\hline
				\multicolumn{3}{|c|}{Répartition en pourcentage selon les classes d'âges.}
				\\
				\hline
				Âge & Oui & NON
				\\
				\hline
				18-24 ans & $7,1\ \%$ & $8,9\ \%$
				\\
				\hline
				25-34 ans & $10,4\ \%$ & $12,7\ \%$
				\\
				\hline
				35-44 ans & $11\ \%$ & $16,8\ \%$
				\\
				\hline
				45-59 ans & $5,3\ \%$ & $8,7\ \%$
				\\
				\hline
				60-69 ans & $6,3\ \%$ & $5,0\ \%$
				\\
				\hline
				70 ans et plus & $4,4\ \%$ & $3,4\ \%$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		Parmi ces $\np{2000}$ personnes:
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Relevez le pourcentage de personnes qui ont moins de $25$ ans et qui ont voté \og OUI\fg{}.
			\item Déterminez le pourcentage de personnes ayant entre $18$ et $24$ ans.
			\item Déterminez le pourcentage de personnes ayant voté \og OUI\fg{}.
			\item Déterminez le nombre de personnes ayant voté \og OUI\fg{}
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Produit de fréquences conditionnelles.}

\begin{proposition}
	Soient $E$ une population d'individus, $F$ une sous-population de $E$ et $A$ une sous-population de $F$.	$ \color{purple} P_E(A)= P_E(F) \times P_F(A)$.
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({0.5+1.5*cos(\x)},{1*sin(\x)})node[fill=white]{$A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{2*sin(\x)})node[fill=white]{$F$};
		\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=0:360] plot({4.5*cos(\x)},{3*sin(\x)})node[fill=white]{$E$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Par définition: $p_E(F)= \frac{\#F}{\#E}$ et $p_F(A)=\frac{\#A}{\#F}$ donc:
	\begin{align*}
		p_E(F) \times p_F(A) &= \frac{\#F}{\#E} \times \frac{\#A}{\#F}\\
		&= \frac{\#F \times \#A}{\#E \times \#F}\\
		&= \frac{\#A}{\#E}\\
		&= p_E(A)
	\end{align*}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Nous avons des inclusions successives: $A \subset F \subset E$.		
		\item {\color{purple}Pour déterminer une proportion de proportion on fait le produit des proportions}.		
		\item Les proportions fonctionnent de façon multiplicative. Vous retrouverez cette idée en classe de première en parlant de \emph{\color{purple}principe multiplicatif}.		
		%\item Le pourcentage de la sous-population $A$ dans la population $E$ est le produit des pourcentages de la sous-population $A$ dans la sous -population $F$ par le pourcentage de la sous-population $F$ dans la population $E$.		
		\item Cette proposition peut être vue comme l'application d'une proportion ($\frac{p_F(A)}{100}$) à un pourcentage ($p_E(F)$).		
		\item Dans cette proposition il y a deux populations de références: $E$ et $F$.		
		\item Ce résultat n'utilise pas les effectifs des populations mais seulement les proportions. Nous utiliserons ce résultat lorsque les seules informations sont des proportions.
		\item On retrouve une relation de Chasles.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $18\ \%$ des amateurs de jeux vidéos n'ont pas le bac. Parmi ceux-ci $7\ \%$ n'ont pas le brevet des collèges.
		
		Comme: $\frac{7}{100} \times \frac{18}{100}= \frac{126}{1000}=\frac{12,6}{100}$ on peut dire que $12,6\ \%$ des joueurs de jeux vidéos n'ont pas le brevet des collèges.		
		\item $\frac{4}{3}$ de $\frac{9}{10}$ est donc $\frac{4}{3} \times \frac{9}{10}= \frac{2}{15}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Un serveur de films en streaming est composé de $30\ \%$ de films d'action et, parmi ces films d'action, $60\ \%$ sont des films avec Bruce Willis. Quelle est la proportion de films avec Bruce Willis sur le serveur?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Notons $E$ l'ensemble des films proposé, $F$ l'ensemble des films d'actions et $A$ l'ensemble des films avec Bruce Willis.
	
	{\color{orange}Nous avons bien la situation des inclusions successives: $A$ est une sous-population de $F$ qui est elle-même une sous-population de $E$.}
	
	\objectif{Calculons $P_E(A)$.}
	
	Nous savons que $P_E(F)=30$ et $P_F(A)=60$ donc	
	\begin{align*}
		P_E(A) &= P_E(F) \times P_F(A)\\
		&= \frac{30}{100} \times \frac{60}{100}\\
		&= 0,18
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}		
		$18\ \%$ des films du serveur sont des films de Bruce Willis.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans une classe $45\ \%$ des élèves sont des garçons et $\frac{1}{3}$ des garçons portent des lunettes. Il y a $3$ garçons à lunettes dans la classe.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe?		
		\item Combien y a-t-il de filles dans cette classe?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	Notons $E$ l'ensemble des élèves, $G$ l'ensemble des garçons et $A$ l'ensemble des garçons à lunettes.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Calculons $\#E$.}
		
		D'après l'énoncé $P_F(A)=\frac{1}{3}$ et $P_E(G)=\frac{45}{100}$ donc le pourcentage de garçons à lunettes dans la classe est 		
		\begin{align*}
			P_E(A) &= P_E(G) \times P_G(A)\\
			&= \frac{45}{100} \times \frac{1}{3}\\
			&= 0,15
		\end{align*}		
		Mais on peut aussi écrire que:
		\begin{align*}
			P_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			15 &= \frac{3}{\#E} \\
			15 {\color{orange} \times \#E} &= \frac{3}{\#E} {\color{orange} \times \#E}\\
			15 \times \#E &= 3\\
			\frac{0,15 \#E}{\color{orange}0,15} &= \frac{3}{\color{orange}0,15}\\
			\#E &= 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}			
			Il y a vingt élèves dans la classe.			
		\end{conclusion}		
		\item Notons $F$ l'ensemble ds filles de la classe.
		
		\objectif{Calculons le nombre, $|F|$, de filles dans la classe.}
		
		{\color{orange}Il s'agit simplement de calculer un pourcentage d'une quantité, c'est-à-dire d'appliquer une proportion.}
		
		Le nombre de garçons dans la classe est:		
		\begin{align*}
			\#G &= \frac{P_E(G)}{100} \times \#E\\
			&= \frac{45}{100} \times 20\\
			&= 9
		\end{align*}		
		Donc: $\#F=20-9$.
		
		\begin{conclusion}			
			Il y a $11$ filles dans la classe.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans une société les cadres représentent $40\ \%$ des salariés et les cadres supérieurs représentent un $20\ \%$ des cadres. Quelle est la proportion de cadres supérieurs par rapport aux salariés de cette société?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Notons $E$ l'ensemble des salariés, $F$ l'ensemble des cadres et $A$ l'ensemble des cadres supérieurs.
	
	{\color{orange}Nous avons bien la situation des inclusions successives: $A \subset F \subset E$.}
	
	\objectif{Calculons $p_E(A)$.}
	
	Nous savons que $p_E(F)=0,4$ et $p_F(A)=\frac{1}{5}$ donc	
	\begin{align*}
		P_E(A) &= P_E(F) \times P_F(A)\\
		&= 0,4 \times \frac{1}{5}
	\end{align*}	
	\begin{conclusion}		
		$P_E(A)=0,08$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Une société de téléphonie propose trois mode d'abonnement différents:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item forfait $A$: moins de $2\ \mathrm{h}$ de communication;
		\item forfait $B$: moins de $4\ \mathrm{h}$ de communication;
		\item forfait $C$: temps de communication illimité.
	\end{enumerate}	
	La part de clients ayant souscrit le forfait $A$ est de $0,35$ et les clients ayant choisi le forfait $B$ représentent la moitié de la clientèle. 	
	De plus $80\ \%$ des clients ayant choisi le forfait $C$ ont également choisi l'internet illimité.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Quelle est la part de clients ayant choisi le forfait illimité? Exprimez ce résultat en pourcentage.		
		\item Quelle est la part des clients  qui ont choisi un forfait $C$ mais sans l'internet illimité.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Notons $E$ l'ensemble de tous les clients.
		
		\objectif{Calculons $P_E(C)$.}
		
		Nous savons que \[ P_E(A) + P_E(B) + P_E(C) =1. \quad {\color{blue}(1)} \]
		
		{\color{orange}En exprimant les proportions en pourcentages nous aurions que le total doit être de $100\ \%=\frac{100}{100} =1$.}
		
		$\color{blue}(1)$ est successivement équivalente à		
		\begin{align*}
			0,35+\frac{1}{2}+P_E(C) &= 1\\
			0,85+P_E(C) &= 1\\
			0,85+P_E(C) {\color{orange}-0,85} &= 1 {\color{orange}-0,85} \\
			P_E(C) &= 0,15
		\end{align*}		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}			
			$15\ \%$ des clients ont choisi le forfait $C$.			
		\end{conclusion}		
		\item Notons $D$ l'ensemble des clients ayant choisi le forfait $C$ mais qui n'ont pas choisi l'internet illimité.
		
		\objectif{Calculons $P_E(D)$.}
		
		Nous identifions la situation de populations emboîtées: $D \subset C \subset E$. Donc, d'après la leçon:		
		\begin{align*}
			P_E(D) &= P_E(C) \times P_C(D)\\
			&= 15 \times \left( 100-80\right)\\
			&= 3
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$3\ \%$ des clients ont un forfait $C$ sans internet illimité.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}%1Ieme STMG foucher sigma 2012 page 32 exercice 26
	Dans cet exercice on donnera des valeurs exactes pour tous les résultats.
	
	Lors de la dernière journée d'un championnat international d'athlétisme, les athlètes sont encouragés par $\np{75000}$ spectateurs. $70\ \%$ des spectateurs sont français et $30\ \%$ sont étrangers. De plus $85\ \%$ des spectateurs étrangers et $25\ \%$ des spectateurs français possède une licence d'athlétisme.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Recopiez et complétez le tableau suivant (aucune justification n'est demandée).
		
		\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
			\cline{2-4} \multicolumn{1}{m{2cm}|}{}& Licenciés & Non licenciés & Total \\
			\hline
			Spectateurs français & & &
			\\
			\hline
			Spectateurs étrangers &&& 
			\\
			\hline
			Total &&&
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\item À l'aide des résultats obtenus précédemment, calculez sous la forme d'un nombre décimal puis sous la forme d'un pourcentage:
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item la proportion de spectateurs français licenciés dans l'ensemble des $\np{75000}$ spectateurs;
			\item la proportion de spectateurs étrangers non licenciés dans l'ensemble des $\np{75000}$ spectateurs;
			\item retrouvez directement ces résultats sans utiliser le tableau.
		\end{enumerate}
		\item Calculez, sous forme de pourcentage, la proportion de spectateurs licenciés  dans l'ensemble des $\np{75000}$ spectateurs.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Une entreprise est composée de trois services: Administratif, Logistique et Transport. $45\ \%$ des employés travaillent au sein du service Administratif et $23\ \%$ au sein du service Logistique. Une enquête effectuée sur le temps de trajet quotidien entre le domicile des employés et l'entreprise a montré que:	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $54,2\ \%$ des employés résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise;		
		\item $60\ \%$ des employés du service Logistique résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise;		
		\item $9,6\ \%$ des employés travaillent au sein du service Transport et résident à $30\ \mathrm{min}$  ou plus de l'entreprise.		
	\end{enumerate}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Recopiez et complétez le tableau ci-dessous à l'aide des pourcentages donnés dans l'énoncé.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline 
			& Service Administratif & Service Logistique & Service Transport & Total
			\\
			\hline
			Résidant à moins de $30\ \mathrm{min}$ & &&&
			\\
			\hline
			Résidant à $30\ \mathrm{min}$ ou plus &&&&
			\\
			\hline
			Total &&&& $100$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}		
		\item Détermine, au sein du service Administratif, puis au sein du service Transport, la proportion (en $\%$) des employés qui résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise.		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Quel service a la plus forte proportion d'employés qui résident à moins de $30\ \mathrm{min}$ de l'entreprise?			
			\item Quel service a la plus forte proportion d'employés qui résident à $30\ \mathrm{min}$ ou plus de l'entreprise?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements. La semaine $1$, Armelle a réussi $50\ \%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $90\ \%$ des exercices qu'il a traités.La semaine $é$, Armelle a réussi $20\ \%$ des exercices qu'elle a traités et Boris $40\ \%$ des exercices qu'il a traités.
	
	Vrai ou faux: sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Le salaire brut mensuel de Sophie est de $\np{13200}\ \text{\euro}$. Les cotisations salariales représentent $23\ \%$ du salaire brut. Calculez le salaire hors cotisations salariales.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}Nous allons ici raisonner comme pour des populations ce qui en fait pas le cas. Il s'agit d'une situation de proportionnalité mais pas de populations.}
	
	Notons: $\#A$ le salaire hors cotisation salariale, $P_E(A)=1-0,23=0,77$ et $\#E=13200$ le salaire brut.
	
	\objectif{Déterminons $\#A$.}
	\begin{align*}
		p_E(A) &= \frac{\#A}{\#E}\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		0,77 &= \frac{\#A}{13200}\\
		0,77 \times 13200 &= \#A\\
		10164 &= \#A
	\end{align*}
	\begin{conclusion}
		Le salaire hors cotisation salariales est  de $\np{10164}\ \text{\euro}$.
	\end{conclusion}
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}%Sujet 3 de bac stmg de première E3C
	Le tableau incomplet, en question 1.(b), donne le nombre de salariés en France, en milliers, selon la catégorie et le type de contrôle de l’entreprise en 2015. 
	\emph{On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item En 2015, $66,8\ \%$ des salariés des ETI (entreprises de taille intermédiaire) font partie d’un groupe français. Calculer le nombre de salariés des ETI de groupes français.
			\item Compléter le tableau donné ci-dessous en arrondissant les résultats au millier près.
			
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{|p{2.5cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\cline{2-5} \multicolumn{1}{m{3cm}|}{} & Unités légales hors groupes & Groupes français & Sous contrôle d'un groupe étranger & Total
					\\
					\hline
					Grandes entreprises (GE) & \begin{center} $0$ \end{center} & & & \begin{center} $\np{4235}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Entreprises de taille intermédiaire (ETI) & \begin{center} $154$ \end{center} & & & \begin{center} $\np{3657}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Petites et moyennes entreprises (PME) hors microentreprises & \begin{center} $\np{1669}$ \end{center} & \begin{center} $\np{2255}$ \end{center} & \begin{center} $335$ \end{center} & \begin{center} $\np{4259}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Microentreprises (MIC) & \begin{center} $\np{2549}$ \end{center} & \begin{center} $177$ \end{center} & \begin{center} $20$ \end{center} & \begin{center} $\np{2745}$ \end{center}
					\\
					\hline
					Total & \begin{center} $\np{4373}$ \end{center}  & \begin{center} $\np{8477}$ \end{center} & \begin{center} $\np{2047}$ \end{center} & \begin{center} $\np{14897}$ \end{center}
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				}
		\end{enumerate}		
		\item Nous noterons $F$ l'ensemble des salariés faisant partie d’un groupe français, $M$ l'ensemble des salariés faisant partie d’une PME et $E$ l'ensemble de tous les salariés. Dans cette question, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-2}$.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculer la proportion, $p_E(F)$, de salariés d'un groupe français parmi les salariés et $p_F(M)$ la proportion de salariés travaillant en PME parmi les salariés français.
			\item Exprimer $\displaystyle \frac{2255}{14897}$ en pourcentage et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette proportion.
			\item Calculer $p_M (F)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette proportion.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Notons $E_1$ l'ensemble des salariés des ETI et $A_1$ l'ensemble des salariés des ETI appartenant à des groupes français.
			
			\objectif{Déterminons $|A_1|$.}			
			\begin{align*}
			|A_1| &= p_{E_1}(A_1) \times |E_1|\\
			&= \frac{66,8}{100} \times 3657 \\
			&= 2442,876
			\end{align*}			
			\begin{conclusion}				
				Les ETI comptent $\np{2442876}$ salariés.				
			\end{conclusion}			
			\item ~			
			
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|p{1cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\cline{2-5} \multicolumn{1}{m{1cm}|}{} & Unités légales hors groupes & Groupes français & Sous contrôle d'un groupe étranger & Total
					\\
					\hline
					(GE) & $0$ & $\np{3602}$ & $\np{632}$ & $\np{4235}$
					\\
					\hline
					(ETI) & $154$ & $\np{2443}$ & $\np{1060}$ & $\np{3657}$
					\\
					\hline
					(PME) & $\np{1669}$ & $\np{2255}$ & $335$  & $\np{4259}$
					\\
					\hline
					(MIC) & $\np{2549}$ & $177$ & $20$ & $\np{2745}$
					\\
					\hline
					Total & $\np{4373}$  & $\np{8477}$ & $\np{2047}$ &  $\np{14897}$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
			}			
		\end{enumerate}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item 
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 18 à 21 page 282 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 48 à 56 page 285 du manuel Indice.
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}