%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.} \addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Modéliser les probabilités avec des ensembles.}

\begin{notabene}
	
	\color{red} Ajouter des exercices du crpe. (Déjà commencé)
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Ajouter le principe multiplicatif comme outils de dénombrement sur de très grands arbres.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Faire apparaître les différentes représentations d'une loi de probabilité en analogie avec celles des fonctions: formule (équiprobabilité, loi binomiale, $\dots$), tableau de valeurs, représentation graphique, et arbre.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Développer le côté culture gé en parlant notamment de l'école Russe de probabilité.
	
	Faire des corrections pour tous les exercices.
	
	Faire des démonstrations pour ce qui peut être démontré.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Expérience aléatoire.}

\begin{lecon}	
	Une \emph{\color{purple}expérience aléatoire} est une expérience dont le résultat (ou \emph{\color{purple}issue}) ne peut être connu à l'avance.	
	\begin{notabene}
		Contrairement à une expérience déterministe. Donnez des exemples.
	\end{notabene}
\end{lecon}

\begin{correction}		
	\medskip
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		Parfois les systèmes dynamiques déterministes très sensibles aux conditions initiales ne sont pas prévisibles par des moyens déterministes. Il faut alors utiliser des modélisations probabilistes. On parle de système chaotique et de \emph{\color{purple}théorie du chaos}.			
		&			
		\begin{center}				
			\href{http://owl-ge.ch/travaux-d-eleves/2009-2010/article/les-attracteurs}{\includegraphics[scale=0.3]{2ieme_probabilite_01_modeliser_equiprobabilite_01_attracteur_de_lorentz.png}}
			
			Attracteur de Lorentz.				
		\end{center}			
		\\ \end{tabularx}
	
	À l'origine de cette théorie nous retrouvons Henri Poincaré qui découvrit cette problématique en essayant de modéliser les attractions gravitationnelles entre 3 corps ou plus. Sont associés à cette théorie de nombreux mathématiciens, notamment ceux qui ont travaillé sur des équations différentielles (équations dont l'inconnue est une fonction) comme Cauchy ou Lipschitz.
	
	La météorologie est un exemple d'étude de système chaotique et le météorologue Lorentz intitula une de ses conférences d'une expression qui fit florès \og Prédictibilité: le battement d'aile d'un papillon au Brésil provoque-t-il une tornade au Texas?\fg{}.
	\begin{notabene}
		Ajouter un laïus sur l'intelligence artificielle.
	\end{notabene}		
\end{correction}
	
\begin{lecon}
	Comme pour toute expérience il faut définir un \emph{\color{purple}dispositif expérimental}. Il s'agit de décrire l'expérience et les conditions dans lesquelles elle est réalisée ainsi que ce qu'il faut observer (issues). Il faut d'ailleurs connaître toutes les issues.	
\end{lecon}

\subsubsection{Probabilité d'une issue.}

\begin{notabene}	
	Nous pouvons par exemple utiliser l'application de simulation de probabilité de la calculatrice pour voir que les fréquences d'apparition des issues d'une expériences tende vers une fréquence limite qui est appelée la probabilité. Nous allons voir comment construire, a priori, une modélisation cohérente d'une expérience aléatoire dans quelques cas simples.	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	Si on recommence un grand nombre (en théorie une infinité) de fois une expérience aléatoire la fréquence d'apparition d'une issue, $\omega$, s'approche d'une valeur fixe qui est appelée \emph{\color{purple}la probabilité de l'issue} et notée $\mathbb{P}(\omega)$.
	
	C'est ce pseudo principe qui fait le lien entre la réalité matérielle d'une expérience aléatoire et les outils mathématiques pour le modéliser. Nous aurons tendance à oublier ce fait: la connaissance des probabilités dans la réalité relèvent d'une étude statistique sur un grand nombre de répétitions d'une expérience.
\end{lecon}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Puisque la probabilité est une fréquence c'est un nombre réel compris entre $0$ et $1$: $\color{purple}\mathbb{P}(\omega)\in[0;1]$.
		\item Pour étudier une expérience aléatoire il faut faire le choix (pour nous le plus souvent arbitraire) d'une \emph{\color{purple}modélisation}. C'est-à-dire choisir un univers (ou un ensemble d'événements) et une loi de probabilité qui correspondent à l'expérience.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Loi de probabilité.}

\begin{definition}
	La donnée des probabilités de toutes les issues forment la \emph{\color{purple}loi de probabilité} ou \emph{\color{purple}distribution de probabilité}.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Nous utiliserons différentes façon de représenter cette loi: tableau de valeurs, expressions algébriques ou représentation graphique. À chaque issue on associe une probabilité on définie donc une fonction.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si une urne de Bernoulli (opaque) contient $2$ boules rouges et $3$ boules noires, indiscernables au toucher, et que l'on tire une boule de l'urne en notant sa couleur, alors on peut donner la loi de probabilité en donnant $\begin{array}{|c|c|c|}
			\hline
			\omega & R& N
			\\
			\hline
			\mathbb{P}(\omega) & \frac{2}{5} & \frac{3}{5}
			\\
			\hline
		\end{array}$.
		
		Plus rarement (à votre niveau) on représente la distribution de probabilité dans un repère:			
		\begin{center}		
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{0};
			\def\xcoinhautdroit{6};
			\def\ycoinbasgauche{0};
			\def\ycoinhautdroit{8.5};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$\omega$};
			\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$\mathbb{P}(\omega)$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			%Graduations
			%\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,8} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  0,\pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\fill [black,opacity=1] (1,0) -- (1,4) -- (2,4) -- (2,0) --cycle;
			\fill [black,opacity=1] (3,0) -- (3,6) -- (4,6) -- (4,0) --cycle;
			\draw (1.5,-0.25) node {$R$};
			\draw (3.5,-0.25) node {$N$};
			\end{tikzpicture}		
		\end{center}
		\item Si une urne de Bernoulli contient $n\in\mathbb{N}^*$ boules de couleurs toutes différentes alors, dans ce cas, la loi de probabilité porte un nom propre. Elle est dite \emph{\color{purple}uniforme} ou d'\emph{\color{purple}équiprobabilité}. On peut aussi décrire cette loi de probabilité par son expression algébrique: $\mathbb{P}(\omega)=\frac{1}{n}$ quelle que soit la boule $\omega$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsubsection{Événements.}

\begin{definition}	
	L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé \emph{\color{purple}l'univers} (ou \emph{\color{purple}événement certain}) et est noté \emph{\color{purple}$\Omega$}.
\end{definition}

\begin{proposition}
	$\mathbb{P}(\Omega)=1$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	La fréquence d'apparition de toutes les issues est de $1$ (puisque toutes les issues sont recensées).
\end{preuve}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, les issues sont les entiers de 1 à 6. On note alors: $\Omega = \{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{definition}
	\emph{\color{purple}Un événement} est un sous-ensemble de l'univers.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Un événement $A$ peut être présenté par:
		\begin{itemize}
			\item une propriété $A$:\og Les issues telles que $\dots$ \fg{},
			\item un sous-ensemble: $A=\{\dots \}$.
		\end{itemize}
		\item Un évènement est un regroupement d'issues qui nous intéresse. Le canonnier ne s'intéresse pas uniquement au boulet qui tombe sur tel point mais dans une zone alentour. Aucune issue ne convient à ces événements.
		\item On ne dira pas $\omega \in A$ mais \emph{\color{purple}l'issue $\omega$ réalise $A$.}
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, $\{1\ ; \ 4\}$ est un événement puisque c'est un sous-ensemble de $\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$.
		\item Pour un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, l'événement $A$:\og Les issues sont des nombres pairs\fg{} peut aussi s'écrire: $A=\{ \trous{2\ ;\ 4\ ;\ 6 \} }$.
		\item Pour un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, l'événement $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ peut être décrit par $B$:\og Les issues sont des nombres strictement supérieurs à 2\fg{}.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{definition}
	L'ensemble $\emptyset$ est appelé l'\emph{\color{purple}événement impossible}.
\end{definition}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'événement $C$: \og obtenir sept pour un lancer de dé à six faces\fg{} est un événement impossible. $C=\emptyset$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Les événements impossibles sont ceux qui prévoient d'autres possibilités que celles de l'univers.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Probabilité d'un événement.}

\begin{definition}	
	\emph{\color{purple}La probabilité d'un événement} est la somme des probabilités des issues qu'il contient.	
\end{definition}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64254&ordre=1}{Exercice 45 page 58 du Sésamath}: somme des probabilités de l'univers.
	On lance un dé pipé. Le tableau suivant regroupe les probabilités.
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
			$F$ (face)&1&2&3&4&5&6\\\hline
			$\mathbb{P}(F)$&0,1&0,1&0,2&0,2&0,3&?\\\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculer $\mathbb{P}(6)$.
		\item Calculer la probabilité des événements suivants.
		\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}			
			\item \og La face obtenue est paire \fg{};			
			\item \og la face obtenue est supérieure ou égale à $5$\fg{}.
		\end{enumerate}		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(6)$.}
		
		{\color{orange}La probabilité de l'univers est $1$.}		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\Omega) &= 1
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\mathbb{P}( \{ 1;2;3;4;5;6 \} ) &= 1\\
			\intertext{\color{orange}la probabilité d'un événement égalant la somme des probabilités des issues qui le réalise:}
			\mathbb{P}( \{ 1 \}) + \mathbb{P}( \{ 2 \}) + \mathbb{P}( \{ 3 \}) + \mathbb{P}( \{ 4 \}) + \mathbb{P}( \{ 5\}) + \mathbb{P}( \{ 6 \}) &= 1\\
			0,1+0,1+0,2+0,2+0,3 +\mathbb{P}( \{ 6\}) &=1
			\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une équation linéaire:}
			\mathbb{P}(\{ 6 \}) &= 1-0,9
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$\mathbb{P}( \{ 6 \})=0,1$.			
		\end{conclusion}		
		\item 		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $A$: \og la face obtenue est paire \fg{}.
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(\{ 2;4;6\})\\
				&= \mathbb{P}(\{ 2 \}) + \mathbb{P}(\{ 4 \}) + \mathbb{P}( \{ 6\})\\
				&= 0,1+0,2+0,1
			\end{align*}			
			\begin{conclusion}				
				$\mathbb{P}(A)=0,4$.		
			\end{conclusion}			
		\end{enumerate}		
		\item $B$: \og la face obtenue est supérieure ou égale à $5$\fg{}.
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(\{ 5;6\})\\
			&= \mathbb{P}(\{ 5 \}) + \mathbb{P}( \{ 6\})\\
			&= 0,3+0,1
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$\mathbb{P}(B)=0,4$.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Réunion et intersection d'événements.}

\begin{lecon}	
	L'événement $A\cup B$ (obtenu par la réunion des sous-ensembles $A$ et $B$) contient les issues contenues dans $A$ \emph{\color{purple}ou} dans $B$.	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item En reprenant les exemples précédents du dé. $A=\{ \trous{2\ ;\ 4\ ;\ 6 \} }$ et $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ donc les issues contenues dans $A$ ou dans $B$ forment le sous-ensemble: $A\cup B=\trous[3cm]{\{ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\} }$.
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	L'événement $A\cap B$ (obtenu par l'intersection des sous-ensembles $A$ et $B$) contient les issues contenues dans $A$ \emph{\color{purple}et} dans $B$ (simultanément).	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item En reprenant les exemples précédents du dé. $A=\{ \trous{2\ ;\ 4\ ;\ 6 \} }$ et $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ donc les issues contenues dans $A$ et dans $B$ forment le sous-ensemble: $A\cap B=\trous[3cm]{\{ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\} }$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ muni d'une loi de probabilité $\mathbb{P}$. $\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Cette formule est valable quelle que soit la loi de probabilité qui est utilisée.
		\item Cette formule (surtout pour sa généralisation à plus de deux événements) est appelée \emph{\color{purple}formule du crible de Poincaré}.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Événement contraire.}

\begin{lecon}	
	Étant donné un événement $E$, \emph{\color{purple}l'événement contraire} de $E$, noté $\color{purple}\overline{E}$, est formé de toutes les issues qui ne sont pas dans $E$. Autrement dit l'événement contraire de $E$ est le complémentaire de $E$ dans $\Omega$.	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item En reprenant les exemples précédents du dé. Puisque $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ et $\Omega=\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ il en découle que $\overline{B}=\trous{ \{ 1\ ;\ 2 \} }$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soit $A$ un événement d'un univers $\Omega$. $\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)$.	
\end{proposition}

\begin{exercice}
	Démontrez que $\mathbb{P}(\emptyset)=0$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Nous savons $\mathbb{P}(\Omega)=1$ donc, d'après la précédente proposition:	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(\emptyset) &= 1- \mathbb{P}(\overline{\emptyset})\\
		&= 1 - \mathbb{P}(\Omega)\\
		&= 1-1\\
		&= 0
	\end{align*}	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	Des événements $A$ et $B$ sont dits \emph{\color{purple}incompatibles} si et seulement si $A\cap B= \emptyset$. Remarquons que si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $\mathbb{P}(A\cup B)= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$. Les événements sont incompatibles si et seulement si $A$ et $B$ sont des ensembles disjoints.	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\item \og Obtenir un nombre pair \fg{} et \og Obtenir un nombre impair \fg{} sont des événements incompatibles.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64256&ordre=1}{Exercice 47 page 58 du Sésamath}.
	Le standard d'un cabinet médical dispose de deux lignes de téléphone. On considère les événements:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item$O_1$: \og La 1\ier\ ligne est occupée \fg.
		\item $O_2$: \og La 2\ieme\ ligne est occupée \fg. 
	\end{enumerate}	
	Une étude statistique montre que:	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $p(O_1)=0,4$
		\item $p(O_2)=0,3$
		\item $p(O_1 \cap O_2)=0,2$
	\end{enumerate}	
	Calculer la probabilité des événements suivants.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item \og La ligne 1 est libre \fg.
		\item \og Au moins une des lignes est occupée \fg.
		\item \og Au moins une des lignes est libre \fg. 
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item {\color{orange}Il s'agit ici d'interpréter les événements proposés avec ceux donnés dans l'énoncé.}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{O_1})$.}		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{O_1}) &= 1 - \mathbb{P}(O_1)\\
			&= 1-0,4
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$\mathbb{P}(\overline{O_1})=0,6$.			
		\end{conclusion}		
		\item {\color{orange} L'expression \og Au moins l'une \fg{} peut s'exprimer en utilsant la conjonction \og ou \fg{} et par conséquent par l'union.}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(O_1 \cup O_2)$.}		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(O_1 \cup O_2) &= \mathbb{P}(O_1) + \mathbb{P}(O_2) - \mathbb{P}(O_1 \cap O_2)\\
			&= 0,4+0,3-0,2
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$\mathbb{P}(O_1\cup O_2)=0,5$.			
		\end{conclusion}		
		\item 		
		\begin{notabene}
			
			
			Ajouter une démonstration en utilisant le diagramme de Venn pour faire apparaître les loi de De Morgan directement avec $\overline{O_1}\cup \overline{O_2}$.
			
		\end{notabene}		
		{\color{orange}Cette question est nettement moins facile. En réfléchissant comme à la question précédente:}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{O_1} \cup \overline{O_2})$.}		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{O_1} \cup \overline{O_2}) &= \mathbb{P}(\overline{O_1}) + \mathbb{P}(\overline{O_2}) - \mathbb{P}(\overline{O_1} \cap \overline{O_2})\\
			\intertext{$\overline{O_1} \cap \overline{O_2}$ signifie \og la première ligne est libre et la seconde aussi\fg{}. Nous n'avons pas la possibilité de calculer directement la probabilité de cet événement. L'événement contraire peut s'exprimer par: \og la première ligne est occupée ou la seconde est occupée\fg{}, autrement dit \og au moins une des deux lignes est occupée\fg. Donc:}
			&= 1-\mathbb{P}(O_1) + 1- \mathbb{P}(O_2) - \mathbb{P}(\overline{O_1 \cup O_2})\\
			&= 1-0,4+1-0,3- \left[ 1-\mathbb{P}(O_1\cup O_2) \right]\\
			&= 1,3- [1-0,5]\\
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$\mathbb{P}(\overline{O_1}\cup \overline{O_2})=0,8$.		
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}
	{\color{orange}La dernière question de l'exercice introduit et correspond aux lois de De Morgan: \[ \overline{A\cap B}= \overline{A}\cup \overline{B} \quad \text{et} \quad \overline{A\cup B}= \overline{A}\cap \overline{B}. \]}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	On dispose d'un dodécaèdre régulier à $12$ faces dont les faces sont numérotées de $1$ à $12$. Lorsqu'on le lance il retombe sur une des faces dont on note le numéro. On note $A$ l'événement \og obtenir un numéro pair\fg{} et $B$ l'événement \og obtenir un multiple de $3$ \fg{}. pour chacun des événements suivants listez les issues qui les constituent.	
	\begin{tasks}(5)
		\task $A$.
		\task $B$.
		\task $\overline{B}$.
		\task $A \cap B$.
		\task $A \cup B$.
		\task $\overline{A} \cup B$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie automobile. Ces pièces peuvent présenter deux sortes de défauts: défaut d'usinage ou défaut de peinture. On note $A$ l'événement \og la pièce a un défaut d'usinage\fg{} et $B$ l'événement \og la pièce à un défaut de peinture \fg. À la sortie de la fabrication, on choisit une pièce au hasard.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour chacun des événements suivant dites s'il correspond à $A\cup B$, $A \cap B$, $\overline{A} \cup \overline{B}$ ou $\overline{A}\cap \overline{B}$.		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item $E$: \og la pièce a deux défauts\fg.
			\item $F$: \og la pièce a au moins un des deux défauts\fg.
			\item $G$: \og la pièce n'a aucun défaut\fg.
			\item $H$: \og la pièce a au plus un défaut\fg.
		\end{enumerate}		
		\item Parmi les événements $E$, $G$ et $H$, lequel est l'événement contraire de $F$?		
		\item Parmi les événements $F$, $G$ et $H$ lequel est l'événement contraire de $E$?		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}