%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Modélisation et équiprobabilité.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Ajouter le principe multiplicatif comme outils de dénombrement sur de très grands arbres.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Faire apparaître les différentes représentations d'une loi de probabilité en analogie avec celles des fonctions: formule (équiprobabilité, loi binomiale, $\dots$), tableau de valeurs, représentation graphique, et arbre.
	
\end{notabene}

\section{Modélisation et équiprobabilité.}

\begin{notabene}
	
	Nous pouvons par exemple utiliser l'application de simulation de probabilité de la calculatrice pour voir que les fréquences d'apparition des issues d'une expériences tende vers une fréquence limite qui est appelée la probabilité. Nous allons voir comment construire, a priori, une modélisation cohérente d'une expérience aléatoire dans quelques cas simples.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Développer le côté culture gé en parlant notamment de l'école Russe de probabilité.
	
	Faire des corrections pour tous les exercices.
	
	Faire des démonstrations pour ce qui peut être démontré.
	
\end{notabene}

\subsection{Expérience aléatoire.}

\begin{lecon}
	
	Une \emph{\color{purple}expérience aléatoire} est une expérience dont le résultat (ou \emph{\color{purple}issue}) ne peut être connu à l'avance.
	
	\begin{notabene}
		
		Contrairement à une expérience déterministe. Donnez des exemples.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{culturegenerale}
		
		\medskip
		\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
			Parfois les systèmes dynamiques déterministes très sensibles aux conditions initiales ne sont pas prévisibles par des moyens déterministes. Il faut alors utiliser des modélisations probabilistes. On parle de système chaotique et de \emph{\color{purple}théorie du chaos}.
			
			&
			
			\begin{center}
				
				\href{http://owl-ge.ch/travaux-d-eleves/2009-2010/article/les-attracteurs}{\includegraphics[scale=0.3]{2ieme_probabilite_01_modeliser_equiprobabilite_01_attracteur_de_lorentz.png}}
				
				Attracteur de Lorentz.
				
			\end{center}
			
			\\ \end{tabularx}
		
		À l'origine de cette théorie nous retrouvons Henri Poincaré qui découvrit cette problématique en essayant de modéliser les attractions gravitationnelles entre 3 corps ou plus. Sont associés à cette théorie de nombreux mathématiciens, notamment ceux qui ont travaillé sur des équations différentielles (équations dont l'inconnue est une fonction) comme Cauchy ou Lipschitz.
		
		La météorologie est un exemple d'étude de système chaotique et le météorologue Lorentz intitula une de ses conférences d'une expression qui fit florès \og Prédictibilité: le battement d'aile d'un papillon au Brésil provoque-t-il une tornade au Texas?\fg{}.
		
	\end{culturegenerale}
	
	\medskip
	Comme pour toute expérience il faut définir un \emph{\color{purple}dispositif expérimental}. Il s'agit de décrire l'expérience et les conditions dans lesquelles elle est réalisée ainsi que ce qu'il faut observer (issues).
	
\end{lecon}

\subsection{Généralités sur la modélisation.}

\subsubsection{Loi de probabilité.}

\begin{lecon}
	
	Si on recommence un grand nombre (en théorie une infinité) de fois une expérience aléatoire la fréquence d'apparition d'une issue, $\omega$, s'approche d'une valeur fixe qui est appelée \emph{\color{purple}la probabilité de l'issue} et notée $\mathbb{P}(\omega)$.
	
	Les probabilités de toutes les issues forment la \emph{\color{purple}loi de probabilité} ou \emph{\color{purple}distribution de probabilité}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Événement.}

\begin{lecon}
	
	L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé \emph{\color{purple}l'univers} et est noté \emph{\color{purple}$\Omega$}. La fréquence d'apparition de toutes les issues est de $1$ donc: $\mathbb{P}(\Omega)=1$.
	
	\begin{notabene}
		
		L'univers est aussi appelé l'événement certain.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Pour un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, les issues sont les entiers de 1 à 6. On note alors: \trous[3cm]{$\Omega = \{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\smallskip
	\emph{\color{purple}Un événement} est un sous-ensemble de \emph{\color{purple}l'univers}.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	$\{1\ ; \ 4\}$ est un événement puisque \trous[5cm]{c'est un sous-ensemble de $\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$.}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\smallskip
	Un événement $A$ peut être présenté par:
	\begin{itemize}
		\item une propriété $A$:\og Les issues telles que $\dots$ \fg{},
		\item un sous-ensemble: $A=\{\dots \}$.
	\end{itemize}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	L'événement $A$:\og Les issues sont des nombres pairs\fg{} peut aussi s'écrire: $A=\{ \trous{2\ ;\ 4\ ;\ 6 \} }$.
	
	L'événement $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ peut être décrit par $B$:\og Les issues sont des nombres \trous[4cm]{strictement supérieurs à 2}\fg{}.
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\smallskip
	Les événements $\emptyset$ et $\Omega$ sont respectivement appelés les événements \emph{\color{purple}impossible} et \emph{\color{purple}certain}.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	\emph{\color{purple}La probabilité d'un événement} est la somme des probabilités des issues qu'il contient.
	
\end{definition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64254&ordre=1}{Exercice 45 page 58 du Sésamath}: somme des probabilités de l'univers.
		
	\end{notabene}
	
	On lance un dé pipé. \\Le tableau suivant regroupe les probabilités.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
			$F$ (face)&1&2&3&4&5&6\\\hline
			$\mathbb{P}(F)$&0,1&0,1&0,2&0,2&0,3&?\\\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer $\mathbb{P}(6)$.
		
		\item Calculer la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item \og La face obtenue est paire \fg{};
			
			\item \og la face obtenue est supérieur ou égale à 5 \fg{}.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(6)$.}
		
		{\color{orange}La probabilité de l'univers est $1$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\Omega) &= 1
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\mathbb{P}( \{ 1;2;3;4;5;6 \} ) &= 1\\
			\intertext{\color{orange}la probabilité d'un événement égalant la somme des probabilités des issues qui le réalise:}
			\mathbb{P}( \{ 1 \}) + \mathbb{P}( \{ 2 \}) + \mathbb{P}( \{ 3 \}) + \mathbb{P}( \{ 4 \}) + \mathbb{P}( \{ 5\}) + \mathbb{P}( \{ 6 \}) &= 1\\
			0,1+0,1+0,2+0,2+0,3 +\mathbb{P}( \{ 6\}) &=1
			\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une équation linéaire:}
			\mathbb{P}(\{ 6 \}) &= 1-0,9
		\end{align*}	
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}( \{ 6 \})=0,1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $A$: \og la face obtenue est paire \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(\{ 2;4;6\})\\
				&= \mathbb{P}(\{ 2 \}) + \mathbb{P}(\{ 4 \}) + \mathbb{P}( \{ 6\})\\
				&= 0,1+0,2+0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=0,4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item $B$: \og la face obtenue est supérieure ou égale à $5$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(\{ 5;6\})\\
			&= \mathbb{P}(\{ 5 \}) + \mathbb{P}( \{ 6\})\\
			&= 0,3+0,1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=0,4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Réunion et intersection d'événements.}

\begin{lecon}
	
	L'événement $A\cup B$ (obtenu par la réunion des sous-ensembles $A$ et $B$) contient les issues contenues dans $A$ \emph{\color{purple}ou} dans $B$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	$A=\{ \trous{2\ ;\ 4\ ;\ 6 \} }$ et $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ donc les issues contenues dans $A$ ou dans $B$ forment le sous-ensemble: $A\cup B=\trous[3cm]{\{ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\} }$.
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\smallskip
	L'événement $A\cap B$ (obtenu par l'intersection des sous-ensembles $A$ et $B$) contient les issues contenues dans $A$ \emph{\color{purple}et} dans $B$ (simultanément).
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	$A=\{ \trous{2\ ;\ 4\ ;\ 6 \} }$ et $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ donc les issues contenues dans $A$ et dans $B$ forment le sous-ensemble: $A\cap B=\trous[3cm]{\{ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\} }$.
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. \[ \mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Événement contraire.}

\begin{lecon}
	
	Étant donné un événement $E$, \emph{\color{purple}l'événement contraire} de $E$, noté $\color{purple}\overline{E}$, est formé de toutes les issues qui ne sont pas dans $E$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Puisque $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ et $\Omega=\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ il en découle que $\overline{B}=\trous{ \{ 1\ ;\ 2 \} }$
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $A$ un événement d'un univers $\Omega$. \[ \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A). \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Démontrez que $\mathbb{P}(\emptyset)=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Nous savons $\mathbb{P}(\Omega)=1$ donc, d'après la précédente proposition:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(\emptyset) &= 1- \mathbb{P}(\overline{\emptyset})\\
		&= 1 - \mathbb{P}(\Omega)\\
		&= 1-1\\
		&= 0
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Des événements $A$ et $B$ sont dits \emph{\color{purple}incompatibles} si et seulement si $A\cap B= \emptyset$. Remarquons que si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $\mathbb{P}(A\cup B)= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\og Obtenir un nombre pair \fg{} et \og Obtenir un nombre impair \fg{} sont des événements incompatibles.
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64256&ordre=1}{Exercice 47 page 58 du Sésamath}.
		
	\end{notabene}
	
	Le standard d'un cabinet médical dispose de deux lignes de téléphone. On considère les événements:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item$O_1$: \og La 1\ier\ ligne est occupée \fg.
		\item $O_2$: \og La 2\ieme\ ligne est occupée \fg. 
	\end{enumerate}
	
	Une étude statistique montre que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $p(O_1)=0,4$
		\item $p(O_2)=0,3$
		\item $p(O_1 \cap O_2)=0,2$
	\end{enumerate}
	
	Calculer la probabilité des événements suivants.
	\begin{enumerate}
		\item \og La ligne 1 est libre \fg.
		\item \og Au moins une des lignes est occupée \fg.
		\item \og Au moins une des lignes est libre \fg. 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Il s'agit ici d'interpréter les événements proposés avec ceux donnés dans l'énoncé.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{O_1})$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{O_1}) &= 1 - \mathbb{P}(O_1)\\
			&= 1-0,4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(\overline{O_1})=0,6$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange} L'expression \og Au moins l'une \fg{} peut s'exprimer en utilsant la conjonction \og ou \fg{} et par conséquent par l'union.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(O_1 \cup O_2)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(O_1 \cup O_2) &= \mathbb{P}(O_1) + \mathbb{P}(O_2) - \mathbb{P}(O_1 \cap O_2)\\
			&= 0,4+0,3-0,2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(O_1\cup O_2)=0,5$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			
			Ajouter une démonstration en utilisant le diagramme de Venn pour faire apparaître les loi de De Morgan directement avec $\overline{O_1}\cup \overline{O_2}$.
			
		\end{notabene}
		
		{\color{orange}Cette question est nettement moins facile. En réfléchissant comme à la question précédente:}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{O_1} \cup \overline{O_2})$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{O_1} \cup \overline{O_2}) &= \mathbb{P}(\overline{O_1}) + \mathbb{P}(\overline{O_2}) - \mathbb{P}(\overline{O_1} \cap \overline{O_2})\\
			\intertext{$\overline{O_1} \cap \overline{O_2}$ signifie \og la première ligne est libre et la seconde aussi\fg{}. Nous n'avons pas la possibilité de calculer directement la porbabilité de cet événement. L'événement contraire peut s'exprimer par: \og la première ligne est occupée ou la seconde est occupée\fg{}, autrement dit \og au moins une des deux lignes est occupée\fg. Donc:}
			&= 1-\mathbb{P}(O_1) + 1- \mathbb{P}(O_2) - \mathbb{P}(\overline{O_1 \cup O_2})\\
			&= 1-0,4+1-0,3- \left[ 1-\mathbb{P}(O_1\cup O_2) \right]\\
			&= 1,3- [1-0,5]\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(\overline{O_1}\cup \overline{O_2})=0,8$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	{\color{orange}La dernière question de l'exercice introduit et correspond aux lois de De Morgan: \[ \overline{A\cap B}= \overline{A}\cup \overline{B} \quad \text{et} \quad \overline{A\cup B}= \overline{A}\cap \overline{B}. \]}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices avec équiprobabilité.}

\begin{lecon}
	
	La loi d'une expérience aléatoire est appelée \emph{\color{purple}l'équiprobabilité} (ou \emph{\color{purple}loi discrète uniforme}) si la distribution de probabilité entre les issues est équitable. Autrement dit toutes les issues ont la même probabilité.
	
	\begin{notabene}
		
		Il s'agit d'un modèle théorique qui n'est pas tout à fait possible.
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	S'il y a équiprobabilité et que l'univers $\Omega$ comporte $n\in\mathbb{N}^*$ issues, alors la probabilité de l'une quelconque des issues est \[ \frac{1}{n}. \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un jeu consiste à lancer un dé parfaitement équilibré dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'univers de l'expérience?
		\item Calculez la probabilité d'obtenir $3$.
		\item Calculez la probabilité de l'événement $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$.
		\item Calculez la probabilité de l'événement $A$:\og Les issues sont des nombres pairs\fg{}.
		\item Décrivez par un ensemble l'événement $A\cap B$ et déduisez en sa probabilité.
		\item Déduisez des trois questions précédentes la probabilité de $A\cup B$.
		\item Calculez la probabilité de $\overline{A}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		{\color{orange} Rechercher ce que sont les issues. Qu'observe-t-on à l'issue de l'expérience? Qu'est-ce qui correspond à une situation d'équiprobabilité? Puis recensement de toutes les issues.}
		
		Une issue est un entier entre 1 et 6 donc: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\Omega =\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange} Recherche dans le dispositif expérimental des indicateurs concernant une éventuelle équiprobabilité: \og parfaitement équilibré\fg{}.}
		
		L'expérience est régie par loi d'équiprobabilité puisque le dé est parfaitement équilibré et l'univers contient $6$ issues donc la probabilité d'une issue est: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(\{ 3 \})=\frac{1}{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Qu'est-ce que la probabilité d'un événement? D'après la définition:
			
		\end{notabene}
		
		\objectif{Déterminons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		{\color{orange}La rédaction qui suit n'est pas celle que nous utiliserons habituellement.}
		
		\medskip	
		Par définition de la probabilité d'un événement et puisque $B=\{ 4;\ 4;\ 5;\ 6 \}$:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(\{ 3\}) +\mathbb{P}(\{ 4 \})+ \mathbb{P}(\{ 5 \})+ \mathbb{P}(\{ 6 \})\\
			\intertext{Il y a équiprobabilité et l'univers comporte $6$ issues donc}
			\mathbb{P}(B) &= \frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} \\
			&= 4\times \frac{1}{6}\\
			&= \frac{2}{3}
		\end{align*}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			Ainsi $\mathbb{P}(B)=\frac{2}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
		Nous retiendrons le résultat suivant que nous utiliserons souvent dans les exercices
		
		\begin{corollaire}
			
			S'il y a équiprobabilité et que l'univers comporte $n\in \mathbb{N}^*$ issues alors la probabilité d'un événement $A$ réalisé par $k$ issues (donc $k\le n$) est \[ P(A)=\frac{k}{n} \]
			
		\end{corollaire}
		
		
		\item \objectif{Calculons $P(A)$.}
		
		\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
		
		{\color{orange}	L'événement nous est présenté par une propriété il faut le traduire par un sous-ensemble de l'univers.}
		
		$A=\{ 2\ ;\ 4\ ;\ 6 \}$.
		
		\begin{itemize}
			\item Il y a équiprobabilité.
			\item L'univers comporte $6$ issues.
			\item $A$ est réalisé par $3$ issues.
		\end{itemize}
		
		Donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(A) = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $P(A\cap B)$.}
		
		\begin{itemize}
			\item Il y a équiprobabilité.
			\item L'univers comporte $6$ issues.
			\item {\color{orange}$A\cap B$ est formé des issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$. Il faut donc trouver les éléments communs aux deux ensembles.}
			
			$A\cap B=\{ 4\ ;\ 6  \}$ donc $A\cap B$ est réalisé par $2$ issues.
		\end{itemize}
		
		donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(A\cap B) = \frac{2}{6} 	= \frac{1}{3}$
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $P(A\cup B)$.}
		
		{\color{orange}$A\cup B$ est formé des issues qui réalisent $A$ ou $B$ (au moins l'un des deux). Il faut donc trouver les éléments des deux ensembles.}
		
		$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}= \frac{5}{6}$
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(A\cup B)= \frac{5}{6}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $P(\overline{A})$.}
		
		$P(\overline{A}) =  1-P(A) = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(\overline{A})=\frac{1}{2}$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un jeu consiste a lancer deux dés cubiques parfaitement équilibrés numérotés de 1 à 6.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sous forme d'un tableau l'univers associé à cette expérience.
		
		\begin{notabene}
			
			À noter: la représentation sous forme de tableau est particulièrement recommandée lorsqu'on réalise deux expériences simultanément.
			
		\end{notabene}
		
		\item Calculez la probabilité d'obtenir 6 sur les deux dés.
		\item On note $A$: \og La somme des nombres obtenus égale 3\fg{}. Calculez la probabilité de l'événement $A$.
		\item On note $B$: \og le produit des nombres obtenus égale 6\fg{}. Calculez la probabilité de l'événement $B$.
		\item On note $C$: \og le produit des nombres obtenus égale 7\fg{}. Calculez la probabilité de l'événement $C$.
		\item On note $D$: \og la somme des nombres obtenus est strictement supérieure à 3\fg{}. Calculez la probabilité de l'événement $D$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire une correction d'une question avec le tableau représentant la loi de probabilité qui n'est pas l'équiprobabilité.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Lorsque les résultats d'une expérience aléatoire comme ici sont formés de deux données (un nombre pour chaque dé) il est souvent intéressant de représenter l'expérience par un tableau double-entrée comme ci-dessous. 
			
			Cependant les arbres probabilistes peuvent aussi être utilisés et permettent de représenter davantage de situations que le tableau double-entrée.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
				\\
				\hline
				1 & $(1;1)$ & $(1;2)$ & $(1;3)$ & $(1;4)$ & $(1;5)$ & $(1;6)$
				\\
				\hline
				2 & $(2;1)$ & $(2;2)$ & $(2;3)$ & $(2;4)$ & $(2;5)$ & $(2;6)$
				\\
				\hline
				3 & $(3;1)$ & $(3;2)$ & $(3;3)$ & $(3;4)$ & $(3;5)$ & $(3;6)$
				\\
				\hline
				4 & $(4;1)$ & $(4;2)$ & $(4;3)$ & $(4;4)$ & $(4;5)$ & $(4;6)$
				\\
				\hline
				5 & $(5;1)$ & $(5;2)$ & $(5;3)$ & $(5;4)$ & $(5;5)$ & $(5;6)$
				\\
				\hline
				6 & $(6;1)$ & $(6;2)$ & $(6;3)$ & $(6;4)$ & $(6;5)$ & $(6;6)$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Ainsi l'univers est formé de $36$ couples correspondant aux résultats obtenus sur les deux dés.
		
		\item {\color{orange}L'événement dont il est questio n'ayant pas de nom nous allon lui en donné un.} Notons $E$: \og obtenir $6$ sur les deux dés\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
		
		$E=\{ (6;6) \}$.
		
		
		Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et $E$ est réalisé par une issue donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(E)=\frac{1}{36}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Déterminons les sommes associées à chaque issue sous forme d'un tableau.	
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \texttt{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
				\\
				\hline
				1 & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
				\\
				\hline
				2 & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
				\\
				\hline
				3 & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
				\\
				\hline
				4 & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				5 & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$
				\\
				\hline
				6 & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A= \{ (1;2), (2;1) \}$.
		
		Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et $A$ est réalisé par $2$ issues donc $\mathbb{P}(A)=\frac{2}{36}$.
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{18}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Pour cette question nous arions pu choisir une modélisation alternative. 
			
			En choisissant comme issue la somme des nombres sur les deux faces nous obtenons comme univers: $\Omega= \{ 2; 3; 4; \dots; 11; 12 \}$. Et la loi de probabilité correspondante est alors:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Issues & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12
					\\
					\hline
					Proba & $\frac{1}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{1}{36}$
					\\
					\hline 
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Remarquons tout de même que pour faire cette modélisation nous avons en fait utilisé de façon implicite l'équiprobabilité de la précédente modélisation.}
		
		\item Déterminons les sommes associées à chaque issue sous forme d'un tableau.	
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \texttt{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
				\\
				\hline
				1 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				2 & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ & $10$ & $12$
				\\
				\hline
				3 & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ & $15$ & $18$
				\\
				\hline
				4 & $4$ & $8$ & $12$ & $16$ & $20$ & $24$
				\\
				\hline
				5 & $5$ & $10$ & $15$ & $20$ & $25$ & $30$
				\\
				\hline
				6 & $6$ & $12$ & $18$ & $24$ & $30$ & $36$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		$B= \{ (1;6), (2;3), (3;2), (6;1) \}$.
		
		Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et $B$ est réalisé par $4$ issues donc $\mathbb{P}(B)=\frac{4}{36}$.
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=\frac{1}{9}$.
			
		\end{conclusion}		
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
		
		$C= \emptyset$.
		
		{\color{orange}Peu importe la loi de probabilité dans ce cas puisqu'il s'agit d'un événement impossible:}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(C)=0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
		
		{\color{orange}L'événement $D$ rassemblant de nombreuses issues nous préférerons (mais ce n'est pas une obligation) considérer un événement contraire.}
		
		\medskip
		$\overline{D}$: \og la somme est inférieure (ou égale) à $3$ \fg{} donc: $\overline{D}= \{ ((1;1) \}$.
		
		Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et $\overline{D}$ est réalisé par $1$ issues donc $\mathbb{P}\left( \overline{D} \right) = \frac{1}{36}$.
		
		Donc: $\mathbb{P}(D)= 1- \mathbb{P} \left( \overline{D} \right)=1 -\frac{1}{36}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(D)= \frac{35}{36}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Un square est équipé de trois bancs. Deux personnes arrivent successivement et s'installent au hasard. L'objet de l'exercice est  de déterminer la probabilité que ces personnes soient assises côte à côte.
	
	Les trois bancs sont notés $A$, $B$ et $C$.
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre.
		\item Calculez la probabilité que les deux personnes s'assoient sur le banc $A$.
		\item Calculez la probabilité que les deux personnes s'assoient côte à côte.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
			\coordinate (A1) at (0,8);
			\coordinate (A2) at (0,6);
			\coordinate (A3) at (0,4);
			\coordinate (A4) at (0,2);
			\coordinate (A5) at (0,0);
			\coordinate (A6) at (0,-2);
			\coordinate (A7) at (0,-4);
			\coordinate (A8) at (0,-6);
			\coordinate (A9) at (0,-8);
			\coordinate (B1) at (-2,6);
			\coordinate (B2) at (-2,0);
			\coordinate (B3) at (-2,-6);
			\coordinate (C1) at (-4,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$A$};
			\draw node (A2) at (A2) {$B$};
			\draw node (A3) at (A3) {$C$};	
			\draw node (A4) at (A4) {$A$};
			\draw node (A5) at (A5) {$B$};
			\draw node (A6) at (A6) {$C$};	
			\draw node (A7) at (A7) {$A$};
			\draw node (A8) at (A8) {$B$};
			\draw node (A9) at (A9) {$C$};
			\draw node (B1) at (B1) {$A$};
			\draw node (B2) at (B2) {$B$};
			\draw node (B3) at (B3) {$C$};
			\draw (B1)--(A1);
			\draw (B1)--(A2);
			\draw (B1)--(A3);
			\draw (B2)--(A4);
			\draw (B2)--(A5);
			\draw (B2)--(A6);
			\draw (B3)--(A7);
			\draw (B3)--(A8);
			\draw (B3)--(A9);
			\draw (B1)--(C1);
			\draw (B2)--(C1);
			\draw (B3)--(C1);	
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Ainsi $\Omega= \{ AA; AB; AC; BA; BB; BC; CA; CB; CC \}$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Un peu de vocabulaire sur les arbres.
			\begin{itemize}
				\item Les lettres sont appelés des \emph{\color{purple}nœuds}: ici $A$, $B$ et $C$ sont des nœuds. Le premier nœud n'est pas désigné par une lettre et est appelé la racine de l'arbre.
				
				\item Les segments qui relient deux nœuds sont appelés des \emph{\color{purple}branches}: \begin{tikzpicture}	[yscale=0.15]
				\coordinate (A2) at (0,6);
				\coordinate (B1) at (-2,6);
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (B1) at (B1) {$A$};
				\draw (B1)--(A2);
				\end{tikzpicture} est une branche.
				
				\item Un embranchement est formé d'un nœud et des branches qui en partent: 
				\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,8);
				\coordinate (A2) at (0,6);
				\coordinate (A3) at (0,4);
				\coordinate (B1) at (-2,6);
				\draw node (A1) at (A1) {$A$};
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (A3) at (A3) {$C$};
				\draw node (B1) at (B1) {$A$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);	
				\end{tikzpicture} est un embranchement.
				
				\item Un \emph{\color{purple}niveau} est formé de tous les embranchements qui sont également éloignés de la racine:
				
				\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,8);
				\coordinate (A2) at (0,6);
				\coordinate (A3) at (0,4);
				\coordinate (A4) at (0,2);
				\coordinate (A5) at (0,0);
				\coordinate (A6) at (0,-2);
				\coordinate (A7) at (0,-4);
				\coordinate (A8) at (0,-6);
				\coordinate (A9) at (0,-8);
				\coordinate (B1) at (-2,6);
				\coordinate (B2) at (-2,0);
				\coordinate (B3) at (-2,-6);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$A$};
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (A3) at (A3) {$C$};	
				\draw node (A4) at (A4) {$A$};
				\draw node (A5) at (A5) {$B$};
				\draw node (A6) at (A6) {$C$};	
				\draw node (A7) at (A7) {$A$};
				\draw node (A8) at (A8) {$B$};
				\draw node (A9) at (A9) {$C$};
				\draw node (B1) at (B1) {$A$};
				\draw node (B2) at (B2) {$B$};
				\draw node (B3) at (B3) {$C$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw (B3)--(A7);
				\draw (B3)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B1)--(C1);
				\draw (B2)--(C1);
				\draw (B3)--(C1);
				\draw[red,very thick] (-1.7,8.5)--(0.2,8.5)--(0.2,-8.5)--(-1.7,-8.5)--cycle;
				\draw[red] (-1,0) node[fill=white]{niveau 2};
				\draw[green,very thick] (-4.1,8.5)--(-1.8,8.5)--(-1.8,-8.5)--(-4.1,-8.5)--cycle;
				\draw[green] (-3,0) node[fill=white]{niveau 1};
				\end{tikzpicture}
				
				\item Un \emph{\color{purple}chemin} est formé d'une succession de nœuds et de branches qui partent de la racine pour aboutir à une feuille de l'arbre. En rouge ci-dessous est indiqué un chemin:
				
				\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,8);
				\coordinate (A2) at (0,6);
				\coordinate (A3) at (0,4);
				\coordinate (A4) at (0,2);
				\coordinate (A5) at (0,0);
				\coordinate (A6) at (0,-2);
				\coordinate (A7) at (0,-4);
				\coordinate (A8) at (0,-6);
				\coordinate (A9) at (0,-8);
				\coordinate (B1) at (-2,6);
				\coordinate (B2) at (-2,0);
				\coordinate (B3) at (-2,-6);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$A$};
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (A3) at (A3) {$C$};	
				\draw node (A4) at (A4) {$A$};
				\draw node (A5) at (A5) {$B$};
				\draw node (A6) at (A6) {$C$};	
				\draw node (A7) at (A7) {$\color{red}A$};
				\draw node (A8) at (A8) {$B$};
				\draw node (A9) at (A9) {$C$};
				\draw node (B1) at (B1) {$A$};
				\draw node (B2) at (B2) {$B$};
				\draw node (B3) at (B3) {$\color{red}C$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw[red,very thick] (B3)--(A7);
				\draw (B3)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B1)--(C1);
				\draw (B2)--(C1);
				\draw[red,very thick] (B3)--(C1);
				\end{tikzpicture}
				
				Dans un arbre probabiliste ce sont les chemins et non les nœuds qui représentent les issues. Dans cet arbre il y a $9$ chemins qui correspondent à autant d'issues. Les issues sont souvent désignés par la succession (dans l'ordre) des nœuds: $CA$ est le chemin passant d'abord par $C$ puis par $A$.
			\end{itemize}
		}
		
		\item Notons $E_1$: \og Les deux personnes s'assoient sur le banc $A$. \fg{}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
		
		$E_1= \{ AA\}$
		
		Il y a équiprobabilité, $E_1$ est réalisé par $1$ issue et l'univers comporte $9$ issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(E_1)= \frac{1}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $E_2$: \og Les deux personnes s'assoient sur le même banc. \fg{}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_2)$.}
		
		$E_2= \{ AA; BB; CC \}$
		
		Il y a équiprobabilité, $E_2$ est réalisé par $3$ issues et l'univers comporte $9$ issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(E_2)= \frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64241&ordre=1}{Exercice 32 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	On lance $3$ fois une pièce bien équilibrée.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Représentez la situation par un arbre.
		
		\item Quelle est la probabilité:
		
		\begin{enumerate}
			\item d'avoir $3$ faces?
			
			\item que le deuxième jet soit face?
			
			\item que le troisième jet soit différent du premier?
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (4,6);
			\coordinate (A2) at (4,2);
			\coordinate (A3) at (4,-2);
			\coordinate (A4) at (4,-6);
			\coordinate (B1) at (2,4);
			\coordinate (B2) at (2,-4);
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\coordinate (D1) at (6,7);
			\coordinate (D2) at (6,5);
			\coordinate (D3) at (6,3);
			\coordinate (D4) at (6,1);
			\coordinate (D5) at (6,-1);
			\coordinate (D6) at (6,-3);
			\coordinate (D7) at (6,-5);
			\coordinate (D8) at (6,-7);
			\draw node (A11) at (A1) {$F$};	
			\draw node (A12) at (A2) {$P$};
			\draw node (A13) at (A3) {$F$};
			\draw node (A14) at (A4) {$P$};
			\draw node (B11) at (B1) {$F$};
			\draw node (B12) at (B2) {$P$};
			\draw node (D11) at (D1) {$F$};
			\draw node (D12) at (D2) {$P$};
			\draw node (D13) at (D3) {$F$};
			\draw node (D14) at (D4) {$P$};
			\draw node (D15) at (D5) {$F$};
			\draw node (D16) at (D6) {$P$};
			\draw node (D17) at (D7) {$F$};
			\draw node (D18) at (D8) {$P$};
			\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{};
			\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{};
			\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{};
			\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D11)--(A11)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D12)--(A11)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D13)--(A12)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D14)--(A12)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D15)--(A13)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D16)--(A13)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D17)--(A14)node[midway,sloped,below]{};
			\draw (D18)--(A14)node[midway,sloped,below]{};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		{\color{orange} Une issue de cette expérience est ici formée d'un triplet de résultats de pile ou face. Par exemple $PFP$ est l'issue obtenir d'abord pile, puis face et enfin pile.}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(FFF)$.}
			
			Il y a équiprobabilité et l'univers comporte $8$ issues donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(FFF)=\frac{1}{8}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $A$: \og le deuxième jet est face \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			$A= \{ FFF,\ FFP,\ PFF,\ PFP \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $A$ est réalisé par $4$ issues et l'univers contient $8$ issues donc $\mathbb{P}(A)=\frac{4}{8}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)= \frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $B$: \og le troisième jet est différent du premier \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			$B= \{ FFP,\ FPP,\ PFF,\ PPF \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $B$ est réalisé par $4$ issues et l'univers contient $8$ issues donc $\mathbb{P}(A)=\frac{4}{8}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)= \frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Un examinateur doit interroger, dans un certain ordre, quatre candidats: Arthur, Béatrice, Chloé et David. Il doit établir une liste ordonnée de quatre noms.
	
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un arbre, déterminez le nombre de listes possibles.
		
		\begin{notabene}
			
			L'arbre est particulièrement adapté dans les situation d'enchaînement d'étapes et notamment sans remise.
			
		\end{notabene}
		
		\item L'examinateur tire la liste des quatre noms au hasard, chaque liste possible, ayant la même probabilité.
		
		Déterminez la probabilité de chacun des événements suivants:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $E$:\og Béatrice est interrogée en premier\fg{}.
			\item $F$:\og Chloé est interrogée en dernier\fg{}.
			\item $G$:\og David est interrogé avant Béatrice\fg{}.
		\end{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'événement $E\cap F$ et en donner la probabilité.
		\item Définir par une phrase l'événement $E\cup F$ et en donner la probabilité.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item {\color{orange}L'arbre est particulièrement recommandé pour représenter une situation ou des choix successifs sont fait: chaque niveau de l'arbre correspond  un choix. Ainsi les niveaux de l'arbre représentent une chronologie.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,23);
				\coordinate (A2) at (0,21);
				\coordinate (A3) at (0,19);
				\coordinate (A4) at (0,17);
				\coordinate (A5) at (0,15);
				\coordinate (A6) at (0,13);
				\coordinate (A7) at (0,11);
				\coordinate (A8) at (0,9);
				\coordinate (A9) at (0,7);
				\coordinate (A10) at (0,5);
				\coordinate (A11) at (0,3);
				\coordinate (A12) at (0,1);
				\coordinate (A13) at (0,-1);
				\coordinate (A14) at (0,-3);
				\coordinate (A15) at (0,-5);
				\coordinate (A16) at (0,-7);
				\coordinate (A17) at (0,-9);
				\coordinate (A18) at (0,-11);
				\coordinate (A19) at (0,-13);
				\coordinate (A20) at (0,-15);
				\coordinate (A21) at (0,-17);
				\coordinate (A22) at (0,-19);
				\coordinate (A23) at (0,-21);
				\coordinate (A24) at (0,-23);
				\coordinate (B1) at (-2,23);
				\coordinate (B2) at (-2,21);
				\coordinate (B3) at (-2,19);
				\coordinate (B4) at (-2,17);
				\coordinate (B5) at (-2,15);
				\coordinate (B6) at (-2,13);
				\coordinate (B7) at (-2,11);
				\coordinate (B8) at (-2,9);
				\coordinate (B9) at (-2,7);
				\coordinate (B10) at (-2,5);
				\coordinate (B11) at (-2,3);
				\coordinate (B12) at (-2,1);
				\coordinate (B13) at (-2,-1);
				\coordinate (B14) at (-2,-3);
				\coordinate (B15) at (-2,-5);
				\coordinate (B16) at (-2,-7);
				\coordinate (B17) at (-2,-9);
				\coordinate (B18) at (-2,-11);
				\coordinate (B19) at (-2,-13);
				\coordinate (B20) at (-2,-15);
				\coordinate (B21) at (-2,-17);
				\coordinate (B22) at (-2,-19);
				\coordinate (B23) at (-2,-21);
				\coordinate (B24) at (-2,-23);
				\coordinate (C1) at (-4,22);
				\coordinate (C2) at (-4,18);
				\coordinate (C3) at (-4,14);
				\coordinate (C4) at (-4,10);
				\coordinate (C5) at (-4,6);
				\coordinate (C6) at (-4,2);
				\coordinate (C7) at (-4,-2);
				\coordinate (C8) at (-4,-6);
				\coordinate (C9) at (-4,-10);
				\coordinate (C10) at (-4,-14);
				\coordinate (C11) at (-4,-18);
				\coordinate (C12) at (-4,-22);
				\coordinate (D1) at (-6,18);
				\coordinate (D2) at (-6,6);
				\coordinate (D3) at (-6,-6);
				\coordinate (D4) at (-6,-18);
				\coordinate (E1) at (-8,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$D$};
				\draw node (A2) at (A2) {$C$};
				\draw node (A3) at (A3) {$D$};	
				\draw node (A4) at (A4) {$B$};
				\draw node (A5) at (A5) {$C$};
				\draw node (A6) at (A6) {$B$};	
				\draw node (A7) at (A7) {$D$};
				\draw node (A8) at (A8) {$C$};
				\draw node (A9) at (A9) {$D$};
				\draw node (A10) at (A10) {$A$};
				\draw node (A11) at (A11) {$C$};
				\draw node (A12) at (A12) {$A$};	
				\draw node (A13) at (A13) {$D$};
				\draw node (A14) at (A14) {$B$};
				\draw node (A15) at (A15) {$D$};	
				\draw node (A16) at (A16) {$A$};
				\draw node (A17) at (A17) {$B$};
				\draw node (A18) at (A18) {$A$};
				\draw node (A19) at (A19) {$C$};
				\draw node (A20) at (A20) {$B$};
				\draw node (A21) at (A21) {$C$};
				\draw node (A22) at (A22) {$A$};
				\draw node (A23) at (A23) {$B$};
				\draw node (A24) at (A24) {$A$};
				\draw node (B1) at (B1) {$C$};
				\draw node (B2) at (B2) {$D$};
				\draw node (B3) at (B3) {$B$};	
				\draw node (B4) at (B4) {$D$};
				\draw node (B5) at (B5) {$B$};
				\draw node (B6) at (B6) {$C$};	
				\draw node (B7) at (B7) {$C$};
				\draw node (B8) at (B8) {$D$};
				\draw node (B9) at (B9) {$A$};
				\draw node (B10) at (B10) {$D$};
				\draw node (B11) at (B11) {$A$};
				\draw node (B12) at (B12) {$C$};	
				\draw node (B13) at (B13) {$B$};
				\draw node (B14) at (B14) {$D$};
				\draw node (B15) at (B15) {$A$};	
				\draw node (B16) at (B16) {$D$};
				\draw node (B17) at (B17) {$A$};
				\draw node (B18) at (B18) {$B$};
				\draw node (B19) at (B19) {$B$};
				\draw node (B20) at (B20) {$C$};
				\draw node (B21) at (B21) {$A$};
				\draw node (B22) at (B22) {$C$};
				\draw node (B23) at (B23) {$A$};
				\draw node (B24) at (B24) {$B$};
				\draw node (C1) at (C1) {$B$};
				\draw node (C2) at (C2) {$C$};
				\draw node (C3) at (C3) {$D$};
				\draw node (C4) at (C4) {$A$};
				\draw node (C5) at (C5) {$C$};
				\draw node (C6) at (C6) {$D$};
				\draw node (C7) at (C7) {$A$};
				\draw node (C8) at (C8) {$B$};
				\draw node (C9) at (C9) {$D$};
				\draw node (C10) at (C10) {$A$};
				\draw node (C11) at (C11) {$B$};
				\draw node (C12) at (C12) {$C$};
				\draw node (D1) at (D1) {$A$};
				\draw node (D2) at (D2) {$B$};
				\draw node (D3) at (D3) {$C$};
				\draw node (D4) at (D4) {$D$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B2)--(A2);
				\draw (B3)--(A3);
				\draw (B4)--(A4);
				\draw (B5)--(A5);
				\draw (B6)--(A6);
				\draw (B7)--(A7);
				\draw (B8)--(A8);
				\draw (B9)--(A9);
				\draw (B10)--(A10);
				\draw (B11)--(A11);
				\draw (B12)--(A12);
				\draw (B13)--(A13);
				\draw (B14)--(A14);
				\draw (B15)--(A15);
				\draw (B16)--(A16);
				\draw (B17)--(A17);
				\draw (B18)--(A18);
				\draw (B19)--(A19);
				\draw (B20)--(A20);
				\draw (B21)--(A21);
				\draw (B22)--(A22);
				\draw (B23)--(A23);
				\draw (B24)--(A24);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C2)--(B3);
				\draw (C2)--(B4);
				\draw (C3)--(B5);
				\draw (C3)--(B6);
				\draw (C4)--(B7);
				\draw (C4)--(B8);
				\draw (C5)--(B9);
				\draw (C5)--(B10);
				\draw (C6)--(B11);
				\draw (C6)--(B12);
				\draw (C7)--(B13);
				\draw (C7)--(B14);
				\draw (C8)--(B15);
				\draw (C8)--(B16);
				\draw (C9)--(B17);
				\draw (C9)--(B18);
				\draw (C10)--(B19);
				\draw (C10)--(B20);
				\draw (C11)--(B21);
				\draw (C11)--(B22);
				\draw (C12)--(B23);
				\draw (C12)--(B24);
				\draw (D1)--(C1);
				\draw (D1)--(C2);
				\draw (D1)--(C3);
				\draw (D2)--(C4);
				\draw (D2)--(C5);
				\draw (D2)--(C6);
				\draw (D3)--(C7);
				\draw (D3)--(C8);
				\draw (D3)--(C9);
				\draw (D4)--(C10);
				\draw (D4)--(C11);
				\draw (D4)--(C12);
				\draw (D1)--(E1);
				\draw (D2)--(E1);
				\draw (D3)--(E1);
				\draw (D4)--(E1);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			L'univers contient $24$ issues.
			
			{\color{orange}Rappelons qu'une issue correspond à un chemin sur l'arbre donc ici une issue peut être représentée par une succession de $4$ lettres.}
			
			\item \objectif{Calculons $P(E)$.}
			
			$E=\{ BACD; BADC; BCAD; BCDA; BDAC; BDCA \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $E$ est réalisé par $6$ issues, l'univers contient $24$issues, donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle P(E)= \frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $P(F)$.}
			
			$F=\{ ABDC; ADBC; BADC; BDAC; DABC; DBAC \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $F$ est réalisé par $6$ issues, l'univers contient $24$ issues, donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle P(F)= \frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $P(G)$.}
			
			$G=\left\{ ACDB; ADBC; ADCB; CADB; CDAB; CDBA; DABC;\right.$ 
			
			$\left. DACB; DBAC; DBCA; DCAB; DCBA \right\}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $G$ est réalisé par $12$ issues, l'univers contient $24$ issues, donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle P(G)= \frac{12}{24}=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64245&ordre=1}{Exercice 36 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité sans répétition.
		
	\end{notabene}
	
	Au restaurant scolaire, les élèves ont le choix
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item entre 2 entrées: Artichaut ou Betterave;
		\item entre 3 plats: Cheval, Daube ou Escalope;
		\item entre 2 desserts: Fromage ou Gâteau.
	\end{enumerate}
	
	Un menu se compose:
	
	\begin{itemize}
		\item d'une entrée; \item d'un plat;  \item d'un dessert.
	\end{itemize}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item En utilisant un arbre, représenter tous les menus.
		\item Combien de menus différents sont possibles?
		\item On choisit un menu au hasard. \\ Quelle est la probabilité:
		
		\begin{enumerate}
			\item qu'il comporte une escalope?
			\item qu'il comporte de l'artichaut et du fromage?
			\item qu'il ne comporte pas de cheval?
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item En utilisant des notations transparentes au vu de l'énoncé:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (6,11);
				\coordinate (A2) at (6,9);
				\coordinate (A3) at (6,7);
				\coordinate (A4) at (6,5);
				\coordinate (A5) at (6,3);
				\coordinate (A6) at (6,1);
				\coordinate (A7) at (6,-1);
				\coordinate (A8) at (6,-3);
				\coordinate (A9) at (6,-5);
				\coordinate (A10) at (6,-7);
				\coordinate (A11) at (6,-9);
				\coordinate (A12) at (6,-11);
				\coordinate (B1) at (3,10);
				\coordinate (B2) at (3,6);
				\coordinate (B3) at (3,2);
				\coordinate (B4) at (3,-2);
				\coordinate (B5) at (3,-6);
				\coordinate (B6) at (3,-10);
				\coordinate (C1) at (0,6);
				\coordinate (C2) at (0,-6);
				\coordinate (D1) at (-3,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$F$};
				\draw node (A2) at (A2) {$G$};
				\draw node (A3) at (A3) {$F$};
				\draw node (A4) at (A4) {$G$};
				\draw node (A5) at (A5) {$F$};
				\draw node (A6) at (A6) {$G$};
				\draw node (A7) at (A7) {$F$};
				\draw node (A8) at (A8) {$G$};
				\draw node (A9) at (A9) {$F$};
				\draw node (A10) at (A10) {$G$};
				\draw node (A11) at (A11) {$F$};
				\draw node (A12) at (A12) {$G$};
				\draw node (B1) at (B1) {$C$};
				\draw node (B2) at (B2) {$D$};
				\draw node (B3) at (B3) {$E$};
				\draw node (B4) at (B4) {$C$};
				\draw node (B5) at (B5) {$D$};
				\draw node (B6) at (B6) {$E$};
				\draw node (C1) at (C1) {$A$};
				\draw node (C2) at (C2) {$B$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B2)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B3)--(A5);
				\draw (B3)--(A6);
				\draw (B4)--(A7);
				\draw (B4)--(A8);
				\draw (B5)--(A9);
				\draw (B5)--(A10);
				\draw (B6)--(A11);
				\draw (B6)--(A12);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C1)--(B3);
				\draw (C2)--(B4);
				\draw (C2)--(B5);
				\draw (C2)--(B6);
				\draw (D1)--(C1);
				\draw (D1)--(C2);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			L'univers comporte donc $12$ issues. Par exemple $BDF$ est une issue.
			
			\item D'après l'arbre
			
			\begin{conclusion}
				
				$12$ menus sont possibles.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item Notons $M_1$: \og le menu comporte une escalope \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M_1)$.}
				
				$M_1=\{ AEF, AEG, BEF, BEG \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $M_1$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(M_1)=\frac{4}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(M_1)= \frac{1}{3}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $M_2$: \og le menu comporte de l'artichaut et du fromage \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M_2)$.}
				
				$M_2=\{ ACF, ADF, AEF \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $M_2$ est réalisé par $3$ issues donc: $\mathbb{P}(M_2)=\frac{3}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(M_2)= \frac{1}{4}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $M_3$: \og le menu ne comporte pas de cheval \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M_3)$.}
				
				$\overline{M_3}=\{ ACF, ACG, BCF, BCG \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $\overline{M_3}$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(\overline{M_3})=\frac{4}{12}$.
				
				Nous en déduisons:
				
				\begin{align*}
					\mathbb{P}(M_3) &= 1 - \mathbb{P}(\overline{M_3})\\
					&= 1-\frac{4}{12}\\
					&=\frac{8}{12}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(M_3)= \frac{2}{3}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64246&ordre=1}{Exercice 37 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité sans remise.
		
	\end{notabene}
	
	Un groupe de 4 amis, Émile, Flore, Gaston et Hélène sont dans un bateau. Ils tirent au sort celui qui va ramer et, parmi les noms restants, celui qui va écoper.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation par un arbre.
		\item Déterminer les probabilités suivantes.
		\begin{enumerate}
			\item C'est un garçon qui rame.
			\item Hélène écope.
			\item Les deux qui travaillent sont de même sexe.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}  
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,11);
				\coordinate (A2) at (0,9);
				\coordinate (A3) at (0,7);
				\coordinate (A4) at (0,5);
				\coordinate (A5) at (0,3);
				\coordinate (A6) at (0,1);
				\coordinate (A7) at (0,-1);
				\coordinate (A8) at (0,-3);
				\coordinate (A9) at (0,-5);
				\coordinate (A10) at (0,-7);
				\coordinate (A11) at (0,-9);
				\coordinate (A12) at (0,-11);
				\coordinate (B1) at (-2,9);
				\coordinate (B2) at (-2,3);
				\coordinate (B3) at (-2,-3);
				\coordinate (B4) at (-2,-9);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$F$};
				\draw node (A2) at (A2) {$G$};
				\draw node (A3) at (A3) {$H$};
				\draw node (A4) at (A4) {$E$};
				\draw node (A5) at (A5) {$G$};
				\draw node (A6) at (A6) {$H$};
				\draw node (A7) at (A7) {$E$};
				\draw node (A8) at (A8) {$F$};
				\draw node (A9) at (A9) {$H$};
				\draw node (A10) at (A10) {$E$};
				\draw node (A11) at (A11) {$F$};
				\draw node (A12) at (A12) {$G$};
				\draw node (B1) at (B1) {$E$};
				\draw node (B2) at (B2) {$F$};
				\draw node (B3) at (B3) {$G$};
				\draw node (B4) at (B4) {$H$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw (B3)--(A7);
				\draw (B3)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B4)--(A10);
				\draw (B4)--(A11);
				\draw (B4)--(A12);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C1)--(B3);
				\draw (C1)--(B4);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Notons $R_1$: \og un garçon rame \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R_1)$.}
				
				$R_1=\{ EF, EG, EH, GE, GF, GH \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $R_1$ est réalisé par $6$ issues donc: $\mathbb{P}(R_1)=\frac{6}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(R_1)= \frac{1}{2}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $R_2$: \og Hélène écope \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R_2)$.}
				
				$R_2=\{ HE, HF, HG \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $R_2$ est réalisé par $3$ issues donc: $\mathbb{P}(R_2)=\frac{3}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(R_2)= \frac{1}{4}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $R_3$: \og les deux qui travaillent sont de même sexe \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R_3)$.}
				
				$R_3=\{ EG, H, GE, HF \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $R_3$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(R_4)=\frac{4}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(R_3)= \frac{1}{3}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64249&ordre=1}{Exercice 40 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité sans remise.
		
	\end{notabene}
	
	Trois CD notés $a$, $b$ et $c$ ont respectivement des boîtes nommées $A$, $B$ et $C$.
	
	On range les 3 CD au hasard dans les boîtes sans voir leur étiquette.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien de rangements sont possibles?
		\item Quelle est la probabilité 
		\begin{enumerate}
			\item que les 3 CD soient bien rangés?
			\item qu'exactement 1 CD soit bien rangé?
			\item qu'exactement 2 CD soient bien rangés?
		\end{enumerate}
		\item En déduire la probabilité qu'aucun CD ne soit bien rangé.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A1) at (6,5);
				\coordinate (A2) at (6,3);
				\coordinate (A3) at (6,1);
				\coordinate (A4) at (6,-1);
				\coordinate (A5) at (6,-3);
				\coordinate (A6) at (6,-5);
				\coordinate (B1) at (3,5);
				\coordinate (B2) at (3,3);
				\coordinate (B3) at (3,1);
				\coordinate (B4) at (3,-1);
				\coordinate (B5) at (3,-3);
				\coordinate (B6) at (3,-5);
				\coordinate (C1) at (0,4);
				\coordinate (C2) at (0,0);
				\coordinate (C3) at (0,-4);
				\coordinate (D1) at (-3,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$C$};
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (A3) at (A3) {$C$};
				\draw node (A4) at (A4) {$A$};
				\draw node (A5) at (A5) {$B$};
				\draw node (A6) at (A6) {$A$};
				\draw node (B1) at (B1) {$B$};
				\draw node (B2) at (B2) {$C$};
				\draw node (B3) at (B3) {$A$};
				\draw node (B4) at (B4) {$C$};
				\draw node (B5) at (B5) {$A$};
				\draw node (B6) at (B6) {$B$};
				\draw node (C1) at (C1) {$A$};
				\draw node (C2) at (C2) {$B$};
				\draw node (C3) at (C3) {$C$};
				\draw (D1)--(C1);
				\draw (D1)--(C2);
				\draw (D1)--(C3);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C2)--(B3);
				\draw (C2)--(B4);
				\draw (C3)--(B5);
				\draw (C3)--(B6);
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B2)--(A2);
				\draw (B3)--(A3);
				\draw (B4)--(A4);
				\draw (B5)--(A5);
				\draw (B6)--(A6);
				\draw[red] (-3.2,8)--(0.2,8)--(0.2,-7)--(-3.2,-7)--cycle;
				\draw [red] (-1.3,7.5)node{Choix boîte};
				\draw [red] (-1.3,7)node{du CD $a$};
				\draw[green] (0.3,8)--(3.2,8)--(3.2,-7)--(0.3,-7)--cycle;
				\draw [green] (1.5,7)node{Choix boîte};
				\draw [green] (1.5,6.5)node{du CD $b$};
				\draw[violet] (3.3,8)--(6.2,8)--(6.2,-7)--(3.3,-7)--cycle;
				\draw [violet] (4.7,7.5)node{Rangement};
				\draw [violet] (4.7,7)node{du CD $c$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item Notons $E_1$: \og les trois CD sont bien rangés\fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
				
				$E_1= \{ ABC \}$.
				
				La loi de probabilité est l'équiprobabilité, l'univers comporte $6$ issues et $E_1$ est réalisé par une issue donc: 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(E_1)=\frac{1}{6}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $E_2$: \og exactement un CD est bien rangé \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_2)$.}
				
				$E_2= \{ ACB, BAC, CBA \}$.
				
				La loi de probabilité est l'équiprobabilité, l'univers comporte $6$ issues et $E_2$ est réalisé par $3$ issues donc: $\mathbb{P}(E_2)=\frac{3}{6}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(E_2)=\frac{1}{2}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $E_3$: \og exactement deux CD sont bien rangés \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_3)$.}
				
				$E_3= \emptyset$.
				
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(E_3)=0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			\item Notons $E_4$: \og aucun CD n'est bien rangé\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_4)$.}
			
			$\overline{E_4} = E1 \cup E_2 \cup E_3$
			
			Comme $E_1$, $E_2$ et $E_3$ sont incompatibles (disjoints) deux à deux:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(\overline{E_4}) &= \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) + \mathbb{P}(E_3)\\
				&= \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + 0\\
				&= \frac{2}{3}
				\intertext{Donc:}
				\mathbb{P}(E_4) &= 1-\mathbb{P}(\overline{E_4})\\
				&= 1-\frac{2}{3}
			\end{align*} 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_4)=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64260&ordre=1}{Exercice 51 page 59 du Sésamath}: arbre, sans remise, union et intersection.
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient 4 jetons: deux jaunes, un rose et un violet.
	
	On tire au hasard un jeton de l'urne puis un second sans remettre le premier. 
	
	On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation par un arbre.
		\item Combien y-a-t-il de tirages possibles?
		\item On considère les événements:
		\begin{itemize}
			\item $R$: \og Le 1\ier\ jeton tiré est rose \fg;
			\item $J$: \og Le 2\ieme\ jeton tiré est jaune \fg.
		\end{itemize}
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer $\mathbb{P}(R)$ et $\mathbb{P}(J)$.
			\item Traduire par une phrase $R \cap J$. \\
			Calculer $\mathbb{P}(R \cap J)$.
			\item Calculer $\mathbb{P}(R \cup J)$.
		\end{enumerate}
		
		\item On considère l'événement:
		\begin{itemize}
			\item $N$:\og Aucun jeton tiré n'est jaune \fg.
		\end{itemize} 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $\mathbb{P}(N)$.
			\item Exprimer $\overline{N}$ par une phrase.
			\item Calculer $\mathbb{P}\left(\overline{N}\right)$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item {\color{orange}La modélisation la plus simple (car utilisant l'équiprobabilité) nécessite de distinguer les deux jetons jaunes: $J1$ et $J2$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,11);
				\coordinate (A2) at (0,9);
				\coordinate (A3) at (0,7);
				\coordinate (A4) at (0,5);
				\coordinate (A5) at (0,3);
				\coordinate (A6) at (0,1);
				\coordinate (A7) at (0,-1);
				\coordinate (A8) at (0,-3);
				\coordinate (A9) at (0,-5);
				\coordinate (A10) at (0,-7);
				\coordinate (A11) at (0,-9);
				\coordinate (A12) at (0,-11);
				\coordinate (B1) at (-2,9);
				\coordinate (B2) at (-2,3);
				\coordinate (B3) at (-2,-3);
				\coordinate (B4) at (-2,-9);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$J2$};
				\draw node (A2) at (A2) {$R$};
				\draw node (A3) at (A3) {$V$};
				\draw node (A4) at (A4) {$J1$};
				\draw node (A5) at (A5) {$R$};
				\draw node (A6) at (A6) {$V$};
				\draw node (A7) at (A7) {$J1$};
				\draw node (A8) at (A8) {$J2$};
				\draw node (A9) at (A9) {$V$};
				\draw node (A10) at (A10) {$J1$};
				\draw node (A11) at (A11) {$J2$};
				\draw node (A12) at (A12) {$R$};
				\draw node (B1) at (B1) {$J1$};
				\draw node (B2) at (B2) {$J2$};
				\draw node (B3) at (B3) {$R$};
				\draw node (B4) at (B4) {$V$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw (B3)--(A7);
				\draw (B3)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B4)--(A10);
				\draw (B4)--(A11);
				\draw (B4)--(A12);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C1)--(B3);
				\draw (C1)--(B4);
				\end{tikzpicture} 
			\end{center}
			
			\item D'après l'arbre précédent: $\#(\Omega)=12$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il y a $12$ tirages possibles.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R})$.}
				
				$\tilde{R}= \{ RJ1, RJ2, RV \}$.
				
				Il y a équiprobabilité, $\tilde{R}$ est réalisé par $3$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{R})=\frac{3}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(\tilde{R})=\frac{1}{4}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{J})$.}
				
				$\tilde{J}= \{ J1J2, J2J1, RJ1, RJ2, VJ1, VJ2 \}$.
				
				Il y a équiprobabilité, $\tilde{J}$ est réalisé par $6$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{J})=\frac{6}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(\tilde{J})=\frac{1}{2}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item ~
				
				\begin{conclusion}
					
					$\tilde{R} \cap \tilde{J}$: \og le premier jeton est rose et le second est jaune\fg{}.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})$.}
				
				$\tilde{R} \cap \tilde{J}= \{ RJ1, RJ2 \}$.
				
				Il y a équiprobabilité, $\tilde{R} \cap \tilde{J}$ est réalisé par $2$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})=\frac{2}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})=\frac{1}{6}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J})$.}
				
				{\color{orange}Ici peu importe la loi de probabilité nous allons utiliser une formule qui fonctionne pour toutes les lois de probabilités.}
				
				\begin{align*}
					\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J}) &= \mathbb{P}(\tilde{R}) + \mathbb{P}(\tilde{J}) -\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})\\
					&= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J})=\frac{7}{12}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
				
				$N= \{ VR, RV \}$.
				
				Il y a équiprobabilité, $N$ est réalisé par $2$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(N)=\frac{2}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(N)=\frac{1}{6}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item ~
				
				\begin{conclusion}
					
					$\overline{N}$ : \og au moins un jeton est jaune\fg{}.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
				
				{\color{orange}Ici peu importe la loi de probabilité nous allons utiliser une formule qui fonctionne pour toutes les lois de probabilités.}
				
				\begin{align*}
					\mathbb{P}(N) &= 1-\mathbb{P}(\overline{N})\\
					&= 1-\frac{1}{6}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(N)=\frac{5}{6}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Dans une classe de seconde, on a représenté dans le tableau suivant les langues vivantes étudiées en première langue par les 35 élèves. (On suppose que chaque élève étudie une seule première langue.)
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			& Anglais & Allemand & Espagnol \\ \hline
			Garçons & 8 & 3 & 4 \\ \hline
			Filles & 10 & 4 & 6 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On interroge au hasard un élève de cette classe. On s'intéresse aux événements suivants:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $F$: \og l'élève interrogé est une fille\fg{}.
		\item $E$: \og l'élève interrogé étudie l'espagnol comme première langue\fg{}.
	\end{enumerate}
	
	Calculez la probabilité de chacun des événements suivants: $E\cap F$, $E\cup F$, $\overline{E}\cap \overline{F}$ et $E\cup \overline{F}$.
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		Choisir un élève parmi les $35$ est une expérience aléatoire nous modélisons cette expérience par un univers de $35$ issues muni de l'équiprobabilité (chaque élève a autant d'être choisi qu'un autre).
		
		{\color{orange}Remarquons que, comme tout modélisation, le choix de l'équiprobabilité est arbitraire.}
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E \cap F)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $E \cap F$ est réalisé par $6$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E \cap F)= \frac{6}{35}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E \cup F)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $E \cup F$ est réalisé par $10+4+6+4=24$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E \cup F)= \frac{24}{35}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{E} \cup \overline{F})$.}
			
			Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $\overline{E} \cap \overline{F}$ est réalisé par $8+3=11$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\overline{E} \cup \overline{F})= \frac{11}{35}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E \cup \overline{F})$.}
			
			Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $E \cup \overline{F}$ est réalisé par $8+3+4+6=21$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E \cup \overline{F})= \frac{21}{35}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64265&ordre=1}{Exercice 56 page 60 du Sésamath}: tableau de données croisées.
		
	\end{notabene}
	
	Un car scolaire se dirige vers Saint Jacques de Compostelle en passant par Conques avec à son bord 75 élèves dont 40 garçons.
	
	Miguel, le chauffeur, fait un sondage auprès des élèves pour savoir qui aime les chants grégoriens. Il découvre alors que 32 élèves ne les aiment pas, dont la moitié sont des filles, et que $20\ \%$ des garçons les aiment, et que 18 filles n'en ont jamais entendu parler.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Recopie et complète le tableau ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
				& Aime & N'aime pas & Ne connaît pas & Total \\\hline
				Garçons & & & & \\ \hline
				Filles & & & &\\ \hline
				Total & & & & \\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item On tire au hasard la fiche d'un élève.\\ Quelle est la probabilité que:
		
		\begin{enumerate}
			\item ce soit un garçon;
			\item ce soit un garçon qui aime les chants grégoriens;
			\item ce soit un garçon ou un élève qui aime les chants grégoriens;
		\end{enumerate}
		
		\item On tire au hasard la fiche d'un garçon.\\
		Quelle est la probabilité qu'il aime les chants\\ grégoriens?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Illustre bien le fait que sur un univers fini muni de l'équiprobabilité probabilité et proportions se confondent.}
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					& Aime & N'aime pas & Ne connaît pas & Total
					\\
					\hline
					Garçons & $8$ & $16$ & $16$ & $40$ 
					\\
					\hline
					Filles & $1$ & $16$ & $18$ & $35$
					\\
					\hline
					Total & $9$ & $32$ & $34$ & $75$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item Nous choisissons l'équiprobabilité sur un univers de $75$ issues pour modéliser l'expérience aléatoire.
			
			\begin{enumerate}
				\item Notons $G$: \og la fiche est celle d'un garçon\fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(G)$.}
				
				Il y a équiprobabilité, $G$ est réalisé par $40$ issues et l'univers contient $75$ issues donc: $\mathbb{P}(G)=\frac{40}{75}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(G)=\frac{8}{15}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $H$: \og la fiche est celle d'un garçon qui aime les chants grégoriens\fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(H)$.}
				
				Il y a équiprobabilité, $H$ est réalisé par $8$ issues et l'univers contient $75$ issues donc:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(G)=\frac{8}{75}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $L$: \og la fiche est celle d'un garçon ou un élève qui aime le chant grégorien\fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(L)$.}
				
				Il y a équiprobabilité, $L$ est réalisé par $8+16+16+1=41$ issues et l'univers contient $75$ issues donc:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(G)=\frac{41}{75}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
			\item {\color{orange}Puisque la fiche est tirée parmi celle des garçons l'univers est modifié. Choisissons une modélisation adaptée.}
			
			Choisissons la loi de probabilité uniforme sur un univers de $40$ issues.
			
			\medskip
			Notons $M$: \og la fiche est celle d'un garçon qui aime le chant grégorien\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $M$ est réalisé par $8$ issues et l'univers contient $40$ issues donc: $\mathbb{P}(M)=\frac{8}{40}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M)=\frac{1}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Vous verrez l'année prochaine un outils qui permet de faire ce genre de calcul sans avoir besoin de choisir une nouvelle modélisation appelé la probabilité conditionnelle.}
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Calculez la probabilité que deux élèves d'une classe de $35$ élèves soient nés le même jour de l'année.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64243&ordre=1}{Exercice 34 page 57 du Sésamath}: situation simple avec ou sans équiprobabilité.
		
	\end{notabene}
	
	On lance un dé bien équilibré à six faces dont trois sont bleues, deux sont blanches et une est rouge.
	
	\begin{enumerate}
		\item Les trois couleurs sont-elles équiprobables?
		\item Déterminer la probabilité d'apparition de chaque couleur.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Commençons par modéliser cette situation avec l'équiprobabilité.}
		
		Notons $\Omega = \{ B_1, B_2, B_3, Bl_1, Bl_2, R\}$ et munissons cet univers de l'équiprobabilité.
		
		\medskip
		Notons
		\begin{itemize}
			\item $E_1$: \og obtenir le bleu \fg{},
			\item $E_2$: \og obtenir le blanc \fg{},
			\item $E_3$: \og obtenir le rouge \fg{}.
		\end{itemize}
		
		Comme dans tous les exercices précédents: $\mathbb{P}(E_1)=\frac{3}{6}$, $\mathbb{P}(E_2)=\frac{2}{6}$ et $\mathbb{P}(E_3)=\frac{1}{6}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les trois couleurs ne sont pas équiprobables.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Considérons une autre modélisation.}
		
		On considère $\Omega= \{ B, Bl, R \}$ muni de la loi de probabilité:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				$\omega$ & $B$ & $Bl$ & $R$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(\omega)$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{6}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		{\color{orange}Nous avons bien une probabilité puisque la somme des probabilités égale $1$.}
		
		Les probabilités sont alors immédiates et la conclusion est bien
		
		\begin{conclusion}
			
			les trois couleurs ne sont pas équiprobables.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64244&ordre=1}{Exercice 35 page 57 du Sésamath}: situation avec ou sans équiprobabilité, tableau double entrée.
		
	\end{notabene}
	
	On lance deux dés à quatre faces et on regarde la somme obtenue.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble des résultats possibles.
		\item Donner une loi de probabilités de cette expérience 
		aléatoire (justifier).
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre multiple 
		de trois?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Pour cet exercice, à titre d'exemple je choisis une modélisation qui n'utilise pas l'équiprobabilité.}
		
		\begin{enumerate}
			\item {\color{orange}
				
				Au brouillon avec un tableau double entrée:
				
				\begin{center}
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
						\hline
						& $1$ & $2$ & $3$ & $4$
						\\
						\hline
						$1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$
						\\
						\hline
						$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
						\\
						\hline
						$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
						\\
						\hline
						$4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
						\\
						\hline
					\end{tabular}
				\end{center}
				
				Ce qui nous permet de choisir une modélisation.
			}
			
			\medskip
			Notons $\omega = \{ 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 \}$ et munissons $\Omega$ de la loi:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$\omega$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
					\\
					\hline
					$\mathbb{P}(\omega)$ & $\frac{1}{16}$ & $\frac{2}{16}$ & $\frac{3}{16}$ & $\frac{4}{16}$ & $\frac{3}{16}$ & $\frac{2}{16}$ & $\frac{1}{16}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item Notons $A$: \og obtenir un nombre pair \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			$A= \left\{ 2;4;6;8 \right\}$.
			
			Par définition:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}( \{ 2 \} ) + \mathbb{P}( \{ 4 \} ) + \mathbb{P}( \{ 6 \} ) + \mathbb{P}( \{ 8 \} )\\
				\intertext{D'après la loi de probabilité (tableau ci-dessus):}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)= \frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $B$: \og obtenir un multiple de trois \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			$B= \left\{ 3;6 \right\}$.
			
			Par définition:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}( \{ 3 \} ) + \mathbb{P}( \{ 6 \} ) \\
				\intertext{D'après la loi de probabilité (tableau ci-dessus):}
				\mathbb{P}(B) &= \frac{2}{16} + \frac{3}{16} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)= \frac{5}{16}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Il manque des exercices avec franchement une autre loi que l'équiprobabilité.
		
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}

\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%extremites du graphique
\def\xcoinbasgauche{-2};
\def\xcoinhautdroit{4};
\def\ycoinbasgauche{-4};
\def\ycoinhautdroit{4};
%Les deux grilles
\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
%Les deux axes
\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
%repere orthonorme
\coordinate (O) at ({0},{0});
\draw (O) node[below left] {$O$};
\coordinate (I) at ({1},{0});
\draw (I) node[below left] {$I$};
\coordinate (J) at ({0},{1});
\draw (J) node[below left] {$J$};
%fonction
\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
%Points
\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
%Tangentes horizontales
\def\longueurtangente{0.7};
\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\def\longueur{5};
\def\hauteur{3};
\def\profondeur{2};
\def\angledefuite{30};
\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
\def\xA{0};
\def\yA{0};
%Création des points du bas.
\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
%Création des points du haut
\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
%Nom des points du bas dans le sens direct
\draw (A) node [below left] {$A$};
\draw (B) node [below right] {$B$};
\draw (C) node [below right] {$C$};
\draw (D) node [above left] {$D$};
\draw (E) node [above left] {$E$};
\draw (F) node [above] {$F$};
\draw (G) node [above right] {$G$};
\draw (H) node [above left] {$H$};
%Les arêtes du bas
\draw [] (A) -- (B);
\draw [] (B) -- (C);
\draw [dashed] (C) -- (D);
\draw [dashed] (D) -- (A);
%Les arêtes verticales
\draw [] (A) -- (E);
\draw [] (B) -- (F);
\draw [] (C) -- (G);
\draw [dashed] (D) -- (H);
%Les arête du haut
\draw [] (E) -- (F);
\draw [] (F) -- (G);
\draw [] (G) -- (H);
\draw [] (H) -- (E);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{2};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{6};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{3};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
	nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
	nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{3};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{6};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{2};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Nombre de nœuds du troisième niveau
\def\noC{12};
%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
\def\noCe{2};
%Écarts entre nœuds du troisième niveau
\def\xC{2+\xB};
\def\yC{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
	nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
	nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
	nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
	nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};

%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
	nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
	nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
}{
	\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
	\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
	\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}