%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Vecteurs et colinéarité.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Vecteurs colinéaires.}

\begin{notabene}
	
	Nous avons vu que si deux représentants d'un vecteur sont égaux alors les droites qui les portent sont parallèles. La réciproque est-elle vraie?
	
\end{notabene}


\begin{correction}
	
	Nous avions vu que nous pouvions additionner des vecteurs et les multiplier par des nombres.
	
	Nous allons nous intéresser à la relation qui existe entre un vecteur et le vecteur obtenu en multipliant ce dernier par un nombre quelconque. Cette relation est appelée la colinéarité.
	
	\begin{notabene}
		
		Faire un schéma et montrer les résultats de la leçon.
		
	\end{notabene}
	
	Lorsque les vecteurs sont des vecteurs du plan nous obtenons une équivalence entre colinéarité et parallélisme. Autrement dit les problèmes de parallélisme vont maintenant pouvoir être traités grâce aux vecteurs. Peu à peu nous voyons que les vecteurs peuvent remplacer les outils de géométrie que nous avions l'habitude d'utiliser en géométrie euclidienne classique (théorème de Thalès, angles alternes-internes, etc).
	
\end{correction}

\subsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \emph{\color{purple}colinéaires} si et seulement si il existe un nombre réel $\lambda$ (\emph{i.e.} on peut en trouver au moins un) tel que \[ \vec u=\lambda \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \vec u \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si $\vec{u} =2 \vec{v}$ alors $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{v}$ et $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$.
		
		\item ~
		
		\begin{notabene}
			
			Un exemple graphique avec quadrillage.
			
		\end{notabene}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (0,0) grid (8,4);
				\draw [>=latex,->] (1,2)--(4,4) node [midway, above] {$\vec{u}$};
				\draw [>=latex,->] (8,4)--(2,0) node [midway, above] {$\vec{v}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Nos remarquons que $\vec{v}=-\frac{1}{2} \vec{u}$ donc $\vec{v}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
		
		\begin{notabene}
			
			Nous pouvons lire les coordonnées et remarquer le rapport de proportionnalité.
			
		\end{notabene}
		
		\item Si $6\vec{u} -4\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires car: $\vec{u}= \frac{2}{3} \vec{v}$.
		
		\item Si deux vecteurs sont égaux alors ils sont colinéaires car $\vec{u}= 1 \vec{v}$.
		
		\item $\vec{0}$ est colinéaire à $\vec{u}$ car $\vec{0}= 0 \vec{u}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons voir la chose comme une sorte de rapport de proportionnalité entre les vecteurs.
		\item Il suffit d'établir l'une des deux égalités pour établir la colinéarité de deux vecteurs.
		\item Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Caractérisation.}

\begin{proposition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $\left( \vec i, \vec j \right)$ une base du plan,
		
		\item $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs dont les coordonnées relativement à la base $\left( \vec i, \vec j \right)$, sont respectivement $\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si ils vérifient \underline{l'une} au moins des propriétés suivantes.
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $\vec u=\lambda \vec v$ ou $\vec v=\lambda \vec u$.
		
		\item Les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ sont proportionnelles.
		
		\item $x_uy_v-x_vy_u=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Par définition de la colinéarité $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\vec u=\lambda \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \vec u$.
	
	Autrement dit si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{l} x_1 = \lambda x_2 \\ y_1 = \lambda y_2 \end{array} \right. \quad \text{ou} \quad \left \{ \begin{array}{l} x_2 = \lambda x_1 \\ y_2 = \lambda y_1 \end{array} \right. \]
	
	Autrement dit si et seulement si les coordonnées de $\vec u$ sont proportionnelles à celles de $\vec v$. 
	
	Ce qui équivaut à dire que le produit en croix est vérifié.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Autrement dit $x_u \times y_v -x_v \times y_u=0$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$x_u$ & $x_v$ \\
					\hline
					$y_u$ & $y_v$\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Le nombre $x_uy_v-x_vy_u$ est appelé le \emph{\color{purple}déterminant} de la famille de vecteurs $(\vec u; \vec v)$ par rapport à la base $(\vec i, \vec j)$ et est noté \[ \mathrm{det}_{(\vec i , \vec j)}(\vec u, \vec v)= \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}. \]
		
		Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté nous écrirons simplement $\color{purple} \det\left(\vec u , \vec v \right)$. 
		
		\begin{notabene}
			
			Cette  dernière notation du déterminant ne nécessite pas de connaître les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$.
			
			Au contraire la notation $\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$ fait intervenir les coordonnées des vecteurs.
			
		\end{notabene}
		
		{\color{orange}D'un point de vu pratique nous retiendrons que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.}
		
		\item Nous privilégierons, si possible, la recherche du coefficient de proportionnalité entre les coefficients qui nous fournira l'égalité liant les deux vecteurs plutôt que le calcul du déterminant.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Déterminez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}+1 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix}$ où $x \in \mathbb{R}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} Clairement {\color{orange}en considérant les coordonnées des vecteurs nous remarquons une proportionnalité:} $\vec v=-2\vec u$. Et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \objectif{Montrons que $\vec v$ et $\vec u$ sont colinéaires.}
		
		\begin{align*}
		\det(\vec u ; \vec v) &= {\color{orange}\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}} \\
		&= \begin{vmatrix} \sqrt{2}-1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2}+1 \end{vmatrix}\\
		&= \left( \sqrt{2} -1 \right) \times \left( \sqrt{2} +1 \right) - 1 \times 1\\
		&= {\color{orange}\sqrt{2} \times \sqrt{2} +\sqrt{2} \times 1 + (-1) \times \sqrt{2} + (-1) \times 1-1}\\
		&= {\color{orange}\sqrt{2}^2+ \sqrt{2} - \sqrt{2}-2}\\
		&= {\color{orange}2-2}\\
		&= 0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \objectif{Déterminons si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.}
		
		\begin{align*}
			\det(\vec{u}; \vec{v} ) &= \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4  & 2 \end{vmatrix}\\
			&= 3 \times 2 -4 \times (-1)\\
			&= 11\\
			&\ne 0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons l'ensemble des $x$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.}
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			\det (\vec{u},\vec{v})=0 &\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=0\\
			&\Leftrightarrow 1 \times 3 -2 \times x=0\\
			&\Leftrightarrow -2x+3=0\\
			&\Leftrightarrow -2x+3{\color{orange}-3}= 0 {\color{orange}-3}\\
			&\Leftrightarrow -2x=-3\\
			&\Leftrightarrow \frac{-2x}{\color{orange}-2} = \frac{-3}{\color{orange}-2}\\
			&\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\vec{u}$ et$\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x=\frac{3}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 43 page 136 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez deux vecteurs colinéaires à $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ -3\end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 12 \\ -12\end{pmatrix}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 44 page 136 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\vec{u} \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ puis dites si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\det(\vec{u}; \vec{v})=-101 \ne 0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 108 à 110 page 141 du manuel Indice. Colinéarité.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 21 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -3 \\ 21 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \dfrac{7}{4} \\ \dfrac{2}{7} \end{pmatrix}$ et $ \vec{v} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 4 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} -10 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 21 \\ 28 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $\vec{u}= 1 \cdot \vec{v}$ donc colinéaires.
		\item $\det( \vec{u}, \vec{v})= -135$ donc non colinéaires.
		\item $\det( \vec{u},\vec{v})= \frac{48}{8}$ donc non colinéaires.
		\item $\det( \vec{u},\vec{v})=0$ donc colinéaires.
		\item $\det( \vec{u},\vec{v})=0$ donc colinéaires.
		\item $\det( \vec{u},\vec{v})=0$ donc colinéaires.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Déterminez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et si c'est le cas précisez l'égalité les reliant.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 6 \\ 18 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} \frac{5}{9} \\ -\frac{5}{6} \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{5}-1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -4 \\ \sqrt{5}+1 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $-2 \vec{u}= \vec{v}$.
		\task $\frac{3}{2} \vec{u}= \vec{v}$.
		\task $-3\vec{u}=\vec{v}$.
		\task $\frac{3}{2}\vec{u}=\vec{v}$.
		\task $\frac{3}{2}\vec{u}=\vec{v}$.
		\task Non colinéaires.
		\task $\frac{-4}{\sqrt{5}-1} \vec{u}=\vec{v}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Déterminez un réel $\mu$ de sorte que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \mu \\ 2 \end{pmatrix}$.
		\task $\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ \mu \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soient $A(-10;7)$, $B(-20;10)$, $C(5;-2)$ et $D(10;-8)$  des points du plan.
	
	$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont-ils colinéaires?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires.}
	
	Les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ sont $\begin{pmatrix} x_C-x_A \\y_C-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-10) \\ -2-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$.
	
	De même $\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix} -30 \\ 18 \end{pmatrix}$.
	
	Clairement $\overrightarrow{DB}= -2 \overrightarrow{AC}$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Indice 2019 page 141
		
	\end{notabene}
	
	Soient les points $C(0;4)$, $D(2;7)$, $E(8;17)$ et $F(16;29)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires.
		
		\item $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont-ils colinéaires?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 114 page 141 du manuel Indice comme précédent.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $E(1;1)$, $F(6;4)$ et $G$ d'abscisse $8$ des points. Sachant que $\overrightarrow{FG}$ est colinéaire au vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\lambda  \overrightarrow{FG} =\vec{u}$.
	Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} \lambda 2= 5 \\ \lambda (y_G-4)= -3 \end{array} \right.\]
	
	D'où $\lambda =\frac{5}{2}$ puis $y_G=-3 \times \frac{2}{5}+4= \frac{14}{5}$.

\end{exercicecorrection}

\subsection{Parallélisme.}

\begin{proposition}
	
	Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan avec $A\ne B$ et $C\ne D$.
	
	\medskip
	$(AB)//(CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	La démonstration de cette proposition n'est pas possible sans une définition de ce qu'est une droite or nous n'en n'avons pour l'instant pas donné.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La négation de cette proposition est aussi intéressante: $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.
		
		\item {\color{orange}Nous utiliserons ce résultat pour étudier la position relative de droites du plan (coplanaires), \emph{i.e.} pour dire si elles sont parallèles (éventuellement confondues voir corollaire ci-après) ou sécantes.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soient $A(-4;-3)$, $B(8;1)$, $C(4,4)$ et $D(-2;2)$ des points du plan.
	
	Étudiez la position relative de $(AB)$ et $(CD)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Étudier la position relative de deux droites du plan consiste à dire si elle sont parallèles ou sécantes (\emph{i.e.} un unique pont d'intersection). Nous peaufinerons la réponse apportée à cette question dans la leçon sur les droites mais pour l'instant la réponse à cette question est soit \og les droites sont parallèles\fg{} soit \og les droites sont sécantes \fg{}.}
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons la position relative de $(AB)$ et $(CD)$.}
	
	{\color{WildStrawberry}$(AB) \parallel (CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.}
	
	\medskip
	$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 8-(-4) \\ 1- (-3) \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}$.	
	
	De même $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}$
	
	Clairement $-\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
	
	Autrement dit $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
	
	Ce qui équivaut encore à dire 
	
	\begin{conclusion}
		
		$(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
	
		Exercices 117 page 141 du manuel Indice: comme précédent.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la position relative des droites $(AB)$ et $(MN)$.
	
	\begin{tasks}
		\task $A(1;2)$, $B(5;8)$, $M(0;-1)$ et $N(5;6)$.
		\task $A(3;-10)$, $B(15;5)$, $M(1;1)$ et $N(17;21)$.
 	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}
		4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MN} \begin{pmatrix}
		5 \\ 7 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN} \right) \ne0$. Donc: $(AB) \not\parallel (MN)$.
		
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}
		12 \\ 15 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MN} \begin{pmatrix}
		16 \\ 20 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN} \right) =0$. Donc: $(AB) \parallel (MN)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Alignement de trois points.}

\begin{lecon}
	
	Dire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés c'est dire qu'ils appartiennent à une même droite. C'est encore dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont confondues. C'est finalement dire que les droites $(AB)$ et $(AC)$ (qui ont évidemment le point $A$ en commun) sont parallèles. Il est donc possible de traduire l'alignement des points avec la colinéarité.
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ des points du plan.
	
	\medskip
	$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
	
\end{corollaire}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soient $A(-2;3)$, $B(2;1)$ et $C(4;0)$ dans un repère du plan muni d'un repère $(O; \vec i, \vec j )$.
	
	Démontrez que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 115 page 141 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(2;13)$, $B(-2;-7)$ et $C(11;58)$.
		\task $A(9;20)$, $B(2;-1)$ et $C(25;71)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Il est possible de reformuler le précédent résultat: dire que trois points sont alignés, c'est dire que l'un d'entre eux appartient à la droite passant par les deux autres.
	
\end{lecon}

\begin{corollaire}
	
	Soient $A$, $B$ et $M$ des points du plan.
	
	\medskip
	$M$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
	
\end{corollaire}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat qui peut sembler anodin sera utiliser pour définir les droites du plan dans une prochaine leçon.
		 
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices  116 page 141 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez si le point $M$ appartient à la droite $(EF)$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $E(5;-3)$, $F(-3;3)$ et $M(15;-9)$.
		\task $E(0;-7)$, $F(1;0)$, $M(2;7)$.
	\end{tasks}
		
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}
		-4 \\ -20 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 13 \\ 65 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{align*}
			\det(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{BC})&= \begin{vmatrix} \sqrt{2}-4 & 13 \\ -20 & 65 \end{vmatrix}\\
			&= -4 \times 65 - 13 \times (-20)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires et donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			$A$, $B$ et $C$ sont alignés.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez tous les nombres $x$ tels que $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} x \\ 10 \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1+x \\ 2x \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Le résultat est immédiat en remarquant que $y_v=2xy_u$ donc nécessairement $x_v=2x_u=2 \times 1 = 2$.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$.}
		
		$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si 
		
		\begin{align*}
		\det \left( \vec u; \vec v \right) &= 0\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		\begin{vmatrix}
		1 & x \\
		5 & 10 
		\end{vmatrix} &= 0\\
		1 \times 10- 5 \times x &= 0\\
		10-5x &= 0 \\
		\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation linéaire du premier degré que nous allons résoudre en travaillant par équivalences successives.}
		10 -5x {\color{orange}-10} &= 0 {\color{orange}-10}\\
		-5x &= -10\\
		\frac{-5x}{\color{orange}-5} &= \frac{-10}{\color{orange}-5}\\
		x &= 2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $x=2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même
		
		\begin{align*}
		2 \times (2x) - 3 \times (1+x) &= 0\\
		4x-3-3x &=0\\
		x &= 3
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 118 page 142 du manuel Indice: déterminer différents paramètres.
		
	\end{notabene}
	
	On considère les points $E(5;-1)$, $F(-1;4)$, $G(7;2)$ et $M(1;y)$ où $y$ est un nombre réel.
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $y$ le point $m$ appartient-il à $(FG)$?
		
		\item Pour quelles valeurs de $y$ les droites $(EF)$ et $(GM)$ sont-elles parallèles?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 119 page 142 du manuel Indice: déterminer différents paramètres.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(4;0)$, $B(0;7)$ et $C(-6;-5)$ des points.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les coordonnées du milieu $P$ de $[AB]$.
		
		\item Calculez les coordonnées des points $S$ et $T$ définis par $\overrightarrow{BS}= \frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$ et $5 \overrightarrow{CT}=4 \overrightarrow{CA}$.
		
		\item Le point $P$ est-il sur la droite $(ST)$?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Coffeecup}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 208 exercice 54
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $ABCD$ un carré, $BCL$ et $DIC$ des triangles équilatéraux tels que sur la figure ci-contre.
			
			Nous souhaitons établir l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
			
			Pour cela considérons le repère orthonormé $(D;C;A)$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\coordinate (D) at (0,0);
			\coordinate (A) at (0,1);
			\coordinate (B) at (1,1);
			\coordinate (C) at (1,0);
			\coordinate (I) at (0.5,{sqrt(3)/2});
			\coordinate (L) at ({1+sqrt(3)/2},0.5);
			\draw (A) node[above]{$A$};
			\draw (B) node[above]{$B$};
			\draw (C) node[below]{$C$};
			\draw (D) node[below]{$D$};
			\draw (I) node[right]{$I$};
			\draw (L) node[right]{$L$};
			\draw (B)--(A)--(D)--(C)--(B)--(L)--(C);
			\draw (D)--(I)--(C);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sans justification les coordonnées de $D$, $C$, $A$ et $B$.
		\item Déterminez les coordonnées de $I$ et $L$.
		\item Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AL}$.
		\item Démontrez l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 120 page 142 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $M(7;3)$, $N(-3;1)$, $C(0;5)$ et $E(3;9)$ des points du plan.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que le quadrilatère $MNCD$ est un trapèze.
		
		\item Montrez que $E$ est le point d'intersection de $(NC)$ et $(MD)$.
		
		\item Soient $J$ et $K$ les milieux respectivement de $[NM]$ et $[CD]$. Calculez les coordonnées de $J$ et $K$.
		
		\item Montrez que $E$, $J$ et $K$ sont alignés.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 122 page 142 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A(3;4)$, $B(1;1)$, $C(6;-2)$ et $D(8;1)$ des points, $I$ le milieu de $[BC]$, et $E$ et $F$ les points définis par: \[ \overrightarrow{AE}= \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CF}=\frac{1}{3} \overrightarrow{CA}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les coordonnées de $I$, $E$ et $F$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont-ils colinéaires?
			
			\item Qu'en déduisez-vous concernant les droites $(BE)$ et $(IF)$?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrez que $ABCD$ est un parallélogramme.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez la norme du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
			
			\item $ABCD$est -il un rectangle?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Les points $I$, $F$ et $D$ sont-ils alignés?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $I$.}
			
			Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$:
			
			\begin{align*}
			x_I &= \frac{x_B+x_C}{2}\\
			&= \frac{1+6}{2}\\
			&= \frac{7}{2}
			\end{align*}
			
			De même: $y_I=-\frac{1}{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$I\left( \frac{7}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $E$.}
			
			$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6-3 \\ -2-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$.
			
			D'où: $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 3 \\ \frac{1}{3} \times (-6) \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De même: $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E-3 \\ y_E-4 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ nous déduisons donc \[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 = 1 \\ y_E-4 =-2 \end{array} \right. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à:
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 {\color{orange}+3} = 1 {\color{orange}+3}\\ y_E-4 {\color{WildStrawberry}+4}=-2 {\color{WildStrawberry}+4} \end{array} \right. \]
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E = 4 \\ y_E =2 \end{array} \right. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$E(4;2)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même qu'au point précédent 
			
			\begin{align*}
			\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F-6=\frac{1}{3}(3-6) \\ y_F-(-2) = \frac{1}{3} (4-(-2)) \end{array} \right.\\
			&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F=5 \\ y_F = 0 \end{array} \right.
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$F(5;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.}
			
			$\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ donc
			
			\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{BE} ; \overrightarrow{IF} \right) &= \begin{vmatrix} 3 & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{2}\end{vmatrix}\\
			&= 3 \times \frac{1}{2} -1 \times \frac{3}{2}\\
			&= 0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous déduisons de la question précédente que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$(BE) \parallel (IF)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que $ABCD$ est un parallélogramme.}
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
		
		Par conséquent:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\| \overrightarrow{AC} \|$.}
			
			{\color{orange}La formule pour la distance euclidienne est la même que celle pour la norme du vecteur. Par contre comme le repère n'est pas orthonormé la norme ne correspond pas forcément à une longueur.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
			\| \overrightarrow{AC} \| &= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\
			&= \sqrt{(6-3)^2+(-2-4)^2}\\
			&= \sqrt{45}\\
			&= \sqrt{3^2 \times 5}\\
			&= \sqrt{3^2} \times \sqrt{5}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\| \overrightarrow{AC} \| = 3\sqrt{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous ne pouvons pas répondre à cette question car le repère n'étant a priori pas orthonormé nous ne pouvons pas établir la présence d'angle droit  ou d'égalité de longueur (diagonales).
			
			\medskip
			Si nous supposons que le repère est orthonormé alors, comme $\| \overrightarrow{BD} \| = 9$, nous pouvons affirmer que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ne sont pas de même longueur donc ce n'est pas un rectangle.
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que les points $I$, $F$ et $D$ sont alignés.}
		
		{\color{orange}Ils sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.}
		
		\medskip
		$\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF} \begin{pmatrix} -3\\ -1 \end{pmatrix}$ donc
		
		\begin{align*}
		\det \left( \overrightarrow{IF};\overrightarrow{DF} \right) &= \begin{vmatrix} \frac{3}{2} & -3\\ \frac{1}{2} & -1 \end{vmatrix}\\
		&= \frac{3}{2} \times (-1) -\frac{1}{2} \times (-3)\\
		&= 0
		\end{align*}
		
		Donc $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.
		
		Et par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$I$, $F$ et $D$ sont alignés.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		49 page 223 %2ieme_belin_metamaths_maths_2de_2019_light
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABCD$ un trapèze tel que $\overrightarrow{CD}= -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$.
	
	Les points $I$ et $J$sont les milieux de $[AC]$ et de $[BD]$. On se propose de montrer que $(AB) \parallel (IJ)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Complétez: $\overrightarrow{IJ} = \dots + \overrightarrow{AB} + \dots$ et $\overrightarrow{IJ} = \dots + \overrightarrow{CD} + \dots$.
		
		\item Déduisez-en: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2} \left( \overbrace{AB} + \overrightarrow{CD} \right)$.
		
		\item Trouvez $k$ tel que $\overrightarrow{IJ} =k \overrightarrow{AB}$ et concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\subsection{Ce qu'il faut retenir.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Vocabulaire et notations relatifs à la colinéarité et au déterminant.
		
		\item Calculer un déterminant.
		
		\item Démontrer une colinéarité et trouver le $\lambda$.
		
		\item Démontrer une non colinéarité.
		
		\item Utiliser la colinéarité pour démonter un parallélisme.
		
		\item Utiliser la colinéarité pour démontrer un alignement de points.
		
		\item Utiliser la colinéarité pour démontrer qu'un point appartient à une droite.
		
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\end{document}


\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
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%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}