%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{De nouvelles relations trigonométriques.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{De nouvelles relations trigonométriques.}

\begin{notabene}
	
	Rappels sur cos, sin, et tan dans un triangle.
	
	Ajout de de l'interprétation géométrique de cos, sinus et tangente avec le cercle trigonométrique à titra anecdotique en remarque pour l'année suivante.
	
	Relation trigonométrique elle-même en lien avec Pythagore.
		
\end{notabene}

\subsection{Rappel de la définition du collège.}

\begin{notabene}
	
	La définition à partir du triangle rectangle.
	
	Limites: forcément un nombre de $]0;90[$.
	
	Annonce de la nouvelle définition.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Trouver des exercices d'optique;
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'euclidien.
	
	\medskip
	Si $ABC$ es rectangle en $A$ alors on définit
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item le cosinus de $\widehat{ABC}$ par \[ \cos \left( \widehat{ABC} \right) := \frac{AB}{BC}. \]
		
		\item le sinus de $\widehat{ABC}$ par \[ \sin \left( \widehat{ABC} \right) := \frac{AC}{BC}. \]
		
		\item la tangente de $\widehat{ABC}$ par \[ \tan \left( \widehat{ABC} \right) := \frac{AC}{AB}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour ceux qui manque d'imagination et qui ne sont pas capable de faire un schéma à main levée:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (B) at (0,0);
			\coordinate (A) at (3,0);
			\coordinate (C) at (3,4);
			\draw (A) node [below right] {$A$};
			\draw (B) node [below left] {$B$};
			\draw (C) node [above] {$C$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			\draw [gray] (2.5,0) -- (2.5,0.5) -- (3,0.5);
			\draw[samples=100,domain=0:{acos(3/5)}] plot({0.5*cos(\x)},{0.5*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
		\item Rappelons les moyens mnémotechniques de retrouver ces formules. Les cosinus s'obtient par \og côté adjacent sur hypoténuse \fg{}, le sinus par \og côté opposé sur hypoténuse \fg{} et la tangente par \og côté opposé sur côté adjacent \fg{}
		
		\item Puisque la somme des angles d'un triangle est $180\degres$ et puisque le triangle est rectangle, nous avons forcément $0<\widehat{ABC}<90$.
		
		Autrement dit on ne peut calculer $\cos(\theta)$, $\sin(\theta)$ et $\tan(\theta)$ que si $\theta \in ]0;90[$.
		
		\item Il est maintenant toujours possible de calculer les cosinus, sinus et tangente de tout angle dont la mesure en degré est dans $]0;90[$. Il suffit d'imaginer que l'on considère un projeter orthogonal de façon à faire apparaître un triangle rectangle.
		
		\item D'après notre définition $\cos$, $\sin$ et $\tan$ sont toujours positifs.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Calcul d'angle.
		
		\item Calcul de longueur (numérateur).
		
		\item Calcul de longueur dénominateur.
		
		\item Calcul d'angle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de type collège.
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_Caen_juin_1989_DV_.pdf}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/tex/Brevet_Caen_juin_1989_DV_.tex}
		
	\end{notabene}
	
	Un escalier droit est constitué de trois marches en bois.
	
	À l'aide du dessin en coupe ci-dessous et des dimension données, $h= 18$ cm, $p= 24$ cm, calculer
	\begin{enumerate}
		\item les dimensions $H$ et $P$,
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_geometrie_plane_04_relation_trigonometrique_01_escalier.png}
		\end{center}
		
		\item les dimensions $l$ et $L$,
		
		\item la tangente de l'angle $\alpha$.
		
		\item En utilisant la table suivante, donner la mesure de $\alpha$ à 1 degré près par excès.
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				$\alpha$&30\degres &31\degres &32\degres &33\degres &34\degres&35\degres &36\degres\\ \hline
				$\tan \alpha$&0,577 &0,601 &0,625& 0,649 &0,675&0,700 &0,727\\ \hline\hline
				$\alpha$&37\degres &38\degres &39\degres &40& 41\degres &42\degres&\\ \hline
				$\tan \alpha$&0,754 &0,781 &0,810&0,839 &0,869&0,900&\\ \hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $H=4h=4 \times 18= 72$.
		
		$P=4p=4 \times 24=96$.
		
		\item $l=\sqrt{h^2+p^2}= 30$ et $L=\sqrt{L^2+P^2}=120$.
		
		\item $\tan(\alpha)=\frac{H}{P}= \frac{72}{96}=\frac{3}{4}$.
		
		\item $\alpha \approx 37$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de type collège.
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_Clermont__juin_1989_DV.pdf}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/tex/Brevet_Clermont__juin_1989_DV.tex}
		
	\end{notabene}
	
	La mesure directe des distances est parfois difficile ou impossible. Par contre, certains appareils permettent la mesure des angles avec une grande précision.
	
	On se propose de déterminer la largeur du lac représenté ci-après, entre le point M et le point P. L'appareil de mesure est placé en un point N et donne $\widehat{\text{MNP}} = 70\degres$ ; de plus, on a MN $= 500$ et NP $= 400$, l'unité de longueur étant le mètre.
	
	On désigne par H le projeté orthogonal de M sur la droite (NP).
	
	On ne demande pas de refaire la figure.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $\sin \left( \widehat{\text{MNP}}\right)$ et $\cos \left(\widehat{\text{MNP}}\right)$, calculer les distances MH et NH. (Pour faire ces calculs, on prendra 0,94 comme valeur approchée de $\sin (70\degres)$ et 0,34 comme valeur approchée de $\cos (70\degres)$.)
		\item En déduire la distance HP.
		\item Calculer MP$^2$ puis MP (on donnera une valeur approchée 
		entière par défaut de ce dernier résultat).
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{2ieme_geometrie_plane_04_relation_trigonometrique_02_lac.png}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $MH=500 \times \sin(70)\approx 470$ et $NH =500 \cos(70 \approx 170$.
		
		\item $HP=NP-NH=400-170=230$.
		
		\item $MP=\sqrt{MH^2+HP^2} \approx 523$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de type collège.
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_Creteil_juin_1989_DV_.pdf}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/tex/Brevet_Creteil_juin_1989_DV_.tex}
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item On considère un rectangle ABCD tel que AB $= 10$~cm et AD $= 6$~cm, le point E du segment [AB] tel que AE $= 4$~cm et le point F du segment [BC] tel que BF $= 4$~cm.
		\begin{enumerate}
			\item Faire une figure.
			\item Calculer $\tan \left( \widehat{\text{AED}} \right)$ et $\tan \left( \widehat{\text{BEF}}\right)$.
			
			En déduire une valeur approchée au 1/10\up{e} de degré près de la
			mesure des angles $\widehat{\text{AED}}$ et $\widehat{\text{BEF}}$. 
			
			Quelle est la nature du triangle DEF (en raisonnant avec les précédentes valeurs approchées)?
		\end{enumerate}
		\item Soit $x$ un nombre réel \emph{strictement positif}.
		
		On considère un rectangle ABCD tel que AB $= x + 6$ et AD $= x + 2$.
		
		Soit E le point du segment [AB] tel que AE $= x$ et soit F le point du segment [BC] tel que BF $= x$ (l'unité est le cm).
		\begin{enumerate}
			\item  Pour quelle valeur de $x$ obtient-on le rectangle de la question 1?
			\item Exprimer DE$^2$, EF$^2$ et DF$^2$ en fonction de $x$.
			\item Déterminer $x$ pour que le triangle DEF soit rectangle en E. 
			
			Pouvait-on prévoir ce résultat?
			\item On désigne par $S$ l'aire du triangle ADE et par $S'$ l'aire du rectangle ABCD. 
			
			Exprimer $S$ et $S'$ en fonction de $x$. 
			
			Déterminer $x$ pour que $S'$ soit le triple de $S$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\tan \left( \widehat{\text{AED}} \right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.  $\widehat{\text{AED}}\approx 56,3$.
				
			$\tan \left( \widehat{\text{BEF}} \right)=\frac{4}{6}= \frac{2}{3}$. $\widehat{\text{BEF}} \approx 33,7$.
			
			En raisonnant avec les valeurs approchées, la somme des angles du triangle valant $180$ ...
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $x=4$.
			
			\item $DE^2=(x+2)^2+x^2$, $EF^2=6^2+x^2$, $DF^2=2^2+(6+x)^2$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				DE^2+EF^2 &= DF^2\\
				x^2+4x+4+x^2 +36+x^2 &= 4+36+12x+x^2\\
				3x^2+4x+40 &= x^2+12x+40\\
				2x^2-8x &= 0\\
				2x(x-4) &= 0
			\end{align*}
			
			$x=0$ ou $x=4$.
			
			\item $S=\frac{x(x+2)}{2}$ et $S'=(x+2)(x+6)$.
			
			\begin{align*}
				S' &= 2S \\
				x^2+8x+12 &= \frac{3}{2}x(x+2) \\
				2x^2+16x+24 &= x^2+2x\\
				x^2+14x+24 &= 0	
			\end{align*}
			
			À ce stade il reste à trouver des valeurs approchées à la calculatrice.
			
			\medskip
			Cependant en factorisant précocement il était possible de trouver les solutions:
			
			\begin{align*}
				(x+2)(x+6) &= \frac{3}{2}x(x+2) \\
				(x+2)(x+6) -\frac{3}{2}x(x+2) &=0 \\
				(x+2)\left[ (x+6)-\frac{3}{2}x \right] &= 0\\
				(x+2 \left( -\frac{1}{2}x +6 \right) &= 0\\
				x=-2 \quad &\text{ou} \quad x=12
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Lelivrescolaire page 153
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=12$, $BC=5$ et $AC=13$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $ABC$ est rectangle.
		
		\item Calculez la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	Soient $OIM$ un triangle rectangle en $I$ tel que $\widehat{IOM}=45\degres$.
	
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\z{3}
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at ({\z *cos(45)},0);
			\coordinate (M) at ({\z *cos(45)},{\z *cos(45)});
			\coordinate (A) at (0.8,0.3);
			\draw (A)node {$45\degres$};
			\draw (O)node[below]{$O$};
			\draw (I)node[below right]{$I$};
			\draw (M)node[right]{$M$};
			\draw(O)--(I)--(M)--(O);	
			\draw[black,thin] ({\z *cos(45)-0.2},0)--({\z *cos(45)-0.2},{0.2})--({\z *cos(45)},0.2);	
			\draw[black, thin, >=latex, ->][samples=100,domain=0:45] plot({0.5 *cos(\x)},{0.5 *sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Justifiez que $OIM$ est isocèle.
				
				\item Exprimez $OI$ en fonction de $OM$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Déterminez, grâce à la définition du cosinus , une expression de $OI$ en fonction de $\cos\left( 45 \right)$ et $OM$.
		
		\item Nous supposons de plus que $OM=1$. Déduisez-en une valeur exacte de $\cos \left( 45 \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item La somme des mesures des angles d'un triangle doit être égale à $180\degres$ donc (en degré) \[ 45+90+ \widehat{OMI} = 180. \]
			
			D'où: $\widehat{OMI}=180-90-45=45$.
			
			Ainsi $\widehat{OMI}= \widehat{IOM}$ et par conséquent
			
			\begin{conclusion}
				
				$OIM$ est isocèle en $I$.
				
			\end{conclusion}
			
			
			\item $OIM$ est rectangle en $I$ donc, d'après le théorème de Pythagore: \[ OI^2+IM^2=OM^2. \]
			
			Comme de plus $OIM$ est isocèle en $I$: 
			
			\begin{align*}
			2OI^2 &= OM^2\\
			\intertext{ce qui équivaut à}
			OI^2 &= \frac{1}{2} OM^2\\
			\intertext{Puisque $OI$ est une longueur nécessairement:}
			OI &= \sqrt{\frac{1}{2} OM^2}\\
			&= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{OM^2}\\
			&= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{OM^2}\\
			&= \frac{\sqrt{1} {\color{orange}\times \sqrt{2}}}{\sqrt{2} {\color{orange}\times \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{OM^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$OI=\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{OM^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $OIM$ est rectangle en $I$ \[ \cos \left( \widehat{IOM} \right) = \frac{OI}{OM}. \]
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$OI=OM \times \cos \left( 45 \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Des deux questions précédentes nous déduisons par transitivité \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{OM^2}= OM \times \cos \left( 45 \right). \]
		
		Et puisque $OM$ est une longueur donc un nombre positif:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( 45 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	Soient $OHM$ un triangle rectangle en $H$ tel que $OM=1$ et $\widehat{HOM}=60\degres$, $I$ le symétrique de $O$ par rapport à $H$.
	
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\z{3}
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (H) at ({\z *cos(60)},0);
			\coordinate (M) at ({\z *cos(60)},{\z *cos(30)});
			\coordinate (I) at ({2*\z *cos(60)},0);
			\coordinate (A) at (0.8,0.3);
			\draw (A)node {$60\degres$};
			\draw (O)node[below]{$O$};
			\draw (H)node[below]{$H$};
			\draw (M)node[right]{$M$};
			\draw (I)node[right]{$I$};
			\draw (I)node{$\bullet$};
			\draw(O)--(H)--(M)--(O);
			\draw[dashed, black,thin](I)--(H);	
			\draw[black,thin] ({\z *cos(60)-0.2},0)--({\z *cos(60)-0.2},{0.2})--({\z *cos(60)},0.2);	
			\draw[black, thin,>=latex,->][samples=100,domain=0:60] plot({0.5 *cos(\x)},{0.5 *sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Justifiez que $OI=1$.
				
				\item Déduisez-en la longueur $OH$.
				
			\end{enumerate}
			
			\item En utilisant la définition du cosinus donnez une égalité liant $OH$ et $\cos \left(60 \right)$. Puis déduisez-en une valeur exacte de $\cos \left( 60 \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item En remarquant que $MH=\cos\left( 30 \right)$, trouvez une expression radicale de $\cos\left( 30 \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Puisque $\widehat{HOM}= 60\degres$ et puisque $I$ est le symétrique de $O$ par rapport à $H$, nécessairement $\widehat{MIH}=60\degres$.
			
			Le triangle $IOM$ ayant deux angles dont la mesure est $60\degres$ il est donc équilatéral.
			
			Comme $OM=1$ finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$OI=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $I$ est le symétrique de $O$ par rapport à $H$: \[ OH = \frac{1}{2} OI. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$OH=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Puisque $OHM$ est rectangle en $H$
		
		\begin{align*}
		\cos \left( \widehat{HOM} \right) &= \frac{OH}{OM}\\
		\cos\left( 60 \right) &= \frac{OH}{1}
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$OH= \cos \left( 60 \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En tenant compte du résultat de la question précédente
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( 60 \right) = \frac{1}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item La somme des mesures des angles d'un triangle vaut $\pi$ donc $\widehat{HOM}= 30$.
		
		En utilisant la définition de collège du cosinus nous obtenons bien $MH=\cos \left( 30 \right)$.
		
		\medskip
		Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $HM=\sqrt{\frac{3}{4} }$.
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\cos \left( 30 \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{ - Relation liant sinus, cosinus et tangente.}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'euclidien.
	
	\medskip
	Si $ABC$ est rectangle en $A$ alors en notant $\theta= \widehat{ABC}$, \[ \tan \left( \theta \right) = \frac{ \sin \left( \theta \right)}{\cos \left( \theta \right)}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{align*}
		\frac{\sin (\theta)}{\cos(\theta)} &= \frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AC}{BC}}\\
		&= \frac{AB}{AC} \times \frac{BC}{AC}\\
		&= \frac{AB}{AC}\\
		&= \tan(\theta)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	Puisque nous pouvons calculer des cosinus sans qu'il y ait de triangle rectangle (a priori), dans quel cas a-t-on un triangle rectangle?
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Relation $\tan$, $\cos$ et $\sin$.}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan euclidien tels que $\widehat{ABC}=\theta \in ]0;90[$.
	
	\medskip
	Les propositions suivantes sont équivalentes deux à deux.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $ABC$ est rectangle en $A$.
		
		\item $\displaystyle \cos(\theta)= \frac{AB}{BC}$.
		
		\item $\displaystyle \sin(\theta)=\frac{AC}{BC}$.
		
		\item $\displaystyle \tan(\theta) = \frac{AC}{AB}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Avec une projection orthogonale et la définition des fonctions trigonométriques.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat permet de démontrer qu'un triangle est rectangle grâce au fonctions trigonométriques.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soient $ABC$ un triangle tel que $\widehat{ABC}=30\degres$, $AB=\frac{10}{3}\sqrt{3}$, $M$ un point de $[BC]$ tel que $BM=5$ et $BC=12$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $M$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.
		
		\item Calculez l'aire de $ABC$.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\subsection{Le cercle trigonométrique et une nouvelle relation.}

\begin{notabene}
	
	Le dessin le constat.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	On considère dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
	
	Soit $M$ un point mobile sur le premier arc de cercle $overset{\frown}{IJ}$.
	
	On note $H$ et $P$ les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur $(OI)$ et $(OJ)$. On note aussi $\theta$ la mesure en degré de $\widehat{IOM}$.
		
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-1};
			\def\xcoinhautdroit{1};
			\def\ycoinbasgauche{-1};
			\def\ycoinhautdroit{1};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x )});
			%point M
			\def\teta{50};
			\coordinate (M) at ({cos(\teta)},{sin(\teta)});
			\draw (M) node[above right] {$M$};
			\coordinate (H) at ({cos(\teta)},{0});
			\draw (H) node[below left] {$H$};
			\coordinate (P) at ({0},{sin(\teta)});
			\draw (P) node[below left] {$P$};
			\draw[dashed] (H) -- (M) -- (P);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimez les longueurs $OH$ et $OP$ en fonction de $\theta$.
		
		\item Justifiez que $x_M=x_H=OH$.
		
		\item Justifiez que $y_M=y_P=OP$.
		
		\item Exprimez $OM$ en fonction de $\theta$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Nous voyons que le cosinus et le sinus d'un angle peuvent être vus comme l'abscisse et l'ordonnée d'un point sur le cercle trigonométrique.
	
	C'est une belle opportunité de changer de définition... à suivre l'année prochaine.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Relation entre sinus et cosinus.}
	
	$\cos^2(\theta) + \sin^2 (\theta)=1$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Faite au cours du précédent exercice.
	
\end{preuve}


\begin{corollaire}{ - Montrer q'un triangle est rectangle.}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan euclidien tels que $\widehat{ABC}=\theta \in ]0;90[$.
	
	\medskip
	$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si: $\displaystyle \cos(\theta)= \frac{AB}{BC}$ et $\displaystyle \sin(\theta)=\frac{AC}{BC}$.
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Avec Pythagore et la précédente proposition.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat permet de démontrer qu'un triangle est rectangle grâce au fonctions trigonométriques.
		
		\item Ce résultat est en fait bien moins intéressant que celui de la proposition 2.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{ - Formules d'Al-Kashi.}
	
	\begin{notabene}
		
		2iem belin metamaths 2019 
		
		exo 61 page 199.
		
	\end{notabene}
	
	On considère un triangle $ABC$ dont les angles sont aigus.
	
	On note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.
	
	On note aussi $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $x=BH$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que $b^2=AH^2+(a-x)^2$ et que $AH^2=c^2-x^2$.
			
			\item Déduisez-en l'égalité: $b^2=a^2+c^2-2ax$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Démontrez que $x=c \times \cos\left( \widehat{ABC} \right)$.
		
		\item Démontrez l'égalité $b^2=a^2+c^2-2ac \cos\left( \widehat{ABC} \right)$.
		
		\item De façon analogue on peut démontrer l'égalité $c^2=a^2+b^2-2ab \cos\left( \widehat{BCA} \right)$. Écrivez la troisième égalité que l'on peut obtenir.
		
		\item Si $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$, $BC=8$ et $\widehat{ABC}=65\degres$. Calculez la longueur $AC$, arrondie au dixième.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $ACH$ est rectangle en $H$ par construction donc, d'après le théorème de Pythagore:
			
			\begin{align*}
				AH^2+HC^2 &= AC^2\\
				\intertext{ce qui équivaut, puisque $HC= |x-a|$ (les angles de $ABC$ sont aigüs donc $H \in [ BC]$), à:}
				AH^2 + (x-a)^2 &= b^2
			\end{align*}
			
			De même $ABH$ est rectangle en $H$ donc: \[ AH^2+x^2=c^2. \]
			
			
			\item 
			Ainsi nous avons $AH^2=b^2-(x-a)^2$ et $AH^2=c^2-x^2$ donc, par transitivité:
			
			\begin{align*}
				b^2-(x-a)^2 &= c^2-x^2\\
				\intertext{En développant:}
				b^2-x^2+2ax+a^2 &= c^2-x^2
				b^2-x^2+2ax+a^2 {\color{orange}+x^2} &= c^2-x^2 {\color{orange}+x^2}\\
				b^2+2ax-a^2 &= c^2\\
				b^2+2ax-a^2 {\color{orange}+a^2-2ax} &= c^2 {\color{orange}+a^2-2ax}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$b^2 = a^2+c^2-2ax$ $\color{blue}(1)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item $AHB$ est rectangle en $H$ donc
		
		\begin{align*}
			\cos \left( \widehat{ABC} \right) &= \frac{x}{c}\\
			\cos \left( \widehat{ABC} \right) {\color{orange}\times c} &= \frac{x}{c} {\color{orange}\times c}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$x=\cos \left( \widehat{ABC} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En substituant l'expression de $x$ trouvée à la question précédente dans $\color{blue}(1)$:
		
		\begin{conclusion}
			
			$b^2=a^2+c^2-2ac \cos\left( \widehat{ABC} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}En procédant à une permutation circulaire sur les lettres $a$, $b$ et $c$:}
		
		\begin{conclusion}
			
			$a^2=b^2+c^2-2bc \cos\left( \widehat{BAC} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item En utilisant la formule obtenue à la question 3:
		
		\begin{align*}
			AC &= BC^2+AB^2-2 \times BC \times AB \cos\left( \widehat{ABC} \right)\\
			&= 8^2+6^2-2\times 8 \times 6 \cos(65)\\
			&\approx 59,42 \ \text{en tronquant au centième}.
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AC \approx 59,4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}