%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Vecteurs et translations.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Vecteurs et translations.}

\begin{notabene}
	
	Partir tout de suite sur les coordonnes.
	
	Et ensuite faire des exemples d'application.
	
\end{notabene}

\subsection{Définition par la translation.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Translation qui transforme $M$ en $M'$.
	
	Direction, sens et norme. La norme n'est pas forcément la longueur.
	
	Exemple avec des tracés.
	
	Exemples déjà de vecteurs dans d'autres domaines: déplacement, vitesse, accélération, force, bipoints.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous définirons un \emph{\color{purple}vecteur $\vec u$} comme le déplacement associé à une translation $t$. Nous dirons que $t$ est \emph{\color{purple}la translation de vecteur $\vec u$}.
	
\end{lecon}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Cette définition manque de rigueur puisque la notion de \og déplacement\fg{} reste dans le flou. La définition de la translation elle-même est assez peu précise puisque cette transformation est définie par ce qu'elle ne fait pas.
		
		\item Les transformations du plan à connaître: symétrie centrale, symétrie axiale, rotation, homothétie et translation.
		
		\item Les transformations du plan sont des fonctions qui a des points associent d'autres points. Si la translation $t$ transforme $M$ en $N$ nous utiliserons la notation fonctionnelle: $t(M)=N$.
		
		Parfois, pour préciser le déplacement $\vec u$ correspondant à la translation nous écrirons $t_{\vec u}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $A'B'C'$ est l'image de $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90\degres$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {$\times$};
				\draw (0,0) node[below] {$O$};
				\draw (1,0) -- (2,0) -- (2,3) -- cycle;
				\draw (1,0) node [below] {$A$};
				\draw (2,0) node [below] {$B$};
				\draw (2,3) node [above right] {$C$};
				\draw (0,1) -- (0,2) -- (-3,2) -- cycle;
				\draw (0,1) node [below] {$A'$};
				\draw (0,2) node [above] {$B'$};
				\draw (-3,2) node [left] {$C'$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Homothétie.
		\item Symétrie axiale.
		\item Symétrie centrale.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercices 30, 32, 33 page 185 du manuel Lelivrescolaire.
	
\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{definition}
	
	Soient:	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $t$ une translation du plan de vecteur $\vec u$,
		
		\item $M$ et $N$ deux points du plan.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $t(M)=N$, alors nous dirons que $\overrightarrow{MN}$ est \emph{\color{purple}un représentant du vecteur $\vec u$} correspondant à la translation qui transforme $M$ en $N$.
		
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Sur quadrillage.
			Dessin de $\vec u$ puis de $M$ construction de $N$ image de $N$ par la translation de vecteur $\vec u$.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Même chose mais sans le quadrillage. Construction du parallélogramme.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\overrightarrow{MN}$ est un représentant d'un vecteur $\vec u$ alors nous définissons
		
		\begin{itemize}
			\item la \emph{\color{purple}norme du vecteur} par: $\color{purple}\| \vec u \| =MN$,
			
			\item la \emph{\color{purple}direction du vecteur} qui est la droite $(MN)$,
			
			\item le \emph{\color{purple}sens du vecteur $\vec u$}: de $M$ vers $N$.
			
		\end{itemize}
		
		\item Il n'y a pas unicité du représentant.
		
		\item Pour le représentant $\overrightarrow{MN}$, $M$ est appelé \emph{\color{purple}l'origine} et $N$ est appelé \emph{\color{purple}l'extrémité}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 16 page 134 du manuel Indice: à l'oral, norme, sens et direction.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{GH}$.
		
		\item $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$.
		
		\item $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{DC}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercices 27 et 28 page 184 du manuel Lelivrescolaire.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Égalité de représentants.}

\begin{notabene}
	
	Égalité par les parallélogrammes.
	
	Vecteur nul.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$, $B$, $M$ et $N$ des points.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que les représentants \emph{\color{purple}$\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont égaux} si et seulement si il existe une translation $t$ (de vecteur $\vec u$) telle que $t(M)=N$ et $t(A)=B$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi des vecteurs (non nuls cf infra) sont égaux si et seulement si ils ont même norme, même direction et même sens.
		
		\item Cette égalité n'est pas tout à fait une égalité au sens usuel puisque $M\ne A$ et $N \ne B$. Mais ces représentants correspondent au même déplacement.
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Deux représentants $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AB}$ d'un vecteur $\vec u$ sont égaux si et seulement si $ABNM$ est un parallélogramme.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Une démonstration intuitive: il faut que les vecteurs aient les mêmes norme, direction et sens.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Nous confondrons dorénavant les représentants et les vecteurs (puisqu'ils indiquent tous le même déplacement, la même translation) en disant: le vecteur $\overrightarrow{MN}$.
		
		\item Nous appellerons \emph{\color{purple}vecteur nul}, et nous noterons $\vec u$, le vecteur correspondant à une absence de déplacement. Un représentant du vecteur nul serait, par exemple, $\overrightarrow{MM}$. Le vecteur nul n'a ni sens ni direction et sa norme est nulle.
		
		\item Cette proposition est une équivalence: il y a une forme directe et une forme réciproque. Dans cette leçon nous l'utiliserons beaucoup pour démontrer que des représentants sont égaux mais nous pouvons aussi l'utiliser pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Vecteur pour un déplacement.
		
		\item Vecteur pour une position d'un point $M$ dans un repère $(O,I,J)$: $\overrightarrow{OM}$.
		
		\item Vecteur pour une force. Avec point d'application. Comme le poids s'appliquant au centre de gravité.
		
		\item Vecteur pour un champ de force: le vent, gravitation, champ gravitationnel.
		
		\item Vecteur vitesse. Avec point d'application. $\vec{v}$.
		
		\item Des vecteurs partout: fonctions, tableaux de nombres (matrices) et notamment les coordonnées.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Choisissez $A$, $B$, $C$ et $D$ des points distincts et non alignés du plan sur le quadrillage de votre feuille.
	
	Notons $\vec u$ un vecteur dont $\overrightarrow{AB}$ est un représentant.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez le représentant $\overrightarrow{AB}$ de $\vec u$.
		
		\item Dessinez le représentant de $\overrightarrow{u}$ d'origine $C$.
		
		\item Dessinez le représentant de $\overrightarrow{u}$ d'extrémité $D$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (12,6);
			\def\xA{1};
			\def\yA{5};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node {$\times$};
			\draw (A) node [above, right] {$A$};
			\def\xB{2};
			\def\yB{-4};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xB},{\yA+\yB});
			\draw (B) node {$\times$};
			\draw (B) node [above, right] {$B$};
			\def\xC{4};
			\def\yC{6};
			\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
			\draw (C) node {$\times$};
			\draw (C) node [above, right] {$C$};
			\def\xD{10};
			\def\yD{0};
			\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
			\draw (D) node {$\times$};
			\draw (D) node [above, right] {$D$};
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (A) -- (B) node [midway, left] {$\vec u$}; 
			\draw [>=latex,->, orange, dashed, very thick] ({\xA},{\yA}) -- ({\xA+\xB},{\yA}) -- ({\xA+\xB}, {\yA+\yB});
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (C) -- ({\xC+\xB},{\yC+\yB}) node [midway, left] {$\vec u$};
			\draw [>=latex,->, red, very thick] ({\xD-\xB},{\yD-\yB}) -- ({\xD},{\yD}) node [midway, left] {$\vec u$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Recommencez le précédent exercice en choisissant maintenant les points hors le quadrillage et en utilisant règle et compas.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 17 page 134 du manuel Indice: trouver des représentants.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BP}$ et $\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{BA}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}

	\emph{Vous ferez cet exercice avec puis sans l'aide d'un quadrillage.}
	
	Placez trois points distinct et non alignés $A$, $B$ et $C$ puis tracez:
	\begin{enumerate}
		\item Le représentant de $\overrightarrow{AB}$ d'origine $C$.
		
		\item Le représentant de $\overrightarrow{BC}$ d'extrémité $A$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 15 page 134 du manuel Indice: à l'oral.
		
	\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	a vrai. b vrai. c faux. d faux.e faux.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 18 page 134 du manuel Indice: vecteur vitesse.
		
	\end{notabene}
	
	En physique on représente la vitesse instantanée d'un corps en mouvement par un vecteur.
	
	La direction, le sens et la norme de vecteur sont donnés respectivement par la trajectoire, le sens du déplacement et la valeur algébrique de la vitesse (célérité). On a représenté ci-dessous la vitesse d'une sprinteuse (assimilée au point $A$) à deux instants successifs de sa course.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xA{-3};
			\def\yA{0};
			\draw ({\xA},{\yA+1}) node{À l'instant $t_1$};
			\draw [>=latex,->] ({\xA-0.5},{\yA}) -- ({\xA+0.5},{\yA}) node [midway,above]{ $\overrightarrow{v_1}$};
			\draw ({\xA-0.5},{\yA}) node {$\bullet$};
			\draw ({\xA-0.5},{\yA}) node [above] {$A$};
			\def\xB{3};
			\def\yB{0};
			\draw ({\xB},{\yB+1}) node{À l'instant $t_1$};
			\draw [>=latex,->] ({\xB-0.5},{\yB}) -- ({\xB+0.5},{\yB}) node [midway,above]{ $\overrightarrow{v_2}$};
			\draw ({\xB-0.5},{\yB}) node {$\bullet$};
			\draw ({\xB-0.5},{\yB}) node [above] {$B$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Entre $T_1$ et $t_2$ l'athlète a-t-elle ralenti ou accéléré?

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	La norme de $\vec{v}_2$ est moindre donc il correspond à une décélération.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 19 page 134 du manuel Indice: reconnaître des représentants égaux.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\def\xE{0};
			\def\yE{0};
			\def\EF{3};
			\def\decalx{1};
			\def\decaly{2};
			\draw ({\xE},{\yE}) -- ({\xE+\EF},{\yE}) -- ({\xE+\EF+\decalx},{\yE+\decaly}) -- ({\xE+\decalx},{\yE+\decaly}) -- cycle;
			\draw ({\xE},{\yE}) node [below left] {$H$};
			\draw ({\xE+\EF},{\yE}) node [below right] {$G$};
			\draw  ({\xE+\EF+\decalx},{\yE+\decaly}) node [above right] {$F$};
			\draw ({\xE+\decalx},{\yE+\decaly}) node [above left] {$E$};
			\draw ({\xE},{\yE}) --  ({\xE+\EF+\decalx},{\yE+\decaly});
			\draw  ({\xE+\EF},{\yE}) --  ({\xE+\decalx},{\yE+\decaly}) node {$\bullet$};
			\draw ({\xE+\EF/2+\decalx/2},{\yE+\decaly/2}) node [above] {$I$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez un vecteur égale à 
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\overrightarrow{EF}$.
			\task $\overrightarrow{GH}$.
			\task $\overrightarrow{EH}$.
			\task $\overrightarrow{GF}$.
		\end{tasks}
		
		\item Complétez par le point qui convient.
		
		\begin{tasks}(3)
			\task $\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{I\dots}$.
			\task $\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{I\dots}$.
			\task $\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{I\dots}$.
		\end{tasks}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$, $\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{FE}$, 
		$\overrightarrow{EH} = \overbrace{FG}$, $\overrightarrow{GF} = \overrightarrow{HE}$.
		
		\item $\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{IG}$, $\overrightarrow{HI}= \overrightarrow{IF}$ $\overrightarrow{FI} = \overrightarrow{IH}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Par lecture graphique indiquez
			
			\begin{enumerate}
				\item un vecteur égale à $\overrightarrow{AE}$; à $\overrightarrow{CF}$.
				\item un vecteur de même direction que $\overrightarrow{CB}$ mais de sens opposé; idem pour $\overrightarrow{AF}$.
				\item un vecteur égale à $\overrightarrow{DC}$ d'extrémité $F$; égale à $\overrightarrow{FB}$ d'origine $A$.
				\item deux vecteurs de même de direction, de même sens qui ne sont pas égaux.
				\item deux vecteurs de même norme qui ne sont pas égaux.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{11.5};
			\def\yZ{8.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\coordinate (A) at (1,1);
			\coordinate (B) at (10,4);
			\coordinate (C) at (9,7);
			\coordinate (D) at (3,5);
			\coordinate (E) at (4,2);
			\coordinate (F) at (7,3);
			\draw (A) node[below]{$A$};
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (D) node[above left]{$D$};
			\draw (E) node[below]{$E$};
			\draw (F) node[below]{$F$};
			\draw (A)--(E)--(F)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\draw (E)--(D)--(F)--(C);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FB}$. $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DA}$.
		
		\item $\overrightarrow{ED}$ et $\overrightarrow{FE}$.
		
		\item $\overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{AE}$.
		
		\item $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{DC}$.
		
		\item $\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{FC}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Démonstration avec des vecteurs.
		
	\end{notabene}
	
	Exercices 35 page 185 du manuel Lelivrescolaire.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $RSTU$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}$.
		\item Par construction: $\overrightarrow{RU}= \overrightarrow{FE}$.
	\end{enumerate}
	
	Des deux points précédents nous déduisons par transitivité: $\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{FE}$. Autrement dit $STEF$ est un parallélogramme.
	
	\medskip
	On en déduit que $\overrightarrow{SF} = \overrightarrow{TE}$. 
	
	Or $\overrightarrow{SF}=\overrightarrow{RS}$ donc $\overrightarrow{TE}=\overrightarrow{RS}$.
	
	Autrement dit
	
	\begin{conclusion}
		
		$RSET$ est un parallélogramme,	
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
	Exercices 31 page 185 à 37 page 185 du manuel Lelivrescolaire.
	
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsection{Somme de vecteurs.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Enchaînement de translation. Relation de Chasles. Vecteur opposé.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Dans cette partie nous allons voir que ces étonnants objets géométriques que nous avons découverts peuvent être additionnés. Nous allons construire une addition de vecteurs. Que serait une telle addition? Pour cela raisonnons en regardant les vecteurs comme des translations.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Soient $\vec u$ et $\vec w$ deux vecteurs et $M$ un point du plan. 
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Notons $P$ l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec u$ et $N$ celle de $P$ par la translation de vecteur $\vec w$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{7};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\coordinate (M) at (1,2);
				\coordinate (P) at (4,3);
				\coordinate (N) at (6,1);
				\draw(M)node{$\times$};
				\draw(P)node{$\times$};
				\draw(N)node{$\times$};
				\draw(M)node[left]{$M$};
				\draw(P)node[above]{$P$};
				\draw(N)node[right]{$N$};
				\draw[>=latex,->,thick,blue](M)--(P)node[midway,above]{$\vec u$};
				\draw[>=latex,->,thick,blue](P)--(N)node[midway,above]{$\vec w$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	Si nous devons interpréter le déplacement total en terme de translation nous dirons que
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			$N$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{MN}=\vec u +\vec w$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{7};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\coordinate (M) at (1,2);
				\coordinate (P) at (4,3);
				\coordinate (N) at (6,1);
				\draw(M)node{$\times$};
				\draw(P)node{$\times$};
				\draw(N)node{$\times$};
				\draw(M)node[left]{$M$};
				\draw(P)node[above]{$P$};
				\draw(N)node[right]{$N$};
				\draw[>=latex,->,thick,blue](M)--(P)node[midway,above]{$\vec u$};
				\draw[>=latex,->,thick,blue](P)--(N)node[midway,above]{$\vec w$};
				\draw[>=latex,->,thick,red](M)--(N)node[midway,below]{$\vec u +\vec w$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{notabene}
		
		On peut remarquer sur ce schéma la commutativité de l'addition de vecteur.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Nous utiliserons cette présentation intuitive e la somme en guise de définition.
		
	\end{notabene}
	
	Ce résultat qui permet de définir une somme de vecteur, se formalise sous forme de
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $t_1$ et $t_2$ deux translations de vecteurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{w}$,
		
		\item $M$ et $N$ deux points du plan.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $N$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\color{purple}\vec{u}+\vec{w}$ si \[ t_2 \left[ t_1(M) \right] = N. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinons un représentant de la somme de deux vecteurs.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (8,4);
			\draw [>=latex,->, blue, very thick] (0,2) -- (2,3) node [midway, above left] {$\vec u$};
			\draw [>=latex,->, red, very thick] (3,3) -- (5,3) node [midway, above] {$\vec v$};
			\draw (2,1) node {$\times$};
			\draw (2,1) node [below] {$M$};
			\draw (6,2) node {$\times$};
			\draw (6,2) node [below] {$N$};
			\draw [>=latex,->, blue,dashed] (2,1) -- (4,2) node [midway, above left] {$\vec u$};
			\draw [>=latex,->, red, dashed] (4,2) -- (6,2) node [midway, above] {$\vec v$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Dessiner la somme de représentants de vecteurs: la relation de Chasles.}

\begin{proposition}{ - {\color{purple}Relation de Chasles}}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. \[ {\color{orange}\overrightarrow{AB}}+{\color{red}\overrightarrow{BC}}={\color{Emerald}\overrightarrow{AC}} \]
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (2,2);
			\coordinate (D) at (5,1);
			\draw (A)node[left]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (D)node[right]{$C$};
			\draw[>=latex,->,orange,thick] (A)--(B);
			\draw[>=latex,->,red,thick] (B)--(D);
			\draw[>=latex,->,Emerald,thick] (A)--(D);
			\draw (3,-0.7)node{\color{Emerald}$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{WildStrawberry}Pour dessiner le représentant de la somme il faut choisir deux représentants des vecteurs qui \og se suivent \fg{}: l'extrémité d'un représentant est l'origine de l'autre représentant à sommer.}
		\item Nous utiliserons aussi cette relation pour \og calculer\fg{} avec des vecteurs, \emph{i.e.} essentiellement pour simplifier les expressions.
		\item La somme de vecteurs est commutative: $\vec u +\vec v=\vec v+\vec u$.
		
		\begin{notabene}
			
			Ajouter un schéma qui met aussi en évidence le parallélogramme.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Choisissez $4$ points $A$, $B$, $C$ et $D$ non alignés et hors du quadrillage.
	
	Construisez un représentant du vecteur somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Recommencez l'exercice précédent en choisissant des points du quadrillage et en utilisant celui-ci pour répondre à la question.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 20 page 135 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (12,6);
		\draw [>=latex,->, Green, very thick] (2,2) -- (4,3) node [midway,below right] {$\vec u$};
		\draw [>=latex,->, RedOrange, very thick] (4,3) -- (1,5) node [midway, above right] {$\vec v$};
		\draw [>=latex,->, Orange, very thick] (4,4) -- (7,5) node [midway,above left] {$\vec m$};
		\draw [>=latex,->, Violet, very thick] (7,5) -- (8,3) node [midway, left] {$\vec n$};
		\draw [>=latex,->, PineGreen, very thick] (10,5) -- (8,2) node [midway, left] {$\vec b$};
		\draw [>=latex,->, Cerulean, very thick] (10,5) -- (12,4) node [midway, above right] {$\vec a$};
		\draw (2,2) node {$\bullet$};
		\draw (2,2) node [below] {$A$};
		\draw (4,4) node {$\bullet$};
		\draw (4,4) node [above] {$B$};
		\draw (10,5) node {$\bullet$};
		\draw (10,5) node [above right] {$C$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Reproduisez puis construisez:
	\begin{enumerate}
		\item le représentant d'origine $A$ du vecteur $\vec{u}+ \vec{v}$;
		
		\item le représentant d'origine $B$ du vecteur $\vec{m}+ \vec{n}$;
		
		\item le représentant d'origine $C$ du vecteur $\vec{a}+ \vec{b}$;
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (14,6);
		\draw [>=latex,->, red, very thick] (2,2) -- (4,3) node [midway, left] {$\vec u$};
		\draw [>=latex,->, red, very thick] (4,3) -- (1,5) node [midway, left] {$\vec v$};
		\draw [>=latex,->, very thick] (2,2) -- (1,5);
		\draw [>=latex,->, red, very thick] (4,4) -- (7,5) node [midway, left] {$\vec m$};
		\draw [>=latex,->, red, very thick] (7,5) -- (8,3) node [midway, left] {$\vec n$};
		\draw [>=latex,->, very thick] (4,4) -- (8,3);
		\draw [>=latex,->, red, very thick] (10,5) -- (8,2) node [midway, left] {$\vec b$};
		\draw [>=latex,->, red, very thick] (10,5) -- (12,4) node [midway, left] {$\vec a$};
		\draw [>=latex,->, very thick] (10,5) -- (10,1);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}
 	
\begin{exercice}{}
	
	Exercice 39 page 186 du manuel Lelivrescolaire: écrire des relations de Chasles.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	Exercice 41 page 186 du manuel Lelivrescolaire: écrire des relations de Chasles.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 36 page 186 du manuel Lelivrescolaire: démonstration nature quadrilatère.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Vecteurs opposé et nul.}

\begin{lecon}
	
	En considérant le cas de la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$ nous sommes naturellement amenés à considérer le vecteur que nous avons appelé \emph{\color{purple}le vecteur nul}, que nous noterons $\color{purple}\overrightarrow{0}$. En effet la première translation transforme $A$ en $B$ et la seconde $B$ en $A$: globalement il n'y a pas de déplacement.
	
	\begin{notabene}
		
		Remarquons que nous ne pouvons pas définir le vecteur nul comme un autre vecteur puisque:
		
	\end{notabene} 
	
	Le vecteur nul ne possède ni sens ni direction et sa norme est nulle.
	
	\begin{notabene}
		
		Quelles seront les coordonnées d'un vecteur nul?
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Nous écrirons donc: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec 0$.
	
	Par analogie avec la somme des nombres nous dirons que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont \emph{\color{purple}opposés} et nous écrirons \[ \color{purple}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA} \]
	
	\begin{notabene}
		
		Ainsi des vecteurs opposés ont même norme, même direction mais sont de sens contraire.
		
	\end{notabene}
	
	De même que pour les nombres nous simplifierons les écritures en utilisant la \emph{\color{purple}soustraction de vecteur}: $\vec u +(-\vec v)=\vec u -\vec v$.
	
	\medskip
	{\color{WildStrawberry}Nous pourrons donc manipuler les vecteurs comme des nombres en les additionnant, en les soustrayant, en prenant leurs opposés, etc.}
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	\medskip
	Nous verrons dans la leçon sur les droites que les vecteurs et les droites sont intimement liés. Si bien que nous arriverons au résultat voulu par Grassmann: calculer avec des lignes.
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 22 page 135 du manuel Indice.
		
	\end{notabene}
	
	Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
	
	On veut construire le représentant d'origine $P$ du vecteur $\vec{u}-\vec{w}$, c'est-à-dire du vecteur $\vec{u}+(-\vec{w})$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\draw[step=1cm, gray,thin] (0,0) grid (5,5);
			\draw [>=latex,->,violet,very thick] (1,4) -- (2,2) node [midway, right] {$\vec{u}$};
			\draw [>=latex,->,Green,very thick] (4,2) -- (1,1)node [midway, below right] {$\vec{v}$};
			\draw (1,4) node {$\bullet$};
			\draw (1,4) node [above] {$P$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Reproduisez la figure et nommer $Q$ l'extrémité du vecteur $\vec{u}$.
		
		\item Construisez le représentant d'origine $Q$ du vecteur $-\vec{w}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	En choisissant des points judicieux complétez.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}+\dots=\overrightarrow{AE}$
				\item $\overrightarrow{G\dots}+\overrightarrow{B\dots}=\overrightarrow{GI}$
				\item $\overrightarrow{\dots B}+\overrightarrow{B \dots}=\overrightarrow{CG}$
				\item $\overrightarrow{BE}+\dots=\overrightarrow{BD}$
				\item $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{\dots F}=\overrightarrow{B\dots}$
				\item $\overrightarrow{B\dots}+\overrightarrow{\dots A}=\overrightarrow{BA}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{6}
				\item $\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{G\dots}=\overrightarrow{B\dots}$
				\item $\overrightarrow{\dots E}+\overrightarrow{E \dots}=\overrightarrow{BC}$
				\item $\overrightarrow{A \dots }+\overrightarrow{B\dots}=\overrightarrow{AC}$
				\item $\overrightarrow{O\dots}+\overrightarrow{M\dots}=\overrightarrow{\dots P}$
				\item $\overrightarrow{A\dots}+\overrightarrow{D\dots}+\overrightarrow{M\dots }=\overrightarrow{AG}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $A$, $B$, $C$, $E$, $G$ et $I$ des points du plan. Simplifiez les expressions suivantes (grâce notamment à la relation de Chasles).
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{CG}$
		\item $\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{CG}$
		\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{CG}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Simplifiez les expressions.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{2}
				\item $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB}$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \vec 0$.
		
		\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{BA}$.
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$.
				\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$.
				\item $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0$.
				\item $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
				\item $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Il y a dans l'exercice précédent la somme d'un vecteur par lui-même d'où l'apparition de la multiplication par un nombre.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 38 page 186 du manuel Lelivrescolaire: démonstration nature.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Dessiner la somme de vecteurs: identité du parallélogramme.}

\begin{notabene}
	
	Nous avons vu la somme de vecteurs en raisonnant avec les translations. En physique vous serez amenés à faire le bilan des forces s'appliquant à un solide. Dans ce cas toutes les forces ont la même origine. Il est donc difficile de dessiner les vecteurs sommes. Nous allons voir un procédé pour sommer des vecteurs ayant même origine.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Un glaçon est placé sur un plan incliné. Nous supposerons qu'il n'est soumis qu'a son propre poids $\color{red}\vec P$ et à la réaction du sol $\color{orange}\vec R$ (pas de force de frottement, pas de force d'Archimède, etc).
			
			Nous avons représenté le bilan des forces appliquées au centre de gravité (ou centre d'inertie).
			
			\medskip
			Nous recherchons la force résultante, $\color{Emerald}\overrightarrow{F_r}$, \emph{i.e.} la somme de toutes les forces appliquées au glaçon.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
				\def\angle{150};
				\def\poids{2};
				\draw[black][samples=100,domain=0:5] plot({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)});
				\foreach \x in {0,0.2,...,5}
				\draw[black,thin]({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)})--({\x*cos(\angle)+5-0.3},{\x *sin(\angle)-0.2});
				\coordinate (A) at ({3*cos(\angle)+5},{3*sin(\angle)});
				\coordinate (B) at ({2*cos(\angle)+5},{2*sin(\angle)});
				\coordinate (C) at ({2*cos(\angle)+5+0.5},{2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
				\coordinate (D) at ({3*cos(\angle)+5+0.5},{3*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
				\draw[blue](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
				\fill[blue,opacity=0.25](A)--(B)--(C)--(D)--(A);\coordinate (M) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))});
				\draw (M) node{$\bullet$};
				\coordinate (P) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))-\poids});
				\draw[>=latex,->,red,very thick](M)--(P)node[below]{$\vec P$};
				\coordinate (R) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5) - \poids*cos(\angle)*cos(\angle-90)} , {0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)) - \poids *cos(\angle)*sin(\angle-90)});
				\draw[>=latex,->,orange,very thick](M)--(R)node[above]{$\vec R$};
				\draw[dashed] (R) circle ({\poids});
				\draw[dashed] (P) circle ({\poids *cos(\angle)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Plutôt que de dessiner le représentant de $\vec R$ ayant pour origine l'extrémité de $\vec P$ nous allons construire le parallélogramme.
			
			Ainsi \[ {\color{red}\vec P} +{\color{orange}\vec R} ={\color{Emerald}\overrightarrow{F_r}} \]
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\angle{150};
				\def\poids{2};
				\draw[black][samples=100,domain=0:5] plot({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)});
				\foreach \x in {0,0.2,...,5}
				\draw[black,thin]({\x*cos(\angle)+5},{\x *sin(\angle)})--({\x*cos(\angle)+5-0.3},{\x *sin(\angle)-0.2});
				\coordinate (A) at ({3*cos(\angle)+5},{3*sin(\angle)});
				\coordinate (B) at ({2*cos(\angle)+5},{2*sin(\angle)});
				\coordinate (C) at ({2*cos(\angle)+5+0.5},{2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
				\coordinate (D) at ({3*cos(\angle)+5+0.5},{3*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)});
				\draw[blue](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
				\fill[blue,opacity=0.25](A)--(B)--(C)--(D)--(A);\coordinate (M) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))});
				\draw (M) node{$\bullet$};
				\coordinate (P) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5)},{0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90))-\poids});
				\draw[>=latex,->,red,very thick](M)--(P)node[below]{$\vec P$};
				\coordinate (R) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5) - \poids*cos(\angle)*cos(\angle-90)} , {0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)) - \poids *cos(\angle)*sin(\angle-90)});
				\draw[>=latex,->,orange,very thick](M)--(R)node[above]{$\vec R$};
				\coordinate (S) at ({0.5*(3*cos(\angle)+5+2*cos(\angle)+5+0.5) - \poids*cos(\angle)*cos(\angle-90)} , {0.5*(3*sin(\angle)+2*sin(\angle)+0.5*tan(\angle-90)) - \poids *cos(\angle)*sin(\angle-90)-\poids});
				\draw[>=latex,->,Emerald,very thick](M)--(S)node[right]{$\overrightarrow{F_r}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	
	Mathématiquement nous retiendrons:
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - {\color{purple}Identité du parallélogramme.}}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan.
			
			\medskip
			$\color{purple}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ équivaut à dire que $ABDC$ est un parallélogramme.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (2,2);
			\coordinate (C) at (3,-1);
			\coordinate (D) at (5,1);
			\draw (A)node[left]{$A$};
			\draw (B)node[above]{$B$};
			\draw (C)node[below]{$C$};
			\draw (D)node[right]{$D$};
			\draw[>=latex,->,orange,thick] (A)--(B);
			\draw[black,thin,dashed] (B)--(D);
			\draw[>=latex,->,red,thick] (A)--(C);
			\draw[black,thin,dashed] (C)--(D);
			\draw[>=latex,->,Emerald,thick] (A)--(D);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{WildStrawberry}Nous utiliserons ce résultat pour dessiner le vecteur somme lorsque les représentants additionnés ont la même origine.}
		\item Cette identité est plus rarement utilisée dans les calculs que la relation de Chasles.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Dessinez trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés hors des quadrillages de votre feuille et dessinez le vecteur somme $\vec s=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}

	Exercice 24 page 184 du manuel Lelivrescolaire.

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Exercice 47 page 187 du manuel Lelivrescolaire.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Exercices 42 à 46 page 187 du manuel Lelivrescolaire: dessiner des sommes.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[\text{Exercice} ]
		\item 42 page 187.
	
			\begin{tikzpicture}
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (10,6);
			\coordinate (A) at (6,1);
			\draw (A) node [below right] {$A$};
			\coordinate (B) at (2,1);
			\draw (B) node [below left] {$B$};
			\coordinate (C) at (4,5);
			\draw (C) node [above] {$C$};
			\coordinate (M) at (2,5);
			\draw (M) node  {$\times$};
			\draw (M) node [above right] {$M$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (A) -- (B);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (B) -- (C);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (5,4) -- (7,3) node [midway, above right] {$\vec w$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (7,3) -- (8,1) node [midway, above right] {$\vec a$};
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (10,6);
			\coordinate (A) at (6,1);
			\draw (A) node [below right] {$A$};
			\coordinate (B) at (2,1);
			\draw (B) node [below left] {$B$};
			\coordinate (C) at (4,5);
			\draw (C) node [above] {$C$};
			\coordinate (M) at (2,5);
			\draw (M) node  {$\times$};
			\draw (M) node [above right] {$M$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (A) -- (B);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (B) -- (C);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (5,4) -- (7,3) node [midway, above right] {$\vec w$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (7,3) -- (8,1) node [midway, above right] {$\vec a$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, red] (A) -- (C) node [midway, below left] {$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, blue] (5,4) -- (8,1) node [midway, below left] {$\vec w + \vec a$};
			\coordinate (R) at (5,2);
			\draw (R) node [below left] {$R$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, orange] (M) -- (R);
			\end{tikzpicture}
		
			\begin{tikzpicture}
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (10,6);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (2,1) -- (0,4) node [midway, above right] {$\vec b$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (2.5,4.5) -- (2,1) node [midway, above right] {$\vec c$};
			\coordinate (J) at (3,3);
			\draw (J) node [above right] {$J$};
			\coordinate (K) at (7,1);
			\draw (K) node [below left] {$K$};
			\coordinate (L) at (5,2);
			\draw (L) node [above right] {$L$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (J) -- (K);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (K) -- (L);
			\coordinate (N) at (4,0);
			\draw (N) node  {$\times$};
			\draw (N) node [above right] {$N$};
			\end{tikzpicture}
			
			
			\begin{tikzpicture}
			%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (0,0) grid (10,6);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (2,1) -- (0,4) node [midway, above right] {$\vec b$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (2.5,4.5) -- (2,1) node [midway, above right] {$\vec c$};
			\coordinate (J) at (3,3);
			\draw (J) node [above right] {$J$};
			\coordinate (K) at (7,1);
			\draw (K) node [below left] {$K$};
			\coordinate (L) at (5,2);
			\draw (L) node [above right] {$L$};
			\draw [>=latex, ->, very thick] (J) -- (K);
			\draw [>=latex, ->, very thick] (K) -- (L);
			\coordinate (N) at (4,0);
			\draw (N) node  {$\times$};
			\draw (N) node [above right] {$N$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, red] (2.5,4.5) -- (0,4) node [midway, above left] {$\vec b + \vec c$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, blue] (J) -- (L) node [midway, above right] {$\overrightarrow{JK} + \overrightarrow{KL}$};
			\coordinate (S) at (1.5,-0.5);
			\draw (S) node [above right] {$S$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, orange] (N) -- (S);
			\coordinate (T) at (6,-1);
			\draw (T) node [above right] {$T$};
			\draw [>=latex, ->, very thick, Green] (N) -- (T);
			\end{tikzpicture}
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{notabene}
	
	Les replacer dans la leçon au bon endroit.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette barbazo 2019 exo 50 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $ABC$ un triangle quelconque.
	
	\begin{enumerate}
		\item Construisez le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$.
		
		\item Justifiez que $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}$.
		
		\item $F$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$. Justifiez que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{FB}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}L'intitulé triangle quelconque suggère qu'il faut éviter de se placer dans un cas particulier mais aussi que la construction doit se faire sans utiliser un quadrillage.}
		
		
		\item Par construction $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ donc $ABDC$ est un parallélogramme. Et par conséquent $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}$. {\color{orange}Il suffit de faire la figure pour s'en convaincre.}
		
		\item Puisque $F$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$: $\overrightarrow{AF}= \overrightarrow{CB}$. Nous déduisons de cette dernière égalité que $AFBC$ est un parallélogramme. Enfin, comme $AFBC$ est un parallélogramme $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{FB}$.
		
	\end{enumerate}	
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_Bordeaux__juin_1989_DV.pdf}
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 55 à 57 page 137 de %2ieme_bordas_indice_2de_maths_2019
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65127&ordre=1}{Exercice 91 page 218 du Manuel Sésamath.}
		
	\end{notabene}
	
	Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points quelconques.
	\begin{enumerate} \item Démontrer les \'egalit\'es suivantes.
		\begin{enumerate}
			\item 
			$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \left(\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{BA}\right) = \overrightarrow{DA}$ 
			\item  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$
		\end{enumerate}
		
		\item Simplifier l'écriture des vecteurs suivants.
		\begin{enumerate}
			\item $\overrightarrow{u} = \left( \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC}\right) + \left(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD}\right)$
			\item $\overrightarrow{v} = \left(\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{CD}\right) - \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right)$
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			\begin{align*}
			\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} \right) &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}-\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right) \\
			&= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}- \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \\
			&= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA} \\
			&= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA}} \\
			\intertext{D'après la relation de Chasles:}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} \right) = {\color{WildStrawberry} \overrightarrow{DA}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item D'après la relation de Chasles
			
			\begin{align*}
			{\color{orange}\overrightarrow{AD}} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{BC}} &= {\color{orange}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{BD} +\overrightarrow{DC}}\\
			&= {\color{orange}\overrightarrow{AC} } + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{BD}} + {\color{orange} \overrightarrow{CD}} + {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{DC}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
			\vec u &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}\\
			&= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}
			\end{align*}
			
			D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec u= \overrightarrow{0}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\vec v &= {\color{WildStrawberry}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\\
			\intertext{D'aprèsla relation de Chasles:}
			\vec v &= {\color{WildStrawberry} \overrightarrow{AC} } +\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}\\
			&= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}
			\end{align*}
			
			D'après la relation de Chasles:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec v= \vec 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}