%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{Géométrie repérée.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{notabene}
	
	Exercice à rajouter.
	
	On considère dans un repère orthonormé les points $A(2;5)$, $B(2,0)$, $C(-2,2)$ et $T(-1,-1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $(AT)$ est la médiatrice de $[BC]$.
		
		\item Que peut-on en déduire pour les droites $(AT)$ et $BC)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Idée de repérer un point par déplacement à partir de l'origine.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	2ieme géiométrie repérée focaliser sur les deux formules et introduire déjà l'idée que les coordonnées sont une indication d'un déplacement pour aller de l'origine à un point. // / Partir des cooronnées du points comme pour une fonction et dire que finalement c'est un outil à part entière pour faire de la géométrie.
\end{notabene}

\section{Géométrie repérée.}

\begin{notabene}
	
	Grâce à la droite numérique dédoublée il est possible de donner la position d'un point dans le plan.
	
	Repère orthonormé, orthogonal.
	
	Coordonnées du milieu d'une segment.
	
	Distance euclidienne.
	
	Notion de projeté orthogonal.
	
	Relations trigonométriques.
	
	Pas de cours sur les quadrilatères et les triangles.
	
	Plein d'exercices de révision (sujets de brevets?).
	
	Leçon brève mais plus d'exercices.
	
\end{notabene}

\subsection{De la géométrie euclidienne classique à la géométrie repérée.}
	
\subsubsection{La Géométrie antique.}

\begin{lecon}
	
	Au collège vous avez étudié la géométrie et l'arithmétique telles que les Grecs les ont inventées et développées.
	
	Une grande partie de ces connaissances sont présentées dans un ouvrage de référence: les \emph{Éléments} de géométrie d'\emph{\color{purple}Euclide} (téléchargeable en \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.pdf}{pdf} et en \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.epub}{epub}). Nous savons très peu de choses d'Euclide il a vraisemblablement vécu vers 300 avant Jésus Christ dans la grande cité grecque de l'époque qu'était Alexandrie dans l'Égypte ptolémaïque.
	
	Ce livre fut le livre d'apprentissage des mathématiques dans tous l'occident jusqu'au XVII\ieme{} siècle. Tous les grands mathématiciens jusqu'à cette époque découvrirent les mathématiques en étudiant cet ouvrage.
	
	Au delà des résultats qui y sont exposés et que vous connaissez bien pour les avoir étudiés au collège (parallélisme, angles alternes, somme des angles d'un triangle, triangles semblables, identités remarquables, angles inscrit, tangente, proportion, théorème de Thalès, nombres premiers, PGCD, aires et volumes usuels) ce qui assura la pérennité des \emph{Éléments} c'est la volonté de l'auteur de démontrer ces résultats. Son influence fut considérable dans le développement de la logique et de l'axiomatique (résultats qui ne peuvent être démontrés et doivent donc être admis) des mathématiques. Nous retrouverons dans nos cours cette volonté d'admettre un minimum d'axiomes et de démontrer si possible tous les résultats que nous rencontrerons.
	
	Malheureusement les élèves ne retiennent bien souvent qu'une collection de résultats sans percevoir la cohérence de l'ensemble.
	
	Il nous restent quelques résultats de cet ouvrage à étudier. En classe de seconde nous verrons l'irrationalité de $\sqrt{2}$ et le fait qu'il y a une infinité de nombres premiers. 
	
	Pendant près de deux mille ans ce fut l'ouvrage de référence.
	
\end{lecon}

\subsubsection{La géométrie analytique.}

\begin{lecon}
	
	Dans la géométrie euclidienne le nombre est un outil de la géométrie: il représente une longueur, une aire ou un volume. Les mathématiques prirent un virage décisif lorsqu'un mathématicien, Descartes, eut l'idée de ramener l'étude de la géométrie à des calculs sur les nombres de façon systématique. Que l'on songe aux théorèmes de Pythagore et Thalès: leur succès vient précisément du lien qu'ils permettent entre perpendicularité et parallélisme d'une part et calculs sur de longueurs d'autre part.
	
	\begin{notabene}
		
		Comment repérer la position d'un point dans le plan? 
		
		Construction des repères en dimensions 1 puis deux à la main et au tableau pour introduire la définition qui suivra.
		
	\end{notabene}
	
	Cette nouvelle façon de traiter la géométrie qui fut vite utilisée par Fermat est appelée \emph{\color{purple}géométrie analytique}. Le titre de cette leçon, \emph{Géométrie repérée}, doit être compris comme une paraphrase de cette expression.
	
	L'idée d'associer systématiquement la position d'un objet géométrique à un couple de nombres est due à René Descartes ($XVII^{\text{ième}}$). Il fut un grand mathématicien mais la postérité a surtout retenu le philosophe dont les méthodes de réflexion exposées dans son \emph{Discours de la méthode} (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.pdf}{pdf}, \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.epub}{epub)} sont inspirées de celles des mathématiques.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.12]{2ieme_analyse_01_001_rene_descartes.jpg}
		
	\end{center}
	
	Les principes de réflexion suivants notamment sont bien connus.
	
	\medskip
	\og Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie, que je ne la connusse évidemment être telle: c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention; et de ne comprendre rien de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute.
	
	\medskip
	Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de pour celles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre.
	
	\medskip
	Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusques à la connaissance des plus composés; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.
	
	\medskip
	Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers, et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.\fg 
	
	\medskip
	C'est pour rendre hommage à ce grand mathématicien qu'on parle de \emph{\color{purple}repère cartésien} (par opposition à d'autres systèmes de coordonnées: polaires, cylindriques, sphériques).
		
	Pour vous occuper au prochain confinement (ou cyclone, ou en remplacement du feuilleton à la mode).
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item \emph{Éléments}. L'ouvrage d'\emph{Euclide}, auxquels tous les grands mathématiciens se sont frottés dont je vous recommande la lecture pour la démarche logique et pour s'amuser à retrouver les résultats de géométrie que vous connaissez déjà mais formulés de façon inhabituelle: \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.pdf}{pdf} et en \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_01_livre_euclide_elements.epub}{epub}.
		
		\item \emph{Discours de la méthode} de \emph{Descartes}. Celui-ci est plus un ouvrage de philosophie mais il est fondateur (en prévision de la terminale peut être): \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.pdf}{pdf}, \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_geometrie_reperee_02_livre_descartes_discours_de_la_methode.epub}{epub}.
		
	\end{enumerate}
	
	Dans cette leçon nous allons voir deux techniques géométriques utilisant les coordonnées: calculer une longueur et trouver les coordonnées du milieu d'un segment.
	
	Vous verrez qu'avec ces deux seuls résultats nous serons capables de démontrer de nombreux résultats usuels.
	
\end{lecon}

\subsection{Des révisions de géométrie: quadrilatères, triangles et cercles.}

\begin{lecon}
	
	Nous utiliserons cette année vos connaissances antérieures de géométrie. Notamment sur les 
	
	\begin{itemize}
		\item quadrilatères, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_02_quadrilateres_sujet.pdf}{pdf}) ,
		
		\item triangles, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_03_triangles_sujet.pdf}{pdf}),
		
		\item cercles, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_04_cercles_sujet.pdf}{pdf}).
		
	\end{itemize}
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	\begin{itemize}
		\item quadrilatères, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_02_quadrilateres_sujet.pdf}{pdf}) (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_02_quadrilateres.pdf}{pdf correction}),
		
		\item triangles, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_03_triangles_sujet.pdf}{pdf}) (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_03_triangles.pdf}{pdf correction}),
		
		\item cercles, (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_04_cercles_sujet.pdf}{pdf}) (\href{http://unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_04_cercles.pdf}{pdf correction}).
		
	\end{itemize}
	
\end{correction}

\subsection{Repère.}

\begin{lecon}
	
	Un repère est une façon de donner des indication numériques sur la position d'un objet géométrique dans le plan.
	
	Il existe d'autres repère, notamment le repérage avec les coordonnées polaires qui est plus adapté pour décrire des trajectoires circulaires.
	 
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}repère cartésien du plan} la donnée, dans cet ordre, de trois points $O$, $I$ et $J$ du plan euclidien non alignés et distincts deux à deux. Nous le noterons $(O,I,J)$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Le repère $(O,I,J)$ est dit \emph{\color{purple}orthogonal} lorsque le triangle $OIJ$ est rectangle en $O$.
		\item Le repère $(O,I,J)$ est dit \emph{\color{purple}orthonormal}, ou \emph{\color{purple}orthonormé}, lorsque le triangle $OIJ$ est isocèle rectangle en $O$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] (\u,-2)--(\u,3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2,\v)--(2,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2, 0) -- (2, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] (\u,-2)--(\u,3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2,\v)--(2,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2, 0) -- (2, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[
			blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\foreach \u in {-2,-1,...,2} \draw[gray!60] ({\u+0.5},-2)--({\u-0.5},3);
			\foreach \v in {-2,-1,...,3} \draw[gray!60] (-2.5,\v)--(2.5,\v);
			\draw[ ->,very thick] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0.5, -2) -- (-0.5, 3) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0.1,0);
			\coordinate (I) at (1.1,0);
			\coordinate (J) at ({-0.15},1);
			\coordinate (A) at ({0.7},2);
			\draw[blue] (O) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (O) node[below left]{$O$};
			\draw[blue] (I) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (I) node[below left]{$I$};
			\draw[blue] (J) node{$\bullet$};
			\draw[blue] (J) node[left]{$J$};
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[above right]{$A(1,2)$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On pourrait ajouter un nouveau point $K$ et considérer le repère $(O,I,J,K)$ pour passer d'un espace à deux dimensions à un espace à trois dimensions.
		
		\item Dans un couple de coordonnées la première coordonnée est (toujours) l'\emph{\color{purple}abscisse} et la seconde l'\emph{\color{purple}ordonnée}.
		
		\item Nous noterons $\left(O,\overrightarrow{i} \right)$ l'\emph{\color{purple}axe des abscisses} \emph{i.e.} la droite $(OI)$ orientée de $O$ vers $I$.
		
		De même nous noterons $\left( O,\overrightarrow{j} \right)$ l'\emph{\color{purple}axe des ordonnées} \emph{i.e.} la droite $(OJ)$ orientée de $O$ ver $J$.
		
		Les notations $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ seront expliquées dans une autre leçon.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Dans le repère $(O,I,J)$ ci-dessous
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		[xscale=0.4,yscale=0.4]
		\def\xY{-9.2};
		\def\yY{-7.2};
		\def\xZ{11.2};
		\def\yZ{8.2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw (3,0) node {$\bullet$};
		\draw (3,0) node[below right] {$I$};
		\draw (0,2) node {$\bullet$};
		\draw (0,2) node[above left] {$J$};
		\draw (0,0) node {$\bullet$};
		\draw (0,0) node[below left] {$O$};
		\draw (-6,2) node {$\bullet$};
		\draw (-6,2) node[above right] {$A$};
		\draw (-3,-4) node {$\bullet$};
		\draw (-3,-4) node[above right] {$B$};
		\draw (3,4) node {$\bullet$};
		\draw (3,4) node[above right] {$C$};
		\draw (6,5) node {$\bullet$};
		\draw (6,5) node[above right] {$D$};
		\draw (9,-6) node {$\bullet$};
		\draw (9,-6) node[above right] {$E$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item déterminez les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$;
		\item placez les points
		\begin{tasks}(3)
			\task $F(1;-2)$,
			\task $G(-1;3)$,
			\task $H\left( \frac{2}{3};0\right)$.
		\end{tasks}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Ajouter une explication graphique de la lecture du premier point en distinguant bien abscisse et ordonnées.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Il faut être vigilant: ici le repère n'est pas orthonormé mais simplement orthogonal. Une unité sur l'axe des abscisses correspond à $3$ carreaux et une unité sur l'axe des ordonnées correspond à $2$ carreaux.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$A(-2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(1;2)$, $D(2;2,5)$ et $E(3;-3)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			[xscale=0.4,yscale=0.4]
			\def\xY{-9.2};
			\def\yY{-7.2};
			\def\xZ{11.2};
			\def\yZ{8.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw (3,0) node {$\bullet$};
			\draw (3,0) node[below right] {$I$};
			\draw (0,2) node {$\bullet$};
			\draw (0,2) node[above left] {$J$};
			\draw (0,0) node {$\bullet$};
			\draw (0,0) node[below left] {$O$};
			\draw (-6,2) node {$\bullet$};
			\draw (-6,2) node[above right] {$A$};
			\draw (-3,-4) node {$\bullet$};
			\draw (-3,-4) node[above right] {$B$};
			\draw (3,4) node {$\bullet$};
			\draw (3,4) node[above right] {$C$};
			\draw (6,5) node {$\bullet$};
			\draw (6,5) node[above right] {$D$};
			\draw (9,-6) node {$\bullet$};
			\draw (9,-6) node[above right] {$E$};
			\draw (3,-6) node {$\bullet$};
			\draw (3,-6) node[above right] {$F$};
			\draw (-3,6) node {$\bullet$};
			\draw (-3,6) node[above right] {$G$};
			\draw (2,0) node {$\bullet$};
			\draw (2,0) node[above right] {$H$};
			\end{tikzpicture}
			
h		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		\begin{itemize}
			\item Les questions sont de l'application des coordonnées et lecture d'un programme scratch.
			\item La question 4 fait intervenir des multiples.
			\item La question 5 permet d'évoquer les translation et donc les vecteurs.
		\end{itemize}
		
	\end{notabene}
	
	L'affichage sur un moniteur (écran) est constitué de pixels, \emph{i.e.} de tout petits carrés illuminés d'une seule couleur à la fois.
	
	Il est possible de repérer chaque pixel par ses coordonnées.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{10};
		\def\yZ{10};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick,black] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[below left]{};
		\draw[ ->,thick,black] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below left]{};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
		\foreach \y in {1,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
		\fill[color=gray , opacity=0.75] (0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)-- cycle;
		\fill[color=red , opacity=0.75] (3.5,5.5)--(4.5,5.5)--(4.5,6.5)--(3.5,6.5)-- cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Lors de la création d'un jeu vidéo l'affichage d'un personnage sera centré sur un pixel.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering\arraybackslash}X}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Afin de déplacer le personnage (ici le lutin sous Scratch) vers la droite ou vers la gauche le programme suivant est créé.
			
			Le lutin apparaît au pixel de coordonnées $(0,0)$.
			
			
			\begin{enumerate}
				\item Donnez les abscisses et ordonnées du lutin si l'utilisateur appuie sur la touche \og bas \fg{}.
				
				\item Donnez les abscisses et ordonnées du lutin si l'utilisateur appuie successivement sur la touche \og bas \fg{}, la touche \og gauche \fg{}, la touche \og bas \fg{} et à nouveau la touche \og bas \fg{}.
				
				\item Proposez un enchaînement de touches sur lesquelles appuyer afin que le lutin se retrouve au point de coordonnées $(-90,30)$.
				
				\item Expliquez pourquoi il est impossible que le lutin se retrouve au point de coordonnées $(25,-60)$.
				
				\item Quelle transformation du plan est appliquée au lutin lorsqu'une instruction \begin{scratch}[scale=0.75] \blockmove{ajouter \ovalnum{} à ...} \end{scratch} est réalisée?
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{scratch}[scale=0.75]
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
				\blockinfloop{répéter indéfiniment}
				{
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche droite} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{10} à x}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche gauche} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{-10} à x}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche haut} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{10} à y}					
					}
					\blockif{si \boolsensing{touche \selectmenu{flèche bas} pressée?} alors}
					{
						\blockmove{ajouter \ovalnum{-10} à y}
					}
				}
			\end{scratch}
		\end{minipage}
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}En algorithmique , pour l'instant , les réponses sont relativement peu argumentée. l'essentiel est de lire est comprendre le fonctionnement et le rôle de l'algorithme.}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si l'utilisateur appuie sur la touche bas le lutin voit ses coordonnées modifiées (donc il se déplace) la variable $y$ qui représente son ordonnée est diminuée de $10$ donc ses nouvelles coordonnées sont $(0;-10)$.
		
		\item Puisqu'on appuie $3$ fois sur \og bas \fg{} et $1$ fois sur \og gauche\fg{} ses nouvelles coordonnées (en partant de l'origine du repère) sont $(-30;-10)$.
		
		\item $-90=9 \times (-10)$ donc il a fallu se déplacer $9$ fois vers la gauche. Puisque $30 = 3 \times 10$ il a fallu se déplacer $3$ fois vers le haut.
		
		\item $25$ n'est pas un multiple de $10$ il est donc impossible qu'un déplacement conduise à cette position.
		
		\item Le lutin n'est tourné (rotation), il n'est pas retourné (symétrie axiale), il n'est ni agrandi ni réduit par conséquent il s'agit d'une translation.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Tracez un repère orthonormé $(O,I,J)$ ($1\ \mathrm{cm}$ ou un carreau pour unité) puis placez les points: $A(1;3)$, $B(-3;1)$ et $C(3,-3)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-4.5};
		\def\yY{-4.5};
		\def\xZ{4.5};
		\def\yZ{4.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\coordinate (A) at (1,3);
		\coordinate (B) at (-3,1);
		\coordinate (C) at (3,-3);
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (I) at (1,0);
		\coordinate (J) at (0,1);
		\draw (A) node{$\bullet$};
		\draw (B) node{$\bullet$};
		\draw (C) node{$\bullet$};
		\draw (O) node{$\bullet$};
		\draw (I) node{$\bullet$};
		\draw (J) node{$\bullet$};
		\draw (A) node[above right]{$A$};
		\draw (B) node[above right]{$B$};
		\draw (C) node[above right]{$C$};
		\draw (O) node[below left]{$O$};
		\draw (I) node[below right]{$I$};
		\draw (J) node[above left]{$J$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

	
\subsection{Distance.}

\begin{definition}
	
	Dans un repère $(O,I,J)$ \underline{orthonormé} sont placés deux points $A$ et $B$ dont les coordonnées sont respectivement $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$.
	
	\medskip
	La distance (euclidienne affine) de $A$ à $B$ est définie par
	\[ \color{purple} AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		
		\item Cette formule permet de calculer (les distances donc) les longueurs en géométrie repérée. Elle sera donc utiliser avec des résultats utilisant les longueurs: théorème de Thalès, théorème de Pythagore, calculs d'aires.
		
		\item Cette définition n'est valable que pour les repères orthonormés. Ce peut être un indice dans les exercices.
		
		\item Cette formule se généralise en trois dimensions comme vous le verrez en terminale.
		
		\item Cette formule est également appelée formule de la \emph{\color{purple}moyenne géométrique}.
		
		\item Cette formule est ici introduite comme une définition cependant il est possible de faire le lien avec la géométrie classique et les distance sur les axes gradués grâce au théorème de Pythagore:
		
		\begin{center}
			
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{14.5};
			\def\yZ{8.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at (1,0);
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			\coordinate (J) at (0,1);
			\draw (J) node {$\bullet$};
			\draw (J) node[above left] {$J$};
			\coordinate (A) at (3,2);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			\coordinate (A1) at (3,0);
			\draw (A1) node {\tiny \color{orange} $\bullet$};
			\draw (A1) node[below] {\color{orange} $x_A$};
			\coordinate (A2) at (0,2);
			\draw (A2) node {\tiny \color{orange} $\bullet$};
			\draw (A2) node[left] {\color{orange} $y_A$};
			\coordinate (B) at (10,6);
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (B) node[above right] {$B$};
			\coordinate (B1) at (10,0);
			\draw (B1) node {\tiny \color{OliveGreen} $\bullet$};
			\draw (B1) node[below] {\color{OliveGreen} $x_B$};
			\coordinate (B2) at (0,6);
			\draw (B2) node {\tiny \color{OliveGreen} $\bullet$};
			\draw (B2) node[left] {\color{OliveGreen} $y_B$};
			\draw[thick,Emerald] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
			\fill[Emerald!40] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5) -- (10,2) -- cycle;
			\coordinate (H) at (10,2);
			\draw (H) node {$\bullet$};
			\draw (H) node[below right] {$H$};
			\draw[thick,OliveGreen] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
			\fill[OliveGreen!40] (9.5,2) -- (9.5,2.5) -- (10,2.5);
			\draw[very thick,blue] (A) -- (B);
			\draw[>=latex,thick,red,dashed,<->] (A) -- (H) node[midway,below,fill=white] {$x_B-x_A$};
			\draw[>=latex,thick,red,dashed,<->] (B) -- (H) node[midway,right,fill=white] {$y_B-y_A$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Point méthodologique: s'il est écrit \og démontrez\fg{}, vous ne pouvez vous contenter d'une lecture graphique.
		
		De plus si le dessin n'est pas demandé il est inutile de perdre du temps à le faire en évaluation à moins bien sûr que ce soit pour vous, pour conjecturer une propriété. Dans ce cas il ne faut perdre de temps.
		
	\end{notabene}
	
	Les points $N(1;1)$, $P(-2;-1)$ et $Q(3;-2)$ sont placés dans un repère orthonormé du plan. 
	
	Démontrez que le triangle $NPQ$ est isocèle en $N$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}$NPQ$ est isocèle en $N$ si et seulement si $NP=NQ$.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $NP$ et $NQ$.}
	
	Le repère est orthonormé donc
	\begin{align*}
	NP &= \sqrt{(x_N-x_P)^2+(y_N-y_P)^2}\\
	&= \sqrt{(1-(-2))^2+(1-(-1))^2}\\
	&=\sqrt{13}
	\end{align*}
	et 
	\begin{align*}
	NQ &\color{orange}= \sqrt{(x_N-x_Q)^2+(y_N-y_Q)^2}\\
	&\color{orange}= \sqrt{(1-3)^2+(1-(-2))^2}\\
	&=\sqrt{13}
	\end{align*}
	
	Donc $NP=NQ$ et 
	
	\begin{conclusion}
		
		$NPQ$ est isocèle en $N$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$, les points $K(-1;7)$, $L(-1;4)$ et $M(3;4)$ sont choisis.
	
	Démontrez que le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons que $KLM$ est rectangle en $L$.}
	
	{\color{orange}Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, en calculant les longueurs des différents côtés.}
	
	Puisque le repère est orthonormé
	
	\begin{align*}
	KL &= \sqrt{(x_K-x_L)^2+ (y_K-y_L)^2}\\
	&= \sqrt{(-1-(-1))^2 + ((7-4)^2)^2}\\
	&= 3
	\end{align*}
	
	De même
	
	\begin{align*}
	LM &= 4\\
	MK &= 5
	\end{align*}
	
	\medskip
	Comme \[ \left\{ \begin{array}{l} KL^2 + LM^2 =3^2+4^2=25\\
	MK^2 = 5^2 = 25 \end{array} \right. \] par transitivité: $KL^2+LM^2=MK^2$.
	
	Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore, 
	
	\begin{conclusion}
		
		$KLM$ est rectangle en $L$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	Rédigez un programme en Python ou en Scratch qui détermine la longueur $AB$ en fonction des coordonnées des points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}{}
	
	Voici une fonction en Python qui calcul la longueur $AB$ lorsque $A(x;y)$ et $B(u;v)$.
	
	\begin{minipage}{8cm}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}

\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{8cm}
			\lstset{emph={dis}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]x,y,u,v}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
from math import *
def dis(x,y,u,v):
    print("AB=",sqrt((x-u)**2+(y-v)**2))
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Coordonnées du milieu d'un segment.}

\begin{notabene}
	
	Pour découvrir le résultat.
	
	On se place dans un repère $(O,I)$.
	
	Déterminez sans justifier le milieu $M$ du segment $[AB]$ dans les cas suivants en précisant son abscisse:
	\begin{itemize}
		\item $A(3)$ et $B(5)$,
		\item $A(2)$ et $B(5)$,
		\item $A(2,75)$ et $B(4,5)$,
		\item $A(\sqrt{3})$ et $B(\sqrt{13})$
	\end{itemize}
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Le résultat vu dans l'exercice précédent est qui ne concerne que les abscisses est généralisable en deux dimensions.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}
	
	Dans un repère (quelconque) $\left(O,I,J\right)$ sont placés deux points $A$ et $B$ dont les coordonnées sont respectivement $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$.
	
	\medskip
	Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont \[ \left( \frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2} \right) \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soient $R(2;5)$ et $S(-256;-1002)$ deux points du plan qu'on a muni d'un repère $(O,I,J)$.
	
	Déterminez précisément le point d'intersection du segment $[RS]$ et de sa médiatrice.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
\begin{exercicecorrection}
	
	Le point d'intersection de $[RS]$ et de sa médiatrice est le milieu $M$ de $[RS]$.
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons les coordonnées de $M$.}
	
	Puisque $M$ est le milieu de $[RS]$:
	
	\begin{align*}
	x_M &= \frac{x_R+x_S}{2}\\
	&= \frac{2+(-256)}{2}\\
	&= -127
	\end{align*}
	
	et
	
	\begin{align*}
	y_M &= \frac{y_R+y_S}{2}\\
	&= \frac{5+(-1002)}{2}\\
	&= -\frac{997}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$M \left( -157; -\frac{997}{2} \right)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{\Football}	
	
	Soient $A(6;5)$ et $S(2;3)$ deux points d'un repère $(O,I,J)$.
	
	Déterminez les coordonnées du point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $S$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}$A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $S$ si et seulement si $S$ est le milieu de $[AA']$.}
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons les coordonnées de $A'$.}
	
	Puisque $S$ est milieu de $[AA']$ nous devons avoir:
	
	\begin{align*}
	x_S &= \frac{x_A+x_{A'}}{2}\\
	\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
	2 &= \frac{6+x_{A'}}{2}\\
	2 {\color{orange} \times 2} &= \frac{6+x_{A'}}{2}  {\color{orange} \times 2}\\
	4 &= 6+x_{A'}\\
	4 {\color{orange}-6} &= 6+x_{A'} {\color{orange}-6}\\
	-2 &= x_{A'}
	\end{align*}
	
	De même, en travaillant avec les ordonnées, nous obtenons $y_{A'}=1$.
	
	Enfin:
	
	\begin{conclusion}
		
		$A'(-2;1)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Rédigez un programme en Python qui donne les coordonnées du milieu d'un segment dont les coordonnées des extrémités sont connues.
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices}

\begin{exercice}{\Laserbeam}
	
	Les points $A(1;2)$, $B(-16;-15)$ et $C(-5;-26)$ sont placés dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.
	
	Démontrez que le triangle $ABC$ est rectangle.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}L'exercice est tout à fait semblable à l'exercice 5. la seule différence est que nous ignorons a priori en quel sommet il est rectangle. Pour identifier aisément ce sommet nous pouvons nous souvenir que l'hypoténuse est le plus grand coté d'un triangle rectangle. Le triangle est ici rectangle en $B$.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Le but de l'exercice est d'amener les élèves à se demander s'il ne serait pas possible de programmer pour répondre à la question.
		
	\end{notabene}
	
	Un repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan étant choisi, dîtes si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ dans les cas suivants:
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $A(2;-1)$, $B(-2;1)$ et $C(1;-3)$.
				\item $A(-2;-3)$, $B(3;-2)$ et $C(-4;3)$.
				\item $A(-1;2)$, $B(-3;6)$ et $c(-7;1)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $A(1;3)$, $B(5;1)$ et $C(-1;-1)$.
				\item $A(1;5)$, $B(-1;-1)$ et $C(6;3)$.
				\item $A(-1;4)$, $B(-2;3)$ et $C(2;1)$.
			\end{enumerate}		
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{notabene}
		
		En fin d'exercice questionnement: le programme remplace-t-il une démonstration?
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Le côté répétitif nous incite à utiliser un programme.
	\begin{center}
		\begin{minipage}{12cm}
			\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
				emph={[2]xA,yA,xB,yB,xC,yC}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
xA=-1
yA=4
xB=-2
yB=-3
xC=2
yC=1
if (xA-xB)**2+(yA-yB)**2+(xA-xC)**2+(yA-yC)**2==(xC-xB)**2+(yC-yB)**2:
    print("ok")
else:
    print("nan")
\end{lstlisting}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Oui.
		\item Non.
		\item Non.
		\item Oui.
		\item Non.
		\item Oui.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64959&ordre=1}{Exercice 16 page 191 manuel Sesamath.}: Thalès ou droite des milieux, coordonnées du milieu.
		
	\end{notabene}
	
	On munit le plan d'un repère  orthonormé $(O;I,J)$. On construit un triangle $PAT$ dont les sommets ont pour coordonnées respectives $(-2;4)$, $(0;-1)$ et $(5;-2)$. Le point $E$ est le milieu du segment $[AT]$. La parallèle à $(TP)$ passant par $E$ coupe $(PA)$ en $F$.
	
	Quelles sont les coordonnées de $F$?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Biohazard}
	
	\begin{notabene}
		
		Ajouter le lien avec la distance et le fait qu'on déinie une distance sur la droite.
		
		Faire même toute une leçon.
		
	\end{notabene}
	Soit $x$ un nombre réel.
	
	Nous appellerons \emph{valeur absolue de $x$} le nombre $\sqrt{x^2}$ et nous le noterons $\color{purple}|x|$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $|3|$, $|10|$ et $|\pi|$.
		\item Dites si la phrase suivante est vraie ou fausse en justifiant: \og quelque soit le nombre réel $x$, $|x|=x$ \fg{}.
		\item Calculez sans aucune justification $|-2|$, $|1,2|$, $\left| \frac{-1}{3} \right|$ et $|-1+\pi|$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}