%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Théorème de Pythagore.}

\begin{notabene}	
	Rappels et éléments de logique: implication réciproque et contraposée.
\end{notabene}

\subsubsection{Médiane et cercle circonscrit.}

\begin{proposition}
	Dans un triangle rectangle la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est la moitié de la moitié de l'hypoténuse.
	
	Réciproquement: si dans un triangle la médiane relative à un côté a une longueur qui est la moitié de la longueur de ce côté alors les triangle est rectangle.
\end{proposition}

\begin{notabene}
	\color{red}Ajouter des exemples de figures illustrant la proposition
\end{notabene}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $ABC$ est rectangle en $A$ et si $O$ est le milieu de $[BC]$ alors $AO=\frac{BC}{2}$. %Figure triangle ABC rectangle en A illustrant immplication directe		
		\item Si $O$ est le milieu de $[BC]$ et si $OA=\frac{BC}{2}$ alors $ABC$ est rectangle en $A$. %Figure triangle ABC avec médiane de longueur moitié d'un côté illustrant réciproque
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{definition}
	Soit $A$, $B$ et $C$ des points du plan. On appelle \emph{\color{purple}cercle circonscrit au triangle} $ABC$ tout cercle passant par les points $A$, $B$ et $C$.
\end{definition}

\begin{proposition}
	Si $A$, $B$ et $C$ sont droit points non alignés du plan, alors il existe un unique cercle circonscrit à $ABC$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
	Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.
	
	Si le point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ alors $ABC$ est rectangle en $C$.
\end{proposition}

\begin{notabene}
	\color{red}Ajouter des figures pour illustrer dans la proposition ou dans les exemples.
\end{notabene}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Si $ABC$ est rectangle en $A$ alors $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit à $ABC$. %
		\item %
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour cente le milieu de l'hypoténuse et pour rayon la moitié de la longueur de l'hypoténuse.		
		\item Sachant que $[AB]$ est un diamètre d'un cercle $\mathscr{C}$ et que $C$ appartient à$\mathscr{C}$ on peut affirmer que $ABC$ est rectangle en $C$.		
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soient $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$. Tracez la médiane $[AI]$ et la hauteur $[CH]$. Démontrez que le triangle $BHI$ est isocèle.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Deux cercles de centre $O$ et $O'$ se coupent en $E$ et $F$. Soient $R$ le symétrique de $E$ par rapport à $O$ et $A$ le symétrique de $E$ par rapport à $O'$. Montrez que les points $R$, $F$ et $A$ sont alignés.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $P$, $A$ et $U$ trois points alignés. Une droite passant par $A$ coupe le cercle de diamètre $[PA]$ en $I$ et le cercle de diamètre $[AU]$ en $T$. Démontrez que $(PI) \parallel (UT)$.
\end{exercice}

\subsubsection{Propriété de Pythagore.}

\begin{proposition}
	Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse égale la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
\end{proposition}

\begin{notabene}	
	\color{red} Ajouter une illustration avec des carrés dessinés sur les côtés du triangle.
\end{notabene}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ainsi, sachant que $ABC$ et rectangle en $A$ on peut affirmer que $AB^+AC^2=BC^2$.		
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat est appelé \emph{\color{purple}le théorème de Pythagore}.
		\item On utilise souvent le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés.
		\item On peut également utiliser la contraposée de cette propriété. Si $AC^2+AB^2 \ne BC^2$ alors $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.
		
		Cette contraposé ne dit pas ce qu'il en est des autres sommets $B$ et $C$.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{proposition}	
	Si dans un triangle $ABC$ on a la relation $AB^2+AC^2=BC^2$ alors $ABC$ est rectangle en $A$.
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $ABC$ est un triangle tel que $AB=3$, $AC=4$ et $BC=5$ alors $AB^2+AC^2=25$ et $BC^2=25$ donc $AB^2+AC^2=BC^2$. Nous en déduisons avec la réciproque du théorème de Pythagore que $ABC$ est rectangle en $A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat est appelé \emph{\color{purple}la réciproque de la propriété de Pythagore}.
		\item C'est un outil pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Calculez une valeur approchée au centième par excès du rayon du cercle circonscrit à un carré de côté $9\ \mathrm{m}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez le périmètre d'un losange dont les diagonales mesurent $16\ \mathrm{cm}$ et $3\ \mathrm{cm}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez la longueur d'un rectangle dont la largeur mesure $6,89\ \mathrm{m}$ et la diagonale $14,89\ \mathrm{m}$.	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	$ARC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $CR=53$ et $AC=45$. Calculez une valeur approchée au dixième des longueurs des trois médianes du triangle.	
\end{exercice}

\subsubsection{Distance d'un point à une droite.}

\begin{definition}
	Soient $M$ un point et $\Delta$ une droite du plan euclidien. On appelle \emph{\color{purple}projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$} le point d'intersection de $\Delta$ et de la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$.
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item L'utilisation de l'article défini \og le \fg{} sous-entend l'unicité ce que nous n'avons pas démontré mais que nous admettrons.
		\item Si $M \in \Delta$ alors $M$ est son propre projeté orthogonale sur $\Delta$.
		\item Nous verrons l'année prochaine une définition vectorielle de cette projection orthogonale.
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans un triangle $ABC$ le pied de la hauteur issue de $A$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.		
		\item Dans un repère orthogonal les abscisses et ordonnées d'un point $M$ s'obtiennent en considérant le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses et celui des ordonnées respectivement.
		\item Le point d'intersection d'un cercle et de l'une de ses tangente est le projeté orthogonal du centre du cercle sur cette tangente.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Après avoir placé les points $A$, $B$ et $C$ dans un repère, dessinez les projetés orthogonaux, respectivement, $A'$ de $A$ sur $(BC)$, $B'$ de $B$ sur $(AC)$ et $C'$ de $C$ sur $(AB)$.		
		\item Que remarquez-vous à propos des droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 		
		\item La droite $(AA')$ est la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$. De même pour $(BB')$ et $(CC')$. Elles sont concourantes en un seul point appelés le centre de gravité du triangle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}
	L'hypoténuse est le plus long côté d'un triangle rectangle.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Soit $ABC$ un triangle, non trivial, rectangle en $A$.
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore:	
	\begin{align*}
		BC^2 &= AB^2+AC^2\\
		\intertext{Les nombres considérés étant tous positifs on en déduit:}
		BC^2 &\geqslant AB^2
		\intertext{Si le résultat peut sembler naturel dès cette étape il faut en fait détailler comme suit:}
		BC^2-AB^2 &\geqslant 0\\
		(BC-AB)(BC+AB) &\geqslant 0\\
		\intertext{Puisque $BC+AB\geqslant 0$:}
		BC-AB &\geqslant 0\\
		BC & \geqslant AB
	\end{align*}	
	De la même façon on démontrerait $BC\geqslant AC$.
	
	Ainsi $[BC]$ est le plus long côté de $ABC$.	
\end{preuve}

\begin{proposition}
	Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de la droite $\Delta$ le plus proche du point $M$.	
\end{proposition}

\begin{preuve}		
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
			\draw (-1,0)--(5,0);
			\draw (1,2) node{$\times$};
			\draw (1,2) node[left]{$M$};
			\draw (1,0) node[below]{$H$};
			\draw[dashed] (1,2)--(1,0);
			\draw[gray!60] (1.5,0)--(1.5,0.5)--(1,0.5);
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}	
	{\color{orange}Pour montrer que $H$ est le point le plus proche, nous allons démontrer que tous le autres points de la droite sont plus loin de $M$ que $H$.
		
	Il s'agit de démontrer une propriété universelle (\og pour tout \fg{}, \og quelque soit \fg{}), nous commençons donc la rédaction par:}
	
	Soit $N$ un point de $\Delta$.
	
	\begin{center}		
		\begin{tikzpicture}
			\draw (-1,0)--(5,0);
			\draw (1,2) node{$\times$};
			\draw (1,2) node[left]{$M$};
			\draw (1,0) node[below]{$H$};
			\draw[dashed] (1,2)--(1,0);
			\draw[gray!60] (1.5,0)--(1.5,0.5)--(1,0.5);
			\draw (4,0) node{$\times$};
			\draw (4,0) node[below]{$N$};
			\draw (1,2)--(4,0);
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
	
	\objectif{Démontrons que $MN \geqslant MH$.}
	
	$MNH$ est un triangle rectangle en $H$ donc, d'après le précédent lemme, $MH \leqslant MN$.
	
	Nous avons démontré que, quelque soit le point $N$ choisi sur $\Delta$, $MN\geqslant MH$. Autrement dit
	
	\begin{conclusion}		
		$H$ est le point de $\Delta$ le plus proche de $M$.		
	\end{conclusion}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Ce résultat permet de définir la \emph{\color{purple}distance d'un point à une droite} comme étant la distance séparant ce point de son projeté orthogonal sur la droite. Ce qui donne furieusement envie de définir la distance entre un point et une parabole, un point et un cercle, une droite et une autre droite, ...
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Montrez que tout point d'une bissectrice d'un angle est équidistant aux demi-droites formant l'angle.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	Avec la trigonométrie: même tangente. Si la tangente n'est pas vu la démarche est plus longue et utilise à la fois le cosinus et le sinus.	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\emph{Démontrez le résultat suivant.} Soient $A$, $B$ et $C$ trois points alignés, distincts deux à deux. Si on note $A'$, $B'$ et $C'$ leurs projetés orthogonaux respectifs sur une droite $\Delta$, non perpendiculaire à la droite $(AB)$ alors: $\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{notabene}
		Faire deux schémas. Cas parallèles et cas non parallèles.
	
	\end{notabene}	
	\begin{enumerate}[*]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}		\item Cas non parallèles: théorème de Thalès.
		
		Puisque $\Delta$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles elles sont sécantes. Notons $O$ leur point d'intersection.
		
		{\color{orange}La formule à démontrer relève d'une généralisation du théorème de Thalès. Démontrons le résultat dans le cas particulier de la figure ci-dessous.}		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (A) at (2,1);
				\coordinate (AA) at (2,0);
				\coordinate (B) at (3,1.5);
				\coordinate (BB) at (3,0);
				\coordinate (C) at (6,3);
				\coordinate (CC) at (6,0);
				\draw (O) -- (C) -- (CC) -- cycle;
				\draw (A) -- (AA);
				\draw (B) -- (BB);
				\draw (C) -- (CC);
				\draw (O) node[left] {$O$};
				\draw (A) node[above] {$A$};
				\draw (B) node[above] {$B$};
				\draw (C) node[above] {$C$};
				\draw (AA) node[below] {$A'$};
				\draw (BB) node[below] {$B'$};
				\draw (CC) node[below] {$C'$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}		
		Les points $O$, $A$, $B$ d'une part et $O$ , $A'$, $B'$ d'autre part sont alignés dans cet ordre donc nous avons une configuration de Thalès.
		
		De plus, de $(AA') \perp \Delta$ et $(BB') \perp \Delta$ nous déduisons $(AA') \parallel (BB')$.
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{OA}{OB}= \frac{OA'}{OB'}\quad (1). \]
		
		Comme $OB=OA+AB$ de $(1)$, nous déduisons
		\begin{align*}
			AB &= OA \times \frac{OB'}{OA'}-OA
		\end{align*}
		
		De même on démontrerai:
		\begin{align*}
			AC &= OA \times \frac{OC'}{OA'}-OA
		\end{align*}
		
		Par conséquent
		\begin{align*}
			\frac{AB}{AC} &= \frac{OA \times \frac{OB'}{OA'}-OA}{OA \times \frac{OC'}{OA'}-OA}\\
			&= \frac{OB' -OA'}{OC'-OA'}\\
			&= \frac{A'B'}{A'C'}
		\end{align*}		
		\item Cas parallèles: rectangles et égalités de longueurs.		 
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu.
	
	Le cercle de diamètre $[AB]$ coupe le segment $[AC]$ en $B'$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Faites une figure et justifiez que le point $B'$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.		
		\item On note $C'$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$. Justifiez que $AC'=AB'$.		
		\item Pourquoi a-t-on $BB'=CC'$?		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Cercle circonscrit à $AB'B$ et $[AB]$ diamètre donc $AB'B$ rectangle en $B$.		
		\item Réciproque: triangle rectangle donc $[AC]$ diamètre du cercle circonscrit donc par symétrie $AC'=AB'$.		
		\item Longueurs égales d'après le théorème de Pythagore.
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	$ABC$ est un triangle équilatéral, $H$ est le projeté orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$ et $K$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur la droite $(BC)$. Faites une figure et comparez les longueurs $CH$ et $HK$.	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$. 
	
	Égalité d'aires: $\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} AB \times \frac{1}{2}AB= \frac{1}{2} AB \times HK$ donc $HK=\frac{\sqrt{3}}{4}AB$.
	
	\begin{conclusion}		
		$HK=\frac{1}{2} CH$.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dessinez le triangle isocèle $EFG$ tel que $EF=9$, $FG=6$ et $GE=9$.		
		\item Notons $P$ le projeté orthogonal de $E$ sur $(GF)$ et $R$ celui de $P$ sur $(EG)$. Dessinez les points $P$ et $R$.		
		\item Comparez les longueurs $EP$ et $PR$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $ABC$ un triangle, $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$, $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Faites une figure et indiquez quelle semble être la nature du quadrilatère $BIKJ$.		
		\item Prouvez que $HIKJ$ est un trapèze isocèle.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $BIKJ$ est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles deux à deux d'après le théorème de Thalès (ou le théorème des milieux).		
		\item Nous déduisons de la question précédente que $HIKJ$ est un trapèze.		
		$HI=\frac{1}{2}AB$ car $ABH$ est rectangle en $H$ et $JK=\frac{1}{2}AB$ d'après le théorème de Thalès donc $HI=JK$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 63 page 80 2ieme hatier variations maths 2019
		
	\end{notabene}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Exercices}

\begin{exercice}
	\begin{notabene}
		Hatier pythagore 4ieme exo 49 page 200
		
		{\color{red} ajouter codage angle droit.}
		
		{\color{red}Même exercice que le 13 version moins guider les mettre côte à côte et choisir suivant le niveau de la classe.}		
	\end{notabene}
		
	$ABC$ est un triangle et $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur $[BC]$. $I$, $J$ et $K$ désignent les milieux de $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$. Démontrez que le quadrilatère $JIHK$ a deux côtés parallèles et les autres de même longueur (c'est un trapèze isocèle).	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (2,4);
			\coordinate (B) at (0,0);
			\coordinate (C) at (6,0);
			\coordinate (H) at (2,0);
			\coordinate (K) at (1,2);
			\coordinate (J) at (4,2);
			\coordinate (I) at (3,0);
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			\draw (H) -- (K) -- (J) -- (I) --cycle;
			\draw (A) -- (H);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Comment déterminer le centre d'un cercle à l'aide de la seule équerre non graduée et d'un crayon?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	On trace un rectangle auquel le cercle soit circonscrit puis on détermine son centre qui est aussi celui du cercle.	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soient un cercle $\mathscr{C}$ de rayon $3\ \mathrm{cm}$ et de centre $P$, et un point $A$ tel que $AP=7\ \mathrm{cm}$. Tracez le cercle de diamètre $[PA]$ qui coupe $\mathscr{C}$ en $U$ et $S$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Démontrez que les droites $(AU)$ et $(SA)$ sont tangentes au cercle $\mathscr{C}$.
		\item Calculez $AU$ à $1\ \mathrm{mm}$ près.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Le cercle de diamètre $[PA]$ est circonscrit à $PSA$ donc $PSA$ est rectangle en $A$ et donc $(AS)$ est tangente à $\mathscr{C}$.
		
		Même raisonnement pour $(SA)$.
		
		\item Avec le théorème de Pythagore: $AU= \sqrt{7}-\sqrt{3}\approx 1$ en arrondissant au millimètre.		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}