%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Équations réduites de droites.}

{\color{red}Rajouter les cours et exemple étoffés sur la détermination de l'équation réduite par lecture graphique.}

\subsubsection{Équations réduites (à partir des équations cartésiennes).}

\begin{lecon}	
	Les équations réduites sont des équations cartésiennes simplifiées qui font le lien entre équation cartésienne et fonction affine.
	
	Pour une fonction affine chaque valeur indiquée sur l'axe des abscisses est reliée à une valeur sur l'axe des ordonnées. Les ordonnées, $y$, s'expriment en fonction des valeurs en abscisses, $x$.
	
	Autrement dit pour définir un fonction nous devons obtenir une expression de la forme: $y=f(x)$. Nous allons l'obtenir à partir d'une équation cartésienne.	
\end{lecon}

\begin{exemples}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Soit $\mathscr{D}$ la droite dont une équation cartésienne dans un repère $\left( O; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)$ est $4x+2y-14=0$.
		
		\begin{notabene}
			
			Nous voulons obtenir $y$ en fonction de $x$ donc nous allons faire comme si nous connaissions la valeur de $x$ et résoudre l'équation d'inconnue $y$.
			
		\end{notabene}
		
		\begin{align*}
			4x+2y-14 &= 0\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			4x+2y-14 {\color{orange}-4x+14} &= 0 {\color{orange}-4x+14}\\
			2y &= -4X+14\\
			\frac{2y}{\color{orange}2} &= \frac{-4x+14}{\color{orange}2}\\
			y &= \frac{-4x}{2} + \frac{14}{2}\\
			y &= -2x+7
		\end{align*}
		
		\begin{notabene}
			
			Nous voyons bien apparaître une fonction affine.
			
		\end{notabene}
		
		\item Soit $d$ la droite dont une équation cartésienne dans un repère $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ est $8y+32=0$.
		
		\item Soit $\mathcal{D}$ la droite dont une équation cartésienne dans un repère $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ est $3x+6=0$.
		
		\begin{notabene}
			
			Dans ce cas nous ne pourrons
		\end{notabene}
	\end{enumerate}	
\end{exemples}

\begin{proposition}
	Soient $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ un repère du plan, $\mathscr{D}$ une droite du plan.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Si $\mathscr{D}$ est parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation, dite réduite, de la forme: $x=r$ avec $r$ une constante réelle.		
		\item Si $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équation réduite de la forme: $y=mx+p$ avec $m$ et $p$ des constantes réelles.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}
	Considérons une droite $\mathscr{D}$ d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ dans le  repère $\left( O ; \vec i , \vec j \right)$. Nous utiliserons le fait que le vecteur  de coordonnées $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est alors un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ et aussi le fait que $a$ et $b$ ne peuvent être simultanément nuls.
	
	On distingue les deux cas.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Premier cas: la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
		
		Donc le vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ est colinéaire à $\vec j$ et par conséquent: $-b=0$ et $a\ne 0$.
		
		Ainsi l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$ se simplifie en $ax+c=0$. Et puisque $a\ne 0$: $x=\frac{-c}{a}$.
		
		\item Second cas: la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
		
		Donc le vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ n'est pas colinéaire à $\vec j$ et nécessairement: $b\ne 0$.
		
		Ainsi l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$ peut s'écrire: $y=\frac{-a}{b}x+\frac{-c}{b}$.
	\end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Comme $y=mx+p \Leftrightarrow mx-y+p=0$ nous pouvons affirmer que le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\m \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation réduite $y=mx+p$.
		
		Nous obtenons ainsi une méthode de lecture graphique du coefficient directeur d'une droite.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-4.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{3.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.4cm,ystep=0.2cm,line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm,ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4.5:4.5] plot(\x,{0.5*\x+0.6});
				\draw [red,>=latex,->,very thick] (0.8,1) -- (2.8,1) node [midway , below]{$1$};
				\draw [Green,>=latex,->,very thick] (2.8,1) -- (2.8,2) node [midway , right]{$m=1$};
				\draw (0.8,1) node {$\bullet$};
				\draw (2.8,2) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-4.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{3.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.4cm,ystep=0.2cm,line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm,ystep=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2.6:3.4] plot(\x,{-1*\x+0.8});
				\draw [red,>=latex,->,very thick] (-0.8,2) -- (0.8,2) node [midway , above left]{$1$};
				\draw [Green,>=latex,->,very thick] (0.8,2) -- (0.8,0) node [midway , above right]{$m=-2$};
				\draw (-0.8,2) node {$\bullet$};
				\draw (0.8,0) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}		
		\item Nous reconnaissons, dans la seconde équation réduite, l'expression d'une fonction affine. $m$ sera encore appelé la pente (ou le coefficient directeur) et $p$ l'ordonnée à l'origine.
		\item Les propositions réciproques de celle de la proposition sont également clairement vraies. Nous arions pu écrire cette proposition avec des équivalences.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\subsubsection{Pente, alias coefficient directeur.}

\begin{proposition}
	Soient $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$ un repère d'un plan euclidien, $A$ et $B$ deux points distincts du même plan. Si $(AB)$ admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$ alors $m= \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
	\begin{align*}
		\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} &= \frac{mx_B+p-(mx_A+p)}{x_B-x_A}\\
		&= \frac{m(x_B)-x_A}{x_B-x_A}\\
		&= m
	\end{align*}
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item En notant $f: x \mapsto mx+p$ nous remarquons que $m$ est le taux d'accroissement de $f$ entre $x_A$ et $x_B$ (puisque $y_A=f(x_A)$ et $y_B=f(x_B)$).
	\end{enumerate}
\end{remarques}
\begin{exercice}	
	Dans le repère ci-dessous sont dessinées des droites.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			%Courbe à construire après les tangentes.
			%\draw[black, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-5) (-2,-1) (-1,0) (0,-2) (2,0) (5,0.5)};
			%Tangente 1
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-4:-0.5] plot(\x,{2*\x+3});
			%\draw (-2,-1) node{$\times$};
			%Tangente 2
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{(-1/3)*\x-2});
			%\draw (0,-2) node{$\times$};
			%Tangente 3
			\draw[Orange, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{0.5*\x-1});
			%\draw (2,0) node{$\times$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Déterminez les équations réduites des différentes droites.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $\mathscr{T}_{-2}:\ y=2x+3$.
		
		\item $\mathscr{T}_{0}:\ y= -\frac{1}{3}x-2$.
		
		\item $\mathscr{T}_2:\ y=\frac{1}{2}x-1$.
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Équation réduite, deux points.}

\subsubsection{Équation réduite, point et vecteurs.}

\subsubsection{Pente et tangente.}

\subsubsection{Exercices.}


\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on considère les droites $d:\ y=-3x+4$ et $d':\ y=\frac{1}{3}x-1$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Représentez ces deux droites.
		\item Que représentent, pour $(d)$ et $(d')$, les points $P(0;4)$, $P'(0;-1)$ et $A\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2} \right)$?
		\item Déduisez-en que les droites $(d)$ et $(d')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on considère les points $A(-3;-2)$, $B(2;-1)$ et $C(1;4)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Placez ces points.
		\item Déterminez une équation des médianes du triangle $ABC$ issues des sommets $A$ et $B$.
		\item Que représente le point $M \left( 0; \frac{1}{3} \right)$ pour le triangle $ABC$?
		\item Déterminez les coordonnées du point d'intersection des droites $(CM)$ et $(AB)$.
		\item Que représente ce point pour le segment $[AB]$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\item Coordonnées du milieu de $[BC]$: $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right)$. Médiane issue de $A$: $7x-9y+3=0$.
		
		Coordonnées du milieu de $[AC]$: $(-1,1)$. Médiane issue de $B$: $2x+3y-1=0$.
		\item $M$ est le points d'intersection des deux précédentes médianes donc c'est le centre de gravité du triangle.
		\item On peut le faire en résolvant un système ou en raisonnant sur la troisième médiane, celle issue de $C$.
		\item Milieu de $[AB]$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dans le repère $(O,I,J)$, on considère les points $A(1,2)$, $B(-1,4)$, $C(-2;3)$ et $D(1;m)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Utilisez un raisonnement par contraposée pour montrer que si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes alors $m\ne 0$.
		\item Utilisez un raisonnement par l'absurde pour montrer que si $m \ne 0$ alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.
		\item Dans cette question, on suppose que $m=-3$. On considère les droites d'équation $y=-x+3$ et $y=-2x-1$.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Associez ces équations aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
			\item En utilisant le point $E(-4;7)$, utiliser un raisonnement par contre-exemple pour montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
			\item On considère la droite $(d)$ d'équation $y=x+1$. Utilisez un raisonnement par disjonction des cas pour montrer que les droites $(AB)$, $(CD)$ et $(d)$ ne sont pas concourantes.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}%hachette repère page 278
	Les données sont codées sur la figure suivante:
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.1,yscale=0.8,rotate=-120]
			\coordinate (A) at (2,0);
			\coordinate (B) at (0,2);
			\coordinate (C) at (0,0);
			\coordinate (L) at (0,1);
			\coordinate (N) at (1,0);
			\coordinate (M) at (3,0);
			\coordinate (I) at (2,0.75);
			\draw (C) -- (N) node[midway] {$\parallel$};
			\draw (N) -- (A) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (A) -- (M) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (C) -- (L) node[midway, sloped] {$|$};
			\draw (L) -- (B) node[midway, sloped] {$|$};
			\draw (A) -- (B);
			\draw (A) node {$\times$};
			\draw (B) node {$\times$};
			\draw (C) node {$\times$};
			\draw (L) node {$\times$};
			\draw (M) node {$\times$};
			\draw (N) node {$\times$};
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\draw (M) node [above left] {$M$};
			\draw (N) node [above left] {$N$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (L) node [above right] {$L$};
			\draw (I) node {$I$};
			\draw [orange] (L) -- (M);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On se place dans le repère $(A,B,C)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Donnez les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$.
		\item Déterminez les coordonnées des points $M$, $N$ puis $L$.
		\item Donnez une équation de la droite $(ML)$ et en déduire les coordonnées du point $I$ intersection des droites $(AB)$ et $(ML)$. Précisez la position du point $I$ sur le segment $[ML]$.
		\item Retrouvez ce résultat par une autre méthode non analytique.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
		\item $M\left( 0,-\frac{1}{2}\right)$, $N\left( 0,\frac{1}{2} \right)$ et $L\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$.
		\item $(ML):\ y=2x-\frac{1}{2}$. $(AB):\ y=0$. Donc intersection: $0=2x-0,5 \Leftrightarrow x=0,25$. $I\left( \frac{1}{4},0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez la pente de chacune des droites.
	\begin{tasks}
		\task La droite $d$ d'équation $-8x+3t+5=0$.
		\task La droite $(AB)$ avec $A(-1,-9)$ et $B(2;6)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
		\begin{tasks}
			\task En isolant $y$: $y=\frac{8}{3}x-\frac{5}{3}$.
			
			O avec le vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \end{pmatrix}$. Donc $m=\frac{-8}{-3}= \frac{8}{3}$.
			\task $\frac{6-(-9)}{2-(-1)}=5$.
		\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez la pente de chacune des droites tracées ci-dessous dans un repère.
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{6};
	\def\ycoinbasgauche{-2};
	\def\ycoinhautdroit{6};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	%\draw (O) node[below left] {$O$};
	%\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	%\draw (I) node[below left] {$I$};
	%\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	%\draw (J) node[below left] {$J$};
	%\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:6] plot({\x},{3/4*\x+1});
	\draw[blue] (5.25,4.25) node {$d_3$};
	\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.5:3.5] plot({\x},{2*\x-1});
	\draw[red] (2.25,5.25) node {$d_2$};
	\draw[green, thick][samples=100,domain=-2:6] plot({\x},{-3/5*\x+3});
	\draw[green] (-1.75,3) node {$d_1$};
	\end{tikzpicture}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	$m_1=-\frac{3}{5}$, $m_2=2$ et $m_3=\frac{3}{4}$.
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Donnez, lorsqu'elle existe, la pente de la droite $d$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $d:\ y=3,3x+6,5$.
		\task $d:\ y=2$.
		\task $d:\ y=-7-x$.
		\task $d:\ y= \frac{4x+1}{5}$.
		\task $d:\ x=-0,8$.
		\task $d:\ 4x+2y+5=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(4)
		\task $m=3,3$.
		\task $m=0$.
		\task $m=-1$.
		\task $\frac{4}{5}$.
		\task Pas de pente.
		\task $m=-2$.
	\end{tasks}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez l'équation de la droite passant par $A$ et de pente $m$.
	\begin{tasks}
		\task $A(1,-3)$ et $m=-5$.
		\task $A(3;0)$ et $m=\frac{2}{3}$.
		\task $A(2;3)$ et $m=0,75$.
		\task $A(-6,-5)$ et $m=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez la pente de $(AB)$ puis son équation réduite.
	\begin{tasks}
		\task $A(7,-1)$ et $B(0;2)$.
		\task $A(-3;4)$ et $B(3;10)$.
		\task $A(1,-1)$ et $B(4;1)$.
		\task $A(0,-5)$ et $B(2;-1)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez un vecteur directeur de la droite et, lorsqu'elle existe, la pente de la droite décrite.
	\begin{tasks}
		\task La droite $d$ d'équation $3x-2y=0$.
		\task La droite $(AB)$ avec $A(3;9)$ et $B(2;4)$.
		\task La droite $d$ d'équation $y=-4$.
		\task La droite d'équation $x+5y+2=0$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation de la droite $d$ de pente $-5$ est coupant l'axe des abscisses au point $A(4;0)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}%Déclic page 208 exerccie 128
	On donne le bénéfice d'une entreprise, en million d'euros, entre 2012 et 2017.
	
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline
		Année & Rang de l'année $x$ & Bénéfice $y$
		\\
		\hline
		2012 & $0$ & $1,23$
		\\
		\hline
		2013 & $1$ & $1,38$
		\\
		\hline
		2014 & $2$ & $1,62$
		\\
		\hline
		2015 & $3$ & $1,70$
		\\
		\hline
		2016 & $4$ & $2,02$
		\\
		\hline
		2017 & $5$ & $2,31$
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Dans un repère $(O,I,J)$ où $OI=OJ=2$ construisez le nuage de points de coordonnées $(x,y)$.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculez $\overline{x}_1$ et $\overline{y}_1$ respectivement la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des trois premiers points du nuage.
			\item Placez le point $G_1(\overline{x}_1,\overline{y}_1)$.
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculez $\overline{x}_2$ et $\overline{y}_2$ respectivement la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des trois derniers points du nuage.
			\item Placez le point $G_2(\overline{x}_2,\overline{y}_2)$ et tracez la droite $(G_1,G_2)$.
		\end{enumerate}
		\item On suppose que la droite $(G_1G_2)$ donne l'évolution du bénéfice de l'entreprise.
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculez le bénéfice prévisible pour 2020.
			\item Selon ce modèle, en quelle année le bénéfice devrait-il dépasser quatre millions d'euros?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}