%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small 

\subsection*{Équations cartésiennes de droites.}


\subsubsection{Équations cartésiennes.}

\begin{lecon}
	Nous appelons équations cartésienne une équation liant les coordonnées d'un objet géométrique dans un repère cartésien du plan (ou de l'espace). Ainsi dans un repère orthonormé du plan le cercle dont le centre est l'origine est le rayon vaut $1$ a pour équation $x^2+y^2=1$.
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Représentez (avec un outil informatique)  graphiquement l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient l'équation:
	\begin{tasks}(2)
		\task $2x+|y|-3=0$,
		\task $\sqrt{x^2}-y+2=0$,
		\task $x -|x|+y=0$,
		\task $y=|3x-2|$,
		\task $x+|y-2|=0$,
		\task $4x^2-(y+1)^2=0$,
		\task $(2x-y+1)^2-4=0$,
		\task $(x+1)^2+(2x-y)^2=0$,
		\task $(2x-1)^2-(y+2)^2=0$,
		\task $|x|+|y|=1$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\subsubsection{Équations cartésiennes d'une droite.}

	\begin{notabene}
		
		Comment exprimer le fait qu'une point $M$ appartienne à une droite en utilisant ses coordonnées?
		
		La géométrie même vectorielle est sympathique mais il est difficile de la faire manipuler par un ordinateur. Qui dit ordinateur dit numérique, et qui dit numérique dit coordonnées cartésiennes.
		
		Puis faire apparaître un exemple de relation liant abscisse et ordonnée d'un point d'une droite dans un repère cartésien.
		
	\end{notabene}

\begin{exercice}
	Soient $A$ et $B$ deux points du plan dont les coordonnées sont données dans un repère du plan. Soit $M(x,y)$ un troisième point.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Exprimez les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$.
		\item Calculez $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM} \right)$.
		\item À quelle condition portant sur $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM} \right)$ les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont-ils colinéaires? Déduisez-en une condition sur $x$ et $y$.
		\item Si la précédente condition est vérifiée que peut-on dire des points $A$, $B$ et $M$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soit $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère du plan euclidien.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Pour toute droite $\mathscr{D}$ il existe des réels $a$, $b$ et $c$ (avec $a$ et $b$ non simultanément nuls) tels que $\mathscr{D}$ est formée de tous les points $M(x,y)$ pour lesquels $x$ et $y$ vérifient l'équation  $ax+by+c=0$.		
		\item Réciproquement étant donné des réels $a$, $b$ et $c$ (avec $a$ et $b$ non simultanément nuls), l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x$ et $y$ vérifient l'équation $ax+by+c=0$ est une droite.		
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Soient $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points distincts de $\mathscr{D}$.
		
		\begin{align*}
			M \in \mathscr{D} &\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{AB} \right)=0\\
			&\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x-x_A & x_B-x_A \\ y-y_A & y_B-y_A \end{vmatrix}=0\\
			&\Leftrightarrow (x-x_A)(y_B-y_A) -(y-y_A)(x_B-x_A) =0\\
			&\Leftrightarrow (y_B-y_A)x- (x_B-x_A)y -x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)=0
		\end{align*}
		
		Donc en posant $a=y_B-y_A$, $b=-(x_B-x_A)$ et $c=-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)$ nous obtenons bien que $x$ et $y$ sont solution de l'équation $ax+by+c=0$.
		
		\item {\color{orange}Cette démonstration est plus technique et astucieuse. Nous n'en présenterons ici que la trame.}
		
		Pour s'assurer que l'équation est celle d'une droite nous devons trouver une droite qui lui corresponde, \emph{i.e.} un point et un vecteur directeur de cette droite. 
		
		Pour le point nous choisirons $\left( -\frac{c}{a};0 \right)$ si $a\ne 0$ et $\left( 0;-\frac{c}{b} \right)$ sinon.
		
		Pour le vecteur directeur nous choisissons $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$ {\color{orange}(ce choix astucieux s'inspire de la démonstration de (i))}.
		
		Il ne reste plus, en faisant comme au (i), qu'à vérifier que l'équation cartésienne obtenue pour ce point et ce vecteur directeur est bien: $ax+by+c=0$.		
	\end{enumerate}	
\end{preuve}

\begin{remarques}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Une équation cartésienne n'est pas unique: $x+3y+1=0$ et $2x+6y+2=0$ sont deux équations cartésiennes d'une même droite, la seconde étant obtenue en multipliant la première par $2$.		
		\item Dans la suite de la leçon nous distinguerons trois types de droites correspondant à deux types d'équations différentes.		
		\item Le choix du vecteur directeur au (ii) de la démonstration est à retenir: {\color{orange}si une droite à une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ alors les vecteur de coordonnées {\color{purple}$\begin{pmatrix} -b\\a \end{pmatrix}$} en est un vecteur directeur.}		
	\end{enumerate}	
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Soient $\left( O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ un repère cartésien, $A(3;-1)$ un point et $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -4\\-102 \end{pmatrix}$.	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\item Démontrer que $B\left(0;-\frac{155}{2}\right) \in \mathscr{D}$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}	
		\item {\color{orange}La méthode de la détermination d'une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur est à connaître.}
		
		\medskip
		Notons $\mathscr{D}$ la droite passant pas $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons une équation cartésienne de $\mathscr{D}$.}
		
		Soit $M(x;y) \in \mathscr{D}$.
		
		\medskip
		$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, ce qui équivaut encore successivement à
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{AM}; \overrightarrow{u} \right) &= 0\\
			\begin{vmatrix} x_{AM} & x_{u}\\ y_{AM} & y_{u} \end{vmatrix} &= 0\\
			\begin{vmatrix} x-3 & -4 \\ y-(-1) & -102 \end{vmatrix} &= 0\\
			(x-3) \times (-102) -(y+1) \times (-4) &= 0\\
			-102x+4y+310 &=0 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{D}:\ -102x+4y+310=0$.
			
		\end{conclusion}		
		\item {\color{orange}La méthode pour vérifier qu'un point appartient à une droite dont on connaît une équation est à savoir.}
		
		\medskip
		\objectif{Vérifions que $B \in \mathscr{D}$.}
		
		$B \in \mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de $\mathscr{D}$.
		
		Or
		
		\begin{align*}
			-102x_B+4y_B+310 &= -102\times 0+4\times \left( -\frac{155}{2} \right)+310\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$B \in \mathscr{D}$.
			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}


\begin{lecon}	
	Nous allons utiliser la remarque faites précédemment: si une droite a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ en est un vecteur directeur.	
\end{lecon}

\begin{exercice}	
	Déterminez un vecteur directeur de la droite $d$.	
	\begin{tasks}(3)
		\task $d:\ 4x-3y+1=0$.		
		\task $d:\ x-5y+2=0$.		
		\task $d:\ -x+2y-5=0$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Or ici $a=4$, $b=-3$ et $c=1$ donc $\vec u \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
		\task {\color{orange}Voici une autre façon de déterminer un vecteur directeur d'une droite mais un peu plus lourde. Trouvons deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ et alors $\overrightarrow{AB}$ sera un vecteur directeur de $d$. Pour trouver un point choisissons une valeur de $x$ au hasard et cherchons une valeur de $y$ correspondante e sorte que ce soit un point de la droite.}			
		
		Cherchons (si possible) $A \in d$ de sorte que $x_A=0$ alors on devrait avoir $x_A-5y_A+2=0$ et donc $y_A= \frac{2}{5}$. $A \left( 0; \frac{2}{5} \right)$ est un point de la droite.
		
		De même si $x_B=1$ alors $y_B=\frac{3}{5}$ et $B \in d$.
		
		Donc $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
		
		\task 		
		$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Or ici $a=-1$, $b=2$ et $c=-5$ donc $\begin{pmatrix} -2\\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et de vecteurs directeur $\vec u$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(3;4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		\task $A(-2;5)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}$.
		\task $A(5;-10)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		\task $A(0;4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}
		\task $\mathscr{D}:\ 2x+y-10=0$.
		\task $\mathscr{D}:\ -3x-6=0$.
		\task $\mathscr{D}:\ x+3y+25=0$.
		\task $\mathscr{D}:\ x-5y+20=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et $B$.
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(2;1)$ et $B(5;-6)$.
		\task $A(-3;0)$ et $B(1;1)$.
		\task $A(-1;7)$ et $B(0;3)$.
		\task $A(6;8)$ et $B(3;2)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{tasks}(3)
		\task $-7x-3x+17=0$.
		\task $x-4y+3=0$.
		\task $-4x-y+3=0$.
		\task $6x-3y-12=0$
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Soit $d:\ 2x-y+1=0$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez l'ordonnée du point $A$ de $d$ dont l'abscisse est $5$.
		\item Déterminez l'abscisse du point $B$ de $d$ dont l'ordonnée est $13$.
		\item Tracez la courbe représentative de $d$ dans un repère orthonormé.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Tracez la courbe représentative de $d$ dans un repère orthonormé dans les cas suivants.
	\begin{tasks}(2)
		\task $d:\ 2x+5y+1=0$.
		\task $d:\ -3x+4y+1=0$.
		\task $d:\ 4x+1=0$.
		\task $d:\ 2y-4=0$.
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(-3;4)$, $B(2;1)$ et $C(-1;-3)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Calculez les coordonnées du point $M$ milieu de $[AC]$.		
		\item Déduisez-en une équation cartésienne de la médiane issue de $B$ dans $ABC$.
	\end{enumerate}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $M\left( -2; \frac{1}{2} \right)$.		
		\item $\frac{1}{2}x -4y +3=0$.		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $\mathscr{D}$ parallèle à $(AB)$ et passant par $C$.	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(5;4)$, $B(-1;2)$ et $C(4;-3)$.		
		\task $A(-5;-1)$, $B(6;4)$ et $C(1;2)$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	{\color{orange}$(AB)$ et $\mathscr{D}$ sont parallèles si et seulement si tout vecteur directeur de l'une est vecteur directeur de l'autre droite.}	
	\begin{tasks}(2)
		\task $-2x+6y+26=0$.		
		\task $5x-11y+17=0$.		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation cartésienne de la droite $(AB)$ puis vérifiez si $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
	\begin{tasks}(2)
		\task $A(-2;4)$, $B(7;2)$ et $C(11;1)$.
		\task $A(-4;-1)$, $B(4;3)$ et $C(44;23)$.
		\task $A(-26;20)$, $B(51;6)$ et $C(30;10)$.
		\task $A(20;18)$, $B(72;40)$ et $C(124;62)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $-2x-9y+32=0$ Non.		
		\item $-4x+8y-8=0$. Oui.		
		\item $14x+77y-1176=0$. Non.		
		\item 		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Dites si les droites $d$ et $d'$ sont strictement parallèles, confondues ou sécantes.	
	\begin{tasks}	
		\task $d:\ 2x-6y+5=0$ et $d':\ x-3y+2=0$.		
		\task $d:\ 4x-3y+1=0$ et $d':\ 5x-4y+2=0$.		
		\task $d:\ 3x+9y+2=0$ et $d':\ 12x+36y+8=0$.		
		%\item $d:\ 3x+9y+2=0$ et $d':\ 12x+36y+8=0$.		
	\end{tasks}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{tasks}
		\task \objectif{Déterminons la position relative de $d$ et $d'$.}
		
		{\color{orange}La position relative de deux droites (position de l'une par rapport à l'autre) dans la plan (coplanaires) n'admet que deux possibilités qui s'excluent mutuellement:
			\begin{itemize}
				\item les droites sont \emph{\color{purple}sécantes},
				\item les droites sont \emph{\color{purple}parallèles} (et en particulier éventuellement confondues).
			\end{itemize}
		}
		
		\medskip
		{\color{orange}À ce stade de la leçon pour démontrer le parallélisme nous allons utiliser les vecteurs directeurs.}
		
		\medskip
		$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ donc: $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d'$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.}
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{u}; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} x_{u} & x_{v}\\ y_{u} & y_{v} \end{vmatrix}\\
			&= \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\\
			&= 6 \times 1 -2 \times 3\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires donc $d$ et $d'$ sont parallèles.
		
		Deux droites parallèles sont confondues si et seulement si elles ont au moins un point en commun. Or $P\left( 0;\frac{5}{6} \right) \in d$ mais $P \notin d'$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$d$ et $d'$ sont strictement parallèles.
			
		\end{conclusion}
		
		\task 
		
		$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v} \right)=-1$. $d \not\parallel d'$.		
		\task 
		
		$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -36 \\ 12 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v} \right)=0$. $d \parallel d'$. $P \left( -\frac{2}{3} ;0 \right)\in d$ et $P \in d'$ donc $d=d'$ (droites confondues).		
	\end{tasks}	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}
	Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ on considère les points $A(-3;-2)$, $B(2;-1)$ et $C(1;4)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Placez ces points.
		\item Déterminez une équation des médianes du triangle $ABC$ issues des sommets $A$ et $B$.
		\item Que représente le point $M \left( 0; \frac{1}{3} \right)$ pour le triangle $ABC$?
		\item Déterminez les coordonnées du point d'intersection des droites $(CM)$ et $(AB)$.
		\item Que représente ce point pour le segment $[AB]$?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\item Coordonnées du milieu de $[BC]$: $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right)$. Médiane issue de $A$: $7x-9y+3=0$.
		
		Coordonnées du milieu de $[AC]$: $(-1,1)$. Médiane issue de $B$: $2x+3y-1=0$.
		\item $M$ est le points d'intersection des deux précédentes médianes donc c'est le centre de gravité du triangle.
		\item On peut le faire en résolvant un système ou en raisonnant sur la troisième médiane, celle issue de $C$.
		\item Milieu de $[AB]$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}%hachette repère page 278
	Les données sont codées sur la figure suivante:
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.1,yscale=0.8,rotate=-120]
			\coordinate (A) at (2,0);
			\coordinate (B) at (0,2);
			\coordinate (C) at (0,0);
			\coordinate (L) at (0,1);
			\coordinate (N) at (1,0);
			\coordinate (M) at (3,0);
			\coordinate (I) at (2,0.75);
			\draw (C) -- (N) node[midway] {$\parallel$};
			\draw (N) -- (A) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (A) -- (M) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (C) -- (L) node[midway, sloped] {$|$};
			\draw (L) -- (B) node[midway, sloped] {$|$};
			\draw (A) -- (B);
			\draw (A) node {$\times$};
			\draw (B) node {$\times$};
			\draw (C) node {$\times$};
			\draw (L) node {$\times$};
			\draw (M) node {$\times$};
			\draw (N) node {$\times$};
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\draw (M) node [above left] {$M$};
			\draw (N) node [above left] {$N$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (L) node [above right] {$L$};
			\draw (I) node {$I$};
			\draw [orange] (L) -- (M);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On se place dans le repère $(A,B,C)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Donnez les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$.
		\item Déterminez les coordonnées des points $M$, $N$ puis $L$.
		\item Donnez une équation de la droite $(ML)$ et en déduire les coordonnées du point $I$ intersection des droites $(AB)$ et $(ML)$. Précisez la position du point $I$ sur le segment $[ML]$.
		\item Retrouvez ce résultat par une autre méthode non analytique.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
		\item $M\left( 0,-\frac{1}{2}\right)$, $N\left( 0,\frac{1}{2} \right)$ et $L\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$.
		\item $(ML):\ y=2x-\frac{1}{2}$. $(AB):\ y=0$. Donc intersection: $0=2x-0,5 \Leftrightarrow x=0,25$. $I\left( \frac{1}{4},0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation de la droite $\mathscr{D}$ de repère $(A,\vec{u})$, dans les cas suivants:
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(-2;2)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}$;
		\task $A(0;0)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$;
		\task $A(0,-2)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} -1;3 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez une équation de la droite $(A)$ dans les cas suivants:
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(1;3)$ et $B(-1;2)$;
		\task $A(2;0)$ et $B(0,-4)$;
		\task $A(0;0)$ et $B(-2;3)$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Déterminez une équation de la droite $\mathscr{D}$ passant par $A(-2;3)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(-1;2)$.
		\item Les points suivant appartiennent-ils à $\mathscr{D}$: $B\left( \frac{13}{11},-\frac{37}{11} \right)$, $C\left( -\frac{7}{15},\frac{2}{29} \right)$, $D\left( \sqrt{2},-\frac{2}{\sqrt{2}-1} \right)$?
		\item Déterminez les point de $\mathscr{D}$ d'abscisse $-\frac{3}{2}$ et le point de $\mathscr{D}$ d'ordonnée $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.
		\item Existe-il un point de $\mathscr{D}$ dont l'abscisse est égale à l'ordonnée?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item Construisez la droite $\mathscr{D}$ d'équation $x-y-5=0$. Déterminez un repère de $\mathscr{D}$ et écrivez une représentation paramétrique vectorielle de $\mathscr{D}$.
		\item Même question pour les droites d'équations:
		\begin{tasks}(3)
			\task $2x+y=3$;
			\task $2x-5y+3=0$;
			\task $x+2=0$;
			\task $y-3=0$;
			\task $3x+5y=0$;
			\task $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}-1=0$.
		\end{tasks}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Trouvez une équation cartésienne de l'ensemble des points $M$ du plan tels que: $\overrightarrow{OM}=3 \vec{i} -2 \vec{j}+t(3\vec{i} -4\vec{j})$, lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $A(3;8)$, $B(2;1)$, $C(8;3)$ et $N(6;5)$.
	\begin{enumerate}
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Calculez les coordonnées de $M$ milieu de $[BC]$.
			\item Montrez que $A$ est équidistant de $B$ et de $C$.
			\item Que représente la droite $(AM)$ pour le triangle $ABC$?
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminez une équation cartésienne de $(AC)$?
			\item Démontrez que $N$ appartient à la droite $(AC)$
			\item Montrez que le triangle $BNC$ est rectangle en $N$.
			\item Que représente la droite $(BN)$ pour le triangle $ABC$?
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\setlength{\parskip}{0pt}
			\setlength{\itemsep}{0pt}
			\item Déterminez une équation cartésienne de chacune des droites $(AM)$ et $(BN)$.
			\item Déterminez les coordonnées de l'orthocentre du triangle $ABC$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}