%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5 \documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5 %######## % Packages # %######## \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} %######Affichage des maths \DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb,amsthm} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsopn} \usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique \usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1} %\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1} %######Graphique \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{pgf} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-tab} \usetikzlibrary{shapes,arrows} \usepackage{geometry} \geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside} %######Tableau \usepackage{array} %pour centrer dans un tableau \usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25} \usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular \usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit} \usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement %######Hyperliens dans les pdf \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides. %######Des symboles et images \usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone \usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit \usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro %######Vrac \usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres \usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item \settasks{ % the next two should be set to the same value so labels are aligned to the % left %label-width = 1em , %item-indent = 1em , %before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip %after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip } \usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket \usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45} \opset{decimalsepsymbol={,}} \usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. %\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt %Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots| \usepackage{fancyhdr} %######Algo \usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. %\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python} %Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}. %Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style \lstdefinestyle{pythonstyle}{ language=Python, backgroundcolor=\color{gray!30}, commentstyle=\color{Plum}, keywordstyle=\color{blue}, numberstyle=\tiny\color{black}, stringstyle=\color{ForestGreen}, basicstyle=\ttfamily\color{black}, breakatwhitespace=false, breaklines=true, captionpos=b, keepspaces=true, numbers=none, numbersep=5pt, showspaces=false, showstringspaces=false, showtabs=false, tabsize=1 } \lstset{style=pythonstyle} \lstdefinestyle{bashstyle}{ language=bash, backgroundcolor=\color{black}, commentstyle=\color{white}, keywordstyle=\color{magenta}, numberstyle=\tiny\color{black}, stringstyle=\color{white}, basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white}, breakatwhitespace=false, breaklines=true, captionpos=b, keepspaces=true, numbers=left, numbersep=5pt, showspaces=false, showstringspaces=false, showtabs=false, tabsize=1 } %\lstset{style=bashstyle} \usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode \usepackage{scratch3} %############### Formule developpée molécule chimie \usepackage{chemfig} %##################### % Commande et environnement # %##################### \theoremstyle{plain} %Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer): \usepackage{titlesec} \titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{} \titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{} \titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{} \titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{} \renewcommand{\thesection}{{}} \renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}} \newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{} \newenvironment{sujet}{}{} %environnement bareme \newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}} %environnement détais du barème \newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\} %environnement notabene \newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\} %environnement exemples \newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{} %environnement remarques \newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{} \newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{} %Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur \newsavebox{\selvestebox} \newenvironment{colbox}[1] {\newcommand\colboxcolor{#1}% \begin{lrbox}{\selvestebox}% \begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}} {\end{minipage}\end{lrbox}% \begin{center} \colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}} \end{center}} %environnement exercice \newcounter{Exercice} \setcounter{Exercice}{1} \newcounter{Exercicecorrection} \newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}} %environnement exercicecorrection \newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize} %environnement definition \newcounter{Definition} \setcounter{Definition}{1} \newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{} %environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme} \newcounter{Theoreme} \setcounter{Theoreme}{1} \newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{} %environnement proposition \newcounter{Proposition} \setcounter{Proposition}{1} \newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{} %environnement démonstration \newcounter{Demonstration} \setcounter{Demonstration}{1} \newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}} %environnement conclusion encadré et coloré \newenvironment{conclusion} {\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} } {\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} } %Commande pour l'objectif et l'écrire en vert \newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}} %######################## %Test conditionnel pour l'affichage # %######################## \newif\ifs %\strue%affiche la boite à trous \sfalse%affiche la réponse %Pour faire une case à trou complétable sur le pdf \newcounter{Trous} \setcounter{Trous}{1} \newcommand{\trous}[2][3cm]{ \ifs \begin{Form} \TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1, width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {} \end{Form} \xspace \else #2 \fi \addtocounter{Trous}{1} } %Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc: \ExplSyntaxOn\makeatletter %patch needed to get a around a problem in the l3-drivers \AtBeginDocument{ \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current: {\set@color} } \ExplSyntaxOff\makeatother %######################### %en tête puis pied de page %######################### \pagestyle{empty} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut \lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires \chead[\small ]{}% l left, c center, r right \rhead[]{} \lfoot[]{} \cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage } \rfoot[]{} %############################ %les environnements qu'on affiche ou pas # %############################ \newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}} %Pour abrege %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale} %Pour cours intégrale \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} %\exclure{exercicecorrection} %Pour les exercices uniquement. %\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction} %Pour les correction d'exercices uniquement. %\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction} %Pour devoir surveillé sujet %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction} %Pour devoir surveillé correction %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet} %Pour devoir surveillé intégrale %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} %############################### %#Double numérotation des pages# %############################### %\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter. %\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté \begin{document} \small \subsection*{Colinéarité et droites.} \begin{lecon} Nous allons nous intéresser à la relation qui existe entre un vecteur et le vecteur obtenu en multipliant ce dernier par un nombre quelconque. Cette relation est appelée la colinéarité. La colinéarité va participer à la définition de la droite. Ce qui va nous conduire à définir le parallélisme et à caractériser l'alignement. \end{lecon} \subsubsection{Colinéarité.} \begin{definition} Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \emph{\color{purple}colinéaires} si et seulement si il existe un nombre réel $\lambda$ (\emph{i.e.} on peut en trouver au moins un) tel que $\vec u=\lambda \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \vec u$. \end{definition} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Nous pouvons voir la chose comme une sorte de rapport de proportionnalité entre les vecteurs. \item Il suffit d'établir l'une des deux égalités pour établir la colinéarité de deux vecteurs. \item Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. \item Soit $\vec{u}\ne\vec{0}$. L'ensemble formé de tous les vecteurs colinéaires à $\vec{u}$ est appelé \emph{\color{purple}une direction}. \end{enumerate} \end{remarques} \begin{exemples} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Si $\vec{u} =2 \vec{v}$ alors $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{v}$ et $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$. \item ~ \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.4] \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (0,0) grid (8,4); \draw [>=latex,->] (1,2)--(4,4) node [midway, above] {$\vec{u}$}; \draw [>=latex,->] (8,4)--(2,0) node [midway, above] {$\vec{v}$}; \end{tikzpicture} \end{center} Nous remarquons que $\vec{v}=-\frac{1}{2} \vec{u}$ donc $\vec{v}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. \begin{notabene} Nous pouvons lire les coordonnées et remarquer le rapport de proportionnalité. \end{notabene} \item Si $6\vec{u} -4\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires car: $\vec{u}= \frac{2}{3} \vec{v}$. \item Si deux vecteurs sont égaux alors ils sont colinéaires car $\vec{u}= 1 \vec{v}$. \item $\vec{0}$ est colinéaire à $\vec{u}$ car $\vec{0}= 0 \vec{u}$. \end{enumerate} \end{exemples} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \og être colinéaires à\fg{} est une relation d'équivalence: \begin{itemize} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item elle est réflexive, $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{u}$, \item elle est symétrique, si $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{v}$ alors $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$, \item elle est transitive, si, d'une part, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, et, d'autre part, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires alors $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires. \end{itemize} Nous pourrons utiliser la transitivité dans certaines démonstration. \end{enumerate} \end{remarques} \begin{definition} Soient $\left( \vec i, \vec j \right)$ une base du plan, $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs dont les coordonnées relativement à la base $\left( \vec i, \vec j \right)$, sont respectivement $\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$. On appelle \emph{\color{purple}déterminant de $\vec u$ et $\vec v$}, et on note $\color{purple}\det(\vec{u},\vec{v})$ le nombre $x_uy_v-y_ux_v$ qu'on note aussi $\color{purple}\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$. \end{definition} \begin{exemples} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. $\det(\vec{u},\vec{v})= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}= 1 \times 4 - 2 \times 3= -2$ et $\det(\vec{v},\vec{u})= \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}= 3 \times 2 - 1 \times 4= 2$. \end{enumerate} \end{exemples} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Le déterminant de la famille de vecteurs $(\vec u; \vec v)$ par rapport à la base $(\vec i, \vec j)$ devrait se noter $\mathrm{det}_{(\vec i , \vec j)}(\vec u; \vec v)= \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$ mais nous écrirons simplement $\det\left(\vec u ; \vec v \right)$. \item La notation $\det(\vec{u},\vec{v})$ ne nécessite pas de connaître les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ et est plus condensée. Au contraire la notation $\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$ fait intervenir les coordonnées des vecteurs. \item Comme vu en exemple: $\det(\vec{u},\vec{v})=-\det(\vec{v},\vec{u})$. On dit que le déterminant est une forme bilinéaire alternée. \end{enumerate} \end{remarques} \begin{proposition} Soient $\left( \vec i, \vec j \right)$ une base du plan, $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs dont les coordonnées relativement à la base $\left( \vec i, \vec j \right)$, sont respectivement $\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$. $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si ils vérifient \underline{l'une} au moins des propriétés suivantes. \begin{enumerate}[(i)] \item Il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $\vec u=\lambda \vec v$ ou $\vec v=\lambda \vec u$. \item Les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ sont proportionnelles. \item $\det(\vec{u},\vec{v})=0$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{preuve} Par définition de la colinéarité $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\vec u=\lambda \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \vec u$. Autrement dit si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{l} x_1 = \lambda x_2 \\ y_1 = \lambda y_2 \end{array} \right. \quad \text{ou} \quad \left \{ \begin{array}{l} x_2 = \lambda x_1 \\ y_2 = \lambda y_1 \end{array} \right. \] Autrement dit si et seulement si les coordonnées de $\vec u$ sont proportionnelles à celles de $\vec v$. Ce qui équivaut à dire que le produit en croix est vérifié. \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \begin{minipage}{\linewidth} Autrement dit $x_u \times y_v -x_v \times y_u=0$. \end{minipage} & \begin{minipage}{\linewidth} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline $x_u$ & $x_v$ \\ \hline $y_u$ & $y_v$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage} \end{tabularx} \end{preuve} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item {\color{orange}D'un point de vu pratique nous retiendrons que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.} \item Nous privilégierons, si possible, la recherche du coefficient de proportionnalité entre les coefficients qui nous fournira l'égalité liant les deux vecteurs plutôt que le calcul du déterminant. \item par contre le déterminant est très efficace pour démontrer que des vecteurs ne sont pas colinéaires. \end{enumerate} \end{remarques} \begin{exemples} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Déterminons si les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ \pi \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} \pi^{-1} \\ 1 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. \begin{align*} \det(\vec{u},\vec{v}) &= \begin{vmatrix} 1 & \pi^{-1} \\ \pi & 1 \end{vmatrix}\\ &= 1 \times 1 -\pi \pi^{-1}\\ &= 0 \end{align*} \begin{conclusion} $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. \end{conclusion} Nous aurions pu le justifiez plus succinctement: $\pi\vec{v}=\vec{u}$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. \item Déterminons si les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ sont colinéaires. $\det(\vec{u},\vec{v}) = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = -2 \times 4 -(-3) \times 3 = 1 \ne 0$. \begin{conclusion} $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exemples} \begin{exercice} Montrez que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires. \begin{tasks}(2) \task $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}+1 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Soient $A(-10;7)$, $B(-20;10)$, $C(5;-2)$ et $D(10;-8)$ des points du plan. $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont-ils colinéaires? \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et si c'est le cas précisez l'égalité les reliant. \begin{tasks}(3) \task $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 6 \\ 18 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \frac{5}{9} \\ -\frac{5}{6} \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{5}-1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -4 \\ \sqrt{5}+1 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires. \begin{tasks}(3) \task $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}+1 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix}$ où $x \in \mathbb{R}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants dites si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. \begin{tasks}(2) \task $A\left(1;-3 \right)$, $B\left( -4;8\right)$ et $C \left( -6;2\right)$. \task $A\left(5;5 \right)$, $B\left( 0;-1\right)$ et $C \left(10 ;11\right)$. \task $A\left(9;1 \right)$, $B\left( 6;-1\right)$ et $C \left( 3;-3\right)$. \task $A\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3} \right)$, $B\left( \frac{1}{4};-\frac{2}{3}\right)$ et $C \left( -\frac{1}{2};-\frac{11}{3}\right)$. \task $A\left(-\frac{1}{5};1 \right)$, $B\left( 2;-\frac{1}{6}\right)$ et $C \left( \frac{10}{5};1\right)$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Donnez deux vecteurs colinéaires à $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ -3\end{pmatrix}$. \end{exercice} \begin{exercice} Soient $\vec{u} \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix}$. Calculez le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ puis dites si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. \begin{tasks}(3) \task $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 21 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -3 \\ 21 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 7/4 \\ 2/7 \end{pmatrix}$ et $ \vec{v} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 4 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 2/3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 1/5 \\ 3/5 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} -10 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 3/2 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 21 \\ 28 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et si c'est le cas précisez l'égalité les reliant. \begin{tasks}(3) \task $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 6 \\ 18 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \frac{5}{9} \\ -\frac{5}{6} \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{5}-1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -4 \\ \sqrt{5}+1 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez un réel $\mu$ de sorte que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires. \begin{tasks}(2) \task $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \mu \\ 2 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ \mu \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \\ 1/3 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez tous les nombres $x$ tels que $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires. \begin{tasks}(2) \task $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} x \\ 10 \end{pmatrix}$. \task $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1+x \\ 2x \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Soient $A(-10;7)$, $B(-20;10)$, $C(5;-2)$ et $D(10;-8)$ des points du plan. $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont-ils colinéaires? \end{exercice} \begin{exercice} Soient les points $C(0;4)$, $D(2;7)$, $E(8;17)$ et $F(16;29)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Montrez que $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires. \item $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont-ils colinéaires? \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} On considère des points $F(6;4)$ et $G$ d'abscisse $8$ des points. Sachant que $\overrightarrow{FG}$ est colinéaire au vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ déterminez l'ordonnée de $G$. \end{exercice} \subsubsection{La définition moderne d'une droite.} \begin{notabene} Formaliser ça sous forme d'exemple pour l'année suivante? \begin{enumerate} \item Première étape. Partir d'un point $A$ et faire des translations de multiples d'un vecteur $\vec u$. Observer l'objet géométrique aonso observé. \item Seconde étape. Comment reconstruire une droite $(AB)$ en utilisant l'idée précédente? \end{enumerate} Le vecteur qui nous a permis de reconstruire la droite à partir d'un point est appelé un vecteur directeur. Pourquoi \og un \fg{}? Parce qu'il pourrait tout aussi bien être remplacé par n'importe quel autre vecteur qui lui soit colinéaire. Peut-il être remplacé par un vecteur nul? \end{notabene} \begin{definition} Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Nous noterons \emph{\color{purple}$(AB)$}, et nous appellerons \emph{\color{purple}droite passant par $A$ et $B$}, l'ensemble de tous les points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$. \end{definition} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ou n'importe quel vecteur qui lui soit colinéaire et \underline{non nul} est appelé \emph{\color{purple}un vecteur directeur de la droite}. \item L'ensemble formé de tous les vecteurs colinéaires à l'un des vecteurs directeurs de la droite est appelé \emph{la direction de la droite}. La direction est formée de tous les vecteurs directeurs de la droite et du vecteur nul. Cet ensemble est appelé un espace vectoriel. \item Une autre formulation: $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$; on parle de \emph{\color{purple}représentation paramétrique vectorielle} de la droite. Si $t$ décrit $\mathbb{R}_+$ on obtient $[AB)$. Si $t$ décrit $\mathbb{R}_-$ on obtient $(AB]$. Si $t$ décrit $[0;1]$ on obtient $[AB]$. On parle de représentations paramétrique ($t$ étant le paramètre). \item Cette définition décrit un lieu géométrique. De la même façon on peut définir un cercle comme l'ensemble des points équidistants d'un point (le centre du cercle). \item Ainsi, si $M\in (AB)$, alors il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}$. Autrement dit $t$ est l'abscisse de $M$ dans le repère $(A,B)$. Dans ce repère l'abscisse de $A$ est $0$ et celle de $B$ est $1$. \item {\color{orange}Pour définir une droite il faut et il suffit que nous en connaissions un point $A$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$}. Nous avions besoin de deux points et nous avons à nouveau besoin de deux informations. \item Cette définition de la droite ne dépend pas d'un repère choisi et est donc très générale. \item Interprétation de la définition en terme de translation: la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ images de $A$ par les translations de vecteur $t \overrightarrow{AM}$ où $t$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathbb{R}$. \item Si une droite passe par $A$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}$ alors l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est aussi un point de la droite. \end{enumerate} \end{remarques} \subsubsection{Tracer une droite connaissant un point et un vecteur directeur.} \begin{exercice} Après avoir choisi un repère du plan dessinez la droite passant par $A(2,1)$ et dont un vecteur directeur est $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix}$. \end{exercice} \subsubsection{Décrire une droite par un point et un vecteur directeur.} \begin{exercice} Sans justification donnez les coordonnées de $3$ vecteurs directeurs de la droite $\mathscr{D}$ représentée ci-dessous dans un repère $\left( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] \def\xY{-5}; \def\yY{-4}; \def\xZ{5}; \def\yZ{3}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); \draw[step=1cm,line width=0.02cm,Blue!50!white] (Y) grid (Z); \draw[ ->,thick,blue] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick,blue] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw[red] (0,0)node[below left]{\small $O$}; \draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$}; \draw[red,>=latex,->, thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$}; \draw[Green, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-0.5*\x-1}); \draw[Green] (4,-2) node[fill=white] {$\mathscr{D}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{exercice} \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, indiquez si le vecteur $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$. \begin{tasks}(2) \task $A(-14;2)$, $B(5;-3)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$. \task $A(-7;3)$, $B(5;1)$ et $\vec u \begin{pmatrix} -6\\ 1 \end{pmatrix}$. \task $A(5;2)$, $B(0;-3)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 2\\ -2 \end{pmatrix}$. \task $A(4;-2)$, $B(3;-4)$ et $\vec u \begin{pmatrix} 4,5\\ 9 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, calculez les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$. \begin{tasks}(3) \task $A(2;3)$ et $B(-1;2)$. \task $A(-5;4)$ et $B(3;1)$. \task $A(3;0)$ et $B(0;3)$. \task $A(7;8)$ et $B(7;9)$. \end{tasks} \end{exercice} \subsubsection{Parallélisme.} \begin{lecon} Maintenant que nous avons une définition de la droite nous allons reformuler les propriétés des droites avec cette définition. \end{lecon} \begin{definition} Nous dirons que deux droites sont \emph{\color{purple}parallèles} si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. \end{definition} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Ainsi tout vecteur directeur de l'une des droites est un vecteur directeur de l'autre. Autrement dit deux droites parallèles ont la même direction. \item La négation de cette proposition est aussi intéressante: $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires. \item {\color{orange}Nous utiliserons ce résultat pour étudier la position relative de droites du plan (coplanaires), \emph{i.e.} pour dire si elles sont parallèles (éventuellement confondues voir corollaire ci-après) ou sécantes.} \end{enumerate} \end{remarques} \begin{remarques} \begin{enumerate} \item Lorsque les vecteurs sont des vecteurs du plan nous obtenons une équivalence entre colinéarité et parallélisme. Autrement dit les problèmes de parallélisme vont maintenant pouvoir être traité grâce aux vecteurs. Peu à peu nous voyons que les vecteurs peuvent remplacer les outils de géométrie que nous avions l'habitude d'utiliser en géométrie euclidienne classique (théorème de Thalès, angles alternes-internes, etc). \end{enumerate} \end{remarques} \begin{exercice} Soient $A(-4;-3)$, $B(8;1)$, $C(4,4)$ et $D(-2;2)$ des points du plan. Étudiez la position relative de $(AB)$ et $(CD)$. \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez la position relative des droites $(AB)$ et $(MN)$. \begin{tasks} \task $A(1;2)$, $B(5;8)$, $M(0;-1)$ et $N(5;6)$. \task $A(3;-10)$, $B(15;5)$, $M(1;1)$ et $N(17;21)$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} On considère une droite $d$ passant par le point $A(3;1)$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Soient $B(7;-5)$, $C(-4;6)$ et $D(3;-4)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Tracez la droite $d$ puis placez $B$, $C$ et $D$. \item Le point $B$ appartient-il à $d$? \item Les droites $d$ et $(CD)$ sont-elles parallèles? \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Dans $(O;\vec{i},\vec{j})$ un repère du plan on considère les points $A(2,-2)$, $B(0;4)$, $C(-3;5)$ et $P(a;b)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Déterminez les coordonnées du point $I$ milieu de $[AC]$. \item Déterminez les coordonnées du point $P$ vérifiant $\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}$. \item Démontrez que les droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}%Repère page 321 exo 90 Dans $(O;\vec{i},\vec{j})$ un repère orthonormé du plan on considère les points $A(1,-1)$, $B(-2;0)$ et $C(-3;3)$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$? \item Soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$. Déterminez les coordonnées de $D$. \item Soit le point $E(-4;6)$. Démontrez que $B$, $C$ et $E$ sont alignés et que $C$ est le milieu de $[BE]$. \item Démontrez que $(AC)$ et $(ED)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} \begin{notabene} Configuration de Thalès gérée avec l'introduction d'un repère démontrer le parallélisme. \end{notabene} \end{exercice} \subsubsection{Alignement de trois points.} \begin{proposition} Soient $A$, $B$ et $C$ des points du plan. $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. \end{proposition} \begin{exemples} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \objectif{Montrons que $A(-1;2)$, $B(2;4)$ et $C(8;8)$ sont alignés.} $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 4-2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. De même $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$. $3 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. \begin{conclusion} $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exemples} \begin{exercice} Soient $A(-2;3)$, $B(2;1)$ et $C(4;0)$ dans un repère du plan muni d'un repère $(O; \vec i, \vec j )$. Démontrez que $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \end{exercice} \begin{exercice} Déterminez si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \begin{tasks}(2) \task $A(2;13)$, $B(-2;-7)$ et $C(11;58)$. \task $A(9;20)$, $B(2;-1)$ et $C(25;71)$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{lecon} Il est possible de reformuler le précédent résultat: dire que trois points sont alignés, c'est dire que l'un d'entre eux appartient à la droite passant par les deux autres. \end{lecon} \begin{proposition} Soient $A$, $B$ et $M$ des points du plan. $M$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. \end{proposition} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Ce résultat qui peut sembler anodin sera utiliser pour définir les droites du plan dans une prochaine leçon. \end{enumerate} \end{remarques} \begin{exercice} Déterminez si le point $M$ appartient à la droite $(EF)$. \begin{tasks}(2) \task $E(5;-3)$, $F(-3;3)$ et $M(15;-9)$. \task $E(0;-7)$, $F(1;0)$, $M(2;7)$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Soit $ABC$ un triangle. $I$ est le milieu de $[AC]$. On considère les points $D$ et $E$ images respectives des points $B$ et $I$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$. Que peut-on dire des points $C$, $D$ et $E$? \end{exercice} \begin{exercice} Dans $(O;\vec{i},\vec{j})$ un repère du plan on considère les points $A\left( -\frac{7}{2};2\right)$, $B(-2;5)$, $C\left( 5;\frac{13}{2} \right)$ et $D\left( 3,\frac{5}{2} \right)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Déterminez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$. \item Déduisez-en que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze. \end{enumerate} \item On définit le point $I$ par l'égalité: $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{ID}$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Démontrez que les coordonnées de $I$ sont $\left( -23,\frac{1}{2}\right)$. \item Les points $I$, $B$ et $C$ sont-ils alignés? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $J$ et $K$ étant les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]$, déterminez les coordonnées de $J$ et $K$. \item Démontrez alors que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} \noindent \begin{tabular}{m{8cm}m{6cm}} \begin{minipage}{\linewidth} Soient $ABCD$ un carré, $BCL$ et $DIC$ des triangles équilatéraux tels que sur la figure ci-contre. Nous souhaitons établir l'alignement des points $A$, $I$ et $L$. Pour cela considérons le repère orthonormé $(D;C;A)$. \end{minipage} & \begin{minipage}{\linewidth} \begin{tikzpicture}[scale=1.25] \coordinate (D) at (0,0); \coordinate (A) at (0,1); \coordinate (B) at (1,1); \coordinate (C) at (1,0); \coordinate (I) at (0.5,{sqrt(3)/2}); \coordinate (L) at ({1+sqrt(3)/2},0.5); \draw (A) node[above]{$A$}; \draw (B) node[above]{$B$}; \draw (C) node[below]{$C$}; \draw (D) node[below]{$D$}; \draw (I) node[right]{$I$}; \draw (L) node[right]{$L$}; \draw (B)--(A)--(D)--(C)--(B)--(L)--(C); \draw (D)--(I)--(C); \end{tikzpicture} \end{minipage} \end{tabular} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Donnez sans justification les coordonnées de $D$, $C$, $A$ et $B$. \item Déterminez les coordonnées de $I$ et $L$. \item Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AL}$. \item Démontrez l'alignement des points $A$, $I$ et $L$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Soient $A(4;0)$, $B(0;7)$ et $C(-6;-5)$ des points. \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Calculez les coordonnées du milieu $P$ de $[AB]$. \item Calculez les coordonnées des points $S$ et $T$ définis par $\overrightarrow{BS}= \frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$ et $5 \overrightarrow{CT}=4 \overrightarrow{CA}$. \item Le point $P$ est-il sur la droite $(ST)$? \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Soient $M(7;3)$, $N(-3;1)$, $C(0;5)$, $D(5;6)$ et $E(3;9)$ des points du plan. \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Montrez que le quadrilatère $MNCD$ est un trapèze. \item Montrez que $E$ est le point d'intersection de $(NC)$ et $(MD)$. \item Soient $J$ et $K$ les milieux respectivement de $[NM]$ et $[CD]$. Calculez les coordonnées de $J$ et $K$. \item Montrez que $E$, $J$ et $K$ sont alignés. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} On considère les points $E(5;-1)$, $F(-1;4)$, $G(7;2)$ et $M(1;y)$ où $y$ est un nombre réel. \begin{tasks} \task Pour quelle valeur de $y$ le point $M$ appartient-il à $(FG)$? \task Pour quelles valeurs de $y$ les droites $(EF)$ et $(GM)$ sont-elles parallèles? \end{tasks} \end{exercice} \subsubsection{Perpendicularité et vecteurs directeurs. Produit scalaire.} \begin{lecon} La perpendicularité de deux droites nécessite d'introduire une nouvelle opération entre les vecteurs que vous verrez l'année prochaine appelée le \emph{\color{purple}produit scalaire}. Donc patience. Pour les impatients, en exclusivité quasi mondiale voici la définition de cette nouvelle opération. \end{lecon} \begin{definition} Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$ deux vecteurs du plan. On appelle \emph{\color{purple}produit scalaire} l'opération qui aux deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ associe le nombre: $\vec{u} \cdot \vec{v}:= x_ux_v+y_uy_v$. \end{definition} \begin{exemples} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \cdot \vec{v}=1 \times 3 +2 \times 4$. \end{enumerate} \end{exemples} \begin{proposition} $(AB)\perp(CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$. \end{proposition} \begin{remarques} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Nous avons donc une traduction vectorielle de la perpendicularité. \item Si $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$ alors on dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont \emph{\color{purple}orthogonaux}. \end{enumerate} \end{remarques} \begin{exemples} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \objectif{Montrons que $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\-7 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.} $\vec{u} \cdot \vec{v}=3 \times 7 +(-7) \times 3=0$. \begin{conclusion} $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. \end{conclusion} \item $A(2;6)$, $B(-5;4)$, $M(-10;0)$ et $N(-6;-7)$. \objectif{Montrons que $(AB)$ et $(MN)$ sont perpendiculaires.} $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -5-2 \\ 4-6 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \end{pmatrix}$. De même: $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MN}=-7 \times 4+(-4) \times(-7)=0$. \begin{conclusion} $(AB) \parallel (MN)$. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exemples} \begin{exercice} Déterminez si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. \begin{tasks}(3) \task $\vec{u} \begin{pmatrix} -1\\ 4\end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 12\\ 3 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} 15 \\ -12 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -4\\-5 \end{pmatrix}$. \task $\vec{u} \begin{pmatrix} \sqrt{2}-\sqrt{3} \\ \sqrt{2}-1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} \sqrt{2}+\sqrt{3} \\ \sqrt{2}+1 \end{pmatrix}$. \end{tasks} \end{exercice} \begin{exercice} Dans $(O;\vec{i},\vec{j})$ un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2;1)$, $B(1,-5)$, $C(4;4)$ et $D\left( \frac{17}{2},-5\right)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Démontrez que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$? \item Soient $I$ et $J$ des points du plan tels que $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{JD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}$. Calculez les coordonnées de $I$ et $J$. \item Démontrez que les droites $(AB)$, $(IJ)$ et $(CD)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(2;2)$, $B(-2,-1)$ et $C(-5;3)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Déterminez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. \item Démontrez que $ABC$ est rectangle. \item Calculez $AB$, $AC$ et $BC$. Que pouvez-vous en déduire quant à la nature du triangle $ABC$? \item Soit le point $F(a,1)$. Déterminez $a$ tel que $A$, $B$ et $F$ soient alignés. \item Trouvez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$? \item Déterminez les coordonnées du point $E$ appartenant à l'axe des abscisses et tel que $A$, $B$ et $E$ soient alignés. \item Déterminez les coordonnées du point $K$ tel que $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}$. \end{enumerate} \end{exercice} \subsubsection{Barycentres.} \subsubsection{Exercices.} \begin{exercice} Soient $A(3;4)$, $B(1;1)$, $C(6;-2)$ et $D(8;1)$ des points, $I$ le milieu de $[BC]$, et $E$ et $F$ les points définis par: $\overrightarrow{AE}= \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CF}=\frac{1}{3} \overrightarrow{CA}$. \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Calculez les coordonnées de $I$, $E$ et $F$. \item \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont-ils colinéaires? \item Qu'en déduisez-vous concernant les droites $(BE)$ et $(IF)$? \end{enumerate} \item Montrez que $ABCD$ est un parallélogramme. \item \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Calculez la norme du vecteur $\overrightarrow{AC}$. \item $ABCD$ est -il un rectangle? \end{enumerate} \item Les points $I$, $F$ et $D$ sont-ils alignés? \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Soit $ABCD$ un trapèze tel que $\overrightarrow{CD}= -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$. Les points $I$ et $J$ sont les milieux de $[AC]$ et de $[BD]$. On se propose de montrer que $(AB) \parallel (IJ)$. \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Complétez: $\overrightarrow{IJ} = \dots + \overrightarrow{AB} + \dots$ et $\overrightarrow{IJ} = \dots + \overrightarrow{CD} + \dots$. \item Déduisez-en: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \right)$. \item Trouvez $k$ tel que $\overrightarrow{IJ} =k \overrightarrow{AB}$ et concluez. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} \emph{Démontrer la conservation de l'alignement par translation.} Soient $A$, $B$ et $C$ trois points alignés. On note $A'$, $B'$ et $C'$ les images respectives de $A$, $B$ et $C$ par la translation d'un vecteur $\vec{u}$ non nul. Démontrez que $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés. \end{exercice} \begin{exercice} \emph{Homothéties et vecteurs.} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \emph{Cas particulier.} Soient trois points $A$, $B$ et $C$ tels que ci-dessous. \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \def\xcoinbasgauche{0.1}; \def\xcoinhautdroit{5.9}; \def\ycoinbasgauche{0.1}; \def\ycoinhautdroit{4.9}; \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \coordinate (A) at ( 1,3); \draw (A) node [above right] {$A$}; \draw (A) node {$\times$}; \coordinate (B) at ( 4,1); \draw (B) node [above right] {$B$}; \draw (B) node {$\times$}; \coordinate (C) at ( 5,4); \draw (C) node [above right] {$C$}; \draw (C) node {$\times$}; \end{tikzpicture} On considère les homothéties $h_1$ et $h_2$ de centre $A$ et de rapports respectifs $k_1=2$ et $k_2=-3$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Reproduisez les points en respectant le quadrillage. \item Construisez les images $B_1$ et $C_1$ respectivement des points $B$ et $C$ par l'homothétie $h_1$. \item Exprimez sans justification $\overrightarrow{AB_1}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$. \item Exprimez sans justification $\overrightarrow{AC_1}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$. \item Reprenez les questions précédentes pour l'homothétie $h_2$. \item Pour $M$ un point quelconque on note $M_1$ et $M_2$ les images de $M$ respectivement par $h_1$ et $h_2$. Exprimez sans justification $\overrightarrow{AM_1}$ en fonction de $\overrightarrow{AM}$ puis $\overrightarrow{AM_2}$ en fonction de $\overrightarrow{AM}$. \end{enumerate} \item \emph{Cas général.} Soit $h$ une homothétie de centre $A$ et rapport $k\ne 0$. Pour tout point $M$ du plan on note $M'$ l'image de $M$ par $h$. Exprimez $\overrightarrow{AM'}$ en fonction de $\overrightarrow{AM}$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}%Homothétie On considère les points $A(1;1)$, $B(1;4)$, $C(-5,1)$ et $D(-3;-1)$. On note $E$ et $F$ les points tels que: $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{DF}= -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Construisez la figure. \item Calculez les coordonnées de $E$ et $F$ en vérifiant sur la figure. \item Démontrez que $\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$ puis déduisez-en la transformation géométrique qui transforme $C$ en $E$. \item Montrez que $(AF)$ et $(EC)$ sont parallèles. \item Montrez que $ABCF$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}%Homothétie Soient, dans un repère du plan, $A(1;2)$, $B(5;2)$ et $C(5;10)$, $D$ l'image de $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $4$, et $E$ l'image de $C$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\frac{1}{4}$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Exprimez $\overrightarrow{AD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{AE}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$. \item Calculez les coordonnées des points $D$ et $E$. \item Montrez que $(EB) \parallel (CD)$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}%Physique En physique les forces sont modélisées par des vecteurs. L'intensité d'une force, exprimée en newton, est la norme du vecteur force. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item On sait par l'expérience (loi universelle de la gravitation), que deux objets, éloignés d'une distance $d$, exprimée en mètre, de masses $m_1$ et $m_2$, exprimées en $\mathrm{kg}$, exercent l'un sur l'autre des force d'attraction de même intensité donnée par la formule $F=G \times \frac{m_1 \times m_2}{d^2}$ où $G$ est la constante de gravitation universelle égale à environ $6,6742\times 10^{-11}\ \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2\cdot \mathrm{kg}^{-2}$. Ces deux forces sont représentées par des vecteurs, notés $\overrightarrow{F_1}$ et $\overrightarrow{F_2}$, de même direction mais de sens contraires. \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (6,0); \draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({2*cos(\x)},{2*sin(\x)}); \draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({1*cos(\x)+6},{1*sin(\x)}); \draw [>=latex,->] (A) -- (2.5,0) node [midway, above] {$\overrightarrow{F_1}$}; \draw [>=latex,->] (B) -- (3.5,0) node [midway, above] {$\overrightarrow{F_2}$}; \draw [>=latex,<->] (0,-1) -- (6,-1) node [midway,below] {$d$}; \draw (6,-1.5) node {$m_2$}; \draw (0,-2.5) node {$m_1$}; \end{tikzpicture} Que pouvez-vous dire des deux vecteurs $\overrightarrow{F_1}$ et $\overrightarrow{F_2}$? \item On sait que la distance entre le centre de la Terre et le centre de la Lune est d'environ $3,84\times 10^{8}\ \mathrm{m}$. Calculez l'intensité des forces d'attraction $F$ entre la Terre dont la masse est $5,97\times 10^{24}\ \mathrm{kg}$ et la Lune dont la masse est $7,35\times 10^{22}\ \mathrm{kg}$. \item Le Soleil à une masse estimée à $1,99\times 10^{30}\ \mathrm{kg}$ et il est situé à environ $1,5\times 10^{11}\ \mathrm{m}$ de la Terre. Montrez que la force d'attraction du Soleil sur la Terre est environ $178$ fois plus forte que celle exercée par la Lune sur la Terre. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} On considère un point $A(4;3)$. Tracez quatre droites $d_1$ à $d_4$ passant par $A$ et admettant respectivement pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{u_1} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{u_2} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{u_3} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u_4} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$. \end{exercice} \begin{exercice} On donne trois points distincts $A$, $B$ et $C$ tels que $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}$. Déterminez les abscisses de $C$ dans les repères $(A,\overrightarrow{AB})$ et $(B,\overrightarrow{BA})$. \end{exercice} \begin{exercice} Construisez, sur une droite $\mathscr{D}$ de repère $\left( O,\vec{u} \right)$, les points $R$ et $S$ d'abscisses respectives $\frac{3}{2}$ et $-2$. Calculez l'abscisse du milieu $I$ de $[RS]$ et celle du barycentre $G$ des points pondérés $(R,-3)$ et $(S,5)$. \end{exercice} \begin{exercice} Dans le plan affine $\mathscr{P}$ muni d'un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ on considère la droite $\mathscr{D}$ passant par $A(-1,-3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1,2)$. Placer les points $B$, $C$, $D$ et $E$ de paramètres respectifs $1$, $-\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$ et $3$ dans le repère $(A , \vec{u})$ de $\mathscr{D}$ et calculez les coordonnées de ces points. \end{exercice} \begin{exercice} Soit $M$ le point du segment $[AB]$ de paramètre $\frac{1}{3}$ dans le repère $(A,\overrightarrow{AB})$. Démontrez qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que: \begin{enumerate}[(i)] \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\alpha \geqslant 0$, $\beta \geqslant 0$, $\alpha+\beta=1$. \item $M$ est le barycentre des points pondérés $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Soit $A$ et $B$ deux points distincts. Démontrez que le barycentre des points pondérés $(A,3)$ et $(B,4)$ est un point du segment $[AB]$. En est-il de même du barycentre des points pondérés $(A,-2)$ et $(B,5)$? \end{exercice} \begin{exercice} On considère un triangle $ABC$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{BC}$, lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$? \item Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$, lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$? \item Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$? (Introduisez le point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ et choisir $C$ comme origine.) \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Le plan est muni d'un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j}\right)$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{OM}=2\vec{i}-\vec{j}+t(\vec{i}-\vec{j})$ lorsque $t$ décrit $\mathbb{R}$? \end{exercice} \begin{exercice} Soit $ABC$ un triangle non aplati. On définit $D$ et $E$ tels que $2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}$ et $2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$, ainsi que $I$, milieu de $[DE]$. On se place dans le repère $\left( A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Donnez les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$. \item Calculez les coordonnées des points $E$ et $D$ et en déduire les coordonnées du point $I$. \item Démontrez que $(BC)$ et $(ED)$ sont parallèles. \item Déterminez les coordonnées du point $G$ vérifiant $6\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. \item Démontrez que $GBIC$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Le plan étant muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(-3;1)$, $B(1,-1)$, $C(3;3)$ et $I$ milieu de $[AC]$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Donnez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. \item Soit $E(a,2)$. Déterminez $a$ tel que $A$, $B$ et $E$ soient alignés. \item Quelle est la nature du triangle $ABC$? \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Déterminez les coordonnées du point $D$ image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$. \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$? \end{enumerate} \item Déterminez les coordonnées du point $J$, symétrique de $A$ par rapport à $B$. \item Déterminez les coordonnées du point $F$ appartenant à l'axe des abscisses tel que $A$, $B$ et $F$ soient alignés. \item Déterminez les coordonnées du point $G$ appartenant à l'axe des ordonnées tel que les droites $(BG)$ et $(AI)$ soient parallèles. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(-1;3)$, $B(3;1)$, $C(1;7)$ et $I$ le milieu de $[BC]$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Quelles sont les coordonnées du point $I$? Déterminez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. \item Quelle est la nature du triangle $ABC$? \item Déterminez les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme. Quelle est la nature du parallélogramme $ABDC$? \item Déterminez les coordonnées du point $E$ appartenant à l'axe des abscisses et tel que $A$, $B$ et $E$ soient alignés. \item Déterminez les coordonnées du point $F$ appartenant à l'axe des ordonnées et tel que $(CF)$ et $(IA)$ soient parallèles. \item Déterminez les coordonnées du point $K$ tel que: $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KB}$. \item Quelles sont les coordonnées du point $J$, symétrique de $A$ par rapport à $B$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Dans $(O;\vec{i},\vec{j})$ un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(2;0)$, $B(-1;1)$ et $C(-2;4)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$? \item Déterminez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. \item Déduisez-en la nature du parallélogramme $ABCD$. \item Soit $E(6,-4)$. Démontrez que les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés, puis que $A$ est le milieu de $[CE]$. \item Déterminez les coordonnées de $F$, symétrique de $C$ par rapport à $B$. \item Démontrez que $(AB)$ et $(FE)$ sont parallèles. \item Déterminez les coordonnées du point $G$ appartenant à l'axe des abscisses et tel que $B$, $C$ et $G$ soient alignés. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Le plan étant muni d'un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(-2;5)$, $B(2,-1)$, $C(5;1)$, $D\left( -\frac{15}{4},-\frac{1}{2} \right)$ et $I$ le milieu de $[AC]$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Placez les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $I$ dans un repère orthonormé. \item Quelles sont les coordonnées du point $I$? \item Quelle est la nature du triangle $ABC$? \item Trouvez les coordonnées du point $E$ tel que $ABCE$ soit un parallélogramme. Quelle est la nature du parallélogramme $ABCE$? \item Démontrez que les droites $(ID)$ et $(BC)$ sont parallèles. \item Déterminez les coordonnées du point $F$ appartenant à l'axe des ordonnées et tel que $A$, $B$ et $F$ soient alignés. \item Déterminez les coordonnées du point $G$ tel que: $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{GB}$. \item Déterminez les coordonnées du point $H$ appartenant à l'axe des abscisses et tel que les droites $(CH)$ et $(AB)$ soient parallèles. \item Quelles sont les coordonnées du point $J$, symétrique de $C$ par rapport à $A$? \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ on considère les points $A(-1;3)$, $B(-3;1)$ et $C(-1;1)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Déterminez les coordonnées du point $K$ tel que: $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. \item Déterminez les coordonnées du point $J$ tel que: $\overrightarrow{CJ}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. \item Déterminez les coordonnées du point $L$ tel que: $\overrightarrow{AL}+2\overrightarrow{CL}=\vec{0}$. \item Démontrez que $\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{CK}=\vec{0}$. \item Déterminez les coordonnées du point $N$ tel que: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AL}$. \item Démontrez que les points $C$, $N$ et $B$ sont alignés. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A\left( \frac{3}{4},1 \right)$, $B(-2;3)$, $C\left( -\frac{7}{4},4\right)$ et $D(1;2)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Démontrez que $ABCD$ est un parallélogramme. \item Déterminez les coordonnées des points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{ED}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$. \item Déterminez les coordonnées des points $G$ et $H$ tels que $BAEG$ et $BAFH$ soient des parallélogrammes. \item Démontrez que $\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DE}$. \item Déduisez-en que $C$, $G$ et $H$ sont alignés. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Soient $ABCD$ un rectangle. Le point $E$ appartient au segment $[AB]$ tel que $AE=\frac{2}{3}AB$ et le point $F$ appartient au segment $[BC]$ tel que $BF=\frac{1}{3}BC$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (8,0); \coordinate (E) at ({2*8/3},0); \coordinate (C) at (8,3); \coordinate (F) at (8,1); \coordinate (D) at (0,3); \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; \draw (A) node[below] {$A$}; \draw (E) node[below] {$E$}; \draw (B) node[below right] {$B$}; \draw (F) node[below right] {$F$}; \draw (C) node[above] {$C$}; \draw (D) node[above] {$D$}; \draw[orange, very thick][samples=100,domain=-0.1:1.1] plot ({\x*(8-0)},{\x*(3-0)}); \draw[orange, very thick][samples=100,domain=-0.2:1.2] plot ({\x*(8-2*8/3)+2*8/3},{\x*(1-0)+0}); \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \emph{Méthode 1: solution analytique.} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Dans le repère $\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)$, quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$? \item Démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires. Que pouvez-vous en déduire? \end{enumerate} \item \emph{Méthode 2: solution vectorielle.} Démontrez que $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Que pouvez-vous en déduire? \item \emph{Méthode 3: solution utilisant les configurations.} En utilisant la réciproque du théorème de Thalès démontrez que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} On considère quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ distincts, vérifiant $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}$. En remarquant que $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$, démontrez que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Que pouvez-vous en déduire pour $(AB)$ et $(CD)$? \end{exercice} \begin{exercice} Soient $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$, $J$ le milieu de $[CB]$, $D$ le symétrique du point $B$ par rapport à $A$, $E$ le point d'intersection des droites $(JD)$ et $(IC)$, $F$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(JD)$. \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Démontrez l'existence d'un réel $k$ tel que: $\overrightarrow{CE}=k \overrightarrow{CI}$. \item Démontrez l'existence d'un réel $\lambda$ tel que: $\overrightarrow{CF}=\lambda \overrightarrow{CA}$. \item En se plaçant dans le repère $\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$, déterminez les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ et $J$. \item Déterminez les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CI}$. \item En déduire les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CE}$ en fonction de $k$, puis les coordonnées du point $E$ en fonction de $k$. \item En utilisant le fait que les points $J$, $E$ et $D$ sont alignés, trouvez une équation satisfaite par $k$ et déduisez-en la valeur de $k$. \item Déterminez les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CA}$. \item Déduisez-en l'expression du vecteur $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\lambda$, puis les coordonnées du point $F$ en fonction de $\lambda$. \item En utilisant le fait que $J$, $F$ et $D$ sont alignés, déterminez la valeur de $\lambda$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}%\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=65243&ordre=1}{43} page 236 (Sesamath). Parallélisme et mise en équation. On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées respectives $(8;3)$, $(3; 5)$ et $(3; 2)$. Déterminer $y$, ordonnée du point $D$ de coordonnées $(-3;y)$ tel que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles. \end{exercice} \subsubsection{Corrections.} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks} \task Clairement {\color{orange}en considérant les coordonnées des vecteurs nous remarquons une proportionnalité:} $\vec v=-2\vec u$. Et donc \begin{conclusion} $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires. \end{conclusion} \task \objectif{Montrons que $\vec v$ et $\vec u$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det(\vec u ; \vec v) &= {\color{orange}\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}} \\ &= \begin{vmatrix} \sqrt{2}-1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2}+1 \end{vmatrix}\\ &= \left( \sqrt{2} -1 \right) \times \left( \sqrt{2} +1 \right) - 1 \times 1\\ &= \sqrt{2} \times \sqrt{2} +\sqrt{2} \times 1 + (-1) \times \sqrt{2} + (-1) \times 1-1\\ &= \sqrt{2}^2+ \sqrt{2} - \sqrt{2}-2\\ &= 2-2\\ &= 0 \end{align*} \begin{conclusion} $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires. \end{conclusion} \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires.} Les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ sont $\begin{pmatrix} x_C-x_A \\y_C-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-10) \\ -2-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$. De même les coordonnées de $\overrightarrow{DB}$ sont $\begin{pmatrix} -30 \\ 18 \end{pmatrix}$. Clairement $\overrightarrow{DB}= -2 \overrightarrow{AC}$. \begin{conclusion} $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires. \end{conclusion} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(1) \task $-2\vec u =\vec v $. \task $\frac{3}{2}\vec u =\vec v$. \task $-3\vec u =\vec v $. \task $\frac{3}{2}\vec u= \vec v $. \task $\frac{3}{2} \vec u= \vec v$. \task $\frac{5}{9} \times (-15)- \left( -\frac{5}{6} \right) \times 11 \ne 0$ donc ils ne sont pas colinéaires. \task $-(\sqrt{5}+1)\vec u= \vec v$. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate}[a)] \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item Clairement {\color{orange}en considérant les coordonnées des vecteurs nous remarquons une proportionnalité:} $\vec v=-2\vec u$. Et donc \begin{conclusion} $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires. \end{conclusion} \item \objectif{Montrons que $\vec v$ et $\vec u$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det(\vec u ; \vec v) &= {\color{orange}\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}} \\ &= \begin{vmatrix} \sqrt{2}-1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2}+1 \end{vmatrix}\\ &= \left( \sqrt{2} -1 \right) \times \left( \sqrt{2} +1 \right) - 1 \times 1\\ &= {\color{orange}\sqrt{2} \times \sqrt{2} +\sqrt{2} \times 1 + (-1) \times \sqrt{2} + (-1) \times 1-1}\\ &= {\color{orange}\sqrt{2}^2+ \sqrt{2} - \sqrt{2}-2}\\ &= {\color{orange}2-2}\\ &= 0 \end{align*} \begin{conclusion} $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires. \end{conclusion} \item \objectif{Déterminons si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det(\vec{u}; \vec{v} ) &= \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}\\ &= 3 \times 2 -4 \times (-1)\\ &= 11\\ &\ne 0 \end{align*} \begin{conclusion} $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. \end{conclusion} \item \objectif{Déterminons l'ensemble des $x$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.} Soit $x \in \mathbb{R}$. \begin{align*} \det (\vec{u},\vec{v})=0 &\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=0\\ &\Leftrightarrow 1 \times 3 -2 \times x=0\\ &\Leftrightarrow -2x+3=0\\ &\Leftrightarrow -2x+3{\color{orange}-3}= 0 {\color{orange}-3}\\ &\Leftrightarrow -2x=-3\\ &\Leftrightarrow \frac{-2x}{\color{orange}-2} = \frac{-3}{\color{orange}-2}\\ &\Leftrightarrow x=\frac{3}{2} \end{align*} \begin{conclusion} $\vec{u}$ et$\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x=\frac{3}{2}$. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(1) \task $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \\ 11 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\det \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=-5 \times 5-(-7)\times 11 \ne 0$ donc ils ne sont pas colinéaires. \task $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, $-\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AC}$ donc ils sont colinéaires. \task $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -6 \\ -4 \end{pmatrix}$, $2 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. \task $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1/4 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \end{pmatrix}$, $4\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. \task $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 11/5 \\ -7/6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 11/5 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\det \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)\ne0$ les vecteurs ne sont pas colinéaires. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\vec{v} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w} \begin{pmatrix} 12 \\ -12\end{pmatrix}$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\det(\vec{u}; \vec{v})=-101 \ne 0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(2) \task $\vec{u}= 1 \cdot \vec{v}$ donc colinéaires. \task $\det( \vec{u}, \vec{v})= -135$ donc non colinéaires. \task $\det( \vec{u},\vec{v})= \frac{48}{8}$ donc non colinéaires. \task $\det( \vec{u},\vec{v})=0$ donc colinéaires. \task $\det( \vec{u},\vec{v})=0$ donc colinéaires. \task $\det( \vec{u},\vec{v})=0$ donc colinéaires. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(3) \task $-2 \vec{u}= \vec{v}$. \task $\frac{3}{2} \vec{u}= \vec{v}$. \task $-3\vec{u}=\vec{v}$. \task $\frac{3}{2}\vec{u}=\vec{v}$. \task $\frac{3}{2}\vec{u}=\vec{v}$. \task Non colinéaires. \task $\frac{-4}{\sqrt{5}-1} \vec{u}=\vec{v}$. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(1) \task $\det(\vec{u},\vec{v})=0 \Leftrightarrow -3 \times 2 -5 \times \mu=0 \Leftrightarrow -\frac{6}{5}=\mu$. \task $\det( \vec{u},\vec{v} )=0\Leftrightarrow 5 \times \frac{1}{3}-\mu \times 2=0 \Leftrightarrow \frac{5}{6}=\mu$. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks} \task {\color{orange}Le résultat est immédiat en remarquant que $y_v=2xy_u$ donc nécessairement $x_v=2x_u=2 \times 1 = 2$.} \objectif{Déterminons $x$.} $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si \begin{align*} \det \left( \vec u; \vec v \right) &= 0\\ \intertext{ce qui équivaut successivement à:} \begin{vmatrix} 1 & x \\ 5 & 10 \end{vmatrix} &= 0\\ 1 \times 10- 5 \times x &= 0\\ 10-5x &= 0 \\ \intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation linéaire du premier degré que nous allons résoudre en travaillant par équivalences successives.} 10 -5x {\color{orange}-10} &= 0 {\color{orange}-10}\\ -5x &= -10\\ \frac{-5x}{\color{orange}-5} &= \frac{-10}{\color{orange}-5}\\ x &= 2 \end{align*} \begin{conclusion} $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $x=2$. \end{conclusion} \task De même \begin{align*} 2 \times (2x) - 3 \times (1+x) &= 0\\ 4x-3-3x &=0\\ x &= 3 \end{align*} \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires.} Les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ sont $\begin{pmatrix} x_C-x_A \\y_C-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-10) \\ -2-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$. De même $\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix} -30 \\ 18 \end{pmatrix}$. Clairement $\overrightarrow{DB}= -2 \overrightarrow{AC}$. \begin{conclusion} $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires. \end{conclusion} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}$. $4 \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$ donc ils sont colinéaires. \item $\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix} 8 \\ 13 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{CD},\overrightarrow{CE} \right)=2 \times 13-3 \times 8=2\ne 0$ donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\lambda \overrightarrow{FG} =\vec{u}$. Donc $\left\{ \begin{array}{l} \lambda 2= 5 \\ \lambda (y_G-4)= -3 \end{array} \right.$. D'où $\lambda =\frac{5}{2}$ puis $y_G=-3 \times \frac{2}{5}+4= \frac{14}{5}$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] %extremites du graphique \def\xcoinbasgauche{0}; \def\xcoinhautdroit{6}; \def\ycoinbasgauche{-2.25}; \def\ycoinhautdroit{2.25}; %Les deux grilles \draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); %Les deux axes \draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$}; %repere orthonorme \coordinate (O) at ({0},{0}); \draw (O) node[below left] {$O$}; %\draw (O) node {$\bullet$}; \coordinate (I) at ({1},{0}); \draw (I) node[below left] {$I$}; %\draw (I) node {$\bullet$}; \coordinate (J) at ({0},{1}); \draw (J) node[below left] {$J$}; %\draw (J) node {$\bullet$}; %Graduations \foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; %Points %\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};} %Ligne définie par des points %\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)}; \draw (2,1) node {\color{red}$\times$}; \draw (2,1) node[below] {\color{red}$A$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] %extremites du graphique \def\xcoinbasgauche{0}; \def\xcoinhautdroit{6}; \def\ycoinbasgauche{-2.25}; \def\ycoinhautdroit{2.25}; %Les deux grilles \draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); %Les deux axes \draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$}; %repere orthonorme \coordinate (O) at ({0},{0}); \draw (O) node[below left] {$O$}; %\draw (O) node {$\bullet$}; \coordinate (I) at ({1},{0}); \draw (I) node[below left] {$I$}; %\draw (I) node {$\bullet$}; \coordinate (J) at ({0},{1}); \draw (J) node[below left] {$J$}; %\draw (J) node {$\bullet$}; %Graduations \foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; %Points %\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};} %Ligne définie par des points %\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)}; %fonction \draw [Green,>=latex,->] (2,1) --({2+3},{1-2}) node [midway, above] {$\vec{u}$}; \draw (2,1) node {\color{red}$\times$}; \draw (2,1) node[below] {\color{red}$A$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] %extremites du graphique \def\xcoinbasgauche{0}; \def\xcoinhautdroit{6}; \def\ycoinbasgauche{-2.25}; \def\ycoinhautdroit{2.25}; %Les deux grilles \draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); %Les deux axes \draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$}; %repere orthonorme \coordinate (O) at ({0},{0}); \draw (O) node[below left] {$O$}; %\draw (O) node {$\bullet$}; \coordinate (I) at ({1},{0}); \draw (I) node[below left] {$I$}; %\draw (I) node {$\bullet$}; \coordinate (J) at ({0},{1}); \draw (J) node[below left] {$J$}; %\draw (J) node {$\bullet$}; %Graduations \foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; %Points %\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};} %Ligne définie par des points %\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)}; %fonction \draw[orange][samples=100,domain=0.4:6] plot({\x},{-2/3*\x+7/3}); \draw [Green,>=latex,->] (2,1) --({2+3},{1-2}) node [midway, above] {$\vec{u}$}; \draw (2,1) node {\color{red}$\times$}; \draw (2,1) node[below] {\color{red}$A$}; \end{tikzpicture} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} {\color{orange}Il suffit de trouver les coordonnées d'un vecteur \og porté \fg{} par la droite. Pour avoir davantage de vecteurs directeurs on peut lire d'autres coordonnées ou prendre les coordonnées du précédent vecteur multiplié par n'importe quel nombre non nul. \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] \def\xY{-5}; \def\yY{-4}; \def\xZ{5}; \def\yZ{3}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); %\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z); \draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z); \draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\small $O$}; \draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\overrightarrow{i}$}; \draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\overrightarrow{j}$}; \draw[violet, thick][samples=100,domain=-5:5] plot(\x,{-0.5*\x-1}); \draw[violet] (4,-2) node[fill=white] {$\mathscr{D}$}; \draw[>=latex,->,blue,dashed] (-4,1)--(2,1) node[midway,above]{\tiny $6\overrightarrow{i}$}; \draw[>=latex,->,blue,dashed] (2,1)--(2,-2) node[midway,right]{\tiny $-3\overrightarrow{j}$}; \draw[>=latex,->,blue,thick] (-4,1)--(2,-2) node[midway,below left]{\tiny $\overrightarrow{u}$}; \end{tikzpicture} \end{center} } \begin{conclusion} Les vecteurs de coordonnées $\begin{pmatrix} 6\\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -6\\ 3 \end{pmatrix}$. \end{conclusion} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(1) \task Trivial: la réponse est non. Un vecteur nul ne peut être un vecteur directeur. \task \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 5-(-7) & -6 \\ 1-3 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 12 \times 1 -(-6) \times (-2)\\ &= 0 \end{align*} Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc: \begin{conclusion} $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(AB)$. \end{conclusion} \task \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 0-5 & 2 \\ -3-2 & -2 \end{vmatrix} \\ &= (-5) \times (-2) -(-5) \times 2\\ &= 20\\ &\ne 0 \end{align*} Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc: \begin{conclusion} $\overrightarrow{u}$ n'est pas un vecteur directeur de $(AB)$. \end{conclusion} \task \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 3-4 & 4,5 \\ -4-(-2) & 9 \end{vmatrix} \\ &= (-1) \times 9 -(-2) \times 4,5\\ &= 0 \end{align*} Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc: \begin{conclusion} $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(AB)$. \end{conclusion} \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(1) \task Puisque $A$ et $B$ sont distincts $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$. $2\overrightarrow{AB}$ et $3\overrightarrow{AB}$ sont donc deux autres vecteurs directeurs de $(AB)$. $\begin{pmatrix} -3 \\ -1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -6 \\ -2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -9 \\ -3\end{pmatrix}$ sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$. \task $\begin{pmatrix} 8 \\ -3\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 16 \\ -6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 24 \\ -9\end{pmatrix}$ sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$. \task \task $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 3\end{pmatrix}$ sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} {\color{orange}Étudier la position relative de deux droites du plan consiste à dire si elle sont parallèles ou sécantes (\emph{i.e.} un unique pont d'intersection). Nous peaufinerons la réponse apportée à cette question dans la leçon sur les droites mais pour l'instant la réponse à cette question est soit \og les droites sont parallèles\fg{} soit \og les droites sont sécantes \fg{}.} \medskip \objectif{Déterminons la position relative de $(AB)$ et $(CD)$.} {\color{WildStrawberry}$(AB) \parallel (CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.} \medskip $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 8-(-4) \\ 1- (-3) \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}$. De même $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}$ Clairement $-\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Autrement dit $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Ce qui équivaut encore à dire \begin{conclusion} $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. \end{conclusion} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MN} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN} \right) \ne0$. Donc: $(AB) \not\parallel (MN)$. \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MN} \begin{pmatrix} 16 \\ 20 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN} \right) =0$. Donc: $(AB) \parallel (MN)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \item \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det \left( \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 7-3 & -2 \\ -5-1 & 3 \end{vmatrix} \\ &= 4 \times 3 -(-6) \times (-2)\\ &= 0 \end{align*} Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires donc $B$ appartient à la droite passant ar $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$. \begin{conclusion} $B \in d$. \end{conclusion} \item \objectif{Déterminons si $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.} \begin{align*} \det \left( \overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{u} \right) &= \begin{vmatrix} 3-(-4) & -2\\ -4-6 & 3 \end{vmatrix} \\ &= 7 \times 3 -(-10) \times (-2)\\ &= 1 \end{align*} Ainsi $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc: \begin{conclusion} $d$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $I\left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$. \item Déterminez les coordonnées du point $P$ vérifiant $\left\{ \begin{array}{l} x_P=-2\times 2+4\times 0-2\times (-3) \\ y_P=-2 \times (-2) +4 \times 4-2 \times 5 \end{array} \right.$. $P(2 ; 10)$. \item $\overrightarrow{OP}\begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1/2 \\ 5/2 \end{pmatrix}$. $4 \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{OP}$ donc $(IB) \parallel (OP)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection}%Repère page 321 exo 90 \begin{enumerate} \item $AB=\sqrt{10}$, $BC=\sqrt{10}$, $CA=4\sqrt{2}$ donc $ABC$ isocèle ne $B$ mais pas équilatéral. S'il est rectangle c'est donc nécessairement en $B$. Or $AB^2+BC^2\ne AC^2$ donc il n'est pas rectangle. \item $D$ symétrique de $B$ par rapport à $A$ ssi $A$ milieu de $[BD]$ ssi $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}$. Or $\overrightarrow{DA} \begin{pmatrix} 1-x_D \\ -1-y_D \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -3 \\ 1\end{pmatrix}$ donc $1-x_D=-3$ et $-1-y_D=1$. $D(4;-2)$. \item $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CE} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CE}$ et donc $C$ est milieu de $[BE]$. On en déduit l'alignement souhaité. \item $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{ED} \begin{pmatrix} 8 \\ -8\end{pmatrix}$ donc $-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{ED}$ donc $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{ED}$ sont colinéaires et $(AC)$ et $(ED)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$. $\frac{3}{2} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks} \task $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4 \\ -20 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 13 \\ 65 \end{pmatrix}$. $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=-4 \times 65 -(-20) \times 13=0$ donc ils sont colinéaires et donc les points sont alignés. \task $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 16\\ 51 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} -23 \\ -72 \end{pmatrix}$. $\det( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=16 \times (-72)-51 \times (-23)=21 \ne 0$ les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont donc pas alignés. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4 \\ -20 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 13 \\ 65 \end{pmatrix}$. \begin{align*} \det(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{BC})&= \begin{vmatrix} \sqrt{2}-4 & 13 \\ -20 & 65 \end{vmatrix}\\ &= -4 \times 65 - 13 \times (-20)\\ &= 0 \end{align*} Ainsi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires et donc: \begin{conclusion} $A$, $B$ et $C$ sont alignés. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} {\color{orange}Une démonstration plus classique avec le théorème de Thalès pourrait être plus brève.} $t_{\overrightarrow{AB}}(B)=D$ donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$. $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IE}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}$. $t_{\overrightarrow{AB}}(I)=E$ donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IE}$ $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}$ car $I$ est le milieu de $[AC]$. Ainsi $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EC}$ donc $E$ est le milieu de $[DC]$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 3 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}$. \item $-\frac{4}{3} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ donc $(AB)\parallel (CD)$ et donc $ABCD$ est un trapèze (on pourrait détailler la justification du fait qu'il est non croisé). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{4} \overrightarrow{ID} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_A-x_I =\frac{3}{4}(x_D-x_I)\\ y_A-y_I =\frac{3}{4}(y_D-y_I) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\frac{7}{2}-x_I = \frac{3}{4}(3-x_I) \\ 2-y_I = \frac{3}{4} \left( \frac{5}{2}-y_I \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_I=-23 \\ y_I=\frac{1}{2} \end{array} \right.$. \item $\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 21 \\\frac{9}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IC} \begin{pmatrix} 28 \\ 6 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{IB}, \overrightarrow{IC} \right)= \begin{vmatrix} 21 & 28 \\ 9/2 & 6 \end{vmatrix}= 21 \times 6 -28 \times \frac{9}{2}=0$ donc les points sont bien alignés. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $J\left( -\frac{11}{4},\frac{7}{2} \right)$ et $K\left( 4,\frac{9}{2} \right)$. \item $\overrightarrow{IJ} \begin{pmatrix} 81/4 \\3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IK} \begin{pmatrix} 27 \\ 4 \end{pmatrix}$. $\det \left( \overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IK} \right)= \begin{vmatrix} 81/4 & 27 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=\frac{81}{4} \times 4 -3 \times 27=0$ donc les points sont bien alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $D(0,0)$, $C(1;0)$, $A(0;1)$ et $B(1;1)$. \item $I \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et $L\left( \frac{1}{2}, 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$. \item $\overrightarrow{AI} \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}-1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AL} \begin{pmatrix} 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}$. \item $\det \left( \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AL} \right)=\begin{vmatrix} 1/2 & 1+\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 -1 & -1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \times \left( -\frac{1}{2} \right)- \left( \frac{\sqrt{3}}{2}-1 \right) \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{1}{4}-\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+1^2=0$ donc les points sont alignés. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item $P\left( 2; \frac{7}{2} \right)$. \item $\overrightarrow{BS}= \frac{1}{3} \overrightarrow{CB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_S-0 =\frac{1}{3}(0-(-6)) \\ y_S-7=\frac{1}{3} (7-(-5))\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_S=2 \\ y_S=11 \end{array} \right.$ $5 \overrightarrow{CT}=4 \overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5(x_T-(-6))=4(-6-4) \\ 5(y_T-(-5))=4(0-(-5)) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_T=14 \\ y_T=-1 \end{array} \right.$. \item $\overrightarrow{PS} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{15}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{ST} \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \end{pmatrix}$ les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points ne sont pas alignés. $P \not\in (ST)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item $\overrightarrow{MN} \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 5 \\ 1\end{pmatrix}$. $-\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CD}$ donc $MNCD$ est un trapèze non croisé dont les bases sont $[MN]$ et $[CD]$. \item $\overrightarrow{ME} \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MD} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ donc $\frac{1}{2}\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}$ et donc $E \in(MD)$. $\overrightarrow{NE} \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{NC} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ donc $\frac{1}{2}\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{NC}$ et donc $E \in(NC)$. $(NC) \cap (MD)=\{ E\}$. \item $J(2;2)$ et $K\left(\frac{5}{2},\frac{11}{2}\right)$. \item $\overrightarrow{EJ} \begin{pmatrix} -1 \\-7 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{EK}\begin{pmatrix} -1/2 \\ -7/2\end{pmatrix}$ donc $\frac{1}{2} \overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{EK}$ et les poionts sont alignés. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks} \task $M \in (FG) \Leftrightarrow \det\left(\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FG} \right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1-(-1) & 7-(-1) \\ y-4 & 2-4 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 2 \times (-2)-(y-4) \times 8=0 \Leftrightarrow y=\frac{7}{2}$. \task $(EF) \parallel (GM) \Leftrightarrow \det\left( \overrightarrow{EF},\overrightarrow{GM} \right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -6 & -6 \\ 5 & y-2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow -6\times (y-2)-(-6)\times 5=0 \Leftrightarrow y=7$. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tasks}(1) \task $\vec{u} \cdot \vec{v}= -1 \times 12+4 \times 3=0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. \task $\vec{u} \cdot \vec{v}= 2 \times 3 +1 \times 5= 11 \ne 0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas orthogonaux. \task $\vec{u} \cdot \vec{v}=15 \times (-4)+ (-12) \times (-5)= 0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. \task $\vec{u} \cdot \vec{v}=(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})+(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}^2-\sqrt{3}^2+\sqrt{2}^2-1^2=0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. \end{tasks} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3 \times 6 +(-6)\times 3=0$ donc $ABC$ est rectangle en $A$. \item $\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 9/2 \\ -9 \end{pmatrix}$ donc $\frac{2}{3} \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ et par conséquent $ABDC$ est trapèze dont les bases sont $[AB]$ et $[DC]$. D'après la question précédente ce trapèze est même rectangle. \item $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I-(-2) =\frac{1}{3} \times 6 \\ y_I-1 =\frac{1}{3} \times 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow I(0;2)$. $\overrightarrow{JD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{17}{2} -x_J = \frac{2}{3}\times \frac{15}{2} \\ -5-y_J = \frac{2}{3} \times 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow J\left( \frac{7}{2}, -5\right)$. \item Nous avons déjà démontré que $(AB)\parallel (CD)$. $\overrightarrow{IJ} \begin{pmatrix} 7/2 \\ -7 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{IJ}=\frac{6}{7} \overrightarrow{AB}$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$. \item $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ donc $ABC$ est rectangle en $B$. \item $AB=\| \overrightarrow{AB}\|= \sqrt{ (-4)^2+(-3)^2}=5$, $AC=\sqrt{(-7)^2+1^2}=5\sqrt{2}$ et $BC=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$. $ABC$ est donc isocèle-rectangle en $B$. \item Soit le point $F(a,1)$. $A$, $B$ et $F$ sont alignés si et seulement si $\det( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -4 & a-2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow -4 \times (-1) -(-3) \times (a-2)=0 \Leftrightarrow 4+3a-6=0 \Leftrightarrow a=\frac{2}{3}$. \item $ABCD$ est un parallélogramme ssi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Or $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4=-5-x_D \\ -3=3-y_D \end{array} \right. \Leftrightarrow D(-1;6)$. $ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un carré. \item $A$, $B$ et $E$ sont alignés ssi $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=0$. Or $E(x_E,0)$ donc: $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -4 & x_E-2 \\ -3 & -2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow -4 \times (-2) - (-3)\times (x_E-2)=0 \Leftrightarrow 8+3x_E-6=0 \Leftrightarrow x_E=-\frac{2}{3}$. \item $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_K-(-5)=2 \times (-2-x_K)+(-4) \\ y_K-3 = 2 \times (-1-y_K)+(-3) \end{array} \right. \Leftrightarrow K\left( -\frac{13}{3}, -\frac{2}{3}\right)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item \begin{enumerate}[*] \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item \objectif{Déterminons les coordonnées de $I$.} Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$: $x_I = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{1+6}{2} = \frac{7}{2}$. De même: $y_I=-\frac{1}{2}$. \begin{conclusion} $I\left( \frac{7}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$. \end{conclusion} \item \objectif{Déterminons les coordonnées de $E$.} $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6-3 \\ -2-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$. D'où: $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 3 \\ \frac{1}{3} \times (-6) \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. De même: $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E-3 \\ y_E-4 \end{pmatrix}$. De $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ nous déduisons donc $\left\{ \begin{array}{l} x_E-3 = 1 \\ y_E-4 =-2 \end{array} \right.$ Ce qui équivaut successivement à:$\left\{ \begin{array}{l} x_E-3 {\color{orange}+3} = 1 {\color{orange}+3}\\ y_E-4 {\color{WildStrawberry}+4}=-2 {\color{WildStrawberry}+4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_E = 4 \\ y_E =2 \end{array} \right.$. \begin{conclusion} $E(4;2)$. \end{conclusion} \item De même qu'au point précédent $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F-6=\frac{1}{3}(3-6) \\ y_F-(-2) = \frac{1}{3} (4-(-2)) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F=5 \\ y_F = 0 \end{array} \right.$. \begin{conclusion} $F(5;0)$. \end{conclusion} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.} $\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ donc $\det \left( \overrightarrow{BE} ; \overrightarrow{IF} \right) = \begin{vmatrix} 3 & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{2}\end{vmatrix} = 3 \times \frac{1}{2} -1 \times \frac{3}{2} = 0$. \begin{conclusion} $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires. \end{conclusion} \item Nous déduisons de la question précédente que: \begin{conclusion} $(BE) \parallel (IF)$. \end{conclusion} \end{enumerate} \item \objectif{Démontrons que $ABCD$ est un parallélogramme.} $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Par conséquent: \begin{conclusion} $ABCD$ est un parallélogramme. \end{conclusion} \item \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item \objectif{Calculons $\| \overrightarrow{AC} \|$.} {\color{orange}La formule pour la distance euclidienne est la même que celle pour la norme du vecteur. Par contre comme le repère n'est pas orthonormé la norme ne correspond pas forcément à une longueur.} \begin{align*} \| \overrightarrow{AC} \| &= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\ &= \sqrt{(6-3)^2+(-2-4)^2}\\ &= \sqrt{45}\\ &= \sqrt{3^2 \times 5}\\ &= \sqrt{3^2} \times \sqrt{5} \end{align*} \begin{conclusion} $\| \overrightarrow{AC} \| = 3\sqrt{5}$. \end{conclusion} \item Nous ne pouvons pas répondre à cette question car le repère n'étant a priori pas orthonormé nous ne pouvons pas établir la présence d'angle droit ou d'égalité de longueur (diagonales). Si nous supposons que le repère est orthonormé alors, comme $\| \overrightarrow{BD} \| = 9$, nous pouvons affirmer que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ne sont pas de même longueur donc ce n'est pas un rectangle. \end{enumerate} \item \objectif{Démontrons que les points $I$, $F$ et $D$ sont alignés.} {\color{orange}Ils sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.} $\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF} \begin{pmatrix} -3\\ -1 \end{pmatrix}$ donc $\det \left( \overrightarrow{IF};\overrightarrow{DF} \right) = \begin{vmatrix} \frac{3}{2} & -3\\ \frac{1}{2} & -1 \end{vmatrix} = \frac{3}{2} \times (-1) -\frac{1}{2} \times (-3) = 0$. Donc $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires. Et par conséquent \begin{conclusion} $I$, $F$ et $D$ sont alignés. \end{conclusion} \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt} \item Complétez: $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DJ}$. \item $2 \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC} +\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{DJ}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$. Or $I$ et $J$ milieu respectif de $[AC]$ et $[BD]$ donc $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$. Enfin: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \right)$. \item $\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Conclusion $(IJ) \parallel (AB)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $A$, $B$ et $C$ sont alignés donc il existe $\lambda \in\mathbb{R}$ tel que $\lambda \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{BC}$. $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}=-\vec{u} +\overrightarrow{AB}+\vec{u}=\overrightarrow{AB}$. De même: $\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}$ et donc $\overrightarrow{B'C'}=\lambda \overrightarrow{A'B'}$. Les point $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \item ~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \def\xcoinbasgauche{0.1}; \def\xcoinhautdroit{9.9}; \def\ycoinbasgauche{-1.1}; \def\ycoinhautdroit{5.9}; \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \coordinate (A) at ( 1,3); \draw (A) node [above right] {$A$}; \draw (A) node {$\times$}; \coordinate (B) at ( 4,1); \draw (B) node [above right] {$B$}; \draw (B) node {$\times$}; \coordinate (C) at ( 5,4); \draw (C) node [above right] {$C$}; \draw (C) node {$\times$}; \coordinate (B1) at (8,-1); \draw (B1) node [above right] {$B_1$}; \draw (B1) node {$\times$}; \coordinate (C1) at ( 9,5); \draw (C1) node [above right] {$C_1$}; \draw (C1) node {$\times$}; \end{tikzpicture} \item $\overrightarrow{AB_1}=2\overrightarrow{AB}$. \item $\overrightarrow{AC_1}=2\overrightarrow{AC}$. \item ~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \def\xcoinbasgauche{-9.1}; \def\xcoinhautdroit{5.9}; \def\ycoinbasgauche{0.1}; \def\ycoinhautdroit{9.9}; \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \coordinate (A) at ( 1,3); \draw (A) node [above right] {$A$}; \draw (A) node {$\times$}; \coordinate (B) at ( 4,1); \draw (B) node [above right] {$B$}; \draw (B) node {$\times$}; \coordinate (C) at ( 5,4); \draw (C) node [above right] {$C$}; \draw (C) node {$\times$}; \coordinate (B2) at (-8,9); \draw (B2) node [above right] {$B_2$}; \draw (B2) node {$\times$}; \coordinate (C2) at ( -7,1); \draw (C2) node [above right] {$C_2$}; \draw (C2) node {$\times$}; \end{tikzpicture} $\overrightarrow{AB_2}=-3\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{AC_1}=-3\overrightarrow{AC}$. \item $\overrightarrow{AM_1}=2\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AM_2}=-3\overrightarrow{AM}$. \end{enumerate} \item $\overrightarrow{AM'}=k\overrightarrow{AM}$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item ~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \def\xcoinbasgauche{-6.1}; \def\xcoinhautdroit{3.9}; \def\ycoinbasgauche{-3.1}; \def\ycoinhautdroit{5.9}; \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); %Les deux axes \draw[ ->,very thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,very thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$}; \coordinate (A) at ( 1,1); \draw (A) node [above right] {$A$}; \draw (A) node {$\times$}; \coordinate (B) at ( 1,4); \draw (B) node [above right] {$B$}; \draw (B) node {$\times$}; \coordinate (C) at ( -5,1); \draw (C) node [above right] {$C$}; \draw (C) node {$\times$}; \coordinate (D) at ( -3,-1); \draw (D) node [above right] {$D$}; \draw (D) node {$\times$}; \coordinate (E) at (3,5); \draw (E) node [above right] {$E$}; \draw (E) node {$\times$}; \coordinate (F) at (-5,-2); \draw (F) node [above right] {$F$}; \draw (F) node {$\times$}; \end{tikzpicture} \item $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \end{pmatrix}$ donc $\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et donc $E(3;5)$. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ donc $-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et donc $F(-5;-2)$. \item Avec les coordonnées: $\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$ donc $E$ est l'image de $C$ par l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-\frac{1}{3}$. \item $\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{EC}$ donc $(AF)$ et $(EC)$ sont parallèles. \item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FC}$ donc $ABCF$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. \item $D(17;2)$ et $E(2;4)$. \item $C$ est l'image de $E$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $4$ donc $(EB) \parallel (CD)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{F_1}$ et $\overrightarrow{F_2}$ sont opposés. \item $F=G \times \frac{m_1 \times m_2}{d^2}=6,6742\times 10^{-11} \times \frac{5,97\times 10^{24} \times 7,35\times 10^{22}}{\left( 3,84\times 10^{8} \right)^2}\approx 1,986\times 10^{20}\ \mathrm{N}$. \item $F_S=6,6742\times 10^{-11} \times \frac{5,97\times 10^{24} \times 1,99\times 10^{30}}{\left( 1,5\times 10^{11} \right)^2}\approx3,524 \times 10^{22}$. $\frac{3,524 \times 10^{21}}{1,986\times 10^{20}}\approx 1,77 \times 10^{2}$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} {\color{orange}L'idée principale est la suivante pour tracer une droite nous devons en connaître deux points. Nous connaissons déjà $A$ il faut en trouver un autre. Le plus simple est de prendre le point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$. Une autre façon de dire les choses nous cherchons l'image, $B$, de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] \def\xY{-0.5}; \def\yY{-0.5}; \def\xZ{10}; \def\yZ{6}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); %\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z); \draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z); \draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\footnotesize $O$}; \draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {\footnotesize $\overrightarrow{i}$}; \draw[red,>=latex,->,very thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {\footnotesize $\overrightarrow{j}$}; \draw[blue!60][samples=100,domain=-0.5:10] plot(\x,{1/3*\x+5/3}) node[above]{$d_1$}; \draw[>=latex,->,blue,dashed] (4,3)--(7,3) node[midway,below]{\tiny $3\overrightarrow{i}$}; \draw[>=latex,->,blue,dashed] (7,3)--(7,4) node[midway,right]{\tiny $\overrightarrow{j}$}; \draw[>=latex,->,blue] (4,3)--(7,4) node[midway,above left]{\tiny $\overrightarrow{u}_1$}; \draw (4,3)node{$\bullet$}; \draw (4,3)node[above left]{$A$}; \draw (7,4)node{$\bullet$}; \draw (7,4)node[above left]{$B$}; \end{tikzpicture} \end{center} En procédant de même pour les autres vecteurs: \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5] \def\xY{-2.5}; \def\yY{-0.5}; \def\xZ{10}; \def\yZ{6}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); %\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z); \draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z); \draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw[red] (0,0)node[below left,fill=white]{\footnotesize $O$}; \draw[red,>=latex,->,thick] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {\footnotesize $\overrightarrow{i}$}; \draw[red,>=latex,->,thick] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {\footnotesize $\overrightarrow{j}$}; \draw[blue!60][samples=100,domain=-2.5:10] plot(\x,{1/3*\x+5/3}) node[above]{$d_1$}; \draw[>=latex,->,blue] (4,3)--(7,4) node[midway,above right]{\tiny $\overrightarrow{u}_1$}; \draw[violet!60][samples=100,domain=2.5:5.75] plot(\x,{-2*\x+11}) node[below left]{$d_2$}; \draw[>=latex,->,violet] (4,3)--(5,1) node[midway,below left]{\tiny $\overrightarrow{u}_2$}; \draw[OliveGreen!60][samples=100,domain=-2.5:10] plot(\x,{3}) node[below left]{$d_3$}; \draw[>=latex,->,OliveGreen] (4,3)--(-1,3) node[midway,above left]{\tiny $\overrightarrow{u}_3$}; \draw[WildStrawberry!60][samples=100,domain=-0.5:6] plot(4,{\x}) node[below left]{$d_4$}; \draw[>=latex,->,WildStrawberry] (4,3)--(4,6) node[midway,right]{\tiny $\overrightarrow{u}_4$}; \draw (4,3)node{$\bullet$}; \draw (4,3)node[above left]{$A$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ donc $C\left( -\frac{2}{3}\right)$ dans $\left( A, \overrightarrow{AB}\right)$. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}-\frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$ donc $C\left( \frac{5}{3}\right)$ dans $\left( B, \overrightarrow{BA}\right)$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{tikzpicture} \draw (-4,0) -- (2,0); \coordinate (O) at ({0},0); \draw (O) node {$|$}; \draw (O) node [above]{$O$}; \coordinate (R) at ({3/2},0); \draw (R) node {$|$}; \draw (R) node [above]{$R$}; \coordinate (S) at ({-2},0); \draw (S) node {$|$}; \draw (S) node [above]{$S$}; \draw [>=latex,->] (0,0) -- (1,0) node[below,midway] {$\vec{u}$}; \end{tikzpicture} $I\left( \frac{\frac{3}{2}+(-2)}{2} \right)$ donc $I\left( -\frac{1}{4}\right)$. $-3\overrightarrow{GR}+5\overrightarrow{GS}=\vec{u} \Leftrightarrow -3\overrightarrow{GO} -3\overrightarrow{OR}+5\overrightarrow{GO}+5\overrightarrow{OS}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2} \left( -3\overrightarrow{OR}+5\overrightarrow{OS}\right)$ donc $G\left(-\frac{29}{4} \right)$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ donc $B(0;-1)$. $\overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2} \vec{u}$ donc $C\left( -\frac{5}{2}; -6\right)$. $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{u}$ donc $D \left( \frac{1}{2},-2\right)$. $\overrightarrow{AE}=3\vec{u}$ donc $E(2;3)$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\alpha=\frac{2}{3}$ et $\beta=\frac{1}{3}$. $\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\vec{0}$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $3\overrightarrow{AG}+4\overrightarrow{BG}=\vec{0} \Leftrightarrow 7\overrightarrow{AG}=4\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{4}{7} \overrightarrow{AB}$ comme $\frac{4}{7}\in [0;1]$, $G \in [AB]$. $-2\overrightarrow{AG}+5\overrightarrow{BG}=\vec{0} \Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG}=5\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{5}{3} \overrightarrow{AB}$ comme $\frac{5}{3}\in [0;1]$, $G \notin [AB]$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item La droite parallèle à $(BC)$ passant par $A$. \item La médiane de $ABC$ issue de $A$. \item La parallèle à $(AB)$ passant par $C$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} La droite passant par $A(2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$. \item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}$ et $2\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 2x_E-2\times 1 \\ 2y_E-2 \times 0 \end{pmatrix}$ donc $E\left(1;\frac{1}{2}\right)$. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $2\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2x_D-2 \times 0 \\ 2y_D -2 \times 1 \end{pmatrix}$ donc $D\left( \frac{1}{2},1 \right)$. $I\left( \frac{3}{4},\frac{3}{4} \right)$. \item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BC}=2 \overrightarrow{ED}$ donc ils sont colinéaires et $(BC)$ et $(ED)$ sont parallèles. \item Si $G$ vérifie $6\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ alors $4x_G=1$ et $4y_G=1$ donc $G\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$. \item $\overrightarrow{GB} \begin{pmatrix} 3/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CI}\begin{pmatrix} 3/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}$ donc $GBIC$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ -2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$. \item $A$, $B$ et $E$ sont alignés ssi $\det \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE} \right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 4 & a+3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=-5$. \item $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ donc $ABC$ est rectangle en $B$ mais pas isocèle. \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_D-(-3) \\ y_D -1\end{pmatrix} \Leftrightarrow D(-1 ; 5)$. \item $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme. Comme de plus $\widehat{ABC}$ est droit, $ABCD$ est un rectangle. \end{enumerate} \item $J$ symétrique de $A$ par rapport à $B$ ssi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BJ} \Leftrightarrow J(5;-3)$. \item $A$, $B$ et $F$ sont alignés ssi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont colinéaires ssi $\begin{vmatrix} 4 & x_F-(-3) \\ -2 & 0-1 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x_F=-5$. \item $I(0;2)$. $(BG)$ et $(AI)$ sont parallèles ssi $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires. $\begin{vmatrix}0-1 & 3 \\ y_G-(-1) & 1 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow G\left( 0;-\frac{4}{3} \right)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $I(2;4)$. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$. \item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0$ donc $ABC$ est rectangle en $A$. De plus $\| \overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AC}\|$ donc $ABC$ est isocèle rectangle en $A$. \item $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ donc $D(5;5)$. $ABDC$ est donc un carré. \item $4 \times (-1) - (-2) \times (x_E-(-1))=0 \Leftrightarrow x_E=1$. \item $\overrightarrow{CF} \begin{pmatrix} -1 \\ y_F-7 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IA} \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$. $2 +3(y_F-7)=0 \Leftrightarrow y_F=\frac{19}{3}$. \item $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OK}=3 \overrightarrow{KO}+3 \overrightarrow{OB} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$ donc $K\left( \frac{1}{2},1 \right)$. \item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BJ} \Leftrightarrow \overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}$ donc $J(7;-1)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. $AB=BC$ et $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ donc $ABC$ est isocèle rectangle en $B$. \item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}$ donc $D(1;3)$. \item $ABCD$ est donc un carré. \item $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AE}$ donc les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés. De $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EA}$ on déduite que $A$ est le milieu de $[CE]$. \item $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BF}$ donc $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OB}$ d'où $F(0;-2)$. \item $\overrightarrow{FE}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$ donc $-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FE}$et donc $(AB)$ et $(FE)$ sont parallèles. \item $\begin{vmatrix} -1 & x_G-(-1) \\ 3 & -1 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 1-3(x_G+1)=0 \Leftrightarrow x_G=-frac{2}{3}$. Déterminez les coordonnées du point $G$ appartenant à l'axe des abscisses et tel que $B$, $C$ et $G$ soient alignés. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \item $I\left( \frac{3}{2},3\right)$. \item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ donc $ABC$ est rectangle en $B$ (mais pas isocèle). \item $\overrightarrow{EC} \begin{pmatrix} 5-x_E \\ 1-y_E \end{pmatrix}$ donc $E(1;7)$. \item $\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -21/4 \\ -7/2 \end{pmatrix}$, $-\frac{4}{7} \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{BC}$ donc les droites $(ID)$ et $(BC)$ sont parallèles. \item $\det\left( \overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB} \right) = 0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} 0-(-2) & 4 \\ y_F-5 & -6 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow y_F=8$. \item $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{GB} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{GO}+2 \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{GO}-\overrightarrow{OB} \Leftrightarrow 3 \overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}$ donc $G(19;-3)$. \item $\det\left( \overrightarrow{CH},\overrightarrow{AB} \right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} x_H-5 & 4 \\ 0-1 & -6 \end{vmatrix}=0$ $H\left( \frac{17}{3};0\right)$. \item $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AJ} \Leftrightarrow \overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CA}$ donc $J\left( -9;9\right)$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}$ donc $K\left( -\frac{5}{3},\frac{7}{3}\right)$. \item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{CJ}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{OJ}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}$ donc $J\left( -\frac{7}{3}; 1 \right)$. \item $\overrightarrow{AL}+2\overrightarrow{CL}=\vec{0}\Leftrightarrow 3 \overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}$ donc $L\left( -1;\frac{5}{3}\right)$. \item $\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} -4/3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BL}\begin{pmatrix} 2 \\ 2/3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CK}\begin{pmatrix} -2/3 \\ 4/3 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{CK}=\vec{0}$. \item $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AL} \Leftrightarrow \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AL}$. $\overrightarrow{AK}\begin{pmatrix} -2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AL}\begin{pmatrix} 0 \\ -4/3 \end{pmatrix}$ donc $N\left( -\frac{5}{3}, 1\right)$. \item $\overrightarrow{BN}\begin{pmatrix} 4/3 \\ 0 \end{pmatrix}$ donc $\frac{3}{2}\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}$ donc les points $C$, $N$ et $B$ sont alignés. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -11/4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} -11/4 \\ 2 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et donc $ABCD$ est un parallélogramme. \item $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{ED}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OE}$ donc $E\left( 0;\frac{7}{3} \right)$. $\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \overrightarrow{OF}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{OD}$ or $\overrightarrow{DA}\begin{pmatrix} -1/4 \\ -1 \end{pmatrix}$ donc $F \left( \frac{7}{4};\frac{7}{4}\right)$. \item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EG}$ donc $G\left(-\frac{11}{4},\frac{13}{3} \right)$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FH}$ donc $H\left( -1,\frac{15}{4}\right)$. \item $\overrightarrow{CH}\begin{pmatrix} 3/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix} -1 \\ 1/3 \end{pmatrix}$ $=\overrightarrow{DE}$. \item \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$, $D(0;1)$, $E\left( \frac{2}{3},0 \right)$ et $F\left( 1;\frac{1}{3} \right)$. \item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}$ donc $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EF}$ et donc $(AC)\parallel (EF)$. \end{enumerate} \item $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. \item Il y a une configuration de Thalès et $\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}=\frac{EB}{BA}$ donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}$ on déduit: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$ et donc $2 \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ donc les vecteurs sont colinéaires et les droites parallèles. \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} \begin{enumerate} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $E$ est le point d'intersection des droites $(JD)$ et $(IC)$ donc $E\in (CI)$ donc il existe un réel $k$ tel que: $\overrightarrow{CE}=k \overrightarrow{CI}$. \item $F$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(JD)$ donc $F \in (CA)$ donc il existe un réel $\lambda$ tel que: $\overrightarrow{CF}=\lambda \overrightarrow{CA}$. \item $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$, $D(-1;0)$, $I\left( \frac{1}{2},0\right)$ et $J\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. \item $\overrightarrow{CI}\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \end{pmatrix}$. \item $\overrightarrow{CE} \begin{pmatrix} k/2 \\ -k \end{pmatrix}$. $E\left( \frac{k}{2},-k+1 \right)$. \item $\det\left( \overrightarrow{JE},\overrightarrow{JD}\right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} \frac{k}{2}-\frac{1}{2} & -1 -\frac{1}{2}\\ -k+1-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow -\frac{1}{4}k+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}k+\frac{3}{4}=0 \Leftrightarrow k=\frac{4}{7}$. \item $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$. \item $\overrightarrow{CF}\begin{pmatrix} 0 \\ -\lambda \end{pmatrix}$. $F\left( 0;-\lambda+1\right)$. \item $\det \left( \overrightarrow{JF},\overrightarrow{JD}\right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\lambda +1-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}-\left( -\lambda +\frac{1}{2}\right)\frac{-3}{2}=0 \Leftrightarrow \lambda= \frac{2}{3}$. \end{enumerate} \end{exercicecorrection} \begin{exercicecorrection} $\det\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)=0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} -5 & -6 \\ 2 & y-2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow y=\frac{22}{5}$. \end{exercicecorrection} \end{document} \section{Modèles.} \setlength{\parskip}{0pt} \setlength{\itemsep}{0pt} \subsection{Graphique} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] \def\xY{-0.5}; \def\yY{-0.5}; \def\xZ{8.5}; \def\yZ{7}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); \draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z); \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z); \draw (0,0)node[below left]{\small $0$}; \foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )}); \draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$}; \fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2}) -- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2}) -- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2}) -- (2,0) --(-0.5,0) -- cycle; \draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)}; \end{tikzpicture} \end{center} Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult %Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a} \subsection{Graphique nouveau.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] %extremites du graphique \def\xcoinbasgauche{-2}; \def\xcoinhautdroit{4}; \def\ycoinbasgauche{-4}; \def\ycoinhautdroit{4}; %Les deux grilles \draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit}); %Les deux axes \draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$}; %repere orthonorme \coordinate (O) at ({0},{0}); \draw (O) node[below left] {$O$}; \draw (O) node {$\bullet$}; \coordinate (I) at ({1},{0}); \draw (I) node[below left] {$I$}; \draw (I) node {$\bullet$}; \coordinate (J) at ({0},{1}); \draw (J) node[below left] {$J$}; \draw (J) node {$\bullet$}; %Graduations \foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; %fonction \draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2}); %Points \foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};} %Tangentes horizontales \def\longueurtangente{0.7}; \foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});} %Ligne définie par des points \draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)}; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Rectangle en coin.} \begin{tikzpicture} \def\xangledroit{0}; \def\yangledroit{0}; \def\longueurangledroit{0.5}; \draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit}); \end{tikzpicture} ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1). \begin{tikzpicture} \def\code{0.2}; \draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}] ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code}); \end{tikzpicture} \subsection{Pavé droit.} \begin{center} \begin{tikzpicture} \def\longueur{5}; \def\hauteur{3}; \def\profondeur{2}; \def\angledefuite{30}; \def\coefficientmultiplicateur{0.8}; \def\xA{0}; \def\yA{0}; %Création des points du bas. \coordinate (A) at ({\xA},{\yA}); \coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA}); \coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)}); \coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)}); %Création des points du haut \coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur}); \coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur}); \coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur}); \coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur}); %Nom des points du bas dans le sens direct \draw (A) node [below left] {$A$}; \draw (B) node [below right] {$B$}; \draw (C) node [below right] {$C$}; \draw (D) node [above left] {$D$}; \draw (E) node [above left] {$E$}; \draw (F) node [above] {$F$}; \draw (G) node [above right] {$G$}; \draw (H) node [above left] {$H$}; %Les arêtes du bas \draw [] (A) -- (B); \draw [] (B) -- (C); \draw [dashed] (C) -- (D); \draw [dashed] (D) -- (A); %Les arêtes verticales \draw [] (A) -- (E); \draw [] (B) -- (F); \draw [] (C) -- (G); \draw [dashed] (D) -- (H); %Les arête du haut \draw [] (E) -- (F); \draw [] (F) -- (G); \draw [] (G) -- (H); \draw [] (H) -- (E); \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Dessin.} \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,-1); \coordinate (F) at (6,0); \coordinate (C) at (7,1); \coordinate (D) at (2,2); \coordinate (O) at (3.5,0.5); \coordinate (S) at (3.5,6); \coordinate (J) at (3.5,3.5); \coordinate (K) at (3,4.666); \draw (A) node {$\bullet$}; \draw (B)node {$\bullet$}; \draw (F)node {$\bullet$}; \draw (C)node {$\bullet$}; \draw (D)node {$\bullet$}; \draw (O)node {$\bullet$}; \draw (S)node {$\bullet$}; \draw (J)node {$\bullet$}; \draw (K)node {$\bullet$}; \draw (A)node[below]{$A$}; \draw (B)node[below right]{$B$}; \draw (F)node[right]{$F$}; \draw (C)node[right]{$C$}; \draw (D)node[above right]{$D$}; \draw (O)node[above right]{$O$}; \draw (S)node[above]{$S$}; \draw (J)node[above right]{$J$}; \draw (K)node[below right]{$K$}; \draw[blue, thick](A)--(B)--(C); \draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C); \draw[blue, thick](A)--(S); \draw[blue, thick](B)--(S); \draw[blue, thick](C)--(S); \draw[blue, thick,dashed](D)--(S); \draw[blue, thick,dashed](O)--(S); \draw[blue, thick](F)--(S); \draw[blue, thick,dashed](A)--(C); \draw[blue, thick,dashed](D)--(B); \draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C); \fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle; \end{tikzpicture} \subsection{Arbre nouveau 2 niveau.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] %Écarts entre entre racine et premier niveau \def\xA{2}; %Nombre de nœuds du premiers niveau \def\noA{2}; %Nombre de nœuds du deuxième niveau \def\noB{6}; %Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau \def\noBe{3}; %Écarts entre nœuds du deuxième niveau \def\xB{2+\xA}; \def\yB{1}; %Racine \coordinate (O) at ({0},{-\yB/2}); %Pour ne pas écrire les mots above et below \def\posA{above}; \def\posB{below}; %Position des nœuds du premier niveau %Dessin des nœuds branches du premier niveau \foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA, nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB }{ \coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe}); \draw node (\nA) at (\A) {\contenu}; \draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; %Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau \foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB, nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA, nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB, nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA, nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB }{ \coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2}); \draw node (\nB) at (\B) {\contenu}; \draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] %Écarts entre entre racine et premier niveau \def\xA{2}; %Nombre de nœuds du premiers niveau \def\noA{3}; %Nombre de nœuds du deuxième niveau \def\noB{6}; %Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau \def\noBe{2}; %Écarts entre nœuds du deuxième niveau \def\xB{2+\xA}; \def\yB{1}; %Nombre de nœuds du troisième niveau \def\noC{12}; %Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau \def\noCe{2}; %Écarts entre nœuds du troisième niveau \def\xC{2+\xB}; \def\yC{1}; %Racine \coordinate (O) at ({0},{-\yB/2}); %Pour ne pas écrire les mots above et below \def\posA{above}; \def\posB{below}; %Position des nœuds du premier niveau %Dessin des nœuds branches du premier niveau \foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA, nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA, nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB }{ \coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe}); \draw node (\nA) at (\A) {\contenu}; \draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; %Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau \foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB, nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB, nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB }{ \coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe}); \draw node (\nB) at (\B) {\contenu}; \draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; %Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau \foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA }{ \coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2}); \draw node (\nC) at (\C) {\contenu}; \draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Arbre.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] \coordinate (A1) at (4,3); \coordinate (A2) at (4,1); \coordinate (A3) at (4,-1); \coordinate (A4) at (4,-3); \coordinate (B1) at (2,2); \coordinate (B2) at (2,-2); \coordinate (C1) at (0,0); \draw node (A11) at (A1) {$1$}; \draw node (A12) at (A2) {$2$}; \draw node (A13) at (A3) {$3$}; \draw node (A14) at (A4) {$4$}; \draw node (B11) at (B1) {$1$}; \draw node (B12) at (B2) {$2$}; \draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$}; \draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$}; \draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$}; \draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$}; \draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$}; \draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Arbre bis.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] %Création des nœuds \foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n}; \foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n}; \foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n}; \foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n}; %Branches entre les nœuds \foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A); \foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B); \foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C); \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Tab} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6} {$-\infty$ ,$1$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,d,+,}% \tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / } \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Tab2.} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4} {$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}% \tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ } \tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$} \tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$} \draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63); \end{tikzpicture} \subsection{Python} \begin{center} \begin{minipage}{5cm} \lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red}, emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}} \begin{lstlisting}{style=pythonstyle} def fonction(variable1): variable2=3 \end{lstlisting} \end{minipage} \end{center} \subsection{Bash} %\begin{minipage}{5cm} \begin{lstlisting}{style=bashstyle} sudo apt update sudo apt upgrade \end{lstlisting} \hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}} %\end{minipage} \subsection{Pseudocode} \begin{tabular}{|c|} \hline \begin{minipage}{8cm} \LinesNumbered \SetKw{entrer}{entrer} \SetKw{prend}{prend la valeur} \SetKw{afficher}{afficher} \begin{algorithm}[H] \SetAlgoLined \DontPrintSemicolon \entrer pi 0\; \Tq{1}{ 2\; \eSi{3}{ 4\; 5\; }{ 6\; } } \Pour{7}{ \Si{8}{ 9\; } } \end{algorithm} \end{minipage} \\ \hline \end{tabular} \subsection{Tabularx} Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{tabularx} \subsection{Tableau sans une case et diagonale.} \begin{tabular}{|*{7}{c|}} \cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane & Quartile 3 & Maximum \\ \hline Série $T$ & \backslashbox{$v_n$}{$u_n$}& 67& 70& 72& 74& 78 \\ \hline Série $P$ &&&&&& \\ \hline \end{tabular} \subsection{Tableau ligne colonne.} \begin{tabular}{|*{11}{c|}} \hline \multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement} \\ \cline{2-9} & Sécurité &&&&&&&&& \\ \hline & &&&&&&&&& \\ \hline \end{tabular}\\ \subsection{Retrait dans la marge.} \hspace*{-1cm} \subsection{Note dans la marge} \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \subsection{Notation modulo.} $3 \equiv 1 \mod{2}$ \subsection{Diapositive.} %Pour afficher la page en paysage il faut modifier %\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5 %\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5 \pagecolor{cyan!25} \begin{center} \begin{tikzpicture} \coordinate (AA) at (-9,6.5); \node (AA) at (AA) {}; \coordinate (BB) at (9,6.5); \node (BB) at (BB) {}; \coordinate (CC) at (9,-6.5); \node (CC) at (CC) {}; \coordinate (DD) at (-9,-6.5); \node (DD) at (DD) {}; \draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA); \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Binomiale.} \begin{enumerate}[*] \item Épreuve de Bernoulli. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Expérience: lancer un dé. \item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}. \item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$. \end{enumerate} \item Schéma de Bernoulli. L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois. \item Loi binomiale. $X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$. \end{enumerate}