%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
\settasks{
	% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
	% left
	%label-width = 1em ,
	%item-indent = 1em ,
	%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
	%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
	after-item-skip = -2pt%-\parskip % undo paragraph skip
}

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}

\newenvironment{sujet}{}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{Gray}}{}


%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.}\addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
\ExplSyntaxOn\makeatletter
%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
\AtBeginDocument{
 \cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
   {\set@color}
 }
\ExplSyntaxOff\makeatother 

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour les exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour les correction d'exercices uniquement.
%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\small

\subsection*{Vecteurs (introduction par les coordonnées).}

\subsubsection{Colinéarité.}

\begin{definition}	
	Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \emph{\color{purple}colinéaires} si et seulement si il existe un nombre réel $\lambda$ (\emph{i.e.} on peut en trouver au moins un) tel que $\vec u=\lambda \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \vec u$.	
\end{definition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons voir la chose comme une sorte de rapport de proportionnalité entre les vecteurs.
		\item Il suffit d'établir l'une des deux égalités pour établir la colinéarité de deux vecteurs.
		\item Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}	
	Démontrez que si deux vecteurs sont égaux alors ils sont colinéaires.	
\end{exercice}

\begin{proposition}
	Soient $\left( \vec i, \vec j \right)$ une base du plan, $\vec u$ et $\vec v$ des vecteurs dont les coordonnées relativement à la base $\left( \vec i, \vec j \right)$, sont respectivement $\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$.
	
	$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si ils vérifient \underline{l'une} au moins des propriétés suivantes.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ sont proportionnelles.		
		\item Il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $\vec u=\lambda \vec v$ ou $\vec v=\lambda \vec u$.		
		\item $x_uy_v-x_vy_u=0$.		
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{preuve}	
	Par définition de la colinéarité $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\vec u=\lambda \vec v \quad \text{ou} \quad \vec v=\lambda \vec u$.
	
	Autrement dit si et seulement si \[ \left \{ \begin{array}{l} x_1 = \lambda x_2 \\ y_1 = \lambda y_2 \end{array} \right. \quad \text{ou} \quad \left \{ \begin{array}{l} x_2 = \lambda x_1 \\ y_2 = \lambda y_1 \end{array} \right. \]
	
	Autrement dit si et seulement si les coordonnées de $\vec u$ sont proportionnelles à celles de $\vec v$. 
	
	Ce qui équivaut à dire que le produit en croix est vérifié.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}		
		\begin{minipage}{\linewidth}			
			Autrement dit $x_u \times y_v -x_v \times y_u=0$.			
		\end{minipage}		
		&		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{center}				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$x_u$ & $x_v$ \\
					\hline
					$y_u$ & $y_v$\\
					\hline
				\end{tabular}				
			\end{center}			
		\end{minipage}		
	\end{tabularx}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}		
		\item Le nombre $x_uy_v-x_vy_u$ est appelé le \emph{\color{purple}déterminant de la famille de vecteurs $(\vec u; \vec v)$ par rapport à la base $(\vec i, \vec j)$} et est noté \[ \color{purple}\mathrm{det}_{(\vec i , \vec j)}(\vec u; \vec v)= \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}. \]
		
		Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté nous écrirons simplement $\det\left(\vec u ; \vec v \right)$. Cette notation du déterminant ne nécessite pas de connaître les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$.
		
		Au contraire la notation $\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$ fait intervenir les coordonnées des vecteurs.
		
		{\color{orange}D'un point de vu pratique nous retiendrons que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.}
		\item Nous privilégierons, si possible, la recherche du coefficient de proportionnalité entre les coefficients qui nous fournira l'égalité liant les deux vecteurs plutôt que le calcul du déterminant.	
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{exercice}
	Montrez que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
		
	\noindent 	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}	
		\begin{minipage}{\linewidth}		
			\begin{enumerate}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}			
		\end{minipage}
		&		
		\begin{minipage}{\linewidth}		
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{1}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}+1 \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}			
		\end{minipage}		
	\end{tabularx}	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\begin{enumerate}
		\item Clairement {\color{orange}en considérant les coordonnées des vecteurs nous remarquons une proportionnalité:} $\vec v=-2\vec u$. Et donc
		
		\begin{conclusion}			
			$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.			
		\end{conclusion}		
		\item \objectif{Montrons que $\vec v$ et $\vec u$ sont colinéaires.}		
		\begin{align*}
			\det(\vec u ; \vec v) &= {\color{orange}\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}} \\
			&= \begin{vmatrix} \sqrt{2}-1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2}+1 \end{vmatrix}\\
			&= \left( \sqrt{2} -1 \right) \times \left( \sqrt{2} +1 \right) - 1 \times 1\\
			&= \sqrt{2} \times \sqrt{2} +\sqrt{2} \times 1 + (-1) \times \sqrt{2} + (-1) \times 1-1\\
			&= \sqrt{2}^2+ \sqrt{2} - \sqrt{2}-2\\
			&= 2-2\\
			&= 0
		\end{align*}		
		\begin{conclusion}			
			$\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires.			
		\end{conclusion}		
	\end{enumerate}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Soient $A(-10;7)$, $B(-20;10)$, $C(5;-2)$ et $D(10;-8)$  des points du plan. $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont-ils colinéaires?	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}	
	\objectif{Démontrons que $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires.}
	
	Les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ sont $\begin{pmatrix} x_C-x_A \\y_C-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-10) \\ -2-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$.
	
	De même les coordonnées de $\overrightarrow{DB}$ sont $\begin{pmatrix} -30 \\ 18 \end{pmatrix}$.
	
	Clairement $\overrightarrow{DB}= -2 \overrightarrow{AC}$.
	
	\begin{conclusion}		
		$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DB}$ sont colinéaires.		
	\end{conclusion}	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}	
	Déterminez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et si c'est le cas précisez l'égalité les reliant.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}	
		\begin{minipage}{\linewidth}		
			\begin{enumerate}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \end{pmatrix}$.
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$.
				\item $\vec u \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix}$.
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 6 \\ 18 \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}			
		\end{minipage}
		&		
		\begin{minipage}{\linewidth}		
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{4}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
				\item $\vec u \begin{pmatrix} \frac{5}{9} \\ -\frac{5}{6} \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \end{pmatrix}$.
				\item $\vec u \begin{pmatrix} \sqrt{5}-1 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -4 \\ \sqrt{5}+1 \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}			
		\end{minipage}		
	\end{tabularx}	
\end{exercice}

\subsubsection{Parallélisme.}

\begin{proposition}
	
	Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan avec $A\ne B$ et $C\ne D$.
	
	\medskip
	$(AB)//(CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	La démonstration de cette proposition n'est pas possible sans une définition de ce qu'est une droite or nous n'en n'avons pour l'instant pas donné.
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item La négation de cette proposition est aussi intéressante: $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.
	\item {\color{orange}Nous utiliserons ce résultat pour étudier la position relative de droites du plan (coplanaires), \emph{i.e.} pour dire si elles sont parallèles (éventuellement confondues voir corollaire ci-après) ou sécantes.}
\end{enumerate}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $A(-4;-3)$, $B(8;1)$, $C(4,4)$ et $D(-2;2)$ des points du plan.
	
	Étudiez la position relative de $(AB)$ et $(CD)$.
	
\end{exercice}

\subsection{Alignement de trois points.}

\begin{corollaire}
	
	Soient $A$, $B$ et $C$ des points du plan.
	
	\medskip
	$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
	
\end{corollaire}

\begin{exercice}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Soient $A(-2;3)$, $B(2;1)$ et $C(4;0)$ dans un repère du plan muni d'un repère $(O: \vec i, \vec j )$.
	
	Démontrez que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
	
\end{exercice}

\begin{corollaire}
	
	Soient $A$, $B$ et $M$ des points du plan.
	
	\medskip
	$M$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
	
\end{corollaire}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez tous les nombres $x$ tels que $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} x \\ 10 \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 1+x \\ 2x \end{pmatrix}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Le résultat est immédiat en remarquant que $y_v=2xy_u$ donc nécessairement $x_v=2x_u=2 \times 1 = 2$.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$.}
		
		$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si 
		
		\begin{align*}
			\det \left( \vec u; \vec v \right) &= 0\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\begin{vmatrix}
			1 & x \\
			5 & 10 
			\end{vmatrix} &= 0\\
			1 \times 10- 5 \times x &= 0\\
			10-5x &= 0 \\
			\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation linéaire du premier degré que nous allons résoudre en travaillant par équivalences successives.}
			10 -5x {\color{orange}-10} &= 0 {\color{orange}-10}\\
			-5x &= -10\\
			\frac{-5x}{\color{orange}-5} &= \frac{-10}{\color{orange}-5}\\
			x &= 2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $x=2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item De même
		
		\begin{align*}
			2 \times (2x) - 3 \times (1+x) &= 0\\
			4x-3-3x &=0\\
			x &= 3
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 209 exercice 57
		
	\end{notabene}
	
	Soient $ABC$ un triangle, $D$ et $E$ des points tels que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{ED}=2\overrightarrow{BC}$.
	
	Faites une figure puis démontrez que $C$ est le milieu du segment $[AD]$.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[below right]{$A$};
			\def\xAB{2};
			\def\yAB{3};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\def\xAC{-2};
			\def\yAC{4};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\yA+\yAC});
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (C) node[below left]{$C$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			\coordinate (E) at ({\xA+2*\xAB},{\yA+2*\yAB});
			\draw (E) node{$\bullet$};
			\draw (E) node[below right]{$E$};
			\coordinate (D) at ({\xA+2*\xAB+2*(\xAC-\xAB)},{\yA+2*\yAB+2*(\yAC-\yAB)});
			\draw (D) node{$\bullet$};
			\draw (D) node[above right]{$D$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	{\color{orange}Nous pouvons démontrer le résultat directement avec les vecteurs ou en passant par les coordonnées. Par exemple nous pourrions considérer le repère $\left( A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)$.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exerciceapplication}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 208 exercice 54
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Soient $ABCD$ un carré, $BCL$ et $DIC$ des triangles équilatéraux tels que sur la figure ci-contre.
			
			Nous souhaitons établir l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
			
			Pour cela considérons le repère orthonormé $(D;C;A)$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\coordinate (D) at (0,0);
			\coordinate (A) at (0,1);
			\coordinate (B) at (1,1);
			\coordinate (C) at (1,0);
			\coordinate (I) at (0.5,{sqrt(3)/2});
			\coordinate (L) at ({1+sqrt(3)/2},0.5);
			\draw (A) node[above]{$A$};
			\draw (B) node[above]{$B$};
			\draw (C) node[below]{$C$};
			\draw (D) node[below]{$D$};
			\draw (I) node[right]{$I$};
			\draw (L) node[right]{$L$};
			\draw (B)--(A)--(D)--(C)--(B)--(L)--(C);
			\draw (D)--(I)--(C);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez sans justification les coordonnées de $D$, $C$, $A$ et $B$.
		\item Déterminez les coordonnées de $I$ et $L$.
		\item Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AL}$.
		\item Démontrez l'alignement des points $A$, $I$ et $L$.
	\end{enumerate}
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercice 120 page 142 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exerciceapplication}
	
	Exercice 122 page 142 du manuel Indice.
	
\end{exerciceapplication}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $I$.}
			
			Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$:
			
			\begin{align*}
				x_I &= \frac{x_B+x_C}{2}\\
				&= \frac{1+6}{2}\\
				&= \frac{7}{2}
			\end{align*}
			
			De même: $y_I=-\frac{1}{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$I\left( \frac{7}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $E$.}
			
			$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6-3 \\ -2-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$.
			
			D'où: $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 3 \\ \frac{1}{3} \times (-6) \end{pmatrix}$ \emph{i.e.} $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De même: $\overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} x_E-3 \\ y_E-4 \end{pmatrix}$.
			
			\medskip
			De $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ nous déduisons donc \[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 = 1 \\ y_E-4 =-2 \end{array} \right. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à:
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E-3 {\color{orange}+3} = 1 {\color{orange}+3}\\ y_E-4 {\color{WildStrawberry}+4}=-2 {\color{WildStrawberry}+4} \end{array} \right. \]
			\[ \left\{ \begin{array}{l} x_E = 4 \\ y_E =2 \end{array} \right. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$E(4;2)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même qu'au point précédent 
			
			\begin{align*}
				\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F-6=\frac{1}{3}(3-6) \\ y_F-(-2) = \frac{1}{3} (4-(-2)) \end{array} \right.\\
				&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_F=5 \\ y_F = 0 \end{array} \right.
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$F(5;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Démontrons que $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.}
			
			$\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ donc
			
			\begin{align*}
				\det \left( \overrightarrow{BE} ; \overrightarrow{IF} \right) &= \begin{vmatrix} 3 & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{2}\end{vmatrix}\\
				&= 3 \times \frac{1}{2} -1 \times \frac{3}{2}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont colinéaires.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous déduisons de la question précédente que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$(BE) \parallel (IF)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que $ABCD$ est un parallélogramme.}
		
		$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
		
		Par conséquent:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un parallélogramme.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\| \overrightarrow{AC} \|$.}
			
			{\color{orange}La formule pour la distance euclidienne est la même que celle pour la norme du vecteur. Par contre comme le repère n'est pas orthonormé la norme ne correspond pas forcément à une longueur.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
				\| \overrightarrow{AC} \| &= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\
				&= \sqrt{(6-3)^2+(-2-4)^2}\\
				&= \sqrt{45}\\
				&= \sqrt{3^2 \times 5}\\
				&= \sqrt{3^2} \times \sqrt{5}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\| \overrightarrow{AC} \| = 3\sqrt{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous ne pouvons pas répondre à cette question car le repère n'étant a priori pas orthonormé nous ne pouvons pas établir la présence d'angle droit  ou d'égalité de longueur (diagonales).
			
			\medskip
			Si nous supposons que le repère est orthonormé alors, comme $\| \overrightarrow{BD} \| = 9$, nous pouvons affirmer que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ne sont pas de même longueur donc ce n'est pas un rectangle.
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que les points $I$, $F$ et $D$ sont alignés.}
		
		{\color{orange}Ils sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.}
		
		\medskip
		$\overrightarrow{IF} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF} \begin{pmatrix} -3\\ -1 \end{pmatrix}$ donc
		
		\begin{align*}
			\det \left( \overrightarrow{IF};\overrightarrow{DF} \right) &= \begin{vmatrix} \frac{3}{2} & -3\\ \frac{1}{2} & -1 \end{vmatrix}\\
			&= \frac{3}{2} \times (-1) -\frac{1}{2} \times (-3)\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		Donc $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires.
		
		Et par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$I$, $F$ et $D$ sont alignés.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{correction}
	
	\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Multiplication d'un vecteur par un nombre réel.
	\item Colinéarité: déterminant.
	\item Utilisation de la colinéarité pour le parallélisme et l'alignement.
	
\end{enumerate}
	
\end{correction}


\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
	\def\xangledroit{0};
	\def\yangledroit{0};
	\def\longueurangledroit{0.5};
	\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
		\def\code{0.2};
		\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult

\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult

\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult

\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult

\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult

\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}